\chapter{Dualit{\'e}s non perturbatives des th{\'e}ories des champs
supersym{\'e}triques}
Comme nous l'avons d{\'e}crit dans notre introduction, la notion 
de dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique mise en {\'e}vidence dans
les th{\'e}ories de jauges non ab{\'e}liennes {\`a} supersym{\'e}trie
{\'e}tendue a jou{\'e} un r{\^o}le essentiel dans l'{\'e}mergence de
la conjecture de dualit{\'e} des th{\'e}ories de supercordes.
%qui la contient et la d{\'e}passe consid{\'e}rablement.
%Si elle ne constitue pas le coeur de mon travail de th{\`e}se,
%elle en constitue un pr{\'e}lude n{\'e}cessaire. 
Nous en donnerons ici une pr{\'e}sentation sommaire, qui
nous permettra d'introduire de nombreux concepts de base 
implicites dans les chapitres ult{\'e}rieurs. Nous suivrons ainsi
le cheminement de mon apprentissage, et introduirons le lecteur {\`a} la 
publication en appendice \ref{hk}. Ces id{\'e}es ne prendront leur pleine
dimension qu'une fois transpos{\'e}es aux th{\'e}ories
de supergravit{\'e} qui d{\'e}crivent la dynamique {\`a} basse
{\'e}nergie des th{\'e}ories de supercordes, et pr{\'e}sentent
des sym{\'e}tries <<cach{\'e}es>> non perturbatives analogues
{\`a} la S-dualit{\'e} des th{\'e}ories de jauge. La br{\`e}ve
description que nous en donnerons nous introduira aux
dualit{\'e}s des th{\'e}ories de supercordes, qui feront l'objet
du chapitre suivant.

\section{Des monop{\^o}les magn{\'e}tiques {\`a} la S-dualit{\'e}}

\subsection{Dualit{\'e} et monop{\^o}les magn{\'e}tiques}
\index{dualit{\'e}!{\'e}lectrique-magn{\'e}tique}
L'id{\'e}e de dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique remonte sans 
doute aux premiers jours de l'{\'e}lectrodynamique classique
maxwellienne, dont les {\'e}quations dans le vide pr{\'e}sentent
une sym{\'e}trie globale $U(1)$ m{\'e}langeant champs 
{\'e}lectrique et champs magn{\'e}tique selon
$E+i B \rightarrow e^{i\alpha} (E+i B)$. 
La validit{\'e} en pr{\'e}sence de mati{\`e}re de cette sym{\'e}trie 
impliquerait l'existence de particules
ponctuelles charg{\'e}es magn{\'e}tiquement, dites
{\it monop{\^o}les magn{\'e}tiques}, qui aurait l'avantage
\index{monop{\^o}le magn{\'e}tique!de Dirac}
d'expliquer la quantification de la charge~: en effet,
l'inobservabilit{\'e} de la singularit{\'e} de Dirac dans
le potentiel vecteur en pr{\'e}sence de deux 
{\it dyons} de charges {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques 
$(q_e,q_m)$ et $(q'_e,q'_m)$ impose la condition 
de Dirac-Schwinger-Zwanziger
\cite{Dirac:1931,Schwinger:1966nj,Zwanziger:1968}
\index{Dirac, condition de quantification de}
\begin{equation}
q_e q_m' - q'_e q_m \in 4\pi \hbar \Zint \ ;
\end{equation}
la charge {\'e}lectrique $q_e$ et la charge magn{\'e}tique $q_m$ 
sont donc restreintes {\`a} prendre leurs valeurs dans le r{\'e}seau
\begin{equation}
q_e = \hbar g~e\ ,\quad q_m = \frac{4\pi}{g} m\ , \quad 
(e,m)\in\Zint\times \Zint;
\end{equation}
o{\`u} la premi{\`e}re relation d{\'e}finit notre convention pour
le couplage de jauge $g$. On voit ainsi que la dualit{\'e} 
{\'e}lectrique-magn{\'e}tique {\'e}changeant charges {\'e}lectrique
et magn{\'e}tique s'accompagne d'une {\it inversion 
du couplage de jauge}\footnote{Nous choisissons d{\`e}s {\`a} pr{\'e}sent
les unit{\'e}s de mesure $c=\hbar=1$.}
\begin{equation}
g \rightarrow \frac{4\pi}{g}\ , e \leftrightarrow m
\end{equation}
{\'e}changeant faible couplage et fort couplage.
Les monop{\^o}les de la th{\'e}orie de Maxwell correspondent
cependant {\`a} des configurations singuli{\`e}res du
champ de jauge, et leur existence est malheureusement 
fortement exclue par les donn{\'e}es
exp{\'e}rimentales. 

\subsection{Monop{\^o}le de 't Hooft-Polyakov et conjecture
de Montonen-Olive}
L'int{\'e}r{\^e}t pour ces particules a {\'e}t{\'e} relanc{\'e} avec la
d{\'e}couverte de solutions classiques
de th{\'e}ories de jauges non ab{\'e}liennes {\`a} 
sym{\'e}trie spontan{\'e}ment bris{\'e}e, charg{\'e}es magn{\'e}tiquement
sous le groupe de jauge ab{\'e}lien r{\'e}siduel
\cite{'tHooft:1974qc,Polyakov:1974ek}. 
\index{monop{\^o}le magn{\'e}tique!de 't Hooft-Polyakov}
La charge magn{\'e}tique $m$ est donn{\'e}e par un invariant
topologique, et ces {\'e}tats sont donc stables classiquement.
Leur masse est donn{\'e}e classiquement dans le cas du mod{\`e}le
de Georgi-Glashow par
\index{Georgi-Glashow, mod{\`e}le de}
\begin{equation}
\mathcal{M}_{m}= \frac{4\pi |a|}{g}\cdot |m|\ , \quad m\in \Zint\ ,
\end{equation}
o{\`u} $a^2=\frac{1}{2}\tr\phi^2$ d{\'e}signe la valeur moyenne du scalaire de
Higgs \index{Higgs!scalaire de}
dans la repr{\'e}sentation adjointe du groupe de jauge $SU(2)$. Ceci
est {\`a} comparer {\`a} la masse des bosons $W^{\pm}$ du spectre perturbatif,
\begin{equation}
\mathcal{M}_{e}= |a|\ g\cdot  |e|\ , \quad e=\pm 1\ .
\end{equation}
Ces deux objets saturent donc la {\it borne de Bogomolny}  
\cite{Bogomolny:1976de}\index{Bogomolny, borne de}
apparaissant dans la limite de Prasad et Sommerfield
\index{Prasad-Sommerfield, limite de}
\cite{Prasad:1975kr} du mod{\`e}le de Georgi-Glashow, o{\`u} la longueur du
champ de Higgs est gel{\'e}e~:
\begin{equation}
\label{mbogo}
\mathcal{M}\ge |a| \sqrt{ q^2_e + q^2_m}\ .
\end{equation}
Cette relation, {\it invariante sous la dualit{\'e}
{\'e}lectrique-magn{\'e}tique}, recevra plus loin une interpr{\'e}tation 
dans le cadre des th{\'e}ories supersym{\'e}triques.
Un calcul semi-classique de
diffusion montre {\'e}galement 
que la force statique entre deux monop{\^o}les s'annule,
tout comme l'interaction entre deux particules $W^{\pm}$ de m{\^e}me charge,
en raison de la compensation entre l'{\'e}change r{\'e}pulsif de bosons
vecteurs et l'{\'e}change attractif de particules de Higgs
\index{Higgs!particule de}.
Ces constatations conduisirent en  1977 Montonen et Olive {\`a} formuler
\index{Montonen-Olive, conjecture de}
l'hypoth{\`e}se de dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique 
des th{\'e}ories de jauge de groupe $SU(2)$, g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}e peu apr{\`e}s
{\`a} tous les groupes compacts par Goddard, Nuyts et Olive,
postulant l'{\'e}quivalence des th{\'e}ories de jauge de 
couplage $g$ et $4\pi/g$, les monop{\^o}les magn{\'e}tiques de 't Hooft-
Polyakov jouant le r{\^o}le des champs fondamentaux dans
la formulation duale
\cite{Montonen:1977sn,Goddard:1977qe}.

\subsection{Supersym{\'e}trie et propri{\'e}t{\'e} BPS}
L'id{\'e}e de dualit{\'e} dans les th{\'e}ories quantiques des champs
en tant que telle n'est pas neuve : la dualit{\'e} de Kramers-Wannier
\index{dualit{\'e}!de Kramers-Wannier}
entre les phases de haute temp{\'e}rature et de basse temp{\'e}rature
du mod{\`e}le d'Ising-Onsager en est sans doute le premier exemple ;
le mod{\`e}le de {\it sine}-Gordon {\`a} 1+1 dimensions
s'est {\'e}galement r{\'e}v{\'e}l{\'e} dual {\`a} fort couplage
au mod{\`e}le de Thirring, les solitons d'une th{\'e}orie
s'identifiant aux champs fondamentaux de la th{\'e}orie duale
\cite{Coleman:1975bu}
\index{dualit{\'e}!de sine Gordon-Thirring}.
L'importance particuli{\`e}re de la dualit{\'e} de Montonen-Olive
tient au fait qu'elle correspond
{\`a} une th{\'e}orie des champs {\`a} 3+1 dimensions non int{\'e}grable,
et candidate {\`a} une description ph{\'e}nom{\`e}nologique des
interactions fortes et {\'e}lectrofaibles. Dans sa
formulation premi{\`e}re de Montonen et Olive, cette conjecture
n'est cependant pas tenable, pour deux raisons apparemment
distinctes. Premi{\`e}rement, le couplage de jauge, par suite des corrections
quantiques, d{\'e}pend de l'{\'e}chelle d'observation, et l'identification
$g\leftrightarrow 4\pi/g$ n'a pas de sens~; en outre la masse des
solitons en fonction de ce couplage est sujette {\`a} des corrections
quantiques et la validit{\'e} de la formule (\ref{mbogo}) n'est pas assur{\'e}e~;
enfin, les monop{\^o}les du mod{\`e}le de Georgi-Glashow
sont des particules scalaires qui ne sauraient
{\^e}tre identifi{\'e}es aux particules fondamentales de spin 1.

Ces trois probl{\`e}mes peuvent {\^e}tre r{\'e}solus simultan{\'e}ment au
prix d'une perte de g{\'e}n{\'e}ralit{\'e} et de pertinence
ph{\'e}nom{\`e}nologique, en consid{\'e}rant des th{\'e}ories de jauge
{\`a} supersym{\'e}trique {\'e}tendue. La supersym{\'e}trie donne
lieu {\`a} des th{\'e}or{\`e}mes de non renormalisation permettant
de contr{\^o}ler les corrections quantiques. 
\index{non renormalisation!de l'action {\`a} 2 d{\'e}riv{\'e}es dans SYM $N=4$}
En particulier, les th{\'e}ories $N=4$ sont finies
{\`a} tout ordre en perturbation, et l'action effective {\`a} deux
d{\'e}riv{\'e}es ne re{\c c}oit aucune correction quantique
\index{action effective!{\`a} deux d{\'e}riv{\'e}es}
\footnote{Les th{\'e}ories $N=4$ sont en effet des exemples
de th{\'e}ories conformes {\`a} quatre dimensions. La sym{\'e}trie
\index{conforme, th{\'e}orie des champs!SYM $N=4$}
conforme est spontan{\'e}ment bris{\'e}e par la valeur
moyenne $a$ du champ de Higgs.}. Le couplage
de jauge $g$ est donc {\'e}gale {\`a} sa valeur <<nue>>, et parler
de son inversion ne pose pas de difficult{\'e}.
La supersym{\'e}trie organise aussi
le spectre en repr{\'e}sentations d{\'e}pendant des 
{\it charges centrales} $Z^{ij}$ de
l'alg{\`e}bre de supersym{\'e}trie {\'e}tendue
\index{charge centrale}
\index{supersym{\'e}trie!charge centrale}
\footnote{L'ouvrage \cite{wess/bagger:1992} rassemble les informations
essentielles sur la supersym{\'e}trie et la supergravit{\'e}.}
\begin{subequations}
\begin{align}
\{ Q^i_\alpha, Q^j_{\bar \beta} \} &= \sigma^\mu_{\alpha\bar\beta}~P_\mu \\
\{Q_\alpha^i,Q_\beta^j\} &=2 \epsilon_{\alpha\beta} Z^{ij}\ .
\end{align}
\end{subequations}
\index{supersym{\'e}trie!alg{\'e}bre de}
\index{supersym{\'e}trie!repr{\'e}sentations de la}
o{\`u} les indices grecs correspondent aux indices spinoriels
et les indices $i=1\dots N$ aux $N$ charges supersym{\'e}triques.
La repr{\'e}sentation irr{\'e}ductible g{\'e}n{\'e}rique, de dimensions $2^{2N}$ 
v{\'e}rifie l'in{\'e}galit{\'e}
\begin{equation}
\label{mz}
\mathcal{M} \ge |Z_{\lambda}|
\end{equation}
o{\`u} $Z_{\lambda}$ d{\'e}signe toute valeur propre de la matrice
antisym{\'e}trique $Z^{ij}$. Lorsque l'in{\'e}galit{\'e} (\ref{mz})
est satur{\'e}e pour {\it une} valeur propre $Z_{\lambda}$, la
repr{\'e}sentation g{\'e}n{\'e}rique se r{\'e}duit alors en deux
repr{\'e}sentations irr{\'e}ductibles de dimension moiti{\'e}
{\it annihil{\'e}es par la moiti{\'e} des charges supersym{\'e}triques}.
Ce processus dichotomique se poursuit lorsque l'{\'e}galit{\'e}
dans l'{\'e}quation (\ref{mz}) se produit pour plusieurs 
valeurs propres\footnote{La dimension est encore divis{\'e}e par deux
lorsque toutes les charges centrales s'annulent.}.
L'{\'e}galit{\'e} dans la formule de masse (\ref{mz}) 
est alors {\it exacte {\`a} tout couplage}, sans quoi la
dimension de la repr{\'e}sentation changerait de mani{\`e}re
discontinue. Dans le cas de la th{\'e}orie de Yang-Mills $SU(2)$
de supersym{\'e}trie $N=4$, la charge centrale s'{\'e}crit
\begin{equation}
Z^{ij} = |a| ~( Q_e + i Q_m )~ \epsilon^{ij} 
\end{equation}
o{\`u} $\epsilon^{ij}$ est la forme symplectique standard,
et la borne de Bogomolny (\ref{mbogo}) appara{\^\i}{}t comme
\index{Bogomolny, borne de}
une cons{\'e}quence de l'alg{\`e}bre de supersym{\'e}trie~; les
monop{\^o}les magn{\'e}tiques, comme les bosons $W^{\pm}$
appartiennent ainsi {\`a} des repr{\'e}sentations courtes
de l'alg{\`e}bre de supersym{\'e}trie $N=4$
et comprennent donc un {\'e}tat de spin 1
\footnote{Le spin des monop{\^o}les provient de la
quantification des modes z{\'e}ro fermioniques en leur
pr{\'e}sence.}. Plus
g{\'e}n{\'e}ralement, on appelle {\it borne de Bogomolny-Prasad-
Sommerfield}  (ou {\it borne BPS}) l'in{\'e}galit{\'e} (\ref{mz}), et 
{\it {\'e}tats BPS} les {\'e}tats la saturant.  Ces {\'e}tats
sont centraux dans l'{\'e}tude des dualit{\'e}s en th{\'e}ories
des champs et th{\'e}ories de cordes.

\subsection{S-dualit{\'e} de la th{\'e}orie de Yang-Mills $N=4$}

Ignor{\'e}e pendant une quinzaine d'ann{\'e}es, la conjecture de
dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}\-tique a de nouveau concentr{\'e}
l'int{\'e}r{\^e}t en 1994 gr{\^a}ce au travail de Sen qui en a donn{\'e}
une v{\'e}rification essentielle. En pr{\'e}sence d'un couplage
topologique $\theta \int \Tr F\wedge F$, la charge {\'e}lectrique 
effective subie l'<<effet Witten>> 
\index{Witten, effet}
\index{angle $\theta$}
$e\rightarrow e+\frac{\theta}{2\pi} m$ \cite{Witten:1979ey}, 
de sorte que la masse
d'un {\'e}tat BPS de charges {\'e}lectrique $e$ et magn{\'e}tique $m$
\index{masse, formule de!des dyons de SYM $N=4$}
(\ref{mbogo})
devient 
\begin{equation}
\label{msl2} \mathcal{M}= |a| \sqrt{ \frac{|e + S m|^2}{\iS} }
\mbox{ o{\`u} } S= \frac{\theta}{2\pi} + i\frac{4\pi}{g^2} 
:= S_1 + i S_2\ .
\end{equation}
Cette relation pr{\'e}sente la propri{\'e}t{\'e} d'invariance sous 
le groupe modulaire $Sl(2,\Zint)$ des matrices $2\times 2$
\index{groupe!modulaire $Sl(2,\Zint)$}
de d{\'e}terminant 1 et coefficients entiers agissant par
\begin{equation}
S \rightarrow \frac{aS + b}{cS + d} \sp
\begin{pmatrix} e \\ m \end{pmatrix}
\rightarrow 
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} e\\ m \end{pmatrix}
\sp 
a,b,c,d\in \Zint,\ ad-bc=1
\end{equation} 
On est ainsi amen{\'e} {\`a} conjecturer l'invariance de la th{\'e}orie
quantique elle-m{\^e}me sous cette sym{\'e}trie, baptis{\'e}e S-dualit{\'e}.
\index{S-dualit{\'e}!de SYM $N=4$}
Ce groupe est engendr{\'e} par la transformation de dualit{\'e}
{\'e}lectrique-magn{\'e}tique $S\rightarrow -1/S$, qui g{\'e}n{\'e}ralise
la dualit{\'e} de Montonen-Olive {\`a} une valeur non nulle
de l'angle $\theta$, ainsi que par le
flot spectral $S \rightarrow S+1$, qui ne change pas
les amplitudes mais agit non trivialement sur le spectre.
\index{flot spectral!dans SYM $N=4$}
L'existence de bosons de jauge $W^{\pm}$ 
dans le spectre implique alors {\it l'existence de l'orbite sous 
$Sl(2,\Zint)$ de ces {\'e}tats}, soit tous les {\'e}tats de charge
$(p,q)$, o{\`u} $p$ et $q$ sont deux entiers premiers entre eux.
\index{pq, dyons de charge@$(p,q)$, dyons de charge}
Ces {\'e}tats BPS doivent correspondre
{\`a} l'existence d'un {\'e}tat fondamental supersym{\'e}trique pour la m{\'e}canique 
quantique d{\'e}finie sur l'espace des modules classiques des
monop{\^o}les de charge $q$
\index{espace des modules!des monop{\^o}les magn{\'e}tiques}
\index{monop{\^o}le magn{\'e}tique!espace des modules}
\footnote{Cet espace a fait l'objet d'une {\'e}tude math{\'e}matique
approfondie, r{\'e}sum{\'e}e dans l'ouvrage \cite{Atiyah:1988}.}, 
et Sen a pu construire explicitement la
fonction d'onde dans le cas 
du monop{\^o}le magn{\'e}tique de charge $(1,2)$ \cite{Sen:1994yi}.
 
La conjecture de S-dualit{\'e} des th{\'e}ories de jauge supersym{\'e}triques
$N=4$ a depuis fait l'objet de nombreux tests. En particulier, il a
{\'e}t{\'e} prouv{\'e} que la fonction de partition de la 
\index{partition, fonction de!des th{\'e}ories SYM}
version topologiquement <<twist{\'e}e>> de ces th{\'e}ories de jauge sur une vari{\'e}t{\'e}
arbitraire {\'e}tait invariante sous la S-dualit{\'e}
\cite{Vafa:1994tf}, tout comme l'{\'e}tait la divergence infrarouge de
\index{divergence infrarouge}
l'{\'e}nergie libre en pr{\'e}sence de flux {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques,
\cite{Girardello:1995gf}. La d{\'e}monstration 
rigoureuse de l'invariance de la th{\'e}orie de jauge $N=4$ originale 
est cependant rest{\'e}e hors d'atteinte
\footnote{La fonction
de partition de la th{\'e}orie de jauge {\it ab{\'e}lienne} non supersym{\'e}trique
de Maxwell sur une vari{\'e}t{\'e} de dimension 4 quelconque a {\'e}t{\'e} calcul{\'e}e
ind{\'e}pendamment par E. Verlinde et E. Witten
\cite{Verlinde:1995mz,Witten:1995gf} et 
pr{\'e}sente un poids modulaire non trivial
$((\chi+\sigma)/4,(\chi-\sigma/4))$ sous les transformations 
de S-dualit{\'e}, o{\`u} $\chi$ est la caract{\'e}ristique d'Euler et $\sigma$ la
signature de la vari{\'e}t{\'e}.}. Elle appara{\^\i}t
maintenant comme une cons{\'e}quence {\'e}l{\'e}mentaire  de la conjecture de
dualit{\'e} des th{\'e}ories de supercordes. Cette conjecture
n'a cependant pas encore
men{\'e} au calcul de quantit{\'e}s non-triviales, comme par exemple
des couplages {\`a} plus de deux d{\'e}riv{\'e}es, principalement en 
raison de la m{\'e}connaissance des contraintes de
la supersym{\'e}trie sur ces quantit{\'e}s. Ce probl{\`e}me sera
abord{\'e} dans le chapitre 3 dans le cadre  des
th{\'e}ories de supercordes. En revanche, l'extension
par  Seiberg et Witten de la conjecture
de S-dualit{\'e} $N=4$  aux th{\'e}ories supersym{\'e}triques $N=2$
a d{\'e}clench{\'e} un grand retentissement tant en physique
des particules qu'en math{\'e}matiques.

\section{Dualit{\'e} dans les th{\'e}ories de jauge de supersym{\'e}trie N=2}
En regard des th{\'e}ories de jauge {\`a} supersym{\'e}trie $N=4$
bien dociles, les th{\'e}ories de jauge 
$N=2$ pr{\'e}sentent une richesse {\'e}tourdissante. En particulier,
l'action effective de basse {\'e}nergie n'est plus astreinte au
th{\'e}or{\`e}me de non renormalisation et la fonction beta ne s'annule
en g{\'e}n{\'e}ral plus, de sorte que la dynamique
peut r{\'e}server des surprises inattendues. Les contraintes
de la supersym{\'e}trie restent cependant encore assez fortes
pour permettre la d{\'e}termination exacte de l'action effective
{\`a} deux d{\'e}riv{\'e}es, comme l'ont montr{\'e} Seiberg et Witten.

\subsection{Action microscopique, action effective et supersym{\'e}trie N=1}
Comme nous l'avons discut{\'e} dans l'introduction, les degr{\'e}s
de libert{\'e} des th{\'e}ories de jauge asymptotiquement libres 
{\`a} grande distance, correspondant aux particules observables
{\`a} basse {\'e}nergie, n'ont que peu {\`a} voir avec les degr{\'e}s
de libert{\'e} microscopiques en termes desquels la th{\'e}orie
est formul{\'e}e, ceci en raison de la croissance rapide du couplage
de jauge aux grandes {\'e}chelles. On cherche donc {\`a} retenir les
degr{\'e}s de libert{\'e} de masse minimale, et caract{\'e}riser leurs
interactions {\`a} basse {\'e}nergie en termes d'une action effective,
\index{action effective}
obtenue apr{\`e}s int{\'e}gration de degr{\'e}s de libert{\'e} de masse
sup{\'e}rieure. Cette action effective peut {\^e}tre d{\'e}velopp{\'e}e 
en puissance des moments ou d{\'e}riv{\'e}es, et l'on ne retient
d'ordinaire que les termes cin{\'e}tiques {\`a} deux d{\'e}riv{\'e}es au plus.
Dans les th{\'e}ories supersym{\'e}triques, ceux-ci peuvent {\^e}tre
caract{\'e}ris{\'e}s par le {\it superpotentiel} $W$, 
\index{superpotentiel}
fonction {\it holomorphe} des composantes scalaires $z^i$
des multiplets chiraux, le {\it potentiel de K{\"a}hler}
$K$,
\index{Kahler, potentiel de@K{\"a}hler, potentiel de}
fonction {\it r{\'e}elle} des m{\^e}mes champs, et la matrice des
{\it couplages de jauge } $\tau_{ij}$
et $\theta_{ij}$
\index{action effective!{\`a} deux d{\'e}riv{\'e}es}
\index{angle $\theta$}
L'action {\`a} deux d{\'e}riv{\'e}es
des champs bosoniques s'{\'e}crit alors
\begin{equation}
\mathcal{S}= \int d^4x \left( |W(z)|^2 + 
\frac{\partial^2 K}{\partial z^i \partial z^{\bar j} }
Dz^i Dz^{\bar j}
-\frac{1}{4g^2_{ij}} F^{(i)} \wedge * F^{(j)}
+ \theta_{ij} F^{(i)} \wedge F^{(j)} \right)
\end{equation}
o{\`u} nous n'avons retenu que les termes purement bosoniques,
suffisants pour d{\'e}terminer l'action compl{\`e}te par supersym{\'e}trie.
Une formulation plus g{\'e}om{\'e}trique d{\'e}finirait les champs $z^i$ 
comme application de l'espace-temps dans
une vari{\'e}t{\'e} k{\"a}hlerienne $\mathcal{M}$, et le superpotentiel,
dont la phase est sans signification, comme section 
holomorphe d'un fibr{\'e} en ligne sur cette vari{\'e}t{\'e}.

\subsection{Supersym{\'e}trie $N=2$, g{\'e}om{\'e}tries sp{\'e}ciales
et hyper\-k{\"a}h\-le\-riennes} 
En pr{\'e}sence de supersym{\'e}trie {\'e}tendue $N=2$, la structure
de l'action effective devient plus contrainte. Les multiplets
de l'alg{\`e}bre de supersym{\'e}trie $N=1$
se combinent pour former des multiplets de l'alg{\`e}bre $N=2$ :
\index{supersym{\'e}trie!globale $N=2$}
\begin{itemize}
\item un multiplet chiral et un multiplet vectoriel $N=1$ forment
un {\it multiplet vectoriel} N=2, correspondant {\`a}
un scalaire complexe $z$, deux fermions de Weyl\footnote{Les propri{\'e}t{\'e}s de chiralit{\'e} (Weyl) et r{\'e}alit{\'e}
(Majorana) des repr{\'e}sentations spinorielles sont discut{\'e}es
\index{spinorielle, repr{\'e}sentation}
en d{\'e}tail dans la r{\'e}f{\'e}rence \cite{Kugo:1983bn}.}
et un boson vecteur~;
\index{vectoriel, multiplet|textit}
\item deux multiplets chiraux N=1 forment un {\it hypermultiplet}
N=2, correspondant {\`a} deux scalaires complexes $Q$ et $\tilde Q$
\index{hypermultiplet|textit}
et deux fermions de Weyl.
\end{itemize}
La vari{\'e}t{\'e} k{\"a}hlerienne $\mathcal{M}$ se s{\'e}pare alors,
au moins localement, en un produit $\mathcal{M}_V \otimes \mathcal{M}_H$
d'une vari{\'e}t{\'e} de {\it g{\'e}om{\'e}trie sp{\'e}ciale} $\mathcal{M}$ 
\index{geometrie sp{\'e}ciale, vari{\'e}t{\'e} de@g{\'e}om{\'e}trie sp{\'e}ciale, vari{\'e}t{\'e} de}
\index{vari{\'e}t{\'e}!de g{\'e}om{\'e}trie sp{\'e}ciale},
de dimension $2N_V$
param{\'e}tr{\'e}e par les scalaires des $N_V$ multiplets vectoriels,
et d'une vari{\'e}t{\'e} {\it hyperk{\"a}hlerienne} $\mathcal{M}_H$,
\index{hyperk{\"a}hlerienne, vari{\'e}t{\'e}}
\index{vari{\'e}t{\'e}!hyperk{\"a}hlerienne}
de dimension $4 N_H$
correspondant aux $N_H$ hypermultiplets. 
Le potentiel de K{\"a}hler s'{\'e}crit donc comme une somme de deux
termes d{\'e}pendant de chaque facteur s{\'e}par{\'e}ment, et
les couplages et angles de jauge ne d{\'e}pendent que des scalaires
des multiplets vectoriels. 
Les transformations de jauge correspondant aux interactions
{\'e}lectro-magn{\'e}tiques sont d{\'e}finies par les {\it isom{\'e}tries}
communes aux deux vari{\'e}t{\'e}s, et leur {\it jaugement}
introduit le seul couplage entre les deux facteurs sous la forme
d'un superpotentiel non-trivial (et bien entendu, de d{\'e}riv{\'e}es
covariantes)\footnote{La r{\'e}f{\'e}rence \cite{Andrianopoli:1996vr}
offre une description g{\'e}n{\'e}rale des couplages de la
supergravit{\'e} et supersym{\'e}trie $N=2$.}. 
En particulier, {\it les hypermultiplets neutres
et les multiplets vectoriels sont d{\'e}coupl{\'e}s} en l'absence
de la gravitation. Ce point sera {\`a} la base d'arguments de
non renormalisation dans la suite de l'expos{\'e}.
\index{decouplage@d{\'e}couplage!des hypers et vecteurs}

Du c{\^o}t{\'e} des multiplets vectoriels, potentiel de K{\"a}hler,
couplages et angles de jauge 
se trouvent unifi{\'e}s en terme d'une {\it section 
holomorphe} $(a_{D;i}(z),a^i(z))$
d'un fibr{\'e} vectoriel de groupe symplectique 
\index{groupe!symplectique}
$Sp(N_V,\Zint)$ sur la vari{\'e}t{\'e}
$\mathcal{M}_V$ selon
\begin{equation}
\label{prepo}
K=a_{D,i} \overline{a^i} - \overline{a_{D,i}} a^i
\sp
\tau_{ij}=\frac{\theta_{ij}}{2\pi} + i\frac{4\pi}{g^2_{ij}}
=\frac{\partial a_{D;i}}{\partial a^j}
\end{equation}
Cette description incorpore pr{\'e}cis{\'e}ment les transformations
de dualit{\'e} {\'e}lectrique-ma\-gn{\'e}tique correspondant aux
rotations symplectiques $Sp(N_V,\Zint)$ sur le vecteur 
{\`a} $2N_V$ composantes $(F_i,*F^i)$, g{\'e}n{\'e}ralisant
les transformations de dualit{\'e} $Sl(2,\Zint)=Sp(1,\Zint)$ 
au cas $N_V\ge 1$. Sous cette rotation, la section
holomorphe se transforme comme un vecteur, laissant le
potentiel de K{\"a}hler invariant. La matrice des couplages
de jauge $\tau_{ij}$ se transforme {\'e}galement en accord
avec la dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique. Lorsqu'elles sont
ind{\'e}pendantes, on peut 
choisir les quantit{\'e}s $a^i$ elles-m{\^e}mes comme coordonn{\'e}es
$z$ sur la vari{\'e}t{\'e} de g{\'e}om{\'e}trie sp{\'e}ciale\footnote{
On se prive ainsi de cas fort int{\'e}ressants
o{\`u} la supersym{\'e}trie globale $N=2$ se trouve spontan{\'e}ment 
\index{supersym{\'e}trie!brisure partielle de la}
bris{\'e}e en $N=1$ \cite{antoniadis:1996.1}.}. 
Les fonctions $a_{D;i}$ peuvent alors {\^e}tre
obtenues en termes d'une fonction holomorphe $\mathcal{F}(a_i)$  
dite {\it pr{\'e}potentiel}
\index{pr{\'e}potentiel}, selon 
$a_{D;i}=\partial\mathcal{F}/\partial a^i$. Ce choix
obscurcit cependant le r{\^o}le des transformations de dualit{\'e}.

La vari{\'e}t{\'e} hyperk{\"a}hlerienne d{\'e}finissant les interactions
des hypermultiplets est elle aussi tr{\`e}s contrainte. Elle ne
poss{\`e}de malheureusement pas une caract{\'e}risation aussi
explicite que la vari{\'e}t{\'e} de g{\'e}om{\'e}trie sp{\'e}ciale,
la raison profonde en {\'e}tant l'absence de description 
en termes de superchamps hors de la couche de masse des
hypermultiplets
\index{hypermultiplet}
\footnote{Il existe bien une description en termes de {\it 
super-espace harmonique}
\index{harmonique, super-espace}, mais elle introduit une infinit{\'e} de
champs auxiliaires qui ne peuvent en g{\'e}n{\'e}ral {\^e}tre
{\'e}limin{\'e}s \cite{Galperin:1984av}. 
Il existe {\'e}galement une classe de vari{\'e}t{\'e}s
hyperk{\"a}hleriennes dites {\it sp{\'e}ciales}
\cite{Cecotti:1989qn}, correspondant
aux fibr{\'e}s cotangents des vari{\'e}t{\'e}s de g{\'e}om{\'e}trie
sp{\'e}ciale, qui joue un r{\^o}le particulier en th{\'e}orie
des cordes, mais leur {\'e}tude n'a pas {\'e}t{\'e} d{\'e}velopp{\'e}e
\index{hyperk{\"a}hlerienne sp{\'e}ciale, vari{\'e}t{\'e}}
\index{vari{\'e}t{\'e}!hyperk{\"a}hlerienne sp{\'e}ciale}
{\`a} sa pleine mesure.}. 
Par d{\'e}finition, ces vari{\'e}t{\'e}s admettent trois
structures complexes covariantement constantes r{\'e}alisant
l'alg{\`e}bre des unit{\'e}s des quaternions
\index{quaternions}
\footnote{On trouvera en appendice \ref{hk} une description plus compl{\`e}te
des vari{\'e}t{\'e}s hyperk{\"a}hleriennes.}. Le choix d'une structure
complexe particuli{\`e}re {\'e}quivaut au choix d'une sous-alg{\`e}bre
$N=1$ dans l'alg{\`e}bre de supersym{\'e}trie $N=2$. La forme
de K{\"a}hler covariantement constante 
associ{\'e}e en fait une vari{\'e}t{\'e} symplectique
\index{vari{\'e}t{\'e}!symplectique}
holomorphe dont le groupe d'holonomie est au plus
\index{holonomie!de la m{\'e}trique}
compris dans $Sp(N_H)\subset SO(4,N)$. En particulier, 
la courbure de Ricci est nulle, et ces vari{\'e}t{\'e}s
(en dimension 4) d{\'e}finissent ainsi des instantons
\index{instanton!gravitationnel}
gravitationnels. Elles interviennent {\'e}galement comme espace
des modules des monop{\^o}les et instantons, et les
constructions de ADHM \cite{atiyah:1978} et de 
Kronheimer-Nakajima \cite{kronheimer:1989,nakajima:1994} en donnent des
r{\'e}alisations explicites, loin cependant d'en {\'e}puiser
\index{espace des modules!des instantons}
\index{espace des modules!des monop{\^o}les magn{\'e}tiques}
\index{monop{\^o}le magn{\'e}tique!espace des modules}
la vari{\'e}t{\'e}. L'{\'e}tude de leur r{\'e}alisation 
comme espace des modules de th{\'e}ories de jauge
$N=2$ renormalisables fait l'objet de la publication
en appendice \ref{hk}.

Cette caract{\'e}risation des actions {\`a} l'ordre de deux
d{\'e}riv{\'e}es vaut aussi bien pour l'action microscopique
d{\'e}finissant la th{\'e}orie que pour l'action effective
en donnant la limite {\`a} grande distance. Dans le premier
cas, on se restreint {\`a} une
action microscopique renormalisable, ce qui implique que
les vari{\'e}t{\'e}s des multiplets vectoriels et des
hypermultiplets sont triviales.
Les transformations de jauge agissent alors par
des repr{\'e}sentations {\it lin{\'e}aires} sur les
divers multiplets. En particulier, 
les multiplets vectoriels 
se transforment dans la repr{\'e}sentation adjointe,
tandis que les deux scalaires complexes des hypermultiplets 
se transforment dans deux repr{\'e}sentations conjugu{\'e}es,
soit au total une repr{\'e}sentation {\it r{\'e}elle}.
Cette absence de chiralit{\'e} est en fait la principale
\index{chiralit{\'e}}
limitation des th{\'e}ories de jauge de supersym{\'e}trie
$N\ge 2$. Le second cas est bien plus int{\'e}ressant,
puisqu'il d{\'e}crit la dynamique {\`a} basse {\'e}nergie, une fois
que l'effet des modes massifs a {\'e}t{\'e} int{\'e}gr{\'e}.

\subsection{Phase de Coulomb, phase de Higgs, et associ{\'e}es}
\index{phase!de Coulomb}
\index{phase!de Higgs}
\index{Higgs!phase de}
Le comportement {\`a} grande distance des th{\'e}ories de champs
montre en g{\'e}n{\'e}ral une vari{\'e}t{\'e} de phases distingu{\'e}es
par des param{\`e}tres d'ordre correspondant aux valeurs 
moyennes de certains op{\'e}rateurs. Dans le cas des th{\'e}ories
de jauge $N=2$ asymptotiquement libre, ces param{\`e}tres
d'ordre correspondent aux valeurs moyennes des champs
scalaires des multiplets vectoriels et des hypermultiplets,
autoris{\'e}es par les directions plates du potentiel
\index{directions plates!des th{\'e}ories de SYM}
scalaire
\footnote{Des valeurs moyennes correspondant {\`a} des
minima locaux du potentiel effectif 
correspondraient {\`a} des vides non supersym{\'e}triques.},
et ces phases correspondent {\`a} des branches distinctes
de l'espace des modules.
Les valeurs
moyennes des scalaires des multiplets vectoriels brisent
g{\'e}n{\'e}riquement la sym{\'e}trie de jauge en un
sous-groupe ab{\'e}lien de m{\^e}me rang (le tore de Cartan)
et correspondent {\`a} la {\it phase de Coulomb}. 
Les valeurs moyennes des hypermultiplets dans la
repr{\'e}sentation fondamentale peuvent en revanche
briser le groupe de jauge compl{\`e}tement, r{\'e}sultant
en la phase dite {\it de Higgs}. Dans le cas d'une th{\'e}orie
de jauge $SU(2)$ avec $N_f$ doublets d'hypermultiplets,
ces deux phases sont exclusives l'une de l'autre, et se
connectent classiquement en un point o{\`u} tous les scalaires
s'annulent et la sym{\'e}trie de jauge est restaur{\'e}e. 
Dans des cas plus g{\'e}n{\'e}raux, on peut avoir des branches
mixtes o{\`u} hypers et vecteurs condensent, et des restaurations
de sym{\'e}tries partielles sur des sous-vari{\'e}t{\'e}s de l'espace
des modules
\index{sym{\'e}trie de jauge!restauration}. 

Cette structure de l'espace des modules est bas{\'e}e sur l'analyse
des directions plates du potentiel scalaire microscopique,
et peut fort bien {\^e}tre modifi{\'e}e par les corrections quantiques.
L'absence de superpotentiel sur la vari{\'e}t{\'e} de g{\'e}om{\'e}trie
\index{superpotentiel}
sp{\'e}ciale garantit que les directions plates de la phase
de Coulomb ne seront pas lev{\'e}es, mais leur g{\'e}om{\'e}trie
a toutes les raisons d'{\^e}tre modifi{\'e}e, comme le montre
le calcul explicite de Seiberg et Witten
\cite{seiberg/witten:1994.1,seiberg/witten:1994.2}. Nous en donnons
ici une pr{\'e}sentation sommaire, renvoyant aux cours et articles de revue
\cite{Lerche:1996xu,Alvarez-Gaume:1997mv} pour plus de d{\'e}tails.

\subsection{G{\'e}om{\'e}trie de la phase de Coulomb}
\index{Seiberg-Witten!solution de}
La phase de Coulomb appara{\^\i}t dans le cas le plus simple
d'une th{\'e}orie de jauge $SU(2)$ sans hypermultiplets.
Le potentiel montre des directions plates correspondant
{\`a} la valeur moyenne complexe $a$ du triplet de Higgs
\index{Higgs!scalaire de}
$\phi=a\sigma_3$, brisant la sym{\'e}trie de
jauge en un sous-groupe ab{\'e}lien $U(1)$. L'espace des modules classique
correspond donc au plan complexe $\CC$ quotient{\'e} par la sym{\'e}trie
$\Zint_2: a \rightarrow -a$ correspondant {\`a} une transformation
de jauge r{\'e}siduelle, et param{\'e}tr{\'e} de mani{\`e}re univoque
par $u=a^2/2$. La singularit{\'e} conique {\`a} l'origine
correspond {\`a} la restauration classique de la sym{\'e}trie de 
jauge lorsque $a=0$
\index{sym{\'e}trie de jauge!restauration}. 
D'une mani{\`e}re g{\'e}n{\'e}rale, on attend
que {\it chaque singularit{\'e} corresponde {\`a} la divergence
\index{divergence infrarouge}
infrarouge associ{\'e}e {\`a} l'apparition d'un {\'e}tat de masse nulle.}
Cette image de l'espace des modules est certainement correcte
pour $|u|$ grand, car $u$ a la dimension d'une {\'e}nergie carr{\'e}e,
mesur{\'e}e par rapport {\`a} l'{\'e}chelle d'{\'e}nergie 
dynamiquement g{\'e}n{\'e}r{\'e}e
\begin{equation} 
\label{lambda}
\left(\frac{\Lambda}{\mu}\right)^{\beta_0} =
  e^{-\frac{8\pi^2}{g^2(\mu)}}\ ,
\end{equation}
o{\`u} $\beta_0=4$ est le coefficient de la fonction beta {\`a} une boucle~;
\index{beta, fonction!en th{\'e}ories de jauge}
ce r{\'e}gime correspond aux petites distances pour lesquelles
la th{\'e}orie est asymptotiquement libre. La section symplectique
\index{libert{\'e} asymptotique}
$(a_D,a)$ y est donn{\'e}e par un calcul perturbatif, {\`a}
une boucle en raison d'un th{\'e}or{\`e}me de non renormalisation
\index{non renormalisation!de la phase de Coulomb pour SYM $N=2$}
perturbative~:
\begin{equation}
a_D(u) \sim \frac{i}{\pi} \sqrt{2u}\log(u)\ ,\quad a(u) \sim \sqrt{2u}
\end{equation}
et pr{\'e}sente une monodromie non triviale sous
les rotations $u \rightarrow e^{2i\pi} u$:
\index{monodromie}
\begin{equation}
\label{monoinf}
\begin{pmatrix} a_D \\ a \end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_D \\ a \end{pmatrix}
\end{equation}
Par compacit{\'e} de l'espace des modules, cette monodromie
doit {\^e}tre {\'e}gale au produit des monodromies autour
des singularit{\'e}s apparaissant {\`a} $|u|$ fini, soit en 
r{\'e}gion de fort couplage. La monodromie associ{\'e}e 
{\`a} l'apparition de $d$ particules de charges $(e,m)$
et de masse nulle peut {\^e}tre calcul{\'e}e dans une description
duale o{\`u} sa charge est purement {\'e}lectrique, et s'{\'e}crit
\begin{equation}
\label{monosing}
\begin{pmatrix} 1-2 d~ em & 2d~ e^2\\ -2d~m^2 & 1+2d~em \end{pmatrix}
\in Sl(2,\Zint)\ .
\end{equation}
Le probl{\`e}me de la factorisation de la monodromie {\`a} l'infini
(\ref{monoinf}) en un produit de monodromies (\ref{monosing})
pour des valeurs $(e_i,m_i)$ des charges {\'e}lectriques est bien
d{\'e}fini, et admet une unique solution sous la forme de {\it deux}
singularit{\'e}s de charges $(0,1)$ et $(1,1)$ correspondant
respectivement {\`a} un {\it monop{\^o}le magn{\'e}tique} 
\index{monop{\^o}le magn{\'e}tique!solution de Seiberg-Witten}
et un {\it dyon} devenant de masse nulle en ces deux points.
\index{singularit{\'e}!de l'espace des modules}
\index{espace des modules!singularit{\'e}}
La singularit{\'e} classique de l'espace des modules est
ainsi r{\'e}solue en deux points distincts, $u=\pm \Lambda ^2$,
o{\`u} la th{\'e}orie admet une description duale faiblement
coupl{\'e}e. 
L'espace des modules quantique $\mathcal{M}_Q$
correspond donc {\`a} la sph{\`e}re de Riemann 
priv{\'e}e de ces deux points
et du point {\`a} l'infini, et  
il ne reste plus qu'{\`a} trouver une section holomorphe
$(a,a_D)$ sur $\mathcal{M}_Q$ poss{\'e}dant les monodromies
requises au voisinage des trois singularit{\'e}s.
\fig{3cm}{riemann.eps}{Base symplectique $(A_i,B_i)$ des cycles
d'une surface de Riemann de genre $n$.}{riemann}

Ce probl{\`e}me peut {\^e}tre rattach{\'e} {\`a} l'{\'e}tude des
surfaces de Riemann en remarquant que le couplage de jauge
\index{surface de Riemann!solution de Seiberg-Witten}
$\tau$ peut {\^e}tre vu comme le param{\`e}tre modulaire
d'un tore auxiliaire associ{\'e} {\`a} chaque point de 
l'espace des modules. Plus g{\'e}n{\'e}ralement, pour un
groupe de rang $N_V$ spontan{\'e}ment bris{\'e} en $U(1)^{N_V}$,
les composantes $(a^i,_{D;i})$ peuvent {\^e}tre interpr{\'e}t{\'e}es
comme les p{\'e}riodes $(\oint_{A_i}\lambda_{\rm SW},\oint_{B_i}
\lambda_{\rm SW})$ 
d'une certaine forme m{\'e}romorphe $\lambda_{\rm SW}$
sur les cycles $A_i,B_i$ d'une surface de Riemann de genre $N_V$ et
de matrice de p{\'e}riodes $\tau_{ij}$
(figure \ref{riemann})
\footnote{La matrice des p{\'e}riodes $\tau_{ij}$ d{\'e}termine la \
structure complexe de la surface de Riemann, et correspond aux
p{\'e}riodes $\oint_{A_i} \omega_j$ de la 1-forme holomorphe
duale au cycle $B_j$, voir par example \cite{D'Hoker:1988ta}.}
. Les monodromies symplectiques
$Sp(N_V,\Zint)$ sur les p{\'e}riodes correspondent alors simplement
aux monodromies affectant la base symplectique des cycles 
d'homologie $A_i,B_i$
\index{surface de Riemann!homologie des}
lorsque les modules de la surface de Riemann sont vari{\'e}s. 
Les p{\'e}riodes peuvent alors {\^e}tre d{\'e}termin{\'e}es en r{\'e}solvant
les {\'e}quations de Picard-Fuchs avec les conditions asymptotiques
appropri{\'e}es. On peut ainsi obtenir
une solution en termes de fonctions hyperg{\'e}om{\'e}triques
pour la section $(a_D,a)(u)$, et remonter ainsi au pr{\'e}potentiel
{\it exact} $\mathcal{F}(a)$. Le d{\'e}veloppement {\`a} faible couplage
\begin{equation}
\label{finst}
\mathcal{F}(a)=\frac{i}{\pi}a^2\ln(a/\Lambda)+ a^2
\sum_{n=1}^{\infty} c_n\left(\frac{\Lambda}{a}\right)^{4n}\ .
\end{equation}
montre alors une {\it s{\'e}rie d'effets non perturbatifs}
d'ordre 
\begin{equation}
\Lambda^{4n} = \mu^{4n} e^{-\frac{8\pi^2 n}{g^2(\mu)}}
\end{equation}
que l'on peut identifier aux contributions {\`a} $n$
instantons. Un calcul explicite permet du reste de v{\'e}rifier
\index{serie d'instantons@s{\'e}rie d'instantons!pr{\'e}potentiel de SYM $N=2$}
les premiers termes de cette s{\'e}rie. La m{\^e}me m{\'e}thode permet d'obtenir
l'action effective de basse {\'e}nergie pour des th{\'e}ories
de jauge $N=2$ asymptotiquement libres de groupe de jauge quelconque,
en pr{\'e}sence d'hypermultiplets charg{\'e}s.
Nous reviendrons sur l'{\'e}tude de s{\'e}ries d'instantons
analogues {\`a} l'{\'e}quation (\ref{finst}), mais cette
fois dans le contexte de la th{\'e}orie des supercordes au
chapitre 4. 

La solution de Seiberg et Witten constitue un tour de force
unanimement salu{\'e}, et donne le premier exemple 
non-trivial de calcul exact {\`a} toute valeur du couplage.
De nombreux enseignements ont pu en {\^e}tre tir{\'e}s
pour la compr{\'e}hension des ph{\'e}nom{\`e}nes de confinement,
brisure de sym{\'e}trie chirale et condensation de monop{\^o}les.
Dans sa version <<twist{\'e}e>>, elle a {\'e}galement permis
une avanc{\'e}e majeure dans la classification des
\index{vari{\'e}t{\'e}!diff{\'e}rentielles de dimension 4}
\index{Seiberg-Witten!invariants de}
vari{\'e}t{\'e}s diff{\'e}rentielles de dimension 4, gr{\^a}ce au
calcul des invariants topologiques de Seiberg et Witten.

\subsection{G{\'e}om{\'e}trie de la phase de Higgs}
\index{phase!de Higgs}
\index{Higgs!phase de}
Contrairement {\`a} la branche de Coulomb, la g{\'e}om{\'e}trie de la
branche de Higgs est prot{\'e}g{\'e}e de toute correction quantique.
Le couplage de jauge $g$, ou de mani{\`e}re {\'e}quivalente 
l'{\'e}chelle $\Lambda$, peut en effet {\^e}tre assimil{\'e} {\`a} la
valeur moyenne dans le vide du champ scalaire d'un multiplet
vectoriel gel{\'e} 
\footnote{tout comme la masse des hypermultiplets peut s'interpr{\'e}ter
comme la valeur moyenne d'un multiplet vectoriel gel{\'e} correspondant
au jaugement de la sym{\'e}trie de saveur.}. 
Le d{\'e}couplage des multiplets vectoriels
et des hypermultiplets garantit alors l'ind{\'e}pendance de la
m{\'e}trique sur l'espace des modules des hypermultiplets en
la constante de couplage.  
\index{decouplage@d{\'e}couplage!des hypers et vecteurs}
\index{non renormalisation!de la phase de Higgs dans SYM $N=2$}
Ceci n'est cependant plus le cas en th{\'e}orie des supercordes de
type II supersym{\'e}triques $N=2$, o{\`u} la constante de couplage 
des cordes est un hypermultiplet dont peut donc d{\'e}pendre la
m{\'e}trique de l'espace des hypermultiplets
\footnote{L'espace des modules des hypermultiplets en th{\'e}orie
des cordes est une vari{\'e}t{\'e} quaternionique et non plus 
\index{vari{\'e}t{\'e}!quaternionique}
hyperk{\"a}hlerienne. Il est cependant possible de d{\'e}finir
une limite <<plate>> dans laquelle les effets gravitationnels
disparaissent, et les corrections de th{\'e}ories des cordes
subsistent.}. Cette remarque est {\`a} l'origine de notre int{\'e}r{\^e}t
pour ce sujet, bien qu'elle n'est pas {\'e}t{\'e} approfondie 
dans le cadre de ce travail de th{\`e}se. 
L'absence de corrections quantiques, pour d{\'e}cevante qu'elle soit,
ne diminue pour autant pas l'int{\'e}r{\^e}t de l'{\'e}tude de la phase
de Higgs dans les th{\'e}ories de jauge $N=2$. 
Elle permet en effet de donner des v{\'e}rifications non triviales
des conjectures de dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique, comme
nous l'avons montr{\'e} en collaboration avec Ignatios Antoniadis
dans la publication en appendice \ref{hk}.
Nous en donnons maintenant une pr{\'e}sentation sommaire.

Comme dans le cas de la branche de Coulomb classique, la structure 
de la branche de Higgs s'obtient en d{\'e}terminant les directions
plates du potentiel scalaire, mais pour une valeur moyenne nulle des
scalaires des multiplets vectoriels, et en identifiant les
solutions reli{\'e}es par la sym{\'e}trie de jauge r{\'e}siduelle. 
Le potentiel scalaire est 
g{\'e}n{\'e}r{\'e} par le jaugement des isom{\'e}tries de la vari{\'e}t{\'e}
hyperk{\"a}hlerienne~; dans le langage de la supersym{\'e}trie
$N=1$, il est la somme des {\it F-termes} des multiplets chiraux,
{\'e}gaux aux d{\'e}riv{\'e}es du superpotentiel, et des 
\index{superpotentiel}\index{D-terme}
{\it D-termes} des multiplets vectoriels~:
\begin{equation}
\label{scalpot}
V= \sum_{I} \left| \frac{\partial W}{\partial Q_{I}} \right|^2
   + \sum_i D^2_i
\end{equation}
o{\`u} la premi{\`e}re somme est effectu{\'e}e sur tous les champs chiraux
et la seconde sur les g{\'e}n{\'e}rateurs $i$ du groupe de jauge.
Dans le cas d'une th{\'e}orie $N=2$ minimalement coupl{\'e}e, le
superpotentiel et les D-termes s'{\'e}crivent 
en fonction des scalaires complexes $z$ 
et $(Q,\tilde Q)$ des multiplets vectoriels et hypermultiplets
respectivement selon
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{superpot}
W &= z^i Q T_i \tilde Q \\
D_i = Q T_i Q^{\dagger} - \tilde Q T_i \tilde Q^{\dagger} + z T_i
z^{\dagger}\ ,
\end{align}
\end{subequations}
o{\`u} $T_i$ est la matrice hermitienne associ{\'e}e au g{\'e}n{\'e}rateur $i$.
Les vides supersym{\'e}triques sont donc obtenus pour des valeurs
des champs scalaires extr{\'e}misant le superpotentiel et annulant
le D-terme. En particulier, pour $z^i=0$, on est ramen{\'e} {\`a}
$N_V$ {\'e}quations alg{\'e}briques complexes et $N_V$ {\'e}quations
r{\'e}elles :
\begin{subequations}
\begin{eqnarray}
\label{moment}
Q T_i \tilde Q &=&0 \\
Q T_i Q^{\dagger} - \tilde Q T_i \tilde Q^{\dagger} &=& 0
\end{eqnarray}
\end{subequations}
Ces trois {\'e}quations r{\'e}elles se transforment comme un triplet sous la 
sym{\'e}trie $SU(2)_R$ agissant sur les structures complexes de la
vari{\'e}t{\'e} hyperk{\"a}hlerienne, et correspondent {\`a} 
l'annulation des trois {\it applications moment} correspondant
{\`a} l'action du groupe d'isom{\'e}trie sur la vari{\'e}t{\'e}.
Apr{\`e}s avoir quotient{\'e} l'espace des solutions de ces {\'e}quations
par l'action du groupe de jauge, on obtient une vari{\'e}t{\'e}
de dimension $4N_H - 3N_V - N_V$ dont on peut montrer qu'elle
est encore hyperk{\"a}hlerienne. Cette construction est connue
\index{vari{\'e}t{\'e}!hyperk{\"a}hlerienne}
\index{hyperk{\"a}hlerien, quotient}
sous le nom de {\it quotient hyperk{\"a}hl{\'e}rien} et g{\'e}n{\'e}ralise
les notions de quotients symplectique et k{\"a}hl{\'e}rien bien connues
en math{\'e}matiques. La vari{\'e}t{\'e} quotient d{\'e}crit alors les interactions
des hypermultiplets subsistant {\`a} basse {\'e}nergie apr{\`e}s 
le m{\'e}canisme de Higgs. Elle devient singuli{\`e}re lorsque 
\index{Higgs!m{\'e}canisme de}
l'action du groupe de jauge sur l'espace des solutions aux 
{\'e}quations (\ref{moment}) n'est plus libre, c'est-{\`a}-dire
lorsque la sym{\'e}trie non ab{\'e}lienne n'est pas totalement
bris{\'e}e, en accord avec l'id{\'e}e que les singularit{\'e}s de
l'action effective de basse {\'e}nergie co{\"\i}ncident avec
les points o{\`u} des particules de masse nulle apparaissent.
Notons finalement que cette construction peut {\^e}tre d{\'e}form{\'e}e
en introduisant des {\it termes de Fayet-Iliopoulos} dans l'action
\index{Fayet-Iliopoulos, terme de}
microscopique, dont l'effet est de remplacer le second membre
des {\'e}quations (\ref{moment}) par une constante non nulle pour
les g{\'e}n{\'e}rateurs ab{\'e}liens du groupe de jauge. La 
d{\'e}formation r{\'e}sultante de l'espace des solutions 
en g{\'e}n{\'e}ral restaure une action libre du groupe de jauge, 
et r{\'e}sout ainsi les singularit{\'e}s de l'espace quotient.
\index{singularit{\'e}!r{\'e}solution quantique}

Dans le travail annex{\'e} en appendice \ref{hk}, nous avons {\'e}tudi{\'e}
ces espaces quotients dans une vari{\'e}t{\'e} de situations, que
nous avons compar{\'e}s {\`a} la lumi{\`e}re des dualit{\'e}s 
{\'e}lectrique-magn{\'e}tique. Les branches de Higgs correspondant
{\`a} la th{\'e}orie microscopique $SU(2)$ avec $N_f$ saveurs
{\`a} faible couplage se sont
ainsi r{\'e}v{\'e}l{\'e}es co{\"\i}ncider avec les branches
de Higgs {\'e}manant des diff{\'e}rentes singularit{\'e}s {\`a}
fort couplage d{\'e}crites par des th{\'e}ories ab{\'e}liennes
en pr{\'e}sence d'hypermultiplets charg{\'e}s de masse nulle.
Nous avons {\'e}galement d{\'e}couvert l'{\'e}galit{\'e} de la branche
de Higgs d'une th{\'e}orie $U(N_c)$ avec $N_f$ saveurs
d'hypermultiplets dans la repr{\'e}sentation fondamentale,
avec la branche de Higgs d'une th{\'e}orie de groupe de
jauge $U(N_f-N_c)$ et autant de saveurs. Cette identification
rappelle la dualit{\'e} conjectur{\'e}e par Seiberg dans le 
\index{Seiberg, dualit{\'e} dans SYM $N=1$}
\index{dualit{\'e}!de Seiberg dans SYM $N=1$}
contexte des th{\'e}ories de jauge de supersym{\'e}trie $N=1$
entre ces m{\^e}mes th{\'e}ories, mais s'en distingue par la pr{\'e}sence
du multiplet chiral adjoint caract{\'e}ristique de la supersym{\'e}trie $N=2$.
Elle a par la suite
trouv{\'e} une justification dans le cadre de la th{\'e}orie
des D-branes. 

\section{Sym{\'e}tries cach{\'e}es des th{\'e}ories de supergravit{\'e}}
La r{\'e}solution par Seiberg et Witten des th{\'e}ories de jauge
de supersym{\'e}trie $N=2$ a consid{\'e}rablement modifi{\'e} notre
compr{\'e}hension des th{\'e}ories des champs supersym{\'e}triques,
en montrant comment l'information dans diff{\'e}rentes
limites perturbatives de l'espace des modules pouvait {\^e}tre 
combin{\'e}e avec les imp{\'e}ratifs de la supersym{\'e}trie 
gr{\^a}ce aux transformations de dualit{\'e} pour 
restituer la structure exacte globale de la th{\'e}orie de
basse {\'e}nergie. L'impact qu'elle a eu en th{\'e}orie des
supercordes ne s'expliquerait cependant pas sans le faisceau
d'indications issu des th{\'e}ories de supergravit{\'e},
qui repr{\'e}sentent les th{\'e}ories de supercordes dans la
limite de basse {\'e}nergie. Ces th{\'e}ories r{\'e}v{\`e}lent, tout au
moins au niveau de leur action classique, l'existence de
sym{\'e}tries {\it cach{\'e}es} de dualit{\'e} reliant des r{\'e}gions de l'espace
\index{sym{\'e}tries cach{\'e}es}
des modules faiblement coupl{\'e}es {\`a} des r{\'e}gions de
fort couplage, bien que le terme de dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique
ne soit plus ad{\'e}quat dans ce cas. Ces th{\'e}ories n'existent
au niveau quantique que par la th{\'e}orie des supercordes qui
les r{\'e}gularise et les prolonge {\`a} toute {\'e}nergie. 
Leurs sym{\'e}tries cach{\'e}es ne seront donc que le 
premier indice de la dualit{\'e} des th{\'e}ories
des supercordes que nous aborderons au chapitre suivant.
%Ces sym{\'e}tries seront essentielles
%aux d{\'e}veloppements expos{\'e}s dans les chapitres 3 et 4, aussi les
%d{\'e}crirons nous d{\`e}s maintenant, avant m{\^e}me d'avoir introduit
%les th{\'e}ories de supercordes dont elles sont issues.

\subsection{Supersym{\'e}trie locale, gravitation et unification}
L'inclination naturelle du physicien contemporain le porte {\`a}
jauger toute nouvelle sym{\'e}trie interne qui lui {\'e}choit.
La supersym{\'e}trie globale ne fait pas exception, mais son jaugement
\index{supersym{\'e}trie!jaugement de la}
est loin d'{\^e}tre anodin : le commutateur de deux transformations
de supersym{\'e}trie g{\'e}n{\'e}rant une translation, toute th{\'e}orie
invariante sous les transformations locales de supersym{\'e}trie 
sera en particulier invariante sous le groupe des diff{\'e}omorphismes,
et incluera donc le graviton de spin 2, avec son partenaire
supersym{\'e}trique, le gravitino de spin 3/2. 
Cette complication cache en r{\'e}alit{\'e} une aubaine, puisqu'elle laisse 
esp{\'e}rer un meilleur comportement ultraviolet dans une th{\'e}orie
de la gravitation r{\'e}put{\'e}e non renormalisable. Qui plus est,
en pr{\'e}sence de supersym{\'e}trie {\'e}tendue $N\ge 2$, 
on unifie gravitation et interactions de jauge en un multiplet 
supersym{\'e}trique gravitationnel contenant simultan{\'e}ment le
graviton, les $N$ gravitini, et $N(N-1)/2$ particules de spin 1
dits {\it graviphotons}. L'absence de particules non massives de spin 
sup{\'e}rieur {\`a} 2 impose une borne sup{\'e}rieure $N\le 8$ sur le
nombre de supersym{\'e}tries autoris{\'e}es. L'unification maximale
est r{\'e}alis{\'e}e dans la {\it th{\'e}orie de supergravit{\'e}
maximalement supersym{\'e}trique},  qui n'autorise que
\index{supersym{\'e}trie!repr{\'e}sentations de la}
\index{supersym{\'e}trie!maximale}
\index{supergravit{\'e}}
le seul multiplet gravitationnel contenant tous les spins de 0 {\`a} 2.
Elle n'{\'e}chappe malheureusement pas {\`a} l'absence de chiralit{\'e}
caract{\'e}ristique des th{\'e}ories {\`a} supersym{\'e}trie {\'e}tendue.

D'abord d{\'e}velopp{\'e}es comme th{\'e}ories de champs {\`a} quatre dimensions,
les th{\'e}ories de supergravit{\'e} ont connu un regain d'int{\'e}r{\^e}t 
en relation avec le d{\'e}veloppement des th{\'e}ories des supercordes,
qu'elles d{\'e}crivent {\`a} basse {\'e}nergie. Les th{\'e}ories de supergravit{\'e}
en dimension dix ont ainsi pu {\^e}tre classifi{\'e}es, en parall{\`e}le avec 
la classification des supercordes critiques en dimension dix. La
supergravit{\'e} $N=1$ {\`a} onze dimensions est rest{\'e}e {\`a} l'{\'e}cart
de ce sch{\'e}ma avant d'{\^e}tre incorpor{\'e}e dans les d{\'e}veloppements
les plus r{\'e}cents.

\subsection{Supergravit{\'e} de type I {\`a} dix dimensions}
\index{supergravit{\'e}!de type I}
Les charges $Q_\alpha$ de la supersym{\'e}trie $N=1$ 
{\`a} 9+1 dimensions se r{\'e}partissent en un spineur de Majorana-Weyl
de 16 composantes, correspondant {\`a} $N=4$ charges supersym{\'e}triques
dans le d{\'e}compte en 3+1 dimensions. Ceci correspond {\`a} la supersym{\'e}trie
maximale, et donc la dimension maximale {\'e}galement, 
d'une th{\'e}orie de jauge {\`a} supersym{\'e}trie globale. 
Les $N_V$ {\it multiplets vectoriels}, contenant chacun un champ de
jauge et un fermion de Majorana-Weyl de chiralit{\'e} droite,
peuvent {\^e}tre coupl{\'e}s au {\it multiplet gravitationnel} 
$N=1$, contenant le graviton, 
le gravitino de chiralit{\'e} gauche, 
un {\it tenseur antisym{\'e}trique
de jauge}
\index{tenseur antisym{\'e}trique}
\footnote{On entend par tenseur antisym{\'e}trique de jauge, une
forme diff{\'e}rentielle $C$ de rang $n$ 
dont la dynamique pr{\'e}sente l'invariance
de jauge $C\rightarrow C+d\Lambda$, o{\`u} $\Lambda$ est toute forme
diff{\'e}rentielle de rang $n-1$. En d'autres termes, $C$ est
un {\'e}l{\'e}ment du groupe de cohomologie $H_n$ de l'espace-temps.
}
$B_{\mu\nu}$, un spineur droit et un scalaire $\phi$ dit
{\it dilaton}, pour donner la th{\'e}orie de supergravit{\'e} dite
de type I. Cet ensemble de champs correspond pr{\'e}cis{\'e}ment
aux modes de masse nulle {\it des th{\'e}ories de supercordes de type I
et h{\'e}t{\'e}rotiques}, dont la valeur moyenne du dilaton repr{\'e}sente
\index{supercordes, th{\'e}orie des!de type I}
\index{supercordes, th{\'e}orie des!h{\'e}t{\'e}rotiques}
la constante de couplage. La chiralit{\'e} de ce contenu en champs
entra{\^\i}ne l'existence d'{\it anomalies gravitationnelles
et de jauge}, par exemple visibles dans les diagrammes en 
hexagone, 
\index{anomalie!gravitationnelle}
qui ne peuvent {\^e}tre compens{\'e}es que pour les groupes
de jauge $SO(32)$ et $E_8\times E_8$.
La th{\'e}orie des cordes de type I fournit
une r{\'e}alisation de la premi{\`e}re possibilit{\'e}, o{\`u} la sym{\'e}trie
de jauge est r{\'e}alis{\'e}e gr{\^a}ce aux charges de Chan-Paton
\index{Chan-Paton, facteur de}
port{\'e}es par les extr{\'e}mit{\'e}s de la corde ouverte
\footnote{La restriction au groupe de jauge $SO(32)$ peut {\'e}galement
{\^e}tre comprise comme la condition de compensation des diagrammes
de tadpole.}.
La d{\'e}couverte du m{\'e}canisme de compensation d'anomalies
en supergravit{\'e} de type I par Green et Schwarz \cite{Green:1984sg}
\index{Green et Schwarz, m{\'e}canisme de}
a relanc{\'e} la recherche d'une th{\'e}orie
des cordes de sym{\'e}trie $E_8\times E_8$ et a conduit
{\`a} la d{\'e}couverte des cordes h{\'e}t{\'e}rotiques
$E_8\times E_8$ et $SO(32)$
\cite{Gross:1985dd}. L'unicit{\'e} de
la th{\'e}orie de supergravit{\'e} $N=1$ {\`a} dix dimensions
sera un {\'e}l{\'e}ment important en faveur de la dualit{\'e}
h{\'e}t{\'e}rotique-type I dont nous dirons un mot
\index{dualit{\'e}!h{\'e}t{\'e}rotique - type I}
au chapitre suivant.

\subsection{Supergravit{\'e} de type IIB}
\index{supergravit{\'e}!de type IIB}
La d{\'e}finition d'une th{\'e}orie de supergravit{\'e} $N=2$ {\`a} dix dimensions
requiert le choix de la chiralit{\'e} relative des deux charges spinorielles
de Majorana-Weyl d{\'e}finissant l'alg{\`e}bre de supersym{\'e}trie. 
Le choix de deux spineurs de chiralit{\'e}
oppos{\'e}e conduit {\`a} une th{\'e}orie non chirale, dite de type IIA, que
nous d{\'e}taillerons au paragraphe suivant. Dans le cas de deux spineurs
de m{\^e}me chiralit{\'e}, on obtient la 
{\it supergravit{\'e} chirale $N=2$ de type IIB},
dont le multiplet gravitationnel contient, en plus du graviton
et des deux gravitini, {\it deux} tenseurs antisym{\'e}triques de
jauge $B_{\mu\nu}$ et $\mathcal{B}_{\mu\nu}$, 
deux spineurs de m{\^e}me chiralit{\'e},
un scalaire {\it complexe} $\tau$, ainsi qu'un tenseur antisym{\'e}trique
de jauge {\`a} quatre indices $\mathcal{D}_{\mu\nu\rho\sigma}$
{\`a} courbure courbure auto-duale $d\mathcal{D}=*d\mathcal{D}$~;
\index{anomalie!gravitationnelle}
les anomalies gravitationnelles sont pr{\'e}cis{\'e}ment compens{\'e}es
pour ce multiplet \cite{Alvarez-Gaume:1984ig}, qui est le seul
multiplet de spin inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} deux autoris{\'e}
par la supersym{\'e}trie maximale {\`a} 32 supercharges.
Ce contenu en champs correspond au spectre de masse nulle de la 
{\it th{\'e}orie des supercordes de type IIB}. En particulier,
la partie r{\'e}elle du scalaire complexe $\tau=\axion+i e^{-\phi}$,
la deux-forme $\mathcal{B}_{\mu\nu}$ et la quatre-forme 
$\mathcal{D}_{\mu\nu\rho\sigma}$
proviennent du {\it secteur de Ramond} de la corde de type IIB
\index{Ramond, secteur de}
\index{Neveu-Schwarz, secteur de}
\index{tenseur antisym{\'e}trique!de Ramond}
\footnote{Les notions de secteur de Ramond et de secteur de
Neveu-Schwarz seront introduites dans le chapitre 3, section
\ref{rns}. Nous noterons les champs de Ramond avec des
lettres rondes, pour les distinguer des champs de Neveu-Schwarz
en lettres droites.}, tandis
que la partie imaginaire de $\tau$ est identifi{\'e}e avec
$1/g$, l'inverse de la constante de couplage de la th{\'e}orie
des cordes. La supergravit{\'e} de type IIB se r{\'e}v{\`e}le {\^e}tre
invariante sous le groupe de sym{\'e}trie continue $Sl(2,\Real)$,
\index{S-dualit{\'e}!de la th{\'e}orie IIB}
\index{sym{\'e}tries cach{\'e}es}
agissant sur les champs bosoniques selon
\begin{equation}
\label{sl2b}
\tau \rightarrow \frac{a\tau + b}{c\tau + d} \sp
\begin{pmatrix} B\\ \mathcal{B} \end{pmatrix}
\rightarrow 
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} B \\ \mathcal{B} \end{pmatrix}
\sp 
a,b,c,d\in\Real\ ,\quad ad-bc=1\ ,
\end{equation} 
et laissant invariants la m{\'e}trique et le tenseur antisym{\'e}trique
{\`a} quatre indices\cite{Schwarz:1983qr}. 
Cette sym{\'e}trie continue classique ne saurait
cependant survivre quantiquement en raison de la quantification de Dirac
\index{Dirac, condition de quantification de}
de la charge associ{\'e}e aux champs de jauges $B$ et $\mathcal{B}$.
Il peut cependant en subsister un sous-groupe discret $Sl(2,\Zint)$,
contenant en particulier l'inversion $\tau \rightarrow -1/\tau$
reliant le r{\'e}gime de faible couplage $\tau_2 \rightarrow \infty$
au r{\'e}gime de fort couplage $\tau_2 \rightarrow 0$
\cite{Hull:1995ys}. Cette sym{\'e}trie
jouera un r{\^o}le important dans la conjecture de dualit{\'e} des
supercordes, et central dans les d{\'e}veloppements dans lesquels
j'ai {\'e}t{\'e} impliqu{\'e}.

\subsection{Supergravit{\'e} de type IIA et supergravit{\'e} {\`a}
onze dimensions} 
\index{supergravit{\'e}!de type IIA}
\index{supergravit{\'e}!{\`a} onze dimensions}
L'autre option consiste {\`a} choisir deux spineurs de chiralit{\'e}
oppos{\'e}e pour d{\'e}finir une alg{\`e}bre de supersym{\'e}trie $N=2$
dite de type IIA. Le multiplet gravitationnel consiste alors,
en sus du graviton et de deux gravitini de chiralit{\'e} oppos{\'e}e,
de tenseurs de jauge $\mathcal{A}_\mu$, $B_{\mu\nu}$, 
$\mathcal{C}_{\mu\nu\rho}$, de deux spineurs de Weyl-Majorana
et d'un scalaire {\it r{\'e}el} correspondant au dilaton.
\index{Ramond, secteur de}
\index{Neveu-Schwarz, secteur de}
Les champs de jauge $\mathcal{A}$ et $\mathcal{C}$ correspondent
au secteur de Ramond de la supercorde de type IIA. Contrairement
{\`a} la supergravit{\'e} de type IIB, la supergravit{\'e} de type IIA
ne pr{\'e}sente pas de sym{\'e}trie reliant fort et faible couplage.
En revanche, son contenu en champs est identique {\`a} celui de
la r{\'e}duction dimensionnelle 
\index{Kaluza-Klein!r{\'e}duction de}
\index{Kaluza-Klein|textit}
{\it {\`a} la Kaluza-Klein} d'une {\it th{\'e}orie de supergravit{\'e}
{\`a} onze dimensions contenant}, en plus du graviton $g_{MN}$
et d'un gravitino de Majorana $\psi^{M}$, 
\index{tenseur antisym{\'e}trique}
une trois-forme de jauge $\mathcal{C}_{MNP}$. L'action de cette 
th{\'e}orie a {\'e}t{\'e} construite par Cremmer, Julia et Scherk
\cite{Cremmer:1978km}, et s'{\'e}crit,
en ne retenant que les termes bosoniques,
\begin{equation}
\label{sugra11}
\mathcal{S}=\int 
\frac{1}{2l_{11}^{9}}
\left( d^{11}x \sqrt{-g} R - \frac{1}{2\cdot 4!} d\mathcal{C} \wedge
  *d\mathcal{C} 
\right) + \int \frac{\sqrt{2}}{2^7\cdot 3^3} \mathcal{C}\wedge d\mathcal{C} 
\wedge d\mathcal{C} \ .
\end{equation}
La normalisation relative des termes cin{\'e}tiques et du terme
de Wess-Zumino $\mathcal{C}\wedge d\mathcal{C} \wedge d\mathcal{C}$ 
\index{Wess-Zumino, terme de!dans la SUGRA 11D}
est fix{\'e}e par l'alg{\`e}bre de supersym{\'e}trie.
La r{\'e}duction dimensionelle de Kaluza-Klein consiste {\`a} compactifier
la th{\'e}orie sur un cercle de rayon $R_{11}$ et {\`a} omettre la 
d{\'e}pendance des champs sur la dimension interne
\index{compactification!sur un cercle}
(voir par exemple \cite{Salam:1981xd}). Cette proc{\'e}dure
est valable aux {\'e}nergies inf{\'e}rieures {\`a} $1/R_{11}$, pour laquelle
les {\'e}tats de moment interne $p=N/R_{11}$ peuvent {\^e}tre ignor{\'e}s.
La m{\'e}trique {\`a} onze dimensions $g_{MN}$ se r{\'e}duit ainsi
en une m{\'e}trique {\`a} dix dimensions $g_{\mu\nu}$, un rayon
$R_{11}$ fluctuant dans l'espace non compact et un champ de
jauge $\mathcal{A}_\mu$, selon l'ansatz
\index{ansatz!de Kaluza-Klein}
\index{Kaluza-Klein!ansatz de}
\begin{equation}
ds^2 = R_{11}^2 
(dy - \mathcal{A}_\mu dx^\mu)^2 + g_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu} \ .
\end{equation}
Le tenseur de jauge en onze dimensions $\mathcal{C}_{MNP}$
donne quant {\`a} lui apr{\`e}s r{\'e}duction dimensionelle
une trois-forme $\mathcal{C}_{\mu\nu\rho}$ et une
deux-forme $B_{\mu\nu}=\mathcal{C}_{\mu\nu 11}$. 
Dans le r{\'e}f{\'e}rentiel d'Einstein, c'est-{\`a}-dire apr{\`e}s 
dilatation de Weyl $g\rightarrow g (R_{11}/l_{11})^{-1/4}$
afin de d{\'e}coupler le rayon $R_{11}$
de l'action d'Einstein-Hilbert,
\index{Einstein, r{\'e}f{\'e}rentiel d'}
\index{Einstein-Hilbert, action d'}
\index{Weyl!dilatation de}
l'action de la supergravit{\'e}
{\`a} onze dimensions r{\'e}duite {\`a} dix dimensions s'{\'e}crit alors
\begin{align}
\label{sugraIIA}
\mathcal{S}=&\int  \frac{1}{2\alpha^{'4}}
\left(  d^{10}x \sqrt{-g} R + \frac{1}{2} d\phi\wedge *d\phi
-\frac{1}{4} e^{2\phi} F\wedge *F -\frac{1}{48} e^{-\phi} H \wedge
 *H\right)
\nonumber\\
&+ \int \frac{\sqrt{2}}{2^7} B\wedge d\mathcal{C}  \wedge d\mathcal{C} \ ,
\end{align}
o{\`u} on a identifi{\'e} le dilaton $\phi$ au rayon $R_{11}$ selon
$R_{11}/l_{11}=e^{2\phi/3}$.
Cette action reproduit pr{\'e}cis{\'e}ment l'action de la supergravit{\'e} de type IIA~;
les implications de cette co{\"\i}ncidence ne seront
pleinement r{\'e}alis{\'e}es
que dans le cadre de la th{\'e}orie {\it des supercordes} de type IIA, qui donne
une d{\'e}finition microscopique d'une th{\'e}orie des champs autrement
non renormalisable.

\subsection{Compactification toro{\"\i}dale et U-dualit{\'e}\label{sugracomp}}
Nous avons jusqu'{\`a} pr{\'e}sent d{\'e}crit les th{\'e}ories de
supergravit{\'e} en dimension 10, dimension critique des
th{\'e}ories de supercordes. Ces th{\'e}ories incorporent 
cependant la gravit{\'e}, et la g{\'e}om{\'e}trie
\footnote{Le terme {\it g{\'e}om{\'e}trie} inclut ici non seulement
la valeur moyenne de la m{\'e}trique $g_{\mu\nu}$, mais aussi
de tous les autres champs, scalaires, de jauge et fermioniques
inclus.} de l'espace-temps 
qu'elles choisissent est en principe une question d{\'e}termin{\'e}e
par la dynamique quantique. En raison de leur supersym{\'e}trie
\index{vide!s{\'e}lection du}
cependant, le potentiel effectif dans l'espace des g{\'e}om{\'e}tries
pr{\'e}sente des {\it directions plates}, et on est libre de
\index{directions plates!de la th{\'e}orie des cordes}
consid{\'e}rer la th{\'e}orie au voisinage d'un point quelconque
de ces g{\'e}om{\'e}tries, en particulier en un point o{\`u}
l'espace-temps se d{\'e}compose en une vari{\'e}t{\'e} plate 
non compacte correspondant {\`a} l'espace-temps ambiant,
et une vari{\'e}t{\'e} compacte de dimension $d$ et de
rayon tr{\`e}s petit
devant l'{\'e}chelle d'observation. Les fluctuations de
\index{compactification}
la g{\'e}om{\'e}trie le long des directions plates au
voisinage du vide choisi correspondent {\`a} des champs
scalaires de masse nulle dits {\it champs de modules}.
\index{modules, champs de}
La supersym{\'e}trie est en g{\'e}n{\'e}ral bris{\'e}e par la 
\index{supersym{\'e}trie!brisure par compactification}
compactification. La raison en est que les g{\'e}n{\'e}rateurs
de la supersym{\'e}trie correspondent aux configurations
covariantement constantes du spineur reli{\'e}
au gravitino par supersym{\'e}trie, lesquelles disparaissent
pour des vari{\'e}t{\'e}s de courbure quelconque, c'est-{\`a}-dire
de groupe d'holonomie $SO(d,\Real)$. Pour des
{\it vari{\'e}t{\'e}s {\`a} holonomie restreinte} cependant, il
\index{vari{\'e}t{\'e}!{\`a} holonomie restreinte}
\index{holonomie!de la m{\'e}trique}
existe des configurations de spineur invariantes
par transport parall{\`e}le, et donc une alg{\`e}bre de
supersym{\'e}trie {\'e}ventuellement {\'e}tendue. 
\index{compactification!sym{\'e}tries de jauge}
Les isom{\'e}tries de la vari{\'e}t{\'e} de compactification
apparaissent comme des {\it sym{\'e}tries de jauge} dans la
th{\'e}orie r{\'e}duite, ainsi que nous l'avons vu
dans l'exemple de compactification sur un
cercle du paragraphe pr{\'e}c{\'e}dent, et le groupe
des diff{\'e}omorphismes de la vari{\'e}t{\'e} interne 
peut {\'e}galement donner lieu {\`a} des 
{\it sym{\'e}tries globales} dans la th{\'e}orie r{\'e}duite. 
Le cas le plus simple est celui d'une vari{\'e}t{\'e} compacte
plate, c'est-{\`a}-dire d'un tore $T^{d}$, pour lequel
toutes les supersym{\'e}tries sont conserv{\'e}es
\index{compactification!toro{\"\i}{}dale}
\footnote{
En dimension paire, le groupe d'holonomie peut {\^e}tre
r{\'e}duit de $SO(d)$ {\`a} $SU(d/2)$, correspondant aux vari{\'e}t{\'e}s
k{\"a}hleriennes {\`a} courbure de Ricci nulle, dites vari{\'e}t{\'e}s
de Calabi-Yau, et il existe alors un spineur neutre sous
\index{Calabi-Yau, vari{\'e}t{\'e} de}
$SU(d/2)$ et donc covariantement constant. En dimension
multiple de 4, on peut encore r{\'e}duire le groupe d'holonomie
{\`a} $Sp(d/4)$, correspondant aux vari{\'e}t{\'e}s hyperk{\"a}hleriennes
\index{vari{\'e}t{\'e}!hyperk{\"a}hlerienne}
\index{hyperk{\"a}hlerienne, vari{\'e}t{\'e}}
que nous avons d{\'e}j{\`a} discut{\'e}es. On peut {\'e}galement
compactifier sur une sph{\`e}re $S^d$ sans briser aucune
supersym{\'e}trie, {\`a} condition de choisir un espace anti-de Sitter
\index{anti-de Sitter, espace}
pour les dimensions non compactes 
\cite{Freund:1980xh,Schwarz:1983qr,Duff:1998}}. 
Les $d$ isom{\'e}tries
de translation donnent lieu {\`a} une invariance de jauge
$U(1)^d$, {\'e}ventuellement {\'e}tendue {\`a} une sym{\'e}trie 
non ab{\'e}lienne pour certaines valeurs des modules
du tore, tandis que le groupe des diff{\'e}omorphismes 
du tore donne lieu {\`a} une sym{\'e}trie globale $Sl(d,\Real)$,
dont un sous-groupe $SO(d,\Real)$ agit trivialement.

Si l'int{\'e}r{\^e}t ph{\'e}nom{\'e}nologique de la compactification
est {\'e}vident, son int{\'e}r{\^e}t th{\'e}orique demande peut-{\^e}tre
plus de justification. On pourrait en effet argumenter que
la compactification d'une th{\'e}orie des champs ne fait que
quantifier l'impulsion des particules, entra{\^\i}nant l'existence
de tours d'{\'e}tats de Kaluza-Klein, et ne fait qu'ajouter au probl{\`e}me
\index{Kaluza-Klein!excitation de}
une complication inutile.
Cette vue oublie cependant de prendre en 
compte l'existence possible d'{\it {\'e}tats {\'e}tendus} 
dans la th{\'e}orie non compactifi{\'e}e, qui peuvent {\^e}tre stabilis{\'e}s
gr{\^a}ce {\`a} l'existence de cycles d'homologie non triviaux de
\index{cycle d'homologie!de la vari{\'e}t{\'e} de compactification}
l'espace compact. Il se peut {\'e}galement qu'une sym{\'e}trie 
<<cach{\'e}e>> dans la th{\'e}orie non compactifi{\'e}e se combine avec
les sym{\'e}tries inh{\'e}rentes {\`a} la compactification en un groupe
plus grand de sym{\'e}tries tout {\`a} fait visibles. C'est pr{\'e}cis{\'e}ment
\index{sym{\'e}tries cach{\'e}es|textit}
le cas des compactifications toro{\"\i}dales des th{\'e}ories de
supergravit{\'e} {\`a} supersym{\'e}trie maximale, ainsi que l'ont
reconnu Cremmer et Julia \cite{Cremmer:1979up}.

Ainsi, la compactification de la th{\'e}orie de type IIA sur un tore
$T^d$ montre une extension de la sym{\'e}trie $Sl(d,\Real)$ {\'e}vidente,
en un {\it groupe de sym{\'e}trie cach{\'e}} $Sl(d+1,\Real)$ m{\'e}langeant les 
modules de $T^d$ avec le dilaton et les lignes de Wilson du
\index{Wilson, ligne de}
champ de jauge {\it de Ramond} $\mathcal{A}$. Cette sym{\'e}trie
n'est autre que la manifestation de la filiation entre
la th{\'e}orie de supergravit{\'e} de type IIA et la supergravit{\'e}
{\`a} onze dimensions discut{\'e}e au paragraphe pr{\'e}c{\'e}dent.
\index{dualit{\'e}!des th{\'e}ories IIA et SUGRA 11D}
\index{Kaluza-Klein!r{\'e}duction de SUGRA 11D en IIA} 
Par ailleurs, la compactification de
la th{\'e}orie de type IIA sur un cercle de rayon $R_A$ 
(et {\it a fortiori} sur un tore $T^d$, $d>1$) 
et de couplage $e^{\phi_A}$, se r{\'e}v{\`e}le
strictement {\'e}quivalente {\`a} la compactification de la
supergravit{\'e} de type IIB 
de couplage $e^{\phi_B}=e^{\phi_A}/R_A$
sur un cercle de rayon $R_B=\alpha'/R_A$,
moyennant l'identification du scalaire de Ramond
$\axion$ de type IIB avec la ligne de Wilson $\mathcal{A}$
sur le cercle du champ de jauge $\mathcal{A}_\mu$ de 
la th{\'e}orie de type IIA.
\index{dualit{\'e}!des th{\'e}ories IIA et IIB}
Cette propri{\'e}t{\'e} n'est quant {\`a} elle que le reflet {\`a} basse {\'e}nergie
de la {\it T-dualit{\'e}} des th{\'e}ories des cordes perturbatives,
\index{T-dualit{\'e}}
que nous discuterons au chapitre suivant.
En utilisant cette {\'e}quivalence, la dualit{\'e} $Sl(2,\Zint)$ de
\index{S-dualit{\'e}!de la th{\'e}orie IIB}
la th{\'e}orie des supercordes de type IIB, apr{\`e}s  compactification
sur un cercle et T-dualit{\'e}, n'est autre que la sym{\'e}trie g{\'e}om{\'e}trique
$Sl(2,\Zint)$ de la supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions compactifi{\'e}e
sur un tore $T^2$. 

Cette structure ne fait que s'{\'e}tendre pour des compactifications
sur des tores de dimension $d\ge 2$. L'espace des modules contient
en effet un {\it sous-espace homog{\`e}ne}  $Sl(d+1,\Real)/SO(d+1)$,
\index{vari{\'e}t{\'e}!homog{\`e}ne}
correspondant aux modules de la m{\'e}trique sur le tore $T^{d+1}$
d{\'e}finissant la compactification de la supergravit{\'e} {\`a} onze
dimensions, mais aussi un sous-espace 
$SO(d,d,\Real)/\left(SO(d)\times SO(d)\right)$, d'intersection
non vide avec le pr{\'e}c{\'e}dent, d{\'e}finissant les modules
de la m{\'e}trique et du tenseur antisym{\'e}trique $B_{\mu\nu}$
du secteur de Neveu-Schwarz sur le tore $T^d$. Du point
de vue de la th{\'e}orie des cordes, ces modules
co{\"\i}ncident avec les param{\`e}tres de la th{\'e}orie conforme
de $d$ bosons compactifi{\'e}s, et sont identifi{\'e}s sous l'action du
groupe de T-dualit{\'e} $SO(d,d,\Zint)$
\index{T-dualit{\'e}!sur un tore $T^d$}
\footnote{En effectuant deux
T-dualit{\'e}s successives, on obtient en effet une
sym{\'e}trie de la supergravit{\'e} de type IIA compactifi{\'e}e sur $T^d$ (et non
plus une dualit{\'e} avec la supergravit{\'e} de type IIB). L'ensemble
de ces transformations forme le groupe discret $SO(d,d,\Zint)$.}.
L'{\it espace des modules total} contenant ces deux sous-espaces 
s'{\'e}crit encore comme un quotient 
$E_d/H_d$, o{\`u} $E_d$ est le {\it groupe non compact g{\'e}n{\'e}r{\'e}
par $Sl(d+1,\Real)$ et $SO(d,d,\Real)$}, et $H_d$ son {\it sous-groupe
compact maximal}
\index{groupe!sous-groupe compact maximal}
\index{U-dualit{\'e}!de type II sur $T^d$|textit}
\footnote{Cette derni{\`e}re propri{\'e}t{\'e} est une cons{\'e}quence
de la positivit{\'e} de la m{\'e}trique sur l'espace $G_d/H_d$, 
c'est-{\`a}-dire de
\index{fant{\^o}me}
l'absence de fant{\^o}mes dans la dynamique des scalaires.}.
Pour $d\ge 6$, les groupes $E_d$ correspondent {\`a} des 
versions non compactes des {\it groupes de Lie exceptionnels}
\index{groupe!exceptionnel}
$E_6,E_7$ et $E_8$, tandis que pour $d\le 5$ ils se r{\'e}duisent
aux groupes classiques 
\begin{equation}
E_2=Sl(2,\Real)\ ,\quad
E_3=Sl(3,\Real)\times Sl(2,\Real)\ ,\quad
E_4=Sl(5,\Real)\ ,\quad 
E_5=SO(5,5,\Real)\ .
\end{equation}
Le groupe $E_d$ appara{\^\i}t comme une {\it sym{\'e}trie globale} de l'action
de la th{\'e}orie de supergravit{\'e} compactifi{\'e}e sur $T^d$ (et non
seulement de l'espace des modules), tandis que le groupe $H_d$
est un groupe de {\it sym{\'e}trie locale}. Il n'est cependant pas 
associ{\'e} {\`a} des champs de jauge fondamentaux mais {\`a} une
{\it connection composite} construite {\`a} partir des champs scalaires,
et l'invariance de jauge peut {\^e}tre fix{\'e}e en choisissant
un r{\'e}pr{\'e}sentant de ces scalaires dans l'orbite de $H_d$.

L'appellation historique de <<sym{\'e}trie cach{\'e}e>> peut sembler
\index{sym{\'e}tries cach{\'e}es}
{\`a} ce stade d{\'e}concertante : nous en avons attribu{\'e} une
partie {\`a} l'existence de la T-dualit{\'e}, et l'autre {\`a}
l'existence d'une th{\'e}orie de supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions 
dont la th{\'e}orie de type IIA est la r{\'e}duction dimensionnelle.
Elle reste cependant justifi{\'e}e pour plusieurs raisons :
\begin{itemize}
\item la T-dualit{\'e} est visible dans la th{\'e}orie de
type IIA {\`a} dix dimensions, mais n'a {\`a} ce jour pas {\'e}t{\'e}
exhib{\'e}e comme sym{\'e}trie de la th{\'e}orie {\`a} onze dimensions.
En d'autres termes, l'action de la T-dualit{\'e} sur les
modes de Fourier d'impulsion non nulle autour du cercle
de rayon $R_{11}$ n'est pas connue.
\item la T-dualit{\'e} est une sym{\'e}trie perturbative
de la th{\'e}orie de cordes de type IIB, mais ce n'est pas
le cas de l'invariance de Lorentz {\`a} 11 dimensions.
\index{Lorentz, invariance {\`a} 11D}
En particulier, l'op{\'e}ration qui {\'e}change un rayon
de compactification avec le rayon de la onzi{\`e}me
dimension $R_{11}=e^{2\phi/3}$ ne pr{\'e}serve pas la 
s{\'e}rie de perturbation en $e^{\phi}$.
\item seul un sous groupe discret $SO(d,d,\Zint)$ 
de la sym{\'e}trie continue $SO(d,d,\Real)$ de l'action
effective de basse {\'e}nergie subsiste au niveau de la th{\'e}orie des cordes,
\index{action effective!sym{\'e}trie de}
en raison de la quantification des impulsions dans l'espace compact.
Existe-t-il donc un sous-groupe r{\'e}siduel $E_d(\Zint)$ du
groupe de sym{\'e}trie continue $E_d$,
dit {\it groupe de U-dualit{\'e}}, incluant des dualit{\'e}s
non perturbatives ?  
\end{itemize}
Ces questions ne peuvent avoir un sens que si une extension 
non perturbative des th{\'e}ories de supergravit{\'e} existe.
\index{supergravit{\'e}!r{\'e}gularisation ultraviolette}
La d{\'e}finition perturbative de ces th{\'e}ories non renormalisables
est d{\'e}j{\`a} un probl{\`e}me en soi, auxquelles les th{\'e}ories des
cordes, que nous introduirons  dans le chapitre suivant, fourniront
la solution, en offrant une r{\'e}gularisation finie dans l'ultraviolet.
La d{\'e}finition non perturbative quant {\`a} elle 
est partiellement r{\'e}solue par la conjecture de dualit{\'e} des
supercordes, mais n'a pas encore {\'e}t{\'e} totalement explicit{\'e}e.
Consid{\'e}r{\'e}es comme th{\'e}ories
effectives de basse {\'e}nergie des th{\'e}ories de supercordes, 
les th{\'e}ories de supergravit{\'e} fournissent 
n{\'e}anmoins des indications pr{\'e}cieuses sur 
le contenu de cette hypoth{\'e}tique th{\'e}orie des cordes non perturbative,
en particulier gr{\^a}ce {\`a} l'{\'e}tude de leurs solutions classiques
vers lesquelles nous nous tournons maintenant.

\section{Solitons de $p$-brane des th{\'e}ories de supergravit{\'e}}
L'{\'e}tude du spectre BPS des solutions classiques des th{\'e}ories
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS!des th{\'e}ories de supergravit{\'e}}
de supergravit{\'e} r{\'e}v{\`e}le une diversit{\'e} 
d'objets solitoniques {\'e}tendus, en correspondance avec
la diversit{\'e} des champs de jauge pr{\'e}sents.
Avec les sym{\'e}tries cach{\'e}es d{\'e}crites dans la
section pr{\'e}c{\'e}dente, l'existence de ces {\'e}tats sera un argument
essentiel de la conjecture de dualit{\'e}s des th{\'e}ories de
supercordes. Nous en donnerons une br{\`e}ve description,
renvoyant le lecteur aux nombreux articles de revue pour
plus de d{\'e}tails (par exemple, 
\cite{Duff:1995an,Duff:1996zn,Stelle:1996tz,Townsend:1996xj,Townsend:1997wg}).
%Les outils d'{\'e}tude du spectre non perturbatif des th{\'e}ories
%de champs non int{\'e}grables sont des plus limit{\'e}s. On est
%en g{\'e}n{\'e}ral r{\'e}duit {\`a} {\'e}tudier les solutions des
%{\'e}quations classiques du mouvement. La stabilit{\'e}
%quantique de ces {\'e}tats peut quelquefois {\^e}tre garantie
%par des lois de conservations ou des obstructions topologiques
%emp{\^e}chant la d{\'e}sint{\'e}gration en excitations de masses
%inf{\'e}rieures. Dans les th{\'e}ories {\`a} supersym{\'e}trie {\'e}tendue,
%les {\'e}tats BPS, correspondant {\`a} des multiplets supersym{\'e}triques
%courts, b{\'e}n{\'e}ficient de propri{\'e}t{\'e} de stabilit{\'e} 
%suppl{\'e}mentaires

\subsection{Tenseurs antisym{\'e}triques de jauge et $p$-branes}
\index{tenseur antisym{\'e}trique!charge par rapport {\`a}}
\index{brane!charge {\'e}lectrique des}
\fig{5cm}{charge.eps}{La charge {\'e}lectrique sous une $n$-forme 
$\mathcal{C}_n$ dans un espace-temps de dimension $D$
est donn{\'e}e par l'int{\'e}grale de la
forme duale $*\mathcal{C}_n$ sur une section $S^{D-n-1}$ de la
sph{\`e}re {\`a} l'infini $S^{D-2}$.}{charge}
Avant de donner une description explicite de ces solutions
classiques, il est souhaitable d'identifier le type de configurations
solitoniques attendues. Le secteur bosonique des 
th{\'e}ories de supergravit{\'e} {\`a} dix dimensions
comprend la m{\'e}trique $g_{\mu\nu}$,
le dilaton $\phi$ et plusieurs tenseurs antisym{\'e}triques de
jauge $\mathcal{C}_n$, o{\`u} l'indice $n$ d{\'e}signe le rang
de la forme diff{\'e}rentielle. On s'int{\'e}resse en 
particulier aux solitons charg{\'e}s sous ces tenseurs de
jauge
\footnote{On peut {\'e}galement consid{\'e}rer des 
solutions purement gravitationnelles o{\`u} le potentiel
de jauge est nul et le dilaton constant. Except{\'e} pour le cas
de l'onde gravitationnelle, la g{\'e}om{\'e}trie
asymptotique de ces solutions n'est cependant pas minkovskienne,
et on n'obtient pas ainsi de solitons de la th{\'e}orie plate.
On peut cependant obtenir des solutions de g{\'e}om{\'e}trie
asymptotique $\RR^{D-1}\times S_1$ (en utilisant l'espace
d'Einstein self-dual de Taub-NUT, de g{\'e}om{\'e}trie
\index{Taub-NUT, instanton de}
\index{instanton!gravitationnel}
\index{Kaluza-Klein!monop{\^o}le de}
\index{monop{\^o}le magn{\'e}tique!de Kaluza-Klein}
asymptotique $\RR^3\times S_1$) d{\'e}crivant des 
{\it monop{\^o}les magn{\'e}tiques de Kaluza-Klein} de la
th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $S_1$
\cite{Sorkin:1983ns}, localis{\'e}s dans 4 dimensions
et donc assimilables {\`a} des $(D-5)$-branes.}. 
En dimension 3+1, la charge {\'e}lectrique associ{\'e}e
{\`a} un champ de jauge $A_\mu$ est mesur{\'e}e par le flux
\index{flux {\'e}lectrique} 
$\oint_{S^2} *dA$ du champ {\'e}lectrique {\`a} travers une {\it 2-sph{\`e}re}
entourant la configuration. La charge {\'e}lectrique est
donc essentiellement {\it ponctuelle}, en accord avec le fait
que la dynamique d'une particule ponctuelle peut {\^e}tre
naturellement coupl{\'e}e {\`a} la 1-forme $A_\mu$ par
un couplage $\int A$ dans l'action. La charge magn{\'e}tique
est d{\'e}finie de mani{\`e}re identique apr{\`e}s {\it dualit{\'e}
de Poincar{\'e}} $dA \rightarrow *dA$, 
\index{Poincar{\'e}!dualit{\'e} de}
\index{dualit{\'e}!de Poincar{\'e}}
soit par le flux $\oint_{S_2} dA$. Elle est conserv{\'e}e
en vertu de l'identit{\'e} de Bianchi $d(dA)=0$, tandis que
la conservation de la charge {\'e}lectrique requiert 
l'{\'e}quation du mouvement dans le vide $d(*dA)=0$.
De mani{\`e}re analogue, on d{\'e}finit {\it la charge {\'e}lectrique
associ{\'e}e {\`a} un tenseur de jauge de rang $n$} $\mathcal{C}_n$ dans un 
espace temps de dimension $D$ comme l'int{\'e}grale 
$\oint_{S^{D-n-1}} *d\mathcal{C}$ sur une sph{\`e}re de dimension $D-n-1$
{\`a} l'infini, sous-vari{\'e}t{\'e} de 
la sph{\`e}re $S^{D-2}$ {\`a} l'infini spatial (figure \ref{charge}).
La charge correspondante est donc port{\'e}e par un
objet transverse {\`a} $S^{D-n-1}$ dans $S^{D-2}$, soit
de dimension $n-1$. Le tenseur de jauge de rang $n$ se couple
d'ailleurs naturellement au volume d'univers d'un objet
{\'e}tendu de dimensionnalit{\'e} $n-1$ par le couplage
$\int \mathcal{C}_n$. Ainsi, en dimension 3+1, la charge associ{\'e}e {\`a} une
deux-forme $B_{\mu\nu}$ est port{\'e}e par une corde, et
mesur{\'e}e par le flux $\oint_{S^1} *dB$ sur un cercle {\`a} l'infini
transverse {\`a} la corde. Notons que la charge ne d{\'e}pend 
en g{\'e}n{\'e}ral pas des variations infinit{\'e}simales de
la section $S^{D-n-1}$ de la sph{\`e}re {\`a} l'infini
$S^{D-2}$, mais qu'elle subit une discontinuit{\'e} lorsque cette
section intersecte la corde, ou tout autre objet charg{\'e}.
En particulier, la charge s'annule si la corde 
ne s'{\'e}tend pas {\`a} l'infini.
La charge {\it magn{\'e}tique} sous $\mathcal{C}_n$
est bien entendu d{\'e}finie comme la charge {\'e}lectrique 
par rapport au {\it dual de Poincar{\'e}}
$\mathcal{C}_{D-n-2}$. Cette charge est donc port{\'e}e par des objets
{\'e}tendus dans $D-n-3$ directions.
Les objets charg{\'e}s par rapport au potentiel $\mathcal{C}_n$ correspondent
donc {\`a} des objets {\'e}tendus sur $p=n-1$ dimensions internes,
commun{\'e}ment baptis{\'e}s {\it $p$-branes}.
La {\it dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique} en dimension $D$
{\'e}change donc $p$-branes et $(D-p-4)$-branes
\index{dualit{\'e}!{\'e}lectrique-magn{\'e}tique}.

Les solutions des th{\'e}ories de supergravit{\'e} correspondant  
{\`a} ces objets {\'e}tendus peu\-vent {\^e}tre obtenues en d{\'e}composant
les $D$ coordonn{\'e}es de l'espace temps en $p+1$ coordonn{\'e}es
de {\it volume d'univers} $x^\mu$ et $D-p-1$ coordonn{\'e}es
{\it transverses} $y^m$. On consid{\`e}re alors un ansatz
\index{ansatz!des $p$-branes}
\index{brane!ansatz des $p$-branes}
\begin{subequations}
\begin{equation}
\label{pansatz}
ds^2=e^{2A(r)} \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu
+ e^{2B(r)} \delta_{mn} dx^m dx^n 
\end{equation}
\begin{equation}
\phi = \phi(r) 
\end{equation}
\begin{equation}
F_{p+2} = d\mathcal{C}_{p+1}={\rm Vol}_{p+1} \wedge d(e^C(r)) 
\end{equation}
\end{subequations}
o{\`u} la m{\'e}trique et le dilaton,
invariants sous les translations le long du volume d'univers, 
ne d{\'e}pendent que du rayon transverse $r=\sqrt{y^2}$,
et o{\`u} ${\rm Vol}_{p+1}$ d{\'e}signe l'{\'e}l{\'e}ment de
volume du volume d'univers de la $p$-brane. De telles solutions
d{\'e}crivent en r{\'e}alit{\'e} des $p$-branes <<{\'e}paisses>>
dont la taille d{\'e}pend de la vitesse de d{\'e}croissance
de $A,B,C,\phi$. L'interpr{\'e}tation solitonique
requiert {\'e}galement que cette d{\'e}croissance soit assez
rapide pour que l'espace soit {\it asymptotiquement plat},
de sorte que de telles solutions puissent {\^e}tre mises
en pr{\'e}sence {\`a} grande distance.

Avant de pouvoir d{\'e}terminer 
les fonctions $A,B,C,\phi$ de l'ansatz pr{\'e}c{\'e}dent,
il est n{\'e}cessaire de pr{\'e}ciser le lagrangien
que l'on consid{\`e}re. Ne s'int{\'e}ressant qu'aux
solutions charg{\'e}es par rapport {\`a} un seul champ de jauge
$\mathcal{C}_{p+1}$, on peut omettre tous les autres potentiels
de jauge, et se restreindre {\`a}
\begin{equation}
\mathcal{S}=\int d^{D}x \sqrt{-g} 
\left( R -\frac{1}{2}\partial\phi\partial\phi
-\frac{1}{2n!} e^{a\phi} F_{p+1}^2 \right)\ .
\end{equation}
La valeur du couplage $a$ au dilaton d{\'e}pend du mod{\`e}le
consid{\'e}r{\'e}. Cette troncation pr{\'e}serve l'existence
d'une charge supersym{\'e}trique $Q$. L'invariance sous cette charge
implique l'invariance sous la moiti{\'e} des supersym{\'e}tries 
originelles.

\subsection{Membranes et 5-branes {\`a} onze dimensions}
Les fonctions $A,B,C,\phi$ peuvent maintenant
{\^e}tre d{\'e}termin{\'e}es par la condition BPS
d'invariance sous la supersym{\'e}trie $Q$.
Nous renvoyons le lecteur {\`a} l'article de revue
\cite{Stelle:1996tz} pour une pr{\'e}sentation compl{\`e}te,
et nous nous contentons ici de d{\'e}crire les caract{\'e}ristiques
g{\'e}n{\'e}rales des solutions obtenues, tout d'abord dans le
cas de la supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions. On obtient 
dans ce cas des solutions solitoniques de {\it $2$-brane}, aussi
appel{\'e}es {\it membranes}, 
\index{membrane, soliton de SUGRA 11D}
\index{brane!membrane de SUGRA 11D}
charg{\'e}es {\'e}lectriquement sous la trois-forme $\mathcal{C}_3$, et des
solutions de {\it 5-brane} charg{\'e}es magn{\'e}tiquement
sous $\mathcal{C}_3$. Ces objets infiniment {\'e}tendus dans
2 (resp. 5) dimensions spatiales poss{\`e}dent une tension,
soit une masse par unit{\'e} de volume d'univers, de
$T_2=1/l_{11}^3$ (resp. $T_5=1/l_{11}^6$), o{\`u}
$l_{11}$ est l'unique {\'e}chelle de longueur de la supergravit{\'e}
{\`a} 11 dimensions. 
\index{tension!des membranes et 5-branes}
La g{\'e}om{\'e}trie de la 
membrane interpole entre l'espace asymptotiquement plat
{\`a} grande distance et un espace
\footnote{La notation $AdS_n$ d{\'e}signe un espace maximalement sym{\'e}trique
anti-de Sitter de dimension $n$.} 
$AdS_4\times S^7$
{\`a} l'horizon
\index{horizon, g{\'e}om{\'e}trie de l'}. 
\index{anti-de Sitter, espace}
Elle peut {\^e}tre continu{\'e}e analytiquement au-del{\`a}
de l'horizon jusqu'{\`a} une singularit{\'e} de genre temps
correspondant {\`a} une deux-brane infiniment fine.
\index{cinq-brane!soliton de SUGRA 11D}
\index{brane!cinq-brane de SUGRA 11D}
La 5-brane en revanche est r{\'e}guli{\`e}re partout, et interpole
entre l'espace asymptotiquement plat et $AdS_7 \times S^4$ {\`a}
l'horizon. La continuation au-del{\`a} de l'horizon montre
que l'espace {\it int{\'e}rieur} peut 
{\^e}tre identifi{\'e} avec l'espace {\it ext{\'e}rieur} {\`a} l'horizon .
Ces solutions correspondent {\`a} des configurations
{\it extr{\^e}mes} de solutions de <<p-branes noires>>
o{\`u} l'horizon interne co{\"\i}ncide avec l'horizon
externe. Ce cas est en effet le seul pr{\'e}servant la moiti{\'e} des
supersym{\'e}tries. En cons{\'e}quence, elles  saturent les in{\'e}galit{\'e}s
\index{Bogomolny, borne de}
de Bogomolny entre la masse par unit{\'e} de volume d'univers
et les charges {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques sous le champ
de jauge $\mathcal{C}_3$~: ce sont donc des {\it {\'e}tats BPS
annihil{\'e}s par la moiti{\'e} des supersym{\'e}tries}.
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS!de $p$-branes}

L'existence de ces solutions semble peser en faveur
d'une description microscopique de la th{\'e}orie
de supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions en termes
d'une th{\'e}orie de supermembranes. Cette esp{\'e}rance
est malheureusement d{\'e}{\c c}ue par les difficult{\'e}s
de quantifier les non-lin{\'e}arit{\'e}s de la dynamique
des supermembranes. Nous reviendrons sur cette question
dans le dernier chapitre de ce m{\'e}moire.

\subsection{Solitons des supergravit{\'e}s {\`a} dix dimensions}
\index{brane|textit}
La m{\^e}me approche fournit des solutions de $p$-branes
pour toutes les th{\'e}ories de supergravit{\'e} en dimension 10,
associ{\'e}es {\`a} chaque tenseur de jauge. Dans le cas de
la supergravit{\'e} de type IIA, on peut de mani{\`e}re {\'e}quivalente
{\'e}tudier comment celle-ci h{\'e}rite des solutions de la
supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions par compactification
sur le cercle de rayon $R_{11}$. Deux types de r{\'e}duction
sont en g{\'e}n{\'e}ral envisageables\footnote{On peut {\'e}galement r{\'e}duire
le long d'une isom{\'e}trie angulaire, mais le statut de 
cette proc{\'e}dure est encore peu clair \cite{Duff:1998}.}~:
\index{r{\'e}duction dimensionnelle!des solitons}
\begin{itemize}
\item Dans le cas o{\`u} le
volume d'univers de la $p$-brane contient la direction
compactifi{\'e}e, c'est-{\`a}-dire lorsque la $p$-brane
est {\it enroul{\'e}e} sur cette direction,
 on peut quotienter par l'isom{\'e}trie correspondante pour obtenir
une $(p-1)$-brane en dimension $D-1$. Cette op{\'e}ration est
dite {\it r{\'e}duction diagonale}. La tension de la membrane
r{\'e}duite est alors $T_{p-1}=R_{11} T_{p}$.
\index{tension!par r{\'e}duction}
\item Si au contraire le volume d'univers de la $p$-brane
est transverse {\`a}
la dimension compacte, la sym{\'e}trie de translation est bris{\'e}e
et on ne peut alors plus prendre le quotient. On peut en revanche
consid{\'e}rer un {\it empilement}
continu de $p$-branes dans la direction compacte, de mani{\`e}re
{\`a} restaurer la sym{\'e}trie de translation. La possibilit{\'e}
de superposer des configurations identiques de $p$-branes
est intimement li{\'e}e {\`a} l'absence d'interactions statiques
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS!empilement}
entre configuration BPS. On obtient
ainsi une $p$-brane de m{\^e}me tension
en dimension inf{\'e}rieure, ce qui vaut
{\`a} ce processus le nom de {\it r{\'e}duction verticale}.
\end{itemize}
La membrane de la supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions donne
ainsi par r{\'e}duction diagonale une 1-brane de tension
$R_{11}/l_{11}^3=1/\alpha'$ et charg{\'e}e par rapport au tenseur
de jauge de Neveu-Schwarz $C_{\mu\nu11}=B_{\mu\nu}$, 
qui n'est autre que la corde
fondamentale de la th{\'e}orie de type IIA ; 
et par r{\'e}duction verticale une D2-brane de tension
\index{D-brane!solitons de supergravit{\'e}}
\index{tension!des D-branes}
$1/l_{11}^3 = \alpha^{'-3/2}/g$ charg{\'e}e par rapport au
tenseur de jauge de Ramond $\mathcal{C}_3$~:
nous appellons {\it NS$p$-branes} les $p$-branes charg{\'e}es sous
les tenseurs de jauge de Neveu-Schwarz, et {\it D$p$-branes}
celles charg{\'e}es sous les champs de Ramond, pour des raisons
qui appara{\^\i}{}tront dans la section \ref{dbr}.

De m{\^e}me, la 5-brane de la supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions
charg{\'e}e magn{\'e}tiquement sous $\mathcal{C}_3$ 
donne par r{\'e}duction la D4-brane de tension
$R_{11}/l_{11}^6=1/g\alpha^{'5/2}$, charg{\'e}e sous le tenseur de jauge 
de Ramond $\mathcal{R}_5$, ainsi que la NS5-brane de tension
$1/l_{11}^6=1/g^2\alpha^{'3}$,
charg{\'e}e {\it magn{\'e}tiquement} sous le tenseur de
Neveu-Schwarz $B_{\mu\nu}$. Le monop{\^o}le de Kaluza-Klein
de la supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions appara{\^\i}{}t comme la
D6-brane de tension $R_{11}^2/l_{11}^9=1/g\alpha ^{'7/2}$
\footnote{Il donne {\'e}galement par r{\'e}duction diagonale le monop{\^o}le
de Kaluza-Klein de la supergravit{\'e} de type IIA compactifi{\'e}e sur
un cercle de rayon $R$, correspondant {\`a} une 5-brane de tension 
$R_{11} R^2/l_{11}^9=R^2/g^2 \alpha^{'4}$~; et par r{\'e}duction
verticale une 6-brane de tension $R^2/l_{11}^9=R^2 /g^3
\alpha^{'9/2}$, sur laquelle nous reviendrons dans le dernier chapitre.}. 
Il faut encore ajouter {\`a} ces objets {\'e}tendus les {\'e}tats issus de
l'onde gravitationnelle en dimension 11, correspondant au
supergraviton {\`a} dix dimensions ainsi qu'{\`a} ses excitations
\index{Kaluza-Klein!excitation de}
\index{D-brane!D0-branes}
de Kaluza-Klein, de masse $N/R_{11}=N/g\alpha^{'1/2}$, identifi{\'e}es
aux D0-branes de la th{\'e}orie de type IIA et {\`a} ses {\'e}tats li{\'e}s.

Dans le cas de la supergravit{\'e} de type IIB, cette proc{\'e}dure de r{\'e}duction
n'est bien entendu pas applicable et on doit reprendre 
l'approche pr{\'e}c{\'e}dente. On obtient ainsi une
D1-brane charg{\'e}e sous $\mathcal{B}_{\mu\nu}$ ; une
D3-brane charg{\'e}e sous le tenseur de jauge {\`a} courbure autoduale
$\mathcal{D}_{\mu\nu\rho\sigma}$ ; une D5-brane magn{\'e}tiquement
charg{\'e} sous $\mathcal{B}$, ainsi qu'une autre NS5-brane
charg{\'e}e sous le tenseur de jauge de Neveu-Schwarz $B_{\mu\nu}$.
La 1-brane solitonique est un candidat de corde duale {\`a}
la corde fondamentale sous la dualit{\'e}
$Sl(2,\Zint)$ de la th{\'e}orie de type IIB si cette dualit{\'e}
doit exister, et les deux 5-branes en formeraient alors
un doublet. On obtient {\'e}galement un cas d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}
de solution avec un volume d'univers r{\'e}duit {\`a} un point,
soit une D$(-1)$-brane
\index{D-instanton!de type IIB}. L'espace correspondant {\'e}tant
de signature euclidienne, cette solution doit {\^e}tre identifi{\'e}e {\`a}
une {\it configuration instantonique} de la supergravit{\'e}
de type IIB. Cet objet sera essentiel aux d{\'e}veloppements 
trait{\'e}s au chapitre 4.

La th{\'e}orie de type I quant {\`a} elle comprend un tenseur de
jauge $\mathcal{B}_{\mu\nu}$ du secteur de Ramond en m{\^e}me
temps que les bosons de jauge de la sym{\'e}trie non ab{\'e}lienne
$SO(32)$. De fait, la supergravit{\'e} de type I montre l'existence
d'un soliton de D1-brane charg{\'e} {\'e}lectriquement sous
$\mathcal{B}_{\mu\nu}$, qu'il est tentant d'identifier {\`a} la
corde h{\'e}t{\'e}rotique de groupe de jauge $SO(32)$~;
ainsi que de trois types de solitons de 5-brane
\cite{Callan:1991dj}~: la 5-brane {\it neutre} est charg{\'e}e
sous le tenseur $B_{\mu\nu}$ de la corde h{\'e}t{\'e}rotique
ou le tenseur $\mathcal{B}_{\mu\nu}$ de la corde de type I
mais neutre sous le groupe de jauge, tandis que les 5-branes
{\it de jauge} et {\it sym{\'e}triques}, construites {\`a}
partir d'un instanton de Yang-Mills dans les directions transverses, 
sont charg{\'e}es {\`a} la fois sous $B$ et sous le groupe de jauge.
La 5-brane sym{\'e}trique pr{\'e}sente la particularit{\'e} d'{\^e}tre une
solution {\it exacte en $\alpha'$} des {\'e}quations du mouvement issues
de la th{\'e}orie des cordes, correspondant {\`a} une th{\'e}orie $(4,4)$
superconforme.

Par opposition aux particules ponctuelles, ces objets {\'e}tendus
poss{\`e}dent des degr{\'e}s de libert{\'e} externes correspondant
aux modes z{\'e}ro des champs de la supergravit{\'e} en leur pr{\'e}sence.
Ces modes sont associ{\'e}s aux sym{\'e}tries bris{\'e}es par la
pr{\'e}sence du soliton, en particulier la sym{\'e}trie de translation
dans les directions transverses, et correspondent {\`a} des 
\index{coordonn{\'e}e collective}
{\it coordonn{\'e}es collectives} g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}es de la
$p$-brane \cite{Gervais:1975yg,Callan:1991ky}. Les excitations de ces modes 
modifient la position de la $p$-brane ainsi que sa forme, et
la $p$-brane doit bien plus {\^e}tre comprise comme un objet
compact {\'e}tendu que comme un plan rigide infini. 
La th{\'e}orie des champs (ou la m{\'e}canique quantique, pour $p=0$)
d{\'e}finissant la dynamique de
ces modes sur le volume d'univers peut en principe {\^e}tre
obtenue en {\'e}valuant l'action microscopique sur la
configuration des champs du soliton. Les supersym{\'e}tries
pr{\'e}serv{\'e}es par le soliton BPS correspondent {\`a} autant de
supersym{\'e}tries de la th{\'e}orie de volume d'univers, tandis
que les supersym{\'e}tries bris{\'e}es sont r{\'e}alis{\'e}es
non-lin{\'e}airement, c'est-{\`a}-dire {\it spontan{\'e}ment
bris{\'e}es}. Les premi{\`e}res peuvent {\^e}tre rendues 
\index{supersym{\'e}trie!sur le volume d'univers des branes}
manifestes gr{\^a}ce {\`a} l'introduction d'une supersym{\'e}trie
locale dite {\it kappa-sym{\'e}trie}, dont la fixation impose
l'{\'e}galit{\'e} des nombres de degr{\'e}s de libert{\'e}
\index{kappa-sym{\'e}trie}
\index{modes z{\'e}ros!des D-branes}
bosoniques et fermioniques. La d{\'e}termination
de la dynamique des modes z{\'e}ros d'un soliton est un probl{\`e}me
difficile~; Polchinski en a donn{\'e} la solution dans le cadre de la
th{\'e}orie des supercordes ouvertes, tout au moins pour les $p$-branes
charg{\'e}es sous les tenseurs de Ramond de la corde de type II.
\index{cinq-brane!h{\'e}t{\'e}rotique}
Dans le cas de la 5-brane h{\'e}t{\'e}rotique, certains modes
z{\'e}ros apparaissent non perturbativement et la th{\'e}orie
de volume d'univers est d{\'e}crite par une th{\'e}orie des cordes,
et non plus une th{\'e}orie des champs \cite{
Callan:1991dj,witten:1996,Seiberg:1997td}.

\subsection{Compactification et cycles supersym{\'e}triques
\label{susycyc}}
\index{cycle d'homologie!supersym{\'e}trique}
Etant donn{\'e} le spectre des configurations solitoniques en
dimension maximale, on peut en principe en d{\'e}duire le
spectre en dimension inf{\'e}rieure en {\it enroulant}
\index{enroulement!d'un soliton sur un cycle}
les directions internes des solitons autour des directions
compactes. Les r{\'e}ductions diagonale et verticale
que nous avons discut{\'e}es au paragraphe pr{\'e}c{\'e}dent fournissent 
l'exemple le plus simple de ce processus pour le cas
des compactifications toro{\"\i}{}dales, et n'affectent pas
le nombre de supersym{\'e}tries pr{\'e}serv{\'e}es par 
les {\'e}tats correspondants. Dans le cas de la compactification 
\index{Calabi-Yau, vari{\'e}t{\'e} de}
\index{cycle d'homologie!des espaces de Calabi-Yau}
sur des espaces courbes de Calabi-Yau, l'enroulement de l'{\'e}tat
sur un cycle quelconque brise toutes les supersym{\'e}tries, et
la stabilit{\'e} de l'{\'e}tat correspondant n'est pas garantie.
Pour certains cycles cependant, dits {\it supersym{\'e}triques},
la supersym{\'e}trie bris{\'e}e par la pr{\'e}sence du soliton
peut {\^e}tre compens{\'e}e par une {\it kappa-sym{\'e}trie}
sur le volume d'univers du soliton. Les conditions sur les
trois-cycles des espaces de Calabi-Yau de dimension 6 
ont {\'e}t{\'e} analys{\'e}es par K. et M. Becker et
A. Strominger \cite{Becker:1995kb}~; cette analyse a {\'e}t{\'e}
{\'e}tendue par Ooguri {\it et al.} par un argument bas{\'e} sur
la description microscopique des solitons en termes de D-branes,
et conduit {\`a} deux cat{\'e}gories de cycles
supersym{\'e}triques $C$ sur les espaces de Calabi-Yau $K$ de 
dimension complexe  $n$:
\cite{Ooguri:1996ck}~:
\begin{itemize}
\item les cycles de type A, de dimension {\it r{\'e}elle} $n$, 
sont tels que {\it le pull-back de la $n$-forme holomorphe 
$\Omega$ est proportionnel {\`a} la forme volume induite 
par la m{\'e}trique de $K$ sur le cycle $C$.}
\item les cycles de type B sont les {\it sous-vari{\'e}t{\'e}s
holomorphes} de la vari{\'e}t{\'e} $K$.
\end{itemize}
Les cycles supersym{\'e}triques sont donc en particulier de volume minimal
\footnote{En pr{\'e}sence de champs de jauge, cette d{\'e}finition doit
{\^e}tre {\'e}tendue, et c'est l'{\it action de Born-Infeld} du soliton qui doit {\^e}tre
extr{\'e}male.}.
Ainsi, dans le cas du tore $T^2$, les cycles de type B sont simplement
les points, $T^2$ et ses recouvrements, tandis que les cycles de type
A sont tels que $dz = e^{i\phi} \sqrt{|dz|^2}$ o{\`u} la
phase $\phi$ est constante~: il s'agit donc d'une ligne droite 
trac{\'e}e sur le tore. Dans le cas des vari{\'e}t{\'e}s de 
Calabi-Yau de dimension $4$, ou vari{\'e}t{\'e}s $K_3$,
les cycles de type A et B se confondent, gr{\^a}ce {\`a} la sym{\'e}trie
$SU(2)_R$ de la vari{\'e}t{\'e} hyperk{\"a}hlerienne qui {\'e}change
\index{vari{\'e}t{\'e}!hyperk{\"a}hlerienne}
\index{hyperk{\"a}hlerienne, vari{\'e}t{\'e}}
la deux-forme holomorphe $\Omega$ et la forme de K{\"a}hler $J$.

%Apr{\`e}s cette longue quoiqu'impr{\'e}cise
%discussion des aspects non perturbatifs des th{\'e}ories des
%champs supersym{\'e}triques, il est maintenant temps de pr{\'e}senter
%les th{\'e}ories de cordes dont les th{\'e}ories de supergravit{\'e}
%ne sont que le reflet.



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "these"
%%% TeX-master: "these"
%%% End: 
\chapter{Pluralit{\'e}, dualit{\'e} et unicit{\'e} des th{\'e}ories de supercordes}
Le lecteur aura sans doute {\'e}t{\'e} g{\^e}n{\'e} par la discussion des
dualit{\'e}s non perturbatives
des th{\'e}ories de supergravit{\'e} au chapitre pr{\'e}c{\'e}dent,
alors que ces th{\'e}ories fonci{\`e}rement non renormalisables ne sont
\index{renormalisation!renormalisabilit{\'e} de la gravitation}
d{\'e}j{\`a} pas d{\'e}finies comme th{\'e}ories de perturbation. La
renormalisabilit{\'e} d'une th{\'e}orie des champs 
n'est cependant un crit{\`e}re important que lorsque cette th{\'e}orie
pr{\'e}tend {\`a} une description fondamentale {\`a} toute {\'e}nergie ;
et encore la non-renormalisabilit{\'e} au sens du comptage de
puissance n'implique-t-elle pas l'absence de sch{\'e}ma de renormalisation 
\index{action effective!renormalisabilit{\'e}}
\index{supergravit{\'e}!r{\'e}gularisation ultraviolette}
coh{\'e}rent. Les th{\'e}ories de supergravit{\'e} ne pr{\'e}tendent cependant
qu'{\`a} une description {\it effective} de la dynamique {\`a} basse {\'e}nergie
induite apr{\`e}s {\it int{\'e}gration sur les modes massifs} de fr{\'e}quence
sup{\'e}rieure {\`a} une {\'e}chelle $\Lambda$. Il n'est donc
pas question d'int{\'e}grer les diagrammes de boucles 
sur des moments infiniment grands, mais seulement 
sur les moments inf{\'e}rieurs {\`a} $\Lambda$.
La description {\it microscopique} est fournie par les th{\'e}ories de 
supercordes, qui contrairement {\`a} ces th{\'e}ories des champs
ne souffrent pas de divergences ultraviolettes. Les
contraintes de coh{\'e}rence restreignent ces th{\'e}ories
{\`a} cinq mod{\`e}les d{\'e}finis en dix dimensions, donnant
naissance {\`a} une vari{\'e}t{\'e} presque infinie de mod{\`e}les
en dimensions inf{\'e}rieures. Il existe de nombreux
ouvrages d'introduction {\`a} la th{\'e}orie des cordes
\cite{Green:1987sp,Green:1987mn,Lust:1989tj,Polchinski:1994,
Ooguri:1996ik,Kiritsis:1997hj,Vafa:1997pm}, 
dont le tr{\`e}s complet
livre vert de Green, Schwarz et Witten~; fid{\`e}les {\`a} notre
approche, nous nous contenterons d'en donner une introduction tr{\`e}s
condens{\'e}e dans les sections 1 et 2 de ce chapitre,
en insistant sur les points n{\'e}cessaires {\`a} la
compr{\'e}hension des travaux pr{\'e}sent{\'e}s dans cette th{\`e}se.

Une fois r{\'e}solu le probl{\`e}me de la d{\'e}finition perturbative des
th{\'e}ories de supergravit{\'e}, restera la question beaucoup plus
{\'e}pineuse de la d{\'e}finition non perturbative des th{\'e}ories
de supercordes. Cette d{\'e}finition n'existe pas encore explicitement.
Les relations de dualit{\'e} entre th{\'e}ories de
supercordes en donnent
une d{\'e}finition partielle, en identifiant le r{\'e}gime
de fort couplage d'une th{\'e}orie de supercordes au r{\'e}gime de faible
couplage de la th{\'e}orie duale. Nous d{\'e}crirons avec plus de d{\'e}tails
dans la section 3 de ce chapitre, apr{\`e}s en avoir donn{\'e} un avant-go{\^u}t au 
chapitre pr{\'e}c{\'e}dent dans le cadre des th{\'e}ories de supergravit{\'e}.
Ces dualit{\'e}s indiquent l'existence
d'une {\it th{\'e}orie non perturbative des supercordes}, dont
les cinq th{\'e}ories de supercordes perturbatives repr{\'e}sentent les
d{\'e}veloppement limit{\'e}s dans cinq limites de son espace 
des modules~; cette th{\'e}orie fondamentale fera l'objet des deux
derniers chapitres de ce m{\'e}moire.

Dans ce travail de th{\`e}se, nous nous sommes
particuli{\`e}rement int{\'e}ress{\'e}s {\`a} la dualit{\'e} des
th{\'e}ories h{\'e}t{\'e}rotique et de type II {\`a} seize charges 
supersym{\'e}triques, qui contient la richesse des effets 
non perturbatifs des th{\'e}ories des
supercordes sans requ{\'e}rir l'arsenal de la g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique des
espaces de Calabi-Yau. Nous avons en particulier donn{\'e} des
tests de cette dualit{\'e} dans les couplages gravitationnels
des compactifications {\it twist{\'e}es} de ces th{\'e}ories,
en collaboration avec A. Gregori, N. Obers, E. Kiritsis,
C. Kounnas et M. Petropoulos~; nous avons {\'e}galement 
v{\'e}rifi{\'e} cette dualit{\'e} dans les couplages scalaires
du dilaton de la th{\'e}orie de type II, au cours d'une
collaboration avec I. Antoniadis et T. Taylor. 
Ce chapitre constitue une introduction {\`a} ces contributions,
rassembl{\'e}es dans les appendices \ref{tt} et \ref{dds} de ce m{\'e}moire
Nous reviendrons sur ces travaux dans le chapitre 4, 
sous l'aspect des effets instantoniques de membrane.

\section{La corde bosonique}
\index{bosonique, th{\'e}orie des cordes}
L'id{\'e}e de r{\'e}soudre le probl{\`e}me des divergences ultraviolettes
des th{\'e}ories des champs en supposant une extension finie aux
particules {\'e}l{\'e}mentaires est aussi vieille que les th{\'e}ories
des champs elle-m{\^e}mes. Elle a cependant resurgi avec 
vigueur au d{\'e}but des ann{\'e}es 1970, apr{\`e}s la gestation
\index{duaux, mod{\`e}les}
des mod{\`e}les duaux, sous la forme de la th{\'e}orie
des cordes. Cette th{\'e}orie consid{\`e}re la dynamique relativiste
\index{corde relativiste}
d'un objet {\it unidimensionnel} filiforme. Tout comme une particule
ponctuelle de masse $m$ 
\index{ligne d'univers}
\index{particule relativiste}
d{\'e}crit une ligne d'univers de genre temps $X^{\mu}(\tau)$ dont l'action est
mesur{\'e}e par la longueur propre 
\begin{equation}
S\left(\{X^\mu(\tau)\} \right) =m \int d\tau 
\sqrt{ - \frac{dX^{\mu}}{d\tau}\frac{dX^{\nu}}{d\tau}
\eta_{\mu\nu}(X) }
\ ,
\end{equation}
la corde d{\'e}crit une surface d'univers $X^{\mu}(\sigma,\tau)$ dont
l'action est mesur{\'e}e par la surface propre
\index{Nambu-Goto, action de}
\begin{equation}
\label{ng}
S\left(\{X^\mu(\sigma,\tau)\} \right) =
T \int d\sigma^0 \wedge d\sigma^1 \sqrt{ - \epsilon_{\alpha\beta}
\frac{\partial X^{\mu}}{\partial\sigma_\alpha}
\frac{\partial X^{\nu}}{\partial\sigma_\beta}
\eta_{\mu\nu}(X) }
\ ,
\end{equation}
o{\`u} on a rassembl{\'e} le temps propre $\tau$ et l'abscisse curviligne
$\sigma$ sous la notation $\sigma^0=\tau,\sigma^1=\sigma$. Le param{\`e}tre
$T$, homog{\`e}ne {\`a} l'inverse d'une aire et souvent not{\'e}
$T=1/(2\pi\alpha')$, correspond {\`a} la {\it tension} de la corde.
\index{tension!de la corde fondamentale}
Tout comme la dynamique de la particule peut {\^e}tre quantifi{\'e}e {{\`a} la Feynman}
en sommant sur les lignes d'univers {\`a} extr{\'e}mit{\'e}s fix{\'e}es, la
corde relativiste quantique est obtenue en {\it sommant sur les
surfaces d'univers} tubulaires {\`a} bords fix{\'e}s
\cite{Gervais:1971}.
L'action (\ref{ng}), dite de Nambu-Goto,
est classiquement {\'e}quivalente {\`a} l'action de Polyakov
\cite{Brink:1976sc,Deser:1976rb}
\index{Polyakov, action de}
\begin{equation}
\label{polyakov}
S\left(\{X^\mu(\sigma^\gamma),g_{\alpha\beta}(\sigma^\gamma)\} \right) =
\frac{T}{2} \int d\sigma^0 \wedge d\sigma^1~g^{\alpha\beta}\eta_{\mu\nu} 
\partial_\alpha X^{\mu}
\partial_\beta  X^{\nu}
\ ,
\end{equation}
o{\`u} on introduit une {\it m{\'e}trique auxiliaire} $g_{\alpha\beta}$
fluctuante sur la surface d'univers~; les {\'e}quations du mouvement
identifient cette m{\'e}trique 
{\`a} la {\it m{\'e}trique induite} par le plongement $X^{\mu}$
dans l'espace-temps ambiant, {\`a} un {\it facteur conforme} non fix{\'e}
pr{\`e}s, en raison de la {\it sym{\'e}trie de Weyl}
\index{Weyl!sym{\'e}trie de}
\begin{equation}
g_{\alpha\beta}\rightarrow e^{f(\sigma,\tau)} g_{\alpha\beta}
\end{equation}
de l'action de Polyakov (\ref{polyakov}), 
propre au caract{\`e}re bidimensionnel de la surface d'univers.
L'invariance sous les diff{\'e}omorphismes de la surface
d'univers permet (localement) de ramener la
m{\'e}trique {\`a} la forme diagonale 
$g_{\alpha\beta}(\sigma)=\rho(\sigma) \eta_{\alpha\beta}$,
\index{Liouville, champ de}
Le facteur conforme $\rho$ dit {\it champ de Liouville}, se d{\'e}couple
gr{\^a}ce {\`a} la sym{\'e}trie de Weyl, et 
on se ram{\`e}ne ainsi {\`a} l'action {\it gaussienne}
\begin{equation}
\label{sgaussien}
S\left(\{X^\mu(\sigma)\} \right) =
\frac{T}{2} \int d\sigma^0 \wedge d\sigma^1 ~\eta_{\mu\nu}
\partial_\alpha X^{\mu}
\partial^\alpha  X^{\nu} \ ,
\end{equation}
La sym{\'e}trie de Weyl pr{\'e}sente cependant une {\it anomalie quantique},
\index{anomalie!conforme}
et Polyakov a pu prouver que cette anomalie s'annulait uniquement
en dimension 26, {\it dimension critique} de la th{\'e}orie des
\index{critique, dimension}
cordes bosoniques \cite{Polyakov:1981rd}. 

\subsection{Tachyon, spectre de masse nulle et {\'e}tats massifs}
Dans la jauge (\ref{sgaussien}), les 26 coordonn{\'e}es de plongement
$X^{\mu}$ se d{\'e}couplent, et v{\'e}rifient l'{\'e}quation des ondes
bidimensionnelle $\partial_\alpha\partial^\alpha X^\mu=0$~; chaque
coordonn{\'e}e
s'{\'e}crit donc comme somme de composantes droite et gauche,
\begin{equation}
X^{\mu}(\tau,\sigma)=X^{\mu}_L(\tau+\sigma) + X^{\mu}_R(\tau-\sigma)
\end{equation}
elles-m{\^e}mes d{\'e}coupl{\'e}es dans le cas de la corde ferm{\'e}e, auquel
nous nous restreignons ici
\footnote{Dans le cas de la corde ouverte, ces deux composantes
sont identifi{\'e}es par la condition de Neumann
\index{Neumann, condition de}
$\partial_{\sigma}X^{\mu}=0$ aux bords $\sigma=0,\pi$.}.
Il est commode d'effectuer une rotation de Wick sur la surface
d'univers, de sorte que les composantes gauches et droites
s'identifient aux fonctions {\it holomorphes} $X_L(z)$ et 
{\it anti-holomorphes} $X_R(\bar z)$ de la coordonn{\'e}e $z=\sigma+i\tau$.
Les excitations quantiques de la corde ferm{\'e}e sont donc
d{\'e}crites par deux s{\'e}ries d'oscillateurs $\alpha^\mu_n,\bar\alpha^\mu_n$,
\index{oscillateur}
correspondant aux modes de Fourier de $X_L^\mu(z)$ 
et $X_R^\mu(\bar z)$, v{\'e}rifiant les relations
\begin{align}
[\alpha^\mu_n,\alpha^\nu_m]&=[\bar\alpha^\mu_n,\bar\alpha^\nu_m]
=im\delta_{m+n}\eta^{\mu\nu}\\
\alpha^{\mu\dagger}_n&=\alpha^\mu_{-n}\ ,\quad
\bar\alpha^{\mu\dagger}_n=\bar\alpha^{\mu}_{-n}\ ,\quad
\end{align}
et agissant sur le vide de l'espace de Fock  $|p\rangle$ d'impulsion $p_\mu$.
Le mode z{\'e}ro $\alpha^{\mu}_0=\alpha_0^{\mu\dagger}=p^\mu/2$
correspond 
{\`a} l'impulsion totale transverse de la corde. 

L'invariance de jauge sous les diff{\'e}omorphismes de surface d'univers
impose l'annulation du {\it tenseur d'{\'e}nergie-impulsion} sur
la surface d'univers, de modes de Fourier
\begin{eqnarray}
L_0 &= -\frac{\alpha'}{4} p^2 + 
\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{-n}\alpha_{n} -a\ ,\quad
L_n &= \frac{1}{2}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \alpha_{m-n}\alpha_{n}  \\
\bar L_0 &= -\frac{\alpha'}{4}p^2 + 
\sum_{n=1}^{\infty} \bar\alpha_{-n}\bar\alpha_{n} -\bar a\ ,\quad
\bar L_n &= \frac{1}{2}\sum_{m=-\infty}^{\infty} \bar\alpha_{m-n}
\bar\alpha_{n} 
\end{eqnarray}
o{\`u} les constantes  $a$ et $\bar a$, dites {\it intercepts},
\index{intercept|textit}
\index{fant{\^o}me}
sont fix{\'e}es {\`a} la valeur $a=\bar a=1$ par l'absence de
fant{\^o}mes. En particulier, l'annulation de $L_0$ et 
$\bar L_0$ implique la {\it formule de masse} et la
condition de {\it level matching}~:
\index{level matching, condition de}
\index{masse, formule de!de la corde bosonique}
\begin{align}
\label{levmat}
\mathcal{M}^2 &= \frac{2}{\alpha'} \left( N_L + N_R -2\right) \\
N_L &= N_R
\end{align}
o{\`u} $N_L=\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{-n}\alpha_{n}$
et $N_R=\sum_{n=1}^{\infty} \bar\alpha_{-n}\bar\alpha_{n}$
d{\'e}signent les nombres d'oscillateurs gauche et droit.

En particulier, l'{\'e}tat fondamental $N_L=N_R=0$
de l'espace de Fock correspond
{\`a} une particule de masse imaginaire dite {\it tachyon},
\index{tachyon}
r{\'e}v{\'e}latrice de l'instabilit{\'e} de la th{\'e}orie.
Le premier {\'e}tat excit{\'e} $N_L=N_R=1$, soit 
$\zeta_{\mu\nu}~\alpha^\mu_{-1}\bar\alpha^\nu_{-1}|p\rangle$, 
correspond {\`a} des particules de masse nulle, dont le
spin d{\'e}pend du choix du tenseur de polarisation $\zeta_{\mu\nu}$:
\begin{itemize}
\item $\zeta_{\mu\nu}=\zeta\eta_{\mu\nu}$ correspond au champ
scalaire $\phi$ du {\it dilaton} ;
\index{dilaton|textit}
\item $\zeta_{\mu\nu}$ antisym{\'e}trique correspond au tenseur
antisym{\'e}trique de jauge $B_{\mu\nu}$
\index{tenseur antisym{\'e}trique|textit}
\item $\zeta_{\mu\nu}$ sym{\'e}trique de trace nulle correspond au graviton
$g_{\mu\nu}$.
\index{graviton|textit}
\end{itemize}
Les {\'e}tats plus excit{\'e}s forment une tour d'{\'e}tats supermassifs
\index{supermassifs, {\'e}tats}
de masse $\mathcal{M}\sim 1/\alpha'$ de l'ordre de la masse de Planck,
et de spin arbitrairement {\'e}lev{\'e}.
La propagation de la corde dans les champs de fonds $g_{\mu\nu},B_{\mu\nu}(x)$
et $\phi(x)$ peut {\^e}tre d{\'e}crite en g{\'e}n{\'e}ralisant l'action
(\ref{polyakov}) {\`a}
\begin{equation}
\label{sigmod}
S=
\int d^2\sigma \sqrt{g}
\left( \frac{1}{4\pi\alpha'} g^{\alpha\beta}
\partial_\alpha X^{\mu}\partial_\beta  X^{\nu}
g_{\mu\nu}(X) + \frac{i}{2\pi} \epsilon^{\alpha\beta}
B_{\mu\nu}(X) \partial_\alpha X^{\mu}\partial_\beta  X^{\nu}
- \frac{1}{4\pi} \phi(X) R \right)
\end{equation}
Cette action n'est plus gaussienne que dans l'approximation
o{\`u} la taille de la corde $\sqrt{\alpha'}$ est tr{\`e}s
inf{\'e}rieure au rayon  de courbure caract{\'e}ristique de
l'espace-temps. L'{\it invariance conforme} de la th{\'e}orie des champs
\index{conforme, th{\'e}orie des champs!sur la surface d'univers}
sur la surface d'univers\footnote{On pourra se 
reporter {\`a} l'excellent cours \cite{Ginsparg:1988ui}
pour une introduction aux th{\'e}ories des champs conformes
bidimensionnelles.}, n{\'e}cessaire au d{\'e}couplage 
du champ de Liouville
\index{Liouville, champ de}
impose alors une dynamique sur les champs de fond de masse nulle, 
donn{\'e}e par l'annulation des fonctions beta
\index{beta, fonction!sur la surface d'univers}
relatives aux couplages $g_{\mu\nu}$, $B_{\mu\nu}$ et $\phi$~; celle-ci 
peut se r{\'e}sumer au premier ordre en $\alpha'$ en termes
de l'{\it action effective}
\begin{equation}
S=\frac{1}{\alpha^{'12}}\int d^{26}x \sqrt{-g} e^{-2\phi}
\left(R+4(\partial\phi)^2 - \frac{1}{2\cdot 3!} H^2 \right)
\end{equation}
o{\`u} la trois-forme $H=dB$ d{\'e}note la courbure du tenseur de jauge
$B_{\mu\nu}$. La gravitation d'Einstein-Hilbert se trouve
\index{Einstein-Hilbert, action d'}
ainsi incluse et g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}e dans la th{\'e}orie des
cordes.

\subsection{Interactions, dilaton et s{\'e}rie de perturbation}
Les th{\'e}ories des champs associent une constante de couplage
{\`a} chaque type d'interaction selon la nature des particules
incidentes. La th{\'e}orie des cordes au contraire unifie tous
les types de particules comme diff{\'e}rentes excitations d'un 
m{\^e}me objet. Il n'existe alors plus qu'un seul type d'interaction
correspondant {\`a} l'ouverture de deux cordes ferm{\'e}es et leur 
recollement en une seule (interaction de {\it splitting and
joining}), soit l'ouverture d'un {\it manche} dans la surface
\index{splitting and joining}
d'univers. Par transformation conforme, une surface correspondant
{\`a} une interaction {\it {\`a} l'ordre des arbres} de plusieurs
\index{arbres, interaction {\`a} l'ordre des}
{\'e}tats asymptotiques peut {\^e}tre d{\'e}form{\'e}e en une 
{\it sph{\`e}re} ponctu{\'e}e d'autant de pattes ext{\'e}rieures
(figure \ref{arbres})\footnote{On pourra se reporter aux
r{\'e}f{\'e}rences \cite{Friedan:1986ge,D'Hoker:1988ta} 
pour un expos{\'e} d{\'e}taill{\'e}
des m{\'e}thodes de calcul d'amplitudes de diffusion en th{\'e}orie
des cordes~; on trouvera {\'e}galement {\`a} la fin de l'article
en annexe \ref{tt} un exemple d{\'e}taill{\'e} de calcul de diffusion
{\`a} une boucle.}.L'effet de chaque 
particule est incorpor{\'e} par l'insertion
d'un {\it op{\'e}rateur de vertex} local dans la th{\'e}orie
\index{op{\'e}rateur de vertex}
conforme bidimensionnelle, d{\'e}pendant de l'{\'e}tat d'oscillation
interne, de la polarisation et de l'impulsion de la particule.
Le tachyon et le graviton sont ainsi d{\'e}crits par les
insertions
\begin{equation}
\int d^2\sigma \sqrt{g} :e^{ik^\rho X_\rho(\sigma)}:
\sp
\int d^2\sigma \sqrt{g}~ \zeta_{\mu\nu} 
g^{\alpha\beta} :\partial_\alpha X^\mu\partial_\beta X^\nu
e^{ik^\rho X_\rho(\sigma)}: \ .
\end{equation}
La fonction de corr{\'e}lation de la th{\'e}orie conforme sur
la sph{\`e}re en pr{\'e}sence de ces insertions fournit
ainsi l'{\'e}l{\'e}ment de matrice S de diffusion entre ces 
particules.
\fig{3cm}{arbres.eps}{Amplitude de diffusion {\`a} l'ordre des
arbres et repr{\'e}sentation par op{\'e}rateurs de vertex.}{arbres}

Les diagrammes {\`a} $n$ boucles conduisent {\`a} des
corr{\'e}lations d'op{\'e}rateurs de vertex sur des surfaces
de Riemann de genre $n$. Il ne suffit cependant pas d'int{\'e}grer
sur les champs $X^\mu$ de la th{\'e}orie conforme, mais il
faut aussi sommer sur les diff{\'e}rentes m{\'e}triques
$g_{\alpha\beta}$ sur la surface d'univers, ou plus exactement
sur les classes d'{\'e}quivalence de m{\'e}triques {\it modulo}
les diff{\'e}omorphismes et les transformations de Weyl. 
\index{Weyl!dilatation de}
Ces classes d'{\'e}quivalence sont param{\'e}tris{\'e}es par
\index{espace des modules!des surfaces de Riemann}
\index{surface de Riemann!espace des modules}
{\it un espace des modules}\footnote{
Il ne faut pas confondre cet espace des modules 
avec l'espace des modules
d{\'e}crivant les vides des th{\'e}ories de champs ou de cordes.
Cet espace correspond au quotient de l'{\it espace de Teichm{\"u}ller},
d{\'e}crivant les m{\'e}triques modulo les transformations de Weyl
et les diff{\'e}omorphismes connect{\'e}s {\`a} l'identit{\'e},
par le {\it groupe modulaire} d{\'e}crivant les classes de diff{\'e}omorphismes
\index{groupe! modulaire des surfaces de Riemann}
non connect{\'e}s {\`a} l'identit{\'e}.}
de dimension finie $6n-6$ (ou 0 pour $n=0$,et 2 pour $n=1$),
sur lequel on doit encore int{\'e}grer. Ainsi, dans le cas 
d'un diagramme {\`a} une boucle, la m{\'e}trique est d{\'e}finie aux
diff{\'e}omorphismes et transformations de Weyl pr{\`e}s par le 
param{\`e}tre de structure complexe $\tau$, tel que 
$ds^2\equiv |d\sigma^0 + \tau d\sigma^1|^2$. $\tau$ prend ses
valeurs dans {\it le demi-plan de Poincar{\'e} modulo le groupe
\index{Poincar{\'e}, demi-plan de}
modulaire $Sl(2,\Zint)$}. Ce quotient peut {\^e}tre repr{\'e}sent{\'e}
par le {\it domaine fondamental}
\index{domaine fondamental modulaire}
\begin{equation}
\mathcal{F}=\{ \tau\in\CC /\quad 
\tau_2 >0,\ |\tau|\ge 1 \mbox{ et } -\frac{1}{2}\le \tau_1 \le 
\frac{1}{2}\} \ .
\end{equation}
La partie imaginaire de $\tau_2$ peut {\^e}tre vue comme le {\it param{\`e}tre
de Schwinger} de la th{\'e}orie des champs ordinaire, tandis que
\index{Schwinger, param{\`e}tre de}
l'int{\'e}grale sur $\tau_1 \in [-1/2,1/2]$ impose la condition de
{\it level matching} (\ref{levmat}). En particulier, 
\index{level matching, condition de}
la r{\'e}gion de faible param{\`e}tre de Schwinger
$\tau_2 \rightarrow 0$,
correspondant {\`a} la r{\'e}gion ultraviolette, est exclue de ce
domaine (ou plus exactement {\'e}quivalente {\`a} la r{\'e}gion $\tau_2 
\rightarrow +\infty$ par transformation modulaire), ce qui explique
l'absence de divergences ultraviolettes en th{\'e}orie des cordes.
\index{divergence ultraviolette!absence en th{\'e}orie des cordes}
L'amplitude de transition vide-vide (ou, en d'autres termes,
la constante cosmologique)
\index{cosmologique, constante}
{\`a} une boucle s'{\'e}crit alors, pour la th{\'e}orie bosonique
en espace plat,
\begin{equation}
\label{Zboso}
\mathcal{A}=\int_{\mathcal{F}} \frac{d^2\tau}{\tau_2^2} Z(\tau,\bar\tau)\ ,
\quad Z(\tau,\bar\tau)=(\tau_2)^{-24/2} 
\frac{1}{\eta^{24}(\tau)\bar\eta^{24}(\bar\tau)}
\end{equation}
o{\`u} les fonctions modulaires
\index{modulaire, forme}
\footnote{L'article en appendice \ref{tt} rassemble les
identit{\'e}s utiles sur les fonctions modulaires, et
fournit une introduction d{\'e}taill{\'e}e au calcul
d'amplitudes {\`a} une boucle en th{\'e}orie des cordes.
On se reportera {\'e}galement avec profit aux r{\'e}f{\'e}rences
\cite{Ginsparg:1988ui,Kiritsis:1997hj}.}
 $\eta^{24}(\tau)$ 
et $\bar\eta^{24}(\bar\tau)$ de Dedekind 
correspondent aux contributions des 24 oscillateurs gauches
et droits, tandis que le pr{\'e}facteur $\tau_2^{-D/2}
\sim\int d^{D-2}p$ $e^{-\pi p^2\tau_2}$ correspond
{\`a} l'int{\'e}gration 
sur l'impulsion transverse des {\'e}tats dans la boucle.
L'int{\'e}grand $Z(\tau,\bar\tau)$ correspond {\`a} la {\it fonction de
  partition}
\index{partition, fonction de!des th{\'e}ories de cordes}
des modes de la corde. Son {\it invariance sous les transformations
modulaires de $\tau$} est
un pr{\'e}requis fondamental pour la coh{\'e}rence de la th{\'e}orie
\footnote{La fonction $\eta(\tau)$ n'est en effet invariante
modulaire qu'{\`a} une racine 24-i{\`e}me de l'unit{\'e} pr{\`e}s.
On retrouve ainsi la dimension critique $D=26$ de la 
\index{critique, dimension}
th{\'e}orie des cordes bosoniques, bien que cet argument
n'{\'e}limine pas les autres possibilit{\'e}s $D=24k+2, k\in\Zint$.}.

Le calcul d'une amplitude physique doit donc prendre en
compte les surfaces d'univers de {\it genre} $n$ arbitraire
pour d{\'e}crire les diagrammes de Feynman de nombre de boucles
quelconque, ce qui lui vaut le nom de 
\index{genre, d{\'e}veloppement en}
\index{serie de perturbation@s{\'e}rie de perturbation!en th{\'e}orie des cordes}
\index{surface de Riemann!genre}
\index{Euler, caract{\'e}ristique d'}
{\it d{\'e}veloppement en genre}. Le genre d'une surface de Riemann, reli{\'e}
{\`a} la {\it caract{\'e}ristique d'Euler} $\chi=2-2n$, peut s'{\'e}crire 
comme l'int{\'e}grale sur la surface d'univers d'un terme local
topologique
\begin{equation}
\chi = 2-2n = \frac{1}{4\pi} \int d^2\sigma~\sqrt{g} R 
\end{equation}
qui n'est autre que l'op{\'e}rateur 
d{\'e}crivant le couplage
du dilaton {\`a} la surface d'univers dans l'{\'e}quation (\ref{sigmod}). 
{\it Les surfaces de genre $n$
sont donc pond{\'e}r{\'e}es par un facteur $e^{(2n-2)\phi}$}, o{\`u}
$\phi$ d{\'e}signe ici la valeur moyenne du champ de dilaton,
que nous pouvons donc identifier avec {\it le couplage 
de la th{\'e}orie des cordes} :
\index{dilaton}
\begin{equation}
g=e^{\phi}\ .
\end{equation}
Cette formulation de la th{\'e}orie des cordes appara{\^\i}t donc
{\it essentiellement perturbative}. Parler d'effets 
non perturbatifs ne saurait avoir de sens que dans le
cadre d'une th{\'e}orie plus large dont le d{\'e}veloppement
en genre, ou {\it d{\'e}veloppement de cordes}, ne repr{\'e}sente 
qu'un sch{\'e}ma d'approximation.

\section{Les th{\'e}ories de supercordes}
La th{\'e}orie des cordes bosoniques d{\'e}crite {\`a} grands traits 
dans la section pr{\'e}c{\'e}dente pr{\'e}sente de nombreuses insuffisances.
L'{\it existence du tachyon} montre qu'elle n'est pas d{\'e}finie 
\index{tachyon}
au voisinage de son vide stable, et la th{\'e}orie de perturbation
n'a donc pas de sens. L'{\it absence de particules fermioniques} est
regrettable pour une th{\'e}orie
visant {\`a} l'unification des forces, bien qu'il ne soit pas exclu
que ces particules apparaissent autour du point stable de 
cette th{\'e}orie. Les {\it th{\'e}ories des supercordes} pallient
{\`a} ces insuffisances en introduisant des champs fermioniques
sur la surface d'univers, de mani{\`e}re {\`a} {\'e}tendre la sym{\'e}trie
conforme en une sym{\'e}trie {\it superconforme}. 
\index{conforme, th{\'e}orie des champs!superconforme}
Cette sym{\'e}trie locale contient en particulier
la supersym{\'e}trie locale de la supergravit{\'e} bidimensionnelle.
La contribution {\`a} la charge centrale de l'alg{\`e}bre conforme
des fant{\^o}mes de Faddeev-Popov correspondants abaisse la
\index{fant{\^o}me}
dimension critique des th{\'e}ories de supercordes {\`a} $D=10$.
\index{critique, dimension}
Tandis que les champs
bosoniques, repr{\'e}sentant les coordonn{\'e}es physiques de la
corde, doivent {\^e}tre d{\'e}finis globalement sur la surface
d'univers, les champs fermioniques peuvent {\^e}tre soit
p{\'e}riodiques soit antip{\'e}riodiques {\it le long de la corde},
d{\'e}finissant ainsi les secteurs de {\it Ramond} (R)
et de {\it Neveu-Schwarz} (NS). L'invariance modulaire 
\index{Ramond, secteur de|textit}
\index{Neveu-Schwarz, secteur de|textit}
impose alors l'introduction de p{\'e}riodicit{\'e}s d{\'e}finies
{\it le long de l'axe du temps propre}
de la surface d'univers, projetant effectivement
la moiti{\'e} de chaque secteur. Plus g{\'e}n{\'e}ralement, sur une surface
de Riemann de genre $n$, on est amen{\'e} {\`a} sommer sur tous les
choix de {\it structure de spin}
\index{spin, structure de|textit} 
$s=\ar{a_1\dots a_n}{b_1\dots b_n}$, 
soit $2n$ signes $ (-)^{a_i}, (-)^{b_i}$
correspondant aux p{\'e}riodicit{\'e}s autour de chacun des cycles 
d'homologie $A_i,B_i$ (figure \ref{riemann} page \pageref{riemann}), 
\index{surface de Riemann!homologie des}
avec une phase $(-)^{\alpha(s)}$ d{\'e}termin{\'e}e
par les imp{\'e}ratifs d'invariance modulaire et de factorisation
\cite{Alvarez-Gaume:1986es,Seiberg:1986by}.
Cette projection, dite
GSO du nom de ses inventeurs Gliozzi,
\index{GSO, projection|textit}
Scherk et Olive \cite{Gliozzi:1976jf}, {\'e}limine en particulier du spectre
le tachyon, et garantit l'existence d'un nombre {\'e}gal
de particules bosoniques et fermioniques {\`a} chaque
niveau d'excitation. La {\it supersym{\'e}trie d'espace-temps}
\index{supersym{\'e}trie!du spectre des supercordes}
n'est pas manifeste dans cette construction~;
Green et Schwarz en ont donn{\'e} une formulation {\'e}quivalente
\index{Green et Schwarz, corde de}
dans le c{\^o}ne de lumi{\`e}re o{\`u} cette supersym{\'e}trie est explicite 
\index{front de lumi{\`e}re}
\cite{Green:1981yb}. Ce gain est cependant obtenu 
au d{\'e}triment de l'invariance de Lorentz {\`a} dix dimensions.

\subsection{Cordes ferm{\'e}es de type II\label{rns}}

En associant {\`a} chaque boson $X^{\mu}(\sigma,\tau)$ son partenaire
supersym{\'e}trique $\psi^\mu(\sigma,\tau)$ et en appliquant la projection GSO
s{\'e}par{\'e}ment dans chacun des secteurs gauche et droit, on obtient
ainsi les supercordes de type IIA et IIB, selon le
\index{supercordes, th{\'e}orie des!de type IIA|textit}
\index{supercordes, th{\'e}orie des!de type IIB|textit}
choix du signe relatif de la projection GSO entre les deux secteurs.
Leur d{\'e}finition est r{\'e}sum{\'e}e succintement dans la fonction
\index{partition, fonction de!des th{\'e}ories de cordes}
de partition\footnote{C'est plut{\^o}t d'un {\it indice}
de partition qu'il faudrait parler, car les fermions sont
compt{\'e}s avec un signe oppos{\'e} {\`a} celui des bosons.}
\begin{equation}
\label{ztypeii}
Z_{\; \II}(\tau,\bar\tau)= \frac{1 }{ \t_2^4}
\cdot
\frac{1}{\eta^{8}\bar\eta^{8}}
\cdot
\frac{1}{2}\sum_{a,b=0}^1
(-1)^{a+b+ab} \left( \frac{\th\ss}{\eta} \right)^{8/2}
\cdot
\frac{1}{2}\sum_{\bar{a}, \bar{b} =0}^1
(-1)^{\ba + \bb + \epsilon \ba \bb }
\left(\frac{\thb\bss}{\bar\eta}\right)^{8/2}
\end{equation}
avec $\epsilon=1$ en type IIB et $\epsilon=0$ en type IIA.
L'interpr{\'e}tation de cette expression est transparente 
si l'on choisit la jauge du c{\^o}ne de lumi{\`e}re, 
\index{lumi{\`e}re, front de!th{\'e}orie des cordes}
o{\`u} $\mu$ est effectivement
restreint aux huit coordonn{\'e}es transverses.
On reconna{\^\i}t alors respectivement l'int{\'e}grale sur les
impulsions transverses, la contribution des huit oscillateurs 
bosoniques transverses, et celle des huits fermions
gauches et droits de structure de spin $\ss$ et $\bss$.
La fonction de partition comprend {\it quatre secteurs} selon la valeur
de $(a,\ba)$, et la sommation sur $(b,\bb)$ impose
les projections GSO dans chaque secteur.
Le caract{\`e}re bosonique ou fermionique
d{\'e}pend de la phase $(-)^{a+b+ab+\ba+\bb+\epsilon\ba\bb}$ 
{\'e}valu{\'e}e en  $(b,\bb)=0$. 
Apr{\`e}s projection, 
l'{\'e}tat fondamental d'un complexe de huit fermions
de Neveu-Schwarz ($a=1$) correspond {\`a} un vecteur 
${\bf 8_v}$ sous le groupe de Lorentz transverse $SO(8,\Real)$,
tandis que l'{\'e}tat fondamental d'un complexe de huit fermions
de Ramond ($a=0$) correspond {\`a} un spineur 
${\bf 8_s}$ ou ${\bf 8_c}$ selon le choix du signe de la projection.
Le spectre dans chaque secteur $(a,\ba)$ peut ainsi {\^e}tre obtenu 
par produit tensoriel des repr{\'e}sentations gauche et droite:

\begin{itemize}
\item le secteur $(1,1)$, dit {\it de Neveu-Schwarz} (ou NS-NS),
comprend 64 degr{\'e}s de libert{\'e}s dans les repr{\'e}sentations
$\mathbf{8_v} \otimes \mathbf{8_v} = 
\mathbf{1} \oplus \mathbf{28} \oplus\mathbf{35_v}$
correspondant au dilaton $\phi$, graviton 
\index{dilaton}
$g_{\mu\nu}$ et tenseur antisym{\'e}trique $B_{\mu\nu}$
respectivement ;
\index{tenseur antisym{\'e}trique}

\item le contenu du secteur $(0,0)$, dit {\it de Ramond} (ou R-R)
d{\'e}pend du choix de la chiralit{\'e} relative des spineurs
gauche et droit. Dans le cas de la th{\'e}orie de type IIA, le
produit des deux spineurs de chiralit{\'e} oppos{\'e}e donne un
contenu non-chiral $\mathbf{8_s} \otimes \mathbf{8_c} = 
\mathbf{8_v} \oplus \mathbf{56_v}$ correspondant aux tenseurs
antisym{\'e}triques de jauge $\mathcal{A}_\mu$ et $\mathcal{C}_{\mu\nu\rho}$
\footnote{On pourrait aussi bien consid{\'e}rer des potentiels
de jauge duaux de Poincar{\'e} {\`a} $\mathcal{A}_1$ et $\mathcal{C}_3$,
qui poss{\`e}deraient les m{\^e}mes degr{\'e}s de libert{\'e} sur la couche
de masse.}.
Dans le cas de type IIB, on obtient au contraire un contenu chiral
$\mathbf{8_s} \otimes \mathbf{8_s} = 
\mathbf{1} \oplus \mathbf{28} \oplus \mathbf{35_c}$
repr{\'e}sentable en termes d'un champ scalaire $\axion$,
d'un tenseur antisym{\'e}trique $\mathcal{B}_{\mu\nu}$
et d'un tenseur {\`a} courbure autoduale $\mathcal{D}_{\mu\nu\rho\sigma}$.
Le statut des champs de Ramond est tr{\`e}s diff{\'e}rent de celui
des champs de Neveu-Schwarz. La corde fondamentale n'est pas charg{\'e}e
par rapport {\`a} ces champs. En particulier, il n'existe pas de
mod{\`e}le sigma non-lin{\'e}aire g{\'e}n{\'e}ralisant le lagrangien
(\ref{sigmod}) en pr{\'e}sence de champs de fond de Ramond.

\item les deux secteurs fermioniques $(0,1)$ et $(1,0)$ (ou R-NS et NS-R)
sont identiques ({\`a} un changement de chiralit{\'e} pr{\`e}s en type IIA),
et contiennent chacun un gravitino et un fermion, selon
$\mathbf{8_v} \otimes \mathbf{8_s} =  
\mathbf{8_c} \oplus \mathbf{56_c}$.
Ils constituent les partenaires supersym{\'e}triques des bosons
des secteurs de Neveu-Schwarz et Ramond.

\end{itemize}
On obtient ainsi des th{\'e}ories de supersym{\'e}trie $N=2$ 
{\`a} dix dimensions (soit 32 supercharges), chirale
(type IIB) ou non chirale (type IIA), dont les descriptions
de basse {\'e}nergie sont donn{\'e}es par les th{\'e}ories de
supergravit{\'e} d{\'e}crites au chapitre pr{\'e}c{\'e}dent. Les
propri{\'e}t{\'e}s de supersym{\'e}trie se manifestent dans
le calcul des amplitudes physiques par diff{\'e}rentes annulations.
En particulier, la fonction de partition (\ref{ztypeii})
est identiquement nulle par l'identit{\'e} sur les fonctions
th{\'e}ta
\begin{equation}
\label{riem}
\sum_{a,b=0}^1
(-1)^{a+b+ab} \th^4 \ss = 0
\end{equation}
\index{Riemann, identit{\'e} de}
qui traduit la compensation entre les degr{\'e}s de libert{\'e} bosonique
et fermionique {\`a} chaque niveau. La constante cosmologique {\`a} une boucle,
\index{cosmologique, constante}
{\'e}gale {\`a} l'int{\'e}grale modulaire de la fonction de partition,
est donc aussi nulle\footnote{Cette annulation ne semble pas {\^e}tre
une cons{\'e}quence de la supersym{\'e}trie d'espace-temps, puisqu'il
existe des th{\'e}ories de supergravit{\'e} g{\'e}n{\'e}rant une constante
cosmologique non nulle {\`a} une boucle.}.

\subsection{Cordes de type I}
\index{supercordes, th{\'e}orie des!de type I|textit}
Ayant obtenu une version supersym{\'e}trique de la th{\'e}orie des
cordes ferm{\'e}es,
il est naturel de chercher une construction correspondante pour
les cordes ouvertes. Les {\it th{\'e}ories de supercordes ouvertes},
dites de type I, ont connu un
regain d'int{\'e}r{\^e}t r{\'e}cent en liaison avec la (re)d{\'e}couverte
des D-branes. Elles n'occupent cependant pas une position
\index{D-brane}
centrale pour ce travail de th{\`e}se, aussi serons-nous
plus brefs encore qu'{\`a} l'accoutum{\'e}e (le lecteur pourra se reporter
{\`a} \cite{Fabre:1997} pour plus de d{\'e}tails.).
La corde bosonique ferm{\'e}e pr{\'e}sentait deux s{\'e}ries d'oscillateurs
gauche et droits $\alpha_n$ et $\bar\alpha_n$. Les conditions aux
limites de Neumann des cordes ouvertes identifient ces op{\'e}rateurs
de mani{\`e}re {\`a} ne plus laisser que les modes stationnaires.
Cette op{\'e}ration revient {\`a} prendre le quotient par l'involution
$z\rightarrow \bar z$ {\it inversant l'orientation
de la surface d'univers}. Dans le cas de la th{\'e}orie des 
supercordes de type II, cette op{\'e}ration doit {\^e}tre combin{\'e}e
avec une involution $(-)^F$ sur l'espace de Fock fermionique
et un {\'e}change des fermions gauches et droits,
ce qui n'est possible qu'en type IIB lorsque ceux-ci sont
de m{\^e}me chiralit{\'e}. Cette identification {\'e}limine
la moiti{\'e} des supersym{\'e}tries de la th{\'e}orie de type IIB.
Elle introduit dans le d{\'e}veloppement en genre, 
\index{genre, d{\'e}veloppement en}
en plus des surfaces de Riemann orientables
de la th{\'e}orie IIB, des surfaces ferm{\'e}es {\it non-orientables}, ainsi
que des surfaces {\it avec bords}.
La caract{\'e}ristique d'Euler d'une surface de genre $n$ avec
\index{Euler, caract{\'e}ristique d'|textit}
$b$ bords et $c$ points de non-orientabilit{\'e} (dits
{\it crosscaps}) s'{\'e}crivant $\chi=2-2n-b-c$, on voit
\index{crosscap}
qu'{\`a} l'ordre d'une boucle il est n{\'e}cessaire d'introduire
la {\it bouteille de Klein} ($c=2,b=n=0$), l'{\it anneau}
($b=2,c=n=0$) et le {\it ruban de M{\"o}bius} ($b=c=1,n=0$).
L'existence d'un bord permet le couplage {\`a} un
champ de jauge par l'interm{\'e}diaire de charges ponctuelles
dites de {\it Chan-Paton}, de groupe $SO(n)$ ou $USp(n)$
\index{Chan-Paton, facteur de}
dans le cas de cordes ouvertes non orient{\'e}es, en accord
avec l'existence d'un champ de jauge dans le spectre de
masse nulle.  
Le crit{\`e}re d'invariance modulaire est beaucoup moins puissant dans le cas
\index{modulaire, invariance}
des th{\'e}ories de cordes ouvertes, et doit {\^e}tre compl{\'e}t{\'e} par le
crit{\`e}re de {\it compensation des  tadpoles} n{\'e}cessaire
\index{tadpoles, compensation de}
{\`a} l'absence de divergences ultraviolettes. Ce pr{\'e}requis
\index{divergence ultraviolette!absence en th{\'e}orie des cordes}
fixe les coefficients respectifs des diff{\'e}rents diagrammes,
et restreint le groupe de jauge {\`a} $SO(32)$, en accord
avec les restrictions de compensation d'anomalies
\index{anomalie!gravitationnelle}
dans la th{\'e}orie de supergravit{\'e} de type I
\index{supergravit{\'e}!de type I}
discut{\'e}es au chapitre pr{\'e}c{\'e}dent.
On obtient ainsi {\it la th{\'e}orie des supercordes de type I},
\index{supercordes, th{\'e}orie des!de type I}
dont le spectre de masse nulle comprend le dilaton
et graviton du secteur de Neveu-Schwarz des cordes ferm{\'e}es (mais pas 
le tenseur antisym{\'e}trique exclu par la projection),
le tenseur antisym{\'e}trique de Ramond $\mathcal{B}_{\mu\nu}$,
\index{secteur de Neveu-Schwarz}
\index{secteur de Ramond}
\index{tenseur antisym{\'e}trique}
ainsi que le champ de jauge $SO(32)$ du secteur des cordes ouvertes 
et leurs partenaires fermioniques sous la supersym{\'e}trie $N=1$
{\`a} dix dimensions.

\subsection{Cordes h{\'e}t{\'e}rotiques}
\index{supercordes, th{\'e}orie des!h{\'e}t{\'e}rotiques|textit}
L'introduction de supersym{\'e}trie sur la surface d'univers
et le choix d'une projection convenable 
a ainsi permis de r{\'e}soudre le probl{\`e}me du tachyon
et de l'absence de fermions de la  th{\'e}orie
des cordes bosonique. L'absence de sym{\'e}trie de
jauge non ab{\'e}lienne augure mal cependant de
l'avenir ph{\'e}nom{\'e}nologique de la th{\'e}orie des supercordes de type II.
La th{\'e}orie des cordes de type I pr{\'e}sente bien une
invariance de jauge non ab{\'e}lienne, mais la construction de mod{\`e}les
chiraux en dimension 4 est rest{\'e}e longtemps difficile en raison
de l'absence d'un crit{\`e}re d'invariance modulaire commode.
Gr{\^a}ce {\`a} la d{\'e}couverte de la th{\'e}orie des supercordes
h{\'e}t{\'e}rotiques, il est devenu possible de construire des mod{\`e}les
ph{\'e}nom{\'e}nologiques viables reproduisant les trois g{\'e}n{\'e}rations
de mati{\`e}re chirale, ouvrant ainsi l'{\`e}re de la 
\index{chiralit{\'e}}
<<ph{\'e}nom{\'e}nologie des supercordes>>.
\index{phenomenologie@ph{\'e}nom{\'e}nologie}
La construction des cordes h{\'e}t{\'e}rotiques 
repose sur le constat que les secteurs
gauche et droit des th{\'e}ories de cordes ferm{\'e}es ne sont coupl{\'e}s
que par les modes z{\'e}ro bosoniques et fermioniques. En revanche,
la d{\'e}finition d'une projection GSO ne requiert la supersym{\'e}trie
\index{GSO, projection}
que d'un seul c{\^o}t{\'e} et suffit {\`a} garantir l'absence de
tachyon et la pr{\'e}sence de fermions dans le spectre.
Gross, Harvey, Martinec et Rohm ont ainsi propos{\'e} en 1985
une th{\'e}orie des cordes combinant 
la th{\'e}orie superconforme $N=1$ d{\'e}finissant la corde
de type II dans le secteur gauche, et la th{\'e}orie conforme
non supersym{\'e}trique de la corde bosonique dans le 
secteur droit \cite{Gross:1985dd}. Les dix champs gauches $X_L^{\mu}(z)$
sont ainsi associ{\'e}s avec les dix
champs droits $X_R^{\mu}(\bar z)$ pour d{\'e}finir les
coordonn{\'e}es de plongement de la corde h{\'e}t{\'e}rotique,
tandis que les seize champs suppl{\'e}mentaires 
$X^I_R(\bar z)$, soit apr{\`e}s fermionisation les trente-deux
fermions droits $\psi^i(\bar z)$, sont utilis{\'e}s
pour r{\'e}aliser une alg{\`e}bre de courant de rang 16.
Les contraintes d'invariance modulaire restreignent alors
\index{modulaire, invariance}
cette alg{\`e}bre {\`a} $SO(32)$ et $E_8\times E_8$ comme attendu
d'apr{\`e}s l'analyse de la compensation d'anomalies par
Green et Schwarz. La fonction de partition de ces mod{\`e}les
\index{Green et Schwarz, m{\'e}canisme de}
s'{\'e}crit ainsi
\index{partition, fonction de!des th{\'e}ories de cordes}
\begin{equation}
\label{zhet}
Z_{\; \rm het}(\tau,\bar\tau)= \frac{1}{\t_2^4}
\cdot
\frac{1}{\eta^{8}\bar\eta^{8}}
\cdot
\frac{1}{2}\sum_{a,b=0}^1
(-1)^{a+b+ab} \left( \frac{\th\ss}{\eta} \right)^{8/2}
\cdot
\left[ \frac{1}{2}
\sum_{\bar{a}, \bar{b} =0}^1
\left(\frac{\thb\bss}{\bar\eta}\right)^{16/2}
\right]^2
\end{equation}
o{\`u} l'on reconna{\^\i}t {\`a} nouveau l'int{\'e}grale des modes z{\'e}ros,
les huit oscillateurs bosoniques transverses, leurs partenaires
supersym{\'e}triques gauches, et les 32 fermions droits r{\'e}partis
en deux groupes de 16. Le terme entre crochets reproduit
le caract{\`e}re de l'alg{\`e}bre affine $SO(32)$, ou
aussi bien celui de l'alg{\`e}bre affine $E_8\times E_8$~;
bien que les fonctions de partition de ces deux mod{\`e}les
soient identiques, les spectres
soient en effet distincts. A nouveau, la m{\^e}me identit{\'e}
(\ref{riem})
implique l'annulation de cette fonction de partition.

\section{Compactification et T-dualit{\'e}}
\index{compactification!des th{\'e}ories de cordes}
A ce stade, nous avons obtenu les cinq th{\'e}ories des
supercordes supersym{\'e}triques en dimension critique : 
cordes ferm{\'e}es de type IIA et IIB, cordes ouvertes
de type I, cordes h{\'e}t{\'e}rotiques $SO(32)$ et 
$E_8 \times E_8$. La simplicit{\'e} relative de cette
classification s'{\'e}vanouit d{\`e}s que l'on consid{\`e}re
ces th{\'e}ories en dimension inf{\'e}rieure, tout d'abord
en raison de la multiplicit{\'e} des compactifications
possibles, et ensuite de l'existence de constructions
non g{\'e}om{\'e}triques directement en dimension inf{\'e}rieure.
Nous nous contenterons ici de discuter les deux cas les
plus simples pr{\'e}servant respectivement tout ou moiti{\'e}
de la supersym{\'e}trie : compactifications toro{\"\i}dales
et sur vari{\'e}t{\'e} $K_3$. Ces deux cas suffiront aux besoins
de cette th{\`e}se, et {\`a} r{\'e}v{\'e}ler l'originalit{\'e}
de la perception de l'espace-temps par la th{\'e}orie
des cordes. Ils nous fourniront l'exemple de
dualit{\'e}s perturbatives, pr{\'e}curseurs des S-dualit{\'e}s
que nous consid{\`e}rerons dans la section suivante.

\subsection{Compactification toro{\"\i}dale de la corde bosonique ferm{\'e}e}
Nous avons d{\'e}ja discut{\'e} la compactification 
des th{\'e}ories de champs sur un cercle dans la section \ref{sugracomp}:
chaque {\'e}tat de la th{\'e}orie originale se scinde en une
tour d'{\'e}tats de Kaluza-Klein de masse $\mathcal{M}= m/R$.
\index{Kaluza-Klein!excitation de}
Dans le cas de la th{\'e}orie des cordes, la situation est qualitativement
diff{\'e}rente puisque l'existence d'un cycle non-trivial autorise
de nouvelles configurations, dites {\it instantons de surface d'univers},
\index{instanton!de surface d'univers}
o{\`u} la corde s'enroule $n$ fois autour de ce cercle. Les entiers
\index{enroulement!etat d'@{\'e}tat d'}
$m$ et $n$ correspondent aux {charges {\'e}lectriques} sous la
sym{\'e}trie de jauge $U(1)_L \times U(1)_R$ correspondant aux vecteurs
$g_{\mu1}$ et $B_{\mu1}$, o{\`u} l'indice $1$ d{\'e}signe la direction compacte.
La th{\'e}orie 
conforme d{\'e}crivant ces {\'e}tats est une th{\'e}orie de boson
compact libre soluble explicitement.
Chaque couple $(m,n)$
d{\'e}crit un {\'e}tat <<fondamental>> $|m,n\rangle$ de la th{\'e}orie conforme
d'{\'e}nergie $H= L_0 + \bar L_0$ et spin conforme $S=L_0 -\bar L_0$ avec
\begin{eqnarray}
L_0 &=& \frac{\alpha'}{4} \left( \frac{m}{R} + n \frac{R}{\alpha'} \right)^2 \\
\bar L_0 &=& \frac{\alpha'}{4} 
\left( \frac{m}{R} - n \frac{R}{\alpha'} \right)^2  \ ,
\end{eqnarray}
sur lequel est construite une tour d'{\'e}tats d'oscillations identique
{\`a} celle d'un boson non compact, soumise {\`a} la condition de 
{\it level matching}
\index{level matching, condition de}
\begin{equation}
N_R - N_L = mn\ .
\end{equation}
La fonction de partition 
s'{\'e}crit donc 
\begin{equation}
\label{Zr}
Z(R;\tau,\bar\tau) = \frac{1}{\eta\bar\eta}
\sum_{m,n=-\infty}^{\infty} q^{L_0} \bar q^{\bar L_0}
\end{equation}
o{\`u} $q=e^{2i\pi\tau}$. On constate en particulier que {\it cette
fonction de partition est invariante sous l'inversion du rayon}
$R\rightarrow 
\alpha'/R$.
\index{T-dualit{\'e}!sur un cercle}
\index{T-dualit{\'e}|textit}      
Cette sym{\'e}trie, dite {\it T-dualit{\'e}}\footnote{
La sym{\'e}trie de T-dualit{\'e} est d{\'e}crite en d{\'e}tail
dans l'article de revue \cite{Giveon:1994fu}.}, 
correspond {\`a} une dualit{\'e}
de Poincar{\'e} $\partial_\alpha X \rightarrow \epsilon_{\alpha\beta}
\index{dualit{\'e}!de Poincar{\'e}}
\partial^\beta X$ sur la surface d'univers,
soit $X(\bar z) \rightarrow -X(\bar z)$. Elle
agit sur le spectre des {\'e}tats en {\'e}changeant le
nombre classique d'enroulement $n$ avec le nombre quantique de moment $m$.
En particulier, lorsque $R\rightarrow 0$, les {\'e}tats enroul{\'e}s
autour du cercle $(m=0,n\ne 0)$ deviennent toujours plus l{\'e}gers,
tandis que les {\'e}tats de Kaluza-Klein deviennent plus massifs.
\index{decompactification@d{\'e}compactification, limite de}
De mani{\`e}re duale, lorsque le cercle est d{\'e}compactifi{\'e}, ce sont les
{\'e}tats d'enroulement qui deviennent supermassifs, tandis que les
{\'e}tats de moment approchent la masse nulle. Cette sym{\'e}trie,
que nous avons ici v{\'e}rifi{\'e}e  {\`a} l'ordre d'une boucle, est valide 
{\`a} tous les ordres en perturbation, moyennant la transformation
$e^{\phi}\rightarrow e^{\phi}\sqrt{\alpha'}/R$ du dilaton
\index{dilaton}
\footnote{Cette transformation pr{\'e}serve le dilaton
effectif $e^{-2\phi_{D-1}}=R e^{-2\phi_D}/\sqrt{\alpha'}$.}, 
et elle commute
donc avec le d{\'e}veloppement perturbatif. 
Au point {\it autodual} $R=\sqrt{\alpha'}$, les {\'e}tats
de charges $(m,n)=(\pm 1,\pm 1)$ deviennent de masse nulle
et correspondent aux {\it bosons de jauge}
associ{\'e}s {\`a} l'{\it extension} de la sym{\'e}trie de jauge
$U(1)_L\times U(1)_R$ en une {\it sym{\'e}trie non ab{\'e}lienne}
$SU(2)_L \times SU(2)_R$. Cette sym{\'e}trie de jauge est
\index{sym{\'e}trie de jauge!extension}
{\it spontan{\'e}ment bris{\'e}e} pour $R\ne 1$, et la T-dualit{\'e} 
\index{T-dualit{\'e}!comme sym{\'e}trie de jauge}
peut s'interpr{\'e}ter comme la {\it sym{\'e}trie de Weyl} r{\'e}siduelle
\index{Weyl!sym{\'e}trie de}
sous cette brisure. A ce titre,
elle doit donc {\^e}tre {\it exacte} dans une g{\'e}n{\'e}ralisation
non perturbative de la th{\'e}orie des cordes.

Cette sym{\'e}trie $\Zint_2$ admet une extension remarquable
dans le cas des compactifications toro{\"\i}dales sur un 
\index{T-dualit{\'e}!sur un tore $T^d$|textit}
tore $T^d$ de dimension sup{\'e}rieure. Il est alors n{\'e}cessaire
de pr{\'e}ciser {\`a} la fois la m{\'e}trique sur le tore $g_{IJ}$
et la valeur moyenne du tenseur antisym{\'e}trique $B_{IJ}$.
Ces $d^2$ champs scalaires correspondent {\`a} autant de
modules de la th{\'e}orie compactifi{\'e}e. Moments et enroulements
sont alors quantifi{\'e}s par des entiers $m_I$ et $n^I$ tels
que
\begin{equation}
X^{I}(\sigma,\tau) = g^{IJ} m_J \tau + n^I \sigma \ .
\end{equation}
L'{\'e}nergie et le spin conforme sont donn{\'e}s par
\begin{eqnarray}
L_0 + \bar L_0 &=& \frac{\alpha'}{2} \left( m_I +B_{IJ} n^J\right) g^{IK} 
\left( m_K +B_{KL} n^L\right) + \frac{1}{2\alpha'} n^{I} g_{IJ} n^J \\
L_0 - \bar L_0 &=& m_I n^I
\end{eqnarray}
Le vecteur $p=(m_I,n^I)$ {\`a} $2d$ composantes d{\'e}crit alors un
{\it r{\'e}seau} muni de la norme {\it paire} $2 m_I n^I$ de signature $(d,d)$,
et de la m{\'e}trique $L_0 + \bar L_0$ de volume {\it unit{\'e}}.
La fonction de partition associ{\'e}e {\`a} ce r{\'e}seau $\Gamma_{d,d}$
\index{partition, fonction de!d'un r{\'e}seau}
\index{auto-dual pair, r{\'e}seau}
{\it auto-dual pair} 
\begin{equation}
Z_{d,d}(g,B;\tau,\bar\tau) = 
\frac{1}{\eta ^d \bar\eta ^d} \sum_{m_I,n^I} q^{L_0} \bar q^{\bar L_0}
\ ,\quad q=e^{2\pi i \tau}
\end{equation}
est donc bien une fonction {\it invariante modulaire}, et repr{\'e}sente
\index{modulaire, invariance}
la fonction de partition des modes z{\'e}ro des $N$ bosons compacts,
ainsi que des oscillateurs gauches et droits associ{\'e}s.
L'espace des modules du r{\'e}seau
est un espace homog{\`e}ne 
\index{vari{\'e}t{\'e}!homog{\`e}ne}
\begin{equation}\frac{SO(d,d,\Real)}{SO(d)\times SO(d)}
\end{equation}
de dimension $d^2$, param{\'e}tr{\'e} par la matrice $M\in SO(d,d,\Real)$
de la forme quadratique
$L_0+\bar L_0$ :
\begin{equation}
L_0 +\bar L_0 = \frac{1}{2} p^t M p
,\quad
M=\begin{pmatrix}
\alpha' g^{-1} & \alpha' g^{-1}B \\ - \alpha' B g^{-1} &
\frac{g}{\alpha'} - \alpha' B g^{-1} B 
\end{pmatrix}
\ .
\end{equation}
L'action contragradiente $M\rightarrow \Omega^t M \Omega$
du groupe $O(d,d,\Real)$ sur l'espace homog{\`e}ne
peut {\^e}tre compens{\'e}e par une rotation du vecteur entier $p\rightarrow 
\Omega^{-1} p$ lorsque $\Omega$ est une matrice {\`a} coefficients
entiers, soit $\Omega\in O(d,d,\Zint)$. {\it La fonction
de partition du tore $T^d$ est donc {\it invariante 
sous le groupe de T-dualit{\'e}} $O(d,d,\Zint)$}. Un sous-groupe
\index{T-dualit{\'e}!sur un cercle}
g{\'e}n{\'e}rateur (mais non minimal) de ce groupe de T-dualit{\'e} 
consiste en les rotations
euclidiennes du tore $Sl(d,\Zint)$, les flots spectraux
$B_{IJ} \rightarrow B_{IJ}+1$ et les T-dualit{\'e}s {\'e}l{\'e}mentaires
\index{flot spectral!en th{\'e}orie des cordes}
sur chaque cercle du tore. 

Une simplification importante intervient dans le cas des compactifications
sur un tore $T^2$. L'espace homog{\`e}ne $O(2,2,\Real)/O(2)\times O(2)$ 
se scinde en effet en deux facteurs 
$Sl(2,\Real)/U(1) \times Sl(2,\Real)/U(1)$ correspondant {\`a} deux
param{\`e}tres complexes $T$ et $U$ :
\begin{equation}
T= B_{12} + i \sqrt{\det g}/\alpha', \qquad
U= g_{12}/g_{11} + i \sqrt{\det g}/g_{11}
\end{equation}
sur lequel le groupe de T-dualit{\'e} agit par {\it transformations modulaires}
ind{\'e}pendantes $Sl(2,\Zint)_T\times Sl(2,\Zint)_U$ et par {\it {\'e}change
de $T$ et $U$}
\cite{Dijkgraaf:1988vp}. 
Plus g{\'e}n{\'e}ralement, la sym{\'e}trie de T-dualit{\'e}
existe d{\`e}s lors que la vari{\'e}t{\'e} de compactification admet une 
isom{\'e}trie~; elle la transforme alors en une vari{\'e}t{\'e} de topologie
{\it classique} tout {\`a} fait distincte, mais {\'e}quivalente du point de 
vue de la propagation de la corde. Elle s'{\'e}tend {\'e}galement 
aux compactifications sur espaces de Calabi-Yau o{\`u} elle transforme
\index{Calabi-Yau, vari{\'e}t{\'e} de}
une vari{\'e}t{\'e} $K$ en sa vari{\'e}t{\'e} {\it miroir} $\tilde K$
\index{miroir, sym{\'e}trie}
(voir par exemple les cours \cite{Hosono:1994av,Greene:1996cy}). Cette
sym{\'e}trie de dualit{\'e} est donc de port{\'e}e tr{\`e}s g{\'e}n{\'e}rale
et correspond {\`a} une sym{\'e}trie de jauge de la th{\'e}orie des
cordes encore mal comprise.

\subsection{T-dualit{\'e} et supercordes ferm{\'e}es\label{Tramond}}
La discussion pr{\'e}c{\'e}dente s'appliquait {\`a} la corde bosonique et au secteur 
bosonique des supercordes ferm{\'e}es. Dans le cas de la supercorde de
type II, l'action de la T-dualit{\'e} sur les champs bosoniques
de la surface d'univers s'accompagne d'une action sur les champs
fermioniques renversant la chiralit{\'e} des spineurs 
du secteur droit. Les cordes de type IIA et de type IIB sont ainsi
\index{dualit{\'e}!des th{\'e}ories IIA et IIB|textit}
\index{T-dualit{\'e}!secteur de Ramond|textit}
\index{Ramond, secteur de}
{\it {\'e}chang{\'e}es} {\`a} chaque inversion de rayon, de sorte que le groupe
de T-dualit{\'e} se trouve r{\'e}duit {\`a} $SO(d,d,\Zint)$, le g{\'e}n{\'e}rateur
de d{\'e}terminant -1 reliant les deux th{\'e}ories IIA et IIB.
Les valeurs moyennes des tenseurs antisym{\'e}triques de jauge
du secteur de Ramond fournissent en outre des modules suppl{\'e}mentaires
de la th{\'e}orie compactifi{\'e}e, sur lesquels la T-dualit{\'e}
doit encore agir. Une analyse explicite de la g{\'e}om{\'e}trie 
de l'espace des modules de Ramond montre que la
T-dualit{\'e} sur la direction $I$ est repr{\'e}sent{\'e}e sur les
potentiels de Ramond par
\footnote{Cette {\'e}quation admet des corrections en pr{\'e}sence 
d'un champ $B_{\mu\nu}$ non nul (cf appendice \ref{dc}).}
\begin{equation}
\mathcal{R} \rightarrow dx^I \cdot \mathcal{R} + dx^I \wedge \mathcal{R} 
\end{equation}
o{\`u} $\mathcal{R}=\sum_p \mathcal{R}_p$ d{\'e}signe la somme des 
formes diff{\'e}rentielles de Ramond d'ordre pair (en type IIB)
ou impair (en type IIA), et o{\`u} les symboles $\cdot$ et $\wedge$
d{\'e}signent les produits int{\'e}rieurs et ext{\'e}rieurs de formes
diff{\'e}rentielles. L'ensemble de ces transformations
pour $I=1\dots d$ engendrent une {\it alg{\`e}bre de Clifford} qui n'est
\index{Clifford, alg{\`e}bre de}
autre que l'alg{\`e}bre associ{\'e}e {\`a} $SO(d,d,\Real)$. Les champs
scalaires de Ramond se transforment donc comme une repr{\'e}sentation
{\it spinorielle} de $SO(d,d,\Zint)$, et le passage de la th{\'e}orie
de type IIA {\`a} la th{\'e}orie de type IIB s'accompagne d'une inversion
de chiralit{\'e}. \index{chiralit{\'e}}

\index{supercordes, th{\'e}orie des!h{\'e}t{\'e}rotiques}
\index{dualit{\'e}!de Het $SO(32)$ et Het $E_8\times E_8$|textit}
Le cas de la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique offre une particularit{\'e}
d'un autre ordre. Les bosons de jauge de la corde h{\'e}t{\'e}rotique
en dimensions 10 fournissent par compactification toro{\"\i}dale
$16d$ champs de modules correspondant aux {\it lignes de Wilson}
\index{Wilson, ligne de|textit}
$\oint A_I^a dx^I$ brisant la sym{\'e}trie de jauge de rang 16. 
Qui plus est, la
distinction entre coordonn{\'e}e de plongement et coordonn{\'e}e
d'alg{\`e}bre de courant dispara{\^\i}t du c{\^o}t{\'e} droit de
la corde, si bien qu'en r{\'e}alit{\'e} on a $d$ bosons
{\`a} gauche et $d+16$ {\`a} droite, compactifi{\'e}s
sur un {\it r{\'e}seau de Narain} $(P_L,P_R)\in \Gamma_{d,d+16}$,
\index{Narain, r{\'e}seau de}
param{\'e}tr{\'e} par l'espace homog{\`e}ne $O(d,d+16,\Real)/(SO(d)\times
SO(d+16)$ {\it modulo} le groupe de T-dualit{\'e} {\'e}tendu $O(d,d+16,\Zint)$
\cite{Narain:1986jj,Narain:1987am,Lerche:1989np}.
La formule de masse et la condition de {\it level matching}
\index{level matching, condition de}
\index{masse, formule de!de Het$/T^d$}
s'{\'e}crivent\footnote{$N_L$ contient ici les oscillateurs
fermioniques demi-entiers.} 
\begin{eqnarray}
N_L + \frac{P_L^2}{2} - \frac{1}{2} = N_R + \frac{P_R^2}{2} - 1 \ ,\\
\mathcal{M}^2 = \frac{4}{\alpha'} \left( N_R + \frac{P_R^2}{2} -
  1\right)\ .
\end{eqnarray}
Les {\'e}tats tels que $(P_L^2,P_R^2)=(0,2)$ et $(N_L,N_R)=(1/2,0)$
correspondent donc {\`a} des bosons de jauge de masse nulle
s'ajoutant aux 16 bosons $U(1)$ ($N_L,N_R=(1/2,1)$).
Ils signalent donc l'{\it extension de la sym{\'e}trie de 
jauge} h{\'e}t{\'e}rotique en certains points de l'espace des
\index{sym{\'e}trie de jauge!extension}
modules. Les racines ayant toutes la m{\^e}me longueur
$P_R^2-P_L^2=2$, on obtient ainsi les groupes de jauge
simplement lac{\'e}s A,D,E de la classification
\index{groupe!simplement lac{\'e}}
\index{Cartan, classification de}
de Cartan. En particulier, lorsque le r{\'e}seau $\Gamma_{d,d+16}$
est factoris{\'e} en $\Gamma_{d,d}\oplus \Gamma_{16}$,
soit pour des lignes de Wilson nulles, on retrouve
la sym{\'e}trie de jauge $SO(32)$ (ou $E_8\times E_8$) de la
th{\'e}orie {\`a} 10 dimensions. On peut cependant trouver une
valeur des lignes de Wilson restituant l'{\it autre} sym{\'e}trie
de jauge $E_8\times E_8$ (ou $SO(32)$)~: les deux th{\'e}ories
h{\'e}t{\'e}rotiques {\`a} dix dimensions sont ainsi 
contin{\^u}ment reli{\'e}es
par compactification sur un cercle.

\subsection{Cordes ouvertes et D-branes\label{dbr}}
\index{D-brane|textit}
\index{T-dualit{\'e}!en cordes ouvertes}
La T-dualit{\'e} que nous avons d{\'e}crite dans le cas des
cordes ferm{\'e}es permet ainsi de relier deux {\`a} deux les
th{\'e}ories des supercordes {\`a} dix dimensions que l'on
croyait distinctes. Son existence dans la th{\'e}orie
des cordes ouvertes de type I semble {\it a priori}
probl{\'e}matique, puisque les {\'e}tats d'enroulement
images des {\'e}tats de Kaluza-Klein sous la T-dualit{\'e}
\index{enroulement!etat d'@{\'e}tat d'}
\index{Kaluza-Klein!excitation de}
n'existent pas en th{\'e}orie des cordes ouvertes.
La r{\'e}solution de ce paradoxe a men{\'e} Horava, Polchinski, Dai, et
Leigh {\`a} la d{\'e}couverte des D-branes 
\cite{Dai:1989ua,Horava:1989ga} qui ont r{\'e}cemment pris
une importance consid{\'e}rable dans la compr{\'e}hension
des dualit{\'e}s des th{\'e}ories des cordes et des 
th{\'e}ories de jauge. Nous en rappellerons bri{\`e}vement
les points saillants indispensables {\`a} la compr{\'e}hension
des travaux de ce m{\'e}moire, renvoyant le lecteur
aux articles de revue pour plus de d{\'e}tails
\cite{Bachas:1996sc,Polchinski:1996fm,Polchinski:1996na,Taylor:1997dy}.

Revenant {\`a} l'interpr{\'e}tation
de la T-dualit{\'e} en termes de dualit{\'e} de Poincar{\'e} sur
la surface d'univers, on voit que dans le cas des cordes
ouvertes, cette op{\'e}ration remplace la 
condition de Neumann $\partial_\sigma X(\sigma=0,\pi)=0$ sur la 
coordonn{\'e}e compacte par la condition de {\it Dirichlet}
$\partial_\tau X(\sigma=0,\pi)=0$, traduisant le fait que les
\index{Neumann, condition de}
\index{Dirichlet, condition de}
extr{\'e}mit{\'e}s de la corde ouverte sont attach{\'e}es {\`a} un point
fixe dans la direction $X$, soit sur une {\it 8-brane} 
de l'espace-temps. Le moment n'est alors plus conserv{\'e},
mais l'enroulement autour de la direction compacte devient
un bon nombre quantique. La T-dualit{\'e} peut {\^e}tre appliqu{\'e}e
dans plusieurs directions distinctes successivement de mani{\`e}re
{\`a} g{\'e}n{\'e}rer des $p$-branes de toute dimension dites
{\it D-branes}. La 9-brane correspond {\`a} la propagation libre
des cordes ouvertes, mais la pr{\'e}sence de $N$
d'entre elles revient {\`a} attacher un facteur de Chan-Paton $U(N)$
\index{Chan-Paton, facteur de}
aux extr{\'e}mit{\'e}s des cordes ouvertes orient{\'e}es
\footnote{$SO(N)$ ou $Sp(N/2)$ dans le cas des cordes non
orient{\'e}es. En particulier, dans la th{\'e}orie de type I, la sym{\'e}trie
de jauge $SO(32)$ peut {\^e}tre interpr{\'e}t{\'e}e comme la
pr{\'e}sence de 16 D9-branes.}.
Ces D-branes apparaissent comme des objets infiniment massifs,
{\'e}tendus longitudinalement et localis{\'e}s transversalement
dans la th{\'e}orie de perturbation.
\fig{4cm}{1dbrane.eps}{A gauche~: fluctuation {\`a} l'ordre du disque du champ de
cordes ouvertes en pr{\'e}sence d'une D-brane~; {\`a} droite~: 
fluctuation {\`a} l'ordre de l'anneau du champ de
cordes ouvertes en pr{\'e}sence de deux D-branes, ou de mani{\`e}re
{\'e}quivalente, {\'e}change de cordes ferm{\'e}es entre celles-ci.}{1dbrane}

L'{\'e}change de moment avec les fluctuations du champ de cordes ouvertes
en sa pr{\'e}sence conf{\`e}re {\`a} la D-brane une dynamique 
justifiant cette appellation de membrane. Les {\it modes de masse nulle
des cordes ouvertes} attach{\'e}es {\`a} la D-brane 
correspondent en particulier aux {\it degr{\'e}s de libert{\'e} de la
D-brane}. Contrairement {\`a} la th{\'e}orie des cordes ouvertes <<libres>>
o{\`u} ces modes se propagent dans l'espace-temps {\`a} dix dimensions,
la brisure de la sym{\'e}trie de translation par la
D-brane r{\'e}duit leur d{\'e}pendance  aux coordonn{\'e}es
{\it longitudinales}, et ils ne propagent donc plus que {\it sur le
volume d'univers} de la D-brane. Ils se couplent n{\'e}anmoins
\index{volume d'univers}
aux modes des cordes {\it ferm{\'e}es} de l'espace-temps {\`a} dix 
dimensions, et en particulier au graviton. Le potentiel
vecteur $A_\mu$ de la th{\'e}orie des cordes ouvertes libres
donne ainsi naissance {\`a} $9-p$ champs $A_I$, {\it scalaires}
du point de vue du volume d'univers de la D-brane et
correspondant aux {\it fluctuations de position transverses}
{\`a} la D-brane, et un {\it champ de jauge} $A_{\mu}$ 
se propageant sur ce volume d'univers~; {\`a} ces fluctuations
marginales s'ajoutent les modes massifs des cordes ouvertes,
\index{supermassifs, {\'e}tats}
dont l'int{\'e}gration conduit {\`a} une action effective
pour les degr{\'e}s de libert{\'e} $A_I$ et $A_\mu$ de la D-brane.
Cette action peut {\^e}tre ais{\'e}ment d{\'e}termin{\'e}e par T-dualit{\'e}
{\`a} partir de l'action effective du champ de jauge $A_\mu$ de 
la th{\'e}orie des cordes ouvertes libres \cite{Leigh:1989jq}. 
Ce champ de jauge
couple au {\it bord} de la surface d'univers de la corde ouverte par
une ligne
de Wilson $\oint A_\mu \partial_\tau X^\mu$ ; l'amplitude 
\index{Wilson, ligne de}
{\`a} l'ordre du disque  de la th{\'e}orie
des cordes ouvertes en pr{\'e}sence du champ de fond $A_\mu$
(figure \ref{1dbrane})
peut {\^e}tre {\'e}valu{\'e}e explicitement\footnote{aux termes contenant
des d{\'e}riv{\'e}es de $F$ pr{\`e}s.} \cite{Abouelsaood:1987gd}
et conduit {\`a} l'action de l'
{\it {\'e}lectrodynamique de Born-Infeld}
\index{Born-Infeld, action de|textit}
\index{electrodynamique@{\'e}lectrodynamique!de Born-Infeld}
\cite{Born:1935}
\begin{equation}
\label{ebi}
\langle e^{\oint A_\mu \partial_\tau X^\mu} \rangle_{\mbox{disque}} = 
\int d^Dx~e^{-\phi} \sqrt{ \det(\eta_{\mu\nu} + \alpha' F_{\mu\nu} ) }
\end{equation}
o{\`u} $F=dA$ est la courbure du champ de jauge $A$. Cette action
restitue aux {\'e}nergies basses devant $1/\sqrt{\alpha'}$ l'action
de Maxwell ordinaire, mais la corrige par des interactions
{\`a} nombre de d{\'e}riv{\'e}es arbitraires\footnote{Cette s{\'e}rie
est g{\'e}n{\'e}r{\'e}e par le d{\'e}veloppement de la racine carr{\'e}e,
et non pas du d{\'e}terminant qui contient les termes $F^{2k}$,
$k=1\dots [D/2]$. La racine carr{\'e}e peut du reste {\^e}tre
{\'e}limin{\'e}e en introduisant un champ auxiliaire~:
$\sqrt{x}=\langle \frac{1}{2} (v + x/v) \rangle_v$.
}.
La T-dualit{\'e} dans la direction $I$
remplace le couplage de jauge $\int A_I \partial_\tau X^I$
par un couplage transverse $\int A_I \partial_\sigma X^I$
au {\it flux d'impulsion} $p^I$ traversant l'extr{\'e}mit{\'e}
de la corde vers la D-brane. Le champ $A_I$ appara{\^\i}{}t donc
bien comme la variable conjugu{\'e}e
au moment de la D-brane, soit comme la position  $x^I$
dans la direction $I$. L'{\'e}lectrodynamique
de Born-Infeld (\ref{ebi}) donne alors sous cette
r{\'e}interpr{\'e}tation l'{\it action de Dirac-Born-Infeld}
\cite{Dirac:1962}
d{\'e}crivant la dynamique de la D$p$-brane
\begin{equation}
\label{abi}
S=\int d^{p+1}x~e^{-\phi} \sqrt{ \det(\hat g_{\mu\nu} + \alpha' F_{\mu\nu} ) }
\end{equation}
o{\`u} $\hat g$ repr{\'e}sente la m{\'e}trique induite sur
le volume d'univers par le plongement $x^I$. En particulier,
la tension de la  D$p$-brane est donn{\'e}e par
\index{tension!des D-branes|textit}
\begin{equation}
T_{p}= e^{-\phi}/(\alpha')^\frac{p+1}{2}
\end{equation}
tr{\`e}s sup{\'e}rieure {\`a} celle de la corde fondamentale {\`a}
faible couplage, mais aussi tr{\`e}s inf{\'e}rieure {\`a} celle en $1/g^2$
des solitons des th{\'e}ories des champs habituelles. 

L'action de Born-Infeld peut {\^e}tre ais{\'e}ment g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}e
en pr{\'e}sence d'un champ de fond de tenseur antisym{\'e}trique de Neveu-Schwarz
\index{tenseur antisym{\'e}trique}
$B_{\mu\nu}$. Celui-ci couple {\`a} la surface d'univers par 
un terme topologique $\int \hat B$, invariant sous la transformation
de jauge $B\rightarrow B+d\Lambda$ {\it {\`a} un terme de bord pr{\`e}s}
$\oint \Lambda$ qui peut {\^e}tre absorb{\'e} dans une transformation
du champ de jauge de volume d'univers  de
la D-brane $A \rightarrow A-\Lambda$. 
La courbure g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}e $F_{\mu\nu}+\hat B_{\mu\nu}$
est alors invariante de jauge, et remplace $F$ dans l'{\'e}quation
(\ref{abi}). 

Nous avons jusqu'{\`a} pr{\'e}sent d{\'e}crit les D-branes dans le
cadre de la th{\'e}orie des cordes ouvertes. Elles existent
tout autant dans les th{\'e}ories des supercordes de type I et II, o{\`u}
elles d{\'e}crivent des {\'e}tats 1/2-{\it BPS satur{\'e}s}
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS}
\footnote{La structure drastiquement diff{\'e}rente des modes gauches et
droits dans la corde h{\'e}t{\'e}rotique emp{\^e}che l'introduction de
bord sur la surface d'univers de la corde, et donc l'existence
de D-branes h{\'e}t{\'e}rotiques.}. 
Cette propri{\'e}t{\'e} appara{\^\i}{}t par exemple dans 
l'{\it annulation} de l'interaction {\`a} une boucle de 
deux D-branes parall{\`e}les {\it statiques} (figure \ref{1dbrane}), 
donn{\'e}e par la fonction de partition 
de la th{\'e}orie de supercordes sur l'anneau. 
L'action de Born-Infeld est
alors compl{\'e}t{\'e}e par des termes fermioniques
de mani{\`e}re {\`a} former une th{\'e}orie de volume
d'univers invariante sous {\it la moiti{\'e}} des
supersym{\'e}tries de la th{\'e}orie libre. L'autre moiti{\'e},
bris{\'e}e spontan{\'e}ment par la pr{\'e}sence de la
D-brane, est r{\'e}alis{\'e}e {\it non-lin{\'e}airement}
sur le volume d'univers.
\index{supersym{\'e}trie!sur le volume d'univers des branes}

Comme remarqu{\'e} par Polchinski, l'annulation du potentiel
d'interaction statique entre deux D-branes parall{\`e}les r{\'e}sulte
de la compensation entre les interactions gravitationnelles
\index{Ramond, secteur de}
\index{Neveu-Schwarz, secteur de}
du secteur de Neveu-Schwarz et {\it les interactions de
jauge du secteur de Ramond}. Elle implique en particulier
que la D$p$-brane {\it est charg{\'e}e sous le potentiel
de Ramond} $\mathcal{R}_{p+1}$, et porte la charge minimale
permise par la condition de quantification de Dirac. 
\index{Dirac, condition de quantification de}
L'action de la D-brane comprend donc, en sus de 
l'action de Born-Infeld (\ref{ebi}), le couplage topologique
de Wess-Zumino
\index{Wess-Zumino, terme de!sur le volume d'univers des D-branes}
\begin{equation}
\label{topo}
S = \int d^{p+1}x~e^{F+\hat B} \hat\mathcal{R}\ ,
\end{equation}
o{\`u} l'int{\'e}grale s{\'e}lectionne la $p+1$-forme apr{\`e}s
d{\'e}veloppement en s{\'e}rie de l'exponentielle
\cite{Green:1996bh,Green:1997dd}. Les
D$p$-branes peuvent ainsi {\^e}tre {\it identifi{\'e}es}
aux $p$-branes des th{\'e}ories de supergravit{\'e} de type I et II charg{\'e}es
sous ces m{\^e}mes champs, et en fournissent une description
en termes de th{\'e}orie conforme. Certaines configurations 
de D-branes non parall{\`e}les pr{\'e}servent quant {\`a}
elles une fraction inf{\'e}rieure de la supersym{\'e}trie,
et peuvent encore {\^e}tre identifi{\'e}es {\`a} des {\'e}tats
BPS des th{\'e}ories de supergravit{\'e}.

Si l'action de Born-Infeld (\ref{abi}) d{\'e}crit la dynamique
d'une D-brane, elle ne dit cependant rien de l'interaction entre 
plusieurs D-branes. Celle-ci peut {\`a} nouveau {\^e}tre d{\'e}termin{\'e}e
en consid{\'e}rant les fluctuations du champ de cordes entre elles.
Le champ de cordes ferm{\'e}es conduit aux interactions
gravitationnelles ordinaires, corrig{\'e}es par l'effet des modes
massifs. Le champ de corde ouvertes engendre cependant de nouvelles
interactions, puisque les cordes sont maintenant susceptibles 
d'avoir leurs deux extr{\'e}mit{\'e}s attach{\'e}es sur deux D-branes
diff{\'e}rentes. La masse des {\'e}tats fondamentaux de ces cordes
$\mathcal{M}= L/\alpha'$ est proportionnelle {\`a} leur 
{\'e}longation $L$, et ces modes deviennent de masse nulle lorsque 
les deux D-branes se touchent. Le cas de $N$ D-branes parall{\'e}les,
positionn{\'e}es {\`a} des abscisses $x^i$ le long d'une direction
compacte (figure \ref{Ndbrane}) est
particuli{\`e}rement simple~: sous la T-dualit{\'e} il correspond 
{\`a} $N$ 9-branes, soit {\`a} la pr{\'e}sence de facteurs de Chan-Paton
\index{Chan-Paton, facteur de}
\index{T-dualit{\'e}!en cordes ouvertes}
$U(N)$ aux extr{\'e}mit{\'e}s de la corde~; la sym{\'e}trie de jauge est
cependant bris{\'e}e en $U(1)^N$ par l'holonomie du champ de jauge
\index{holonomie!du champ de jauge}
autour du cercle
\begin{equation}
\begin{pmatrix} 
         e^{2\pi i x_1/R} &                &       & \\
                        & e^{2\pi ix_2/R} &       & \\
                        &                & \dots & \\
                        &                &       & e^{2\pi i x_N/R}
\end{pmatrix}
\in U(N)
\end{equation}
\fig{5cm}{Ndbrane.eps}{Interactions de cordes ouvertes dans un
syst{\`e}me de $N$ D-branes parall{\`e}les.}{Ndbrane}
La co{\"\i}{}ncidence de $n$ D-branes s'accompagne donc
d'une {\it restauration de sym{\'e}trie non ab{\'e}lienne}
\index{sym{\'e}trie de jauge!restauration}
$U(n)\times U(1)^{N-n}$ dont les $n^2$ bosons vecteurs non ab{\'e}liens
correspondent aux cordes de masse nulle joignant les $n$ D-branes
deux {\`a} deux. La dynamique effective d{\'e}crivant ces modes peut
en principe encore {\^e}tre obtenue {\`a} partir de l'action effective
d'un champ de jauge non-ab{\'e}lien $U(N)$ en th{\'e}orie de type I~;
la non commutativit{\'e} des champs de jauges matriciels $A_\mu
\in su(N)$ emp{\^e}che une {\'e}valuation explicite de
l'amplitude {\`a} une boucle g{\'e}n{\'e}ralisant l'{\'e}quation
(\ref{ebi})\footnote{Dans le cas non ab{\'e}lien, en raison
de la relation $[D,D]F=[F,F]$, la distinction entre termes 
d{\'e}rivatifs et commutateurs n'existe plus, et on est donc
r{\'e}duit {\`a} garder ou omettre tous les deux. Dans le second
cas, on obtient une relation
analogue {\`a} (\ref{ebi}) o{\`u} la trace sym{\'e}tris{\'e}e 
dans la repr{\'e}sentation adjointe de $U(N)$ appara{\^\i}{}t devant 
la racine carr{\'e}e \cite{Tseytlin:1997cs}. 
Les effets conjugu{\'e}s de non lin{\'e}arit{\'e} et de non commutativit{\'e} 
sont cependant g{\^a}ch{\'e}s par cette approximation.
Le couplage topologique est quant
{\`a} lui donn{\'e} exactement par la trace de l'{\'e}quation
(\ref{topo}), o{\`u} la courbure g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}e
doit {\^e}tre lue $F+\hat B\cdot \mathbb{I}$. 
}~;
la limite de basse {\'e}nergie est cependant non ambigu{\"e}, 
et correspond {\`a} une th{\'e}orie de Yang-Mills supersym{\'e}trique
\footnote{{\`a} 16 charges supersym{\'e}triques en type II,
ou 8 charges en type I.}
non ab{\'e}lienne de groupe de jauge $U(N)$.
Les champs de jauge $A_I$ deviennent par T-dualit{\'e} les
positions {\it non ab{\'e}liennes} transverses des D-branes
\cite{Witten:1996im},
sujettes au potentiel scalaire
\begin{equation}
V= \tr [X^i,X^j] [X_i,X_j]
\end{equation}
Dans la phase de Higgs, les matrices de positions commutent
\index{Higgs!phase de}
et peuvent {\^e}tre simultan{\'e}ment diagonalis{\'e}es~:
on recouvre ainsi la notion de position individuelle de chaque
D-brane. Au voisinage des points de sym{\'e}trie {\'e}tendue,
o{\`u} deux valeurs propres des matrices de position co{\"\i}{}ncident,
les fluctuations des degr{\'e}s de libert{\'e} non diagonaux 
induisent des effets de coh{\'e}rence et seule la position
du centre de masse, correspondant au facteur diagonal $U(1)\subset U(N)$,
est bien d{\'e}finie. Cette non-commutativit{\'e} de l'espace-temps
\index{geometrie non commutative@g{\'e}om{\'e}trie non commutative}
n'est pas sans rappeler la g{\'e}om{\'e}trie non commutative formul{\'e}e
par A. Connes \cite{Connes:1994}, 
mais la connection n'a jusqu'a pr{\'e}sent pas {\'e}t{\'e}
formul{\'e}e en toute g{\'e}n{\'e}ralit{\'e}.
Bien qu'incompl{\`e}te, cette formulation est particuli{\`e}rement 
adapt{\'e}e {\`a} l'{\'e}tude des {\it {\'e}tats li{\'e}s} de D-branes~:
l'approximation de basse {\'e}nergie {\`a} l'action de
$N$ D-branes est alors suffisante, et les {\'e}tats li{\'e}s
\index{li{\'e}, {\'e}tat li{\'e} de D-branes}
peuvent {\^e}tre identifi{\'e}s aux {\it {\'e}tats du vide
supersym{\'e}triques} de la th{\'e}orie de Yang-Mills
$U(N)$. L'absence de {\it mass gap} dans ces th{\'e}ories
en rend cependant l'{\'e}tude d{\'e}licate, et seule l'existence
d'{\'e}tats li{\'e}s pour $N=2$ a jusqu'{\`a} pr{\'e}sent pu {\^e}tre prouv{\'e}e~;
l'unicit{\'e} de l'etat li{\'e} de $N$ D0-branes, {\`a} la base
de nombreuses conjectures de dualit{\'e}, est encore incertaine.

\subsection{Orbifolds et compactification sur $K_3$}
\index{vari{\'e}t{\'e}!orbifold}
\index{compactification!sur orbifold}
La compactification toro{\"\i}dale que nous avons
d{\'e}crite jusqu'{\`a} pr{\'e}sent, n'agissant que sur
les modes z{\'e}ros bosoniques, pr{\'e}servait la 
totalit{\'e} des supersym{\'e}tries de la th{\'e}orie non
compactifi{\'e}e. La supersym{\'e}trie peut {\^e}tre r{\'e}duite
de mani{\`e}re commode en jaugeant une sym{\'e}trie discr{\`e}te
de l'espace-temps \cite{Dixon:1985jw,Dixon:1987qv}. 
L'espace r{\'e}sultant, dit {\it orbifold}, 
pr{\'e}sente des singularit{\'e}s aux {\it points fixes} de la sym{\'e}trie,
\index{singularit{\'e}!r{\'e}solution par la corde}
mais la th{\'e}orie conforme correspondante est parfaitement
r{\'e}guli{\`e}re, comme l'atteste l'{\'e}quivalence de la
compactification sur l'orbifold $S^1/\Zint_2$ de rayon
$R=\sqrt{\alpha'}$ 
avec la compactification sur un cercle de rayon $R=2\sqrt{\alpha'}$. 
\index{compactification!sur un cercle}
L'invariance modulaire impose l'inclusion
\index{modulaire, invariance}
d'{\'e}tats dits {\it twist{\'e}s} en sus des 
\index{twist{\'e}, {\'e}tat}
{\'e}tats de la th{\'e}orie originale
{\it invariants} sous la sym{\'e}trie. Les {\'e}tats twist{\'e}s
correspondent aux cordes ferm{\'e}es {\`a} une action de la 
sym{\'e}trie pr{\`e}s, soit aux {\'e}tats encerclant 
les singularit{\'e}s de l'orbifold. En particulier,
le secteur de masse nulle contient les modes non twist{\'e}s
correspondant aux modules de la th{\'e}orie initiale
pr{\'e}servant l'existence de la sym{\'e}trie, ainsi que les
{\it modes de r{\'e}solution} ({\it blow-up modes}) 
param{\`e}trant la r{\'e}solution de chaque singularit{\'e} de l'orbifold.
L'exemple le plus simple consiste {\`a} jauger la sym{\'e}trie
$\Zint_2: X^I\rightarrow -X^I$ renversant toutes
les coordonn{\'e}es $X^{i}$ du tore $T^d$. La fonction de partition
bosonique peut s'{\'e}crire en terme des blocs conformes {\it twist{\'e}s}
\index{partition, fonction de!d'un orbifold $T^d/\Zint_2$}
$Z_{d,d}\hg$ :
\begin{subequations}
\begin{equation}
Z_{d,d}^{orb} = \frac{1}{2} \sum_{g,h=0}^{1} Z_{d,d}\hg \ ,
\end{equation}
\begin{equation}
Z_{d,d} \ar{0}{0} =  Z_{d,d}
\sp
Z_{d,d} \hg  =2^d \frac{\vert \et \vert^{3d}}
{\left\vert  \th \ar{1 +h}{ 1 +g } \right\vert^d} \sp (h,g) \neq (0,0)
\ ,
\end{equation}
\end{subequations}
o{\`u} $h=0$ (resp. 1) dans le secteur non twist{\'e} (resp. twist{\'e}),
et o{\`u} $g=1$ correspond {\`a} l'insertion de l'op{\'e}rateur de sym{\'e}trie.
Les blocs twist{\'e}s $(h,g)\ne(0,0)$ ne d{\'e}pendent pas des modules
non twist{\'e}s $G_{IJ},B_{IJ}$, la sym{\'e}trie $\Zint_2$ ne laissant
que le secteur de charges nulles $m_I=n^I=0$. Ils d{\'e}pendraient en revanche
des modules de r{\'e}solution si on {\'e}cartait marginalement la
th{\'e}orie conforme du point d'orbifold $T^d/\Zint_2$.
Dans le cas des th{\'e}ories de supercordes, l'invariance du
courant de supersym{\'e}trie de surface d'univers impose que la
sym{\'e}trie agisse {\'e}galement sur les fermions selon 
$\psi^\mu\rightarrow -\psi^\mu$. Pour $d\le 3$, cette action brise la
supersym{\'e}trie d'espace-temps
\footnote{En effet, le spineur de 
Majorana-Weyl {\`a} 10 dimensions se r{\'e}duit en un
spineur de Majorana en dimension 9, un spineur de Weyl en
dimension 8, et un spineur de Dirac en dimension 7. Ce n'est qu'en
dimension 6 qu'il se scinde en {\it deux} spineurs dont l'un peut {\^e}tre
projet{\'e} sous la sym{\'e}trie $\Zint_2$.}.
Pour $d=4$, une moiti{\'e} de la supersym{\'e}trie est pr{\'e}serv{\'e}e
par la projection. L'orbifold $T^4/\Zint_2$ repr{\'e}sente en
effet le prototype
\footnote{Il existe trois autres mod{\`e}les d'orbifolds ab{\'e}liens
de $K_3$: $T^4/\Zint_3,T^4/\Zint_4,T^4/\Zint_6$. 
Le groupe discret $\Zint_n$ agit
dans tous ces cas sur les coordonn{\'e}es complexes du 4-tore
par $(z_1,z_2)\rightarrow (e^{2\pi i/n}z_1,e^{-2\pi i/n}z_2)$.
Cette action pr{\'e}serve en particulier la deux-forme holomorphe
$dz_1\wedge dz_2$.}
d'une {\it surface $K_3$}, c'est-{\`a}-dire
\index{compactification!sur $K_3$}
une vari{\'e}t{\'e} ({\'e}ventuellement singuli{\`e}re) k{\"a}hl{\'e}rienne 
compacte de dimension 4, simplement connexe,
et de courbure de Ricci triviale. Ces conditions
assurent l'existence d'un spineur covariantement constant,
et donc d'une supersym{\'e}trie r{\'e}siduelle. Compte tenu du
r{\^o}le central jou{\'e} par les compactifications sur $K_3$ dans
les conjectures de dualit{\'e} et dans les travaux pr{\'e}sent{\'e}s
en appendice \ref{tt} et \ref{dds} de ce m{\'e}moire, 
nous consacrerons le reste de cette section
{\`a} d{\'e}crire les aspects les plus importants de ces surfaces,
renvoyant {\`a} la r{\'e}f{\'e}rence \cite{aspinwall:1996mn} pour
une pr{\'e}sentation plus approfondie.

En r{\'e}alit{\'e}, c'est de {\it la } surface $K_3$ qu'il faudrait
parler : toutes les surfaces $K_3$ sont en effet 
{\it diff{\'e}omorphiquement} {\'e}quivalentes. Elles diff{\`e}rent
cependant dans le choix de la {\it 2-forme holomorphe} $\Omega$
d{\'e}finissant la {\it structure complexe},
et de la {\it classe de K{\"a}hler} $J$.
Le th{\'e}or{\`e}me de
\index{K3, surface@$K_3$, surface|textit}
Calabi et Yau assure l'existence et l'unicit{\'e} d'une m{\'e}trique
de courbure de Ricci nulle
(ou {\it m{\'e}trique d'Einstein}) ces deux structures {\'e}tant
fix{\'e}es \cite{Yau:1977ms}.
Toutes deux peuvent {\^e}tre sp{\'e}cifi{\'e}es en termes de vecteurs
dans le r{\'e}seau de cohomologie de $K_3$, qu'il est ais{\'e} de
d{\'e}terminer au point d'orbifold $T^4/\Zint_2$ : de la cohomologie
du tore $T^4$, seuls subsistent les formes {\it non twist{\'e}es}
$1,dx^i\wedge dx^j,dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3\wedge dx_4$. 
La r{\'e}solution de chacune des 16 singularit{\'e}s 
de type $\CC^2/\Zint_2$ (soit $A_1$ dans la classification des
singularit{\'e}s des surfaces complexes) 
introduit autant de deux-cycles non triviaux~;
la cohomologie totale est r{\'e}sum{\'e}e dans le {\it diamant de Hodge}
\def\mb#1{\makebox[10pt]{$#1$}}
\begin{equation}
  {\arraycolsep=2pt
  \begin{array}{*{5}{c}}
    &&\mb{h^{0,0}}&& \\ &\mb{h^{1,0}}&&\mb{h^{0,1}}& \\
    \mb{h^{2,0}}&&\mb{h^{1,1}}&&\mb{h^{0,2}} \\
    &\mb{h^{2,1}}&&\mb{h^{1,2}}& \\ &&\mb{h^{2,2}}&&
  \end{array}} \;=\; 
  {\arraycolsep=2pt
  \begin{array}{*{5}{c}}
    &&\mb1&& \\ &\mb0&&\mb0& \\ \mb1&&\mb{(4+16)}&&\mb{1.} \\
    &\mb0&&\mb0& \\ &&\mb1&&
  \end{array}}
\end{equation}
pour une caract{\'e}ristique d'Euler $\chi=24$.
\index{Euler, caract{\'e}ristique d'}
Le second groupe de cohomologie $H_2(K_3,\Zint)$ est
particuli{\`e}rement important, puiqu'il peut {\^e}tre
munie d'une {\it forme d'intersection} 
$\alpha \# \beta = \int_{K_3} \alpha\wedge\beta$
de signature $(3,19)$, et {\`a} valeurs enti{\`e}res {\it paires}.
La dualit{\'e} de de Rham identifie en outre 
$H_2(K_3,\Zint)$ avec son dual $H^2(K_3\Zint)$.
$H_2(K_3,\Zint)$ constitue donc un {\it r{\'e}seau pair autodual},
analogue au r{\'e}seau de Narain d{\'e}finissant les compactifications
\index{Narain, r{\'e}seau de}
toro{\"\i}dales h{\'e}t{\'e}rotiques. Le choix de la 2-forme
holomorphe et de la
2-forme de K{\"a}hler d{\'e}finissent trois vecteurs $\Omega,\bar\Omega,J$ de
$H_2(K_3,\Zint)$. La surface $K_3$ {\'e}tant {\it hyperk{\"a}hl{\'e}rienne},
elle n'est cependant pas affect{\'e}e par une {\it rotation $SO(3)$}
de ces trois objets. Le choix de la m{\'e}trique d'Einstein sur
la vari{\'e}t{\'e} $K_3$ est donc param{\'e}tr{\'e} par l'espace 
des modules homog{\`e}ne
\index{espace des modules!de la vari{\'e}t{\'e} $K_3$}
\begin{equation}
O(3,19,\Zint) \backslash O(3,19,\Real)/(SO(3,\Real)\times
SO(19,\Real))\times \Real^+,
\end{equation}
correspondant au choix d'un 3-plan dans l'espace vectoriel
$H_2(K_3,\Real)\sim \Real^{3,19}$, aux diff{\'e}omorphismes
$SO(3,19,\Zint)$ du r{\'e}seau $H_2(K_3,\Zint)$ pr{\`e}s. Le facteur
$\Real^{+}$ correspond lui au volume de la m{\'e}trique d'Einstein. 

La donn{\'e}e de la m{\'e}trique d'Einstein ne suffit cependant pas
{\`a} d{\'e}finir la th{\'e}orie des cordes sur cet espace : il 
faut encore sp{\'e}cifier la valeur moyenne du tenseur
\index{tenseur antisym{\'e}trique}
antisym{\'e}trique $B_{\mu\nu}$, ainsi que des tenseurs
de jauge de Ramond dans les supercordes de type II, ou des
champs de jauge dans le cas des supercordes h{\'e}t{\'e}rotiques
et de type I. Nous laissons ce dernier cas de c{\^o}t{\'e} dans
cette th{\`e}se, puisque nous nous restreignons aux situations
avec au moins 16 supercharges de sym{\'e}trie. Les valeurs
moyennes du tenseur antisym{\'e}trique $B_{\mu\nu}$ peuvent {\^e}tre 
mesur{\'e}es par les 22 int{\'e}grales $\int_{\gamma^I} B$
sur les deux-cycles de $K_3$, et {\'e}tendent l'espace
des modules {\`a} \cite{Seiberg:1988pf}
\begin{equation}
O(4,20,\Zint) \backslash O(4,20,\Real)/(O(4,\Real)\times
O(20,\Real))
\end{equation}
auquel il faut encore ajouter un facteur $\Real^+$ correspondant 
au dilaton. La sym{\'e}trie $O(4,20,\Zint)$ contient la
sym{\'e}trie g{\'e}om{\'e}trique $O(3,19,\Zint)$ pr{\'e}c{\'e}dente, mais l'{\'e}tend
par des transformations suppl{\'e}mentaires 
{\it m{\'e}langeant la m{\'e}trique et le tenseur antisym{\'e}trique}.
\index{miroir, sym{\'e}trie}
Ces transformations correspondent aux {\it sym{\'e}tries miroir}
des mod{\`e}les sigma non-lin{\'e}aires sur les espaces de Calabi-Yau,
et correspondent {\`a} des dualit{\'e}s {\it perturbatives} des
th{\'e}ories des cordes analogues aux T-dualit{\'e}s des
compactifications toro{\"\i}dales. Dans le cas des supercordes
de type IIA compactifi{\'e}es sur $K_3$, on obtient ainsi
l'espace des modules complet, car les champs de Ramond,
correspondant {\`a} des formes diff{\'e}rentielles de degr{\'e}
{\it impair}, ne g{\'e}n{\`e}rent pas de degr{\'e}s de libert{\'e}
scalaires sur $K_3$. En revanche, dans le cas IIB,
il faut encore inclure la valeur moyenne du scalaire
de Ramond $\axion$, les 22 flux $\int_{\gamma^I} \mathcal{B}$
du tenseur antisym{\'e}trique de Ramond {\`a} travers les 
deux-cycles de $K_3$ ainsi que le flux total
$\int_{K_3} \mathcal{D}$ de la 4-forme $\mathcal{D}$. 
Avec le facteur du dilaton, ces champs se combinent en
l'espace des modules de type IIB
\index{espace des modules!de IIB sur $K_3$}
\begin{equation}
O(5,21,\Real)/(O(5,\Real)\times O(21,\Real))
\end{equation}
pour lequel il est naturel de conjecturer une identification sous le
groupe $O(5,21,\Zint)$. Cette dualit{\'e} 
\index{U-dualit{\'e}!de IIB sur $K_3$}
{\it est cependant non perturbative}, car m{\'e}langeant le dilaton
avec les param{\`e}tres g{\'e}om{\'e}triques de la compactification.
Notons qu'on ne sait d{\'e}finir la th{\'e}orie des
cordes perturbativement que pour une valeur moyenne nulle
des champs de Ramond.

Les compactifications sur $K_3$ permettent ainsi de r{\'e}duire
la dimension de l'espace-temps {\`a} $D=6$ tout en conservant la
moiti{\'e} des supersym{\'e}tries. La dimension
$D=4$ peut {\^e}tre atteinte par compactification suppl{\'e}mentaire
\footnote{On peut aussi envisager la compactification
de dix dimensions {\`a} quatre sur un espace de Calabi-Yau {\`a}
six dimensions \cite{Candelas:1985en}. 
\index{Calabi-Yau, vari{\'e}t{\'e} de}
Ce cas ne pr{\'e}serve cependant qu'un quart des
supersym{\'e}tries, aussi l'omettrons nous dans ce m{\'e}moire.}
sur un tore $T^2$.
On obtient ainsi, partant de la th{\'e}orie des cordes de type IIA ou IIB,
une th{\'e}orie supersym{\'e}trique $N=4$ en dimension 4. L'espace
des modules contient l'espace des modules 
\index{espace des modules!de Het/$T^4$ - IIA/$K_3$|textit}
$SO(4,20,\Real)/SO(4)\times SO(20) \times \Real^+$ de la
th{\'e}orie sur $K_3$ ainsi que les modules $T,U$ de la compactification
sur $T^2$. Il contient {\'e}galement les valeurs moyennes des
champs de Ramond sur les cycles de $K_3\times T^2$, ainsi que
\index{axion}
l'axion $a$ {\'e}quivalent au tenseur antisym{\'e}trique de Neveu-Schwarz
$B_{\mu\nu}$ sur la couche de masse. Avec le dilaton $\phi$,
\index{dilaton}
ce champ forme le scalaire complexe $S=a+i e^{-2\phi}$.
Dans le cas IIA, l'ensemble de ces champs 
s'organise dans l'espace homog{\`e}ne
\begin{equation}
\label{modii}
\frac{Sl(2,\Real)}{U(1)} \times 
\frac{O(6,22,\Real)}{O(6)\times O(22)}
\end{equation}
o{\`u} le premier facteur correspond au param{\`e}tre $T$ 
et le second rassemble $S,U$ et les modules de $K_3$ et de Ramond.
Le cas IIB s'obtient par T-dualit{\'e} $T \leftrightarrow U$. La encore,
il est naturel de conjecturer l'invariance de la th{\'e}orie
sur les transformations modulaires $Sl(2,\Zint)_T \times
SO(6,22,\Zint)$ de cet espace homog{\`e}ne.
{\it Cet espace des modules est identique {\`a}
celui de la corde h{\'e}t{\'e}rotique compactifi{\'e}e toro{\"\i}dalement
\index{dualit{\'e}!h{\'e}t{\'e}rotique - type II}
sur un tore $T^6$}~: le facteur $Sl(2,\Real)/U(1)$
est alors interpr{\'e}t{\'e} comme le champ complexe $S=a +ie^{-2\phi}$
{\it de la corde h{\'e}t{\'e}rotique}, tandis que le second
facteur n'est autre que l'espace des modules du r{\'e}seau
de Narain $\Gamma_{6,22}$. Cette co{\"\i}ncidence est une
\index{Narain, r{\'e}seau de}
des premi{\`e}res indications des dualit{\'e}s des supercordes,
vers lesquelles nous nous tournons dans la section suivante.
La S-dualit{\'e} de la th{\'e}orie 
\index{S-dualit{\'e}}
h{\'e}t{\'e}rotique est alors cons{\'e}quence de la T-dualit{\'e}
de la th{\'e}orie de type II \cite{Font:1990gx}.

La compactification sur $K_3\times T^2$ que nous venons de d{\'e}crire
n'est cependant pas la seule {\`a} fournir une th{\'e}orie de
supersym{\'e}trie $N=4$ en dimension 4. En particulier,
la vari{\'e}t{\'e} $K_3$ admet, sur une sous-vari{\'e}t{\'e} de
son espace des modules, une involution sans point fixe dite
{\it involution d'Enriques}\footnote{$T^4/\Zint_2$
admet ainsi les translations par une demi-p{\'e}riode 
$x^I\rightarrow x^I + 1/2$ comme involutions d'Enriques.
Ces involutions identifient les 16 points fixes de l'orbifold
deux {\`a} deux. Elles g{\'e}n{\`e}rent le groupe de sym{\'e}trie $(D_4)^4$
de la th{\'e}orie conforme associ{\'e}e {\`a} $T^4/\Zint_2$
\cite{Dijkgraaf:1988vp}.}. 
\index{Enriques, involution d'}
En combinant cette involution avec une
translation d'une demi-p{\'e}riode sur le tore, on obtient
une th{\'e}orie conforme sur $(K_3 \times T_2)$ qui pr{\'e}serve
la supersym{\'e}trie $N=4$. La projection {\'e}limine cependant
une partie des cycles de la vari{\'e}t{\'e} $K_3 \times T_2$, soit
une partie des bosons de jauge dans le spectre de basse {\'e}nergie.
On obtient ainsi des {\it th{\'e}ories de type II $N=4$ {\`a} rang r{\'e}duit},
\index{rang r{\'e}duit, th{\'e}orie des cordes {\`a}}
d'espace des modules $Sl(2,\Real)/U(1) \times O(6,6+N_V,\Real)/
(O(6)\times O(6+N_V))$. L'{\'e}tude des corrections de seuil
gravitationnelles dans ces th{\'e}ories et dans les th{\'e}ories
h{\'e}t{\'e}rotiques duales fait l'objet du travail en appendice \ref{tt}.


\section{La th{\'e}orie non perturbative des supercordes}
Apr{\`e}s le long chemin qui nous a conduit des dualit{\'e}s 
{\'e}lectriques-magn{\'e}tiques des th{\'e}ories de jauge supersym{\'e}triques 
aux dualit{\'e}s d'espace-cible des th{\'e}ories des supercordes
en passant par les sym{\'e}tries cach{\'e}es et le 
spectre des {\'e}tats solitoniques de membrane des th{\'e}ories
de supergravit{\'e}, nous avons maintenant en main les concepts
essentiels aboutissant {\`a} la {\it conjecture de dualit{\'e}
des th{\'e}ories de supercordes}. Nous nous sommes d'ailleurs
{\`a} plusieurs reprises approch{\'e}s de cette id{\'e}e, et
nous n'aurons ainsi qu'{\`a} rassembler les notions principales
apparues au cours de notre route.

\subsection{Dualit{\'e} des cordes $N=4$ h{\'e}t{\'e}rotique et de type II} 

Comme nous l'avons d{\'e}crit dans la section pr{\'e}c{\'e}dente,
les dualit{\'e}s d'espace-cible r{\'e}duisent {\`a} trois le
nombre de th{\'e}ories des supercordes perturbatives : 
les th{\'e}ories de type IIA et de type IIB sont identifi{\'e}es
par T-dualit{\'e} apr{\`e}s compactification sur un cercle,
de m{\^e}me que les cordes h{\'e}t{\'e}rotiques de groupe de jauge
$SO(32)$ et $E_8\times E_8$. Cette dualit{\'e} commute
\index{dualit{\'e}!des th{\'e}ories IIA et IIB}
\index{dualit{\'e}!de Het $SO(32)$ et Het $E_8\times E_8$}
avec le d{\'e}veloppement perturbatif en puissances
du couplage $g=e^\phi$, et peut {\^e}tre d{\'e}montr{\'e}e {\`a} tout ordre.
Elle peut en outre s'interpr{\'e}ter comme sym{\'e}trie de
jauge spontan{\'e}ment bris{\'e}e, et {\`a} ce titre doit
valoir {\'e}galement au niveau non perturbatif.

Nous avons {\'e}galement rencontr{\'e} de nombreux indices
de dualit{\'e} non perturbative entre ces trois th{\'e}ories.
Ainsi, la th{\'e}orie des cordes de type IIA compactifi{\'e}e
sur une vari{\'e}t{\'e} $K_3$ pr{\'e}sente {\it le m{\^e}me espace
des modules} que la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique compactifi{\'e}e
sur un tore $T^4$. Cette indication peut {\^e}tre renforc{\'e}e
par l'examen des {\it actions effectives de basse {\'e}nergie}
\cite{Sen:1995cj}.
L'action {\`a} l'ordre des arbres de la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique
compactifi{\'e}e sur $T^4$
s'obtient par r{\'e}duction de Kaluza-Klein de l'action
{\`a} dix dimensions :
\begin{equation}
S_{het}=\int d^6x~  e^{-2\phi_6}
\left[ \sqrt{-g} R + 4 (\nabla\phi_6)^2 - \frac{1}{12} \hat H\wedge *\hat H
+\frac{1}{ 8} \Tr (\partial M \partial M^{-1} ) 
-\frac{1}{ 4} M_{ij} F^i \wedge *F^{j} \right]  
\end{equation}
o{\`u} l'on a omis les champs fermioniques et les puissances de
$\alpha'$. Le couplage $g_6=e^\phi$ est 
reli{\'e} au dilaton de la th{\'e}orie {\`a} dix dimensions par
$e^{-2\phi_6}=V e^{-2\phi}$ o{\`u} $V$ est le volume de $T^4$~;
$F^i=dA^i$ est la courbure du champ de jauge $U(1)$ provenant
de la sym{\'e}trie de jauge {\`a} dix dimensions (bris{\'e}e par les
lignes de Wilson) ou de la sym{\'e}trie de jauge de Kaluza-Klein ; 
$\hat H=dB - L_{ij} A^i \wedge F^j$ contient
les corrections de Chern-Simons usuelles dans ces r{\'e}ductions ;
la matrice sym{\'e}trique $M$ param{\'e}trise l'espace des modules
homog{\`e}ne $SO(4,20,\Real)/SO(4)\times SO(20)$ et $L$ d{\'e}signe
la m{\'e}trique paire de signature (4,20). Le facteur $e^{-2\phi_6}$
correspond {\`a} une contribution {\`a} l'ordre de la sph{\`e}re.
D'un autre c{\^o}t{\'e}, l'action de la th{\'e}orie de type II r{\'e}duite
sur $K_3$ s'{\'e}crit
\begin{eqnarray}
S_{IIA}&=&\int d^6x~ e^{-2\phi_6}
\left[ \sqrt{-g} R +  4(\nabla\phi_6)^2 - \frac{1}{ 12} H\wedge *H
+\frac{1}{ 8} \Tr (\partial M \partial M^{-1} ) \right]   \nonumber\\
&& +\int d^6x \left[ -\frac{1}{ 4}
M_{ij} F^i \wedge *F^{j}  + L_{ij} B\wedge F^i\wedge F^j\right]
\end{eqnarray}
Les 24 champs de jauge $U(1)$ proviennent cette fois du
champ de jauge de Ramond  $\mathcal{A}$, 
de la r{\'e}duction du tenseur de jauge 
$\mathcal{C}=\sum_I \gamma_I \wedge \mathcal{A^I}$
sur les 2-cycles de $K_3$ et du tenseur $\mathcal{C}_3$
lui-m{\^e}me, {\'e}quivalent {\`a} un champ de jauge U(1) {\`a} 
six dimensions. Tous ces champs proviennent du secteur
de Ramond de la th{\'e}orie de type IIA, et pr{\'e}sentent
un couplage anormal au dilaton $e^{(\chi+2)\phi}$ sur
une surface de caract{\'e}ristique d'Euler $\chi$. 
On notera l'absence de
corrections de Chern-Simons dans la courbure $H=dB$,
et la pr{\'e}sence d'un terme topologique $B\wedge F\wedge F$
provenant d'un couplage $B \wedge d\mathcal{C} \wedge d\mathcal{C}$
{\`a} dix dimensions. L'identit{\'e} entre ces deux actions appara{\^\i}t
apr{\`e}s une transformation de Weyl $g\rightarrow e^{\phi_6/2} g_E$ 
{\'e}liminant le facteur du dilaton devant l'action
d'Einstein-Hilbert, et menant {\`a} l'action effective dans la
{\it m{\'e}trique d'Einstein}~:
\begin{eqnarray}
S_{het}&=&\int d^6x 
\left[ \sqrt{-g_E} R - (\nabla\phi_6)^2  - \frac{1}{ 12} e^{-2\phi_6}
\hat H\wedge *\hat H
+\frac{1}{ 8} \Tr (\partial M \partial M^{-1} ) \right. \nonumber\\
&& \left. -\frac{1}{ 4} e^{-\phi_6} M_{ij} F^i \wedge *F^{j} \right] \\
S_{IIA}&=&\int d^6x
\left[ \sqrt{-g_E} R - (\nabla\phi_6)^2 - \frac{1}{ 12} e^{-2\phi_6} H\wedge *H
+\frac{1}{ 8} \Tr (\partial M \partial M^{-1} ) \right.   \nonumber\\
&& \left. -\frac{1}{ 4} e^{\phi_6}
M_{ij} F^i \wedge *F^{j}  + L_{ij} B\wedge F^i\wedge F^j\right]
\end{eqnarray}
Ces deux actions sont pr{\'e}cis{\'e}ment {\'e}quivalentes sous
les identifications
\begin{equation}
\label{dual6d}
e^{\phi_{6;het}}=e^{-\phi_{6;IIA}} \ ,\quad
e^{-2\phi_{6;het}} \hat H_{het} = * H_{IIA}\ ,\quad
(g_E, A ^i, M)_{het} = (g_E, A ^i, M)_{IIA}\ .
\end{equation}
L'identification des m{\'e}triques d'Einstein peut alternativement
{\^e}tre prise en compte en transformant l'{\'e}chelle des cordes
$\alpha'$, de sorte que la dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique-type II
peut {\^e}tre commod{\'e}ment r{\'e}sum{\'e}e par les transformations
\begin{equation}
g_6 \rightarrow 1/g_6\ ,\quad
\alpha' \rightarrow \alpha' g_6^2\ .
\end{equation}
Cette dualit{\'e} en particulier inverse le couplage $g_6=e^{\phi_6}$, 
et {\'e}chappe donc {\`a} la th{\'e}orie de perturbations. 
Dans ces conditions, l'invariance
de l'action effective {\it {\`a} l'ordre des arbres} peut sembler une
b{\'e}n{\'e}diction exag{\'e}r{\'e}e : elle 
refl{\`e}te l'existence d'un {\it th{\'e}or{\`e}me de
non-renormalisation de l'action effective {\`a} deux d{\'e}riv{\'e}es}
dans les th{\'e}ories {\`a} 16 supersym{\'e}tries.
On ne saurait donc se contenter de l'examen de cette action
pour conclure {\`a} la dualit{\'e} exacte des th{\'e}ories h{\'e}t{\'e}rotique
et de type IIA {\`a} six dimensions.
Notons finalement qu'apr{\`e}s
compactification des deux th{\'e}ories sur un tore $T^2$,
l'identification (\ref{dual6d}) implique l'{\'e}quivalence
des deux th{\'e}ories de supersym{\'e}trie $N=4$
{\`a} quatre dimensions r{\'e}sultantes sous l'{\'e}change
$S \leftrightarrow T$ discut{\'e} {\`a} la fin de la section
pr{\'e}c{\'e}dente. 

Cette conjecture de dualit{\'e} re{\c c}oit une confirmation
suppl{\'e}mentaire par l'{\'e}tude du spectre des {\'e}tats BPS
dans chaque th{\'e}orie. 
Il existe en effet dans la th{\'e}orie de supergravit{\'e}
{\`a} six dimensions deux solitons de 1-brane : l'un,
r{\'e}gulier dans la m{\'e}trique h{\'e}t{\'e}rotique
et singulier dans la m{\'e}trique de type IIA, 
charg{\'e} sous le tenseur antisym{\'e}trique
de Neveu-Schwarz $B_{\mu\nu}$, peut {\^e}tre
interpr{\'e}t{\'e} comme la {\it corde fondamentale de type IIA},
apparaissant comme un soliton de la corde h{\'e}t{\'e}rotique ; 
son partenaire mag{\'e}tique est au contraire r{\'e}gulier
dans la m{\'e}trique de type IIA et singulier
dans la m{\'e}trique h{\'e}t{\'e}rotique, et admet
24 d{\'e}formations correspondant aux courants
{\'e}lectriques sous les 24 champs de jauge $U(1)$.
Il peut donc {\^e}tre interpr{\'e}t{\'e} comme {\it la corde
h{\'e}t{\'e}rotique fondamentale}, apparaissant comme
soliton dans la corde de type IIA \cite{Sen:1995cj}

Le spectre des {\'e}tats ponctuels peut aussi {\^e}tre
mis en correspondance pr{\'e}cise
\footnote{Le mat{\'e}riel pr{\'e}sent{\'e} dans cette section
appara{\^\i}t dans la seconde partie de l'article en
appendice \ref{tt}, o{\`u} il permet l'identification
des contributions non perturbatives
aux couplages scalaires {\`a} quatre d{\'e}riv{\'e}es 
dans la th{\'e}orie de type II compactifi{\'e}e
sur $K_3\times T^2$.}. Ces {\'e}tats BPS
correspondent aux excitations des oscillateurs
\index{oscillateur}
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS!de het/$T^4$ - type II/$K_3$}
droits (non supersym{\'e}triques) de la corde
h{\'e}t{\'e}rotique\footnote{Les excitations BPS 
de la corde de type IIA se restreignent aux {\'e}tats
de masse nulle et n'apportent donc pas de nouvelle
confirmation de la dualit{\'e}.}, les oscillateurs gauches {\'e}tant 
dans leur {\'e}tat fondamental. La condition
de {\it level matching} pour $N_L=0$ impose
\index{level matching, condition de}
donc 
\begin{equation}
N_R -1 =\frac{1}{2} (P_L^2 - P_R^2) = \frac{1}{2} q^t L q \ ,
\end{equation}
o{\`u} $q^i$ est le vecteur des 24 charges enti{\`e}res sous les 
champs de jauge $U(1)$, et $L$ la m{\'e}trique de signature
(4,20). Cette {\'e}quation ne d{\'e}termine que le nombre
{\it total} d'excitations des oscillateurs 
bosoniques droits $\bar\alpha_{-n}$. Pour chaque valeur de $N_R$,
le nombre de possibilit{\'e}s $d(N_R)$, 
et donc la {\it d{\'e}g{\'e}n{\'e}rescence}
de l'{\'e}tat de charges $q^i$, est donn{\'e} par la fonction
de partition 
\index{partition, fonction de!des {\'e}tats BPS}
\begin{equation}
\label{etaexp}
\sum d(N) q^{N-1} = \frac{1}{q \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{24}}
=\frac{1}{\eta^{24}(\tau)}\ ,\quad q=e^{2\pi i\tau}\ .
\end{equation}
La masse carr{\'e}e est quant {\`a} elle donn{\'e}e, dans la m{\'e}trique
h{\'e}t{\'e}rotique, par 
\begin{equation}
\mathcal{M}^2_{het} = \frac{1}{ 2} (P_L^2+P_R^2) + N_L +N_R -1 =P_L^2
=\frac{1}{2} q^t (M+L) q \ .
\end{equation}
\index{masse, formule de!des {\'e}tats BPS h{\'e}t{\'e}rotiques}
En particulier, ces {\'e}tats deviennent de masse nulle aux points o{\`u}
$P_L^2=0$ soit $N_R=0$ et $P_R^2=2$, correspondant aux {\it points
de sym{\'e}trie {\'e}tendue} de la corde h{\'e}t{\'e}rotique. 
%On peut
%ainsi obtenir n'importe quel groupe 
%{\it simplement lac{\'e}}\footnote{c'est {\`a} dire dont toutes
%les racines sont de m{\^e}me longueur. Ce cas correspond
%aux groupes A,D,E dans la classification de Dynkin.}
%de rang inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 24 selon le nombre
%de vecteurs $(P_L^2,P_R^2)=(0,2)$ apparaissant 
%simultan{\'e}ment.

Dans la m{\'e}trique de type IIA, la masse carr{\'e}e pr{\'e}sente le
comportement non perturbatif
en $\mathcal{M} \sim 1/g$ caract{\'e}ristique des D-branes :
\begin{equation}
\label{sol6d}
\mathcal{M}^2_{\II A} = \frac{1}{2} e^{-2\phi_{6;IIA}} q^t (M+L) q \ .
\end{equation}
\index{masse, formule de!des D-branes enroul{\'e}es sur $K_3$}
tandis que les charges $q^i$ correspondent maintenant aux charges
sous les 24 champs de jauge {\it du secteur de Ramond} de la th{\'e}orie
\index{Ramond, secteur de}
de type IIA. Ces {\'e}tats peuvent donc {\^e}tre identifi{\'e}s avec
les D0,D2,D4-branes de la th{\'e}orie de type IIA enroul{\'e}s autour
d'un cycle supersym{\'e}trique 
$\gamma$ de la vari{\'e}t{\'e} $K_3$. Les charges $q^i$
correspondent alors aux nombres d'enroulement de la D-brane autour de 
\index{enroulement!des solitons sur un cycle}
\index{cycle d'homologie!de $K_3$}
chacun des 24 cycles $\gamma^i$ de $K_3$, soit aux coefficients du 
d{\'e}veloppement $\gamma=\sum q^i \gamma_i$
du cycle $\gamma$ sur le r{\'e}seau d'homologie de $K_3$.
La norme enti{\`e}re $q^t L q$ correspond alors au nombre
d'auto-intersection $\gamma\#\gamma$ du cycle
\index{intersection}
\index{Euler, caract{\'e}ristique d'}
({\'e}gale {\`a} sa caract{\'e}ristique d'Euler dans le cas
d'un 2-cycle),et $q^t (M-L) q$ {\`a} son aire carr{\'e}e.
Pour {\^e}tre correcte, la dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique-type IIA
pr{\'e}voit donc {\it le nombre de cycles supersym{\'e}triques 
$N_s(q)$ homologiquement {\'e}quivalents {\`a}} $\sum q^i \gamma_i$:
\begin{equation}
N_s(q) = d\left( 1+\frac{1}{2}q^t L q \right) \ .
\end{equation}
Bershadsky {\it et al.} ont test{\'e} cette pr{\'e}diction en {\'e}tudiant
la th{\'e}orie topologiquement twist{\'e}e sur le volume d'univers
des D-branes \cite{Bershadsky:1996qy}~; Zaslow et Yau en ont
donn{\'e} une reformulation dans le cadre de la g{\'e}om{\'e}trie
alg{\'e}brique et ont pu en v{\'e}rifier l'exactitude pour
$\frac{1}{2}q^t L q <6$\cite{Yau:1996mv,Beauville:1997}. 
Cette pr{\'e}diction est r{\'e}alis{\'e}e
naturellement dans les corrections non perturbatives {\'e}tudi{\'e}es
dans l'appendice \ref{dds} de ce m{\'e}moire.

Les points de sym{\'e}trie {\'e}tendue de la corde h{\'e}t{\'e}rotique
correspondent aux points de l'espace des modules de $K_3$
o{\`u} la vari{\'e}t{\'e} devient singuli{\`e}re,
soit lorsqu'un ou plusieurs cycles deviennent d'aire nulle. 
Les D-branes enroul{\'e}es autour de ces cycles {\'e}vanescents
\index{cycle d'homologie!evanescent@{\'e}vanescent}
g{\'e}n{\`e}rent les particules de masse nulle d'une sym{\'e}trie
de jauge non ab{\'e}lienne d{\'e}termin{\'e}e par la matrice d'intersection
des cycles. Les singularit{\'e}s des surfaces $K_3$
ont {\'e}t{\'e} class{\'e}es dans la litt{\'e}rature math{\'e}matique
et se restreignent pr{\'e}cis{\'e}ment aux singularit{\'e}s
\index{singularit{\'e}!des surfaces $K_3$}
\index{sym{\'e}trie de jauge!extension}
de type ADE, en accord avec les sym{\'e}tries de jauge
observables du c{\^o}t{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique. 

Cette pr{\'e}cise correspondance des spectres BPS des deux th{\'e}ories 
constitue l'argument le plus fort en faveur de la dualit{\'e}
des th{\'e}ories h{\'e}t{\'e}rotique et de type IIA compactifi{\'e}es
sur $T^4$ et sur $K_3$ respectivement. 
Le lecteur sceptique
pourrait cependant avec raison argumenter que toutes ces indications
ne concernent que le secteur BPS <<visible>> de la th{\'e}orie,
et ne pr{\'e}sument rien du secteur <<cach{\'e}>> de l'iceberg,
sur lequel se brisent toutes les approches.
Les contraintes de coh{\'e}rence de la th{\'e}orie des cordes
sugg{\`e}rent n{\'e}anmoins que l'identit{\'e} des secteurs BPS
puisse suffire {\`a} entra{\^\i}ner l'identit{\'e} compl{\`e}te.
On notera {\'e}galement que la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique
{\it perturbative} appara{\^\i}{}t beaucoup plus compl{\`e}te
que la th{\'e}orie de type IIA, qui n{\'e}cessite l'introduction
des D-branes non perturbatives pour d{\'e}crire le spectre BPS.

\subsection{Dualit{\'e}s et unicit{\'e}}
Premi{\`e}re {\`a} {\^e}tre d{\'e}couverte, la dualit{\'e}
N=4 h{\'e}t{\'e}rotique-type II s'inscrit maintenant dans
un {\'e}cheveau complet de dualit{\'e}s qui a re{\c c}u
de nombreuses confirmations. Ce m{\'e}moire n'a pas vocation
{\`a} en donner une revue exhaustive, aussi nous bornerons
nous {\`a} en d{\'e}crire la structure g{\'e}n{\'e}rale sans entrer
dans tous les d{\'e}tails.
 
Des cinq th{\'e}ories des cordes perturbatives, la T-dualit{\'e}
apr{\`e}s compactification sur un cercle
ne laisse que trois th{\'e}ories apparamment distinctes:
la th{\'e}orie $SO(32)$ de type I, la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique 
(de groupe de jauge $SO(32)$ ou $E_8\times E_8$) et
la th{\'e}orie de type II (A ou B). Ces th{\'e}ories sont
identifi{\'e}es par les dualit{\'e}s non perturbatives suivantes :

\begin{itemize}
\item La {\it dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique - type I} 
\index{dualit{\'e}!h{\'e}t{\'e}rotique - type I}
identifie les deux th{\'e}ories
des cordes de supersym{\'e}trie $N=1$ et groupe de jauge $SO(32)$
{\`a} dix dimensions. Les deux actions effectives de basse {\'e}nergie
sont identiques sous l'{\it inversion du couplage} $g=e^{\phi}$ et changement
\index{action effective!de type I et h{\'e}t{\'e}rotique $SO(32)$}
d'{\'e}chelle
\begin{equation}
g \rightarrow 1/g\ ,\quad
\alpha' \rightarrow \alpha' g 
\end{equation}
et l'identification du tenseur
$B_{\mu\nu}$ de la corde h{\'e}t{\'e}rotique avec
le tenseur $\mathcal{B}_{\mu\nu}$ du secteur de Ramond des
cordes ferm{\'e}es de la corde de type I. La corde h{\'e}t{\'e}rotique,
charg{\'e}e sous $B_{\mu\nu}$,
peut {\^e}tre identifi{\'e}e avec la {\it D1-brane} de la th{\'e}orie
de type I, charg{\'e}e sous $\mathcal{B}_{\mu\nu}$
\cite{Harvey:1995rn}.
Les  champs de la surface d'univers de la D1-brane, correspondant
aux modes de masse nulle des cordes ouvertes
dont la ou les extr{\'e}mit{\'e}s sont attach{\'e}es {\`a}
la D-brane, correspondent pr{\'e}cis{\'e}ment aux coordonn{\'e}es
de plongement et aux champs construisant l'alg{\`e}bre de
courant $SO(32)$ sur la surface d'univers de la corde h{\'e}t{\'e}rotique.
\index{cinq-brane!h{\'e}t{\'e}rotique}
La 5-brane h{\'e}t{\'e}rotique peut {\'e}galement {\^e}tre identifi{\'e}e
{\`a} la D5-brane de la th{\'e}orie de type I. 
Apr{\`e}s compactification sur un tore, les points
de sym{\'e}trie {\'e}tendue de la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique
\index{sym{\'e}trie de jauge!extension}
sont associ{\'e}s {\`a} des points de fort couplage {\it local}
\footnote{Le champ de fond du dilaton de type I n'est en effet
pas uniforme sur le cercle.} de la
th{\'e}orie de type I \cite{Polchinski:1996df}.

\item L' {\it auto-dualit{\'e} de la th{\'e}orie de type IIB}
\index{S-dualit{\'e}!de la th{\'e}orie IIB}
identifie cette derni{\`e}re sous les transformations modulaires 
$Sl(2,\Zint)_B$
du scalaire complexe $\tau=\axion + ie^{-\phi}$. Cette sym{\'e}trie
associe {\`a} la corde fondamentale de charges {\'e}lectriques
(1,0) sous les
deux tenseurs de jauge $(B_{\mu\nu},\mathcal{B}_{\mu\nu})$
un {\it multiplet de cordes de charges} $(p,q)$, identiques
\index{pq, cordes de charge@$(p,q)$, cordes de charge}
en tout point {\`a} la corde fondamentale, et de tension
$1/\alpha'_{(p,q)} = |p+q\tau|/\alpha'$
\index{tension!de la corde de charge $(p,q)$}
\cite{Schwarz:1995dk}. La D3-brane est
invariante sous cette dualit{\'e}, mais celle-ci agit par {\it dualit{\'e}
{\'e}lectrique-magn{\'e}tique} dans la th{\'e}orie de jauge $N=4$
\index{dualit{\'e}!{\'e}lectrique-magn{\'e}tique}
d{\'e}crivant le volume d'univers de la D3-brane
\cite{Tseytlin:1996it}. Les solitons
de charge $(p,q)$ de cette th{\'e}orie de jauge sont interpr{\'e}t{\'e}s
\index{pq, dyons de charge@$(p,q)$, dyons de charge}
comme les {\it extr{\'e}mit{\'e}s} des cordes de type $(p,q)$ s'attachant
{\`a} la D3-brane. La NS5-brane
et la D5-brane forment quant {\`a} eux deux membres
d'un {\it multiplet de 5-branes} de charges magn{\'e}tiques $(p,q)$.
Apr{\`e}s compactification toro{\"\i}dale sur $T^d$,
la sym{\'e}trie non perturbative $Sl(2,\Zint)_B$ se combine avec la
sym{\'e}trie de T-dualit{\'e} $SO(d,d,\Zint)_T$ pour former
\index{T-dualit{\'e}}
\index{U-dualit{\'e}!de type II sur $T^d$}
la {\it sym{\'e}trie de U-dualit{\'e}} $E_{d+1}(\Zint)$
\cite{Hull:1995ys}. 
Cette sym{\'e}trie existe
aussi bien dans la {\it th{\'e}orie de type IIA compactifi{\'e}e
sur $T^d$}, que l'on obtient par une T-dualit{\'e} de d{\'e}terminant -1
arbitraire. Elle laisse invariante l'{\'e}chelle de Planck
\index{Planck, {\'e}chelle de}
\begin{equation}
l_P^{d-8} = \frac{ V e ^{-2\phi} }{\alpha^{'4}}\ .
\end{equation}

\item La {\it dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique-type II} relie les
\index{dualit{\'e}!h{\'e}t{\'e}rotique - type II|textit}
cordes h{\'e}t{\'e}rotiques et type IIA compactifi{\'e}es 
sur $T^4$ et $K_3$ respectivement. La sym{\'e}trie
$SO(4,20),\Zint)$ du r{\'e}seau de Narain h{\'e}t{\'e}rotique
appara{\^\i}t comme la {\it sym{\'e}trie miroir} 
\index{miroir, sym{\'e}trie}
\index{Narain, r{\'e}seau de}
associ{\'e}e {\`a} la vari{\'e}t{\'e} $K_3$. Les points
de sym{\'e}trie {\'e}tendue de la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique
correspondent dans la th{\'e}orie de type IIA aux points
o{\`u} la vari{\'e}t{\'e} $K_3$ devient singuli{\`e}re. Les {\'e}tats
ponctuels non perturbatifs correspondant 
aux D0,2,4-branes enroul{\'e}es
autour du ou des cycles {\'e}vanescents de $K_3$ 
\index{cycle d'homologie!de $K_3$}
\index{cycle d'homologie!evanescent@{\'e}vanescent}
\index{sym{\'e}trie de jauge!extension}
deviennent alors de masse nulle et engendrent la sym{\'e}trie de
jauge.La dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique-type II
induit une
dualit{\'e} de ces m{\^e}mes th{\'e}ories compactifi{\'e}es
sur $T^4\times T^2$ et $K_3 \times T_2$ {\`a} quatre dimensions.
L'espace $K_3\times T^2$ du c{\^o}t{\'e} de type II
peut {\^e}tre fibr{\'e} non trivialement en un espace
de Calabi-Yau de dimension 6 de mani{\`e}re {\`a} obtenir
\index{Calabi-Yau, vari{\'e}t{\'e} de}
une compactification $N=2$ {\`a} quatre dimensions.
La dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique-type II continue {\`a}
valoir {\`a} condition de fibrer l'espace 
h{\'e}t{\'e}rotique $T^4\times T^2$
en une vari{\'e}t{\'e} $T^2 \times K_3$. 

\item La compactification de la th{\'e}orie de type IIB
sur une vari{\'e}t{\'e} $K_3$ conduit en revanche {\`a} une th{\'e}orie
{\it chirale} {\`a} seize charges supersym{\'e}triques, o{\`u} la dualit{\'e}
$Sl(2,\Zint)_B$ se combine avec la sym{\'e}trie miroir
\index{miroir, sym{\'e}trie}
$SO(4,20,\Zint)$  en
un {\it groupe de U-dua\-lit{\'e}} $SO(5,21,\Zint)$. La corde fondamentale
\index{U-dualit{\'e}!de IIB sur $K_3$}
est alors membre d'un multiplet contenant les D1,3,5-branes
enroul{\'e}es sur les 0,2,4-cycles de $K_3$, ainsi que leurs
partenaires sous la sym{\'e}trie $Sl(2,\Zint)_B$. Les points
singuliers de $K_3$ correspondent {\`a} l'apparition
de {\it cordes de tension nulle} et donc de tours d'{\'e}tats
\index{tension!cordes de tension nulle}
solitoniques non massifs.
\end{itemize}
Ces relations de dualit{\'e} d{\'e}terminent la
{\it dynamique {\`a} fort couplage} des th{\'e}ories de type IIB, type I
et h{\'e}t{\'e}rotique $SO(32)$. La dynamique {\`a} fort couplage
des th{\'e}ories de type IIA et h{\'e}t{\'e}rotique $E_8\times E_8$
peut {\it a priori} {\^e}tre obtenue
apr{\`e}s compactification sur un cercle de rayon
$R$ fixe, T-dualit{\'e} $(e^\phi,R) \rightarrow (e^{\phi'},R')=(e^\phi/R,1/R)$,
puis S-dualit{\'e} 
$(e^\phi/R,1/R)\rightarrow (e^{\phi''},R'')=(Re^{-\phi},\sqrt{R}e^{-\phi/2})$
vers la th{\'e}orie de type IIB ou I respectivement. Si cette
derni{\`e}re th{\'e}orie est faiblement coupl{\'e}e
($ e^{\phi''} \sim e^{-\phi} \rightarrow 0$), 
{\it elle ne se
r{\'e}duit pour autant pas {\`a} la th{\'e}orie perturbative
correspondante}, en raison du r{\'e}tr{\'e}cissement simultan{\'e}
du cercle de rayon $R'' \sim e^{-\phi/2} \rightarrow 0$.
En particulier, les D1-branes des th{\'e}ories de type I ou IIB
enroul{\'e}es autour du cercle de rayon $R''$
\index{enroulement!des solitons sur un cycle}
donnent lieu {\`a} des {\'e}tats de masse $e^{-\phi''}R''\sim e^{\phi/2}$
comparable {\`a} la masse des excitations de Kaluza-Klein 
\index{Kaluza-Klein!excitation de}
de masse $1/R'' \sim e^{\phi/2}$.

Le r{\'e}gime de fort couplage des th{\'e}ories de type IIA et
h{\'e}t{\'e}rotique $E_8\times E_8$ peut 
en revanche {\^e}tre d{\'e}termin{\'e}
{\it dans la limite de basse {\'e}nergie}. En effet,
la th{\'e}orie des cordes de type IIA est d{\'e}crite 
aux {\'e}nergies inf{\'e}rieures {\`a} l'{\'e}chelle des cordes
par la r{\'e}duction 
de la {\it supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions} sur un
\index{supergravit{\'e}!{\`a} onze dimensions}
\index{Kaluza-Klein!r{\'e}duction de SUGRA 11D en IIA}
\index{dualit{\'e}!des th{\'e}ories IIA et SUGRA 11D}
cercle de rayon $R_{11}=l_{11} e^{2\phi/3}$. Cette
relation, observ{\'e}e sur l'action effective {\`a}
l'ordre des arbres de la th{\'e}orie de type IIA,
persiste pour toute valeur du couplage, en raison
de la non-renormalisation de l'action {\`a} deux
d{\'e}riv{\'e}es des th{\'e}ories {\`a} 32
supersym{\'e}tries. Elle s'{\'e}tend {\'e}galement aux
{\'e}nergies de l'ordre de $1/R_{11}$, gr{\^a}ce
{\`a} l'identification des {\'e}tats li{\'e}s de $N$ D0-branes 
de la th{\'e}orie de type IIA avec les {\'e}tats de Kaluza-Klein 
\index{Kaluza-Klein!excitation de la 11{\`e}me dimension}
de moment $N/R_{11}$ correspondant
{\`a} la r{\'e}duction du supergraviton {\`a} onze dimensions
\index{graviton}
\footnote{
La validit{\'e} de cette identification repose sur l'existence d'un 
unique {\'e}tat li{\'e} marginal de $N$ D0-branes, soit un unique
\index{li{\'e}, {\'e}tat li{\'e} de D-branes}
vide supersym{\'e}trique dans une th{\'e}orie de jauge $U(N)$ {\`a}
\index{vide!des th{\'e}ories supersym{\'e}triques}
seize supercharges. }\cite{Townsend:1995kk,Witten:1995ex}. 
A fort couplage, les D0-branes
deviennent de masse nulle et la th{\'e}orie de type IIA 
d{\'e}veloppe une onzi{\`e}me dimension non compacte.
La dimension critique $D=10$ de la
th{\'e}orie des supercordes de type IIA appara{\^\i}t donc
comme un {\it artefact} de la th{\'e}orie de perturbations.
\index{s{\'e}rie de perturbation!en th{\'e}orie des cordes}
Ce point de vue supprime {\'e}galement la distinction entre 
{\'e}tats fondamentaux et {\'e}tats solitoniques :
la corde fondamentale et la D2-brane ne sont que les
r{\'e}ductions diagonale et verticale d'une membrane
de la th{\'e}orie {\`a} onze dimensions, tandis que les
D4-branes et 5-brane de Neveu-Schwarz correspondent
aux descendants d'une unique 5-brane {\`a} onze dimensions.
\index{cinq-brane}\index{D-brane}
La D6-brane, charg{\'e}e magn{\'e}tiquement sous le
champ de jauge de Kaluza-Klein $\mathcal{A}_\mu$,
peut encore {\^e}tre identifi{\'e}e au {\it monop{\^o}le magn{\'e}tique
de Kaluza-Klein} sous la r{\'e}duction dimensionnelle
\cite{Townsend:1995kk}.
\index{Kaluza-Klein!monop{\^o}le de}
Enfin, la compactification de la th{\'e}orie {\`a} onze
dimensions sur un segment $S^1/\Zint_2$ peut {\^e}tre identifi{\'e}e
avec la th{\'e}orie des cordes h{\'e}t{\'e}rotiques $E_8 \times E_8$.
\index{compactification!de la M-th{\'e}orie sur un segment}
L'invariance de jauge appara{\^\i}t sous la forme de multiplets
vectoriels {\`a} dix dimensions se propageant sur les 9-branes
{\`a} chaque extr{\'e}mit{\'e} du segment.
Ces {\'e}tats sont analogues aux {\'e}tats {\it twist{\'e}s}
\index{twist{\'e}, {\'e}tat}
des constructions d'orbifold, bien qu'ils ne soient plus
\index{compactification!sur un orbifold}
impos{\'e}s par une condition d'invariance
modulaire, mais par la
\index{modulaire, invariance}
compensation {\it locale} de l'anomalie de cette th{\'e}orie
\index{anomalie!gravitationnelle}
chirale. Tout comme la onzi{\`e}me dimension dispara{\^\i}t
dans la th{\'e}orie de perturbation de type IIA, l'{\'e}cart
entre les deux 9-branes s'annule en th{\'e}orie des perturbations
h{\'e}t{\'e}rotique, menant {\`a} une th{\'e}orie des supercordes
en dimension critique. La corde fondamentale h{\'e}t{\'e}rotique
peut alors {\^e}tre interpr{\'e}t{\'e}e comme la membrane de la
th{\'e}orie {\`a} onze dimensions suspendue entre les deux 9-branes.

Les cinq th{\'e}ories de supercordes et la supergravit{\'e}
{\`a} onze dimensions apparaissent ainsi comme cinq diff{\'e}rentes
facettes d'une {\it th{\'e}orie non perturbative des
supercordes}, plus commun{\'e}ment nomm{\'e}e {\it M-th{\'e}orie}, 
\index{M-th{\'e}orie}
dont la formulation {\it ab initio} reste encore Myst{\'e}rieuse.
Les th{\'e}ories de cordes et leurs dualit{\'e}s d{\'e}finissent 
la M-th{\'e}orie comme les cartes et fonctions de transitions
d{\'e}finissent une vari{\'e}t{\'e} diff{\'e}rentielle, aux 
\index{vari{\'e}t{\'e}!diff{\'e}rentielle}
restrictions pr{\`e}s que la th{\'e}orie n'est d{\'e}finie
qu'{\it asymptotiquement} sur chaque carte, tandis que 
la compatibilit{\'e} des fonctions de transitions n'est
acquise que dans le secteur BPS.
Membranes et 5-branes semblent en tenir les r{\^o}les principaux,
mais les tentatives de quantification se heurtent aux
non-lin{\'e}arit{\'e}s de leur propagation libre. L'inclusion
non perturbative de leurs interactions semble du reste encore plus
inaccessible.
Plusieurs tentatives de d{\'e}finition totalement orthogonales {\`a}
cette approche
ont {\'e}t{\'e} propos{\'e}es, les unes bas{\'e}es sur des mod{\`e}les
de matrice supersym{\'e}triques, d'autres sur une th{\'e}orie
de Chern-Simons {\`a} onze dimensions \cite{Horava:1997dd}. La
\index{Chern-Simons, th{\'e}orie de}
formulation de Banks, Fischler, Shenker et Susskind
\index{Banks, Fischler, Shenker et Susskind, conjecture de}
semble pour le moment la plus prometteuse, et fera l'objet
du dernier chapitre de ce m{\'e}moire. 
En l'attente d'une formulation non perturbative {\it ab initio}
de la M-th{\'e}orie, une approche moins ambitieuse et plus
pragmatique consiste {\`a} {\'e}tudier dans quelle mesure les
{\it m{\'e}thodes semi-classiques} de la th{\'e}orie des champs peuvent
s'{\'e}tendre {\`a} la th{\'e}orie des cordes. Cette {\'e}tude
constitue le coeur de ce travail de th{\`e}se, et fait l'objet
du chapitre que nous abordons maintenant.

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "these"
%%% End: 

\chapter{Approche semi-classique {\`a} la M-th{\'e}orie}
\index{semi-classique!calcul en th{\'e}orie des cordes}
Les m{\'e}thodes semi-classiques figurent parmi les rares outils
d'investigation des th{\'e}ories de champs non int{\'e}grables
au niveau non perturbatif. Elles sont particuli{\`e}rement
adapt{\'e}es aux situations o{\`u} les corrections perturbatives
sont nulles ou en nombre fini : les contributions des 
{\it points-selle} de l'action microscopique,
ou {\it instantons}, fournissent
\index{instanton}
les premi{\`e}res corrections non perturbatives {\`a} ces
amplitudes. Par chance, de nombreuses quantit{\'e}s physiques
des th{\'e}ories de supercordes sont prot{\'e}g{\'e}es des
corrections perturbatives par des {\it th{\'e}or{\`e}mes de 
non renormalisation}. Par malchance, l'action microscopique
de la th{\'e}orie non perturbative des supercordes n'est pas
connue, et les r{\`e}gles de somme sur les points-selle,
\index{instanton!mesure d'int{\'e}gration}
sinon les points-selle eux-m{\^e}mes, sont ind{\'e}termin{\'e}s.
Les th{\'e}ories de supergravit{\'e}, d{\'e}crivant les th{\'e}ories
de cordes {\`a} basse {\'e}nergie, fournissent une premi{\`e}re 
d{\'e}termination du spectre des instantons.
Les dualit{\'e}s des th{\'e}ories de cordes sont quant {\`a} elles
assez strictes pour autoriser la d{\'e}termination {\it exacte}
de certaines amplitudes physiques. Le d{\'e}veloppement
de ces amplitudes {\`a} faible couplage met en {\'e}vidence
une somme d'effets non perturbatifs que l'on peut chercher
{\`a} interpr{\'e}ter comme la contribution des points-selle
de la M-th{\'e}orie. On peut ainsi par recoupement d{\'e}terminer
les r{\`e}gles du calcul semi-classique dans une th{\'e}orie
dont on ne conna{\^\i}t pas la formulation microscopique,
et esp{\'e}rer les appliquer dans les situations o{\`u} les
contraintes de dualit{\'e} et de supersym{\'e}trie sont
insuffisantes. Cette ligne directrice m'a ainsi conduit {\`a}
{\'e}tudier les effets non-perturbatifs dans les couplages 
gravitationnels en $R^4$ des th{\'e}ories de type II {\`a} supersym{\'e}trie
maximale (annexes \ref{pq},\ref{dc} et \ref{nr4}) ; 
les couplages scalaires {\`a} quatre d{\'e}riv{\'e}es
dans les th{\'e}ories de type II {\`a} 16 charges supersym{\'e}triques
(annexe \ref{dds}) ;
et les couplages gravitationnels en $R^2$ dans ces m{\^e}mes th{\'e}ories
(annexe \ref{tt}).
Ces amplitudes physiques pr{\'e}sentent le d{\'e}nominateur commun
de ne recevoir de contributions que de configurations solitoniques
{\it pr{\'e}servant la moiti{\'e} des supersym{\'e}tries}. Cette propri{\'e}t{\'e}
de {\it saturation BPS} va de pair avec la propri{\'e}t{\'e} de 
non renormalisation et simplifie consid{\'e}rablement l'identification
des instantons contribuant {\`a} l'amplitude. Dans ce chapitre, 
nous introduirons et discuterons les r{\'e}sultats obtenus 
dans ces travaux, renvoyant aux articles eux-m{\^e}mes pour la
d{\'e}rivation.

\section{Calcul semi-classique en M-th{\'e}orie}

\subsection{Instantons de surface d'univers et instantons d'espace--temps}
\index{semi-classique!approximation}
La notion d'approximation semi-classique renvoie en g{\'e}n{\'e}ral
{\`a} la limite $\hbar\rightarrow 0$ et aux affres li{\'e}s au
r{\'e}tablissement d'un symbole si {\'e}troitement identifi{\'e} {\`a} 1 et
ses multiples. Dans le cas des th{\'e}ories de jauge, la normalisation
standard de l'action identifie la constante de couplage 
{\`a} $\hbar$, et la limite semi-classique est aussi une limite
de faible couplage. Dans le cas des th{\'e}ories de cordes,
il faut distinguer l'action de la corde, dite
{\it de premi{\`e}re quantification}, de l'action du
{\it champ de corde}, correspondant {\`a} la seconde quantification.
\index{champ de cordes, th{\'e}orie de}
$\hbar$ joue le m{\^e}me r{\^o}le que $\alpha'$ dans  le premier
cas, et le d{\'e}veloppement semi-classique correspond {\`a} un 
d{\'e}veloppement de {\it basse {\'e}nergie}. Il prend en compte
les configurations d'instantons du mod{\`e}le sigma bidimensionnel,
dits {\it instantons de feuille d'univers} 
({\it worldsheet instantons}), dans lesquels la surface
\index{instanton!de feuille d'univers}
d'univers s'enroule autour d'un cycle non trivial de l'espace-cible.
Ces instantons g{\'e}n{\`e}rent des effets d'ordre $e^{-A/\alpha'}$,
o{\`u} $A$ est l'aire du cycle, et peuvent appara{\^\i}tre 
{\it {\`a} tout ordre de la th{\'e}orie de perturbation en $g=e^{\phi}$.}
Le second cas est malheureusement moins explicite, l'action
du champ de corde n'{\'e}tant pas connue. La constante de Planck
doit cependant y appara{\^\i}tre comme diviseur commun, et le
d{\'e}veloppement semi-classique est alors un  d{\'e}veloppement 
autour des solutions classiques de l'{\'e}quation du mouvement
des {\it champs de cordes}. Ces {\'e}quations du mouvement 
se d{\'e}composent en autant d'{\'e}quations que de modes propres
de la corde, et les configurations d'instanton d{\'e}crivent
la configuration de tous ces modes. L'effet des modes massifs 
peut cependant {\^e}tre int{\'e}gr{\'e} de mani{\`e}re {\`a} ne laisser
\index{supermassifs, {\'e}tats}
que la dynamique effective des champs de masse nulle,
\index{action effective}
d{\'e}crite par une action o{\`u} ({\`a} l'ordre des arbres)
le dilaton appara{\^\i}t comme facteur global.  
L'approximation semi-classique correspond donc {\`a} toutes
fins utiles {\`a} une approximation de faible couplage.
Les instantons correspondants, dits {\it instantons d'espace-temps}, 
contribuent aux amplitudes par un facteur $e^{-S}$
o{\`u} $S$ repr{\'e}sente l'action de l'instanton.

\subsection{S{\'e}rie de perturbation et effets non-perturbatifs\label{bigord}}
Les instantons correspondent aux transitions
entre plusieurs vides perturbatifs d'une th{\'e}orie quantique.
\index{vide!transition entre}
Ils sont particuli{\`e}rement familiers dans les th{\'e}ories de Yang-Mills,
o{\`u} ils correspondent aux connexions
de jauge {\it {\`a} courbure auto-duales} $F=*F$ de la th{\'e}orie euclidienne. 
\index{euclidienne, action}
\index{instanton!des th{\'e}ories de jauge}
Ces configurations minimisent l'action euclidienne 
dans le secteur de seconde classe de Chern
\index{Chern, classe de} 
$\frac{1}{8\pi^2}\int \tr F\wedge F=n$,
et induisent des effets non perturbatifs d'ordre $e^{-8\pi ^2 n/g^2}$.
Des instantons analogues apparaissent {\'e}galement en pr{\'e}sence de
gravitation sous la forme d'{\it espaces asymptotiquement localement
euclidiens} ({\it ALE spaces}), de courbure de Riemann auto-duale
\index{ALE, espace|see{instanton gravitationnel}}
\index{instanton!gravitationnel}
(cf. \cite{Eguchi:1980jx} pour une revue d{\'e}taill{\'e}e).
Ils g{\'e}n{\`e}rent des effets du m{\^e}me ordre $e^{-1/g^2}$, o{\`u}
le couplage $1/g^2$ correspond cette fois au couplage gravitationnel
et multiplie l'action de Einstein-Hilbert. Ces effets sont comparables
\index{Einstein-Hilbert, action d'}
{\`a} l'{\it incertitude de la s{\'e}rie perturbative asymptotique}
\index{asymptotique, s{\'e}rie|textit}
aux grands ordres de perturbation. 
\index{serie de perturbation@s{\'e}rie de perturbation@incertitude de la}
Les diagrammes de Feynman {\`a} $l$ boucles 
\index{Feynman, diagramme de}
donnent en effet une contribution d'ordre $C^{-l}l! g^{2l}$
{\`a} l'amplitude totale, g{\'e}n{\'e}rant des p{\^o}les dans le
plan de Borel. Le choix de la prescription de contournement
\index{Borel, plan de}
des p{\^o}les introduit alors apr{\`e}s transformation de Borel 
inverse des incertitudes d'ordre $e^{-C/g^2}$
\footnote{Je remercie V. Rivasseau pour ses explications eclairantes
sur le sujet.}.

Les th{\'e}ories de cordes unifient en particulier les
interactions de jauge et la gravitation avec le m{\^e}me couplage
$g=e^{\phi}$, et doivent donc inclure de tels effets non perturbatifs.
Comme l'a remarqu{\'e} Shenker, le volume de l'espace des modules
des surfaces de Riemann de genre $l$, analogue aux facteurs
\index{espace des modules!des surfaces de Riemann}
\index{surface de Riemann!espace des modules}
combinatoires des diagrammes de Feynman de la th{\'e}orie des
champs, induit un comportement $C^{'-2l}(2l)!g^{2l}$
beaucoup plus explosif de la s{\'e}rie de perturbation
aux grands ordres, conduisant {\`a} une incertitude d'ordre
$e^{-C'/g}$ \cite{Shenker:1990}. 
Bien qu'observ{\'e}s explicitement dans les mod{\`e}les de matrice
des th{\'e}ories de cordes, ces effets instantoniques beaucoup plus importants
{\`a} faible couplage sont rest{\'e}s myst{\'e}rieux jusqu'{\`a} la 
d{\'e}couverte des D-branes
\index{D-brane}\index{D-instanton}
\footnote{L'explication de ces effets ne n{\'e}cessite en r{\'e}alit{\'e}
que le couplage anormal des champs de jauge de Ramond au dilaton,
conduisant aux solitons de supergravit{\'e} de masse $1/g$, et non
la formulation de ces D-branes en termes de th{\'e}ories conformes
bidimensionnelles {\`a} bord.}, 
dont la masse se comporte
pr{\'e}cis{\'e}ment comme $1/g$. Apr{\`e}s rotation de Wick, ces solitons
donnent ainsi lieu {\`a} des instantons dont l'action euclidienne
\index{Wick, rotation de}
\index{action euclidienne}
cro{\^\i}t comme $1/g$. La contribution en $e^{-1/g}$
peut {\'e}galement s'expliquer heuristiquement comme l'exponentiation
de diagrammes de disque d'ordre $g^{-\chi}=1/g$ correspondant
aux surfaces d'univers des cordes ouvertes attach{\'e}es {\`a}
la membrane\footnote{Ces diagrammes restes connexes
en raison du flux de moment d'un disque {\`a} l'autre
{\`a} travers la D-brane.} \cite{Polchinski:1994fq}. 

\subsection{M-th{\'e}orie et approximation semi-classique}
La M-th{\'e}orie est en l'{\'e}tat actuel d{\'e}finie par les th{\'e}ories 
de supercordes qui en donnent diff{\'e}rentes approximations perturbatives.
Elle pr{\'e}sente donc autant d'approximations
semi-classiques que de limites perturbatives, et le choix de telle
ou telle description d{\'e}pend du r{\'e}gime des param{\`e}tres consid{\'e}r{\'e}.
En particulier, les configurations d'instantons diff{\`e}rent 
d'une limite {\`a} l'autre. Elles peuvent {\^e}tre obtenues par 
l'{\'e}tude des solutions classiques des th{\'e}ories de supergravit{\'e}
{\it euclidiennes} d{\'e}crivant les modes de masse nulle de la M-th{\'e}orie
dans la limite consid{\'e}r{\'e}e, bien qu'on ne puisse exclure 
l'existence de solutions mettant en jeu les modes massifs.
Nous avons d{\'e}j{\`a} discut{\'e} les solutions des th{\'e}ories de
supergravit{\'e} {\it minkovskiennes}
du spectre 1/2-BPS des th{\'e}ories de cordes.
Apr{\`e}s rotation de Wick, ces solitons fournissent des
configurations instantoniques de $p$-brane pr{\'e}servant
la moiti{\'e} des supersym{\'e}tries. Ces configurations infiniment {\'e}tendues
poss{\`e}dent cependant une action euclidienne infinie, et ne d{\'e}crivent
donc pas des instantons {\`a} dix dimensions
\footnote{On pourrait imaginer de replier le 
volume d'univers de ces solutions en un volume fini, mais l'action
ne serait alors plus extr{\'e}male sous les contractions de ce volume.}.
Seule la supergravit{\'e} de type IIB pr{\'e}sente des configurations
instantoniques localis{\'e}es d'action euclidienne finie, correspondant
{\`a} une excitation de la m{\'e}trique et du scalaire de Ramond $\axion$.
Cette configuration est d{\'e}crite par la {\it D(-1)-brane}, ou 
{\it D-instanton}, de la th{\'e}orie de type IIB
\index{D-instanton!de type IIB}
\cite{Green:1991et}. Son action euclidienne
\begin{equation}
\label{sdi}
S_{D(-1)}=e^{-\phi} + i \axion
\end{equation}
peut {\^e}tre vue comme un cas d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e} de l'action de Born-Infeld
\index{Born-Infeld, action de}
(\ref{abi}).

Apr{\`e}s compactification en revanche, il devient possible de
stabiliser les configurations euclidiennes de $p$-branes
en les {\it enroulant} sur certains cycles non triviaux de la vari{\'e}t{\'e}
\index{cycle d'homologie!de la vari{\'e}t{\'e} de compactification}
\index{enroulement!des solitons en instantons|textit}
de compactification. On obtient ainsi des instantons 
d'action euclidienne finie en dimension inf{\'e}rieure. La pr{\'e}servation
d'une partie des supersym{\'e}tries impose les m{\^e}mes conditions 
g{\'e}om{\'e}triques sur le cycle que dans le cas des solitons BPS
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS}
(section \ref{susycyc}).
Les D-branes donnent ainsi lieu {\`a} des configurations 
d'action euclidienne donn{\'e}e par l'action de Born-Infeld
\begin{equation}
S_{Dp}=\int d^{p+1}x~ e^{-\phi} \sqrt{\hat g +\hat B+ F}+ 
i \mathcal{R}e^{\hat B+F}\ ,
\end{equation}
faisant intervenir la courbure du champ de jauge du volume d'univers
de la D-brane, tandis que l'action associ{\'e}e {\`a} la 5-brane de Neveu-Schwarz 
\index{cinq-brane!de Neveu-Schwarz}
enroul{\'e}e sur un 6-cycle s'{\'e}crit
\begin{equation}
\label{actns5}
S_{NS5}=\int d^{6}x~e^{-2\phi} \sqrt{\hat g} +
i \hat B_6
\end{equation}
o{\`u} $B_6$ est le tenseur de jauge dual au tenseur de
Neveu-Schwarz $B_{\mu\nu}$ {\`a} dix dimensions sous la dualit{\'e} de
Poincar{\'e}.
\index{dualit{\'e}!de Poincar{\'e}}
La th{\'e}orie de type I recevra ainsi des contributions 
en $e^{-1/g}$ des D1- et D5-branes,
tandis que les th{\'e}ories de type IIA et IIB recevront des
contributions des D-branes de dimension paire et impaire respectivement ;
toutes les th{\'e}ories de supercordes pourront en outre recevoir des
contributions de NS5-brane
d'ordre $e^{-1/g^2}$. En particulier, les cordes h{\'e}t{\'e}rotiques
$SO(32)$ et $E_8\times E_8$
ne pr{\'e}sentant pas de D-brane dans leur spectre solitonique,
seules des corrections en $e^{-1/g^2}$ seraient attendues
\footnote{L'argument de Shenker de la 
section \ref{bigord} s'applique cependant tout autant {\`a} la corde
h{\'e}t{\'e}rotique, et de fait la dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique-type I
transforme les instantons de surface d'univers de type I
en des effets en $e ^{-1/g}$ de la corde h{\'e}t{\'e}rotique, dont
l'interpr{\'e}tation reste myst{\'e}rieuse. Il serait tr{\`e}s int{\'e}ressant
de disposer d'un exemple explicite de tels effets.}. La corde h{\'e}t{\'e}rotique
\index{supercordes, th{\'e}orie des!h{\'e}t{\'e}rotiques}
appara{\^\i}t ici encore comme la description perturbative <<la moins
incompl{\`e}te>> de la M-th{\'e}orie, si toutefois cette conjecture
s'av{\`e}re correcte. Encore ces instantons n'{\'e}puisent-ils
que le spectre des configurations pr{\'e}servant la moiti{\'e}
des supersym{\'e}tries, auxquelles il faut encore ajouter les configurations
de $p$-branes intersectantes, et nombre d'objets non d{\'e}crits
par l'ansatz (\ref{pansatz}). 

\subsection{Instantons et saturation BPS}
Les contraintes de supersym{\'e}trie permettent heureusement 
de contr{\^o}ler cette prolif{\'e}ration. Chaque classe de configuration
instantonique admet en effet des d{\'e}formations continues
param{\'e}tr{\'e}es par des {\it coordonn{\'e}es collectives},
\index{coordonn{\'e}e collective}
sur lesquelles les fonctions de corr{\'e}lation doivent {\^e}tre
int{\'e}gr{\'e}es \cite{Gervais:1975yg}:
\begin{equation}
\langle \prod{V_\phi} \rangle = 
\sum_{\mbox{secteurs}} \int d\mu 
~\langle \prod V_\phi \rangle_I~ \frac{1}{\sqrt{\det Q'}} e^{-S_I} 
\end{equation}
$S_I$ d{\'e}note l'action de l'instanton,
$Q$ la forme quadratique d{\'e}crivant les fluctuations gaussiennes
autour de l'instanton orthogonales aux modes z{\'e}ros ;
les $V_{\phi}$ repr{\'e}sentent les op{\'e}rateurs de vertex intervenant
dans la fonction de corr{\'e}lation, et d{\'e}pendent de l'amplitude
\index{op{\'e}rateur de vertex}
physique consid{\'e}ree. Une coordonn{\'e}e collective est en
particulier associ{\'e}e {\`a} chaque sym{\'e}trie bris{\'e}e
\index{instanton!sym{\'e}trie bris{\'e}e par}
par la configuration solitonique\footnote{Dans le cas
des th{\'e}ories de Yang-Mills, les instantons brisent
l'invariance par translation et par dilatation ;
ils pr{\'e}sentent par cons{\'e}quent des coordonn{\'e}es
collectives de position globale et de taille.}, bien que 
d'autres degr{\'e}s de libert{\'e} puissent {\^e}tre pr{\'e}sents.
En particulier, chaque charge supersym{\'e}trique bris{\'e}e
par l'instanton engendre une coordonn{\'e}e collective
{\it grassmannienne}, ou {\it mode z{\'e}ro fermionique}. 
\index{mode z{\'e}ro!fermionique}
L'int{\'e}gration conduit donc
{\`a} un r{\'e}sultat nul, {\`a} moins que les vertex
$V_\phi$ {\'e}valu{\'e}es autour de la configuration solitonique
ne {\it saturent} tous les modes z{\'e}ros fermioniques.  
Gr{\^a}ce {\`a} la supersym{\'e}trie, on peut toujours se ramener
au cas o{\`u} tous les op{\'e}rateurs de vertex sont fermioniques
\footnote{La supersym{\'e}trie $\delta_\epsilon \psi = \partial_\mu
\phi \gamma^\mu \epsilon$ convertit une d{\'e}riv{\'e}e bosonique
en un bilin{\'e}aire fermionique.}. Ces op{\'e}rateurs sont nuls 
dans la configuration bosonique de r{\'e}f{\'e}rence, mais 
d{\'e}pendent {\it lin{\'e}airement} au premier ordre
en les coordonn{\'e}es fermioniques grassmanniennes. 
{\it Le nombre d'insertions
$V_\phi$ doit donc {\it au moins} {\'e}galer le nombre de charges
supersym{\'e}triques bris{\'e}es par l'instanton.} 

Cette r{\`e}gle de s{\'e}lection est {\`a} la base de th{\'e}or{\`e}mes
de non renormalisation tr{\`e}s importants
\index{non renormalisation}
\footnote{Il s'agit ici de th{\'e}or{\`e}mes de non renormalisation
{\it semi-classique}. Ils ne pr{\'e}sagent pas de l'existence
de corrections non perturbatives d'autre nature, bien que
de telles corrections n'aient pas {\'e}t{\'e} observ{\'e}es.}.
%corrections perturbatives ne sont pas non plus concern{\'e}es ;
En effet, les instantons
brisent au minimum la moiti{\'e} des $N$ charges supersym{\'e}triques.
Les interactions correspondant {\`a} $n_f < N/2$ 
vertex fermioniques ne re{\c c}oivent donc pas de contributions
instantoniques, tandis que celles correspondant {\`a} $n_f = N/2$
ne re{\c c}oivent de contributions {\it que des instantons BPS
pr{\'e}servant la moiti{\'e} des supersym{\'e}tries}, ou 1/2-BPS satur{\'e}s. 
Plus g{\'e}n{\'e}ralement, les interactions correspondant
{\`a} $n_f <N$ peuvent {\^e}tre corrig{\'e}s par des effets
d'instantons BPS pr{\'e}servant $N-n_f$ supercharges.
Cette supersym{\'e}trie r{\'e}siduelle suffit {\`a} garantir la compensation
entre les modes bosoniques et fermioniques autour de l'instanton,
soit $\det Q'=1$.
Les amplitudes v{\'e}rifiant $n_f<N$, ainsi que les termes de l'action effective
auxquels elles correspondent, sont dits {\it BPS satur{\'e}es}.
\index{saturation BPS|textit}
Cette propri{\'e}t{\'e} permet {\'e}galement de d{\'e}terminer le {\it nombre}
d'instantons contribuant. La stabilit{\'e} neutre des configurations
BPS permet en effet de mettre en pr{\'e}sence un nombre arbitraire
d'instantons BPS, dont les positions relatives sont d{\'e}crites
par des coordonn{\'e}es collectives suppl{\'e}mentaires, ainsi que
leurs partenaires supersym{\'e}triques grassmanniennes. Les modes
z{\'e}ros d'une telle configuration ne sont alors plus satur{\'e}s,
et la contribution {\`a} l'amplitude s'annule. Cet argument peut
{\^e}tre mis en d{\'e}faut aux points singuliers de l'espace des
\index{espace des modules!singularit{\'e}}
modules des instantons o{\`u} la dimension de l'espace tangent change,
et on ne peut donc exclure les contributions d'instantons BPS
co{\"\i}ncidant \cite{Bachas:1997xn}; 
ceux-ci sont cependant en g{\'e}n{\'e}ral indistinguables
des instantons de charge multiple.

Ainsi, {\it dans le cas des th{\'e}ories de supersym{\'e}trie maximale}
soit {\`a} $N=32$ supercharges, les premiers effets instantoniques
peuvent se manifester dans les couplages $1/2$-BPS satur{\'e}s {\`a}
16 fermions, reli{\'e}s par supersym{\'e}trie aux couplages {\`a} 
8 d{\'e}riv{\'e}es. Le seul multiplet {\'e}tant le multiplet gravitationnel,
ces couplages correspondent aux {\it interactions en $R^4$}, o{\`u} la 
contraction des indices de Lorentz n'est pas sp{\'e}cifi{\'e}e.
\index{non renormalisation!de l'action en $R^4$
dans type II $N=8$}
Ces couplages font l'objet des publications en appendices \ref{pq},
\ref{dc} et \ref{nr4}.
Les couplages en $R^6$ sont quant {\`a} eux $1/4$-BPS satur{\'e}s,
et les couplages en $R^8$ re{\c c}oivent {\it a priori} des
contributions des instantons non supersym{\'e}triques.
Dans le cas des th{\'e}ories {\`a} 16 supercharges, le r{\^o}le des
couplages $1/2$-BPS satur{\'e}s est jou{\'e} par les interactions
en $F^4$ et $R^2$, cette derni{\`e}re faisant l'objet de la 
publication en appendice \ref{dds}. Finalement, dans les th{\'e}ories
{\`a} 8 supercharges, l'action {\`a} deux d{\'e}riv{\'e}es elle-m{\^e}me
est corrig{\'e}e, et le potentiel scalaire dans les th{\'e}ories
{\`a} 4 supercharges. Dans ces deux derniers cas, la structure
holomorphe de la g{\'e}om{\'e}trie des multiplets vectoriels $N=2$
et du superpotentiel $N=1$ respectivement interdit 
les corrections en $e^{-1/g}=e^{-\sqrt{S-\bar S}/2i}$.
Cette restriction ne s'applique cependant pas {\`a}
la {\it g{\'e}om{\'e}trie des hypermultiplets} et au 
\index{hypermultiplet}
\index{Kahler, potentiel de@K{\"a}hler, potentiel de}
{\it potentiel de K{\"a}hler} respectivement. Elle ne limite
pas non plus les corrections de NS5-brane
en $e^{-1/g^2 + i a } = e^{-S}$ dans aucun de ces termes. 

\section{Instantons h{\'e}t{\'e}rotiques de 5-brane}
Les premiers exemples explicites de corrections non-perturbatives 
en th{\'e}orie des cordes ont {\'e}t{\'e} obtenus dans l'{\'e}tude de la m{\'e}trique
des multiplets vectoriels dans les compactifications $N=2$ de la 
corde h{\'e}t{\'e}rotique sur $K_3\times T^2$ ; ils sont bas{\'e}s sur la
conjecture de dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique-type IIA formul{\'e}e par Kachru
\index{dualit{\'e}!h{\'e}t{\'e}rotique - type II}
et Vafa dans le cadre des th{\'e}ories $N=2$ de type II
\cite{Kachru:1995wm}, et en fournissent
une v{\'e}rification cruciale (voir par exemple \cite{Partouche:1997}). 
Un ingr{\'e}dient essentiel {\`a} la 
d{\'e}monstration est la propri{\'e}t{\'e} de {\it d{\'e}couplage
des multiplets vectoriels et des hypermultiplets}. Le dilaton
\index{decouplage@d{\'e}couplage!des hypers et vecteurs}
appartient {\`a} un {\it hypermultiplet} dans la th{\'e}orie de type II, de sorte que
\index{dilaton}
\index{hypermultiplet}
{\it la m{\'e}trique des multiplets vectoriels ne peut recevoir
aucune correction perturbative ou non perturbative du cot{\'e}
de type IIA}. Elle est donc donn{\'e}e {\it exactement} par
la contribution {\`a} l'ordre des arbres
\footnote{En pratique, les instantons de surface d'univers
apparaissant dans la m{\'e}trique {\`a} l'ordre des arbres sont calcul{\'e}s
classiquement par {\it sym{\'e}trie miroir} {\`a} partir de la th{\'e}orie
\index{miroir, sym{\'e}trie}
de type IIB.}.
Ce th{\'e}or{\`e}me de non renormalisation ne s'applique
pas du c{\^o}t{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique, o{\`u} le dilaton appartient {\`a} un
multiplet vectoriel. On peut appliquer la transformation de dualit{\'e}
et traduire la m{\'e}trique exacte des multiplets vectoriels de type II 
dans les variables
h{\'e}t{\'e}rotiques. Les effets d'{\it instantons de surface d'univers}
en $e^{-1/\alpha'}$ s'interpr{\`e}tent alors comme des 
{\it instantons d'espace-temps} en $e^{-1/g^2}$ de la th{\'e}orie
\index{instanton!de feuille d'univers}
h{\'e}t{\'e}rotique. Les complications g{\'e}om{\'e}triques des compactifications
de type II sur espace de Calabi-Yau et h{\'e}t{\'e}rotiques sur une
\index{Calabi-Yau, vari{\'e}t{\'e} de}
\index{K3, surface@$K_3$, surface}
vari{\'e}t{\'e} $K_3$ ont cependant emp{\^e}ch{\'e} jusqu'{\`a} pr{\'e}sent une
interpr{\'e}tation de ces corrections en termes de NS5-branes
enroul{\'e}es sur $K_3\times T^2$.

Les contributions des NS5-branes peuvent {\^e}tre plus facilement
analys{\'e}es dans le cas de la compactification toro{\"\i}dale
\index{compactification!toro{\"\i}{}dale}
de la corde h{\'e}t{\'e}rotique. On obtient ainsi une th{\'e}orie $N=4$
{\`a} quatre dimensions, dont l'action effective {\`a} deux d{\'e}riv{\'e}es
ne re{\c c}oit pas de corrections quantiques perturbatives ou
non perturbatives. En revanche, les corrections gravitationnelles
en $R^2$ correspondent {\`a} des couplages 1/2-BPS satur{\'e}s 
et peuvent recevoir des corrections de NS5-brane. Ces corrections
ont {\'e}t{\'e} d{\'e}termin{\'e}es par Harvey et Moore en utilisant
la dualit{\'e} entre la corde h{\'e}t{\'e}rotique compactifi{\'e}e sur
$T^6$ et la corde de type II compactifi{\'e}e sur $K_3\times T^2$
\cite{Harvey:1996ir}.
Le couplage en $R^2$ est en effet le premier 
d'une suite d'{\it amplitudes topologiques} $\mathcal{F}_g R^2 F^{2g-2}$
\index{amplitude de diffusion!topologique}
de la th{\'e}orie de type II,
o{\`u} $F$ represente ici la courbure d'un champ de jauge du
multiplet gravitationnel
\cite{Antoniadis:1994ze}. Ces amplitudes peuvent {\^e}tre {\'e}valu{\'e}es
dans le cadre de la {\it th{\'e}orie topologique} reli{\'e}e {\`a}
la th{\'e}orie conforme bidimensionnelle sur $K_3$ 
par un {\it twist}, et un comptage
des modes z{\'e}ros sur la surface d'univers montre qu'elles
\index{mode z{\'e}ro!sur la surface d'univers}
ne re{\c c}oivent de contributions que de surfaces de Riemann de 
genre $g$. Ce th{\'e}or{\`e}me de non renormalisation ne vaut
bien entendu qu'au niveau perturbatif. Il peut {\^e}tre {\'e}tendu
au niveau non perturbatif en notant que dans le cas des th{\'e}ories
$N=2$, les amplitudes $\F_g$ ne d{\'e}pendent que des multiplets
vectoriels, et ne re{\c c}oivent donc pas de corrections m{\^e}me
\index{vectoriel, multiplet}
non perturbatives. De fait, le calcul de l'amplitude 
$\F_1 R^2$ {\`a} une boucle en type IIA donne 
\begin{equation}
\label{r2iia}
\F_1^{IIA}= - \log \left( T_2 |\eta(T)|^4 \right)\ ,
\end{equation}
o{\`u} $T$ d{\'e}note le module de K{\"a}hler du tore $T^2$.
\index{Kahler, module de@K{\"a}hler, module de}
Cette expression est en elle-m{\^e}me invariante sous le groupe
de U-dualit{\'e} $Sl(2,\Zint)_T \times SO(6,22,\Zint)$, et
\index{U-dualit{\'e}!de Het/type II $N=4$}
ne requiert donc pas de contributions perturbatives ou 
non perturbatives suppl{\'e}mentaires. L'ind{\'e}pendance
de $\F_1^{IIA}$ sur les modules de $K_3$ traduit
le caract{\`e}re topologique de cette amplitude. Exprim{\'e}e
en terme des variables h{\'e}t{\'e}rotiques, elle devient
\begin{equation}
\F_1^{het}= - \log \left( S_2 |\eta(S)|^4 \right) \ ,
\end{equation}
o{\`u} $S=a + i V/g^2$ est le scalaire complexe d{\'e}crivant
le couplage de la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique compactifi{\'e}e sur un tore
$T^6$ de volume $V$. Le d{\'e}veloppement {\`a} faible couplage
de cette amplitude 
\begin{equation}
\label{f1het}
\F_1^{het}= \frac{\pi}{3} S_2 + \sum_{N\ne 0} C(N)e^{iNS} - \log S_2
\end{equation}
reproduit la contribution {\`a} l'ordre des arbres 
$\F_{1;pert}^{het}=\frac{\pi}{3}S_2$, mais montre l'existence
d'une s{\'e}rie de contributions non perturbatives
\index{serie d'instantons@s{\'e}rie d'instantons!couplage $R^2$ de Het
  $N=4$}
d'ordre $e^{-1/g^2}$\footnote{L'{\'e}quation (\ref{f1het}) montre
{\'e}galement un terme $-\log S_2$ traduisant l'existence d'une
divergence logarithmique {\`a} fort couplage. Ce ph{\'e}nom{\`e}ne,
\index{divergence logarithmique en couplage}
que l'on retrouvera dans la suite, n'a pas encore 
re{\c c}u d'interpr{\'e}tation satisfaisante.}.
La comparaison du poids $e^{inS}$ de ces termes 
avec l'{\'e}quation (\ref{actns5}) permet d'identifier
ces contributions avec celle de $n$ NS5-branes euclidiennes
dont les six directions sont enroul{\'e}es autour
du tore\footnote{ou alternativement, d'une seule NS5-brane
enroul{\'e}e $n$ fois autour du tore. Le cas $n<0$ correspond {\`a} une
anti-brane, ou une brane d'orientation oppos{\'e}e {\`a} 
\index{anti-brane}
l'orientation de $T^6$.}. L'ind{\'e}pendance de $\F_1^{het}$
sur les modules du r{\'e}seau $\Gamma_{6,22}$ traduit
la neutralit{\'e} de la 5-brane vis-{\`a}-vis du groupe
de jauge h{\'e}t{\'e}rotique. L'extension de ce raisonnement
aux th{\'e}ories $N=4$ {\it de rang r{\'e}duit} fait
l'objet de la publication en appendice \ref{dds}.
Il montre en particulier l'existence d'une sym{\'e}trie $N=8$ 
restaur{\'e}e dans la limite de fort couplage et grand volume
de certaines th{\'e}ories h{\'e}t{\'e}rotiques (figure
\ref{tt:f1} page \pageref{tt:f1}).
Nous reviendrons {\'e}galement plus loin sur une autre
amplitude, cette fois exacte du c{\^o}t{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique,
mais correspondant {\`a} des effets de D-brane 
du c{\^o}t{\'e} de type II.

\section{Instantons de type II et D-branes}
Dans la section pr{\'e}c{\'e}dente, nous avons d{\'e}crit des
effets non perturbatifs de la corde h{\'e}t{\'e}rotique
interpr{\'e}t{\'e}s en termes de NS5-branes neutres
enroul{\'e}es autour du tore $T^6$. La connaissance tr{\`e}s
imparfaite de la description des NS5-branes ne nous
a permis d'en donner une interpr{\'e}tation pr{\'e}cise
que dans le cas simple d'une compactification
toro{\"\i}dale sur $T^6$.  La dynamique des D-branes 
de type I et II est en revanche bien comprise
dans le cadre de l'action de Born-Infeld, et la
signature en $e^{-1/g}$ de ces effets en permet
une identification beaucoup plus s{\^u}re. 
La vari{\'e}t{\'e} de leurs dimensionnalit{\'e}s permet {\'e}galement
d'{\'e}tudier comment elles rentrent en jeu successivement
au cours de la compactification sur des tores de
dimension croissante. Avant de montrer ce point,
nous commencerons cependant par discuter bri{\`e}vement
le premier exemple explicite de corrections de 
D-branes construit par Ooguri et Vafa dans le cadre
des compactifications de type II sur espace de
Calabi-Yau. 

\section{D-instantons et g{\'e}om{\'e}trie des hypermultiplets}
La r{\'e}solution par Strominger
de la singularit{\'e} de {\it conifold}
\index{singularit{\'e}!de conifold}
a constitu{\'e} l'un des premiers succ{\`e}s de l'application
des id{\'e}es de Seiberg et Witten en th{\'e}orie des
cordes \cite{Strominger:1995qi}. 
Cette singularit{\'e} appara{\^\i}t dans la m{\'e}trique
des multiplets vectoriels d{\'e}crivant la structure
\index{vectoriel, multiplet}
complexe de l'espace de Calabi-Yau $K$ dans le cas
\index{Calabi-Yau, vari{\'e}t{\'e} de}
de la compactification $N=2$ de la th{\'e}orie de type IIB
{\`a} quatre dimensions, lorsqu'un 3-cycle $\gamma$ de
$K$ d{\'e}g{\'e}n{\`e}re. Elle se traduit par une divergence
logarithmique dans le pr{\'e}potentiel {\`a} l'ordre des arbres lorsque la 
\index{pr{\'e}potentiel}
p{\'e}riode $z=\int_\gamma \Omega$ s'annule. 
La m{\'e}trique des multiplets
vectoriels de type II {\'e}tant exacte {\`a} l'ordre des arbres,
cette singularit{\'e} ne peut {\^e}tre {\'e}limin{\'e}e par
les corrections quantiques, et doit donc avoir une origine
physique : Strominger a montr{\'e} qu'elle correspondait
{\`a} l'int{\'e}gration d'un {\'e}tat non perturbatif devenant
de masse nulle lorsque $z\rightarrow 0$ ; cet {\'e}tat n'est autre que
la D3-brane enroul{\'e}e autour du cycle {\'e}vanescent $\gamma$
\index{cycle d'homologie!evanescent@{\'e}vanescent}
\cite{Strominger:1995qi}.

Par sym{\'e}trie miroir, il existe donc {\'e}galement une singularit{\'e}
logarithmique dans la m{\'e}trique perturbative des {\it hypermultiplets}
de la th{\'e}orie de type IIA sur la vari{\'e}t{\'e} miroir
\index{miroir, sym{\'e}trie}
$\tilde K$. Il n'existe cependant pas de D3-brane
dans la th{\'e}orie de type IIA pour expliquer cette
singularit{\'e}, et du reste la m{\'e}trique des hypermultiplets
\index{hypermultiplet}
n'est plus prot{\'e}g{\'e}e des corrections quantiques.
Ooguri et Vafa ont montr{\'e} que les corrections instantoniques
de {\it D2-brane} enroul{\'e}es autour du cycle {\'e}vanescent
$\gamma$ pouvaient r{\'e}soudre la singularit{\'e},
et ont donn{\'e} une expression explicite pour ces corrections
dans le cas id{\'e}alis{\'e} o{\`u} la vari{\'e}t{\'e} des hypermultiplets
se restreignait {\`a} une vari{\'e}t{\'e} hyperk{\"a}hl{\'e}rienne de
dimension 4 \cite{Ooguri:1996me}. 
\index{vari{\'e}t{\'e}!hyperk{\"a}hlerienne}
Ce cas correspond {\`a} la limite de {\it double
scaling} $z\rightarrow 0, g\rightarrow 0, z/g=\mbox{cte}$.
Les quatre scalaires de l'hypermultiplet correspondent
alors {\`a} la p{\'e}riode $z\in \CC$ et deux variables p{\'e}riodiques r{\'e}elles
$x,t$  d{\'e}crivant la valeur moyenne
du tenseur de Ramond $\mathcal{C}_3$ sur $\gamma$ et sur
son dual. La m{\'e}trique est classiquement invariante
par translation selon $t$ et $x$, mais les instantons 
enroul{\'e}s sur $\gamma$ brisent l'invariance de translation selon $x$
{\`a} un sous groupe discret $\Zint$.
Une m{\'e}trique hyperk{\"a}hlerienne de dimension 4 avec une isom{\'e}trie
admet la forme g{\'e}n{\'e}rale\footnote{Cet ansatz appara{\^\i}{}t {\'e}galement
dans l'{\'e}tude des instantons gravitationnels, et d{\'e}finit les
\index{instanton!gravitationnel}
\index{Eguchi-Hanson, espace d'}
espaces d'Eguchi-Hanson, $V=\sum_k 1/4\pi\|x-x_k\|$ et de Taub-NUT,
$V=1+\sum_k 1/4\pi\|x-x_k\|$ (voir \cite{Eguchi:1980jx}). La solution de
Ooguri et Vafa resurgira dans le chapitre 5.}
\begin{equation}
ds^2 = \frac{1}{V} (dt - A_i dy^i)^2 + V (dy^i)^2
\end{equation}
o{\`u} le potentiel $V(y)$ et le vecteur $A$ v{\'e}rifient
les conditions
\begin{equation}
V^{-1} \Delta V =0, \nabla V = \nabla \wedge A
\end{equation}
$V$ et $A_i$ peuvent donc {\^e}tre interpr{\'e}t{\'e}s comme des potentiels
{\'e}lectrostatique et magn{\'e}tostatique respectivement, cr{\'e}es par la m{\^e}me
distribution de charges, axisym{\'e}trique puisque la phase de
$z$ ne doit pas intervenir.
Les effets instantoniques {\'e}tant {\'e}limin{\'e}s
pour $|z|\rightarrow \infty$, $V$ v{\'e}rifie la condition
aux limites
\begin{equation}
V\rightarrow  -\frac{1}{4\pi} \log |z|^2
\end{equation}
Ces conditions d{\'e}terminent alors $V$ {\`a} toute distance par
\begin{equation}
V=\frac{1}{4\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty}
\left( \frac{1}{\sqrt{(x-n)^2+|z|^2/g}} - \frac{1}{|n|}\right)~+\mbox{cte}
\end{equation}
correspondant {\`a} une distribution de charges ponctuelles
r{\'e}guli{\`e}rement espac{\'e}es le long de l'axe $Ox$.
Les p{\^o}les simples en $(z=0,x=n)$ ne correspondent {\`a} aucune
singularit{\'e} de la m{\'e}trique
\footnote{Ce ne serait plus le cas si les charges ponctuelles
avaient une valeur double, tout comme la m{\'e}trique en
coordonn{\'e}es polaires $ds^2=dr^2 + \alpha r^2 d\theta^2$
pr{\'e}sente une singularit{\'e} conique lorsque $\alpha\ne 1$.}
, et la singularit{\'e} de
conifold dispara{\^\i}t donc sous les corrections d'instantons.
Le comportement {\`a} faible couplage peut {\^e}tre exhib{\'e}
par resommation de Poisson sur l'entier $n$ :
\index{Poisson, resommation de}
\begin{equation}
\label{vof}
V = -\frac{1}{4\pi} \log \frac{|z|^2}{\mu^2}
+ \sum_{m\ne 0} \frac{1}{2\pi} 
K_0\left(2\pi e^{-\phi} |mz| \right)
e ^{2\pi i m x}
\end{equation}
o{\`u} $\mu$ est une constante arbitraire,
et redonne la contribution logarithmique perturbative, 
ainsi qu'une {\it somme d'effets non perturbatifs} exprim{\'e}s
en terme de la fonction de Bessel $K_0$~; les fonctions de Bessel
\index{Bessel, fonction de|textit}
$K_\nu$
se comportent {\`a}  grand argument comme
\footnote{On trouvera dans l'appendice de la publication
en annexe \ref{pq} un rappel des propri{\'e}t{\'e}s des fonctions
$K_\nu(z)$, ainsi qu'une m{\'e}thode commode pour
effectuer ce type de resommation de Poisson~; la s{\'e}rie
dans l'{\'e}quation (\ref{k0}) se termine {\`a} $k=\nu-\frac{1}{2}$
lorsque $\nu$ est demi-entier.}
\begin{equation}
\label{k0}
K_{\nu}(z)= \sqrt{\frac{\pi}{2z}} e^{-z} \left(1
+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2z)^k} 
\frac{\Gamma\left(\nu+k+\frac{1}{2}\right)}
{k!\Gamma\left(\nu-k+\frac{1}{2}\right)}  
\right)\ .
\end{equation}
\index{serie d'instantons@s{\'e}rie d'instantons!dans la g{\'e}om{\'e}trie
  des hypers}
L'action euclidienne associ{\'e}e {\`a} ces effets
s'{\'e}crit donc $e^{-2\pi m \left( \frac{|z|}{g} \pm i x\right)}$,
soit pr{\'e}cis{\'e}ment l'action euclidienne associ{\'e}e {\`a} une
D3-brane enroul{\'e}e $m$ fois autour du 3-cycle de volume $|z|$ et
de flux de Ramond $x$. Les corrections $O(1/z)$ {\`a} l'approximation
(\ref{k0}) traduisent l'existence de corrections perturbatives
autour de la configuration d'instanton. L'absence de corrections
perturbatives au terme logarithmique dans le vide trivial 
suppose en revanche un {\it th{\'e}or{\`e}me de non renormalisation
perturbative au-del{\`a} d'une boucle} de la m{\'e}trique des hypermultiplets.

Ce r{\'e}sultat 
constitue {\`a} ma connaissance le premier exemple de calcul
explicite de corrections de D-branes {\`a} une amplitude physique.
Il pr{\'e}sente bon nombre de ph{\'e}nom{\`e}nes que nous retrouverons
{\`a} l'oeuvre dans la suite de ce m{\'e}moire. Il ne s'applique
cependant qu'{\`a} une situation <<id{\'e}alis{\'e}e>>, 
et fait une utilisation cruciale des
contraintes g{\'e}om{\'e}triques des vari{\'e}t{\'e}s hyperk{\"a}hl{\'e}riennes
de dimension 4, lesquelles n'ont pas d'{\'e}quivalent en dimension
sup{\'e}rieure. Dans les sections suivantes, nous consid{\`e}rerons des
amplitudes physiques pour lesquelles les contraintes de dualit{\'e}
permettent de donner des r{\'e}sultats {\it exacts}, et {\'e}tudierons
leur interpr{\'e}tation en termes de somme d'instantons.

\section{D-instantons et compactification toro{\"\i}dale}
L'{\'e}tude des compactifications toro{\"\i}{}dales de la M-th{\'e}orie
permet de s'affranchir des complications alg{\'e}briques li{\'e}es {\`a}
la d{\'e}termination des cycles supersym{\'e}triques des espaces
de Calabi-Yau pour se concentrer sur les contributions propres
des D-branes. Le groupe de U-dualit{\'e} apparaissant dans ces
th{\'e}ories {\`a} supersym{\'e}trie maximale est en outre assez
contraignant pour permettre une d{\'e}termination exacte de
certains couplages, dont on peut alors analyser les contributions
non perturbatives. Nous nous int{\'e}resserons en particulier
aux couplages en $R^4$, qui sont 1/2-BPS satur{\'e}s dans ces
\index{saturation BPS}
th{\'e}ories {\`a} 32 charges supersym{\'e}triques\footnote{Des 
couplages en $R^4$ ont {\'e}galement {\'e}t{\'e} {\'e}tudi{\'e}s
dans les th{\'e}ories h{\'e}t{\'e}rotiques et de type I,
o{\`u} ils sont reli{\'e}s par supersym{\'e}trie {\`a} des termes 
d'anomalie et donc non renormalis{\'e}s au-del{\`a} d'une 
boucle \cite{Bachas:1997mc,Kiritsis:1997hf}~; des couplages reli{\'e}s
par supersym{\'e}trie aux couplages en $R^4$ ont {\'e}t{\'e}
consid{\'e}r{\'e}s par \cite{Kehagias:1997cq,Green:1997me}.}, et qui sont
en outre invariants sous la U-dualit{\'e}, cette
derni{\`e}re pr{\'e}servant la m{\'e}trique dans le r{\'e}f{\'e}rentiel
d'Einstein. La M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur un cercle est d{\'e}crite
{\`a} faible rayon par la th{\'e}orie des cordes de type IIA
{\`a} dix dimensions. Cette derni{\`e}re n'admet pas de
configurations d'instantons 1/2-BPS, et on s'attend donc 
{\`a} ce que le couplage en $R^4$ soit donn{\'e} par sa
valeur perturbative. Le groupe de U-dualit{\'e} de la th{\'e}orie de type
IIA non compactifi{\'e}e
est cependant trivial, et il n'est pas clair {\`a} ce stade 
quels ordres de la th{\'e}orie de perturbation contribueront
{\`a} ce couplage. La th{\'e}orie de type IIB {\`a} dix dimensions
pr{\'e}sente en revanche une sym{\'e}trie non perturbative 
$Sl(2,\Zint)_B$ qui nous permettra, {\`a} la suite de Green
et Gutperle, de d{\'e}terminer les contributions perturbatives
ainsi que la contribution des D(-1)-instantons~; nous pourrons alors
en d{\'e}duire le couplage de type IIA apr{\`e}s compactification
{\`a} 9 dimensions sur un cercle suivie d'une T-dualit{\'e}.
La poursuite de ce raisonnement pour des compactifications
nous permettra de d{\'e}terminer les contributions des
D-branes de toutes dimensions {\`a} ces couplages.

\subsection{Couplages $R^4$ dans la th{\'e}orie de type IIB non compactifi{\'e}e}
Le couplage $R^4$ {\`a} l'ordre des arbres et {\`a} une boucle
dans l'action effective peut
{\^e}tre ais{\'e}ment d{\'e}termin{\'e} en calculant l'amplitude de
diffusion {\`a} quatre gravitons
\index{amplitude de diffusion!{\`a} quatre gravitons en type II}
\footnote{Il est techniquement plus commode de calculer
l'amplitude {\`a} quatre gravitons et un module dans la
th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^2$.} et en isolant la contribution
dominante {\`a} basse {\'e}nergie, soit huit puissances des moments
externes. On obtient ainsi, dans la m{\'e}trique des cordes,
\begin{equation}
  \label{r410d}
S_{R^4} =\int d^{10}x\sqrt{-g} \left[ 2\zeta(3)e^{-2\phi} 
(t_8t_8 + \frac{1}{8} \epsilon_{10}\epsilon_{10}) R^4
+ \frac{2\pi^2}{3} (t_8t_8 + (-)^{\mu}
\frac{1}{8} \epsilon_{10}\epsilon_{10}) R^4
\right]
\end{equation}
o{\`u} $\mu=1$ (resp. $0$) en type IIB (resp. IIA). Les tenseurs
$t_8$ et $\epsilon_{10}$ d{\'e}signe les contractions particuli{\`e}res
des indices du tenseur de Riemann provenant des contractions
des fermions de surface d'univers dans les structures de spin
impaires et paires~:
\begin{align}
t_8 t_8 R^4 &= 
 t^{\bal_1 \bbe_1 \bal_2 \bbe_2 \bal_3 \bbe_3 \bal_4 \bbe_4}
 t^{\a_1 \b_1 \a_2 \b_2 \a_3 \b_3 \a_4 \b_4}
R_{\bal_1 \bbe_1 \a_1 \b_1}
\dots
R_{\bal_4 \bbe_4 \a_4 \b_4} \\
\epsilon_{10} \epsilon_{10} R^4
&=
\epsilon^{\bal_1 \bbe_1 \bal_2 \bbe_2 
          \bal_3 \bbe_3 \bal_4 \bbe_4 \bar\mu\bar\nu}
\epsilon^{\a_1 \b_1 \a_2 \b_2 
          \a_3 \b_3 \a_4 \b_4 \mu \nu}
g_{\bar\mu\mu}g_{\bar\nu\nu}
R_{\bal_1 \bbe_1 \a_1 \b_1}
\dots
R_{\bal_4 \bbe_4 \a_4 \b_4} 
\end{align}
En particulier, les diagrammes {\`a} l'ordre des arbres et {\`a} une
boucle contribuent en type IIB au m{\^e}me couplage dans la m{\'e}trique
d'Einstein
\begin{equation}
S_{R^4}= \int d^{10}x\sqrt{-g_{E}}
~f_{10}^B(\tau,\bar\tau)~
(t_8t_8 + \frac{1}{8} \epsilon_{10}\epsilon_{10}) R^4
\end{equation}
o{\`u}
\begin{equation}
f_{10}^B(\tau,\bar\tau)= 
e^{\phi/2}~\left( 2\zeta(3) e^{-2\phi} + \frac{2\pi^2}{3} 
+ O(e^{2\phi}) \right)
\end{equation}
Le couplage complet $f_{10}^B$, invariant sous les transformations
modulaires du param{\`e}tre $\tau = \axion + i e^{-\phi}$,
ne saurait donc se restreindre aux seules contributions perturbatives
\index{modulaire, forme}
de la sph{\`e}re et du tore. D'un autre c{\^o}t{\'e}, on ne peut utiliser
les r{\'e}sultats usuels sur les fonctions modulaires, puisque 
$f_{10}^B$ n'est manifestement ni holomorphe, ni harmonique.
Il existe cependant une classe de fonctions {\it r{\'e}elles}
invariantes sous le groupe modulaire $Sl(2,\Zint)_B$, correspondant
\index{Eisenstein, s{\'e}rie d'}
aux {\it s{\'e}ries d'Eisenstein} d'ordre $s$
\begin{equation}
\label{eis}
E_s(\tau,\bar\tau)
=\sum_{(m,n)\ne 0} \left( \frac{\tau_2}{|m+n\tau|^2} \right)^{s}
\end{equation}
dont le comportement {\`a} faible couplage, soit $\tau_2\rightarrow
\infty$, peut s'obtenir par resommation de Poisson sur l'entier $m$~:
\index{Poisson, resommation de}
\begin{align}
\label{eisfour}
E_s(\tau,\bar\tau)
=&2\zeta(2s)\tau_2^s + 2\sqrt{\pi} \tau_2^{1-s} 
\frac{\Gamma(s-1/2)}{\Gamma(s)} \zeta(2s-1) \nonumber\\
&+ \frac{\pi ^s \sqrt{\tau_2}}{\Gamma(s)}
\sum_{m\ne 0} \sum_{n\ne 0}
\left| \frac{m}{n} \right|^{s-1/2} 
K_{s-1/2} \left(2\pi \tau_2 |mn|\right) 
e^{2\pi i m n \tau_1}
\end{align}
Green et Gutperle ont en particulier
\index{Green et Gutperle, conjecture de|textit}
remarqu{\'e} que la s{\'e}rie d'Eisenstein $E_{s=3/2}$ reproduisait pr{\'e}cis{\'e}ment
les deux termes perturbatifs de $f_{10}^B$~; elle les compl{\`e}te en
une fonction invariante sous la U-dualit{\'e} par
une {\it somme infinie de termes non perturbatifs}
\cite{Green:1997tv}. En utilisant
le comportement asymptotique de la fonction de Bessel
\index{Bessel, fonction de}
(\ref{k0}), on obtient
\begin{equation}
\label{di}
E_{3/2}= 2\zeta(3) \e ^{-3\phi/2} + \frac{2\pi ^2}{3} e ^{\phi/2} +
2\pi \sum_{m\ne 0}  \sum_{n\ne 0} \frac{ |mn|^{1/2} }{n^2}
e^{-2\pi |mn| (e^{-\phi} \pm i a)} \left( 1+ O(e^{\phi}) \right) \nonumber
\end{equation}
La comparaison avec l'action euclidienne (\ref{sdi}) montre que chaque 
terme non perturbatif peut s'interpr{\'e}ter comme
\index{D-instanton!de type IIB}
\index{serie d'instantons@s{\'e}rie d'instantons!couplage $R^4$ de IIB}
la contribution de {\it $N=mn$ D-instantons de la th{\'e}orie
de type IIB} {\`a} l'amplitude $R^4$, ou alternativement d'un instanton
de charge $N=mn$. Les corrections $O(e ^{\phi})$ correspondent {\`a}
des corrections perturbatives dans le champ de fond de l'instanton.
Il est donc naturel de conjecturer, {\`a} la suite de Green et
Gutperle, que {\it le couplage $R^4$ exact dans la th{\'e}orie
de type IIB est donn{\'e} par la s{\'e}rie d'Eisenstein $E_{3/2}$}.
Cette conjecture suppose en particulier que {\it toutes les
corrections perturbatives {\`a} plus d'une boucle s'annulent}.
Ce th{\'e}or{\`e}me de non-renormalisation perturbative pourrait en principe
{\^e}tre d{\'e}montr{\'e} par un comptage soigneux des modes
z{\'e}ros fermioniques correspondant {\`a} l'amplitude {\`a}
\index{mode z{\'e}ro!sur la surface d'univers}
quatre gravitons sur une surface de genre arbitraire~;
Berkovits a pu en donner une preuve bas{\'e}e sur les contraintes
de supersym{\'e}trie apr{\`e}s compactification sur un tore
\cite{Berkovits:1997pj}.
Il est particuli{\`e}rement int{\'e}ressant de noter la {\it mesure 
de sommation} sur ces instantons~:
\index{instanton!mesure d'int{\'e}gration|textit}
\begin{equation}
\mu(N)=  \sum_{m\ne 0,n\ne 0,mn=N} \frac{ |mn|^{1/2}}{n^2}
= \sqrt{N} \sum_{n|N} \frac{1}{n^2}
\end{equation}
Cette mesure a pu {\^e}tre d{\'e}termin{\'e}e par Sethi et Stern
dans le cas $N=2$ dans le cadre du mod{\`e}le de matrice d{\'e}crivant
les D-instantons \cite{Sethi:1997pa}, mais la d{\'e}monstration de cette formule
pour tout $N$ reste un probl{\`e}me ouvert
\cite{Green:1997tn}. Avant d'{\'e}tudier
les cons{\'e}quences de cette conjecture pour les D-branes
de dimension plus {\'e}lev{\'e}e, nous discutons dans la section
suivante quelques propri{\'e}t{\'e}s des s{\'e}ries de Eisenstein
et leur pertinence pour les couplages de la th{\'e}orie de
type IIB.

\subsection{Fonctions modulaires r{\'e}elles et s{\'e}ries de Eisenstein}
\index{Eisenstein, s{\'e}rie d'|textit}
En comparaison avec les formes modulaires holomorphes, les fonctions
modulaires r{\'e}elles, c'est-{\`a}-dire les fonctions d{\'e}finies
sur le demi-plan de Poincar{\'e} $\{\tau \in \CC~;\tau_2>0\}$ et
\index{Poincar{\'e}, demi-plan de}
invariantes sous les transformations modulaires de $\tau$,
sont encore largement m{\'e}connues. Leur
importance pour certains probl{\`e}mes de th{\'e}orie des nombres a 
cependant aiguis{\'e} l'int{\'e}r{\^e}t des math{\'e}maticiens, et on
trouvera une pr{\'e}sentation abordable des principaux r{\'e}sultats
{\`a} leur sujet dans l'ouvrage de A. Terras
\cite{Terras:1985}.
Les s{\'e}ries de Eisenstein constituent en r{\'e}alit{\'e} les seules
fonctions modulaires r{\'e}elles connues explicitement. La s{\'e}rie 
(\ref{eisfour}) en fournit une d{\'e}finition pour $\Re s>1$, qui
peut {\^e}tre prolong{\'e}e analytiquement dans tout le plan complexe $s$
priv{\'e} de $s=1$\footnote{Les p{\^o}les de la fonction $\Gamma(s-1/2)$
en $s-1/2\in -\NN$ sont en effets compens{\'e}s par les z{\'e}ros de 
la fonction $\zeta(2s-1)$, et le p{\^o}le en $s=1/2$ de la fonction $\zeta(2s)$
est compens{\'e} par le p{\^o}le de la fonction $\Gamma(s-1/2)$
dans le second terme.}, et la fonction $E_1$ peut {\^e}tre
r{\'e}gularis{\'e}e en soustrayant le p{\^o}le simple 
\begin{equation}
\hat E_1(\tau,\bar\tau) = \lim_{s\rightarrow 1} \left(E_s
(\tau,\bar\tau)  - \frac{\pi}{s-1} \right)
=-\pi \log \tau_2 |\eta(\tau)|^4
\end{equation}
o{\`u} l'on reconna{\^\i}{}t la contribution de l'orbite d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e
{\`a} la fonction de partition de $T^2$. L'existence du p{\^o}le
\index{partition, fonction de!du tore $T^2$}
en $s=1$ peut {\'e}galement {\^e}tre observ{\'e}e {\`a} partir
de la relation de sym{\'e}trie
\begin{equation}
\label{symeis}
\frac{\Gamma(s) E_s(\tau,\bar\tau)}{\pi ^s}=
\frac{\Gamma(1-s) E_{1-s}(\tau,\bar\tau)}{\pi ^{1-s}}\ .
\end{equation}
Les fonctions de Eisenstein sont des fonctions propres du
Laplacien $\Delta=\tau_2^2(\partial_{\tau_1}^2+\partial_{\tau_2}^2)$
\index{Laplacien}
sur le demi-plan de Poincar{\'e}~:
\begin{equation}
\Delta E_s = s(s-1) E_s
\end{equation}
{\`a} l'exception de la s{\'e}rie r{\'e}gularis{\'e}e $\hat E_1$~:
\begin{equation}
\Delta \hat E_1 = \pi
\end{equation}
qui souffre de l'{\it anomalie holomorphique} usuelle, correspondant
{\`a} la divergence logarithmique en $\tau_2\rightarrow 0$.
\index{divergence logarithmique en couplage}
La relation (\ref{symeis}) traduit la non d{\'e}g{\'e}n{\'e}rescence
des valeurs propres du Laplacien. En sus des s{\'e}ries d'Eisenstein,
le Laplacien admet une infinit{\'e} discr{\`e}te de 
{\it formes cuspo{\"\i}{}dales} ({\it cusp forms}) $v_n(\tau,\bar\tau)$,
\index{cuspoidale, forme@cuspo{\"\i}{}dale, forme}
\index{modulaire, forme}
de valeurs propres $s_n(s_n-1)$ localis{\'e}es sur l'axe
$\Re s_n= 1/2$~; ces formes sont d{\'e}finies par l'annulation
des coefficients $a$ et $b$
dans le d{\'e}veloppement de Fourier g{\'e}n{\'e}rale des modes propres
\begin{equation}
f(\tau,\bar\tau) = a \tau_2^s + b \tau_2^{1-s} + \sqrt{\tau_2} 
\sum_{n\ne 0} a_n K_{s-1/2}(2\pi|n|\tau_2) e^{2\pi i n \tau_1}
\end{equation}
et d{\'e}croissent donc exponentiellement
en $\tau_2\rightarrow\infty$. Aucune d'entre elles n'est malheureusement
connue explicitement. Etant donn{\'e} le spectre du Laplacien, on 
peut maintenant {\'e}noncer le th{\'e}or{\`e}me de d{\'e}composition
spectrale de Roelcke-Selberg : {\it toute fonction modulaire $f$
\index{Roelcke-Selberg, th{\'e}or{\`e}me de}
de carr{\'e} int{\'e}grable\footnote{pour la mesure invariante
$d^2\tau/\tau_2^2$. Noter que les s{\'e}ries d'Eisenstein $E_s$ ne
sont jamais de carr{\'e} int{\'e}grable, et sont int{\'e}grables pour
$s\in]0,1[$.} se d{\'e}compose sur les modes propres 
du Laplacien selon}
\begin{equation}
f(\tau,\bar\tau) = \sum_{n\ge 0} (f,v_n) v_n(\tau,\bar\tau) 
+\frac{1}{4\pi i} \int_{Re s=1/2} (f,E_s) E_s(\tau,\bar\tau) ds
\end{equation}

Apr{\`e}s avoir rappel{\'e} cet arri{\`e}re-plan math{\'e}matique,
nous pouvons maintenant discuter la relevance des
s{\'e}ries de Eisenstein pour la d{\'e}termination des
couplages exacts de la th{\'e}orie de type IIB. Les deux
termes d'ordre $\tau_2^s$ et $\tau_2^{1-s}$ dans
le  d{\'e}veloppement (\ref{eisfour}) peuvent s'interpr{\'e}ter
comme deux corrections perturbatives de cordes ferm{\'e}es
s'ils sont s{\'e}par{\'e}s d'une puissance {\it paire} de $e^{\phi}$~:
$s=n+1/2$ doit alors {\^e}tre demi-entier
\footnote{Les fonctions de Bessel
\index{Bessel, fonction de}
$K_{n}$ contiennent alors une s{\'e}rie {\it infinie} de corrections
perturbatives, par opposition aux fonctions $K_{n+1/2}$.}.
L'entier $|n|$ correspond au nombre
d'ordres de perturbations s{\'e}parant ces deux contributions.
En particulier, dans le cas des couplages en $R^4$ que nous
avons consid{\'e}r{\'e}, l'ordre $s=3/2$ de la s{\'e}rie {\'e}tait
impos{\'e} par l'existence de corrections {\`a} l'ordre des
arbres et {\`a} une boucle. Les puissances exactes du dilaton
\index{dilaton}
\index{Weyl!dilatation de}
provenant de l'ordre de perturbation et de la transformation
de Weyl $g_{str}=e^{\phi/2}g_E$ doivent {\'e}galement {\^e}tre
reproduites~: si on consid{\`e}re une interaction de dimension
\footnote{Dans la convention pr{\'e}sente, $L$ d{\'e}signe la
dimension de longueur de l'op{\'e}rateur, soit
$L=8$ pour le terme d'Einstein-Hilbert {\`a} dix dimensions
\index{Einstein-Hilbert, action d'}
$\int d^{10}x\sqrt{-g}R$, ou $L=2$ pour le couplage $\int d^{10}x\sqrt{-g}R^4$.}
$L$ recevant des contributions de genre $n$ et $n'$,
les deux conditions s'{\'e}crivent
\begin{equation}
e ^{\frac{L}{4}\phi} e ^{(2n-2)\phi} = \tau_2^{s} \ ,\quad
e ^{\frac{L}{4}\phi} e ^{(2n'-2)\phi} = \tau_2^{1-s}
\end{equation}
dont la compatibilit{\'e} impose 
\begin{equation}
L+4(n+n')=6
\end{equation}
Cette condition est en particulier v{\'e}rifi{\'e}e pour 
le cas des couplages en $R^4$, mais aussi pour
les couplages $R^4 H^{4g-4}$, dont on peut donc imaginer
qu'ils soient donn{\'e}s par $E_{{1/2}+g}$,
correspondant {\`a} deux termes perturbatifs
{\`a} $0$ et $g$ boucles respectivement. Cette conjecture
vient d'{\^e}tre renforc{\'e}e par Vafa et Berkovits, qui 
ont reli{\'e} ce couplage {\`a} une amplitude topologique
\index{amplitude de diffusion!topologique}
similaire aux amplitudes $\mathcal{F}_g R^2 F^{2g-2}$ des
th{\'e}ories $N=2$ \cite{Berkovits:1998}.

Cette discussion ne fixe cependant que les contributions 
des s{\'e}ries d'Eisenstein au couplage. Les formes
\index{cuspoidale, forme@cuspo{\"\i}{}dale, forme}
cuspo{\"\i}{}dales ne sont pas visibles en s{\'e}rie de
perturbation, et ne contributent qu'aux effets
instantoniques. Il serait particuli{\`e}rement int{\'e}ressant de mettre
en {\'e}vidence par un raisonnement de dualit{\'e} de
telles contributions, compte tenu de l'int{\'e}r{\^e}t
math{\'e}matique de ces formes. Dans le cas des couplages
en $R^4$ de la th{\'e}orie de type IIB, Green et Vanhove
ont conjectur{\'e} que la condition $\Delta E_{3/2} = \frac{3}{4} E_{3/2}$
\index{Laplacien}
pourrait {\^e}tre une cons{\'e}quence de la supersym{\'e}trie\cite{Green:1997di}.
Gr{\^a}ce aux techniques de superespace d{\'e}velopp{\'e}es par Berkovits,
j'ai pu prouver dans la note en annexe \ref{nr4} \cite{Pioline:1998} que 
cela {\'e}tait bien le cas~:
ce th{\'e}or{\`e}me suffit donc 
{\`a} disqualifier les contributions de formes
cuspo{\"\i}{}dales {\`a} $f_{10}^B$. Nous obtiendrons
ce m{\^e}me r{\'e}sultat par un argument tr{\`e}s
diff{\'e}rent dans la section \ref{ddsdec}.

\subsection{Couplages $R^4$ et compactification de la M-th{\'e}orie}
Connaissant l'expression exacte des couplages en $R^4$ dans la
th{\'e}orie de type IIB {\`a} dix dimensions, on en d{\'e}duit 
imm{\'e}diatement le r{\'e}sultat apr{\`e}s compactification {\`a}
\index{compactification!sur un cercle}
neuf dimensions sur un cercle~: la th{\'e}orie de type IIB
{\`a} neuf dimensions ne poss{\`e}de toujours que les 
D(-1)-branes comme configurations instantoniques 1/2-BPS,
\index{D-instanton!de type IIB}
et leur contribution est simplement multipli{\'e}e par la
circonf{\'e}rence du cercle, correspondant {\`a} l'int{\'e}gration
sur la coordonn{\'e}e collective de translation le long de ce cercle.
\index{coordonn{\'e}e collective}
L'amplitude de 4 gravitons {\`a} une boucle pr{\'e}sente la
contribution suppl{\'e}mentaire des {\it instantons de 
surface d'univers} correspondant aux modes d'enroulement
\index{enroulement!etat d'@{\'e}tat d'}
de la corde de type IIB (ou les {\'e}tats de moment de la
corde de type IIA), mais on peut v{\'e}rifier que cette contribution
correspond {\`a} une structure tensorielle distincte
$(t_8 t_8 - \frac{1}{8} \epsilon_9 \epsilon_9) R^4$.
On obtient ainsi un r{\'e}sultat invariant sous la U-dualit{\'e}
{\`a} dix dimensions $Sl(2,\Zint)_U$, qui n'est autre que la
dualit{\'e} $Sl(2,\Zint)_B$ de la th{\'e}orie de type IIB.
\index{U-dualit{\'e}!de type II sur $S^1$}
Apr{\`e}s traduction dans les variables de la th{\'e}orie de type IIA
\index{dualit{\'e}!des th{\'e}ories IIA et IIB}
gr{\^a}ce {\`a} la T-dualit{\'e}, on obtient le couplage
\begin{equation}
f_{9}^A=2\zeta(3) R_A e^{-2\phi} +  
         \frac{2\pi^2}{3 R_A} + 0
+~ 4\pi e^{-\phi} \sum_{m\ne 0} \sum_{n\ne 0}
\left|\frac{m}{n}\right| K_1\left(2\pi R_A e^{-\phi} |mn|\right) 
          e^{2\pi i m n {\cal A}}
\end{equation}
o{\`u} $\mathcal{A}$ d{\'e}note la valeur moyenne du champ de Ramond
$\mathcal{A}_\mu$ le long du cercle. Cette expression
reproduit pr{\'e}cis{\'e}ment les contributions 
{\`a} l'ordre des arbres et {\`a} une 
boucle, et exclue toute contribution perturbative d'ordre plus {\'e}lev{\'e}.
Elle inclut en outre une somme d'effets non perturbatifs
\begin{equation}
f_9^{A}=f_{9;{\rm pert}}^A+
2\pi \sum_{m\ne 0}  \sum_{n\ne 0} \frac{ |mn|^{1/2}}{n^2}
e^{-2\pi |mn| (e^{-\phi} R_A \pm i \mathcal{A})} 
\left( 1+ O(e^{\phi}) \right) \nonumber
\end{equation}
\index{serie d'instantons@s{\'e}rie d'instantons!couplage $R^4$ de IIB}
pouvant s'interpr{\'e}ter comme la contribution des {\it instantons
de D0-branes} dont la ligne d'univers s'enroule autour du cercle :
\index{ligne d'univers}
l'action euclidienne d'une telle configuration s'{\'e}crit en effet
\begin{equation}
S_{D0} = e^{-\phi} R_A + i \mathcal{A}
\end{equation}
La signification des entiers $m$ et $n$ {\`a} ce stade n'est pas
claire, mais nous d{\'e}couvrirons bient{\^o}t que $m$ correspond
{\`a} la {\it charge} de la D0-brane (c'est-{\`a}-dire au nombre
de D0-branes {\'e}l{\'e}mentaires li{\'e}es ensemble), tandis
que $n$ correspond au {\it nombre d'enroulement} de la ligne
d'univers autour de la direction compacte. 

La {\it limite de d{\'e}compactification} $R_A \rightarrow \infty$
\index{decompactification@d{\'e}compactification, limite de}
{\`a} dilaton $e^{\phi}$ constant supprime les contributions 
des {\'e}tats d'enroulement et des instantons de D0-branes.
Le couplage $(t_8 t_8 +\frac{1}{8} \epsilon_{10}\epsilon_{10})R^4$ 
de la th{\'e}orie de type IIA {\`a} dix dimensions
se r{\'e}duit donc {\it exactement} {\`a} la contribution {\`a} l'ordre 
des arbres ; s'y ajoute le couplage 
$(t_8 t_8 -\frac{1}{8} \epsilon_{10}\epsilon_{10})R^4$ 
correspondant {\`a} la d{\'e}compactification de la contribution 
\index{Kaluza-Klein!excitation de}
des {\'e}tats de Kaluza-Klein {\`a} neuf dimensions. On obtient
ainsi l'action effective en $R^4$ de la th{\'e}orie de type IIA:
\begin{equation}
\label{r4iia}
S^{A}_{R^4}= \int d^{10}x\sqrt{-g}
~2\zeta(3) e^{-2\phi}
(t_8t_8 + \frac{1}{8} \epsilon_{10}\epsilon_{10}) R^4
+
\frac{2\pi^2}{3} 
(t_8t_8 - \frac{1}{8} \epsilon_{10}\epsilon_{10}) R^4
\end{equation}
Contrairement {\`a} la th{\'e}orie de type IIB, {\it l'action
en $R^4$ de la th{\'e}orie de type IIA ne re{\c c}oit donc
pas de corrections radiatives au-del{\`a} d'une boucle}.

Si la th{\'e}orie de type IIA d{\'e}crit en effet la M-th{\'e}orie
compactifi{\'e}e sur un cercle, la limite de d{\'e}compactification
$R_{11}=e^{2\phi/3}l_{11}\rightarrow\infty$ 
doit reproduire un couplage {\it invariant
sous le groupe de Poincar{\'e} {\`a} onze dimensions}. Le couplage
\index{Lorentz, invariance {\`a} 11D}
 (\ref{r4iia}) v{\'e}rifie bien cette condition, puisque sous
cette limite, le terme {\`a} l'ordre des arbres est supprim{\'e},
et seul subsiste le couplage
\begin{equation}
\label{r4m}
S^{M}_{R^4}= \int d^{11}x\sqrt{-g}
\frac{2\pi^2}{3} 
(t_8t_8 - \frac{1}{2\cdot 3!} \epsilon_{11}\epsilon_{11}) R^4\ .
\end{equation}
\index{supergravit{\'e}!{\`a} onze dimensions}
La supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions d{\'e}crivant la M-th{\'e}orie
ne peut restituer cette pr{\'e}diction~: le calcul de l'amplitude
de diffusion de quatre gravitons {\`a} une boucle dans cette
th{\'e}orie non-renormalisable souffre d'une
\index{amplitude de diffusion!en SUGRA 11D}
\index{divergence ultraviolette!en supergravit{\'e}}
divergence {\it cubique}. La reproduction de ce r{\'e}sultat 
constituerait cependant un test crucial des propositions de d{\'e}finition
microscopique de la M-th{\'e}orie.

La restauration de l'invariance de Poincar{\'e} {\`a} onze dimensions
dans la limite de fort couplage ne contraint pas seulement la
limite $e^{\phi}\rightarrow \infty$, mais implique {\'e}galement 
l'invariance des couplages de la th{\'e}orie de type IIA compactifi{\'e}e
sur $T^d$ sous les sym{\'e}tries du tore {\'e}tendu
$T^{d+1}$~; ce groupe de sym{\'e}trie $Sl(d+1,\Zint)$ avec le
groupe de T-dualit{\'e} $SO(d,d,\Zint)$ g{\'e}n{\`e}re en effet
\index{T-dualit{\'e}}\index{U-dualit{\'e}!de type II sur $T^d$}
le groupe de U-dualit{\'e}. L'invariance  
du couplage $R^4$ de la th{\'e}orie de type IIA {\`a} neuf dimensions
sous ces sym{\'e}tries peut {\^e}tre rendue manifeste en l'exprimant
en termes des modules $g_{IJ}$
de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^2$~:
\begin{equation}
\label{eis11d}
f_9^A = V_{11} \sum_{(n^1,n^2)\ne (0,0)} 
\left( n^{I} g_{IJ} n^{J} \right)^{-3/2}\ ,\quad V_{11}=\sqrt{\det g_{IJ}}
\end{equation}
en parfaite analogie avec le couplage de type IIB (\ref{eis}).
Comme l'ont remarqu{\'e} Green, Gutperle et Vanhove, cette
expression et sa g{\'e}n{\'e}ralisation en dimension $d\ge 2$
peut {\^e}tre reproduite,
{\it {\`a} la divergence cubique mentionn{\'e}e ci-dessus pr{\`e}s},  
par un calcul
de diffusion {\`a} une boucle de quatre gravitons de
\index{amplitude de diffusion!en SUGRA 11D}
la supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions
\cite{Green:1997as}. Les nombres quantiques
$n^I$ apparaissent alors comme les charges {\it duales
\index{Poisson, resommation de}
par resommation de Poisson} aux moments de Kaluza-Klein $n_I$
du graviton <<tournant>> dans la boucle.
Une telle connection n'est pas {\'e}tonnante, les D0-branes 
{\'e}tant identifi{\'e}es aux modes de Kaluza-Klein
\index{Kaluza-Klein!excitation de}
du supergraviton {\`a} onze dimensions. Elle suppose n{\'e}anmoins
des propri{\'e}t{\'e}s de non-renormalisation des couplages $R^4$
de la M-th{\'e}orie. On en d{\'e}duit les contributions du supergraviton
{\`a} 10 dimensions ($n_I=0$) et des D0-branes ($n_I\ne 0$)
au couplage $R^4$ {\it en toutes dimensions}~:
\begin{align}
\label{d0all}
f_{SUGRA}^A =& V_{11} \sum_{n^I\ne 0} 
\left( n^{I} g_{IJ} n^{J} \right)^{-3/2} \nonumber\\
=&
2\zeta(3) V_A e^{-2\phi} +  2V \sum_{n^i\ne 0} 
\frac{1}{n^i g_{ij}n^j} \\
&+~ 4\pi V e^{-\phi} \sum_{m\ne 0} \sum_{n\ne 0}
\frac{|m|}{\sqrt{n^i g_{ij} n^j} }
K_1\left(2\pi |m| e^{-\phi} \sqrt{n^i g_{ij} n^j}  \right) 
          e^{2\pi i m n^i {\cal A}_i} \nonumber
\end{align}
o{\`u} la deuxi{\`e}me ligne s'obtient par resommation de
Poisson sur l'entier $n^{11} \rightarrow m$. Cette
description unifie ainsi {\it en un r{\'e}sultat
$Sl(d+1,\Zint)$-invariant} l'amplitude {\`a} l'ordre
des arbres, la contribution {\`a} l'ordre d'une boucle
de l'{\it orbite d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e}
\footnote{L'orbite d{\'e}g{\'e}n{\'e}r{\'e}e d{\'e}signe la contribution
des cordes non excit{\'e}es de nombres d'enroulement nuls {\`a} l'amplitude {\`a}
une boucle, et correspond donc, tout comme l'amplitude
{\`a} l'ordre des arbres, {\`a} la contribution du supergraviton
{\`a} dix dimensions.} et la contribution de $m$ D0-branes,
d'action classique
\begin{equation}
\label{d0class}
S_{D0}=e^{-\phi} sqrt{n^i g_{ij} n^j} + i n^i {\cal A}_i \ .
\end{equation}
Elle justifie en outre l'interpr{\'e}tation que nous
avons donn{\'e}e dans le cas $d=1$ des entiers 
\index{D-brane!D0-branes}
$m$ et $n^i$.

\subsection{Cordes de charges $(p,q)$ et somme solitonique}

Nous avons vu que ce r{\'e}sultat reproduisait la
totalit{\'e} du couplage 
$(t_8 t_8 + \frac{1}{8} \epsilon\epsilon) R^4$ en dimensions
9 et 10, en accord avec l'{\'e}galit{\'e} de groupe
de U-dualit{\'e} $E_{d+1}(\Zint)$ et de son sous-groupe $Sl(d+1,\Zint)$
\index{U-dualit{\'e}!de type II sur $T^d$}
dans ces dimensions. En dimension 8, les D0-branes restent
les seules configurations instantoniques de la th{\'e}orie
de type IIA compactifi{\'e}e sur un tore $T^2$, et on
s'attend donc {\`a} ce que ce r{\'e}sultat reste valide.
De fait, le groupe de U-dualit{\'e} en dimension 8 
se s{\'e}pare en deux facteurs :
\begin{itemize}
\item $Sl(3,\Zint)$ correspond au groupe modulaire du tore $T^3$
du point de vue de la M-th{\'e}orie. Il contient en particulier
le groupe de dualit{\'e} non perturbative
$Sl(2,\Zint)$ de la th{\'e}orie de type
IIB, et le sous-groupe $Sl(2,\Zint)_U$ de la T-dualit{\'e}
$SO(2,2,\Zint)$ correspondant aux transformations modulaires
de la structure complexe $U$ du tore de la th{\'e}orie de type IIA
(ou aux transformations de la structure de K{\"a}hler $T$ du tore
de type IIB). Il agit sur l'espace des modules homog{\`e}ne
$Sl(3,\Real)/SO(3)$ comprenant en particulier le dilaton.
\item $Sl(2,\Zint)$ correspond inversement aux transformations modulaires
de la structure complexe $U$ du tore de la th{\'e}orie de type IIB
et aux transformations de la structure de K{\"a}hler $T$ du tore
de type IIA. Du point de vue de la M-th{\'e}orie, il correspond
aux transformations modulaires du module complexe
$\mathcal{C}_{123} + i V_{11}$ param{\'e}trant
$Sl(2,\Real)/U(1)$. Dans tous les cas il correspond
{\`a} des transformations perturbatives.
\end{itemize}
Le calcul de l'amplitude {\`a} quatre gravitons {\`a} genre 0 et 1
montre que le couplage $(t_8 t_8 + \frac{1}{8} \epsilon_8\epsilon_8)
R^4$, ici {\'e}crit dans les variables de type IIB,
\begin{equation}
f_8^A = 2\zeta(3) T_2 e^{-2\phi} - 2\pi\log T_2 |\eta(T)|^4
\end{equation}
ne d{\'e}pend que des modules de $Sl(3,\Real)/Sl(3,\Zint)$, 
tandis que le couplage $t_8 t_8 - \frac{1}{8} \epsilon_8\epsilon_8 R^4$
\begin{equation}
f_8^{A'} = - 2\pi\log U_2 |\eta(U)|^4
\end{equation}
est donn{\'e} {\`a} une boucle et ne d{\'e}pend que des 
modules du second facteur $Sl(2,\Real)/U(1)$
 (cf. annexe \ref{pq}). Cette analyse a {\'e}t{\'e} {\'e}tendue {\`a} tous
les ordres en perturbations par Berkovits \cite{Berkovits:1997pj}.
En collaboration avec E. Kiritsis, nous avons conjectur{\'e} que
le premier couplage {\'e}tait donc donn{\'e} {\it exactement} par
\index{Eisenstein, s{\'e}rie d'}
la s{\'e}rie d'Eisenstein d'ordre 3/2 (\ref{d0all}) pour le groupe 
$Sl(3,\Zint)$ , tandis que le second couplage {\'e}tait exact 
{\`a} une boucle, et donc donn{\'e} par la s{\'e}rie d'Eisenstein d'ordre 1
$E_1(U)$. Cette conjecture contient les r{\'e}sultats pr{\'e}c{\'e}dents
par d{\'e}compactification du tore $T^2$, et restitue les 
contributions attendues des D0-branes de la th{\'e}orie de type IIA.
La situation est cependant beaucoup plus int{\'e}ressante du c{\^o}t{\'e}
de type IIB, o{\`u} l'on attend, en plus des D-instantons, 
les contributions des {\it D1-branes}
\index{pq, cordes de charge@$(p,q)$, cordes de charge}
ainsi que des {\it cordes de charges $(p,q)$} qui leur sont reli{\'e}es
par S-dualit{\'e}. De fait, l'expansion (\ref{d0all}), en termes
des variables de type IIB, donne
\begin{align}
\label{f8b}
f_8^B =& 2\zeta(3)T_2 e^{-2\phi} - 2\pi\log T_2 |\eta(T)|^4\nonumber\\
+& 4\pi V e^{-\phi} \sum_{m\ne 0} \sum_{(n,q)\ne 0}
\frac{|m|}{\sqrt{(n+qB)^2+V^2 q^2} }
K_1\left(2\pi |m| e^{-\phi}\sqrt{ (n+qB)^2 + V^2 q^2}  \right) \nonumber\\
&\cdot e^{2\pi i m\left(n\axion + q (\mathcal{B}+\axion B)\right)}
\end{align}
Cette expression contient pour $q=0$ la contribution des 
D-instantons (\ref{di}) d{\'e}j{\`a} observ{\'e}e en dimension sup{\'e}rieure.
Lorsque $n\ne 0$ cependant, l'action euclidienne des effets
non perturbatifs 
\begin{equation}
\label{sd1}
S_{D1} = e^{-\phi}\sqrt{ (n+qB)^2 + V^2 q^2}  
+i~ \left[ n\axion + q (\mathcal{B}+\axion B) \right]
\end{equation}
correspond pr{\'e}cis{\'e}ment {\`a} l'action de Born-Infeld d'une
\index{Born-Infeld, action de}
{\it D1-brane enroul{\'e}e $q$ fois autour du tore et portant un
flux {\'e}lectrique $n$}. Une telle configuration 
\index{flux {\'e}lectrique}
correspond en effet {\`a} une configuration des champs de plongement 
$X^i$ et un champ {\'e}lectrique $F_{\alpha\beta}$ 
\begin{equation}
X^i(\sigma^\alpha) = N^i_\alpha \sigma^\alpha, \quad
F_{\alpha\beta}=\epsilon_{\alpha\beta} n
\end{equation}
sur la surface d'univers D1-brane
\footnote{Si la quantification des nombres d'enroulement 
$N^i_\alpha$ est clairement impos{\'e}e par la d{\'e}finition
univoque du plongement $\sigma^\alpha \rightarrow X^i$, 
la quantification du flux $F$ r{\'e}sulte quant {\`a} elle 
de la compacit{\'e} du groupe de jauge $U(1)$ support{\'e}
sur la D-brane.}, et l'{\'e}valuation de la
m{\'e}trique et des tenseurs de jauge induits par ce
plongement conduit {\`a}
\begin{eqnarray}
\det(\hat G + \hat B  + F) &=& (n+ \frac{1}{2}n^{ij}B_{ij})^2
+\frac{1}{2} n^{ij}~g_{ik} g_{jl}~n^{kl} \ , \\
e^{\hat B+F}\mathcal{R}&=&n\axion + 
\frac{1}{2}n^{ij} (\mathcal{B}_{ij}+\axion B_{ij})
\end{eqnarray}
o{\`u} la {\it deux-forme d'enroulement} $n^{ij}$
\index{enroulement!charge d'}
\begin{equation}
n^{ij}=\epsilon^{\alpha\beta} N^i_\alpha N^j_\beta\ ,
\end{equation}
invariante  sous les reparam{\'e}trisations de la surface d'univers, 
sp{\'e}cifie le 2-cycle sur lequel la D1-brane s'enroule. Dans le
cas pr{\'e}sent d'une compactification sur un tore $T^2$, seule
la composante $n^{12}=-n^{21}$ intervient et s'identifie
{\`a} la charge $q$ de l'{\'e}quation (\ref{sd1}). L'identification
du flux {\'e}lectrique $n$ avec la charge de D-instanton
r{\'e}alise explicitement une proposition de Douglas et Witten
sur la description d'{\'e}tats li{\'e}s de solitons de D-branes,
ici transpos{\'e}e dans le contexte des D-instantons
\cite{Douglas:1995bn,Witten:1996im}.

Si les D1-branes et les D-instantons sont apparus naturellement
dans l'interpr{\'e}tation de la s{\'e}rie d'instantons, le r{\^o}le
du multiplet des cordes de charges $(p,q)$ de la th{\'e}orie
de type IIB est jusqu'{\`a} pr{\'e}sent rest{\'e} obscur.
Ce n'est qu'en choisissant une repr{\'e}sentation o{\`u} la
S-dualit{\'e} $Sl(2,\Zint)$ {\it commute avec le d{\'e}veloppement
en s{\'e}rie} que leurs effets deviennent manifestes.
Il suffit pour cela d'effectuer une resommation de Poisson
\index{Poisson, resommation de}
{\it sur la charge de D-instanton}\footnote{une resommation
\index{D-instanton!de type IIB}
de Poisson sur l'entier $m$ ram{\`e}nerait au contraire
{\`a} la s{\'e}rie d'Eisenstein (\ref{eis11d})},
apr{\`e}s avoir toutefois s{\'e}par{\'e} la contribution des
D-instantons $q=0,n\ne 0$. La fonction de Bessel $K_1(z)$
\index{Bessel, fonction de}
donne alors apr{\`e}s resommation de Poisson une 
fonction exponentielle $K_{1/2}(z)=\sqrt{\frac{\pi}{2z}}e^{-z}$,
et la s{\'e}rie peut alors {\^e}tre r{\'e}{\'e}crite sous la forme
\begin{align}
\label{solsum}
f_8^B =& 2\zeta(3) V\sum_{p\wedge q=1} 
\left(\frac{|p+q\tau|}{\alpha'}\right) 
\left(\frac{\tau_2}{|p+q\tau|^2}\right)^2
- 2\pi \sum_{p \wedge q =1}\log T_{(p,q);2} |\eta(T_{(p,q)})|^4
\end{align}
o{\`u} la somme est effectu{\'e}e sur les couples d'entiers
$(p,q)$ sans diviseurs communs, et o{\`u} le param{\`e}tre
\begin{equation}
T_{(p,q)}= p B_{12} - q\mathcal{B}_{12} + i~|p+q\tau| V/\alpha'
\end{equation}
n'est autre que le module de K{\"a}hler du tore $T^2$ 
{\it mesur{\'e} par une corde de charges $(p,q)$ sous les tenseurs
$(B,\mathcal{B})$ et de tension $|p+q\tau|/\alpha'$}. Le couplage
en $R^4$ de la th{\'e}orie de type IIB s'interpr{\`e}te alors comme 
la somme des amplitudes {\`a} l'ordre des arbres et {\`a} une boucle
des cordes de type $(p,q)$
c'est-{\`a}-dire comme une {\it somme sur les solitons de la th{\'e}orie de
type IIB} (Ce point de vue a {\'e}galement {\'e}t{\'e} discut{\'e}
par Kehagias et Partouche \cite{Kehagias:1997jg}). 
Le d{\'e}veloppement (\ref{solsum}) commute
cependant avec la S-dualit{\'e}, et ne correspond donc plus {\`a} un
d{\'e}veloppement semi-classique.

\subsection{Instantons de D-branes et T-dualit{\'e}}
\index{U-dualit{\'e}!de type II sur $T^3$}
Apr{\`e}s compactification sur un cercle suppl{\'e}mentaire, soit
dans le cas de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^4$,
le groupe de U-dualit{\'e} $Sl(5,\Zint)$ ne se r{\'e}duit plus 
au sous-groupe g{\'e}om{\'e}trique $Sl(4,\Zint)$. Cette extension
co{\"\i}{}ncide avec l'apparition des D2-branes de la th{\'e}orie
de type IIA, qui peuvent maintenant s'enrouler autour du tore
$T^3$. Elle co{\"\i}{}ncide {\'e}galement avec la fusion des
deux amplitudes $(t_8t_8\pm \epsilon\epsilon)R^4$, en
raison de l'insuffisance des modes z{\'e}ros fermioniques
\index{mode z{\'e}ro!fermionique}
\footnote{alternativement, la densit{\'e} d'Euler {\`a}
\index{Euler, densit{\'e} d'}
huit dimensions $\epsilon_8\epsilon_8 R^4$ s'annule 
en dimensions inf{\'e}rieures.}. La s{\'e}rie d'Eisenstein
d'ordre  $3/2$ pour le groupe $Sl(5,\Zint)$ constitue
un candidat naturel pour le couplage en $t_8 t_8 R^4$
exact : nous avons pu prouver, en collaboration avec
Elias Kiritsis, qu'elle restituait en effet
\footnote{gr{\^a}ce {\`a} une propri{\'e}t{\'e}
arithm{\'e}tique assez miraculeuse.} les
amplitudes {\`a} l'ordre des arbres et {\`a} une boucle
(toutes orbites confondues). Du point de vue de type IIB,
elle reproduit {\'e}galement la s{\'e}rie instantonique
des D-instantons et D-cordes, ou la s{\'e}rie solitonique
des cordes de charge $(p,q)$. Du point de vue de type IIA,
elle montre au contraire les contributions des D2-branes
d'action de Born-Infeld euclidienne
\index{Born-Infeld, action de}
\begin{eqnarray}
S_{D2}&=&e^{-\phi} \left[
\left( n^i + \frac{1}{2} n^{ijk} B_{jk} \right) g_{il}
\left( n^l + \frac{1}{2} n^{lmn} B_{mn} \right)
+ \frac{1}{6} n^{ijk}~g_{il}g_{jm}g_{kn}~n^{lmn} \right]^{1/2}\nonumber\\
&&+ i~ \left( n^i {\cal A}_i + \frac{1}{6} n^{ijk} {\cal C}_{ijk} \right)
\end{eqnarray}
o{\`u} les formes $n^i$ et $n^{ijk}$ s'obtiennent en termes des
configurations des champs sur la surface d'univers par
\begin{equation}
n^{ijk}=\epsilon^{\alpha\beta\gamma} N^i_\alpha N^j_\beta N^k_\gamma, \quad
n^i=\frac{1}{2}\epsilon_{\alpha\beta\gamma} N^i_\alpha F_{\beta\gamma}
\end{equation} 
Les D0-branes apparaissent donc comme des {\it flux {\'e}lectriques
et magn{\'e}tiques} sur le volume d'univers des D2-branes, en parfaite
analogie avec le cas des D-instantons et des D1-branes.

La d{\'e}termination de la param{\'e}trisation
de l'espace homog{\`e}nes des modules n{\'e}cessaire {\`a} l'application
de cette m{\'e}thode devient assez rapidement prohibitive
pour des compactifications en dimensions inf{\'e}rieures. 
Dans la publication annex{\'e}e en appendice \ref{pq}, Elias Kiritsis
et moi-m{\^e}me avons alors adopt{\'e} une autre approche,
et utilis{\'e} une s{\'e}quence de {\it T-dualit{\'e}s}
\index{T-dualit{\'e}}
\index{Lorentz, transformation de}
et {\it transformations de Lorentz}  pour fixer les configurations
des D-branes de dimension arbitraire. Appliqu{\'e}e sur l'action
(\ref{d0class}) d'une 
configuration de D0-branes enroul{\'e}es autour
d'un cycle $n^i$ du tore $T^d$, la T-dualit{\'e} selon la direction 1
g{\'e}n{\`e}re une configuration d'action\footnote{Le tilde d{\'e}note des
corrections aux champs de Ramond proportionnelles {\`a} $B$, soit ici
$\tilde{\cal B}_{ij}={\cal B}_{ij} + \axion B_{ij}$, d{\'e}taill{\'e}es
dans l'appendice \ref{dc}.}
\begin{equation}
 S_{cl} \to e^{-\phi} \sqrt{ ( n^1 + B_{1a} n^a )^2 + n^a~g_{11} g_{ab}~n^b }
+ i~( n^1 \axion + n^a \tilde{\cal B}_{1a} ) \ .
\end{equation}
Pour satisfaire l'invariance sous les transformations de Lorentz internes
$Sl(d,\Zint)$, il est n{\'e}cessaire de r{\'e}interpr{\'e}ter la premi{\`e}re
composante $n^1$ de la charge de la D0-brane comme un singlet $n$,
et les composantes suivantes $n^{a}$ comme les composantes $n^{1a}$
d'un tenseur de charges $n^{ij}$. On d{\'e}couvre ainsi les charges
\index{D-brane!charges de}
$(m,m^{ij})$ et l'action euclidienne (\ref{sd1}) de la D1-brane et des
D-instantons de type IIB. Cette proc{\'e}dure peut {\^e}tre r{\'e}it{\'e}r{\'e}e
pour obtenir les charges et l'action des D-branes paires ou impaires
de dimension arbitraire. On obtient ainsi pour la D3-brane
\begin{eqnarray}
S_{D3}^B=e^{-\phi} &\left[ 
\left(n + \frac{1}{2}n^{ij} B_{ij} +\frac{1}{8} n^{ijkl} B_{ij} B_{kl} 
\right)^2
+ \frac{1}{2} \left(n^{ij} + \frac{1}{2} n^{ijkl} B_{kl} \right)
g_{im}g_{jn}  \left(n^{mn} + \frac{1}{2} n^{mnpq} B_{pq} \right) \right. 
\nonumber\\
&\left.  
+ \frac{1}{24} n^{ijkl} g_{im}g_{jn}g_{kp}g_{lq} n^{mnpq}  \right]^{1/2}
+ i~\left( n \axion + \frac{1}{2}
 n^{ij} \tilde{\cal B}_{ij} 
+ \frac{1}{24} n^{ijkl} \tilde{{\cal D}}_{ijkl}  \right)
\end{eqnarray}
que l'on peut encore relier {\`a} l'action de Born-Infeld de la
D3-brane sous les identifications
\begin{equation}
n^{ijkl} = \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} 
N^i_\alpha N^j_\beta N^k_\gamma N^l_\delta
\ ,\quad
n^{ij} = \frac{1}{2} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} 
N^i_\alpha N^j_\beta F_{\gamma\delta}
\ ,\quad
n = \frac{1}{8} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} 
F_{\alpha\beta} F_{\gamma\delta}\ ,
\end{equation}
En particulier, les D1-branes de charges d'enroulement
$n^{ij}$ apparaissent comme les
\index{flux {\'e}lectrique}\index{enroulement!charge d'}
flux electriques et magn{\'e}tiques sur la D3-brane de charge
d'enroulement $n^{ijkl}$, tandis que les D-instantons
de charge $n$ apparaissent comme {\it des instantons} 
de la th{\'e}orie de jauge $U(1)$ sur le volume d'univers
de la 3-brane\footnote{Ces instantons, absents des th{\'e}ories
\index{instanton!des th{\'e}ories de jauge}
de jauge $U(1)$ {\it dans l'espace non-compact}, sont 
stabilis{\'e}s par la compacit{\'e} du volume d'univers
de la 3-brane.}. 

Comme nous l'avons remarqu{\'e} dans la section (\ref{Tramond}),
les champs de Ramond se transforment dans une repr{\'e}sentation
{\it spinorielle} $\mathcal{R}$ du groupe de T-dualit{\'e} $SO(d,d,\Zint)$.
\index{Ramond, secteur de}
\index{T-dualit{\'e}!secteur de Ramond}
\index{spinorielle, repr{\'e}sentation}
La repr{\'e}sentation de ces champs comme formes de degr{\'e} pair
$(\axion,\mathcal{B},\mathcal{D},\dots)$ en type IIB ou impair
$(\mathcal{A},\mathcal{C},\dots)$ en type IIA ne fait que
refl{\'e}ter la d{\'e}composition d'un spineur de $SO(d,d)$
de chiralit{\'e} fix{\'e}e en repr{\'e}sentations irr{\'e}ductibles
de $Sl(d)$. Cette propri{\'e}t{\'e} est tout aussi est tout
aussi valable des charges $\mathcal{N}=(m,m^{ij},m^{ijkl},\dots)$
ou $(m^i,m^{ijk},\dots)$ des D-branes de type IIB ou IIA
sous ces champs. La partie imaginaire de l'action de Born-Infeld
\index{Born-Infeld, action de}
correspond alors {\`a} la contraction des spineurs conjugu{\'e}s
$\mathcal{R}$ et $\mathcal{N}$. La partie r{\'e}elle d{\'e}pend en
revanche des modules $g_{ij}, B_{ij}$ d{\'e}finissant l'{\'e}lement
de l'espace homog{\`e}ne $SO(d,d)/(O(d)\times SO(d))$, soit
la m{\'e}trique dans le r{\'e}seau de compactification
\begin{equation}
\| p \|^2_V = (p_i + B_{ik} p^k)g^{ij}(p_j+B_{jl}p^l)
+ p^i g_{ij} p^j
\end{equation}
o{\`u} $(p_i,p^i)$ se transforme dans la repr{\'e}sentation
fondamentale de $SO(d,d)$. Cette m{\'e}trique induit une
m{\'e}trique sur toutes les repr{\'e}sentations de $SO(d,d)$,
et en particulier sur la repr{\'e}sentation spinorielle 
$\mathcal{M}$. L'action de Born-Infeld peut alors s'{\'e}crire
\begin{equation}
S_{D} = e^{-\phi} \sqrt{\| \mathcal{N} \|^2} 
+ i \langle \mathcal{R} ,\mathcal{N} \rangle
\end{equation}
o{\`u} la T-dualit{\'e} est maintenant manifeste.
Connaissant l'action g{\'e}n{\'e}rale des D-branes, on peut alors
l'ins{\'e}rer dans la s{\'e}rie d'instantons
\index{serie d'instantons@s{\'e}rie d'instantons!couplage $R^4$ de II sur $T^d$}
\begin{equation}
f = f_{\rm pert} +  4\pi V e^{-\phi} \sum_{m\ne 0} \sum_{\mathcal{N}}
\frac{|m|}{\|\mathcal{N}\| }
K_1\left(2\pi |m| e^{-\phi} \| \mathcal{N}\| \right)
e^{2\pi i m \langle\mathcal{R} ,\mathcal{N} \rangle}
\end{equation}
et essayer de reproduire les amplitudes en $R^4$ {\`a}
l'ordre des arbres et {\`a} une boucle, tout au moins
en dimension $d>4$ o{\`u} les contributions de NS5-brane
\index{cinq-brane!de Neveu-Schwarz}
ne sont pas attendues. La r{\`e}gle de sommation
sur les {\'e}tats de D(-1), D0-,D1- et D2-branes est d{\'e}termin{\'e}e par
l'exactitude des couplages en $R^4$ en dimensions 7,8,9,10
\footnote{On peut n{\'e}anmoins concevoir de modifier cette r{\`e}gle
de sommation tout en pr{\'e}servant l'invariance sous la T-dualit{\'e},
par exemple en introduisant une contrainte 
$\langle\mathcal{R} ,\mathcal{R} \rangle=0$.}. 

\subsection{Instantons de D-branes et U-dualit{\'e}}
Si l'invariance sous la T-dualit{\'e} est ainsi garantie, ce n'est pas
le cas de l'invariance sous la U-dualit{\'e}. Tout comme l'invariance
sous la S-dualit{\'e} de la th{\'e}orie de type IIB, celle-ci peut
{\^e}tre {\'e}tudi{\'e}e par resommation de Poisson sur l'entier $m$.
On obtient ainsi une s{\'e}rie d'Eisenstein dont l'invariance
\index{Eisenstein, s{\'e}rie d'}
\index{Poisson, resommation de}
\index{U-dualit{\'e}!de type II sur $T^d$}
sous la sym{\'e}trie $Sl(d+1,\Zint)$ du tore {\'e}tendu doit
{\^e}tre manifeste. De mani{\`e}re inattendue, {\it cette invariance
n'est pas satisfaite\footnote{Corr{\'e}lativement, la s{\'e}rie
d'instantons de D-branes ne reproduit pas les contributions
perturbatives au couplage en $R^4$.} 
par les contributions de D-branes en dimension $d\le 6$}.
La resommation de Poisson conduit en effet {\`a} une s{\'e}rie
d'Eisenstein de terme g{\'e}n{\'e}ral $\mathcal{M}^{-3/2}$, o{\`u}
\begin{eqnarray}
\mathcal{M}^2 = &R_{11}^2 \left( n^{11} + {\cal A}_i n^i + \frac{1}{6} n^{ijk} 
\tilde{\cal C}_{ijk} \right)^2 
+\left(n^i + \frac{1}{2} n^{ijk} B_{jk} \right)\frac{g_{il}}{R_{11} }
\left(n^l + \frac{1}{2} n^{lmn} B_{mn} \right) \nonumber\\
&+ \frac{R_{11}^2}{6}
n^{ijk}~\frac{g_{il}g_{jm}g_{kn}}{R_{11}^3} ~n^{lmn} 
\end{eqnarray}
L'invariance sous les transformations de Lorentz de $T^{d+1}$
\index{D-brane!charges de}
requiert alors l'introduction d'une {\it quatre-forme} $n^{IJKL}$
aux c{\^o}t{\'e}s de la charge de D2-brane $n^{ijk}=n^{ijk11}$.
Les charges $n^I$ et $n^{IJKL}$ forment alors une repr{\'e}sentation
fondamentale du groupe de U-dualit{\'e} $SO(5,5,\Zint)$, de norme
carr{\'e}e
\begin{align}
\mathcal{M}^2 =&
\left( n^I + \frac{1}{6} n^{IJKL} {\cal C}_{JKL} \right)
g_{IM} \left( n^M + \frac{1}{6} n^{MNPQ} {\cal C}_{NPQ} \right)\nonumber\\
&+ \frac{1}{24} n^{IJKL} g_{IM}~g_{JN}~g_{KP}~g_{LQ}~n^{MNPQ}\ .
\end{align}
Cette extension est loin d'{\^e}tre anodine : la norme de la
charge $n^{ijkl}$ cro{\^\i}{}t en effet en $1/g^2$ par contraste
avec la norme des charges de D-branes en $1/g$, ce qui implique
l'existence d'effets en $e^{-1/g^2}$ l{\`a} o{\`u} seuls
des effets en $e^{-1/g}$ seraient attendus. L'existence
de ces effets n'est cependant pas av{\'e}r{\'e}e dans la mesure
o{\`u} toutes les tentatives pour reproduire les amplitudes
perturbatives {\`a} partir de cette s{\'e}rie d'Eisenstein ont
{\'e}chou{\'e}.

\section{D-instantons et la g{\'e}om{\'e}trie de $K_3$}
\index{K3, surface@$K_3$, surface}
\index{compactification!sur $K_3$}
L'{\'e}tude des couplages en $R^4$ dans les compactifications
toro{\"\i}{}dales de la M-th{\'e}orie nous a permis
d'identifier en d{\'e}tail les effets non perturbatifs 
intervenant dans ces couplages en termes 
d'instantons de D-branes enroul{\'e}es sur les cycles
non triviaux de la vari{\'e}t{\'e} de compactification.
Le succ{\'e}s de cette identification repose largement
sur la param{\'e}trisation explicite de l'espace des
modules, et sur la connaissance du spectre des cycles
supersym{\'e}triques du tore de dimension arbitraire.
Il est cependant souhaitable de d{\'e}terminer si
cette image persiste dans des situations plus r{\'e}alistes
et donc moins supersym{\'e}triques. L'{\'e}tude de
la compactification {\`a} 16 charges de supersym{\'e}trie sur $K_3$ repr{\'e}sente un
premier pas dans cette direction. La
dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique-type II  permet
\index{dualit{\'e}!h{\'e}t{\'e}rotique-type II}
encore de contr{\^o}ler les effets non perturbatifs
dans les couplages 1/2-BPS satur{\'e}s, et la simplicit{\'e}
\index{saturation BPS}
g{\'e}om{\'e}trique de la vari{\'e}t{\'e} $K_3$ permet encore
d'en donner une interpr{\'e}tation en termes de D-branes.

Nous avons d{\'e}j{\`a} discut{\'e} les cas de la th{\'e}orie de type
II compactifi{\'e}e sur $K_3\times T^2$ et de la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique
sur $T^6$ dans le cadre des corrections gravitationnelles
en $R^2$~: ces derni{\`e}res sont calculables {\it exactement}
{\`a} une boucle dans la th{\'e}orie de type II, en raison du
d{\'e}couplage des multiplets vectoriels et des hypermultiplets
\index{decouplage@d{\'e}couplage!des hypers et vecteurs}
dans la th{\'e}orie $N=2$ sous-jacente~;
elles s'interpr{\`e}tent alors du c{\^o}t{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique 
comme les contributions des instantons de NS5-brane enroul{\'e}es
sur le tore $T^6$. Il existe cependant d'autres couplages 
1/2-BPS satur{\'e}s pour lesquels cette restriction ne s'applique pas.
\index{saturation BPS}
C'est le cas du couplage {\`a} quatre d{\'e}riv{\'e}es $\tilde\mathcal{F}_1$
\begin{equation}
\label{ddss}
\frac{\tilde\mathcal{F}_1}{2S_2^2}
\left(\partial_\mu \partial_\nu S \partial^\mu \partial^\nu S
+\partial_\mu \partial_\nu \bar S \partial^\mu \partial^\nu \bar S\right)
\end{equation}
o{\`u} $S$ d{\'e}signe le scalaire complexe du dilaton dans la th{\'e}orie
\index{dilaton}
de type II (soit le module de K{\"a}hler $T$ de la th{\'e}orie
h{\'e}t{\'e}rotique duale). La comparaison des op{\'e}rateurs de vertex
du dilaton $S$ et du graviton montre que $\tilde\mathcal{F}_1$ est reli{\'e}
{\it perturbativement} au couplage gravitationnel $R^2$ par la
{\it sym{\'e}trie miroir} . Il se r{\'e}duit donc 
\index{miroir, sym{\'e}trie}
perturbativement {\`a} la contribution 
{\`a} une boucle donn{\'e}e par la fonction modulaire
\index{modulaire, forme}
\begin{equation}
\label{ddsiia}
\Ftilde_1^{IIA}= - 24 \log \left(U_2 |\eta(U)|^4 \right) \ ,
\end{equation}
obtenue {\`a} partir du couplage $\mathcal{F}_1$ (\ref{r2iia})
par {\'e}change des modules $T$ et $U$. Du point de vue de la
supersym{\'e}trie $N=2$, $U$ est cependant comme le dilaton membre d'un 
\index{hypermultiplet}
hypermultiplet, et les corrections non perturbatives ne sont
donc pas exclues. Elles sont du reste n{\'e}cessaires {\`a} l'invariance
de l'amplitude (\ref{ddss}) sous le groupe de U-dualit{\'e}
\index{U-dualit{\'e}!de Het/type II $N=4$}
$SO(6,22,\Zint)$ m{\'e}langeant le module $U$ aux modules de $K_3$
et au dilaton. On peut cependant les calculer perturbativement
du point de vue h{\'e}t{\'e}rotique, o{\`u} le d{\'e}couplage des
\index{decouplage@d{\'e}couplage!des hypers et vecteurs}
hypermultiplets au multiplet vectoriel du dilaton implique 
\index{vectoriel, multiplet}
que l'amplitude image $\partial\partial T\partial\partial T$
soit {\it exacte} {\`a} une boucle. Le d{\'e}veloppement {\`a} faible
couplage de type IIA, soit {\it {\`a} grand volume} $T_2\rightarrow\infty$
du c{\^o}t{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique, permet alors d'analyser les
contributions du c{\^o}t{\'e} de type II.
Cette approche a {\'e}t{\'e} d{\'e}velopp{\'e}e conjointement avec
I. Antoniadis et T. Taylor, et a fait l'objet de la publication
annex{\'e}e en appendice \ref{dds}. Nous y r{\'e}f{\`e}rons le lecteur pour
les d{\'e}tails de la d{\'e}rivation, et nous contentons d'en 
d{\'e}crire le r{\'e}sultat.

\subsection{Couplage exact $\tilde\mathcal{F}_1$ {\`a} quatre dimensions}
Le calcul de l'amplitude de diffusion {\`a} une boucle h{\'e}t{\'e}rotique
\index{amplitude de diffusion!de quatre modules h{\'e}t{\'e}rotiques}
de deux modules $T$ avec deux autres modules quelconques $\phi_1$ et 
$\phi_2$ conduit {\`a} l'int{\'e}grale de la fonction de partition du
r{\'e}seau de Narain $\Gamma_{6,22}$ sur le domaine fondamental
\index{Narain, r{\'e}seau de}
\index{partition, fonction de!d'un r{\'e}seau}
\index{domaine fondamental modulaire}
du tore, en pr{\'e}sence d'insertions de moments $P_R$~:
\begin{equation}
\A_{\phi_1\phi_2}\!=\frac{\p^2}{T_2^2}
\int_{\F} d^2 \tau \,\tau_2\!\!\!  \sum_{P_L,P_R \in\Gamma_{6,22}}
\left[ P_R^I v_{IJ}(\phi_1) P_R^J\right]
\left[ P_R^I v_{IJ}(\phi_2) P_R^J \right]\;
e^{i\pi\tau P_L^2} e^{-i\pi\taubar
P_R^2}\frac{1}{\bar\eta^{24}(\bar\tau)}
\ .
%\label{ampl}
\end{equation}
Le tenseur $v_{IJ}(\phi_i)$ d{\'e}crit la polarisation associ{\'e}e
au module $\phi_i$, et la fonction $1/\bar\eta^{24}$ repr{\'e}sente
la contribution des 24 oscillateurs du c{\^o}t{\'e} droit. 
\index{oscillateur}
\index{saturation BPS}
L'absence d'oscillateurs du c{\^o}t{\'e} supersym{\'e}trique gauche
traduit la saturation BPS de ce couplage. 

\index{decompactification@d{\'e}compactification, limite de}
Dans la limite de grand volume du deux-tore $T_2\rightarrow\infty$, le 
r{\'e}seau de Narain $\Gamma_{6,22}$ se factorise en deux r{\'e}seaux
$\Gamma_{2,2}\times\Gamma_{4,20}$~; les {\'e}tats de nombre
\index{enroulement!etat d'@{\'e}tat d'}
d'enroulement non nul autour de $T^2$ donnent lieu {\`a} des corrections
d'ordre $e^{-T_2/\alpha'}\sim e^{-1/g_{\rm IIA}^2}$ en principe
identifiables {\`a} des configurations instantoniques de NS5-branes 
\index{cinq-brane!de Neveu-Schwarz}
de type II, n{\'e}gligeables devant les corrections qui nous
int{\'e}ressent ici. Les moments droits $P_R$ s'identifient alors aux
moments gauches $P_L$, et l'amplitude {\`a} quatre modules
devient alors {\it int{\'e}grable} par rapport aux modules $\phi_1$
et $\phi_2$~:
\begin{equation}
\A_{\phi_1\phi_2} ~\approx~ \frac{1}{T_2^2}D_{\phi_1}D_{\phi_2} 
\tilde\mathcal{F}_1
\end{equation}
Le couplage $\tilde\mathcal{F}_1$ 
s'{\'e}crit alors, apr{\`e}s resommation de Poisson sur les
\index{Poisson, resommation de}
charges de moments autour de $T^2$ et int{\'e}gration sur $\tau_1$,
\begin{equation}
%\tilde\mathcal{F}_1 = 
\Ftilde_1 ~=~ T_2
\int_0^{\infty} 
\frac{d\tau_2}{(\tau_2)^2}  
{\sum_{n^I,q^i}}'
d\left(\frac{q^t L q}{2}\right)
e^{-\frac{\pi}{\t_2}n^t G n~-~\p\t_2 q^t(M+L) q
~-~2\p i n^t Y^t q}
%\label{ft2h}
\end{equation}
Les deux charges $n^{I=1,2}$ sont duales aux charges
de moments autour du tore $T^2$ de m{\'e}trique $G_{IJ}$, 
tandis que les 24 charges $q^i$
indexent les vecteurs du r{\'e}seau $\Gamma_{4,20}$, de
norme carr{\'e}e $q^t M q$ et produit pair $q^t L q$. Les
$2\times 24$ modules $Y_{iI}$ d{\'e}signent les lignes de Wilson
\index{Wilson, ligne de}
des champs de jauge du r{\'e}seau $\Gamma_{4,20}$ autour
des deux cycles de $T^2$. Finalement, les coefficients
$d(N)$ correspondent aux coefficients de Fourier de 
\index{modulaire, forme}
la fonction modulaire $1/\eta ^{24}$ comme dans l'{\'e}quation 
(\ref{etaexp}). Les {\'e}tats de charge $q=0$ engendrent la contribution
dominante {\`a} cette expression~:
\begin{equation}
%\label{h1ii}
\Ftilde_1 = -24 \log \left(U_2 |\eta(U)|^4 \right) + \delta\Ftilde_1\ ,
\end{equation}
laquelle reproduit pr{\'e}cis{\'e}ment
l'amplitude {\`a} une boucle dans la th{\'e}orie de type IIA
duale (\ref{ddsiia}), donnant un test suppl{\'e}mentaire de la
dualit{\'e} $N=4$ h{\'e}t{\'e}rotique-type II. Les {\'e}tats de charge $q$ non nulle
\index{dualit{\'e}!h{\'e}t{\'e}rotique - type II}
induisent quant {\`a} eux des contributions 
d'ordre $e ^{-\sqrt{T_2}}\sim e^{-1/\sqrt{\alpha'}}$~:
\begin{equation}
\label{dft1}
\delta\Ftilde_1 = 2 T_2
{\sum_{n^I,q^i}}'
d\left(\frac{q^t L q}{2}\right)
\left[ \frac{q^t (M + L) q}{n^t G n} \right]^{1/2}
K_1 \left( 2\pi \sqrt{ n^t G n \cdot 
\frac{q^t (M+L) q}{2}}\right)
e^{-~2\pi i n^t Y^t q}\ , 
\end{equation}
\subsection{Instantons et l'homologie de $K_3$}  
Dans les variables de type IIA, ces contributions correspondent
alors {\`a} des effets d'ordre $e ^{-1/g_{\rm IIA}}$~:
\begin{equation}
%\label{amplK}
\delta\Ftilde_1 = 2 T_2 e^{-\phi_6}
{\sum_{n^I,q^i}}'
d\left(\frac{q^t L q}{2}\right)
\left[  \frac{q^t (M + L) q}{n^t G n} \right]^{1/2}
K_1 \left( 2\p e^{-\phi_6}\sqrt{ n^t G n \cdot 
 \frac{q^t (M+L) q}{2}}\right)
e^{-~2\pi i n^t Y^t q}\ , 
\end{equation}
\index{serie d'instantons@s{\'e}rie d'instantons!couplage
  $(\partial\partial\phi)^2$ de II sur $K_3\times T^2$}
correspondant {\`a} une action euclidienne
\begin{equation}
\label{sdk3}
S=\sqrt{ n^t G n } \cdot e^{-\phi_6} \sqrt{ \frac{q^t (M+L) q}{2}}
- i n^t Y^t q
\end{equation}
o{\`u} $e^{-2\phi_6}=S_2/T_2$ d{\'e}signe le dilaton de la th{\'e}orie
de type IIA {\`a} six dimensions. Ces effets s'interpr{\`e}tent
\index{D-instanton!de type II sur $K_3\times T^2$}
\index{cycle d'homologie!de $K_3$}
naturellement en termes de {\it D-branes de la th{\'e}orie de
type IIA s'enroulant sur les cycles impairs de la vari{\'e}t{\'e}
de compactification} $K_3\times T^2$~: on reconna{\^\i}{}t en
effet dans l'action (\ref{sdk3}) le produit de la masse 
d'un {\'e}tat solitonique {\`a} six dimensions (\ref{sol6d}) par
la longueur $\sqrt{n^t G n}$
d'un cycle $S_1$ de nombres d'enroulement $(n^1,n^2)$
autour des deux cercles du tore $T^2$. L'{\'e}tat solitonique
{\`a} six dimensions correspondant lui m{\^e}me {\`a} une D-brane
enroul{\'e}e sur un cycle pair $\gamma$ de $K_3$, on obtient
bien ainsi l'action euclidienne de la D-brane enroul{\'e}e
sur le produit $S_1\times \gamma$. L'identification des
lignes de Wilson $Y$ h{\'e}t{\'e}rotiques avec les valeurs de fond
$\int_{\gamma^i} \mathcal{R}$ des potentiels de Ramond
permet {\'e}galement d'interpr{\'e}ter la partie imaginaire de 
\index{Wess-Zumino, terme de!sur le volume d'univers des D-branes}
l'action effective comme le couplage de la D-brane aux
champs de Ramond~:
\begin{equation}
n^t Y^t q =
\int_{S_1} q^i \mathcal{R}_i =
\int_{S_1\ti K_3} \gamma \w \gamma_i \w \mathcal{R}_i =
\int_{S_1\ti K_3} \gamma \w \mathcal{R} =
\int_{S_1\ti \gamma} \mathcal{R}\ . 
\end{equation}

Du point de vue de la th{\'e}orie de type IIB
\footnote{Ce paragraphe constitue une addition par rapport
{\`a} la publication en annexe \ref{dds}.}, 
l'action euclidienne des effets non perturbatifs devient 
\begin{equation}
\label{sdk3b}
S=\sqrt{ (n+m B)^2 +  V^2 m^2} \cdot \sqrt{e^{-2\phi_6} 
\frac{q^t (M+L) q}{2}}
- i (n Y^t + m \tilde Y^t)q
\end{equation}
o{\`u} on a renomm{\'e} les charges $n^1,n^2$ en $m,n$ et s{\'e}par{\'e}
la matrice des champs de Ramond en deux vecteurs $Y$,
correspondant aux valeurs de fond des champs de Ramond 
sur les 24 cycles de $K_3$, et $\tilde Y$, correspondant
aux valeurs de fond sur $T^2$ des 24 tenseurs antisym{\'e}triques
{\`a} six dimensions obtenus en r{\'e}duisant les champs de Ramond sur $K_3$.
Les entiers $n$ et $m$ diff{\'e}rencient les deux types de
configurations instantoniques susceptibles d'appara{\^\i}{}tre
dans la compactification de la th{\'e}orie de type IIB sur 
$K_3 \times T^2$~: 
\begin{itemize}
\item Les D(-1)-,D1- et D3-branes enti{\`e}rement enroul{\'e}es sur 
un cycle $\gamma=q^i\gamma_i$ de $K_3$ 
donnent lieu {\`a} des {\it D-instantons} dans
la th{\'e}orie {\`a} six dimensions, et {\it a fortiori} {\`a} quatre
dimensions.  Leur action euclidienne est
proportionnelle {\`a} l'aire du cycle $\gamma$ et reproduit l'{\'e}quation
(\ref{sdk3b}) pour $(m,n)=(0,1)$. La phase $i n Y^t q$
est {\'e}galement en accord avec cette interpr{\'e}tation.
\item Les m{\^e}mes D-branes peuvent {\'e}galement {\^e}tre enroul{\'e}es
partiellement sur le cycle $\gamma$, et donner lieu {\`a} des
{\it D-cordes} {\`a} six dimensions, de tension
\index{tension!des D-cordes sur $K_3$}
\begin{equation}
T=\sqrt{e^{-2\phi_6} \frac{q^t (M+L) q}{2}}\ ;
\end{equation}
celles-ci peuvent encore {\^e}tre enroul{\'e}es sur le tore $T^2$, 
pour former des D-instantons de la th{\'e}orie {\`a} quatre dimensions.
L'action euclidienne associ{\'e}e {\`a} ces effets est alors le
produit de l'action de Born-Infeld $\sqrt{V^2+B^2}$ par
\index{Born-Infeld, action de}
la tension, reproduisant l'{\'e}quation (\ref{sdk3b}) dans le cas 
$(m,n)=(1,0)$.
\end{itemize}
Les configurations solitoniques pour $(m,n)$ quelconques
correspondent {\`a} des superpositions de D-instantons et
de D-cordes, soit, en analogie avec le cas de la compactification 
toro{\"\i}{}dale, {\`a} des D-cordes de flux {\'e}lectrique non nul.

Si l'interpr{\'e}tation du poids semi-classique $e^{-S}$ en termes
de configurations de D-bra\-nes ne pose pas de difficult{\'e},
les coefficients apparaissant devant
ce poids dans l'{\'e}quation (\ref{dft1}) sont moins clairs
mais devraient en principe r{\'e}sulter de l'expression des op{\'e}rateurs de vertex
\index{op{\'e}rateur de vertex}
du dilaton dans le champ de fond de ces instantons, ainsi que de 
l'int{\'e}gration sur les modes z{\'e}ro. Le coefficient entier
$d(q^t L q/2)$ peut en revanche {\^e}tre interpr{\'e}t{\'e}
comme le {\it nombre de cycles supersym{\'e}triques de $K_3$}
dans la classe d'homologie $\sum \gamma_i q^i$
\footnote{$q^t L q$ est alors {\'e}gale {\`a} l'auto-intersection
du cycle, c'est-{\`a}-dire dans le cas des surfaces de Riemann
\index{intersection}
\index{Euler, caract{\'e}ristique d'}
sa caract{\'e}ristique d'Euler.}. Nous avons d{\'e}ja mentionn{\'e}
cette conjecture dans le cadre du comptage
des {\'e}tats BPS de la th{\'e}orie de type IIA, et nous la retrouvons
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS!de Het$/T^4$ - type IIA$/K_3$}
ici de mani{\`e}re naturelle et ind{\'e}pendante.

\subsection{D{\'e}compactification et couplages en $R^4$\label{ddsdec}}
Le couplage $\Ftilde_1$ exact {\`a} quatre dimensions {\'e}tant ainsi
obtenu, il est tentant d'en {\'e}tudier les cons{\'e}quences en
dimensions sup{\'e}rieures par simple d{\'e}compactification.
\index{decompactification@d{\'e}compactification, limite de}
Du point de vue de type IIA, la d{\'e}compactification
$T_2\rightarrow\infty$ {\`a} dilaton $e^{\phi_6}$ fix{\'e} {\'e}limine
toutes les contributions de D-branes, puisque celles ci
s'enroulent autour d'un des cercles du tore. La contribution
{\`a} une boucle, ind{\'e}pendante du volume du tore, dispara{\^\i}t
{\'e}galement, et le couplage 
$\partial\partial\phi_6\partial\partial\phi_6$
est donc nul en type IIA {\`a} six dimensions. La situation
est plus int{\'e}ressante du c{\^o}t{\'e} de type IIB, o{\`u} les
D-instantons $(m,0)$ subsistent en dimension 6, ainsi
\index{D-instanton!de type IIB sur $K_3$}
que la contribution {\`a} une boucle~:
\begin{equation}
\label{amplB6}
\Ftilde_1^{(6)} = 8\pi
~+~2 e^{-\varphi_6}\! 
{\sum_{m\ne 0 \atop q^i\ne 0}}
d\!\left( \frac{q^t L q}{2}\right)
\frac{ \sqrt{ q^t (M + L) q }}{|m|}
~K_1 \left( 2\pi |m| e^{-\varphi_6} 
\sqrt{ \frac{q^t (M+L) q}{2}}  \right)
e^{-2\pi i m Y_i q^i} 
\end{equation}
Dans la limite d{\'e}cadimensionnelle o{\`u} le volume de $K_3$ tend
lui m{\^e}me vers l'infini, seuls les D(-1)-instantons subsistent
dans la somme, qui se r{\'e}duit alors {\`a} 
\begin{equation}
%\label{amplB7}
\Ftilde_1^{(10)} = \frac{24}{2\pi} \left[ 
\frac{2\pi ^2}{3} + 4\pi e^{-\varphi_{10}} 
{\sum_{m\ne 0, q\ne 0}}
\left| \frac{q}{m} \right|
~K_1 \left( 2\p |q m| e^{-\varphi_{10}} \right)
e^{-2\pi i m q a} \right]
\end{equation}
De mani{\`e}re inattendue, {\it la limite {\`a} dix dimensions des couplages
$\partial\partial\phi\partial\partial\phi$ de la th{\'e}orie de
type IIB compactifi{\'e}e sur $K_3$ reproduit ainsi le couplage
en $R^4$ exact de Green et 
\index{Green et Gutperle, conjecture de}
Gutperle\footnote{au terme {\`a} l'ordre des arbres pr{\`e}s. 
On montre dans l'appendice de l'article en annexe \ref{dds} que ce terme
est en r{\'e}alit{\'e} pr{\'e}sent, mais qu'il n'affecte pas les
amplitudes physiques {\`a} quatre modules.} de la th{\'e}orie de
type IIB {\`a} dix dimensions~!}
Cette co{\"\i}{}ncidence peut cependant s'expliquer de la mani{\`e}re
suivante~: les couplages en $R^4$ de la th{\'e}orie de type IIB
sont reli{\'e}s par supersym{\'e}trie {\`a} des couplages {\`a}
huit d{\'e}riv{\'e}es $R^2\partial\partial\phi\partial\partial\phi$,
dont la r{\'e}duction sur $K_3$, de nombre de Pontryagin
$\int R^2 =24$, g{\'e}n{\`e}re l'interaction
$\Ftilde_1$. Inversement, {\it on d{\'e}montre ainsi} la validit{\'e}
de la conjecture de Green et Gutperle, et en particulier 
\index{cuspoidale, forme@cuspo{\"\i}{}dale, forme}
l'absence de contributions des formes cuspo{\"\i}{}dales de 
$Sl(2,\Zint)$ aux couplages en $R^4$.


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "these"
%%% End: 


\chapter{M comme Matrice~?}
L'{\'e}cheveau des dualit{\'e}s des th{\'e}ories de cordes
que nous avons d{\'e}crit au chapitre 3 de ce m{\'e}moire nous
a conduit {\`a} l'id{\'e}e que les cinq th{\'e}ories des
supercordes {\`a} dix dimensions n'{\'e}taient que cinq regards
perturbatifs sur une th{\'e}orie fondamentale encore
myst{\'e}rieuse, dite M-th{\'e}orie. Si le spectre perturbatif de ces 
th{\'e}ories des cordes correspond {\`a} celui
d'une th{\'e}orie {\`a} nombre infini de champs en dix dimensions
le spectre BPS non perturbatif signale l'existence 
d'une onzi{\`e}me dimension {\it compacte}~: les D0-branes
repr{\'e}sentent les modes de Kaluza-Klein du supergraviton, et
les cordes perturbatives apparaissent alors comme les membranes enroul{\'e}es
selon cette direction. Il est donc naturel de rechercher une formulation de 
la th{\'e}orie fondamentale dans l'espace-temps {\it non compact}
{\`a} onze dimensions, reproduisant la dynamique perturbative 
des th{\'e}ories de supercordes apr{\'e}s compactification.
La th{\'e}orie des matrices, propos{\'e}e par Banks, Fischler, Shenker et
\index{matrices, th{\'e}orie des}
\index{Banks, Fischler, Shenker et Susskind, conjecture de}
Susskind en 1996 et revisit{\'e}e par Susskind en 1997, 
constitue une tentative de d{\'e}finition
{\it ab initio} de cette th{\'e}orie
\cite{Banks:1997vh,Susskind:1997cw}. Nous donnerons
une br{\`e}ve introduction {\`a} la th{\'e}orie des matrices
\footnote{Le lecteur pourra {\'e}galement se reporter aux articles de revue
\cite{Banks:1997mn,Bigatti:1997jy,Bilal:1997fy} pour plus de
d{\'e}tails.} et discuterons
plus particuli{\`e}rement ses compactifications toro{\"\i}{}dales,
dans le but de comprendre les U-dualit{\'e}s des th{\'e}ories
des cordes maximalement supersym{\'e}triques. Ce chapitre visera
en m{\^e}me temps {\`a} introduire au travail effectu{\'e} en 
collaboration avec Niels Obers et Eliezer Rabinovici, annex{\'e}
en appendice \ref{mu}.

\section{Quantification sur le front de lumi{\`e}re}

\subsection{Cin{\'e}matique sur le front de lumi{\`e}re}
Si l'invariance de Poincar{\'e} est un pr{\'e}requis de toute th{\'e}orie
physique, sa manifestation explicite dans les th{\'e}ories de
jauge oblige cependant {\`a} l'introduction de degr{\'e}s 
de libert{\'e} <<fant{\^o}matiques>> qui obscurcissent la physique.
La d{\'e}finition de l'espace de Hilbert d'une th{\'e}orie
des champs n{\'e}cessite du reste une foliation ({\it slicing})
\index{lumi{\`e}re, front de|textit}\index{foliation}
de l'espace-temps qui brise l'invariance de Poincar{\'e}
(figure \ref{front}).
La foliation par {\it surfaces de temps $t=x^0$ {\'e}gal} est g{\'e}n{\'e}ralement
choisie, et est invariante sous les translations et rotations 
spatiales, correspondant aux g{\'e}n{\'e}rateurs {\it cin{\'e}matiques}
du groupe de Poincar{\'e}. Les g{\'e}n{\'e}rateurs  de translation
selon le temps et de {\it boost} font quant {\`a} eux explicitement intervenir les
complications de la dynamique. 
\fig{5cm}{front.eps}{Quantification {\`a} temps {\'e}gal (gauche) et
sur le front de lumi{\`e}re (droit).}{front}
La foliation par {\it surfaces de <<temps de lumi{\`e}re>>} 
$x^+=(x^0+x^1)/\sqrt{2}$, correspondant {\`a} la {\it quantification
sur le front de lumi{\`e}re}\footnote{Le terme <<c{\^o}ne de lumi{\`e}re>>
est inappropri{\'e}, car seule la moiti{\'e} du c{\^o}ne $(x^0)^2-(x^1)^2=0$
supporte la fonction d'onde. On utilise {\'e}galement la 
d{\'e}nomination de <<r{\'e}f{\'e}rentiel de moment infini>>, qui n'est
gu{\`e}re plus adapt{\'e}e.},
est avantageuse de ce point de vue, puisque les translations
et rotations transverses $P^i$ et $L^{ij}$ ainsi que 
le {\it moment longitudinal} $P^+$ et les boosts $L^{-i}$ et
$L^{+-}$ sont des g{\'e}n{\'e}rateurs cin{\'e}matiques\footnote{La
quantification {\`a} $x^-=(x^0-x^1)/\sqrt{2}$ constant pr{\'e}sente ainsi 
un g{\'e}n{\'e}rateur cin{\'e}matique suppl{\'e}mentaire sur
la quantification {\`a} $t$ constant, quelque soit la dimension
de l'espace.}. $P^-$ engendre les translations selon $x^-$
et joue le r{\^o}le du Hamiltonien.
Par contraste avec la relation de dispersion
non polynomiale de la quantification {\`a} temps {\'e}gal
(figure \ref{cone})
\begin{equation}
\label{etdr}
H = \sqrt{ P^i P_i + \mathcal{M}^2} \ ,
\end{equation}
la relation de dispersion prend sur le
front de lumi{\`e}re la forme
\index{lumi{\`e}re, front de!relation de dispersion}
\begin{equation}
\label{lcdr}
P^- = \frac{P^iP_i + \mathcal{M}^2}{2P^+}\ .
\end{equation}
La similitude de cette relation avec la relation de dispersion
non relativiste $H=\mathcal{M}+(p^i)^2/2\mathcal{M}$ r{\'e}sulte de l'invariance 
sous le {\it groupe de Galil{\'e}e} de l'espace transverse.
\fig{5cm}{cone.eps}{Relation de dispersion {\`a} temps {\'e}gal (gauche) et
sur le front de lumi{\`e}re (droit).}{cone}
L'{\'e}quation (\ref{lcdr}) implique en particulier
que les particules, correspondant {\`a} $P^->0$, 
\index{Galil{\'e}e, invariance de}
ont un {\it moment longitudinal $P^+$ positif}, tandis  que les 
antiparticules ont un moment {\it n{\'e}gatif} (figure \ref{cone}). 
L'{\'e}tat du vide
de $P^-$ se r{\'e}duit donc {\`a} l'{\'e}tat fondamental
$|0\rangle$ de l'espace de Fock
\footnote{{\`a} la contribution des modes de moment $P^+$ nul pr{\`e}s.
Ces derniers sont exclus par la relation de dispersion
(\ref{lcdr}), sauf lorsque la masse $m$ s'annule.}.
Les {\'e}tats fant{\^o}matiques de norme n{\'e}gative sont {\'e}galement
exclus dans cette formulation.
En contrepartie de ces simplifications, le hamiltonien sur
le front de lumi{\`e}re pr{\'e}sente des interactions non locales
{\it instantan{\'e}es} correspondant {\`a} la pr{\'e}sence du p{\^o}le
en $P^+=0$ dans la relation (\ref{lcdr}), et donnant
naissance aux diagrammes de <<mouettes>> caract{\'e}ristiques
\index{mouette, diagramme de}
de la quantification sur le front de lumi{\`e}re. Le traitement
des modes de moment $P^+\rightarrow 0$ constitue le point le plus
d{\'e}licat de ce sch{\'e}ma de quantification, sous lequel se
r{\'e}fugient 
les
\index{vide!sur le front de lumi{\`e}re}
complications de la structure du vide dans l'approche
ordinaire (voir par exemple \cite{Pinsky:1993ey}).

\subsection{Front de lumi{\`e}re discret et r{\'e}solution spectrale}
La th{\'e}orie des champs peut {\^e}tre r{\'e}gularis{\'e}e {\`a} la fois dans
l'infrarouge et dans l'ultraviolet en supposant la direction
$x^-$ compacte de <<longueur>> $2\pi L$
\cite{Maskawa:1976,Pauli:1985pv}. Le moment longitudinal 
de la particule $i$ est
alors quantifi{\'e} selon
\begin{equation}
P^+_i = \frac{n}{L}  \ ,\quad n=1,2,\dots\ , 
\end{equation}
ce qui vaut {\`a} cette proc{\'e}dure le nom de 
{\it quantification sur le front de lumi{\`e}re discret} 
({\it discrete light cone quantization}, ou DLCQ). 
\index{lumi{\`e}re, front de!discret|textit}
Le moment total $P^+$ {\'e}tant conserv{\'e}, l'espace de Hilbert
se d{\'e}compose alors en secteurs de supers{\'e}lection 
$\mathcal{H}_N$ de moment 
$P^+ =N/L$, de dimension finie\footnote{dans le
cas d'une th{\'e}orie en dimension $1+1$. En dimension
sup{\'e}rieure, le continuum des impulsions transverses
subsiste, et peut {\^e}tre lev{\'e} par une compactification
appropri{\'e}e.}
engendr{\'e} par les {\'e}tats de l'espace de Fock 
$\alpha^\dagger_{n_1}\alpha^\dagger_{n_2}\dots
\alpha^\dagger_{n_k} |0\rangle$  tels que
$n_1+n_2+\dots+n_k=N$~; la diagonalisation du
hamiltonien $P^-$ peut alors {\^e}tre effectu{\'e}e
num{\'e}riquement dans chaque secteur.
Contrairement au cas de la quantification
{\`a} temps {\'e}gal ordinaire, cette finitude ne requiert pas de 
{\it cut-off} ultraviolet $n\le \Lambda$ sur les impulsions
longitudinales $P^+_i$~: la dimension finie
est assur{\'e}e par la condition $n_i>0$.
Il faut cependant prendre garde au fait que la direction $x^-$ est 
{\it de genre lumi{\`e}re}, et que $L$ n'est pas une longueur
invariante. Elle peut {\^e}tre modifi{\'e}e {\`a} volont{\'e} par
un boost de Lorentz $L^{+-}$~:
\begin{equation}
\begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix} \cosh \beta & -\sinh\beta \\
                -\sinh \beta & \cosh\beta \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \end{pmatrix}\ ,\quad
L \rightarrow e^{\beta} L\ ,\quad
P^- \rightarrow e^{\beta} P^-\ ,\quad
P^+ \rightarrow e^{-\beta} P^+\ .
\end{equation}
La d{\'e}pendance en $L$ du moment $P^+$ et du hamiltonien
$P^-$ est donc particuli{\`e}rement simple~:
\begin{equation}
P^+ = \frac{N}{L} \ , P^- = L H_N
\end{equation}
et la masse $\mathcal{M}^2 = 2 P^+ P^-$ est en particulier 
ind{\'e}pendante de $L$. 
La compacit{\'e} de la direction $x^-$ n'est cependant qu'un
artifice de calcul, et les r{\'e}sultats physiques sont
obtenus {\it dans la limite double} 
$L\rightarrow\infty$, $N\rightarrow\infty$
{\`a} moment longitudinal $P^+$ fix{\'e}. 
Le spectre de masse, correspondant
aux valeurs propres de la matrice $H_N$, d{\'e}pend
de $N$ et se {\it pr{\'e}cise} au fur et {\`a} mesure que $N$ augmente.
L'entier $N$ correspond donc en r{\'e}alit{\'e} {\`a} la {\it r{\'e}solution
spectrale} bien plus qu'au moment longitudinal. On peut {\'e}valuer
\index{spectrale, r{\'e}solution|textit}
 la valeur de $N$ minimale pour repr{\'e}senter
un {\'e}tat au repos de masse $\mathcal{M}$ et de taille caract{\'e}ristique
$r$ en demandant que cette derni{\`e}re soit tr{\`e}s
inf{\'e}rieure au rayon du cercle de genre lumi{\`e}re $L$
\cite{Bigatti:1997gm}.
En tenant compte de l'{\'e}galit{\'e} au repos $\mathcal{M}=P^-=P^+$,
on obtient ainsi la condition 
\begin{equation}
N \gg r~\mathcal{M}\ .
\end{equation}

\subsection{La th{\'e}orie des cordes sur le front de lumi{\`e}re
discret\label{lcst}}
La quantification sur le front de lumi{\`e}re a jou{\'e} un r{\^o}le historique
tr{\`e}s important dans la compr{\'e}hension des mod{\`e}les duaux et
\index{duaux, mod{\`e}les}
des th{\'e}ories de cordes \cite{Goddard:1973qh}. 
Elle permet en effet de fixer compl{\`e}tement
les reparam{\'e}trisations de la surface d'univers, et
ne laisse que les degr{\'e}s de libert{\'e} physiques des fluctuations transverses
de la corde. Nous avons pu appr{\'e}cier l'efficacit{\'e} de cette
proc{\'e}dure au chapitre 3 pour la d{\'e}termination des fonctions
de partition des th{\'e}ories des cordes. Elle peut {\^e}tre ais{\'e}ment
adapt{\'e}e au cas de la compactification sur un cercle de genre
lumi{\`e}re $x^-\equiv x^-+2\pi L$, comme nous le rappelons
maintenant.
\index{lumi{\`e}re, front de!th{\'e}orie des cordes}

La jauge du front de lumi{\`e}re consiste {\`a} identifier le
temps de la surface d'univers avec le {\it temps propre}
de l'espace cible~:
\begin{equation}
X^+(\sigma,\tau) = x^{+} + \alpha' P^+ \tau
\end{equation}
La condition de Virasoro associ{\'e}e {\`a} l'invariance sur les
reparam{\'e}trisations
\begin{equation}
0=\partial_\sigma X^\mu \partial_\tau X_\mu
= P^+ \partial_\sigma X^- - \partial_\sigma X^i \partial_\tau X^i
\end{equation}
permet d'{\'e}liminer la coordonn{\'e}e $X^-$ au profit
des coordonn{\'e}es transverses. Les coefficients de Fourier
de $X^-$ s'expriment alors en fonction des oscillateurs 
transverses~:\index{oscillateur}
\begin{eqnarray}
\label{modeex}
\alpha_n^- &=& \frac{1}{P^+} \left( 
\frac{1}{2}\sum_{m=-\infty}^\infty 
~: \alpha^i_{n-m}\alpha^i_m~: - a\delta_{n} \right) \\
\tilde\alpha_n^- &=& \frac{1}{P^+} \left( 
\frac{1}{2}\sum_{m=-\infty}^\infty 
~: \tilde\alpha^i_{n-m}\tilde\alpha^i_m~: - \tilde a\delta_{n} \right) 
\end{eqnarray}
La compactification $x^-\equiv x^-+2\pi L$ peut {\^e}tre construite
comme une construction d'orbifold habituelle~: elle projette
donc sur les {\'e}tats invariants de moment $P^+=N/L$,
et introduit des {\'e}tats {\it twist{\'e}s} s'enroulant
\index{twist{\'e}, {\'e}tat}
$n$ fois autour de la direction compacte~:
\begin{equation}
X^-(\sigma+2\pi) = X^- +2\pi n L
\end{equation}
En ins{\'e}rant les modes z{\'e}ros gauches et droits de $X^-$
\begin{equation}
\alpha_0^-=  \frac{P^-}{2} + \frac{nL}{2\alpha'} \ ,\quad
\tilde\alpha_0^-=  \frac{P^-}{2} - \frac{nL}{2\alpha'}  \ ,\quad
\alpha_0^i= \bar\alpha_0^i= \frac{P^i}{2} \ ,\quad
\end{equation} 
la somme et la diff{\'e}rence des {\'e}quations
(\ref{modeex}) conduisent {\`a} la formule de masse et la
condition de {\it level matching}~:
\index{masse, formule de!sur le front de lumi{\`e}re}
\index{level matching, condition de}
\begin{eqnarray}
 P^- &=& \frac{1}{2P^+} \left( P^i P^i + 2\frac{N_L + N_R -a -\bar a}
{\alpha'} \right) \\
 n N &=& N_L - N_R - a +\bar a
\end{eqnarray}
Ces relations peuvent {\^e}tre {\'e}tendues au cas des supercordes
en utilisant les valeurs appropri{\'e}es des {\it intercepts}
\index{intercept}
$a$ et $\bar a$, et incluant les contributions fermioniques
dans les nombres d'excitations $N_L$ et $N_R$.
La limite de grand $N$ est triviale dans le cas de la th{\'e}orie
des cordes libres, mais devient int{\'e}ressante en pr{\'e}sence 
d'interactions~; celles-ci n{\'e}cessitent cependant 
l'introduction d'une th{\'e}orie de champs de cordes,
\index{champ de cordes, th{\'e}orie de}
qui n'a pas encore {\'e}t{\'e} pleinement d{\'e}velopp{\'e}e.
La quantification du moment $P^-$ peut {\^e}tre commod{\'e}ment
incorpor{\'e}e en red{\'e}finissant la p{\'e}riodicit{\'e} de la 
coordonn{\'e}e $\sigma$ {\`a} $\sigma\equiv\sigma+N/L$. 
Chaque corde consiste alors en un nombre entier de
<<partons>> {\'e}l{\'e}mentaires de longueur $1/L$,
et la conservation du moment $P^-$ au cours des 
interactions entre cordes correspond
{\`a} la conservation du nombre de partons. 
\index{parton}

\section{M-th{\'e}orie sur le front de lumi{\`e}re}
Selon la conjecture BFSS, dans sa formulation renforc{\'e}e
par Susskind, la M-th{\'e}orie est d{\'e}crite {\it sur le 
front de lumi{\`e}re discret} dans le secteur de
moment longitudinal $P^+=N/L$ par {\it la m{\'e}canique quantique
de $N$ D0-branes}. Cette conjecture peut {\^e}tre heuristiquement
\index{D-brane!D0-branes}
justifi{\'e}e en identifiant le cercle de genre {\it lumi{\`e}re}
de <<rayon de lumi{\`e}re>> 
$L$ d{\'e}finissant le front de lumi{\`e}re discret {\`a} un cercle
spatial ordinaire de rayon $R_s$ {\it infiniment boost{\'e}}~:
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \cosh \beta  & -\sinh\beta \\
                -\sinh \beta & \cosh\beta \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ R_s \end{pmatrix}
= \frac{L}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} -1+e ^{-2\beta} \\ 1+e^{-2\beta} \end{pmatrix}
\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} -L \\ L \end{pmatrix}
\end{equation}
A rayon de lumi{\`e}re $L$ fix{\'e}, le rayon $R_s= \sqrt{2}L e ^{-\beta}$ 
tend donc vers 0 dans la limite de boost infini
$\beta\rightarrow\infty$. Le secteur 
$(P^+= N/L,P^-=L H_N)$ du front
de lumi{\`e}re discret correspond donc au secteur
$(P^+_s=N/R_s,P^-=R_s H_N)$,
soit $(P\sim N/R_s, H= P+ R_s H_N)$  de la M-th{\'e}orie
{\it compactifi{\'e}e sur un cercle spatial de rayon}
$R_s \rightarrow 0$. Cette th{\'e}orie correspond pr{\'e}cis{\'e}ment
{\`a} la th{\'e}orie des cordes de type IIA {\it en pr{\'e}sence de
$N$ D0-branes}.
\index{D-brane!D0-branes}
Pour d{\'e}finir sans ambigu{\"\i}{}t{\'e} la limite {\`a} consid{\'e}rer,
il est n{\'e}cessaire de d{\'e}terminer le r{\'e}gime d'{\'e}nergie
pertinent pour la description de la M-th{\'e}orie sur le 
front de lumi{\`e}re discret.
Le hamiltonien sur le front de lumi{\`e}re discret $P^-${\'e}tant proportionnel
au <<rayon de lumi{\`e}re>> $L$, il s'{\'e}crit donc, pour raison de dimension,
\begin{equation}
P^- = \frac{L}{l_{11}^2} h_N
\end{equation}
o{\`u} le spectre de $h_N$ est d'ordre unit{\'e}.
Apr{\`e}s le boost, on obtient ainsi une {\'e}nergie
\begin{equation}
H-P = \frac{R_s}{l_{11}^2} h_N
\end{equation}
et il est donc commode d'effectuer un changement d'{\'e}chelle
$l_{11}\rightarrow l_{11s} = l_{11} e^{2\beta}$ de mani{\`e}re {\`a} maintenir
cette {\'e}nergie finie. Les degr{\'e}s de libert{\'e} pertinents 
seront s{\'e}lectionn{\'e}s dans la limite de {\it scaling}
\index{scaling, limite de|textit}
\begin{equation}
\label{scaling}
R_s\rightarrow 0\ , \quad M=\frac{R_s}{l_{11s}^2}= \frac{L}{l_{11}^2}
\ \mbox{~fix{\'e}}
\end{equation}
Exprim{\'e}s en termes de $R_s$ et $M$, les param{\`e}tres de la
th{\'e}orie de type IIA s'{\'e}crivent alors
\begin{equation}
g = (R_s M)^{3/4}\ ,\quad
\alpha' = \frac{ R_s^{1/2}}{ M^{3/2}}
\end{equation}
La th{\'e}orie des cordes de type IIA est donc faiblement coupl{\'e}e
et {\`a} basse {\'e}nergie dans la limite. Les corrections
de boucles et de d{\'e}riv{\'e}es sup{\'e}rieures {\`a} la dynamique des 
D0-branes sont donc supprim{\'e}es, et celle-ci est 
{\it exactement} d{\'e}crite par l'approximation de Yang-Mills 
{\`a} l'action de Born-Infeld supersym{\'e}trique~:
\index{Born-Infeld, action de}
\begin{equation}
\mathcal{L}=\int d\tau \frac{(\alpha')^{3/2}}{2g} \tr \left(
(\nabla_\tau X^i)^2
+ 2 \theta^t\nabla_\tau\theta -\frac{1}{2}  [X^i,X^j]^2
-2 \theta ^t\gamma ^i [\theta,X^i] \right)
\end{equation}
o{\`u} les neuf coordonn{\'e}es $X^i$, maintenant interpr{\'e}t{\'e}es comme
les coordonn{\'e}es transverses de la M-th{\'e}orie sur le front de 
lumi{\`e}re discret, prennent leurs valeurs dans l'adjoint de $U(N)$.
Apr{\`e}s red{\'e}finition du champ $X^i\rightarrow g^{1/3} X^i$,
on obtient en unit{\'e}s de $l_{11}$
\begin{equation}
\mathcal{L}=\int d\tau \tr \left(
\frac{1}{2R_s} (\nabla_\tau X^i)^2
+ 2 \theta^t\nabla_\tau \theta -\frac{R_s}{4} \tr [X^i,X^j]^2
-R_s \theta ^t\gamma ^i [\theta,X^i] \right)
\end{equation}
avec $\nabla_\tau = \partial_\tau + i [A,\cdot]$.
Le hamiltonien associ{\'e} {\`a} cette th{\'e}orie des champs en
dimensions 0+1 s'{\'e}crit alors en termes du moment
$\Pi_i=\nabla_\tau X^i$ conjugu{\'e} {\`a} $X^i$~:
\begin{equation}
\label{hbfss}
H=R_s \tr\left( \frac{1}{2} (\Pi^i )^2 
+\frac{1}{4} ([X^i,X^j])^2
+ \theta ^t\gamma ^i [\theta,X^i] \right) + \frac{N}{R_s}\ ,
\end{equation}
auquel on a ajout{\'e} l'{\'e}nergie au repos des
$N$ D0-branes {\`a} grande s{\'e}paration.
L'invariance de jauge permet de fixer $A=0$, mais il faut encore
restreindre l'espace de Hilbert aux {\'e}tats invariants de jauge
en imposant la contrainte de Gauss 
\index{Gauss, contrainte de}
\begin{equation}
[X^i,\Pi ^i]+ [\theta ,\theta ^t]\equiv 0
\end{equation}
Cet argument nous conduit donc {\`a} la conjecture BFSS~:
{\it la M-th{\'e}orie est d{\'e}crite sur le front de lumi{\`e}re
\index{matrices, th{\'e}orie des|textit}
\index{Banks, Fischler, Shenker et Susskind, conjecture de|textit}
discret dans le secteur de moment longitudinal $P^+=N/L$
par la m{\'e}canique quantique supersym{\'e}trique
de 9 matrices hermitiennes $N\times N$ $X^i$, de hamiltonien}
\begin{equation}
\label{hsuss}
P^-=L \tr\left( \frac{1}{2} (p^i )^2 +\frac{1}{2} (\Pi^i )^2 
+\frac{1}{4} ([X^i,X^j])^2
+ \theta ^t\gamma ^i [\theta,X^i] \right) \ ,
\end{equation}
o{\`u} on a d{\'e}coupl{\'e} le facteur ab{\'e}lien de moment $p^i$ et
le facteur $SU(N)$ de moment $\Pi^i$~; le premier d{\'e}crit le
mouvement transverse du centre de masse du syst{\`e}me,
tandis que le second d{\'e}crit les interactions des D0-branes,
identifi{\'e}es aux {\it partons} \index{parton}
de la M-th{\'e}orie sur le front de lumi{\`e}re discret. La M-th{\'e}orie
sur le front de lumi{\`e}re non compact est obtenue dans la
limite de {\it r{\'e}solution spectrale infinie}~:
\index{spectrale, r{\'e}solution}
\begin{equation}
N \rightarrow \infty\ ,\quad L\rightarrow\infty\ ,\quad
P^+=\frac{N}{L}\ \mbox{fix{\'e}.}
\end{equation}
Cette conjecture appelle plusieurs commentaires~:
\begin{itemize}
\item le hamiltonien (\ref{hsuss}) remplit tout d'abord les
conditions de sym{\'e}trie sous le {\it groupe de Galil{\'e}e
supersym{\'e}trique de l'espace transverse}
\index{Galil{\'e}e, invariance de}
\begin{equation}
\{q_\alpha,q_\beta\} = \delta_{\alpha\beta} P^+ \ ,\qquad
\{Q_\alpha,Q_\beta\} = \delta_{\alpha\beta} P^- \ ,\qquad
\left[Q_\alpha,q_\beta\right] = \gamma_{\alpha\beta}^i P^i
\end{equation}
engendr{\'e} par les 16+16 charges supersym{\'e}triques
\begin{eqnarray}
q_\alpha = \frac{1}{\sqrt{L}} \tr \theta \\
Q_\alpha = \sqrt{L} \tr( \gamma_{\alpha\beta}^i P^i
+i [X^i,X^j]\gamma_{\alpha\beta}^{ij} ) \theta_\beta
\end{eqnarray}
\index{supersym{\'e}trie!en th{\'e}orie des matrices}
Les 16 charges $q_\alpha$ sont r{\'e}alis{\'e}es non lin{\'e}airement
et n'agissent que sur le facteur ab{\'e}lien du groupe de jauge $U(N)$.
Elles correspondent aux charges spontan{\'e}ment bris{\'e}es par la
pr{\'e}sence des D0-branes dans le langage de la th{\'e}orie de type
IIA. Seules les charges $Q_\alpha$, correspondant aux 16 charges
de la th{\'e}orie de Yang-Mills {\`a} dix dimensions, contraignent
la dynamique relative des D0-branes. 
\index{D-brane!D0-branes}

\item la d{\'e}pendance du hamiltonien en le rayon de lumi{\`e}re $L$
est compatible avec l'invariance de Lorentz selon
$L^{+-}$. L'invariance sous les g{\'e}n{\'e}rateurs dynamiques
$L^{+i}$ est en revanche loin d'{\^e}tre {\'e}vidente, et
constitue l'essence de la conjecture. Elle est du reste
bris{\'e}e par la compacit{\'e} de la direction $x^-$, et n'a lieu
d'{\^e}tre que dans la limite $L\rightarrow \infty,
N\rightarrow\infty$. La construction d'op{\'e}rateurs $L^{+i}$
dans le secteur de supers{\'e}lection 
$\mathcal{H}_N$ g{\'e}n{\'e}rant le groupe de Poincar{\'e} {\`a} grand $N$
reste un probl{\`e}me ouvert de premi{\`e}re importance.
\index{Lorentz, invariance {\`a} 11D}

\item pour pr{\'e}tendre {\`a} d{\'e}crire la M-th{\'e}orie, la moindre
des exigences est que la th{\'e}orie des matrices inclue
le supergraviton de masse nulle et de moment longitudinal
\index{graviton}
$N$. Un tel {\'e}tat doit correspondre
{\`a} un {\it {\'e}tat fondamental supersym{\'e}trique} du hamiltonien $SU(N)$
\index{li{\'e}, {\'e}tat li{\'e} de D-branes}
d{\'e}crivant le mouvement relatif des $N$ partons. La
d{\'e}monstration de l'existence et l'unicit{\'e} d'un tel {\'e}tat 
constitue un second probl{\`e}me non r{\'e}solu {\`a} ce jour. Les 
{\'e}tats {\`a} plusieurs gravitons de moments $N_i/L$
peuvent {\^e}tre d{\'e}crits
asymptotiquement en d{\'e}composant la matrice $N\times N$
en blocs diagonaux~; un calcul de diffusion dans 
l'approximation de Born-Oppenheimer peut alors {\^e}tre
effectu{\'e} et compar{\'e} {\`a} la pr{\'e}diction de la
th{\'e}orie de supergravit{\'e}. K. et M. Becker ont
ainsi observ{\'e} l'accord au second ordre
dans le d{\'e}veloppement en boucles de la 
m{\'e}canique quantique des D0-branes \cite{Becker:1997wh}.

\item les membranes et cinq-branes de la M-th{\'e}orie
ne jouent aucun r{\^o}le dans cette formulation. Elles doivent
donc appara{\^\i}{}tre comme {\it {\'e}tats li{\'e}s de D0-branes}.
\index{brane!membrane et cinq-brane en th{\'e}orie des matrices}
De fait, le hamiltonien (\ref{hsuss}) est identique au
hamiltonien de la supermembrane apr{\`e}s remplacement
du crochet de Lie de l'alg{\`e}bre $su(N)$ par le crochet
de Poisson sur l'alg{\`e}bre des fonctions sur 
la surface de la membrane \cite{Banks:1997nn}. Dans le cas d'une membrane
toro{\"\i}{}dale, la correspondance
peut {\^e}tre pr{\'e}cis{\'e}e en associant {\`a} chaque fonction
$X^i(\sigma_1,\sigma_2)$
la matrice de ses coefficients $X^i_{mn}$ sur la base de Fourier
$e^{i(m\sigma_1+n\sigma_2)}$. Le statut des 5-branes est
moins clair {\`a} ce jour \cite{Berkooz:1997is}.

\item ayant ramen{\'e} l'{\'e}tude de la gravit{\'e} quantique {\`a}
onze dimensions {\`a} un probl{\`e}me de m{\'e}canique quantique,
on pourrait pousser le raisonnement plus loin et consid{\'e}rer le
mod{\`e}le de matrice correspondant {\`a} la m{\'e}canique
statistique de $N$ D-instantons de la th{\'e}orie de type IIB,
d{\'e}crite par la r{\'e}duction dimensionnelle {\it totale}
de la th{\'e}orie de Yang-Mills $U(N)$ {\`a} 10 dimensions~:
\begin{equation}
S= \frac{1}{4} \tr \left( [X^i,X^j]^2 + \theta ^t \gamma ^i
  [\theta,X^i] \right)
\end{equation}
o{\`u} l'indice $i$ va maintenant de 0 {\`a} 9. Cette approche
a {\'e}t{\'e} initi{\'e}e par Ishibashi, Kawai, Kitazawa et
Tsuchiya \cite{Ishibashi:1996xs}, et n'a pas re{\c c}u la m{\^e}me attention que
la proposition concurrente. La construction des membranes
mentionn{\'e}e au paragraphe pr{\'e}c{\'e}dent peut cependant
{\^e}tre transpos{\'e}e dans ce formalisme pour obtenir
la corde de type IIB \cite{Fukuma:1997en}. 
Comme nous le verrons dans la section
suivante, la th{\'e}orie des matrices peut {\^e}tre consid{\'e}r{\'e}e
\index{D-instanton!th{\'e}orie des matrices des}
comme une compactification de cette th{\'e}orie des D-instantons.
\end{itemize}

\section{Compactification de la th{\'e}orie des matrices}
\index{compactification!de la th{\'e}orie des matrices}
La th{\'e}orie des matrices pr{\'e}tend d{\'e}crire la M-th{\'e}orie
{\it non compactifi{\'e}e} sur le front de lumi{\`e}re. Dans une
th{\'e}orie contenant des objets {\'e}tendus, la compactification
est une op{\'e}ration non triviale qui peut changer
drastiquement les degr{\'e}s de libert{\'e} pertinents.
La prescription pour la compactification de la th{\'e}orie
des matrices est {\`a} l'heure actuelle incompl{\`e}te~:
elle fournit une formulation acceptable pour les compactifications
sur un tore $T^d$ de dimension $d\le 3$, mais ind{\'e}finie 
en dimension inf{\'e}rieure ou sur des vari{\'e}t{\'e}s courbes.
Elle montre toutefois une extension dramatique des degr{\'e}s
de libert{\'e} {\`a} prendre en compte, puisque la m{\'e}canique
quantique doit c{\'e}der la place {\`a} une authentique th{\'e}orie
des champs en dimension $d+1$.

\subsection{Compactification toro{\"\i}{}dale et th{\'e}ories de jauge}
%Dans la formulation du mod{\`e}le des matrices, l'espace ambiant,
%ou plus exactement le produit tensoriel des espaces vus
%par chaque partons,
%appara{\^\i}{}t comme l'espace des modules de la th{\'e}orie
%de jauge {\`a} 0+1 dimensions
%\footnote{on devrait en r{\'e}alit{\'e} parler de l'espace des
%directions plates quotient{\'e} par le groupe de jauge, puisque
%la brisure de sym{\'e}trie spontan{\'e}e n'existe pas en dimension
%inf{\'e}rieure ou {\'e}gale {\`a} deux.}. Compactifier la th{\'e}orie
%des matrices revient donc {\`a} reconstruire une th{\'e}orie de jauge
%{\`a} partir de son espace des modules. Ce probl{\`e}me peut
%{\^e}tre r{\'e}solu dans le cas des compactifications toro{\"\i}{}dales,

La compactification toro{\"\i}{}dale d'une th{\'e}orie des champs
proc{\`e}de en g{\'e}n{\'e}ral en imposant l'invariance sous la
sym{\'e}trie discr{\`e}te $X^9 \rightarrow X^9 + 2\pi R$. Dans le cas de
la th{\'e}orie des matrices, cette identification doit {\^e}tre
prise {\it {\`a} une transformation de jauge pr{\`e}s}, et on
est donc conduit {\`a} restreindre notre attention aux matrices $X$
telles que 
\begin{equation}
\label{ccomp}
U X^9 U^{-1} = X^9 + 2\pi R \mathbb{I} 
\ ,\quad U X^i U^{-1}=X^i\ ,\quad i=1\dots 8,
\end{equation}
o{\`u} la matrice $U$ est unitaire et
la translation agit sur la coordonn{\'e}e du centre de masse $\Tr X^9$
uniquement. Cette condition n'admet de solution qu'{\`a} $N$ infini,
soit en pr{\'e}sence d'un nombre infini de D0-branes. En choisissant
pour $U$ la permutation $i\rightarrow i+M$, elle traduit le
fait que le groupe de $M$ D0-branes, d{\'e}crit par les matrices
hermitiennes $M\times M$ $(X_0^i,X_0^9)$, est dupliqu{\'e} autour de chaque 
point $(\tr X_0^i,\tr X^9_0 + 2\pi R \Zint)$. 
Les matrices infinies $X$ prennent donc la
forme
\begin{equation}
X^i=
\begin{pmatrix}
\ddots & \ddots  & \ddots  &        &     \\
\ddots & X^i_0    & X^i_1    & X^i_2      &     \\
\ddots & X^i_{-1} & X^i_0    & X^i_1      & \ddots \\
       & X^i_{-2} & X^i_{-1} & X^i_0      & \ddots  \\
       &        & \ddots & \ddots   & \ddots 
\end{pmatrix}\ ,
\qquad
X^9=
\begin{pmatrix}
\ddots & \ddots  & \ddots  &        &     \\
\ddots & X^9_0 -2\pi R & X^9_1    & X^9_2      &     \\
\ddots & X^9_{-1} & X^9_0    & X^9_1      & \ddots \\
       & X^9_{-2} & X^9_{-1} & X^9_0+2\pi R      & \ddots  \\
       &        & \ddots & \ddots   & \ddots 
\end{pmatrix}
\end{equation}
Les blocs {\'e}l{\'e}mentaires $X_{n}^I$ peuvent {\^e}tre commod{\'e}ment
regroup{\'e}s en un seul en introduisant une nouvelle coordonn{\'e}e
compacte $\sigma$ de p{\'e}riode $1/R$, et en d{\'e}finissant
\begin{equation}
X^i(\sigma,\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} X_n^i(\tau) 
e^{2\pi i n R\sigma}\ ,\quad
X^9(\sigma,\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} X_n^9(\tau) 
e^{2\pi i n R\sigma}\ ,\quad
\end{equation}
Les commutateurs des matrices $U(N)$ infinies s'expriment alors
simplement en termes des fonctions  $X(\sigma,\tau)${\`a} valeurs dans
$su(M)$ par
\begin{eqnarray}
\left[X^i,X^j\right] (\sigma) &=& \left[X^i(\sigma),X^j(\sigma)\right] \\
\left[X^9,X^i\right] (\sigma) &=& 
i\partial_\sigma X^i(\sigma) + \left[X^9(\sigma),X^j(\sigma)\right]
\end{eqnarray}
et la trace dans $U(N)$ est simplement remplac{\'e}e par
$\frac{1}{2\pi R} \int d\sigma \tr$. Le mod{\`e}le de 
matrices $U(N)$ {\`a} 0+1 dimensions, dans le secteur
des matrices infinies satisfaisant aux conditions (\ref{ccomp}),
est donc remplac{\'e} par une {\it th{\'e}orie
de jauge supersym{\'e}trique $U(M)$ {\`a} 1+1 dimensions}
\footnote{Par la m{\^e}me construction,
le mod{\`e}le de matrices de BFSS 
appara{\^\i}{}t donc comme la compactification 
du mod{\`e}le des instantons de 
Ishibashi {\it et al.}}
\index{D-instanton!th{\'e}orie des matrices des}
\begin{equation}
\mathcal{L}=\int d\tau~d\sigma \frac{1}{R} \tr \left(
\frac{1}{2L} \nabla_\alpha X^i \nabla ^\alpha X^i
+ 2 \theta^t \gamma ^\alpha\nabla_\alpha\theta -\frac{L}{4} 
\tr \left[X^i,X^j\right]^2
-L \theta ^t\gamma ^i 
\left[\theta,X^i\right] \right)
\end{equation}
o{\`u} la coordonn{\'e}e compacte $X^9$ est interpr{\'e}t{\'e}e comme
la connexion de jauge $A_\sigma$.
Les transformations de jauge $X\rightarrow \Omega X \Omega^{-1}$ 
de la th{\'e}orie initiale, commutant avec la matrice unitaire $U$,
engendrent ainsi les transformations de jauge de la th{\'e}orie
compactifi{\'e}e~:
\begin{eqnarray}
(\Omega X^i \Omega^{-1} ) (\sigma) &=& 
\Omega(\sigma) X^i(\sigma) \Omega^{-1} (\sigma) \\
(\Omega X^9 \Omega^{-1} ) (\sigma) &=& 
\Omega(\sigma) X^i(\sigma) \Omega^{-1} (\sigma) -i 
\Omega(\sigma) \partial_\sigma \Omega ^{-1} (\sigma)
\end{eqnarray}
Cette th{\'e}orie de jauge {\`a} 1+1 dimensions peut {\^e}tre
interpr{\'e}t{\'e}e comme {\it la d{\'e}finition non perturbative de
la th{\'e}orie de type IIA} sur le front de lumi{\`e}re discret
\cite{Banks:1997my,Dijkgraaf:1997vv,Motl:1997th}.
A grande distance, les 8 coordonn{\'e}es matricielles $X^i(\sigma,\tau)$
deviennent en effet simultan{\'e}ment diagonalisables, et d{\'e}crivent 
les positions transverses de $N$ cordes {\'e}l{\'e}mentaires. 
La diagonalisation n'est cependant
pas globalement d{\'e}finie autour de la direction $\sigma$, mais 
seulement {\`a} une permutation des N valeurs propres pr{\`e}s.
Les $N$ cordes {\'e}l{\'e}mentaires s'arrangent alors 
selon les $k$ cycles intervenant dans la permutation
en $k$ cordes de longueur $n_i$, et de moment longitudinal 
$P^+_i=n_i/L$. On retrouve ainsi la formulation de la th{\'e}orie
des cordes perturbatives sur le front de lumi{\`e}re discret,
{\it dans un formalisme de seconde quantification}.
Les interactions sont induites par l'extension de la sym{\'e}trie de
jauge lorsque deux valeurs propres co{\"\i}{}ncident.
La corde h{\'e}t{\'e}rotique non perturbative est quant {\`a} elle 
obtenue par projection $\Zint_2$, et d{\'e}crite par une th{\'e}orie
de jauge $SO(N)$ {\`a} 1+1 dimensions et 8 charges supersym{\'e}triques
\cite{Banks:1997it}

Cette construction peut ais{\'e}ment {\^e}tre r{\'e}p{\'e}t{\'e}e pour
des compactifications sur un tore $T^d$, et conduit,
{\it dans le cas o{\`u} les matrices unitaires de compactification $U_i$ 
commutent},
{\`a} une th{\'e}orie de jauge {\`a} 16 charges supersym{\'e}triques en 
$d+1$ dimensions, d{\'e}finie sur l'espace r{\'e}ciproque du tore de
compactification. Cette th{\'e}orie n'est autre que la
r{\'e}duction dimensionnelle de la th{\'e}orie de Yang-Mills
\index{reduction dim@r{\'e}duction dimensionnelle!de SYM $10D$}
supersym{\'e}trique {\`a} dix dimensions. La simplicit{\'e}
de la th{\'e}orie des matrices dispara{\^\i}{}t donc rapidement
par compactification, et sa signification devient m{\^e}me 
probl{\'e}matique pour $d>3$, puisque la th{\'e}orie de
jauge perd sa libert{\'e} asymptotique et devient ind{\'e}finie {\`a}
courte distance. {\it Si en revanche les matrices $U_i$ ne
commutent pas}, la th{\'e}orie de jauge ordinaire doit {\^e}tre
remplac{\'e}e par une {\it th{\'e}orie de jauge sur le tore
non commutatif} \cite{Connes:1997cr,Connes:1994}. 
\index{geometrie non commutative@g{\'e}om{\'e}trie non commutative}
Le statut de ces th{\'e}ories et leurs propri{\'e}t{\'e}s
sont encore largement m{\'e}connues.

\subsection{Compactification et limite de scaling}
Le sch{\'e}ma de compactification discut{\'e} ci-dessus peut {\^e}tre
compris plus g{\'e}n{\'e}ralement en revenant {\`a} la limite 
de scaling qui nous a conduit au mod{\`e}le de BFSS
\cite{Seiberg:1997ad,Sen:1997we}. 
En identifiant le cercle de genre lumi{\`e}re {\`a} un cercle
spatial infiniment boost{\'e}, on peut obtenir la
quantification sur le front de lumi{\`e}re discret
de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur le tore $T^d$
comme {\it la th{\'e}orie de type IIA compactifi{\'e}e
sur $T^d$ en pr{\'e}sence de $N$ D0-branes.} dans la limite
de scaling
\index{scaling, limite de}
\begin{equation}
g = (R_s M)^{3/4}\ ,\quad
\alpha' = \frac{R_s^{1/2}}{M^{3/2}} \ ,\quad
R_i = r_i \left(\frac{R_s}{M}\right)^{1/2}\ ,\quad 
R_s\rightarrow 0\ ;\ M=\frac{L}{l_{11}^2},~r_i=\frac{R_i}{l_{11}} 
\mbox{~fix{\'e}s}
\end{equation}
o{\`u} les rayons $R_i$ du tore sont gard{\'e}s constants 
{\it en unit{\'e}s de Planck $l_{11}$}. Le tore devient
donc de taille nulle, et il est alors commode d'effectuer 
une T-dualit{\'e} sur toutes les directions de $T^d$~: on obtient
ainsi la th{\'e}orie des cordes de type IIA ($d$ pair)
ou IIB ($d$ impair) en pr{\'e}sence de $N$ D$p$-branes,
de param{\`e}tres
\begin{equation}
\tilde g = \frac{ (R_s M)^{\frac{3-d}{4}} }{\prod r_i}\ ,\quad
\tilde \alpha' = \frac{R_s^{1/2}}{M^{3/2}} \ ,\quad
\tilde R_i = \frac{1}{r_i M} \ ,\quad 
R_s\rightarrow 0\ ;\ M,r_i \mbox{~fix{\'e}s}\ .
\end{equation}
Le tore est maintenant de taille fix{\'e}e, et l'{\'e}chelle des cordes
tend vers $0$, de sorte que les modes massifs se d{\'e}couplent toujours.
\index{decouplage@d{\'e}couplage!de la gravitation des D-branes}
Pour $d\le 2$, la th{\'e}orie de type II reste faiblement coupl{\'e}e,
et la M-th{\'e}orie peut donc {\^e}tre d{\'e}crite par la th{\'e}orie
de Yang-Mills {\`a} 16 charges supersym{\'e}triques
sur le volume d'univers de la D$p$-brane. Le couplage
et les param{\`e}tres g{\'e}om{\'e}triques 
de cette th{\'e}orie de jauge sont donn{\'e}s par
\begin{equation}
\frac{1}{g_{\rm YM}^2}= \frac{\tilde\alpha^{'\frac{3-d}{2}}}{\tilde g}
= M^{d-3} \prod r_i\ ,\qquad
s_i = \tilde R_i = \frac{1}{r_i M}
\end{equation}
et sont donc gard{\'e}s fixes dans la limite de scaling. La M-th{\'e}orie
sur le front de lumi{\`e}re non compact est alors obtenue dans
la limite de r{\'e}solution spectrale infinie $M\sim L\sim
N\rightarrow\infty$, soit
\begin{equation}
g_{\rm YM}^2 N^{d-3} = \mbox{cte}\ ,\quad s_i N =\mbox{cte}\ .
\end{equation}
Le couplage de Yang-Mills {\'e}tant de dimension $d-3$, il est plus
int{\'e}ressant de le ramener {\`a} la taille du tore~:
\begin{equation}
g_{\rm YM}^2 \left(\prod s_i\right)
^{\frac{3-d}{d}} = \left(\prod s_i\right)^\frac{-3}{d}\ ,
\end{equation}
et le couplage sans dimension est donc gard{\'e} 
fixe dans les limites de scaling et de r{\'e}solution spectrale infinie.

Cette description reste correcte dans le cas $d=3$ bien que le couplage
de la th{\'e}orie des cordes soit maintenant fini, 
car les corrections de boucles sont toujours
supprim{\'e}es par la limite $\alpha'\rightarrow 0$. 
On note en particulier que la limite $N\rightarrow\infty$
est diff{\'e}rente de la limite de grand $N$ de 't Hooft 
\index{tHooft@'t Hooft, limite de}
couramment consid{\'e}r{\'e}e
dans les th{\'e}ories de jauge {\`a} 4 dimensions \cite{'tHooft:1974jz}.
Pour $d=4$ cependant, la th{\'e}orie de type IIA devient fortement
coupl{\'e}e et g{\'e}n{\`e}re une nouvelle <<onzi{\`e}me dimension>> 
\footnote{{\`a} ne pas confondre avec la dimension d{\'e}finissant le
front de lumi{\`e}re discret.}, de rayon et d'{\'e}chelle de Planck
\begin{equation}
\tilde R= \tilde g \sqrt{\tilde\alpha'}= \frac{1}{M\prod r_i}\ ,\quad
\tilde l_{11} = \tilde g^{1/3} \sqrt{\tilde\alpha'} = R_s^{1/6} M^{-5/6} 
\prod r^{-1/3}_i\ . 
\end{equation}
Les $N$ D4-branes de la th{\'e}orie de type IIA correspondent maintenant {\`a} 
$N$ 5-branes enroul{\'e}es sur la direction de rayon $\tilde R$.
La masse de Planck $1/\tilde l_{11}$ divergeant dans la 
limite de scaling, la gravitation se d{\'e}couple des degr{\'e}s de
libert{\'e} sur le volume d'univers de la 5-brane, et 
la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^4$ peut donc {\^e}tre d{\'e}crite
sur le front de lumi{\`e}re discret par {\it la th{\'e}orie de
volume d'univers de $N$ 5-branes}
\index{cinq-brane!de Neveu-Schwarz}
\cite{Berkooz:1997cq}. Cette th{\'e}orie est malheureusement
trop mal connue {\`a} l'heure actuelle pour fournir une d{\'e}finition 
utilisable de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^4$.

Dans le cas $d=5$, le fort couplage de la th{\'e}orie de type IIB
invite {\`a} effectuer une transformation de S-dualit{\'e}~; les $N$
D5-branes deviennent alors $N$ NS5-branes de la th{\'e}orie de
type IIB de param{\`e}tres
\begin{equation}
\hat g= \frac{1}{\tilde g} =  (R_s M)^{1/2} \prod r_i\ ,\quad
\hat\alpha'= \tilde g \tilde \alpha' =\frac{\prod r_i}{M^2} \ ,\quad
\hat R_i = \tilde R_i\ .
\end{equation}
Dans la limite de scaling, les modes se propageant dans l'espace-temps
ambiant peuvent encore {\^e}tre d{\'e}coupl{\'e}s des modes localis{\'e}s
sur les NS5-branes, laissant une th{\'e}orie des cordes
de tension finie $1/\hat\alpha'$ se propageant sur la NS5-brane.
L'existence de cette th{\'e}orie des cordes non critiques est
hautement conjecturale, et ne permet pas de donner une 
d{\'e}finition effective de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e
sur $T^5$. La situation est encore plus s{\'e}rieuse
dans le cas de la compactification sur $T^6$, o{\`u} le
rayon de la onzi{\`e}me dimension g{\'e}n{\'e}r{\'e}e {\`a} fort couplage
diverge et o{\`u} l'{\'e}chelle de Planck reste finie dans la
limite de scaling.

A d{\'e}faut de fournir une d{\'e}finition non perturbative
de la M-th{\'e}orie, ces descriptions
justifient au moins heuristiquement les groupes
de U-dualit{\'e} observ{\'e}s dans les compactifications
\index{U-dualit{\'e}!et th{\'e}orie des matrices}
de la M-th{\'e}orie sur $T^4$ et $T^5$~: le groupe
$E_4(\Zint)=Sl(5,\Zint)$ peut {\^e}tre interpr{\'e}t{\'e} comme
le groupe modulaire du volume d'univers $T^5$ de la
5-brane dans le cas $d=4$, tandis que le groupe
$E_5(\Zint)=SO(5,5,\Zint)$ appara{\^\i}{}t comme le
groupe de T-dualit{\'e} de la th{\'e}orie des cordes 
hypoth{\'e}tique se propageant dans le volume d'univers des NS5-branes de la 
th{\'e}orie de type IIB pour $d=5$. Dans le paragraphe suivant,
nous obtiendrons une meilleure compr{\'e}hension de ces
sym{\'e}tries de U-dualit{\'e} en les traduisant dans le langage
des th{\'e}ories de jauge.

\subsection{Dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique et U-dualit{\'e}}
La prescription de BFSS pour la d{\'e}finition de la M-th{\'e}orie
demeure donc pour l'heure s{\'e}rieusement incompl{\`e}te, et
pour les compactifications sur des vari{\'e}t{\'e}s de dimension
$d>3$, se heurte {\`a} la difficult{\'e} d'{\'e}tendre dans l'ultraviolet
les th{\'e}ories de jauge en dimension $d+1$. Certaines propri{\'e}t{\'e}s
de cette extension peuvent cependant {\^e}tre fix{\'e}es en traduisant
les contraintes de la U-dualit{\'e} de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e
toro{\"\i}{}dalement en termes de cette th{\'e}orie de jauge. Cette approche
\index{U-dualit{\'e}!et th{\'e}orie des matrices}
\index{U-dualit{\'e}!de type II sur $T^d$}
a {\'e}t{\'e} suivie par Elitzur, Giveon, Kutasov et Rabinovici 
et prolong{\'e}e en collaboration avec Obers et Rabinovici,
dans le travail pr{\'e}sent{\'e} en appendice \ref{mu}
\cite{Elitzur:1997zn,Obers:1997kk}.

Le groupe de U-dualit{\'e} de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^{d}$
est engendr{\'e} par deux sous-groupes discrets~: le {\it groupe modulaire}
$Sl(d,\Zint)$ du tore de compactification, et le {\it groupe
de T-dualit{\'e}} $SO(d-1,d-1,\Zint)$. L'action du premier est manifeste
\index{T-dualit{\'e}!sur un tore $T^d$}
dans la th{\'e}orie de jauge d{\'e}crivant la M-th{\'e}orie sur le
front de lumi{\`e}re discret, et s'identifie au groupe
modulaire du tore r{\'e}ciproque sur lequel se propage la th{\'e}orie
de jauge. Si on se restreint pour simplicit{\'e} aux tores
rectangulaires en l'absence de champ de fond pour le tenseur
de jauge $C_{\mu\nu\rho}$\footnote{L'extension de
ce formalisme aux compactifications toro{\"\i}{}dales g{\'e}n{\'e}rales
fait l'objet de l'article en appendice \ref{mu}.}, ce groupe 
modulaire se restreint au 
{\it groupe de permutations}
\begin{equation}
\label{uperm}
S_{ij}\ :\  R_i \leftrightarrow R_j
\end{equation}des $d$ rayons,
qui n'est autre que le {\it groupe de Weyl} de $Sl(d,\Zint)$.
\index{Weyl, groupe de Weyl de la U-dualit{\'e}}
\index{groupe!de Weyl de la U-dualit{\'e}}

L'action du second peut {\^e}tre d{\'e}termin{\'e}e en choisissant
une dimension $k$ parmi les $d$ dimensions du tore
(not{\'e}e 11 dans les chapitres pr{\'e}c{\'e}dents), et en
identifiant la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^{d}$ {\`a} la
th{\'e}orie de type IIA compactifi{\'e}e sur $T^{d-1}$, de
couplage et d'{\'e}chelle des cordes
\begin{equation}
g=\left(\frac{R_k}{l_{11}}\right)^{3/2}\ ,\quad
\alpha'=\frac{l_{11}^3}{R_k}\ .
\end{equation}
L'inversion simultan{\'e}e de deux rayons $(R_i,R_j,g) \rightarrow
(\alpha'/R_j,\alpha'/R_i,g\ \alpha'/R_i R_j)$ s'{\'e}crit alors,
en termes des variables de la M-th{\'e}orie
\footnote{$l_{11}$ peut {\^e}tre rendue invariante par un changement
d'{\'e}chelle, mais les transformations des rayons $R_{i,j,k}$ seraient
alors moins {\'e}l{\'e}gantes.}
\begin{equation}
T_{ijk}\ :\quad
R_i \rightarrow \frac{l_{11}^3}{R_j R_k}\ ,\quad
R_j \rightarrow \frac{l_{11}^3}{R_i R_k}\ ,\quad
R_k \rightarrow \frac{l_{11}^3}{R_i R_j}\ ,\quad
l_{11}^3 \rightarrow \frac{l_{11}^6}{R_i R_j R_k}\ .
\end{equation}
La transformation de T-dualit{\'e} $T_{ijk}$ est donc
\index{T-dualit{\'e}!en M-th{\'e}orie}
invariante sous les permutations des trois rayons $R_{i,j,k}$,
qui apparaissent ainsi sur un pied d'{\'e}galit{\'e} du point de vue
de la M-th{\'e}orie. Elle laisse en particulier invariante
l'{\'e}chelle de Planck {\`a} $11-d$ dimensions
$\prod R_i /l_{11}^9$. En termes des param{\`e}tres de
\index{Planck, {\'e}chelle de}
la th{\'e}orie de jauge, la transformation $T_{ijk}$ s'{\'e}crit
\begin{equation}
\label{ymdual}
S_{ijk}\ :\ 
\begin{cases}
g_{\rm YM}^2 & \rightarrow \frac{g_{\rm YM}^{2(2-4)}}{W^{d-5}}\ ,
\quad W=\prod_{a\ne i,j,k} s_a \\
s_\alpha & \rightarrow s_\alpha\ ,\quad \alpha=i,j,k \\
s_a & \rightarrow \frac{g_{\rm YM}^2}{W} s_a\ ,\quad a\ne i,j,k\ .
\end{cases}
\end{equation}
Dans le cas de la compactification sur $T^3$, cette transformation
se r{\'e}duit {\`a} la {\it sym{\'e}trie de dualit{\'e} {\'e}lectrique-
magn{\'e}tique} $g^2 \rightarrow 1/g^2$ de la th{\'e}orie de jauge
\index{dualit{\'e}!{\'e}lectrique-magn{\'e}tique}
$N=4$ {\`a} 3+1 dimensions \cite{Susskind:1996uh,Fischler:1997kp}. 
Pour $d> 3$, la transformation (\ref{ymdual}) peut encore
s'interpr{\'e}ter comme S-dualit{\'e} en interpr{\'e}tant le
tore $T^{d}$ comme {\it fibration} de tores $T^3$~:
la th{\'e}orie de jauge sur $T^{d}$ peut alors {\^e}tre r{\'e}duite
en une th{\'e}orie de Yang-Mills sur le 3-tore g{\'e}n{\'e}r{\'e} par
les directions $i,j,k$, de couplage
\begin{equation}
\frac{1}{g_{\rm eff}^2}=\frac{W}{g_{\rm YM}^2}
\end{equation}
La transformation (\ref{ymdual}) correspond alors simplement {\`a} la
S-dualit{\'e} $(g^2_{\rm eff},s_\alpha,s_a)\rightarrow (1/g^2_{\rm eff},s_\alpha,
g_{\rm eff}^2 s_a)$ dans la th{\'e}orie de Yang-Mills sur $T^3$.
Comme l'ont montr{\'e} Elitzur {\it et al}, le groupe g{\'e}n{\'e}r{\'e} par
les transformations $S_{ij}$ et $S_{ijk}$ n'est autre que
{\it le groupe de Weyl} $\mathcal{W}(E_{d})$ 
\index{Weyl, groupe de Weyl de la U-dualit{\'e}}
du groupe de U-dualit{\'e} $E_{d}$.
Les g{\'e}n{\'e}rateurs manquants de $E_{d}(\Zint)$, que nous 
appellerons {\it g{\'e}n{\'e}rateurs de Borel}, 
\index{Borel, g{\'e}n{\'e}rateur de}
correspondent aux transformations
modulaires $\gamma_i\rightarrow\gamma_i+\gamma_j$ du tore
$T^{d}$, ainsi qu'aux transformations de T-dualit{\'e}
$\mathcal{C}_{ijk}\rightarrow \mathcal{C}_{ijk}+1$~;
ces derni{\`e}res {\'e}tendent en particulier la transformation $S_{ijk}$
au groupe de S-dualit{\'e} $Sl(2,\Zint)$ de la th{\'e}orie de Yang-Mills
sur la fibre $T^3$.
Pour observer l'invariance sous le groupe de U-dualit{\'e}
total, il est donc n{\'e}cessaire d'autoriser les compactifications sur
des tores de m{\'e}trique non rectangulaire
en pr{\'e}sence de champ de fond pour le tenseur $\mathcal{C}_{\mu\nu\rho}$.

\subsection{Etats BPS et multiplets de U-dualit{\'e}}
Ayant d{\'e}crit comment le groupe de U-dualit{\'e} {\'e}mergeait
du point de vue de la th{\'e}orie de jauge d{\'e}crivant la
M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur le front de lumi{\`e}re
discret, il nous reste encore {\`a} comprendre comment le
spectre BPS s'organise en repr{\'e}sentations
de ce groupe. Etant donn{\'e} les incertitudes de la
d{\'e}finition de la M-th{\'e}orie, on ne peut en l'{\'e}tat 
actuel d{\'e}river ce spectre~; l'existence de certains
{\'e}tats est cependant requise, et donc {\'e}galement
celle de leurs images sous la U-dualit{\'e}.
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS!en th{\'e}orie des matrices}

Ainsi, la M-th{\'e}orie devant inclure le supergraviton de masse nulle dans
son spectre, elle doit apr{\`e}s compactification contenir
les {\'e}tats de Kaluza-Klein de masse $\mathcal{M}=1/R_i$ et de moment 
\index{Kaluza-Klein!excitation de}
$P^+=N/L$. Ceux-ci correspondent {\`a} des {\'e}tats d'{\'e}nergie
\begin{equation}
\label{f0}
P^- = \frac{\mathcal{M}^2}{P^+} = \frac{L}{N R^2_i} = 
\frac{g_{\rm YM}^2 s^2_i}{N V_s}
\end{equation}
et s'identifient donc dans la th{\'e}orie de jauge {\`a} l'{\'e}tat portant
un flux {\'e}lectrique dans la direction $i$. Par dualit{\'e}
\index{flux {\'e}lectrique}
\index{flux, multiplet de}
$S_{ijk}$, cet {\'e}tat donne naissance {\`a} un {\it multiplet de flux},
d'{\'e}nergies et de masses\footnote{Les indices $i,j,\dots$ sont
distincts, except{\'e}s lorsqu'ils sont s{\'e}par{\'e}s par un point-virgule.}
\begin{align}
\label{f1}
P^- = \frac{V_s}{Ng_{\rm YM}^2 (s_i s_j)^2} &\rightarrow 
\mathcal{M}= \frac{R_i R_j}{l_{11}^3} \\
\label{f2}
P^- = \frac{V_s^3}{N g_{\rm YM}^6(s_i s_j s_k s_l s_m)^2}&\rightarrow 
\mathcal{M}= \frac{R_i R_j R_k R_l R_m}{l_{11}^6} \\
\label{f3}
P^- = \frac{V_s^5}{N g_{\rm YM}^{10}(s_i; s_j s_k s_l s_m s_n s_p s_q)^2}&\rightarrow 
\mathcal{M}= \frac{R_i; R_j R_k R_l R_m R_n R_p R_q }{l_{11}^9}
\end{align}
o{\`u} l'on s'est restreint aux {\'e}tats apparaissant pour $d\le 7$.
$V_s=\prod s_i$ d{\'e}signe le volume du tore dual.
L'{\'e}tat (\ref{f1}) n'est autre que le flux magn{\'e}tique selon les
directions $i$ et $j$, et d{\'e}crit la membrane de la M-th{\'e}orie 
enroul{\'e}e sur un deux-cycle du tore $T^d$.
L'{\'e}tat (\ref{f2}) appara{\^\i}{}t pour $d\ge 5$, et,
comme le montre sa masse, correspond {\`a} la
5-brane de la M-th{\'e}orie enroul{\'e}e sur un 5-cycle du tore~;
son {\'e}nergie en $1/g_{\rm YM}^6$ ne permet cependant de l'identifier
{\`a} aucun {\'e}tat connu de la th{\'e}orie de Yang-Mills ordinaire.
Le troisi{\`e}me {\'e}tat, apparaissant pour $d\ge 7$, correspond quant {\`a}
lui au monop{\^o}le magn{\'e}tique de Kaluza-Klein~: lorsque $i=j$,
\index{Kaluza-Klein!monop{\^o}le de}
il pr{\'e}sente une masse en $(R_i)^2/l_{11}^9$ caract{\'e}ristique
d'un monop{\^o}le charg{\'e} magn{\'e}tiquement sous le champ de
Kaluza-Klein $g_{i\mu}$. Si on choisit la onzi{\`e}me direction 
orthogonalement aux indices $i$ {\`a} $q$, on obtient un {\'e}tat
de masse $\mathcal{M}\sim 1/g^3$ myst{\'e}rieux du point de la th{\'e}orie
des cordes.  Comme l'ont remarqu{\'e} Blau et O'Loughlin
\cite{Blau:1997du}, ceci revient {\`a} consid{\'e}rer 
un {\it r{\'e}seau de monop{\^o}les Taub-NUT}
\index{Taub-NUT, instanton de}
dans la direction $s$, dont la m{\'e}trique est donn{\'e}e pr{\'e}cis{\'e}ment
par l'espace de Ooguri et Vafa ({\'e}quation \ref{vof} page
\pageref{vof}) apparu dans l'{\'e}tude de 
la singularit{\'e} de conifold dans l'espace des hypermultiplets.
\index{singularit{\'e}!de conifold}
La divergence logarithmique pour $|z|\rightarrow\infty$ implique
que cet espace n'est pas asymptotiquement plat, et ne d{\'e}crit donc
pas un soliton au sens propre. De mani{\`e}re g{\'e}n{\'e}rale, une
d{\'e}pendance en $1/g^n$ de la <<masse>> implique  un champ
gravitationnel en $g^{2-n}$, et le traitement {\`a} faible couplage
n'est justifi{\'e} que pour $n\le 2$ \cite{Elitzur:1997zn}.
L'existence de ces {\'e}tats ne pr{\'e}sente cependant pas d'obstruction 
de principe au niveau de la M-th{\'e}orie\footnote{Un {\'e}tat singulier
du point de vue de la th{\'e}orie des cordes appara{\^\i}{}t donc
r{\'e}gulier dans la M-th{\'e}orie, de mani{\`e}re tr{\'e}s analogue au cas
du monop{\^o}le $U(1)$ de Kaluza-Klein construit par Sorkin dans le
cas de la r{\'e}duction de 5 {\`a} 4 dimensions, qui  appara{\^\i}{}t 
singulier en dimension 4 mais r{\'e}gulier lorsqu'interpr{\'e}t{\'e} dans
les variables appropri{\'e}es {\`a} la dimension 5\cite{Sorkin:1983ns}.}, 
et semble requise par la 
U-dualit{\'e}~;
on note en particulier qu'elle ne pr{\'e}serve pas la structure
asymptotique de l'espace-temps \cite{Sfetsos:1997xs}. 
Notons
finalement que pour $d\ge 8$, de nouveaux {\'e}tats apparaissent,
de masse en $R^3_i/l_{11}^{18}$ qui n'admettent
pas m{\^e}me l'interpr{\'e}tation heuristique que nous avons donn{\'e}e
ici. 

Comme nous l'avons vu dans la section (\ref{lcst}), la quantification
sur le front de lumi{\`e}re discret de la th{\'e}orie des cordes
introduit des {\'e}tats enroul{\'e}s sur le cercle compact de genre
lumi{\`e}re. Dans la M-th{\'e}orie, ils correspondent donc {\`a} des
membranes enroul{\'e}es selon le cercle de genre lumi{\`e}re et
un cercle $i$ du tore de compactification, de masse 
$\mathcal{M}=R_i L/l_{11}^3$. 
Ces {\'e}tats correspondent donc dans la th{\'e}orie de jauge
{\`a} des excitations d'{\'e}nergie
\begin{equation}
\label{m0}
P^- = \mathcal{M}= \frac{L R_i}{l_{11}^3} = \frac{1}{s_i}
\end{equation}
qui peuvent donc {\^e}tre identifi{\'e}s aux excitations de Kaluza-Klein
de la th{\'e}orie de jauge sur le tore $T^d$. Sous la U-dualit{\'e}
$S_{ijk}$, ces {\'e}tats donnent naissance au multiplet
dit {\it de moment}~:
\index{moment, multiplet de}
\begin{align}
\label{m1}
P^- = \frac{V_s}{g^2 s_i s_j s_k s_l} &\rightarrow 
\mathcal{M}= \frac{L R_i R_j R_k R_l }{l_{11}^6} \\
\label{m2}
P^- = \frac{V_s^2}{g^4 s_i; s_j s_k s_l s_m s_n s_p}&\rightarrow 
\mathcal{M}= \frac{L R_i; R_j R_k R_l R_m R_n R_p}{l_{11}^9} 
\end{align}
o{\`u} l'on s'est cette fois restreint aux {\'e}tats apparaissant en
dimension $d\le 6$. L'{\'e}tat (\ref{m1}) s'interpr{\`e}te comme
la 5-brane de la M-th{\'e}orie enroul{\'e}e sur le cercle de
genre lumi{\`e}re et sur un 4-cycle du tore $T^d$~; en termes
de la th{\'e}orie de jauge, il peut {\^e}tre identifi{\'e} 
{\`a} un instanton de la th{\'e}orie de Yang-Mills en dimension 3+1,
\index{instanton!des th{\'e}ories de jauge}
<<relev{\'e}>> en dimension d+1. L'{\'e}tat (\ref{m2}) correspond quant {\`a}
lui aux monop{\^o}les de Kaluza-Klein.

Nous avons d{\'e}crit jusqu'{\`a} pr{\'e}sent l'orbite des {\'e}tats
de flux et de moment sous le groupe de Weyl $\mathcal{W}(E_{d})$,
et donn{\'e} leur masse pour des compactifications de la M-th{\'e}orie
sur un tore rectangulaire en l'absence de champ de fond 
$\mathcal{C}_{\mu\nu\rho}$. Comme nous l'avons montr{\'e} dans
le travail en appendice \ref{mu}, les g{\'e}n{\'e}rateurs
de Borel $\gamma_i \rightarrow \gamma_i+\gamma_j$ et
$\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C}_{ijk}+1$ g{\'e}n{\`e}rent cependant
\index{flot spectral!en M-th{\'e}orie}
un {\it flot spectral} imposant de prendre en compte les
{\it superpositions arbitraires} des {\'e}tats {\'e}l{\'e}mentaires
pr{\'e}c{\'e}dents. Les {\'e}tats du multiplet de flux peuvent ainsi
{\^e}tre d{\'e}crit par un ensemble de {\it charges enti{\`e}res}
$m_I,m^{IJ},m^{IJKLM},m^{I;JKLMNPQ},\dots$, totalement
antisym{\'e}triques correspondant aux {\'e}tats (\ref{f0},\ref{f1},
\ref{f2},\ref{f3}) respectivement. La formule de masse
d'une telle combinaison d'{\'e}tats, {\it invariante sous
le groupe de U-dualit{\'e} total $E_d(\Zint)$}, a {\'e}t{\'e}
obtenue dans la r{\'e}f{\'e}rence \cite{Obers:1997kk} 
(annexe \ref{mu}) par analyse des
transformations de ces charges sous la T-dualit{\'e}.
Les {\'e}tats (\ref{m0},\ref{m1},\ref{m2}) peuvent pareillement
{\^e}tre d{\'e}crits en termes de charges enti{\`e}res
$m^I,m^{IJKL},m^{I~;JKLMNP}$.


\subsection{Invariance de Lorentz et dualit{\'e} de Nahm}
Les multiplets de flux et de moment {\'e}puisent donc l'ensemble des
{\'e}tats 1/2-BPS attendus de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^d$,
tout en fournissant une vari{\'e}t{\'e} d'{\'e}tats plus exotiques
\index{Lorentz, invariance {\`a} 11D}
que l'extension microscopique de la th{\'e}orie de jauge sur $T^d$
se doit de reproduire. Ensemble, ces {\'e}tats forment deux repr{\'e}sentations
du groupe de U-dualit{\'e}, r{\'e}sum{\'e}es dans la table suivante, dont les
deux derni{\`e}res lignes deviendront claires incessamment~:
\begin{equation*}
\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\multicolumn{2}{|c||}{d} &  1  & 2 & 3      & 4 & 5 & 6   & 7 & 8 \\ \hline
\hline  
\multicolumn{2}{|c||}{E_d(\Zint) } &   
 1  & Sl(2)  & Sl(3) \times Sl(2)   & 
Sl(5) & SO(5,5) &   E_6    & E_7  & E_8   \\ 
\hline  
{\rm Flux}   & \{m\}   & 1 & 3 & (3,2)  &10 &16 &27   &56 &248\\
{\rm Moment} & \{n\} & 1  & 2 & (3,1)  &5  &10 &27   &133&3875\\
\hline
{\rm Rang}   &  \{ N \}  & 1 &  1 & 1      & 1 & 1 & 1+1 &56+1+1+1&\infty \\
\hline
{\rm Total}  & \{ M\}   & 3 & 6 & 10     &16 &27 &56   &248&\infty\\
\hline
\end{array}
\end{equation*}
On a ainsi v{\'e}rifi{\'e} l'invariance du spectre (convenablement
{\'e}tendu) sous le groupe de U-dualit{\'e}. L'invariance de Lorentz
{\`a} onze dimensions de la th{\'e}orie des matrices impose cependant
l'existence d'une sym{\'e}trie suppl{\'e}mentaire dans le spectre~:
la quantification {\it sur le front de lumi{\`e}re discret}
de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^d$ peut en effet {\^e}tre
consid{\'e}r{\'e}e comme une compactification {\`a} part enti{\`e}re
de la M-th{\'e}orie sur $T^{d+1}$, et il doit donc exister
{\it une action du groupe de U-dualit{\'e} {\'e}tendu $E_{d+1}(\Zint)$
sur le spectre}\cite{Hacquebord:1997nq}. 
\index{U-dualit{\'e}!sur le front de lumi{\`e}re}
Le g{\'e}n{\'e}rateur de Weyl manquant correspond
naturellement {\`a} l'{\'e}change $R_i \leftrightarrow L$
d'une direction spatiale avec le cercle de genre lumi{\`e}re~;
il {\'e}change donc les {\'e}tats du multiplet de flux
(\ref{f1},\ref{f2}) avec ceux du multiplet de moment 
(\ref{m0},\ref{m1}). Comme on le montre dans l'appendice \ref{mu}
et le repr{\'e}sente dans les deux derni{\`e}res lignes de la
table ci-dessus,
les multiplets de flux et de moment d{\'e}crivant les {\'e}tats
1/2-BPS de la M-th{\'e}orie compactifi{\'e}e sur $T^d$ peuvent
{\^e}tre assembl{\'e}s en un {\it multiplet de flux} du
groupe {\'e}tendu $E_{d+1}(\Zint)$, {\it moyennant l'introduction
d'une charge suppl{\'e}mentaire}
\footnote{trois charges dans le cas $d=7$, et une infinit{\'e} dans
le cas $d=8$.} $N$ qui n'est autre que le moment
selon la direction compacte du front de lumi{\`e}re
\footnote{des conclusions identiques ont {\'e}t{\'e} atteintes
par \cite{Blau:1997du,Hull:1997kb}.}. $N$ repr{\'e}sentant
{\'e}galement le rang de la th{\'e}orie de jauge d{\'e}crivant la
th{\'e}orie des matrices compactifi{\'e}e, cette extension suppose
donc l'existence de sym{\'e}trie {\it m{\'e}langeant le rang $N$ 
et les charges {\'e}lectriques et magn{\'e}tiques}. Cette sym{\'e}trie
rappelle fortement la sym{\'e}trie {\it classique} de Nahm \cite{Nahm:1982}
\index{dualit{\'e}!de Nahm}
{\'e}changeant le rang et le flux {\'e}lectrique dans les th{\'e}ories
de jauge {\`a} deux dimensions sur $T^2$.
La mise en {\'e}vidence des g{\'e}n{\'e}rateurs de Borel suppl{\'e}mentaires
requiert l'{\'e}tude de la compactification sur le front de lumi{\`e}re
discret en pr{\'e}sence de lignes de Wilson pour le champ de jauge
de Kaluza-Klein et de champs de fond pour le tenseur de jauge
$\mathcal{C}_{\pm IJ}$, qui semble n{\'e}cessiter une description dans le cadre
de la g{\'e}om{\'e}trie non commutative \cite{Connes:1997cr,Douglas:1997fm}.
\index{geometrie non commutative@g{\'e}om{\'e}trie non commutative}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% Tex-master: "these"
%%% TeX-master: "these"
%%% End: 




\topmargin=0in
\enlargethispage{3cm}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-2cm}
\centerline{\scshape 
\large Centre de Physique Th{\'e}orique -- {\'E}cole Polytechnique}
\vskip 1.5cm
\centerline{\Large \bfseries TH{\`E}SE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSIT{\'E} PARIS VI}
\vskip .8cm
\centerline{\large Sp{\'e}cialit{\'e} : \bfseries\scshape PHYSIQUE TH{\'E}ORIQUE}
\vskip .5cm
\centerline{ \mbox{\epsfysize 3cm \epsffile{Upmc.eps}} }
\vskip 1.2cm
\centerline{pr{\'e}sent{\'e}e par}
\vskip .6cm
\centerline{\Large \bf Boris PIOLINE}
\vskip 1cm
\centerline{pour obtenir le grade de}
\vskip .6cm
\centerline{\Large \bf Docteur de l'Universit{\'e} Paris VI}
\vskip 1.5cm
\centerline{Sujet :}
\vskip 1cm
\centerline{\LARGE \bfseries \itshape Aspects non perturbatifs}
\vskip .3cm
\centerline{\LARGE \bfseries \itshape de la th{\'e}orie des supercordes}
\vskip 3cm
\noindent
Soutenue le 21 avril 1998 devant le jury compos{\'e} de~:
\vskip 1cm
\begin{tabular}{cll}
MM. & Luis {\'A}lvarez-Gaum{\'e},& rapporteur,\\
    & Ignatios Antoniadis,& directeur de th{\`e}se, \\
    & Jean-Loup Gervais, &\\
    & Costas Kounnas, & rapporteur,\\
    & Eliezer Rabinovici, &\\
    & Paul Windey, &pr{\'e}sident du jury,\\
\&  & Jean-Bernard Zuber.\\ %,& pr{\'e}sident.\\
\end{tabular}
\topmargin=2cm
\clearemptydoublepage

\thispagestyle{empty}
\vspace*{\stretch{1}}
\begin{flushright} {\scshape {\`A} mon fr{\`e}re et mes parents.}
\end{flushright}
\vspace*{\stretch{2}}
\clearemptydoublepage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3} \normalsize
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\thispagestyle{empty}
\enlargethispage{5mm}
\centerline{\large \itshape Remerciements}
\vskip 1cm
Mon travail de th{\`e}se s'est d{\'e}roul{\'e} au Centre de Physique 
Th{\'e}orique de l'{\'E}cole Polytechnique du mois de septembre 1995 au
mois d'avril 1998~; je remercie sinc{\`e}rement 
les directeurs successifs Guy Laval et 
Marie-No{\"e}lle Bussac de m'avoir admis au sein 
de ce laboratoire, et ainsi 
permis de travailler dans un cadre scientifique exceptionnel.
Ignatios Antoniadis et Constantin Bachas ont bien voulu m'int{\'e}grer
dans leur {\'e}quipe de <<cordistes>> et je leur suis profond{\'e}ment
reconnaissant de m'avoir initi{\'e} {\`a} un domaine de recherche
d'un abord difficile mais r{\'e}ellement passionnant.  
Ignatios a dirig{\'e} mes recherches doctorales 
vers des directions fructueuses avec une grande
patience, gentillesse et disponibilit{\'e}~; non content de r{\'e}pondre {\`a}
mes interrogations purement scientifiques, il a su me communiquer sa
passion et sa pugnacit{\'e} tout en me laissant ma{\^\i}tre de d{\'e}terminer
l'orientation de mes recherches~; je tiens {\`a} lui exprimer ma plus
grande gratitude. Edouard Br{\'e}zin et Jean Iliopoulos m'ont 
fait go{\^u}ter aux d{\'e}lices de la th{\'e}orie quantique des champs, et 
ma vie en a {\'e}t{\'e} chang{\'e}e. Bient{\^o}t relay{\'e} par Paul Windey,
Costas Kounnas m'a le premier parl{\'e} avec la faconde qui le caract{\'e}rise
d'<<une th{\'e}orie of everything>>
qui m'a sembl{\'e} bien attirante~; je lui dois,
ainsi qu'{\`a} Jean Iliopoulos et Gabriele Veneziano, d'avoir pu
effectuer mon service national de la coop{\'e}ration {\`a} la division
th{\'e}orie du CERN, o{\`u} pendant seize mois, moyennant une modeste
assistance informatique aux membres de la division, j'ai pu interagir
avec d'illustres physiciens et faire progresser consid{\'e}rablement
mes recherches. Je leur en suis tr{\`e}s reconnaissant.

Luis {\'A}lvarez-Gaum{\'e} et Costas Kounnas ont accept{\'e} la 
lourde t{\^a}che d'{\^e}tre les rapporteurs de cette th{\`e}se
de poids cons{\'e}quent, je les en remercie chaleureusement.
Jean-Loup Gervais, Eliezer Rabinovici, Paul Windey
et Jean-Bernard Zuber ont accept{\'e} de participer au jury,
et c'est un honneur dont je leur suis tr{\`e}s reconnaissant.
Je remercie particuli\`erement Paul Windey pour avoir
accept\'e de prendre la pr\'esidence du jury, et
Jean-Bernard Zuber pour ses num\'ereuses et pr\'ecieuses remarques
stylistiques.

Costas Kounnas et Elias Kiritsis, aux enthousiasmes
batailleurs, m'ont permis d'entrer dans le jeu de la recherche 
en th{\'e}orie des cordes, par les s{\'e}ances initiatiques qu'ils
ont organis{\'e}es au CERN, et au cours de collaborations enflamm{\'e}es
(car il n'y a pas de fum{\'e}e sans feu) avec Andrea Gregori, 
Niels Obers et Marios Petropoulos~; Tom Taylor m'a aid{\'e} {\`a} 
contrer les vell{\'e}it{\'e}s somnambulatoires d'Ignatios au cours
de longues veill{\'e}es de travail~;
Niels Obers a conjugu{\'e} ses
efforts aux miens contre vents et mar{\'e}es alg{\'e}briques,
et avec Kristin F{\"o}rger m'a aid{\'e} {\`a} corriger les nombreuses
coquilles se cachant dans ce manuscrit~; Eliezer
Rabinovici a accept{\'e} de sacrifier sa vie conjugale aux exigences
de la M-th{\'e}orie~: qu'ils re{\c c}oivent tous l'expression de ma
gratitude et mon amiti{\'e}. 

La vie du laboratoire se partage souvent entre personnel scientifique
et personnel technique. Au cours de ma th{\`e}se j'ai pu faire
l'exp{\'e}rience inverse gr{\^a}ce au soutien et {\`a} l'amiti{\'e} 
des membres du secr{\'e}tariat de la division th{\'e}orie du CERN, 
Nanie, Suzy, Marie-No{\"e}lle et Jeanne, et d'Elena, ma coll{\`e}gue
informaticienne. Je remercie {\'e}galement Fran{\c c}oise Andalo
et Brigitte Oisline pour leur grande gentillesse et efficacit{\'e},
et Jean-Luc Bellon pour ses multiples conseils informatiques.

L'exp{\'e}rience de la th{\`e}se comporte
des p{\'e}riodes fastes et des p{\'e}riodes creuses~: les premi{\`e}res
ne compenseraient les secondes sans le soutien de 
mes corr{\'e}ligionnaires et concurrents Herv{\'e} Partouche et
Pierre Vanhove, des autres th{\'e}sards et post-docs du laboratoire, de mes
coll{\`e}gues et amis du CERN, {\'E}ric, Philippe, Niels, 
Emilian, Christophe et Christoph, et de quelques
co-coop{\'e}rants avec qui nous arpentions d'autres sommets.
Je remercie aussi chaleureusement mes amis
pour m'avoir conserv{\'e} leur amiti{\'e} pendant ces trois 
ann{\'e}es d'{\'e}loignement~; tenant {\`a} les garder, je pr{\'e}serverai
leur anonymat. Finalement, c'est {\`a} mes parents et
mon fr{\`e}re que je d{\'e}die ce m{\'e}moire, pour leur soutien et
leur compr{\'e}hension.

\clearpage
\thispagestyle{empty}
\vspace*{\stretch{1}}
\centerline{\large \itshape Avertissement}
\vskip 1cm
Ce m{\'e}moire a {\'e}t{\'e} {\'e}crit avec le souci de rendre les travaux
effectu{\'e}s dans le cadre de cette th{\`e}se accessibles {\`a} un public 
non expert. Au cours de ses trente ann{\'e}es d'existence, la th{\'e}orie 
des cordes a cependant suscit{\'e} un nombre consid{\'e}rable de contributions
{\`a} la base des d{\'e}veloppements les plus r{\'e}cents. J'ai
donc fait le choix d'introduire, autant que possible, toutes les
notions implicites dans les travaux pr{\'e}sent{\'e}s ici, 
en mettant l'accent plus sur
les concepts que sur les d{\'e}tails techniques. Le lecteur trouvera
dans la bibliographie les r{\'e}f{\'e}rences n{\'e}cessaires pour donner
une signification plus pr{\'e}cise {\`a} ces concepts. 
L'{\it invitation au voyage} s'adresse {\`a} un public large et
{\'e}vite r{\'e}solument toute {\'e}quation. Elle fournit une
pr{\'e}sentation synth{\'e}tique des arguments menant {\`a} la 
formulation de la M-th{\'e}orie, et r{\'e}sume mes contributions
{\`a} ce domaine. Celles-ci se regroupent en trois th{\`e}mes
principaux~: la dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique 
des th{\'e}ories de jauge (chapitre 2), les dualit{\'e}s des
th{\'e}ories de supercordes et leurs effets non perturbatifs
(chapitres 3 et 4), la th{\'e}orie des matrices (chapitre 5).
Chaque chapitre contient une pr{\'e}sentation p{\'e}dagogique
des concepts mis en jeu, et un r{\'e}sum{\'e} de mes contributions~;
les publications elles-m{\^e}mes sont reproduites en version 
originale dans les annexes A {\`a}
G. Les contributions aux actes de conf{\'e}rence n'ont pas {\'e}t{\'e}
reproduites dans ce m{\'e}moire.

\vspace*{\stretch{1}}
\clearemptydoublepage


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "these"
%%% End: 




\index{supergravit{\'e}!solitons de la|see{brane}}
\index{Dirichlet, membrane de|see{D-brane}}
\index{boucle, d{\'e}veloppement en boucle|see{genre, d{\'e}veloppement en}}
\index{couplage des cordes|see{dilaton}}
\index{mod{\`e}le standard|see{standard}}
\index{calcul semi-classique|see{semi-classique}}
\index{BPS, saturation|see{saturation BPS}}
\index{dualit{\'e}!d'espace-cible|see{T-dualit{\'e}}}
\index{Riemann, surface de|see{Riemann}}
\index{vari{\'e}t{\'e}!K_3@$K_3$ |see{$K_3$}}
\index{dualit{\'e}!de la th{\'e}orie IIB 10D|see{S-dualit{\'e}}}
\index{K3, surface@$K_3$, surface@homologie de|see{cycle d'homologie}}
\index{orbifold|see{vari{\'e}t{\'e} orbifold}}
\index{vari{\'e}t{\'e}!de compactification|see{compactification}}
\index{dualit{\'e}!des th{\'e}ories de supergravit{\'e}|see{sym{\'e}tries cach{\'e}es}}
\index{BPS, {\'e}tats|see{{\'e}tats BPS}}
\index{vari{\'e}t{\'e}!de Calabi-Yau|see{Calabi-Yau}}
\index{instanton!s{\'e}rie de|see{s{\'e}rie d'instantons}}
\index{conifold|see{singularit{\'e} de conifold}}
\index{NS5-brane|see{cinq-brane de Neveu-Schwarz}}
\index{dualit{\'e}!T-dualit{\'e}|see{T-dualit{\'e}}}
\index{soliton!des th{\'e}ories de supergravit{\'e}|see{brane}} 
\index{dualit{\'e}!U-dualit{\'e}|see{U-dualit{\'e}}}
\index{dualit{\'e}!S-dualit{\'e}|see{S-dualit{\'e}}}
\index{U-dualit{\'e}!de la th{\'e}orie IIB|see{S-dualit{\'e}}}
\index{moment, {\'e}tat de|see{Kaluza-Klein}}
\index{groupe!de T-dualit{\'e}|see{T-dualit{\'e}}}
\index{groupe!de U-dualit{\'e}|see{U-dualit{\'e}}}
\index{reduction dim@r{\'e}duction dimensionnelle!de Kaluza-Klein|see{Kaluza-Klein, r{\'e}duction de}}

\chapter{Invitation au voyage}
En l'espace de quelques ann{\'e}es, de l'article fondateur de Seiberg
et Witten obtenant la premi{\`e}re solution exacte d'une th{\'e}orie
de jauge supersym{\'e}trique fortement coupl{\'e}e en quatre dimensions 
gr{\^a}ce aux sym{\'e}tries de dualit{\'e},
{\`a} la proposition de Banks, Fischler, Shenker et Susskind de
d{\'e}finition explicite non perturbative de la th{\'e}orie des 
supercordes, le paysage de la th{\'e}orie des champs
et des cordes a subi un profond bouleversement, auquel j'ai
eu la chance d'assister, participer modestement quelquefois.
Les questions fondamentales de la th{\'e}orie des champs, 
structure du vide, spectre {\`a} basse {\'e}nergie, confinement, 
jusqu'alors hors de port{\'e}e de la th{\'e}orie de perturbations,
devenaient ainsi accessibles au traitement analytique, tout
au moins dans le cadre des th{\'e}ories supersym{\'e}triques.
En m{\^e}me temps, on d{\'e}couvrait dans le spectre 
des diff{\'e}rentes th{\'e}ories de supercordes
une richesse d'{\'e}tats non perturbatifs {\'e}tendus, dits $p$-branes,
identifi{\'e}s aux {\'e}tats fondamentaux d'une th{\'e}orie des
supercordes duale~; ses ph{\'e}nom{\`e}nes
non perturbatifs dans le cadre d'une th{\'e}orie de cordes
devenaient accessibles au calcul perturbatif dans la
th{\'e}orie duale. Les cinq th{\'e}ories des supercordes {\'e}taient ainsi
identifi{\'e}es comme d{\'e}veloppements de perturbation
en diff{\'e}rents r{\'e}gimes d'une th{\'e}orie ma{\^\i}tresse 
encore myst{\'e}rieuse, la M-th{\'e}orie, dans laquelle
les cordes ne semblent pas occuper de position
privil{\'e}gi{\'e}es. Par un retour remarquable,
ces d{\'e}veloppements offrent de nouvelles perspectives
sur les th{\'e}ories de jauge, d{\'e}crivant les degr{\'e}s de
libert{\'e} des solitons de $p$-branes de la th{\'e}orie
des cordes. Il me semblait n{\'e}cessaire d'ouvrir ce m{\'e}moire
par un panorama historique et synth{\'e}tique de ce paysage
en mouvement qui constitue l'arri{\`e}re-plan de mon travail
de th{\`e}se, et qui a d{\'e}termin{\'e} au jour le jour la
direction de mes recherches. 

\section{De la th{\'e}orie des champs quantiques...}

La th{\'e}orie quantique des champs 
et son {\it alter ego},
la th{\'e}orie statistique des champs, repr{\'e}sentent {\`a} l'heure actuelle
les fers de lance de l'arsenal de la physique th{\'e}orique moderne
pour traiter un large spectre de probl{\`e}mes s'{\'e}tendant de la
physique des particules {\'e}l{\'e}mentaires {\`a} la physique de la
mati{\`e}re condens{\'e}e et des milieux d{\'e}sordonn{\'e}s. Ces th{\'e}ories
prennent le relais de la m{\'e}canique quantique de Bohr, Heisenberg et Planck
et de la m{\'e}canique statistique de Boltzmann
lorsqu'il n'est plus possible d'isoler un petit nombre de degr{\'e}s
de libert{\'e}, comme c'est le cas en physique des particules
lorsque les effets de production de paires deviennent importants,
ou en physique des supraconducteurs lorsque les excitations coh{\'e}rentes
collectives du nuage {\'e}lectronique d{\'e}terminent les propri{\'e}t{\'e}s
de conduction. Elles rendent compte
de nombreux r{\'e}sultats exp{\'e}rimentaux avec une pr{\'e}cision in{\'e}gal{\'e}e,
dont l'illustration la plus frappante est sans doute donn{\'e}e par
l'accord {\`a} pr{\`e}s de $10^{-10}$
des calculs d'{\'e}lectrodynamique quantique
\index{electrodynamique@{\'e}lectrodynamique!quantique} avec les
mesures de la structure hyperfine des raies de r{\'e}sonance atomique.
\index{hyperfine, structure}
La th{\'e}orie des champs de jauge non ab{\'e}lienne 
de groupe de jauge $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
d{\'e}crivant le mod{\`e}le
standard \cite{Yang:1954ek,Weinberg:1967pk,Salam:1968rm}
\index{standard, mod{\`e}le} ne peut
encore {\^e}tre confront{\'e}e {\`a} des mesures d'une telle pr{\'e}cision,
mais reproduit jusqu'{\`a} pr{\'e}sent l'ensemble des r{\'e}sultats obtenus
dans les divers acc{\'e}l{\'e}rateurs de particules \cite{Barnett:1996hr}. 
\index{acc{\'e}lerateur} Les d{\'e}saccords
tant{\^o}t observ{\'e}s se sont jusqu'{\`a} pr{\'e}sent r{\'e}v{\'e}l{\'e}s
imputables {\`a} des erreurs de protocole exp{\'e}rimental,
et dans l'hypoth{\`e}se o{\`u} un tel
d{\'e}saccord viendrait {\`a} {\^e}tre confirm{\'e}, certaines particularit{\'e}s de
ces th{\'e}ories seraient susceptibles d'{\^e}tre revues
sans pour autant remettre en cause 
le sch{\'e}ma g{\'e}n{\'e}ral de la th{\'e}orie quantique des champs.

\subsection{Divergences et renormalisations}

Cet {\'e}tat de gr{\^a}ce de la th{\'e}orie des champs
contraste singuli{\`e}rement avec le scepticisme g{\'e}n{\'e}ral 
qui en a entour{\'e} la naissance dans les ann{\'e}es 1940, ent{\^a}ch{\'e}e
il est vrai d'incoh{\'e}rences math{\'e}matiques de mauvais augure.
Si les infinis apparaissant dans le calcul de quantit{\'e}s aussi
{\'e}l{\'e}mentaires que la masse de l'{\'e}lectron induite par les fluctuations
du vide ont {\'e}t{\'e} assez rapidement dompt{\'e}s par une 
proc{\'e}dure de {\it renormalisation}, 
la puissance pr{\'e}dictive de telles
th{\'e}ories {\'e}tait n{\'e}anmoins diminu{\'e}e, puisqu'il 
{\'e}tait n{\'e}cessaire de {\it normaliser} ces infinis
\index{renormalisation}
\index{divergence ultraviolette}
{\`a} la valeur finie donn{\'e}e par l'exp{\'e}rience. Sans compter l'aspect
inesth{\'e}tique et {\it ad hoc} de la proc{\'e}dure, la s{\'e}rie de
perturbation obtenue s'av{\'e}rait elle-m{\^e}me divergente, et pouvait
au mieux s'interpr{\'e}ter comme une {\it s{\'e}rie asymptotique}
\index{asymptotique, s{\'e}rie}
\index{serie de perturbation@s{\'e}rie de perturbation!en th{\'e}orie des champs}
{\`a} faible couplage. 
\index{serie de perturbation@s{\'e}rie de perturbation!en th{\'e}orie des champs}
La transposition des 
m{\'e}thodes du groupe de renormalisation de K. Wilson  en th{\'e}orie
\index{renormalisation!groupe de}
statistique des champs {\`a}
la th{\'e}orie quantique des champs 
a permis une compr{\'e}hension bien plus satisfaisante de ces infinis.
L'origine de ces divergences {\'e}tait alors
identifi{\'e}e comme le r{\'e}sultat de l'{\'e}volution des constantes
de couplage en fonction de
l'{\'e}chelle d'observation, apr{\`e}s int{\'e}gration
des degr{\'e}s de libert{\'e}s aux {\'e}chelles interm{\'e}diaires.
Les constantes de couplage <<nues>> de la th{\'e}orie aux {\'e}chelles infiniment
petites apparaissaient ainsi infinies {\`a} l'{\'e}chelle d'observation.
Les th{\'e}ories des
champs dites {\it renormalisables}
\index{renormalisation!renormalisabilit{\'e} des th{\'e}ories de jauge} 
ne pouvaient donc {\^e}tre d{\'e}finies sans 
r{\'e}f{\'e}rence {\`a} une {\'e}chelle de r{\'e}gularisation ultraviolette,
et seuls les couplages pr{\'e}servant la renormalisabilit{\'e} 
{\'e}taient pertinents pour la d{\'e}termination des interactions
{\`a} l'{\'e}chelle d'observation, les autres ne survivant pas au
flot de renormalisation.
\index{couplage effectif}
En particulier, le couplage des th{\'e}ories de jauge, sans dimension
et donc juste pertinent, pr{\'e}sentait un comportement tr{\`e}s diff{\'e}rent
sous le groupe de renormalisation, tendant {\`a} z{\'e}ro aux
grandes distances dans les th{\'e}ories
de jauge ab{\'e}liennes ou non ab{\'e}liennes avec un nombre
suffisant de champs de
mati{\`e}re, tandis qu'il augmentait dans l'infrarouge pour les
th{\'e}ories de jauge non ab{\'e}liennes avec suffisamment peu (ou pas)
de champs de mati{\`e}re, finalement quittant le r{\'e}gime perturbatif.
Inversement, aux petites distances, le couplage des premi{\`e}res 
divergeait au p{\^o}le dit {\it de Landau}
\index{Landau, p{\^o}le de}, tandis qu'il d{\'e}croissait
vers z{\'e}ro pour les secondes, dites pour cette raison
{\it asymptotiquement libres}\index{libert{\'e} asymptotique}. 
Cette derni{\`e}re cat{\'e}gorie,
dans laquelle entre le mod{\`e}le standard, devenait ainsi le
\index{standard, mod{\`e}le}
seul candidat {\`a} une th{\'e}orie fondamentale
susceptible de d{\'e}crire les interactions de jauge. 
La libert{\'e} asymptotique permettait en outre de calculer
de nombreuses pr{\'e}dictions {\`a} haute {\'e}nergie par un
d{\'e}veloppement perturbatif, aboutissant {\`a} l'accord
que l'on sait avec les r{\'e}sultats des exp{\'e}riences
de diffusion profond{\'e}ment in{\'e}lastique.\index{diffusion
profond{\'e}ment in{\'e}lastique}


\subsection{Au-del{\`a} de la th{\'e}orie de perturbation}

Si seules les th{\'e}ories de jauge asymptotiquement libres peuvent
pr{\'e}tendre {\`a} une description fondamentale de la mati{\`e}re,
on con{\c c}oit l'importance de d{\'e}finir
ces th{\'e}ories au niveau non perturbatif, sinon de d{\'e}velopper
des m{\'e}thodes de calcul dans ce r{\'e}gime.
L'{\'e}chelle d'{\'e}nergie du spectre des particules stables,
leptons, m{\'e}sons et baryons ($\sim 1 {\rm GeV}$), est en effet bien inf{\'e}rieure
{\`a} l'{\'e}chelle des quarks et gluons sond{\'e}e par les 
exp{\'e}riences de diffusion profond{\'e}ment in{\'e}lastique ($\sim 200 {\rm GeV}$),
\index{Lambda_{QCD}@$\Lambda_{QCD}$}
et correspond donc {\`a} un r{\'e}gime de fort couplage effectif~;
la d{\'e}monstration du confinement du nombre quantique
de couleur\index{confinement} et de la brisure de sym{\'e}trie chirale 
\index{sym{\'e}trie chirale, brisure de} est donc hors de port{\'e}e 
des m{\'e}thodes perturbatives ordinaires.

La d{\'e}finition d'une th{\'e}orie des champs hors
du r{\'e}gime perturbatif est en soit un probl{\`e}me majeur, et
les approches constructivistes ne sont pas encore en mesure
de d{\'e}finir rigoureusement les th{\'e}ories de jauge en dimension 4.
Inspir{\'e}e par les mod{\`e}les de physique statistique, la
r{\'e}gularisation sur r{\'e}seau des th{\'e}ories de jauge
\index{r{\'e}seau, th{\'e}orie de jauge sur}
offre une d{\'e}finition commode {\`a} tout couplage,
rel{\`e}guant ces complications au traitement de la limite
de grand volume. Elle
se pr{\^e}te particuli{\`e}rement bien au calcul
sur superordinateur, et des r{\'e}sultats tr{\`e}s encourageants
ont d{\'e}j{\`a} {\'e}t{\'e} obtenus \cite{Weingarten:1996ig}. Son efficacit{\'e} sur le plan
analytique n'est cependant pas aussi {\'e}vidente, et une
meilleure compr{\'e}hension, au moins qualitative, 
des ph{\'e}nom{\`e}nes non perturbatifs
peut {\^e}tre obtenue gr{\^a}ce aux m{\'e}thodes {\it semi-classiques},
bas{\'e}es sur la recherche des solutions classiques et leur 
quantification perturbative.
\index{semi-classique!calcul en th{\'e}orie des champs}

Le d{\'e}veloppement de ces m{\'e}thodes remonte {\`a} 
la d{\'e}couverte des {\it solitons} de
Polyakov et 't Hooft \cite{Polyakov:1974ek,'tHooft:1976fv}
et des {\it instantons} de 't Hooft et Belavin {\it et al.} 
\cite{'tHooft:1976fv,Belavin:1975rt}
\footnote{On se reportera avec profit {\`a}
\cite{Coleman:1977,Coleman:1985} pour une introduction
{\'e}l{\'e}mentaire {\`a} ces techniques.}.
Les solitons correspondent
\index{soliton!des th{\'e}ories de jauge}
\index{instanton!des th{\'e}ories de jauge}
{\`a} des solutions non triviales des {\'e}quations classiques
du mouvement, ind{\'e}pendantes du temps et 
localis{\'e}es dans l'espace~; leur stabilit{\'e} est
garantie classiquement par la topologie non triviale de
ces configurations de champs. Leur masse cro{\^\i}t comme $1/g^2$, et
ils {\'e}chappent donc au spectre perturbatif.
Ce sont des candidats {\`a} la
repr{\'e}sentation de particules
du spectre non perturbatif, et leurs propri{\'e}t{\'e}s peuvent en principe
{\^e}tre d{\'e}termin{\'e}es par quantification autour de ces solutions.

Les instantons sont au contraire localis{\'e}s dans le temps autant
que dans l'espace, et correspondent {\`a} des transitions 
par effet tunnel entre les vides classiques de la th{\'e}orie.
Ils entrent en principe sur un pied d'{\'e}galit{\'e}
avec le vide trivial dans la 
d{\'e}finition non perturbative de la th{\'e}orie, bien
que le calcul se limite dans la pratique {\`a} la prise en compte
d'un gaz {\it dilu{\'e}} d'instantons. 
Leur contribution n'est pertinente que dans le cas de processus
interdits perturbativement, sans quoi la contribution 
en $e^{-1/g^2}$ des instantons 
ne saurait {\'e}merger des contributions perturbatives
en $g^n$.

\subsection{Supersym{\'e}trie, dualit{\'e} et calculabilit{\'e}} 

Ces m{\'e}thodes non perturbatives ont tr{\`e}s r{\'e}cemment
subi un essor remarquable dans le
cadre des th{\'e}ories de jauge {\`a} supersym{\'e}trie
{\'e}tendue, pour lesquelles
les propri{\'e}t{\'e}s de supersym{\'e}trie garantissent l'absence
de corrections perturbatives pour certaines quantit{\'e}s physiques
au-del{\`a} d'un certain ordre, ainsi que la stabilit{\'e},
pour des valeurs g{\'e}n{\'e}riques du couplage,
d'{\'e}tats v{\'e}rifiant la propri{\'e}t{\'e} de Bogomolny, Prasad et Sommerfield (BPS),
\index{supersym{\'e}trie}
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS}
c'est-{\`a}-dire annihil{\'e}s par certaines charges de la super-alg{\`e}bre
de Poincar{\'e}\footnote{Les d{\'e}sint{\'e}grations d'{\'e}tats BPS ont {\'e}t{\'e}
\index{desintegration@d{\'e}sint{\'e}gration d'{\'e}tats BPS}
mises en envidence dans les th{\'e}ories de supersym{\'e}trie $N=2$
\cite{seiberg/witten:1994.2,Ferrari:1997} mais n'interviendront
pas dans les cas de supersym{\'e}trie plus {\'e}lev{\'e}e consid{\'e}r{\'e}s 
dans ce m{\'e}moire.}.
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS}
D{\`e}s 1978, une conjecture de 
Montonen et Olive \cite{Montonen:1977sn}
\index{Montonen-Olive, conjecture de}
raffin{\'e}e par Osborn
\cite{Osborn:1979tq} proposait que
les th{\'e}ories de jauge {\`a} supersym{\'e}trie $N=4$, finies {\`a} tout
ordre en perturbation, poss{\'e}daient au niveau quantique la sym{\'e}trie
de dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique, dite {\it S-dualit{\'e}}. 
\index{dualit{\'e}!{\'e}lectrique-magn{\'e}tique}
Cette sym{\'e}trie est bien
connue dans l'{\'e}lectrodynamique classique de Maxwell, o{\`u} elle
\index{electrodynamique@{\'e}lectrodynamique!de Maxwell}
{\'e}change champs {\'e}lectriques et champs
magn{\'e}tiques, charges {\'e}lectriques
et charges magn{\'e}tiques, {\it tout en inversant le couplage de jauge}.
Bien que l'absence
exp{\'e}rimentale de monop{\^o}les magn{\'e}tiques laisse supposer que
\index{monop{\^o}le magn{\'e}tique}
cette sym{\'e}trie n'est pas pr{\'e}serv{\'e}e dans la r{\'e}alit{\'e},
on conjecturait au contraire que cette transformation de dualit{\'e} restait
une sym{\'e}trie {\it quantique} des th{\'e}ories 
de jauge supersym{\'e}triques $N=4$.
\index{S-dualit{\'e}!de SYM $N=4$}
L'aspect le plus frappant de cette conjecture est qu'elle 
reliait un r{\'e}gime de faible couplage, dans lequel la th{\'e}orie
de perturbation donne des informations fiables, {\`a} un r{\'e}gime
de fort couplage hors d'atteinte jusqu'alors. La d{\'e}couverte
par Witten et Olive \cite{Witten:1978mh}
que la masse des {\'e}tats BPS
{\'e}tait prot{\'e}g{\'e}e de corrections quantiques
pour toute valeur du couplage, 
donnait les premi{\`e}res indications de la validit{\'e} de cette
conjecture, en permettant l'identification des {\it monop{\^o}les magn{\'e}tiques} de
't Hooft et Polyakov aux {\it bosons de jauge} fondamentaux $W^{\pm}$
dans la formulation duale.
Un pas d{\'e}cisif
dans la d{\'e}monstration de cette conjecture {\'e}tait effectu{\'e} par
Sen en 1994, qui montrait que l'extension 
de cette dualit{\'e} binaire
{\`a} un groupe discret infini $Sl(2,\Zint)$, 
dit de S-dualit{\'e}, agissant par {\it transformations modulaires} sur
le param{\`e}tre complexe
$S=\frac{\theta}{2\pi}+ i\frac{4\pi}{g^2}$, 
o{\`u} l'on a inclus l'angle $\theta$ couplant {\`a} la
densit{\'e} topologique $\int F\wedge F$, impliquait
l'existence d'{\'e}tats solitoniques de charge {\'e}lectrique
et magn{\'e}tique $(p,q)$ pour tous $p$ et $q$ entiers 
\index{pq, dyons de charge@$(p,q)$, dyons de charge}
premiers entre eux~; il reliait l'existence de ces {\'e}tats 
aux vides d'une m{\'e}canique quantique sur l'espace des
modules des monop{\^o}les de charge magn{\'e}tique $q$, et construisait
explicitement la fonction d'onde du monop{\^o}le de 
charge magn{\'e}tique 2 \cite{Sen:1994yi}. 
Ces r{\'e}sultats sont pour une grande part 
{\`a} l'origine de la ru{\'e}e vers l'El Dorado
\index{El Dorado}
des dualit{\'e}s.

La d{\'e}couverte du gisement revient cependant {\`a} Seiberg et Witten,
qui la m{\^e}me ann{\'e}e 1994, montraient
comment, en utilisant les contraintes de la supersym{\'e}trie
et de la dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique
sur la structure globale de l'espace des vides, on pouvait d{\'e}terminer
l'action effective de basse {\'e}nergie, exacte {\`a} toute valeur du
couplage, pour une large classe de th{\'e}ories de jauge 
{\`a} supersym{\'e}trie
{\'e}tendue $N=2$ \cite{seiberg/witten:1994.1,seiberg/witten:1994.2}. 
\index{Seiberg-Witten!solution de}
Ce tour de force 
donnait pour la premi{\`e}re fois la dynamique {\`a} grande distance,
ou fort couplage,
d'une th{\'e}orie des champs non triviale 
en quatre dimensions d'espace-temps, et
fournissait ainsi un terrain d'{\'e}tude privil{\'e}gi{\'e} pour les
ph{\'e}nom{\`e}nes non perturbatifs de confinement, brisure de sym{\'e}trie
\index{confinement}
\index{sym{\'e}trie chirale, brisure de}
chirale et condensation de monop{\^o}les. L'argument de Seiberg et Witten
utilisait de mani{\`e}re cruciale la dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique,
celle-ci reliant diff{\'e}rentes descriptions {\'e}quivalentes
d'un m{\^e}me point de l'espace des modules.

Malheureusement, ces th{\'e}ories {\`a} supersym{\'e}trie {\'e}tendue,
bien que traitables analytiquement, 
n'ont que peu de pertinence
ph{\'e}nom{\'e}nologique, la raison premi{\`e}re 
\index{phenomenologie@ph{\'e}nom{\'e}nologie}
en {\'e}tant l'impossibilit{\'e}
d'introduire de la mati{\`e}re chirale. Elles peuvent certes donner lieu {\`a}
des th{\'e}ories supersym{\'e}triques N=1 ou sans supersym{\'e}trie
par brisure douce, encore contr{\^o}lables math{\'e}matiquement,
mais toujours non chirales. Peu de temps avant son
article fondateur avec E. Witten, N. Seiberg proposait une 
version diff{\'e}rente de la dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique
\index{Seiberg, dualit{\'e} dans SYM $N=1$}
dans le cadre des th{\'e}ories de jauge de supersym{\'e}trie
$N=1$, dite {\it dualit{\'e} infrarouge}
\cite{Seiberg:1994bz}. Sur la base 
d'arguments de comptage de degr{\'e}s de libert{\'e}, 
de limites de d{\'e}couplage
et de correspondance d'anomalies chiralesde 't Hooft, Seiberg proposait
\index{anomalie!de 't Hooft}
que la th{\'e}orie $N=1$ de groupe de jauge $SU(N_c)$ et en pr{\'e}sence de  
$N_f$ saveurs de quarks 
soit identique {\it {\`a} grande distance} {\`a} une
th{\'e}orie de groupe de jauge diff{\'e}rent $SU(N_f-N_c)$, $N_f$ saveurs
de quarks et $N_f^2$ singlets de jauge~; 
les bosons de jauge {\it non ab{\'e}liens} d'une
th{\'e}orie apparaissaient ainsi comme des solitons dans la 
description duale. Si cette conjecture a {\'e}t{\'e} {\'e}tendue
{\`a} un grand nombre de situations et a consid{\'e}rablement
fait progresser notre compr{\'e}hension de la dynamique des
th{\'e}ories de jauge, sa puissance calculatoire est malheureusement
rest{\'e}e limit{\'e}e jusqu'{\`a} pr{\'e}sent.

\section{...aux th{\'e}ories des supercordes...}

Couronn{\'e}e de succ{\`e}s pour la description des trois interactions
{\'e}lectromagn{\'e}tique, forte et faible dans le cadre du mod{\`e}le
standard\index{mod{\`e}le standard}, la th{\'e}orie des champs doit cependant 
reconna{\^\i}tre son {\'e}chec {\`a} d{\'e}crire la force de gravitation
au niveau quantique. Renormalisables en dimension deux, les
\index{renormalisation!renormalisabilit{\'e} de la gravitation}
interactions gravitationnelles g{\'e}n{\`e}rent de s{\'e}v{\`e}res
divergences ultraviolettes en dimension sup{\'e}rieure, 
\index{divergence ultraviolette}
et de nouveaux contre-termes
et donc constantes de couplage doivent {\^e}tre introduits {\`a}
chaque ordre en perturbation. 
Ces difficult{\'e}s ne sont finalement pas surprenantes,
si l'on r{\'e}alise que la notion de gravit{\'e} quantique remet
en cause les fondements de la structure de l'espace-temps
aux distances inf{\'e}rieures {\`a} l'{\'e}chelle de Planck
\index{Planck, {\'e}chelle de}
($10^{-35}$ m, ou $10^{19}$ GeV),
et donc la notion m{\^e}me de champ d{\'e}fini en tout point de l'espace.
Des efforts importants ont {\'e}t{\'e}
consacr{\'e}s {\`a} transposer les m{\'e}thodes des th{\'e}ories de
jauge {\`a} la gravitation dans le cadre de la th{\'e}orie
de gravitation de boucles \cite{Rovelli:1997yv}, 
mais leur succ{\`e}s est encore
incertain. Face {\`a} ces difficult{\'e}s, la th{\'e}orie des
supercordes appara{\^\i}{}t {\`a} l'heure actuelle comme le seul
candidat viable 
{\`a} l'unification quantique de toutes les interactions fondamentales.

\subsection{Th{\'e}ories perturbatives de cordes}
\index{bosonique, th{\'e}orie des cordes}
Initialement d{\'e}velopp{\'e}e sous le nom de {\it mod{\`e}les duaux}
\index{duaux, mod{\`e}les}
{\`a} la fin des ann{\'e}es soixante afin de rendre compte des
trajectoires de Regge observ{\'e}es sur le spectre des r{\'e}sonances
\index{Regge, trajectoire de}
hadroniques de spin {\'e}lev{\'e}, la th{\'e}orie des cordes a d{\'e}couvert
sa v{\'e}ritable vocation lorsqu'il a {\'e}t{\'e} r{\'e}alis{\'e} que la 
pr{\'e}sence d'une particule de spin 2 dans son spectre de masse
nulle en faisait un candidat naturel {\`a} la description de
la gravitation quantique\cite{Scherk:1974ca}~;
ce candidat {\'e}tait d'autant plus attirant que contrairement
aux th{\'e}ories des champs, toutes les amplitudes y {\'e}taient
finies.  La raison de ce miracle tient {\`a} 
la structure {\'e}tendue que la th{\'e}orie conf{\`e}re aux objets
{\'e}l{\'e}mentaires, de petites cordes relativistes oscillantes 
d{\'e}crivant une
{\it surface d'univers} au cours de leur propagation dans l'espace-temps,
et interagissant de mani{\`e}re g{\'e}om{\'e}trique par coupure et
recollement ({\it splitting and joining}), correspondant aux
\index{splitting and joining}
bifurcations de cette surface (figure \ref{corde}). 
La tension de la corde $1/\alpha'$ d{\'e}finit l'{\'e}chelle de masse
\index{tension!de la corde fondamentale}
de la th{\'e}orie, dite {\it {\'e}chelle des cordes}, 
tandis que les interactions sont pond{\'e}r{\'e}es
par le {\it couplage des cordes} sans dimension $g$. Vues de loin, ces cordes
\index{dilaton}
se comportent comme des particules ponctuelles dont la nature, la masse
et les interactions sont d{\'e}termin{\'e}es par l'{\'e}tat 
d'oscillation interne. Tout comme la ligne d'univers d'une particule
\index{ligne d'univers}
ordinaire supporte une th{\'e}orie des champs unidimensionelle, la
surface d'univers de la corde supporte une {\it th{\'e}orie des champs
\index{conforme, th{\'e}orie des champs!sur la surface d'univers}
bidimensionnelle conforme}\footnote{Cette derni{\`e}re condition,
n{\'e}cessaire au d{\'e}couplage du champ de Liouville sur la surface
\index{Liouville, champ de}
d'univers, peut {\^e}tre relax{\'e}e dans le cadre des {\it th{\'e}ories
des cordes non critiques}. 
\index{non critiques, th{\'e}orie des cordes}
Ces derni{\`e}res seront ignor{\'e}es dans
le cadre de cette th{\`e}se, bien que de r{\'e}cents progr{\`e}s permettent
d'esp{\'e}rer en leur quantification.}. 
Les contraintes d'invariance conforme restreignent
la dimensionalit{\'e} de l'espace-temps {\`a} la {\it
dimension critique} $D=26$, et lui imposent en outre de v{\'e}rifier
\index{critique, dimension}
une extension des {\'e}quations de la relativit{\'e} g{\'e}n{\'e}rale,
corrig{\'e}es {\`a} tous les ordres en $\alpha'$.
La gravitation {\'e}merge donc naturellement, et cette correspondance 
fixe la taille caract{\'e}ristique des cordes {\`a}
l'{\'e}chelle de Planck. 
\index{Planck, {\'e}chelle de}
\fig{5cm}{corde.eps}{Interaction de {\it splitting} et surface d'univers
de la corde}{corde}

Cette version simpliste, dite {\it corde bosonique}
n'est cependant pas viable en raison de la pr{\'e}sence d'une particule
de masse carr{\'e}e n{\'e}gative, le tachyon, r{\'e}v{\'e}latrice de
\index{tachyon}
l'instabilit{\'e} de cette th{\'e}orie, ainsi qu'en raison de l'absence de
degr{\'e}s de libert{\'e} fermioniques dans le spectre. On peut
cependant remplacer la th{\'e}orie conforme bidimensionnelle
\index{conforme, th{\'e}orie des champs!superconforme}
en une th{\'e}orie conforme localement supersym{\'e}trique,
ou {\it superconforme}, pour obtenir, apr{\`e}s une projection
judicieuse \cite{Gliozzi:1976jf}, une th{\'e}orie sans
\index{GSO, projection}
tachyon de dimension critique $D=10$\footnote{Les th{\'e}ories
superconformes {\'e}tendues conduisent {\`a} une dimension
critique $D=2$ ($N=2$) ou $D=-2$ ($N=4$) dont la pertinence
n'est pas {\'e}vidente. Certaines constructions h{\'e}t{\'e}rotiques
permettent d'obtenir $D=4$ pour une supersym{\'e}trie de surface
d'univers $N=(2,1)$ \cite{Ooguri:1991fp}, mais ne seront pas consid{\'e}r{\'e}es dans
ce m{\'e}moire.}. L'invariance superconforme {\it sur la surface 
d'univers} conduit alors {\`a} une th{\'e}orie supersym{\'e}trique
{\it dans l'espace ambiant}. Ces th{\'e}ories sont en g{\'e}n{\'e}ral
\index{chiralit{\'e}}
\index{anomalie!gravitationnelle}
chirales, et les contraintes de compensation
d'anomalies gravitationnelles s{\'e}lectionnent une dizaine de mod{\`e}les
\cite{Kawai:1986vd}, dont seuls six mod{\`e}les ne pr{\'e}sentent
pas de tachyon~: on construit
\index{supercordes, th{\'e}orie des}
ainsi les {\it cordes ouvertes de type I} avec supersym{\'e}trie 
d'espace-temps $N=1$ {\`a} dix dimensions et groupe
de jauge SO(32)~; les {\it cordes ferm{\'e}es de
type IIA et IIB} avec supersym{\'e}trie $N=2$ non chirale (IIA)
ou chirale (IIB) {\`a} dix dimensions~; 
les {\it cordes ferm{\'e}es h{\'e}t{\'e}rotiques}
avec supersym{\'e}trie $N=1$ {\`a} dix dimensions et groupes de
jauge $SO(32)$ {\it ou} $E_8\times E_8$~; 
et finalement la corde h{\'e}t{\'e}rotique
non supersym{\'e}trique de groupe de jauge $SO(16) \times SO(16)$
\cite{Alvarez-Gaume:1986jb},
que nous omettrons dans la suite en nous restreignant aux {\it th{\'e}ories
des supercordes critiques supersym{\'e}triques}.

Le spectre de ces th{\'e}ories de supercordes
se compose donc d'un {\'e}tage de masse nulle comprenant
une particule scalaire $\phi$
dite {\it dilaton}, dont la valeur moyenne $g=e^\phi$
\index{dilaton|textit}
d{\'e}finit le couplage de la th{\'e}orie, d'une particule de
spin 2 identifi{\'e}e au graviton
\index{graviton}, et d'un certain nombre de 
{\it tenseurs antisym{\'e}triques  de jauge} 
\index{tenseur antisym{\'e}trique}
d{\'e}pendant de la th{\'e}orie consid{\'e}r{\'e}e~;
ces tenseurs g{\'e}n{\'e}ralisent la notion de potentiel vecteur $A_{\mu}$
{\`a} un tenseur antisym{\'e}trique {\`a} $p$ indices $B$, ou {\it $p$-forme},
invariant sous la transformation de jauge $B \rightarrow B+d\Lambda$
o{\`u} $\Lambda$ est une $(p-1)$-forme quelconque.
Le spectre inclut {\'e}galement une tour d'{\'e}tats massifs
de spin arbitrairement {\'e}lev{\'e} et de masses carr{\'e}es en
progression arithm{\'e}tique $\mathcal{M}^2=N/\alpha'$, 
\index{supermassifs, {\'e}tats}
tout comme la gamme pythagoricienne
\index{Pythagore}
des modes propres de la corde vibrante. Les modes $N\ne 0$
n'apparaissent qu'aux {\'e}nergies de l'ordre de l'{\'e}chelle de
Planck, et leurs effets peuvent donc {\^e}tre int{\'e}gr{\'e}s 
\index{Planck, {\'e}chelle de}
\index{action effective!des modes de masse nulle}
pour donner une th{\'e}orie des champs 
de basse {\'e}nergie r{\'e}gissant la dynamique des {\'e}tats de masse nulle~;
les sym{\'e}tries de diff{\'e}omorphismes et de jauge ajout{\'e}es
aux propri{\'e}t{\'e}s de supersym{\'e}trie d'espace-temps identifient cette
th{\'e}orie des champs
aux th{\'e}ories de supergravit{\'e} introduites par 
\index{supergravit{\'e}}
Freedman, van Nieuwenhuizen, Ferrara, Deser et Zumino
\cite{Freedman:1976xh,Deser:1976eh}.
Bien que ces th{\'e}ories soient non renormalisables au sens du 
\index{divergence ultraviolette!en supergravit{\'e}}
\index{renormalisation!renormalisabilit{\'e} de la gravitation}
comptage de puissances, les th{\'e}ories de supercordes en fournissent
une r{\'e}gularisation coh{\'e}rente et compatible avec toutes les
invariances de jauge.

\subsection{Interactions et th{\'e}orie de perturbations}
La th{\'e}orie des supercordes telle qu'elle {\'e}merge au milieu des
ann{\'e}es 1980 rassemble donc en r{\'e}alit{\'e} six th{\'e}ories 
des cordes critiques distinctes,
s{\'e}lectionn{\'e}es par un cahier des charges drastique: absence 
d'instabilit{\'e} tachyonique, et absence d'anomalies gravitationnelles
et de jauge. Ces th{\'e}ories sont d{\'e}finies par leur d{\'e}veloppement
\index{serie de perturbation@s{\'e}rie de perturbation!en th{\'e}orie des cordes}
perturbatif en somme sur les surfaces de Riemann de
\index{surface de Riemann}
genre arbitraire $n$,  rempla{\c c}ant les diagrammes de Feynman
\index{Feynman, diagramme de}
ordinaires {\`a} $n$ boucles, pond{\'e}r{\'e}es par une puissance du
couplage $g^n$ (figure \ref{genre}). Gr{\^a}ce {\`a} l'invariance conforme, les pattes 
externes des diagrammes peuvent {\^e}tre
incorpor{\'e}es comme des insertions d'{\it op{\'e}rateurs de vertex}
\index{amplitude de diffusion}
locaux dans la th{\'e}orie des champs bidimensionnelle.
Il faut encore sommer sur les diff{\'e}rentes {\it m{\'e}triques}
sur la surface d'univers, ou plus pr{\'e}cis{\'e}ment sur leurs
{\it classes d'{\'e}quivalence conforme}, lesquelles sont
d{\'e}termin{\'e}es par la {\it structure complexe} de la surface
de Riemann~:
cette op{\'e}ration est analogue {\`a} la sommation sur les moments
des particules se propageant dans les boucles, et prend {\'e}galement
\index{serie de perturbation@s{\'e}rie de perturbation!en th{\'e}orie des champs}
en compte les facteurs de sym{\'e}trie des diagrammes.
La d{\'e}finition des th{\'e}ories des supercordes
est donc intrins{\`e}quement perturbative en le param{\`e}tre $g$.
Par contraste, la th{\'e}orie conforme sur chaque surface 
est d{\'e}finie non perturbativement en $\alpha'$,
bien qu'il puisse s'av{\'e}rer n{\'e}cessaire 
d'effectuer un d{\'e}veloppement perturbatif en $\alpha'$
lorsque cette th{\'e}orie n'est pas int{\'e}grable.
\fig{1.7cm}{genre.eps}{D{\'e}veloppement en surface de Riemann de genre
  arbitraire~: contribution {\`a} l'ordre des arbres, une
boucle, deux boucles,...}{genre}

\subsection{Compactification et d{\'e}g{\'e}n{\'e}rescence du vide}
\index{compactification}
La restriction sur la dimensionnalit{\'e} $D=10$ de l'espace
peut {\^e}tre lev{\'e}e en supposant certaines d'entre elles
compactes de rayon tr{\`e}s faible. La vari{\'e}t{\'e}
correspondant {\`a} ces directions compactes est astreinte
{\`a} v{\'e}rifier les {\'e}quations d'Einstein
g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}es~; la pr{\'e}servation de la supersym{\'e}trie
d'espace-temps restreint la vari{\'e}t{\'e} de compactification
aux espaces de Calabi-Yau, mais laisse encore un nombre 
\index{Calabi-Yau, vari{\'e}t{\'e} de}
important de possibilit{\'e}s~: ainsi, dans le cas de la
compactification $N=2$ {\`a} 4 dimensions, quelques 11000
espaces de Calabi-Yau topologiquement distincts sont connus,
avec pour chacun plusieurs param{\`e}tres de d{\'e}formations 
continues ! Notons de plus que l'on peut construire 
des th{\'e}ories de supercordes directement {\`a} quatre dimensions
en rempla{\c c}ant les dimensions internes par une th{\'e}orie
\index{conforme, th{\'e}orie des champs}
superconforme de charge centrale {\'e}quivalente
\index{fermionique, construction}
\cite{Kawai:1986va,Antoniadis:1987rn}. On obtient dans certains
cas des descriptions conformes {\it exactes} 
de compactification g{\'e}om{\'e}trique sur des espaces de Calabi-Yau
\index{Calabi-Yau, vari{\'e}t{\'e} de}
\cite{Gepner:1987vz} ou sur des solutions cosmologiques
\cite{Kounnas:1992wc}, ou bien des descriptions sans 
{\'e}quivalent g{\'e}om{\'e}trique connu.

Cette abondance de mod{\`e}les pour une th{\'e}orie d'unification
\index{vide!d{\'e}g{\'e}n{\'e}rescence en th{\'e}orie des cordes}
ne justifie cependant pas que l'on se d{\'e}sint{\'e}resse 
de ces th{\'e}ories~:
ces mod{\`e}les doivent en effet {\^e}tre consid{\'e}r{\'e}s comme 
des {\it {\'e}tats du vide diff{\'e}rents} des quelques th{\'e}ories
des supercordes fondamentales {\`a} dix dimensions, d{\'e}termin{\'e}s
par les valeurs moyennes de champs scalaires de masse
nulle, dits champs de module, param{\'e}trant la vari{\'e}t{\'e} de compactification.
\index{module, champ de}
Ces scalaires prennent en g{\'e}n{\'e}ral leurs valeurs dans une 
vari{\'e}t{\'e} abstraite courbe, dite {\it espace des modules}. 
\index{espace des modules}
La s{\'e}lection du vide physique,
ou en d'autres termes la g{\'e}n{\'e}ration de masse pour les
champs de modules, reste incomprise {\`a} l'heure actuelle.

\subsection{Sym{\'e}tries perturbatives et sym{\'e}tries cach{\'e}es}
La d{\'e}couverte des {\it dualit{\'e}s d'espace cible}
({\it target space dualities}, ou T-dualit{\'e}s)
\index{T-dualit{\'e}}
apporte une confirmation de ce point de vue. 
Ces dualit{\'e}s apparaissent dans l'exemple le plus simple
de la compactification sur un cercle de rayon $R$~: le spectre comporte
alors des {\it {\'e}tats de moment} de masse $\mathcal{M}=m/R$ correspondant aux
\index{Kaluza-Klein!excitation de!textit}
excitations de la th{\'e}orie des champs 
portant un moment interne $P=m/R$ selon la direction compacte,
mais aussi des {\it {\'e}tats d'enroulement} sp{\'e}cifiques {\`a} la
\index{enroulement!etat d'@{\'e}tat d'}
th{\'e}orie des cordes, de masse 
$\mathcal{M}=n R/\alpha'$ correspondant {\`a} une corde enroul{\'e}e 
$n$ fois autour du cercle (figure \ref{tdual}). 
Ces deux {\'e}tats sont {\'e}chang{\'e}s sous
l'inversion du rayon $R\rightarrow \alpha'/R$, et on peut
montrer que cette transformation est une sym{\'e}trie exacte de la
th{\'e}orie conforme, donc valable {\`a} tous les ordres dans 
la th{\'e}orie de perturbation. Cette sym{\'e}trie $\Zint_2$ se
g{\'e}n{\'e}ralise en une sym{\'e}trie de T-dualit{\'e} $SO(d,d,\Zint)$ pour les
compactifications sur tore $T^d$, et dans le cas des compactifications
sur espaces de Calabi-Yau donnent lieu {\`a} la {\it sym{\'e}trie
miroir}, qui identifie deux espaces de topologies 
diff{\'e}rentes\index{miroir, sym{\'e}trie}. La T-dualit{\'e} agit comme 
{\it automorphisme} des cordes h{\'e}t{\'e}rotiques, mais comme
{\it isomorphisme} des cordes de type IIA et IIB, {\'e}chang{\'e}es
sous la T-dualit{\'e}. Elle aura {\'e}galement des cons{\'e}quences
\index{dualit{\'e}!des th{\'e}ories IIA et IIB}
inattendues dans le cadre des th{\'e}ories de cordes ouvertes, 
ainsi que nous le verrons incessamment.
\fig{3cm}{tdual.eps}{La T-dualit{\'e} des cordes ferm{\'e}es
{\'e}change les {\'e}tats de moment
sur un cercle de rayon $R$ (gauche) et les {\'e}tats d'enroulement
sur un cercle de rayon $\alpha'/R$ (droite).}{tdual}

Les T-dualit{\'e}s agissent ordre par ordre en th{\'e}orie
des perturbations et apparaissent comme sym{\'e}tries {\it
continues}\footnote{Les {\'e}tats d'enroulement et de moment charg{\'e}s 
par rapport {\`a}
cette sym{\'e}trie continue sont en effet absents de la th{\'e}orie
effective {\`a} basse {\'e}nergie.} de
la th{\'e}orie de supergravit{\'e} d{\'e}crivant la dynamique
{\`a} basse {\'e}nergie. 
%Ces th{\'e}ories des champs sont
%n{\'e}anmoins d{\'e}finies {\`a} toute valeur du couplage,
%et il est alors naturel de se demander si elles
%peuvent {\'e}tre obtenues
%comme des limites de basse {\'e}nergie de th{\'e}ories des cordes d{\'e}finies
%elles aussi au niveau non perturbatif.
Les th{\'e}ories de supergravit{\'e} pr{\'e}sentent cependant, outre
ces sym{\'e}tries perturbatives, des {\it sym{\'e}tries cach{\'e}es}
\index{sym{\'e}tries cach{\'e}es}
reliant des r{\'e}gimes de couplages diff{\'e}rents,
analogues {\`a} la S-dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique des th{\'e}ories
de jauge \cite{Cremmer:1979up}. 
L'exemple le plus simple est sans doute la S-dualit{\'e}
$Sl(2,\Zint)$ 
\index{S-dualit{\'e}!de la th{\'e}orie IIB}
de la th{\'e}orie de type IIB, agissant par transformations modulaires
sur le param{\`e}tre complexe $S=\axion + i e^{-\phi}$, o{\`u}
$\axion$ correspond {\`a} la valeur moyenne d'un champ scalaire
de la th{\'e}orie de type IIB~; les deux tenseurs antisym{\'e}triques
$(B_{\mu\nu},\mathcal{B}_{\mu\nu})$ se transforment en outre comme
un doublet sous cette sym{\'e}trie. La th{\'e}orie de supergravit{\'e}
est invariante sous le groupe {\it continu} $Sl(2,\Real)$
\cite{Schwarz:1983qr}~; celui-ci est 
bris{\'e} en un sous-groupe discret
par l'existence de la corde fondamentale, charg{\'e}e
sous cette sym{\'e}trie. Par analogie avec la dualit{\'e} de Montonen-
Olive, on est donc amen{\'e} {\`a} conjecturer la validit{\'e}
{\it quantique} de cette sym{\'e}trie, et donc l'existence
d'un multiplet de {\it cordes solitoniques} de charges $(p,q)$
\index{pq, cordes de charge@$(p,q)$, cordes de charge}
par rapport aux champs $(B,\mathcal{B})$. Cette conjecture suppose
naturellement l'existence d'une {\it extension non perturbative}
de la th{\'e}orie des supercordes de type IIB.

De telles {\it sym{\'e}tries cach{\'e}es} sont visibles dans de nombreux
cas, et se conjuguent avec les dualit{\'e}s d'espace cible pour former
un groupe de dualit{\'e} plus large, dit de {\it U-dualit{\'e}},
\index{U-dualit{\'e}}
agissant dans l'extension non perturbative hypoth{\'e}tique
des th{\'e}ories de supercordes, ou {\it reliant diff{\'e}rentes
th{\'e}ories de supercordes} moyennant une red{\'e}finition des champs
\cite{Hull:1995ys}. 
L'existence de sym{\'e}trie de l'action
effective ne suffirait pas {\`a} conclure {\`a} l'existence de
ces dualit{\'e}s, mais l'{\'e}tude du spectre non perturbatif
des th{\'e}ories de supergravit{\'e}
en apporte une confirmation {\'e}clatante.

\subsection{Spectre de solitons, membranes et D-branes}
\index{brane}
\index{soliton!des th{\'e}ories de supergravit{\'e}}
\index{D-brane}
Bien que la formulation non perturbative des th{\'e}orie des supercordes
reste encore un probl{\`e}me ouvert {\`a} ce stade, l'{\'e}tude
du spectre semi-classique des solitons de la th{\'e}orie de supergravit{\'e}
donne une indication du spectre non perturbatif de cette th{\'e}orie
hypoth{\'e}tique. En particulier, pour autant que ces {\'e}tats soient
suffisamment {\'e}tendus pour que la description de basse {\'e}nergie
soit valide, les solitons v{\'e}rifiant la propri{\'e}t{\'e} BPS peuvent
{\^e}tre identifi{\'e}s avec des {\'e}tats BPS non perturbatifs de la
th{\'e}orie des cordes.
\index{etats BPS@{\'e}tats BPS}

La d{\'e}termination de ces {\'e}tats est probablement
{\`a} l'origine du bouleversement de notre compr{\'e}hension des th{\'e}ories
des supercordes. Elle r{\'e}v{\`e}le en effet l'existence d'une vari{\'e}t{\'e}
d'{\'e}tats BPS {\'e}tendus dits {\it $p$-branes}, 
g{\'e}n{\'e}ralisant la notion
de particule ponctuelle ( $p=0$ ) et de corde ( $p=1$ ) 
{\`a} des objets comportant $p\ge 0$ dimensions internes.
Ces {\'e}tats, infiniment lourds et localis{\'e}s {\`a} faible
couplage, correspondent {\`a} des champs de fond 
des th{\'e}ories de supergravit{\'e}
concentr{\'e}s au voisinage d'hypersurfaces de dimension $p+1$.
Ces objets poss{\`e}dent n{\'e}anmoins des modes propres de vibration leur
conf{\'e}rant une dynamique, qui peut en principe {\^e}tre calcul{\'e}e
dans l'approximation de l'espace des modules, comme dans le 
cas des monop{\^o}les magn{\'e}tiques de la th{\'e}orie des champs.

Ces {\'e}tats {\'e}tendus ne sont pas sans rappeler les D-branes
{\'e}tudi{\'e}es d{\`e}s le d{\'e}but des ann{\'e}es 1990 
dans le cadre de la T-dualit{\'e} des th{\'e}ories de cordes
ouvertes
\cite{Horava:1989ga,Dai:1989ua}. 
Contrairement aux th{\'e}ories de cordes ferm{\'e}es
\index{T-dualit{\'e}!en cordes ouvertes}
o{\`u} la transformation $R\rightarrow \alpha'/R$ agit de mani{\`e}re triviale,
la propagation libre des cordes ouvertes sur un cercle de rayon
$R$ est identifi{\'e}e dans l'image duale {\`a} la propagation sur un cercle
de rayon $\alpha'/R$ {\it en pr{\'e}sence d'un d{\'e}faut ponctuel} sur lequel
les extr{\'e}mit{\'e}s des cordes ouvertes sont contraintes de s'attacher
(figure \ref{tdualouvert}).
Ce d{\'e}faut, localis{\'e} dans la dimension compacte
dualis{\'e}e, d{\'e}finit une
hypersurface de dimension 9 dans l'espace minkovskien {\`a} 10 dimensions,
et donc une {\it 8-brane} (ou, dans le cas d'une compactification
sur un tore de dimension $d$, une $(9-d)$-brane). Ces objets,
baptis{\'e}s {\it D$p$-branes} (ou D-branes) 
par r{\'e}f{\'e}rence {\`a} la condition de bord
de Dirichlet satisfaite par les coordonn{\'e}es de plongement de la
\index{Dirichlet, condition de}
corde ouverte, ont {\'e}t{\'e} identifi{\'e}s avec les $p$-branes
de la supergravit{\'e} dans un article majeur de Polchinski, identifiant
leur couplage aux champs de jauge des supergravit{\'e}s
de type II \cite{Polchinski:1995mt}. 
Leur r{\^o}le s'est consid{\'e}rablement d{\'e}velopp{\'e}  lorsqu'il
a {\'e}t{\'e} r{\'e}alis{\'e} que la description de leurs interactions 
se ramenait {\`a} une th{\'e}orie de jauge usuelle sur leur volume
d'univers, permettant ainsi l'application fructueuse de r{\'e}sultats
obtenus dans le cadre de la th{\'e}orie des cordes au
domaine des th{\'e}ories
de jauge. Notons {\'e}galement l'existence dans les th{\'e}ories 
de type II et h{\'e}t{\'e}rotiques de la 
{\it 5-brane de Neveu-Schwarz}, ou {\it NS5-brane}, charg{\'e}e
magn{\'e}tiquement
par rapport au tenseur $B_{\mu\nu}$ du secteur gravitationnel universel.
\index{cinq-brane!de Neveu-Schwarz}
Contrairement aux D-branes, cet objet solitonique 
ne poss{\`e}de {\`a} l'heure actuelle pas de
description en termes de th{\'e}orie conforme bidimensionnelle.
\fig{3cm}{tdualouvert.eps}{La T-dualit{\'e} des cordes ouvertes
{\'e}change les cordes ouvertes libres (gauche) avec les cordes
ouvertes aux extr{\'e}mit{\'e}s attach{\'e}es sur la D-brane (droite).}
{tdualouvert}

\section{...{\`a} la M-th{\'e}orie}

\index{M-th{\'e}orie}
La d{\'e}couverte de ces solitons {\'e}tendus remettait en cause
la vision perturbative des th{\'e}ories de supercordes :
de la corde fondamentale et des solitons de membranes,
quels sont les objets fondamentaux d{\'e}finissant la th{\'e}orie
au niveau non perturbatif ? Quand il existe une corde
solitonique en plus de la corde fondamentale, existe-t-il
une description duale dans laquelle leurs r{\^o}les soient 
{\'e}chang{\'e}s ? On savait d{\'e}ja que les cordes de type IIA
et de type IIB {\'e}taient reli{\'e}es par la sym{\'e}trie miroir
perturbative, les autres cordes pourraient-elles {\^e}tre reli{\'e}es 
par des dualit{\'e}s non perturbatives analogues {\`a}
celles mises en {\'e}vidence en th{\'e}orie des champs ?

\subsection{Dualit{\'e} des th{\'e}ories de cordes}

Ces d{\'e}veloppements conduisirent ainsi en 1995 {\`a} la formulation
de l'hypoth{\`e}se, largement confirm{\'e}e par la suite, que
les cinq th{\'e}ories de supercordes supersym{\'e}triques
{\it ne formaient que diff{\'e}rentes facettes de la
m{\^e}me th{\'e}orie}, dans diff{\'e}rentes approximations de son espace
des modules.  
Cette id{\'e}e d{\'e}passe largement en puissance le 
concept de dualit{\'e} {\'e}lectrique-magn{\'e}tique
apparu en th{\'e}orie des champs, et s'inspire d'un
faisceau de co{\"\i}ncidences remarquables~; le lecteur
pourra s'orienter {\`a} l'aide de la M-appemonde figure
(\ref{map}).
\fig{8cm}{dualites.eps}{Sch{\'e}ma synth{\'e}tique des dualit{\'e}s de
cordes {\`a} 16 et 32 charges supersym{\'e}triques. Les fl{\`e}ches verticales
repr{\'e}sentent les compactifications, les doubles fl{\`e}ches pleines les
dualit{\'e}s non perturbatives, les doubles fl{\`e}ches claires les
dualit{\'e}s perturbatives.}{map}

Ainsi, les cordes de type I
et h{\'e}t{\'e}rotiques de groupe de jauge SO(32) poss{\`e}dent la
m{\^e}me action moyennant la red{\'e}finition $g_{het}=1/g_{I}$.
\index{dualit{\'e}!h{\'e}t{\'e}rotique - type I}
La corde de type I
{\`a} dix dimensions poss{\`e}de un outre un soliton de corde, correspondant
{\`a} la 1-brane de Polchinski, dont la structure
n'est autre que celle de la corde fondamentale de la th{\'e}orie 
h{\'e}t{\'e}rotique. Ces observations conduisent {\`a} postuler que 
la th{\'e}orie des supercordes de type I et la th{\'e}orie des supercordes
h{\'e}t{\'e}rotiques SO(32) ne sont que deux d{\'e}veloppements perturbatifs,
l'un {\`a} $g_I$ faible, l'autre {\`a} $g_{I}$ grand, d'une m{\^e}me th{\'e}orie
d{\'e}finie {\`a} toute valeur de $g_{I}$. Les th{\'e}ories h{\'e}t{\'e}rotiques
de groupe de jauge $SO(32)$ et $E_8\times E_8$ {\'e}tant perturbativement
{\'e}quivalentes par T-dualit{\'e} apr{\`e}s compactification sur un cercle,
on voit que l'on ram{\`e}ne ainsi les trois th{\'e}ories de supercordes
avec supersym{\'e}trie $N=1$ {\`a} dix dimensions {\`a} une seule.

En r{\'e}alit{\'e}, le cas le plus clair de dualit{\'e} 
fut d'abord observ{\'e} dans les compactifications
{\`a} six dimensions de la corde h{\'e}t{\'e}rotique sur un tore
$T^4$, et de la corde de type IIA sur une vari{\'e}t{\'e} $K_3$.
\index{K3, surface@$K_3$, surface}
\index{compactification!sur $K_3$}
Ces deux mod{\`e}les, de supersym{\'e}trie $N=2$
en six dimensions, poss{\`e}dent le m{\^e}me espace des modules
$\Real^+ \times SO(4,20,\Real)/(SO(4)\times SO(20))$ correspondant
au dilaton et aux modules du r{\'e}seau pair autodual $\Gamma_{4,20}$
d{\'e}finissant la compactification de la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique d'une
part~; au dilaton et aux modules de la compactification
de la corde de type IIA sur $K_3$ d'autre part. Les actions effectives
\index{espace des modules!de Het/$T^4$ - IIA/$K_3$}
de basse {\'e}nergie sont en correspondance sous l'identification
$g_{IIA}=1/g_{het}$, et les {\'e}tats du spectre perturbatif correspondant
au r{\'e}seau $\Gamma_{4,20}$ 
sont identifi{\'e}s avec les D-branes enroul{\'e}es
sur les 4 cycles auto-duaux et 20 cycles anti-auto-duaux de l'homologie
\index{cycle d'homologie!de $K_3$}
de $K_3$. Cette dualit{\'e} sera largement discut{\'e}e dans ce
m{\'e}moire, o{\`u} nous l'utiliserons pour d{\'e}duire des couplages
{\it exacts} dans une th{\'e}orie gr{\^a}ce {\`a} un calcul
{\it perturbatif} dans la th{\'e}orie duale.

\subsection{Le cha{\^\i}non manquant}

La conjecture de dualit{\'e} entre les th{\'e}ories de type IIA et 
h{\'e}t{\'e}rotiques
souffrait cependant de n'{\^e}tre valable qu'apr{\`e}s compactification
{\`a} six dimensions, et laissait myst{\'e}rieux le lien entre les th{\'e}ories
de type I (supersym{\'e}trie $N=1$)
et les th{\'e}ories de type II ($N=2$) {\`a} dix dimensions.
Le cha{\^\i}non manquant fut postul{\'e} par E. Witten
en 1995, et le myst{\`e}re qui l'entoure encore maintenant lui 
a valu l'appellation de {\it M-th{\'e}orie}. La justification
\index{M-th{\'e}orie}
\index{Kaluza-Klein!r{\'e}duction de SUGRA 11D en IIA}
de son existence repose principalement sur le lien entre la 
th{\'e}orie de supergravit{\'e}
$N=2$ {\`a} dix dimensions d{\'e}crivant la dynamique de basse {\'e}nergie des
supercordes de type IIA avec la th{\'e}orie de supergravit{\'e} $N=1$ {\`a}
\index{supergravit{\'e}!{\`a} onze dimensions}
onze dimensions construite par Cremmer, Julia et Scherk
\cite{Cremmer:1978km}. La supergravit{\'e} {\`a} 11 dimensions restitue 
en effet la supergravit{\'e}
de type IIA apr{\`e}s compactification {\`a} la Kaluza-Klein sur un cercle,
c'est-{\`a}-dire en omettant toute d{\'e}pendance sur la direction
interne\cite{Kaluza:1921,Klein:1926}.
Le rayon de la onzi{\`e}me dimension $R_{11}$ et l'{\'e}chelle de Planck {\`a}
onze dimensions $l_{11}$ se trouvent ainsi identifi{\'e}s avec
la constante de couplage $g_{IIA}$ de la th{\'e}orie des cordes de type IIA
et l'{\'e}chelle de corde $\alpha'$
selon\footnote{Les coefficients num{\'e}riques ont {\'e}t{\'e} omis dans
cette formule. Des relations {\'e}quivalentes mais utiles sont
$\alpha'=l_{11}^3/R_{11}$, $g_{IIA}=R_{11}/\sqrt{\alpha'}$.
}
\begin{equation}
R_{11}/l_{11}=g_{IIA}^{2/3}\ ,\quad l_{11}=\sqrt{\alpha'}g_{IIA}^{1/3}
\ .
\end{equation}
Cette identification entre th{\'e}ories de supergravit{\'e} peut {\^e}tre
{\'e}tendue {\`a} plus haute {\'e}nergie en identifiant les D0-branes
\index{D-brane!D0-branes}
\index{Kaluza-Klein!excitation de}
de la th{\'e}orie de type IIA avec
les modes de Kaluza-Klein du graviton de onze dimensions
\cite{Townsend:1995kk,Witten:1995ex}~;
les D2-branes et la corde fondamentale de la th{\'e}orie de type IIA
sugg{\`e}rent alors l'existence d'une
{\it membrane} de la M-th{\'e}orie, enroul{\'e}e ou non selon le cercle
\index{membrane, soliton de SUGRA 11D}
de rayon $R_{11}$, tandis les D4- et NS5-branes descendraient d'une
hypoth{\'e}tique {\it 5-brane}. Membranes et 5-branes apparaissent
\index{cinq-brane!soliton de SUGRA 11D}
du reste comme solitons de la supergravit{\'e} {\`a} onze dimensions.
Ces objets ne peuvent cependant {\^e}tre quantifi{\'e}s {\`a} ce jour, et 
la d{\'e}finition m{\^e}me de la M-th{\'e}orie est encore inconnue~;
nous reviendrons sur ce probl{\`e}me dans la suite.

L'existence de cette th{\'e}orie {\'e}tant postul{\'e}e, il est naturel
d'appliquer les m{\'e}thodes de construction de descendants habituelles
en th{\'e}orie des cordes. En particulier, tandis que la compactification sur
un cercle $S_1$ restitue la th{\'e}orie de type IIA, la compactification
sur un orbifold $S_1/\Zint_2$ (autrement dit, un segment), doit donner
une th{\'e}orie de supersym{\'e}trie moiti{\'e}, soit $N=1$. Les
constructions d'orbifold entra{\^\i}nent g{\'e}n{\'e}riquement  
l'existence d'{\'e}tats dits twist{\'e}s, localis{\'e}s sur les points fixes,
\index{twist{\'e}, {\'e}tat}
\index{compactification!de la M-th{\'e}orie sur un segment}
soit ici les deux 9-branes {\`a} chaque extr{\'e}mit{\'e} du segment.
Tandis que la th{\'e}orie des cordes offre une m{\'e}thode g{\'e}n{\'e}rale
pour d{\'e}terminer ces {\'e}tats, on doit ici se contenter d'arguments
indirects. Horava et Witten ont ainsi pu montrer que l'annulation
locale des anomalies gravitationnelles n{\'e}cessitait l'existence
\index{anomalie!gravitationnelle}
de bosons de jauge $E_8$ se propageant sur chaque bord
\cite{Horava:1996ma}. Dans la
limite o{\`u} la longueur du segment tend vers z{\'e}ro, on restitue
ainsi le contenu de la th{\'e}orie h{\'e}t{\'e}rotique $E_8\times E_8$,
dont la corde fondamentale est donn{\'e}e par la membrane (ou 2-brane)
de la M-th{\'e}orie suspendue entre les deux neuf-branes !

\subsection{La th{\'e}orie non perturbative des supercordes}
On voit donc que les cinq th{\'e}ories des cordes de supersym{\'e}trie
$N=1$ correspondent {\`a} cinq limites d'une th{\'e}orie ma{\^\i}tresse
qui admet un d{\'e}veloppement diff{\'e}rent en 
s{\'e}rie de cordes perturbative dans chaque limite, tandis que la supergravit{\'e}
{\`a} onze dimensions repr{\'e}sente la limite de basse {\'e}nergie
de cette th{\'e}orie. Plus pr{\'e}cis{\'e}ment,
nous avons discut{\'e} un certain nombre de conditions satisfaites
par ces cinq formulations limites qui autorisent l'existence d'un
prolongement dans l'int{\'e}rieur du domaine des param{\`e}tres.
Cette approche est assez similaire {\`a} celle adopt{\'e}e en g{\'e}om{\'e}trie
diff{\'e}rentielle, o{\`u} l'on d{\'e}finit une vari{\'e}t{\'e} par les cartes
\index{vari{\'e}t{\'e}!diff{\'e}rentielle}
locales sur un ensemble d'ouverts et par les fonctions de transitions.
L'analogie a ses limites, car dans le
cas pr{\'e}sent, sur chaque carte
l'information n'est que de nature asymptotique, en raison de la
non convergence de la s{\'e}rie asymptotique. On ne donne donc la
\index{asymptotique, s{\'e}rie}
th{\'e}orie que sur un ensemble de mesure nulle $g=0$, et il
faudrait un argument d'analyticit{\'e} pour prolonger cette information
{\`a} des valeurs finies des constantes de couplage.

Quoi qu'il en soit, cette th{\'e}orie non perturbative des supercordes,
que nous d{\'e}nommerons M-th{\'e}orie dans la suite de cet expos{\'e},
ne semble pas donner de place privil{\'e}gi{\'e}e aux cordes elles-m{\^e}mes,
mais plut{\^o}t aux membranes et cinq-branes. Elle doit {\'e}galement
pr{\'e}senter la propri{\'e}t{\'e} d'engendrer une alg{\`e}bre
de courants $E_8$ d{\`e}s lors qu'elle est d{\'e}finie en 
pr{\'e}sence de bord, ce qui l'apparente aux th{\'e}ories
de Chern-Simons \cite{Horava:1997dd}.
\index{Chern-Simons, th{\'e}orie de}
La th{\'e}orie des supermembranes semble en l'{\'e}tat actuel
incoh{\'e}rente et ne peut servir de d{\'e}finition {\`a} la M-th{\'e}orie.
Dans la suite, nous discuterons une proposition r{\'e}cente pour
d{\'e}finir la M-th{\'e}orie sur le front de lumi{\`e}re.
\index{lumi{\`e}re, front de}
Pour l'instant, nous adopterons une approche moins ambitieuse
mais de rapport plus imm{\'e}diat, et envisagerons dans quelle mesure
les techniques de calcul semi-classique en th{\'e}orie des champs
peuvent {\^e}tre transpos{\'e}es {\`a} la th{\'e}orie des cordes.

\subsection{Approche semi-classique {\`a} la th{\'e}orie des supercordes}
\index{semi-classique!calcul en th{\'e}orie des cordes}
Comme nous l'avons discut{\'e} plus haut, les m{\'e}thodes 
semi-classiques pour la d{\'e}termination non perturbative d'amplitudes
physiques sont particuli{\`e}rement efficaces en th{\'e}orie des champs
lorsque l'on s'int{\'e}resse {\`a} des processus interdits perturbativement.
La th{\'e}orie des supercordes, consid{\'e}r{\'e}e dans un
de ses vides supersym{\'e}triques, remplit pr{\'e}cis{\'e}ment cette
condition, du moins lorsque l'on s'int{\'e}resse aux interactions 
dominantes {\`a} basse {\'e}nergie. On peut donc chercher {\`a} calculer
les corrections non perturbatives en incluant les configurations
d'instantons de la th{\'e}orie des cordes.  
\index{instanton!des th{\'e}ories des cordes}
\index{enroulement!des solitons en instantons}
L'{\'e}tude des points-selles euclidiens de la th{\'e}orie de supergravit{\'e}
d{\'e}crivant la dynamique de basse {\'e}nergie permet de d{\'e}terminer
ces configurations, tout comme l'{\'e}tude des solutions classiques
minkovskiennes fournissait le spectre BPS non perturbatif des $p$-branes.
Tout naturellement, les solutions euclidiennes s'obtiennent
en enroulant la ligne d'univers de genre temps
\index{ligne d'univers}
des solutions minkovskiennes statiques autour d'un cercle de genre 
espace du continuum d'espace-temps. On obtient ainsi un ``spectre''
d'objets instantoniques, localis{\'e}s {\`a} un instant  donn{\'e},
mais {\'e}tendus dans $p+1$ directions spatiales, {\`a} la diff{\'e}rence des 
instantons ponctuels des th{\'e}ories de jauge en dimension 4.
Malheureusement, l'absence de formulation non perturbative de la
th{\'e}orie des supercordes ne nous permet pas d'obtenir les r{\`e}gles
de sommation sur ces configurations de mani{\`e}re d{\'e}ductive.
\index{instanton!mesure d'int{\'e}gration}
Cette approche serait donc vou{\'e}e {\`a} l'{\'e}chec, s'il n'existait
un certain nombre d'amplitudes physiques d{\'e}terminables exactement
gr{\^a}ce par des arguments de dualit{\'e}. L'examen de ces quantit{\'e}s,
exactes {\`a} toute valeur du couplage, dans la limite de faible
couplage, permet d'identifier les contributions non perturbatives
de ces instantons, et donne des indications pr{\'e}cieuses sur les
r{\`e}gles {\`a} appliquer dans des cas plus g{\'e}n{\'e}raux.
Cette strat{\'e}gie a {\'e}t{\'e} mise en \oe{}uvre dans le cadre de ce
travail de th{\`e}se, et fera l'objet d'une discussion approfondie
dans ce m{\'e}moire. 

\subsection{M comme Matrice ?}
\index{M-th{\'e}orie}
\index{matrices, th{\'e}orie des}
D{\'e}finie par le prolongement hypoth{\'e}tique de th{\'e}ories perturbatives, 
la th{\'e}orie non perturbative des supercordes gagnerait en cr{\'e}dibilit{\'e}
et pr{\'e}dictivit{\'e} {\`a} recevoir une formulation intrins{\`e}que qui
ne fasse appel {\`a} aucun d{\'e}veloppement perturbatif.
Bien que la r{\'e}ponse {\`a} cette question reste encore hors d'atteinte,
Banks, Fischler, Shenker et Susskind ont propos{\'e} une
\index{Banks, Fischler, Shenker et Susskind, conjecture de}
formulation \cite{Banks:1997vh,Susskind:1997cw} qui 
reproduit bon nombre des caract{\'e}ristiques suppos{\'e}es de la 
M-th{\'e}orie, dont l'amplitude de diffusion graviton-graviton
pr{\'e}dite par la th{\'e}orie de supergravit{\'e} {\`a} 11 dimensions
\cite{Becker:1997wh}.
Cette approche, connue sous le nom de th{\'e}orie des matrices
({\it M(atrix) Theory}) postule que la dynamique de la M-th{\'e}orie 
peut {\^e}tre d{\'e}crite {\it sur le  front de lumi{\`e}re} par la
{\it m{\'e}canique quantique supersym{\'e}trique}
de 9 matrices hermitiennes de $u(N)$ dans la limite de grand $N$,
obtenue par r{\'e}duction dimensionnelle de la th{\'e}orie de Yang-Mills
$U(N)$ supersym{\'e}trique {\`a} dix dimensions~; les 9 champs scalaires
$A_I$ issus de la r{\'e}duction du potentiel vecteur $A_{\mu}$
sont identifi{\'e}s aux 9 coordonn{\'e}es {\it non commutatives}
transverses au front de lumi{\`e}re. Ce mod{\`e}le n'est autre que 
celui d{\'e}crivant la dynamique de $N$ D0-branes, ainsi identifi{\'e}es
\index{D-brane!D0-branes}
\index{parton}
aux composants {\'e}l{\'e}mentaires, ou {\it partons}, de la M-th{\'e}orie.
Cette formulation rappelle les d{\'e}veloppements
encore r{\'e}cents des mod{\`e}les de matrices, qui avaient en effet
permis de faire le lien entre la m{\'e}canique statistique d'une
matrice al{\'e}atoire gaussienne dans la limite de {\it double scaling}
et le d{\'e}veloppement en genre d'une th{\'e}orie de cordes.
La connection avec les th{\'e}ories de supercordes critiques {\'e}tait
cependant rest{\'e}e hors de port{\'e}e, et le calcul limit{\'e} au
calcul de certains exposants critiques. L'analogie a pourtant ses
limites, car c'est ici les fluctuations d'un nombre continu de matrices
param{\'e}tr{\'e}es par le temps propre qu'il faut consid{\'e}rer. La
propri{\'e}t{\'e} de supersym{\'e}trie {\'e}tendue de la th{\'e}orie des
matrices permet cependant d'esp{\'e}rer que ce probl{\`e}me reste
traitable. Sa recevabilit{\'e} reste cependant subordonn{\'e}e {\`a}
la d{\'e}monstration de l'invariance de 
Lorentz $SO(1,10)$ {\`a} onze dimensions,
\index{Lorentz, invariance {\`a} 11D}
non manifeste sur le front de lumi{\`e}re.

Encore cette formulation ne traite-t-elle que la M-th{\'e}orie dans
l'espace plat {\`a} onze dimensions, soit une limite particuli{\`e}re
de la th{\'e}orie non perturbative des supercordes.
Pour pr{\'e}tendre au nom de M-th{\'e}orie, elle doit
pouvoir d{\'e}crire les configurations
de champs de fond les plus g{\'e}n{\'e}rales, et en particulier
pouvoir {\^e}tre compactifi{\'e}e
\index{compactification!de la th{\'e}orie des matrices}
\footnote{Plus pr{\'e}cisement, l'espace de Hilbert de la th{\'e}orie des
matrices devrait comporter des secteurs de supers{\'e}lection
d{\'e}crivant les diff{\'e}rentes compactifications possibles.}.
Le m{\'e}canisme de compactification 
sur des vari{\'e}t{\'e}s quelconques est bien loin d'{\^e}tre compris,
mais d{\'e}j{\`a}, la compactification sur des vari{\'e}t{\'e}s toro{\"\i}dales 
plates de dimension $d$
se r{\'e}v{\`e}le beaucoup plus complexe qu'en th{\'e}ories
des champs ou des cordes habituelles, puisque la m{\'e}canique quantique
de matrices $U(N)$ devient une th{\'e}orie de jauge
supersym{\'e}trique $U(N)$ en dimension $d+1$, dans la limite de grand $N$ !
Ce saut qualitatif compromet la pr{\'e}dictivit{\'e} de cette th{\'e}orie,
en particulier lorsque $d\ge 3$ puisqu'alors la th{\'e}orie de jauge
devient non renormalisable et donc mal d{\'e}finie {\`a} courte distance,
\index{renormalisation!renormalisabilit{\'e} des th{\'e}ories de jauge}
o{\`u} elle doit {\^e}tre compl{\'e}t{\'e}e par des degr{\'e}s de libert{\'e}
suppl{\'e}mentaires. Les U-dualit{\'e}s de la M-th{\'e}orie sont alors
\index{U-dualit{\'e}!et th{\'e}orie des matrices}
identifi{\'e}es aux dualit{\'e}s {\'e}lectrique-magn{\'e}tique et g{\'e}om{\'e}triques
de ces th{\'e}ories de jauge {\'e}tendues. Au cours de ce travail de th{\`e}se,
nous avons {\'e}galement montr{\'e} comment les modules de la
compactification pouvaient s'interpr{\'e}ter dans le cadre de la
th{\'e}orie des matrices, et {\'e}tudi{\'e} le spectre des
{\'e}tats BPS dans les deux formulations. L'identification de la th{\'e}orie
des matrices {\`a} la M-th{\'e}orie, et en particulier aux th{\'e}ories
de supercordes limites, n'a cependant {\'e}t{\'e} v{\'e}rifi{\'e}e 
que dans le secteur BPS, et on peut l{\'e}gitimement se
demander si cette {\'e}quivalence, comme les conjectures de dualit{\'e}
des cordes, s'{\'e}tend au spectre entier des th{\'e}ories de supercordes.

\subsection[Au del{\`a} du cadre de ce m{\'e}moire]{Au del{\`a} du cadre de ce m{\'e}moire...}
Le panorama historique que nous avons dessin{\'e} jusqu'{\`a} pr{\'e}sent
ne donne qu'un aper{\c c}u impressionniste et impr{\'e}cis
du bouleversement survenu en quelques ann{\'e}es dans les
th{\'e}ories des champs et des cordes. 
Nous aurons l'occasion
de rem{\'e}dier {\`a} une partie des insuffisances de cette
introduction dans la
suite de ce m{\'e}moire pour les sujets touchant de plus pr{\`e}s
{\`a} mes recherches doctorales, renvoyant
le lecteur aux articles
originaux et articles de revue cit{\'e}s en r{\'e}f{\'e}rence
pour plus de d{\'e}tails. Nous devrons {\'e}galement ignorer certains 
d{\'e}veloppements prometteurs que nous n'avons pu aborder
dans le cadre de cette th{\`e}se mais que nous 
esp{\'e}rons explorer dans un proche avenir~:
\begin{itemize}
\item La th{\'e}orie des supercordes de type IIB admet des sch{\'e}mas de
compactification non perturbative dans lesquels le dilaton n'est 
pas uniforme, et d{\'e}fini {\`a} une transformation de S-dualit{\'e} 
$Sl(2,\Zint)$ pr{\`e}s. Ces configurations peuvent naturellement
{\^e}tre interpr{\'e}t{\'e}es dans le cadre d'une th{\'e}orie en dimension 12,
introduite par C. Vafa sous le nom de F-th{\'e}orie \cite{Vafa:1996xn}. 
\index{F-th{\'e}orie}
Bien que cette derni{\`e}re soit encore mal d{\'e}finie
(voir \cite{Bars:1997bz} pour une tentative int{\'e}ressante), on peut ainsi 
construire une nouvelle classe de mod{\`e}les, dont, par
compactification sur un espace de Calabi-Yau de dimension complexe 4,
certains mod{\`e}les de supersym{\'e}trie $N=1$ {\`a} quatre dimensions 
d'int{\'e}r{\^e}t ph{\'e}nom{\'e}nologique. Cette proc{\'e}dure permet {\'e}galement
\index{phenomenologie@ph{\'e}nom{\'e}nologie}
de construire des th{\'e}ories de jauge de contenu arbitraire dans
la limite o{\`u} la gravit{\'e} se d{\'e}couple, et de r{\'e}soudre celles-ci
explicitement \cite{Katz:1997fh,Klemm:1997gg}.

\item La mod{\'e}lisation des trous noirs en termes d'{\'e}tats li{\'e}s
\index{trou noir, entropie des}
de D-branes permet une description des degr{\'e}s de libert{\'e}
microscopiques de ces objets. On a ainsi pu d{\'e}river la formule
de Bekenstein-Hawking pour l'entropie des trous noirs extr{\'e}maux 
et quasi extr{\'e}maux, correspondant aux intersections BPS et
quasi-BPS de D-branes
(pour une courte revue, voir par exemple \cite{Maldacena:1997tm}). 
Ce calcul a {\'e}t{\'e} r{\'e}cemment {\'e}tendu
aux trous noirs non extr{\'e}maux, dont le trou noir de Schwarzschild,
gr{\^a}ce {\`a} certaines transformations de U-dualit{\'e} non 
consid{\'e}r{\'e}es dans ce m{\'e}moire \cite{Sfetsos:1997xs}.

\item L'{\'e}tude de la dynamique de volume d'univers des
solitons de la M-th{\'e}orie permet de comprendre 
les dualit{\'e}s des th{\'e}ories de jauge comme action g{\'e}om{\'e}trique
sur la configuration solitonique
(voir \cite{Giveon:1998sr} pour une revue 
de ces d{\'e}veloppements)~; elle sugg{\`e}re {\'e}galement 
l'existence d'une classe de th{\'e}ories de jauge non triviales en dimension
sup{\'e}rieure {\`a} quatre, dont l'absence de formulation lagrangienne
ne diminue pas l'int{\'e}r{\^e}t. Elle permet enfin de relier les
excitations des th{\'e}ories de jauge conformes, et en particulier
de la th{\'e}orie de Yang-Mills N=4 {\`a} quatre dimensions, aux
excitations de supergravit{\'e} sur l'horizon de ces solitons,
\index{horizon, g{\'e}om{\'e}trie de l'}
tout au moins dans la limite de grand $N$
\cite{Maldacena:1997re}.
\end{itemize}

\section{Pr{\'e}sentation de mes recherches doctorales}

Au cours de cette th{\`e}se, je me suis tout d'abord int{\'e}ress{\'e}
aux propri{\'e}t{\'e}s de dualit{\'e} des th{\'e}ories de champs 
supersym{\'e}triques $N=2$. Dans leur article fondateur de 1994, 
Seiberg et Witten ont montr{\'e} comment les corrections
non perturbatives {\`a} la m{\'e}trique des scalaires
de la branche de Coulomb, o{\`u} la sym{\'e}trie de
jauge est bris{\'e}e en un sous-groupe ab{\'e}lien, pouvaient
{\^e}tre calcul{\'e}es gr{\^a}ce aux propri{\'e}t{\'e}s de dualit{\'e} 
{\'e}lectrique-magn{\'e}tique. En revanche, la branche de Higgs,
o{\`u} la valeur moyenne des scalaires des hypermultiplets
brise enti{\`e}rement la sym{\'e}trie de jauge, est prot{\'e}g{\'e}e 
de telles corrections par la supersym{\'e}trie globale.
Les corrections provenant de la th{\'e}orie des cordes ne
sont cependant pas exclues, ce qui a motiv{\'e} l'{\'e}tude
de cette branche sous la direction d'Ignatios Antoniadis
(annexe \ref{hk}) \cite{Antoniadis:1996ra}.
J'ai en particulier pu montrer l'existence d'une nouvelle dualit{\'e}
identifiant la branche de Higgs d'une th{\'e}orie de jauge 
avec $N_c$ couleurs  et $N_f$ saveurs avec celle d'une th{\'e}orie
de $N_f-N_c$ couleurs et $N_f$ saveurs. Cette dualit{\'e}
des branches de Higgs rappelle la dualit{\'e} infrarouge sugg{\'e}r{\'e}e
par Seiberg dans les th{\'e}ories des champs supersym{\'e}triques
$N=1$ correspondantes~; elle a par la suite  {\'e}t{\'e}
interpr{\'e}t{\'e}e en termes d'action g{\'e}om{\'e}trique sur les
configurations de D-branes. Je me suis ensuite pench{\'e}
avec Herv{\'e} Partouche sur le probl{\`e}me de la brisure
partielle de supersym{\'e}trie globale $N=2$ par
les termes de Fayet-Iliopoulos magn{\'e}tiques qu'il avait
mise en {\'e}vidence avec Ignatios Antoniadis et Tomasz
Taylor \cite{antoniadis:1996.1}~; 
cette {\'e}tude a conclu {\`a} l'impossibilit{\'e} d'{\'e}tendre 
ce processus en pr{\'e}sence d'hypermultiplets charg{\'e}s minimalement
coupl{\'e}s, et ne sera pas reprise dans ce m{\'e}moire
\cite{Partouche:1996yp}.

Mon int{\'e}r{\^e}t s'est ensuite port{\'e} vers les dualit{\'e}s
des th{\'e}ories de cordes, au contact d'Elias Kiritsis
et Costas Kounnas {\`a} la division Th{\'e}orie du CERN. 
Apr{\`e}s l'{\'e}tude d'une proposition r{\'e}cente de d{\'e}nombrement
des {\'e}tats BPS des th{\'e}ories de cordes h{\'e}t{\'e}rotiques compactifi{\'e}es
sur $T^6$ ou de type IIA compactifi{\'e}e sur $K_3 \times T^2$ 
\cite{Dijkgraaf:1997it}
qui s'est r{\'e}v{\'e}l{\'e}e incompl{\`e}te, nous
nous sommes int{\'e}ress{\'e}s, en collaboration avec
Andrea Gregori, Niels Obers et Marios Petropoulos,
aux corrections de seuil aux interactions gravitationnelles 
{\`a} quatre d{\'e}riv{\'e}es dans les th{\'e}ories $N=4$ de
rang non maximal (annexe \ref{tt})\cite{Gregori:1997hi}. 
Sous la dualit{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique-type II,
la contribution {\`a} une boucle de type II donne lieu
{\`a} des corrections non perturbatives en $e^{-1/g^2}$ 
correspondant {\`a} des {\it cinq-branes} h{\'e}t{\'e}rotiques enroul{\'e}es
sur le tore $T^6$.
Cette g{\'e}n{\'e}ralisation des r{\'e}sultats
de Harvey et Moore \cite{Harvey:1996ir} a mis en {\'e}vidence la restriction 
de la S-dualit{\'e} {\`a} un sous-groupe de $Sl(2,\Zint)$ dans ces
mod{\`e}les d'orbifolds sans point fixes, ainsi que certains
comportements inattendus de th{\'e}ories h{\'e}t{\'e}rotiques
{\`a} fort couplage. 

Cette premi{\`e}re confrontation avec les effets non perturbatifs
de la th{\'e}orie des cordes m'a conduit {\`a} {\'e}tudier,
en collaboration avec Ignatios Antoniadis et Tomasz Taylor,
d'autres couplages {\`a} quatre d{\'e}riv{\'e}es dans ces th{\'e}ories
$N=4$, qui ont cette fois la propri{\'e}t{\'e} d'{\^e}tre donn{\'e}s
exactement {\`a} une boucle du cot{\'e} h{\'e}t{\'e}rotique 
(annexe \ref{dds})\cite{Antoniadis:1997zt}. Leur
interpr{\'e}tation du point de vue des cordes de type II correspond
alors {\`a} des effets non perturbatifs en $e^{-1/g}$ de D-branes
s'enroulant sur les cycles d'homologie de $K_3\times T^2$.
Nous avons ainsi obtenu les premiers exemples 
explicites d'effets d'instantons
en espace courbe, et retrouv{\'e} le d{\'e}nombrement des cycles alg{\'e}briques
de $K_3$ de genre donn{\'e}, conjectur{\'e} ind{\'e}pendamment par Berschadsky,
Sadov et Vafa \cite{Bershadsky:1996qy}.

Je me suis simultan{\'e}ment 
tourn{\'e} avec Elias Kiritsis vers l'{\'e}tude de situations
plus pures o{\`u} les contributions de ces instantons pouvaient
{\^e}tre comprises plus pr{\'e}cis{\'e}ment. Nous nous sommes ainsi int{\'e}ress{\'e}s
aux couplages en $R^4$ de  la th{\'e}orie de type IIB, pour lesquels
Green et Gutperle avaient conjectur{\'e} une expression non perturbative
en termes d'une fonction non holomorphe modulaire de $Sl(2,\Zint)$
\cite{Green:1997tv}. Nous
avons {\'e}tendu leur conjecture aux compactifications de la corde
de type IIB sur $T^2$ et $T^3$, pour lesquelles nous avons montr{\'e}
que les s{\'e}ries d'Eisenstein invariantes sous les groupes 
de U-dualit{\'e} $Sl(3,\Zint)$
et $Sl(5,\Zint)$ reproduisaient les contributions perturbatives
{\`a} l'ordre des arbres et {\`a} une boucle, ainsi que des sommes
d'instantons interpr{\'e}tables en termes de cordes de type $(p,q)$,
images de la corde fondamentale sous la sym{\'e}trie $Sl(2,\Zint)_B$,
enroul{\'e}es sur les deux-cycles du tore de compactification
(annexe \ref{pq})\cite{Kiritsis:1997em}.
Nous avons ensuite {\'e}tendu ces r{\'e}sultats aux compactifications
toro{\"\i}dales quelconques de type IIA ou IIB, obtenant les
contributions de D$p$-branes de dimensionalit{\'e} arbitraire 
{\`a} ces couplages (annexe \ref{dc})\cite{Pioline:1997pu}. 
En m{\^e}me temps, nous remarquions que ces
contributions ne suffisaient pas {\`a} reproduire un r{\'e}sultat
invariant sous la dualit{\'e} en dimension $D\le 6$, et
qu'elles devaient {\^e}tre compl{\'e}t{\'e}es par des contributions
en $e^{-1/g^2}$ dont l'interpr{\'e}tation reste obscure
{\`a} ce jour. Tout r{\'e}cemment, j'ai pu d{\'e}montr{\'e} l'absence
de contributions des formes cuspo{\"\i}{}dales aux couplages en
$R^4$, fournissant ainsi la d{\'e}monstration d{\'e}finitive
de la conjecture de Green et Gutperle (annexe \ref{nr4})\cite{Pioline:1998}.
Ce r{\'e}sultat appara{\^\i}{}t {\'e}galement comme cons{\'e}quence
de l'{\'e}tude des couplages {\`a} quatre d{\'e}riv{\'e}es cit{\'e}
plus haut. 

La th{\'e}orie des matrices, pr{\'e}tendante {\`a} une d{\'e}finition
non perturbative de la M-th{\'e}\-orie et donc de la th{\'e}orie
des supercordes, ayant remport{\'e} des succ{\`e}s remarquables,
je me suis pench{\'e} sur ces d{\'e}veloppements en collaboration
avec Eliezer Rabinovici et Niels Obers, dans l'espoir de
clarifier ces contributions instantoniques (annexe \ref{mu})
\cite{Obers:1997kk}. 
Nous avons ainsi
pu faire le lien avec des r{\'e}sultats obtenus peu avant
par Eliezer en collaboration avec Amit Giveon, Shlyamon Elitzur  
et David Kutasov sur l'impl{\'e}mentation de la sym{\'e}trie de
U-dualit{\'e} en th{\'e}orie des matrices \cite{Elitzur:1997zn}. Nous avons {\'e}galement
pu {\'e}tendre ces r{\'e}sultats, en d{\'e}montrant comment la 
th{\'e}orie des matrices devait {\^e}tre modifi{\'e}e pour
d{\'e}crire des compactifications en pr{\'e}sence de champs de
fond de jauge, n{\'e}cessaires {\`a} la r{\'e}alisation de la
U-dualit{\'e}. 



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "these"
%%% End: 
\newcommand{\ie}{\hbox{\it i.e.}\ }    
\newcommand{\Rank}{{\rm Rank}\ }
\newcommand{\Tr}{{\rm Tr}\ }
\newcommand{\STr}{{\rm Str}\ }
\newcommand{\axion}{\hbox{\Large $a$} }
%\newcommand{\Zint}{{\mbox{\sf Z\hspace{-3.2mm} Z}}}
\newcommand{\A}{{\cal A}}
\newcommand{\C}{{\cal C}}
\newcommand{\E}{{\cal E}}
\newcommand{\G}{{\cal G}}
\newcommand{\K}{{\cal K}}
\newcommand{\M}{{\cal M}}
\newcommand{\R}{{\cal R}}
\newcommand{\tg}{\tilde g}
\def\a{\alpha} 
\def\m{\mu} 
\def\n{\nu} 
\def\r{\rho} 
%\newcommand{\Real}{{\mbox{I\hspace{-2.2mm} R}}}
\newcommand{\be}{\begin{equation}}
\newcommand{\ee}{\end{equation}}
\newcommand{\ba}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\ea}{\end{eqnarray}}
\renewcommand{\sp}{\; , \; \; }

\def\hk{hyper\-K{\"a}h\-ler\ }
\def\Hk{Hyper\-K{\"a}h\-ler\ }
\def\kh{K{\"a}hler\ }
\def\sm{$\sigma$--model\ }
\def\mm{moment map\ }
\def\sd{$N_c \leftrightarrow N_f-N_c$}
\def\sy{sym\-plec\-tic\ }
\def\ma{mani\-fold\ }
\def\FI{Fayet--Iliopoulos\ }
\def\SW{Seiberg--Witten\ }
\def\Lie#1{{\cal L}_{#1}}
\def\mm{{\cal P}^{x}}
\def\tr{\mbox{tr}}
\def\im{\mbox{Im}}
\def\ie{{\it i.e.\ }}

% The only stuff from amsfonts that we use
%\def\ZZ{\mathbb{Z}}
%\def\HH{\mathbb{H}}
%\def\CC{\mathbb{C}}
%\def\RR{\mathbb{R}}
%\def\II{\mathbb{I}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\II}{\mathbb{I}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Zint}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Real}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ppmatrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
\newcommand{\mmatrix}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% From dds12:
%traces and imaginary parts
\def\Tr{\,{\rm Tr}\, }
\def\det{\,{\rm det}\, }
\def\Str{\,{\rm Str}\, }
\def\tr{\,{\rm tr}\, }
\def\Im{\,{\rm Im}\, }
\def\Re{\,{\rm Re}\, }
\def\im{\, {\rm Im}\, \tau}
%\def\iS{{\,{\rm Im}\, }S}
%\def\iT{{\,{\rm Im}\, }T}
%\def\iU{{\,{\rm Im}\, }U}
\def\iS{S_2}
\def\iT{T_2}
\def\iU{U_2}
\def\ifd{\int_{\cal F}\frac{d^2\tau}{\t_2}}
% Greek letters
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\g{\gamma}
\def\d{\delta}
\def\eps{\epsilon}
\def\f{\phi}
\def\k{\kappa}
\def\l{\lambda}
\def\m{\mu}
\def\n{\nu}
\def\o{\omega}
\def\p{\pi}
\def\ps{\psi}
\def\Ps{\Psi}
\def\r{\rho}
\def\t{\tau}
\def\th{\vartheta}
\def\Th{\Theta}
\def\s{\sigma}
\def\x{\xi}
\def\ci{\chi}
\def\et{\eta}
%\def\L{\Lambda}
\def\S{\Sigma}
\def\Ga{\Gamma}
\def\Fi{\Phi}
\def\O{\Omega}
\def\D{\Delta}

% barred variables
\def\thb{\bar{\th}}
\def\etb{\bar{\eta}}
\def\bz{\bar{z}}
\def\bet{\bar{\et}}
\def\fb{\bar{f}}
\def\bh{\bar{h}}
\def\bg{\bar{g}}
\def\bd{\bar{d}}
\def\kb{\bar{k}}
\def\lb{\bar{l}}
\def\bc{\bar{\g}}
\def\cb{\bar{c}}
\def\bu{\bar{u}}
\def\bw{\bar{w}}
\def\bv{\bar{v}}
\def\bq{\bar{q}}
\def\bp{\bar{p}}
\def\br{\bar{r}}
\def\by{\bar{y}}
\def\bl{\bar{\l}}
\def\baa{\bar{a}}
\def\bb{\bar{b}}
\def\fb{\bar{f}}
\def\bi{\bar{\imath}}
\def\bj{\bar{\jmath}}
\def\bo{\overline{0}}
\def\tf{\bar{\phi}}
\def\bps{\bar{\psi}}
\def\bPs{\bar{\Psi}}
\def\bR{\overline{R}}
\def\bS{\overline{S}}
\def\bX{\overline{X}}
\def\bN{\overline{N}}
\def\bM{\overline{M}}
\def\bA{\overline{A}}
\def\bL{\overline{L}}
\def\bJ{\overline{J}}
\def\bV{\overline{V}}
\def\bQ{\overline{Q}}
\def\bI{\overline{I}}
\def\bP{\overline{P}}
\def\bQ{\overline{Q}}
\def\bG{\overline{G}}
\def\bE{\overline{E}}
\def\bF{\overline{F}}
\def\bT{\bar{T}}
\def\bU{\bar{U}}
\def\bC{\overline{C}}
\def\bX{\overline{X}}
\def\bY{\overline{Y}}
\def\bW{\overline{W}}
\def\bOmega{\overline{\Omega}}
\def\bLambda{\overline{\Lambda}}
% variables with tilde
\def\hh{\tilde h}
\def\tm{\tilde m}
\def\tu{\tilde{u}}
\def\tL{\widetilde{L}}
\def\tT{\widetilde{T}}
\def\tD{\widetilde{\Delta}}
\def\tX{\widetilde{X}}
\def\tPs{\widetilde{\Psi}}
\def\tbPs{\overline{\widetilde{\Psi}}}
% calligraphic variables
\def\sL{{\cal L}}
\def\J{{\cal J}}
\def\F{{\cal F}}
\def\cG{{\cal G}}
\def\P{{\cal P}}
\def\H{{\cal H}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\cF{{\cal F}}
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\def\N{{\cal N}}

% hatted variables
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\def\C{{\cal C}}
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\def\simgt{\stackrel{>}{{}_\sim}}
\newcommand{\dal}{\raisebox{0.085cm}
{\fbox{\rule{0cm}{0.07cm}\,}}}
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>}{\textstyle\sim}$}\,}
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<}{\textstyle\sim}$}\,}

\def\ft1{\tilde{F}_1}
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\def\oti{\otimes}
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\def\limit#1#2{\smash { \mathop{#1} \limits_{#2} }  }
\def\nn{\na\na}
\def\etab{ {\bar{\eta}} \raisebox{0.5ex}{$^{-24}$} (\bar{\tau}) } 


%d'alembertien
\def\sqr#1#2{{\vcenter{\vbox{\hrule height.#2pt
        \hbox{\vrule width.#2pt height#1pt \kern#1pt
           \vrule width.#2pt}
        \hrule height.#2pt}}}}
\def\square{\mathchoice\sqr64\sqr64\sqr{2.1}3\sqr{1.5}3}
%
%plus petit (grand) ou presque egal
\def\lsim{{\displaystyle
{{\raise-8pt\hbox{$ <$}}
\atop{\raise5pt\hbox{$\sim$}}}}}
\def\gsim{{\displaystyle
{{\raise-8pt\hbox{$ >$}}
\atop{\raise5pt\hbox{$\sim$}}}}}
%
%plus petit (grand) ou presque egal dans les notes bdp
\def\slsim{{\displaystyle
{{\raise-8pt\hbox{$\scriptstyle <$}}
\atop{\raise5pt\hbox{$\scriptstyle \sim$}}}}}
\def\sgsim{{\displaystyle
{{\raise-8pt\hbox{$\scriptstyle  >$}}
\atop{\raise5pt\hbox{$\scriptstyle \sim$}}}}}
%
%theta function arguments
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\newcommand{\ar}[2]{\genfrac{[}{]}{0pt}{}{#1}{#2}}

\newcommand{\sump}[0]{\sum_{(h,g)}\!{\raise 4pt \hbox{$'$}}\,}
%
% mathematical symbols
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%\def\Real{\mbox{I\hspace{-2.2mm} R}}
\def\bul{$\bullet$}
\def\op{\oplus}
\def\pa{\partial}
\def\bpa{\bar{\partial}}
\def\ve{\vert}
\def\df{\delta \phi}
\def\tdf{\tilde{\delta}\phi}
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\def\ti{\times}
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%
\def\xx{\hbox{ }^*_*}
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%
%traces and imaginary parts
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% Greek letters
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\def\t{\tau}
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\def\ps{\psi}
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\def\Th{\Theta}
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% barred variables
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\def\thb{\bar{\th}}
\def\etb{\bar{\eta}}
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\def\bQ{\overline{Q}}
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\def\bE{\overline{E}}
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\def\bLambda{\overline{\Lambda}}
%\def\bcJ{\overline{{\cal J}}}
\def\cbD{\overline{{\cal D}}}
%
\def\Z{Z\!\!\! Z}
\def\Gp{G_+}
\def\Gm{G_-}
\def\gp{g_+}
\def\gm{g_-}
% variables with tilde
\def\hh{\tilde h}
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\def\tL{\widetilde{L}}
\def\tT{\widetilde{T}}
\def\tD{\widetilde{\Delta}}
\def\tX{\widetilde{X}}
\def\tPs{\widetilde{\Psi}}
\def\tbPs{\overline{\widetilde{\Psi}}}

% caligraphic variables
\def\sL{{\cal L}}
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\def\F{{\cal F}}
\def\cG{{\cal G}}
\def\P{{\cal P}}
\def\H{{\cal H}}
\def\cA{{\cal A}}
\def\G{{\cal G}}
\def\cD{{\cal D}}
\def\T{{\cal T}}
\def\C{{\cal C}}
\def\cO{{\cal O}}
\def\Y{{\cal Y}}
\def\B{{\cal B}}
\def\Bo{{\cal B}_O}
\def\N{{\cal N}}
% hatted variables
%\def\hg{\hat{g}}
\def\Fh{\widehat{{\cal F}}}
\def\Bh{\widehat{{\cal B}}_H}
\def\Ch{\widehat{{\cal C}}_{g/h}}
\def\hG{\widehat{G}}
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\def\hb{\hat{\b}}
%
%useful
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\def\pe{\, . }
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\def\nl{\newline}
\def\ed{\end{document}}



\def\I{\rm I}
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\def\IV{\rm IV}
\def\V{\rm V}
\def\VI{\rm VI}
\def\VII{\rm VII}
\def\VIII{\rm VIII}
\def\IX{\rm IX}
\def\ifd{\int_{\cal F}\frac{{\rm d}^2\tau}{\t_2}}
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\def\phl{\vphantom{l}}
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\def\ei{\vert_{\J \ra \bJ}}

\def\fig#1#2#3#4{
\begin{figure}
\begin{center}
\mbox{\epsfysize #1 \epsffile{#2}}
\end{center}
\caption{#3}
\label{#4}
\end{figure}}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "these"
%%% End: 
\newcommand{\etalchar}[1]{$^{#1}$}
\begin{thebibliography}{AGGMV86}

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\end{thebibliography}
%
% These de Doctorat de l'Universit'e Pierre et Marie Curie
% en Physique Theorique
%
% pr{\'e}sent{\'e}e par Boris PIOLINE
%
% "Aspects non-perturbatifs de la theorie des supercordes"
%
% version courte, pour le reseau

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\chapter[Higgs branch, HyperK{\"a}hler quotient and duality in N=2 SYM
theories]
{Higgs branch, HyperK{\"a}hler quotient and duality in SUSY N=2 
Yang-Mills theories\label{hk}}
\begin{publi}{Int. J. Mod. Phys. A12 (1997) 4907}
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\end{publi}

\chapter{$R^2$ Corrections and Non-perturbative Dualities of 
        N=4 String ground states\label{tt}}
\begin{publi}{Nucl. Phys. B 510 (1998) 423}
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\end{publi}

\chapter{On $R^4$ threshold corrections in IIB string theory and 
       (p,q) string instantons\label{pq}}
\begin{publi}{Nucl. Phys. B 508 (1997) 509}
%\include{IIB-10these}
\end{publi}

\chapter{U-duality and D-brane Combinatorics \label{dc}}
\begin{publi}{Phys. Lett. B 418 (1998) 61}
%\include{Dcombi5plthese}
\end{publi}

\chapter[A note on non-perturbative $R^4$ couplings]
{A note on non-perturbative \\$R^4$ couplings\label{nr4}}
\begin{publi}{accept{\'e} pour publication dans Phys. Lett.}
%\include{noter4these}
\end{publi}

\chapter{Calculable $e^{-1/\lambda}$ Effects \label{dds}}
\begin{publi}{Nucl. Phys. B 512 (1998) 61}
%\include{dds12these}
\end{publi}

\chapter{M-Theory and U-duality on $T^d$ with Gauge Backgrounds\label{mu}}
\begin{publi}{accept{\'e} pour publication dans Nucl. Phys. B.}
%\include{UMatrix5these}
\end{publi}


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