\chapter{Modle gaussien}
\label{neutral}


Il est instructif de calculer la distribution de la fraction $f$ de pions 
neutres dans le cas o les $\bfvarphi_{\vec k} \equiv \bfvarphi (\vec k,t_f)$ 
et $\dot\bfvarphi_{\vec k} \equiv \dot\bfvarphi (\vec k,t_f)$ sont des
variables alatoires gaussiennes, indpendantes, de moyennes nulles et 
de dispersions respectives $\sigma_1$ et $\sigma_2$ 
(celles-ci sont les mmes pour toutes les direction d'isospin $j=1,2,3$ et 
pour tous les modes $\vec k$). On crit alors la probabilit 
($c \equiv {j,\vec k}$)
\beq
\label{ensemble}
 \mbox{Proba} \left( \{ \bfvarphi_{\vec k} \},\{\dot \bfvarphi_{\vec k}\} \right) = 
 \prod_c \, P_{\varphi} (\varphi_c) \, P_{\dot\varphi} (\dot\varphi_c) \,
 d\varphi_c \, d\dot\varphi_c \, ,
\end{equation}\noindent
\bearn
\label{gauss1}
 P_{\varphi} (x) & = & \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_1^2}} \, 
 \exp \left(  - \frac{x^2}{2 \sigma_1^2} \right) \, , \nonumber\\
\label{gauss2}
 P_{\dot\varphi} (x) & = & \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_2^2}} \, 
 \exp \left(  - \frac{x^2}{2 \sigma_2^2} \right) \, ,
\eearn
Les modes tant indpendants les uns des autres, nous focalisons notre 
attention sur l'un d'entre eux et omettons l'indice $\vec k$ correspondant. 
D'aprs l'Eq.~(\ref{alpha}) du Chap.~\ref{PROBA}, on a, pour chaque 
composante d'isospin,
\bearn
\label{re}
 \varphi_j & = & \sqrt{\frac{2}{\omega}} \, \mbox{Re} \, \alpha_j =
 A_j \, \cos \gamma_j  \, ,\nonumber \\
\label{im}
 \dot\varphi_j & = & \sqrt{2\omega} \, \mbox{Im} \, \alpha_j =
 \omega A_j \, \sin \gamma_j \, ,
\eearn
o $\gamma_j$ est dfini par la relation 
$\alpha_j = \sqrt{\bar n_j} \, e^{i \gamma_j}$ et $A_j=\sqrt{2\bar n_j/\omega}$.
Les diffrentes directions d'isospin tant indpendantes, la distribution de
probabilit pour les amplitudes $A_j$ et les phases $\gamma_j$ est le produit 
des distributions individuelles $P_{A,\gamma} (A_j,\gamma_j)$, o
\beq
\label{polardist}
 P_{A,\gamma} (A,\gamma) = 
 \omega A \, P_{\varphi} (A \cos \gamma) \,
 P_{\dot\varphi} (\omega A \sin \gamma) \, .
\end{equation}\noindent
On en dduit la distribution de probabilit pour les valeurs de l'amplitude
dans une direction $j$ donne :
\bearn
 P_A (A) & = & \int_{0}^{2\pi} d\gamma \, P_{A,\gamma} (A,\gamma) \nonumber\\
 & = & \frac{\omega}{2\pi \sigma_1 \sigma_2} \, A \, e^{- A^2 \Delta_{+}} \, 
 \int_0^{2\pi} d\gamma \, e^{-A^2 \Delta_{-} \cos (2\gamma)} \nonumber\\
 & = & \frac{\omega}{\sigma_1 \sigma_2} \, A \, e^{- A^2 \Delta_{+}} \, I_0(A^2 \Delta_{-})
\label{radial}
\eearn
o $I_\nu(x)$ est la fonction de Bessel modifie de premire espce, et
\beq
\label{delta}
 \Delta_{\pm} = 
 \frac{1}{4} \left| \frac{1}{\sigma_1^2} \pm \frac{\omega^2}{\sigma_2^2} \right| \, .
\end{equation}\noindent

\section*{Calcul de la distribution de la fraction de pions neutres}

La distribution de probabilit de la fraction neutre 
$f = {A_3}^2/({A_1}^2 + {A_2}^2 + {A_3}^2)$ est donne par
\beq
 P_f (f) = \int_0^{+ \infty} dx dy dz \, 
 P_A(x) \, P_A(y) \, P_A(z) \, 
 \delta \left( f - \frac{{z}^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right)
\end{equation}\noindent
En introduisant les coordonnes sphriques $(r,\theta,\phi)$, o 
$0 \le r < +\infty$, $0 \le \theta \le \pi/2$, et $0 \le \phi \le \pi/2$,
et en posant $u=\cos \theta$, on peut integrer la fonction delta  
($\delta (f-u^2) \equiv \delta (u-\sqrt{f})/2\sqrt{f}$ pour $0 \le u \le 1$). 
On obtient
\beq
\label{etape1}
 P_f (f) = \frac{1}{2} \left( \frac{\omega}{\sigma_1 \sigma_2} \right)^3 (1-f) 
 \int_0^{+ \infty} dr \, r^5 \, I_0(r^2 f \Delta_{-}) \, e^{-r^2 \Delta_{+}} \,
 \Phi \left( r^2 (1-f) \Delta_{-} \right) \, ,
\end{equation}\noindent
avec
\bear
 \Phi (z) & =  & \int_0^{\pi/2} d\phi \, \sin \phi \, \cos \phi \, 
 I_0(z \cos^2 \phi) \, I_0(z \sin^2 \phi) \\
 & = & \frac{1}{2z} \int_0^z dx \, I_0(z-x) \, I_0(x) \, .
\eear
Cette dernire intgrale est un produit de convolution au sens de la transforme
de Laplace. En utilisant le thorme de convolution\footnote{La transforme 
   de Laplace du produit de convolution de deux fonctions $F$ et $G$ est gal 
   au produit des transformes de Laplace de ces deux fonctions : 
   \eq
    \mathcal L \left\{ \int_0^t dz \, F(t-z) \, G(z) \right\} (s) =
    \mathcal L \{ F(t) \} (s) \, \, \mathcal L \{ G(t) \} (s) \, ,
   \eq},
et la transforme de Laplace de la fonction de Bessel $I_0$
\beq
\label{Laplace}
 \mathcal L \{ I_0(t) \} (s) = \int_0^{+ \infty} dt \, e^{-st} \, I_0(t) =
 \frac{1}{\sqrt{s^2 - 1}} \, \, \, , \, \, \, s > 1 \, \, ,
\end{equation}\noindent 
on obtient
\eq
 \Phi (z) = 
 \frac{1}{2 z} \, \mathcal L^{-1} \left\{ \frac{1}{s^2 - 1} \right\} (z) = 
 \frac{\sinh z}{2z} \, .
\eq
On crit alors la distribution de probabilit cherche sous la forme
\beq
\label{etape2}
 P_f (f) = F_1(\Delta_{+},f \Delta_{-},(1-f) \Delta_{-}) \, ,
\end{equation}\noindent
o l'on a dfini les fonctions ($x=r^2$)
\eq 
 F_p(a,b,c) = \int_0^{+ \infty} dx \,x^p \, e^{- a x} \, I_0(bx) \, \sinh (cx) \, .
\eq
qui satisfont de manire vidente  la relation de rcurrence
\eq
 F_p(a,b,c) = - \frac{\partial}{\partial a} \, F_{p-1}(a,b,c) \, .
\eq
\par 
Le calcul de $F_0(a,b,c)$ est ais : en explicitant la fonction $\sinh (x)$
sous l'intgrale, on voit que
\eq
 F_0(a,b,c) = \frac{1}{2} \mathcal L \{ I_0(bx) \} (a-c) -
 \frac{1}{2} \mathcal L \{ I_0(bx) \} (a+c) \, ,
\eq
d'o on dduit, en utilisant (\ref{Laplace})
\beq
 F_0(a,b,c) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{{(a-c)}^2- b^2}} -
 \frac{1}{\sqrt{{(a+c)}^2- b^2}} \right) \, \, \, , \, \, \,
 a \pm c > b \, .
\end{equation}\noindent
Il vient 
\beq
 F_1(a,b,c) = \frac{1}{2} \left( 
 \frac{a-c}{\left[ \, {(a-c)}^2- b^2 \, \right]^{3/2}} -
 \frac{a+c}{\left[ \, {(a+c)}^2- b^2 \, \right]^{3/2}} \right) \, \, \, , \, \, \,
 a \pm c > b \, ,
\end{equation}\noindent

\noindent
Finalement (cf. Eq.~(\ref{etape2}), notez que pour $a=\Delta_{+}$, 
$b=f \Delta_{-}$ et $c=(1-f) \Delta_{-}$ on a bien $a \pm c>b$),

\beq
\label{distrib0}
 P_f (f) = \frac{1}{2} \left( F_\Omega (f) + F_{-\Omega} (f) \right)
\end{equation}\noindent
avec
\beq
\label{distrib1}
 F_\Omega (f) = \left( \Omega - (1-f) \right) 
 \left( \frac{\Omega + 1}{\Omega - (1-2f)} \right)^{3/2}
\end{equation}\noindent
et
\beq
\label{distrib2}
 \Omega = \frac{\Delta_{+}}{\Delta_{-}} = \left|
 \frac{\sigma_2^2 + \omega^2 \sigma_1^2}
 {\sigma_2^2 - \omega^2 \sigma_1^2} \right| \, .
\end{equation}\noindent
 
\section*{Calcul de la distribution du nombre total de pions}

De la mme faon, on calcule la distribution du nombre total de pions 
dans le mode $\vec k$ : $\bar n = \omega A^2 /2$, o $A^2 = \sum_{j=1}^3 A_j^2$
\beq
\label{nbtotal}
 P_n (\bar n) = \frac{2}{\omega} \, 
 P_{A^2} \left( \frac{2}{\omega} \bar n \right) \, 
\end{equation}\noindent
avec
\beq
 P_{A^2} (A^2) = \int_0^{+ \infty} dx dy dz \, 
 P_A(x) \, P_A(y) \, P_A(z) \, 
 \delta \left( A^2 - x^2 + y^2 + z^2 \right)
\end{equation}\noindent
Comme prcdemment, on intgre la fonction delta en passant en coordonnes 
shriques. En utilisant (\ref{radial}) il vient ($u=\cos \theta=x^2$)
\beq
 P_{A^2} (A^2) = \frac{1}{8\Delta_-} \, 
 \left( \frac{\omega}{\sigma_1 \sigma_2} \right)^3 \,
 A^2 \, \mbox{e}^{-A^2 \Delta_+} \, \Psi (A^2 \Delta_-) \, ,
\end{equation}\noindent
o
\bear
 \Psi (z) & = & \int_0^1 dx \, I_0(zx) \, \sinh (z(1-x)) \\
 & = & \frac{1}{z} \, \int_0^z dy \, I_0(y) \, \sinh (z-y) \, .
\eear
En utilisant le thorme de convolution de la transforme de Laplace,
ainsi que les transformes de Laplace de $I_0$ (Eq.~(\ref{Laplace})) et
\eq
 \mathcal L \left\{ \sinh t \right\} (s) = \frac{1}{s^2-1} \, ,
\eq
on obtient 
\eq
 \Psi (z) = \frac{1}{z} \, 
 \mathcal L^{-1} \left\{ \frac{1}{(s^2-1)^{3/2}} \right\} (z) = I_1(z) \, .
\eq
Finalement, la distribution du nombre total de pions dans le mode $\vec k$
est donne par l'Eq.~(\ref{nbtotal}), avec
\beq
 P_{A^2} (A^2) = \frac{1}{8\Delta_-} \, 
 \left( \frac{\omega}{\sigma_1 \sigma_2} \right)^3 \,
 A^2 \, \mbox{e}^{-A^2 \Delta_+} \, I_1(A^2 \Delta_-) \, .
\end{equation}\noindent

\section*{Cas particuliers}

Il est instructif d'tudier la formule (\ref{distrib0}) pour 
quelques exemples particuliers de la classe d'ensemble statistiques 
gaussiens (\ref{ensemble})-(\ref{gauss2}), et en particulier les
deux cas limites $\Omega \rightarrow 1$ et $\Omega \rightarrow +\infty$.
\par
Le cas $\Omega = 1$, ou encore $\Delta_+ = \Delta_-$, correspond aux deux
situations $\sigma_1=0$ ou bien $\sigma_2=0$. Cela signifie qu'un des deux 
vecteurs, $\bfvarphi$ ou $\dot\bfvarphi$, est fix, et donc nul. Le vecteur
$\bfalpha$ est alors proportionnel  un vecteur orient alatoirement dans 
l'espace d'isospin et on doit retrouver la loi en $1/\sqrt{f}$ pour la 
distribution de la fraction neutre $f$. En effet, considrons par exemple
la limite $\sigma_2 \rightarrow 0$, c'est  dire $\dot\bfvarphi = {\bf 0}$. 
Alors $\bfalpha \propto \bfvarphi$ et la distribution de la fraction neutre
tends vers\footnote{Dans cette limite, $\Delta_+ \sim \Delta_- \sim
   \omega^2/4\sigma_2^2 \rightarrow +\infty$, mais 
   $\Delta_+ - \Delta_- = 1/2\sigma_1^2$. La distribution (\ref{radial}) tend, 
   comme il se doit, vers la distribution (\ref{gauss1}) : 
   \eq
    P_A (A) \rightarrow \frac{2}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}} \, 
     \exp \left(  - \frac{A^2}{2 \sigma_1^2} \right) = 2 \, P_\varphi (A) \, ,
   \eq
   o l'on a utilis le dveloppement asymptotique 
   $\displaystyle
    I_\nu (z) \sim \frac{\mbox{e}^z}{\sqrt{2\pi z}} \, .
   $
   Ci-dessus, le facteur $2$ supplmentaire vient du fait que $A=|\varphi|$.}
 ($\Omega \rightarrow 1$)
\beq
 P_f (f) = \frac{1}{2 \sqrt f} \, . 
\end{equation}\noindent
\par
Un deuxime cas intressant est la sous-classe d'ensembles tels que
$\sigma_2 = \omega \, \sigma_1$ ($\Omega \rightarrow + \infty$). En termes de
la distribution de probabilit $P_\alpha (\alpha_j)$ pour les nombres
complexes $\alpha_j$ (cf.~Eq.~(\ref{alpha}) du Chap.~\ref{QUENCH})
\eq
 P_\alpha (\alpha) \, d^2 \alpha = P_{A,\gamma} (A,\gamma) \, dA \, d\gamma \, ,
\eq
on a, d'aprs les Eqs.~(\ref{re})-(\ref{polardist}) (voir aussi (\ref{radial}))
\beq
\label{thermal}
 P_\alpha (\alpha) = \frac{1}{\pi \sigma^2} \, \mbox{e}^{-|\alpha|^2/\sigma^2} \, ,
\end{equation}\noindent
o 
\eq
 \sigma^2 = \sigma_1 \, \sigma_2 = \langle \bar n \rangle = 
 \int d^2\alpha \, P_{\alpha} (\alpha) \, |\alpha|^2 
\eq
 ($|\alpha|^2 = \bar n$ est le nombre moyen de quanta dans l'tat 
cohrent~$| \alpha \rangle$ et~$\langle \bar n \rangle$ est la moyenne
statistique de ce nombre dans l'ensemble (\ref{thermal})).
La fonction $P_\alpha (\alpha)$ est appelle la 
reprsentation de Glauber~\cite{Glauber} de la matrice 
densit\footnote{On peut toujours reprsenter la matrice densit sur
   la base des tats cohrents. Une trs grande classe d'oprateur densit
   peuvent s'crire $\rho = \int d^2 \alpha \, 
   P_\alpha (\alpha) | \alpha \rangle \langle \alpha |$.}. 
Pour la classe d'ensembles (\ref{thermal}) la distribution de la fraction
neutre $f$ est
\beq
\label{thermalf}
 P_f (f) = 2 \, (1-f) \, .
\end{equation}\noindent
Cette distribution ne dpend pas de la largeur $\sigma$. Un exemple
particulirement intressant de la distribution (\ref{thermal}) est
celui d'un ensemble de quanta de frquences $\omega$ en quilibre
thermique~\cite{Glauber}\footnote{On a alors
    $\sigma^2=(\exp (\omega/T) -1)^{-1} \simeq T/\omega$, la dernire
    galit tant valable pour les modes de basse frquence ($\omega \ll T$)
    pour lesquels l'approximation de champ classique est justifie.}.
\par
Enfin, un troisime cas particulier intressant est celui de l'ensemble
initial du le modle de Rajagopal et Wilzcek~\cite{RW},
utilis au Chap.~\ref{QUENCH}. Les variables $\phi_j (\vec x)$ et 
$\dot\phi_j (\vec x)$ sont des nombres gaussiens de variances respectives
$\langle \phi_j^2 \rangle$ et $\langle \dot\phi_j^2 \rangle$, distribus
indpendamment sur les n\oe uds du rseau. Cela implique (cf. Annexe~\ref{neumann})
que les composantes de Fourier $\varphi_j (\vec k)$ et $\dot\varphi_j (\vec k)$ 
sont des nombres gaussiens indpendants de variances respectives (en units 
du pas du rseau $a$)
\eq
 \sigma_1 = \mathcal N \, \langle \phi_j^2 \rangle = 
 \mathcal N \, \frac{v^2}{16} \, \, \, , \, \, \,
 \sigma_2 = \mathcal N \, \langle \dot\phi_j^2 \rangle = 
 \mathcal N \, \frac{v^2}{4} \, ,
\eq
o $\mathcal N$ est une constante de normalisation dpendant de $\vec k$.
La distribution de la fraction neutre dans chacun des modes $\vec k$ est
alors donne par les Eqs.~(\ref{distrib0})-(\ref{distrib2}) avec
\beq
\label{indist}
 \Omega_k = \left| \frac{4 + \omega_k}{4 - \omega_k} \right| \, .
\end{equation}\noindent
La Fig.~\ref{fig_distrib0} reprsente la distribution de la fraction
neutre $f_k$ dans les modes $\vec k = (k=n \Delta k,0,0)$, dans l'ensemble 
initial du scnario du trempage, pour les deux valeurs extrmes de la 
fentre d'impulsion tudie au Chap.~\ref{QUENCH} : $0 \le k \lesssim 150$~MeV
($0 \le n \le 15$).


\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Distrib0.eps}}
\caption[fig1]{\small Distribution de la fraction $f_k$ de pions neutres
    dans le mode $\vec k = (k=n \Delta k,0,0)$ ($\Delta k = \pi/Na \approx 10$~MeV),
    pour $n=0$ ( droite) et $n=15$ ( gauche), dans l'tat initial
    (Eqs.~(\ref{ensemble})-(\ref{gauss2})).} 
\label{fig_distrib0}
\end{figure}


\section*{Remarque  propos des conditions aux bords priodiques}

Nous reprenons ici la remarque du bas de la page \pageref{ftnote_bc}, 
concernant l'inconvnient des conditions aux bords priodiques, et en 
donnons une illustration. 
\par
Avec des conditions priodiques, les $\bfvarphi$ sont des vecteurs d'isospin 
complexes : $\bfvarphi = {\bf a} + i {\bf b}$. Il est facile de montrer que
dans l'tat initial, les composantes $a_j$ et $b_j$ des parties relle et 
imaginaire sont des variables alatoires gaussiennes indpendantes et de mme
variance\footnote{Except bien sr, pour le mode zro qui, lui, est rel :
   $\bfvarphi_{\vec k}^* = \bfvarphi_{-\vec k}$.}. 
En d'autres termes, la distribution de probabilit du vecteur
$\bfvarphi$ est une loi du type (\ref{thermal}). Ceci implique que la 
probabilit pour que le carr du cosinus de l'angle $\theta$ entre le
vecteur rel $|\bfvarphi|$ et l'axe $\pi_3$ soit compris entre 
$\cos^2 \theta = f$ et $f+df$ est gale\footnote{La loi en $1/\sqrt f$, obtenue
   avec des conditions priodiques par l'auteur de la Rf.~\cite{RAN2}, n'est 
   valable que pour le mode zro, rel. Attention, le $f$ dont il est question
   ici ne reprsente pas la fraction de pions neutres, mais l'orientation 
   du vecteur $|\bfvarphi|$.} 
 $2(1-f)df$ (cf. Eq.~(\ref{thermalf})). Ceci est un artefact des conditions
aux bords priodiques : les parties relles et imaginaires sont deux degrs
de libert indpendants dcrivant le mme mode $\vec k$. Dans le cas o 
les orientations dans l'espace d'isospin sont toutes equiprobables, on 
attend la distribution caractristique en $1/\sqrt f$. Les conditions 
de Neumann sont donc mieux adaptes  l'tude de l'orientation 
dans l'espace d'isospin.
\chapter{Equilibre thermique et quilibre thermique local}
\label{THERMAL}

Dans cette Annexe, nous prsentons le modle 
$\sigma$-linaire dans l'approximation grand $N$, dans le 
cas o le systme est  l'quilibre thermodynamique  la 
temprature $T$. Nous calculons ensuite les variances 
des distributions gaussiennes utilises pour chantillonner les 
conditions initiales au Chap.~\ref{PROBA}. Nous utilisons
des notations conventionnelles : $\vec x=(x,y,z)$ dsigne
le vecteur position dans le systme de coordonnes carthsiennes
et $d^3x=dxdydz$ l'lment de volume infinitsimal.

\section{Equilibre thermodynamique}

Considrons un volume infini o le champ chiral est  l'quilibre 
thermodynamique, la matrice densit du systme s'crit
\beq
\label{TH_density}
 \rho = \frac{1}{\mathcal Z} \, \mbox{e}^{-H/T} \, ,
\end{equation}\noindent
o $H$ est le Hamiltonien et $\mathcal Z = Tr[\rho]$ est la fonction
de partition. Dans cet tat, le paramtre d'ordre est uniforme et constant
\bearn
\label{TH_phi}
 \langle \, \Phi_a (t,\vec x) \, \rangleT & = & \phiT^a \, , \\
\label{TH_phidot}
 \langle \, \dot\Phi_a (t,\vec x) \, \rangleT & = & 0 \, , 
\eearn
avec la notation $\langle \mathcal O \rangleT = Tr[ \rho \, \mathcal O ]$.
On dfinit le champ de fluctuation autour de cette valeur 
moyenne\footnote{La fluctuation $\bfdphi$ dfinie
   ici, est diffrente de celle dfinie au Chap.~\ref{PROBA}}
\bearn
\label{TH_dphi}
 \dphi_a (t,\vec x) & = & \Phi_a (t,\vec x) - \phiT^a \, , \\
\label{TH_dphidot}
 \dot{\dphi}_a (t,\vec x) & = & \dot\Phi_a (t,\vec x) \, .
\eearn
Dans l'approximation de champ moyen grand $N$, le systme de particules
en interaction est remplac par un ensemble de ``quasi-particules'' indpendantes 
de masse effective $\sqrt{\chiT}$. En d'autres termes, le hamiltonien est 
diagonnal dans la base ``nombre'' associe  ces quasi-particules. En dnotant respectivement par $a_{a,\vec k}^\dagger$ et 
$a_{a,\vec k}$ les oprateurs de cration et d'anihilation d'une 
quasi-particule ``thermique'' d'impulsion $\vec k$ et de composante 
chirale $a$, on a, dans la reprsentation de Heisenberg,
\bearn
\label{TH_fourier}
 \dphi_a (t,\vec x) & = & \int \frac{d^3k}{(2 \pi)^3} \, 
 \frac{1}{\sqrt{2 E_k (\chiT)}} \, 
 \left[ a_{a,\vec k} \, \mbox{e}^{-ikx} +
 a_{a,\vec k}^\dagger \, \mbox{e}^{ikx} \right] \, , \\
\label{TH_fourierdot}
 \dot{\dphi}_a (t,\vec x) & = & -i \, \int \frac{d^3k}{(2 \pi)^3} \, 
 \sqrt{\frac{E_k (\chiT)}{2}} \, 
 \left[ a_{a,\vec k} \, \mbox{e}^{-ikx} -
 a_{a,\vec k}^\dagger \, \mbox{e}^{ikx} \right] \, ,
\eearn
o $E_k (\chiT)=\sqrt{k^2 + \chiT}$ et $kx = E_k (\chiT)t - \vec k \cdot \vec x$.
Avec notre choix de normalisation, les relations de commutation sont
\beq
 \left[ a_{a,\vec k} \, ; \, a_{b,\vec k \, '}^\dagger \right] = 
 (2 \pi)^3 \, \delta_{ab} \, \delta^{(3)} (\vec k - \vec k \, ') \, .
\end{equation}\noindent
Le hamiltonien dcrivant les fluctuations autour du paramtre d'ordre s'crit
\beq
 H = \int \frac{d^3k}{(2 \pi)^3} \, E_k (\chiT) 
 \sum_{a=1}^N \left( a_{a,\vec k}^\dagger \, a_{a,\vec k} + \frac{1}{2} \right) \, ,
\end{equation}\noindent
On obtient aisment
\beq
\label{TH_state}
 \langle \, a_{a,\vec k}^\dagger \, a_{b,\vec k \, '} \, \rangleT = 
 (2 \pi)^3 \, \delta_{ab} \, \delta^{(3)} (\vec k - \vec k \, ') \, N_k (\chiT)
 \, \, \, , \, \, \, 
 \langle \, a_{a,\vec k} \, a_{b,\vec k \, '} \, \rangleT = 0 \, \, ,
\end{equation}\noindent
o $N_k (\chiT)$ est la distribution de Bose-Einstein pour les quasi-particules : 
\beq
 N_k (\chiT) = \frac{1}{\mbox{e}^{E_k (\chiT)/T} - 1} \, .
\end{equation}\noindent
La masse effective $\sqrt{\chiT}$ des quasi-particules satisfait la relation
d'auto-cohrence (quation de gap, cf. (\ref{chi}))
\beq
\label{TH_chi}
 \frac{\chiT}{\lambda} = \phiT^2 - v^2 + N \int_0^\Lambda \frac{k^2 dk}{2 \pi^2} \,
 \frac{2 N_k(\chiT) + 1}{2 E_k (\chiT)} \, ,
\end{equation}\noindent
o $\phiT^2 = \bfphiT \cdot \bfphiT$. La valeur du
paramtre d'ordre $\phiT$ est telle que le potentiel effectif est minimum 
(cf. Eq.~(\ref{mean})) et dpend elle-mme de $\chiT$
\beq
\label{TH_mean}
 \chiT \bfphiT = H {\bf n}_\sigma \, .
\end{equation}\noindent
Les divergences apparaissant dans l'Eq.~(\ref{TH_chi}) sont absorbes dans
les paramtres nus $v$ et $\lambda$ de la faon expose au Chap.~\ref{PROBA}.
Dans la limite chirale $H=0$, on voit, d'aprs l'eq.~(\ref{TH_mean}), que
dans la phase brise\footnote{Dans l'aproximation grand $N$, 
   la transition de phase chirale est du second ordre et la temprature
   critique est donne par~\cite{Lamperthesis,DJ} $T_c=\sqrt{(12/N)}f_\pi 
   \simeq 160$ MeV pour $N=4$.} ($T<T_c$), o $\phiT \neq 0$, la masse effective des
pions est nulle, tandis que dans la phase symtrique o $\phiT = 0$, celle-ci
est {\it a priori} non-nulle. Dans la cas o $H \neq 0$, cette transition
de phase disparait, mais la discussion prcdente reste approximativement 
valable : on parle d'une ``phase'' de haute temprature, o $\phiT \ll f_\pi$,
et d'une ``phase'' de basse temprature, o $\phiT \sim f_\pi$. La variation 
de $\chiT$ avec la temprature est montre sur la Fig.~\ref{TH_fig_chiT} pour
diffrentes valeurs de la coupure $\Lambda$. Comme attendu,  mesure que la 
valeur de la temprature se rapproche de celle de la coupure, la prsence de 
celle-ci se fait de plus en plus ressentir\footnote{Notre modle n'a de sens 
physique que pour $T \ll \Lambda$.}. L'tude prsente au Chap.~\ref{PROBA} 
concerne la valeur $T=200$ MeV, o la coupure n'a que peu d'influence, le 
point de comparaison $T=400$ MeV est  la limite de validit du modle 
(voir la discussion au Chap.~\ref{PROBA}).

\begin{figure}[h]
\label{TH_fig_chiT}
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{ChiT.eps}}
\caption[fig1]{\small La masse effective au carr $\chiT$ en fonction de $T$,
pour diffrentes valeurs de la coupure ultra-violette $\Lambda$.} 
\end{figure}

% \subsection*{Longueur de corrlation}
% 
% La fonction de corrlation  temps gaux du champ de fluctuation (\ref{TH_dphi})
% s'crit (cf. (\ref{TH_fourier}) (\ref{TH_state}))
% \beq
% \label{TH_G}
%  \langle \, \dphi_a (t,\vec x) \dphi_b (t,\vec y) \, \rangleT =
%  \delta_{ab} \, G (|\vec x - \vec y|) \, ,
% \end{equation}\noindent
% o 
% \beq
%  G(r) = \frac{1}{8 i \pi^2 r} \, \int_{-\infty}^{+\infty} 
%  \frac{k dk}{E_k} \, \, \mbox{e}^{i \, k r} \, 
%  \coth \left( \frac{E_k}{2T} \right) \, .
% \end{equation}\noindent
% On veut estimer le comportement de cette fonction pour $r \rightarrow +\infty$
% par la mthode du col. En faisant le changement de variable 
% $k=\sqrt{\chiT} \, \sinh x$, l'intgrale devient
% \beq
%  -i \, \int_{-\infty}^{+\infty} dx \, f(x) \, h(x) \, \, \mbox{e}^{r \,f(x)} \, ,
% \end{equation}\noindent
% avec
% \beq
%  f(x) = i \, \sqrt{\chiT} \, \sinh x \, \, \mbox{et} \, \,
%  h(x) = \coth \left( \frac{f'(x)}{2iT} \right) \, ,
% \end{equation}\noindent
% o $f'(x)$ est la drive de $f(x)$.
% 
% 
% 
% FAIRE LE CALCUL
% 
%  


\section{Equilibre thermique local}

Considrons un tout autre systme : un petit volume $V_0$, sphrique,
o le champ est  l'quilibre thermique local  la temprature $T$. 
Cette notion signifie que les fluctuations statistiques dans le volume 
$V_0$ sont les mmes que si celui-ci tait une sous-partie du systme 
considr dans la partie prcdente ( la mme temprature). 
Il est bien vident que ceci n'a de sens que si ce qui se passe  
l'intrieur du volume $V_0$ ne dpend pas, ou peu, de ce qui se 
passe  l'extrieur, ce qui veut dire que la taille de notre systme 
doit tre de l'ordre de grandeur de la longueur de corrlation au moins. 
Dans ce qui suit, nous nous intressons  la distribution de probabilit 
des valeurs possibles des moyennes spatiales
du champ et de sa drive sur le volume $V_0$. Ces quantits s'interprtent,
pour un observateur vivant  l'intrieur de $V_0$, comme les valeurs
du paramtre d'ordre et de sa drive temporelle. Utilisant la dfinition
de l'quilibre local, nous dlimitons une petite boule $V_0$ dans le 
systme en quilibre thermodynamique dcrit plus haut, et calculons 
la distribution des fluctuations statistiques dans ce sous-volume.
Pour viter d'crir inutilement la variable de temps, nous travaillons 
dans la reprsentation de Scr\"odinger.
\par
On cherche donc la distribution de probabilit des rsultats
possibles $\bar\bfphi$ et $\bar{\dot\bfphi}$ de la mesure des 
observables associes aux oprateurs
\bearn
\label{TH_SA1}
 \bar\Phi  & = & \frac{1}{V_0} \int_{V_0} d^3x \, \Phi (\vec x) \, ,\\
\label{TH_SA2}
 \bar{\dot\Phi} & = & \frac{1}{V_0} \int_{V_0} d^3x \, \dot\Phi (\vec x) \, .
\eearn
Celle-ci est dtermine par la fonction caractristique
\beq
 Z ({\bf p},{\bf q}) = 
 \langle \, \exp i \, \left\{ {\bf p} \cdot \bar\Phi + 
 {\bf q} \cdot \bar{\dot\Phi} \right\} \, \rangleT \, .
\end{equation}\noindent
Le Hamiltonien tant quadratique, la distribution cherche, qui est en fait 
l'exact analogue de la distribution de Wigner, bien connue en mcanique 
quantique, est gaussienne. Les moments du logarithme de $Z ({\bf p},{\bf q})$, 
ou cumulants, d'ordre suprieur  $2$ sont nuls. Les valeurs moyennes, ou 
cumulants d'ordre $1$, sont aisment obtenues  l'aide des Eq.~(\ref{TH_phi}),
(\ref{TH_phidot}) et (\ref{TH_mean}) :
\bearn
\label{TH_moyphi}
 \mbox{E} \left[ \bar\phi_a \right] & = &  
 \langle \, \bar\Phi_a \, \rangleT = \frac{H}{\chiT} \, \delta_{a0} \, , \\
\label{TH_moyphidot}
 \mbox{E} \left[ \bar{\dot\phi}_a \right] & = &  
 \langle \, \bar{\dot\Phi}_a \, \rangleT = 0 \, .
\eearn
Les variances et covariances (cumulants d'ordre $2$) s'crivent 
(cf. (\ref{TH_dphi}) et (\ref{TH_dphidot}))
\bearn
\label{TH_varphi}
 \mbox{Var} \left[ \bar\phi_a \right] & = & \frac{1}{V_0^2} \, 
 \int_{V_0} d^3x \, d^3y \, 
 \langle \, \dphi_a (\vec x) \dphi_a (\vec y) \, \rangleT
 \, , \\
\label{TH_varphidot}
 \mbox{Var} \left[ \bar{\dot\phi}_a \right] & = &\frac{1}{V_0^2} \, 
 \int_{V_0} d^3x \, d^3y \, \langle \, \dot{\dphi}_a (\vec x)  
 \dot{\dphi}_a (\vec y) \, \rangleT \, , \\
\label{TH_cov}
 \mbox{Cov} \left[ \bar\phi_a , \bar{\dot\phi}_a \right] & = & \frac{1}{2 V_0^2} \,
 \int_{V_0} d^3x \, d^3y \, \langle \, \dphi_a (\vec x) \dot{\dphi}_a (\vec y) +
 \dot{\dphi}_a (\vec y) \dphi_a (\vec x)  \, \rangleT \, ,
\eearn
les termes non-diagonnaux dans les indices chiraux sont nuls. 
Le hamiltonien tant quadratique dans le champ
$\dphi$ et sa drive $\dot{\dphi}$ et ne contenant pas de termes croiss
du type $\dphi \, \dot{\dphi}$, il est clair que la fonction de corrlation
apparaissant dans l'Eq.~(\ref{TH_cov}) est nulle. Calculons la variance de la 
moyenne spatiale du champ, Eq.~(\ref{TH_varphi}). La fonction de corrlation 
apparaissant dans cette formule est
\beq
 \langle \, \dphi_a (\vec x) \dphi_a (\vec y) \, \rangleT = 
 \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \, 
 \frac{2 N_k (\chiT) + 1}{2 E_k (\chiT)} \, \,
 \mbox{e}^{i \, \vec k \cdot (\vec x - \vec y)} \, .
\end{equation}\noindent
Introduisons les coordonnes sphriques $\vec x = (x,\theta_x,\varphi_x)$
et $\vec y = (y,\theta_y,\varphi_y)$, o les angles azimutaux $\theta_x$
et $\theta_y$ sont reprs par rapport  la direction du vecteur $\vec k$.
Les intgrations sur les orientations possibles des vecteurs $\vec k$, 
$\vec x$ et $\vec y$ sont triviales. Aprs les changements d'chelle
$x \rightarrow x/R$ et $y \rightarrow y/R$, il vient ($k=|\vec k|$)
\beq
\label{TH_sigma1}
 V_0^2 \, \sigma_1^2 = 4 \, R_0^4 \, \int_0^{+\infty} 
 \frac{dk}{E_k} \, \coth \left( \frac{E_k}{2T} \right) \, \mathcal F (k R_0) \, ,
\end{equation}\noindent
avec
\beq
 \mathcal F (q) = 
 \int_0^{1} dx \, \int_{0}^{1} dy \, x  y \, \sin (q x) \, \sin (q y) 
 = \frac{( \sin q - q \, \cos q )^2}{q^4} \, .
\end{equation}\noindent
Ci-dessus on a dnot $\sigma_1^2$ la variance cherche 
(Eq.~(\ref{TH_varphi})). On obtient de la mme faon la variance
(\ref{TH_varphidot}), que l'on dnote par $\sigma_2^2$ : 
\beq
\label{TH_sigma2}
 V_0^2 \, \sigma_2^2 = 4 \, R_0^4 \, \int_0^{+\infty} 
 dk \, E_k \, \coth \left( \frac{E_k}{2T} \right) \, \mathcal F (k R_0) \, .
\end{equation}\noindent
Rcrivons les formules (\ref{TH_sigma1}) et (\ref{TH_sigma2}) sous la forme
gnrique ($\mathcal F (q) = \mathcal F (-q)$)
\beq
 V_0^2 \, \sigma^2 = 2 \, R_0^3 \, \int_{-\infty}^{+\infty} dy \,
 g \left( \frac{y}{R_0} \right) \, \mathcal F(y) \, ,
\end{equation}\noindent
o $g(k)$ est une fonction de $E_k = \sqrt{k^2 + \chiT}$.
Dans la limite o $R_0 \sqrt{\chiT} \gg 1$, on obtient le premier terme
du dveloppement asymptotique de l'expression ci-dessus :
\beq
 V_0^2 \, \sigma^2 \sim 2 \, R_0^3 \, g(0) \, 
 \int_{-\infty}^{+\infty} dy \, \mathcal F(y) \, .
\end{equation}\noindent
En utilisant
\beq
 \int_{-\infty}^{+\infty} dy \, \mathcal F(y) = \frac{\pi}{3} \, ,
\end{equation}\noindent
on obtient (cf. (\ref{varphiapprox}) et (\ref{varphidotapprox})) : 
\beq
\label{TH_asymptotique}
 \sigma^2 \sim \frac{1}{2V_0} \, g(0) \, ,
\end{equation}\noindent
Cette formule est valable quand le rayon $R_0$ de la bulle est suffisament 
grand devant la longueur de corrlation $\lambda_T = 1/\sqrt{\chiT}$, la 
dpendance en $1/V_0$ traduisant le fait que les fluctuations  l'intrieur du 
volume $V_0$ ne dpendent pas de son environnement : diverses cellules 
de taille $R_0 \gg \lambda_T$ sont statistiquement indpendantes.
\par
Dans le Chap.~\ref{PROBA}, nous sommes intresss  des valeurs de $R_0$
aussi petites qu'il est permis physiquement, c'est  dire 
$R_0 \gtrsim \lambda_T$. A strictement parler, notre modle est dfini
en prsence d'une coupure ultraviolette $\Lambda$, et les intgrales
(\ref{TH_sigma1}) et (\ref{TH_sigma2}) doivent tre calcules avec cette
coupure (notons que la coupure intervient aussi dans le calcul de $\chiT$).
Cela n'influe que trs peu sur la valeur de la dispersion $\sigma_1$ 
(Eq.~(\ref{TH_sigma1})), tant que $\Lambda R_0 \gg 1$. En effet, la moyenne 
spatiale (\ref{TH_SA1}) supprime les contributions des modes de petite 
longueur d'onde, seuls les modes tels que $k R_0 \lesssim 1$ survivent.
La Fig.~\ref{TH_fig_disp1} montre la variation de $\sigma_1$ en fonction
du rapport $R_0/\lambda_T = R_0 \sqrt{\chiT}$ pour $T=200$ MeV et pour
diverses valeurs de la coupure. 
La prsence de celle-ci se fait plus ressentir dans le calcul de la dispersion
$\sigma_2$ qui,  cause du facteur $E_k$ au numrateur dans l'intgrand
de (\ref{TH_sigma2}), diverge logarithmiquement dans l'ultra-violet. 
Cependant, pour des valeurs physiques de la coupure ($\Lambda \sim 1$ GeV), 
cette dpendance logarithmique n'a que peu d'influence sur la valeur de 
$\sigma_2$. La Fig.~\ref{TH_fig_disp2} est l'analogue de la Fig.~\ref{TH_fig_disp1}, 
pour la dispersion $\sigma_2$ des fluctuations de la drive temporelle 
du paramtre d'ordre. Dans les deux cas, les courbes en pointills sont 
obtenues  partir de la formule asymptotique (\ref{TH_asymptotique}).
Les valeurs des dispersions $\sigma_1$ et $\sigma_2$ utilises dans le
calcul du Chap.~\ref{PROBA} sont rsumes dans le tableau~\ref{TH_tab}.

\begin{table}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$T$ & $\chiT$ & $R_0/\lambda_T$ & $\sigma_1$ & $\sigma_2$ \\
(MeV) & (fm$^{-2}$) & & (fm$^{-1}$) & (fm$^{-2}$) \\
\hline
200 & 0.73 & 1 & 0.21 & 0.40 \\
\hline
200 & 0.73 & 2 & 0.11 & 0.14 \\
\hline
400 & 2.2 & 1 & 0.37 & 1.07 \\
\hline
400 & 2.2 & 2 & 0.19 & 0.42 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Les diffrentes valeurs des dispersions utilises dans le
   calcul prsent au Chap.~\ref{PROBA} ($\Lambda = 800$ MeV).}
\label{TH_tab}
\end{table}

\newpage

\begin{figure}[t]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{Disp1.eps}}
\caption[fig1]{\small La dispersion $\sigma_1$ (en fm$^{-1}$) en fonction 
   du rapport $R_0/\lambda_T$ pour $T=200$  MeV, et pour diffrentes valeurs
   de la coupure $\Lambda$. La courbe en pointill reprsente la formule 
   asymptotique (\ref{TH_asymptotique}).} 
\label{TH_fig_disp1}
\end{figure}

\begin{figure}[b]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{Disp2.eps}}
\caption[fig1]{\small L'analogue de la Fig.~\ref{TH_fig_disp1}, pour la
   dispersion $\sigma_2$.} 
\label{TH_fig_disp2}
\end{figure}


\chapter{Le calcul des moments}
\label{intm}

Dans cette annexe, nous drivons les formules utilises au Chap.~\ref{QGP}
pour calculer le temps de relaxation dans la mthode des moments.
Dans le cas du terme de collision de Landau (voir Annexe~\ref{landaucoll}),
il est possible de calculer explicitement toutes les intgrales sur l'espace
des impulsions pour tous les moments dont nous avons besoin au Chap.~\ref{QGP}.
\par
La solution formelle de l'quation du temps de relaxation s'crit 
(cf. Eq.~(\ref{RTABaym}))
\beq
\label{RTABaym1}
 f(\vec p,t)=f_0(\vec p_t,p_z\frac{t}{t_0}) \, \mbox{e}^{-x(t)} +
 \int_{t_0}^t dt' \, \frac{\mbox{e}^{x(t')-x(t)}}{\theta(t')} \,
 f_{eq} (\vec p_t,p_z\frac{t}{t'},t') \, ,
\end{equation}\noindent
o
\eq
 x(t) = \int_{t_0}^t \frac{dt'}{\theta (t')} \, ,
\eq
et o $f_0(\vec p)$ est la distribution initiale et 
$f_{eq} (\vec p,t) = \lambda (t) \, \mbox{e}^{-p/T(t)}$.
\par
De faon gnrale, nous voulons calculer les intgrales du type 
\eq
 M (t) = \langle m \rangle = \int_{\vec p} \, m(\vec p) \, f(\vec p,t) \, ,
\eq
avec $\int_{\vec p} \equiv 2(N_c^2-1) \int d^3p/(2\pi)^3$.
Considrons par exemple le cas $M = N_s = \langle p^s \rangle$ 
(cf. Eq.~(\ref{Ns})), et concentrons nous d'abord sur le second terme du membre
de droite de l'Eq.~(\ref{RTABaym1}). On doit calculer l'intgrale
\eq
 I_s^{eq} (t,t') = \int_{\vec p} \, p^s \, 
 f_{eq} (\vec p_t,p_z\frac{t}{t'},t')) \, .
\eq
En faisant le changement de variable $p_zt/t' \rightarrow p_z$ et en utilisant 
un systme de coordonnes sphriques pour $\vec p$, on obtient aisment
\eq
 I_{eq} (t,t') = \frac{t'}{t} \, N_s^{eq} (t') \,
 h_s \left( \frac{t'}{t} \right) \, ,
\eq
avec 
\eq
 N_s^{eq} (t) = \int_{\vec p} \, p^s \, f_{eq} (\vec p,t) =
 (s+2)! \, \frac{N_c^2-1}{\pi^2} \, \lambda (t) \, T^{s+3} (t) \, ,
\eq
et o la fonction
\beq
\label{function0}
 h_s (a) = \int_0^1 dx \, \left[ 1 - (1-a^2) x^2 \right]^{s/2}  \, .
\end{equation}\noindent
Pour calculer la contribution du premier terme du membre de droite de 
l'Eq.~(\ref{RTABaym1}), on doit spcifier la condition initiale. 
Dans le Chap.~\ref{QGP}, on considre deux type de conditions initiales :
le scnario des minijets, o $f_0 (\vec p) = f_{eq} (\vec p,t)$, et le scnario
de saturation, o $f_0 (\vec p) = \delta (p_z) \, g(p_\perp)$.
Dans la suite, nous dfinissons la notation
\eq
 \left\{ A || B \right\} =
 \left\{
 \begin{array}{rl}
 A & \mbox{si } f_0 (\vec p) = f_{eq} (\vec p,t_0) \\
 B & \mbox{si } f_0 (\vec p) = \delta (p_z) g(p_\perp) 
 \end{array}
 \right.
\eq
On obtient finalement
\beq
\label{moment0}
 t \, \mbox{e}^{x} \, N_s (t) = t_0 \, N_s (t_0) \, 
 \left\{ h_s (t_0/t) || 1 \right\} + 
 \int_{t_0}^t \frac{dt'}{\theta'} \,
 t' \, \mbox{e}^{x'} \, N_s^{eq} (t') \, h_s (t'/t) \, ,
\end{equation}\noindent
o $x=x(t)$, $x'=x(t')$, $\theta' = \theta (t')$.
\par
On calcule de manire analogue les moments ``longitudinaux'' 
$N_s^z =\langle p_z^2 \, p^{s-2} \rangle$ (par exemple, la pression
longitudinale $P_L = \langle p_z^2/p \rangle = N_1^z$) :
\beq
\label{momentz}
 t^3 \, \mbox{e}^{x} \, N_s^z (t) = t_0^3 \, N_s (t_0) \, 
 \left\{ h_s^z (t_0/t) || 0 \right\} + 
 \int_{t_0}^t \frac{dt'}{\theta'} \,
 (t')^3 \, \mbox{e}^{x'} \, N_s^{eq} (t') \, h_s^z (t'/t) \, ,
\end{equation}\noindent
avec 
\beq
\label{functionz}
 h_s^z (a) = \int_0^1 dx \, x^2 \, \left[ 1 - (1-a^2) x^2 \right]^{s/2-1}  \, .
\end{equation}\noindent
Enfin, les moments ``transverse'' $N_s^\perp =\langle p_\perp^2 \, p^{s-2} \rangle$
sont aisment obtenus  partir des prcdents : 
\eq
 N_s = N_s^z + 2 \, N_s^\perp \, .
\eq
\par
Nous donnons ci-dessous les expressions des fonctions $h_s$ et $h_s^z$ pour
$s=-2,...,2$. Les intgrales (\ref{function0}) et (\ref{functionz}) 
se calculent aisment. On peut aussi utiliser la relation suivante :
\beq
\label{func0z}
 h_s^z (a) = \frac{2}{s} \, \frac{\dd}{\dd a^2} h_s (a) \, .
\end{equation}\noindent



\vspace{0.5cm}
En notant $A=\sqrt{1-a^2}$,
\begin{center}
\begin{tabular}{|llr|llr|}
\hline
 &&&&& \\
 & $\displaystyle h_s (a) = 
        \int_0^1 dx \, \left[ 1 - (1-a^2) x^2 \right]^{s/2}$ & &
 & $\displaystyle h_s^z (a) = 
        \int_0^1 dx \, x^2 \, \left[ 1 - (1-a^2) x^2 \right]^{s/2-1}$ & \\
 &&&&& \\
 \hline
 &&&&& \\
 & $\displaystyle h_2 (a) = \frac{2+a^2}{3}$ & &
 & $\displaystyle h_2^z (a) = \frac{1}{3}$ & \\
 &&&&& \\
 & $\displaystyle h_1 (a) = 
       \frac{1}{2} \left( a + \frac{\arcsin A}{A} \right)$ & &
 & $\displaystyle h_1^z (a) = 
       \frac{1}{2A^2} \, \left( \frac{\arcsin A}{A} -a \right) $ & \\
 &&&&& \\
 & $\displaystyle  h_0 (a) = 1$ & &
 & $\displaystyle  h_0^z (a) = 
       \frac{1}{A^2} \, \left( \frac{\arctan A}{A} - 1 \right)$ & \\
 &&&&& \\
 & $\displaystyle  h_{-1} (a) = \frac{\arcsin A}{A}$ & &
 & $\displaystyle  h_{-1}^z (a) = 
       \frac{1}{A^2} \, \left( \frac{1}{a} - \frac{\arcsin A}{A} \right)$ & \\
 &&&&& \\
 & $\displaystyle  h_{-2} (a) = \frac{\arctan A}{A}$ & &
 & $\displaystyle  h_{-2}^z (a) = 
       \frac{1}{2A^2} \, \left( \frac{1}{a^2} - \frac{\arctan A}{A} \right)$ & \\
 &&&&& \\
 \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\par
Dans le Chap.~\ref{QGP}, nous avons rsum les Eqs.~(\ref{moment0}) et
(\ref{momentz}) ci-dessus sous la forme (cf. Eq.~(\ref{MBaym})
\eq
 M (t) =  M(t_0) \, \mathcal F_M^{(0)} (t_0/t) \, \mbox{e}^{-x} + 
 \int_{t_0}^t dt' \, \frac{\mbox{e}^{x'-x}}{\theta'} \,
 \mathcal F_M^{(eq)} (t'/t) \, M_{eq} (t') \, ,
\eq
o $M$ dsigne un moment quelconque. On a
\bear
 \mathcal F_{N_s}^{(0)} (a) & = & a \, \left\{ h_s (a) || 1 \right\}
 \, \, \, , \, \, \, 
 \mathcal F_{N_s}^{(eq)} (a) = a \, h_s (a) \, \\
 \mathcal F_{N_s^z}^{(0)} (a) & = & a^3 \, \left\{ h_s^z (a) || 1 \right\}
 \, \, \, , \, \, \, 
 \mathcal F_{N_s^z}^{(eq)} (a) = a^3 \, h_s^z (a) \, .
\eear
\documentclass[11pt,twoside,openright]{report}


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\cfoot{}
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\hbadness 10000
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\p}{\partial}
\newcommand{\bfdphi}{\bfdelta\bfphi}
\newcommand{\dphi}{\delta\phi}
\newcommand{\tvarphi}{\tilde\varphi}
\newcommand{\tmu}{\tilde\mu}
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%\numberwithin{figure}{chapter}



\begin{document}
\pagestyle{plain}
\thispagestyle{empty}

ORSAY

Numro d'ordre : 

\hspace{10.cm} LPT-ORSAY 01/27

\vspace{2.cm}

\begin{center}
{\Large UNIVERSIT PARIS-SUD}

\vspace{0.5cm}
{\Large LABORATOIRE DE PHYSIQUE THORIQUE D'ORSAY}

\vspace{2.5cm}
{\bf {\Large THSE DE DOCTORAT DE L'UNIVERSIT PARIS XI}}
\vspace{0.5cm}

prsente par

\vspace{0.5cm}
{\large \bf{Julien SERREAU}}

\vspace{1cm}
\large{Sujet :}
\vspace{0.5cm}

\Large{\bf{PHNOMNES HORS D'QUILIBRE \\DANS LES COLLISIONS NUCLAIRES \\
            HAUTE NERGIE}}
\vspace{0.5cm}

\end{center}

\hspace{2cm}
{\large \bf{- Formation de condensats chiraux dsorients}}

\hspace{2cm}
{\large \bf{- quilibration thermique des gluons produits}}

\vfill
\normalsize {{\noindent soutenue le $1^{\mbox{er}}$ mars 2001 }}{{ devant la commission
d'examen}\\\\
\begin{tabular}{lllc}
MM. &   \large\bf{P.}     &   \large\bf{Aurenche}    &                           \\
    &   \large\bf{R.}     &   \large\bf{Baier}       &    (Rapporteur)           \\
    &   \large\bf{J.-P.}  &   \large\bf{Blaizot}     &    (Rapporteur)           \\
    &   \large\bf{U.}     &   \large\bf{Ellwanger}   &    (Prsident)            \\  
    &   \large\bf{A.}     &   \large\bf{Krzywicki}   &    (Directeur de thse)   \\
    &   \large\bf{A. H.}  &   \large\bf{Mueller}     &                           
\end{tabular}
\normalsize

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{}


\begin{flushright}

A mes parents,

\end{flushright}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Remerciements}
\pagenumbering{roman}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Remerciements}

Je tiens  remercier tous les membres du Laboratoire de Physique Thorique
d'Orsay de m'avoir accueilli durant la prparation ainsi que la rdaction
de cette thse. D'une manire ou d'une autre, volontairement ou non,
tous ont contribu  rendre ces quelques annes agrables et enrichissantes. 
Un grand merci galement  toute l'quipe administrative et technique du 
laboratoire, en particulier  Mireille Calvet, Nicole Cherbonnier, Mireille 
Geurts, Odile Heckenhauer, Jocelyne Puech, et bien sr  Mme Rocher (Arlette 
de son prnom). Je suis de plus trs reconnaissant envers Philippe Boucaud, 
Yves D'Aignaux et Jean-Pierre Leroy pour leur aide en ce qui concerne 
l'informatique et leur patience en ce qui concerne mes comptences dans 
ce domaine. 

C'est ici l'occasion pour moi de saluer Luc Bourhis, Jrme Charles, 
Cyril Hugonie et Stphane Lavignac, avec qui j'ai partag le statut de 
thsard du LPT durant la premire anne, ainsi que Jean Nol Aqua, Olivier
Deloubrire, Gregorio Herdoiza, Sofiane Tafat et Nicolas Wschebor, avec qui
j'ai partag le mme sort depuis. Je tiens galement  saluer Elias Khan,
Santiago Pita, Jrme Margueron, Nicolas Sator, les (ex-)thsards de l'Institut 
de Physique Nuclaire d'Orsay ainsi que Samir Ferrag  l'cole polytechnique.

Je tiens  dire un grand merci  Andr Krzywicki qui a guid mes premiers pas
dans le mtier de chercheur avec beaucoup d'intelligence, j'espre tre  la 
hauteur de sa confiance. Un grand merci galement  Dominique Schiff qui a pris
le relai avec beaucoup de patience malgr sa lourde tche de direction du 
laboratoire. Je tiens  remercier Dominique Vautherin avec qui j'ai eu de
trs enrichissantes discussions et qui a contribu dans une large mesure  
ma formation.

Je remercie Rolf Baier et Jean-Paul Blaizot d'avoir accept
les rles de rapporteurs (ainsi que pour leur efficacit dans ce rle). 
Je remercie galement Patrick Aurenche, Ulrich ellwanger et Al Mueller 
d'avoir accept de faire partie du jury.

Enfin, je tiens  remercier les organisateurs du workshop {\it Nuclear Matter
in Different Phases and Transitions} aux Houches en Avril 1998 (il s'agit de 
J.-P. Blaizot, X. Campi et M. Ploszajczak) o j'ai rencontr Cristina Volpe, 
que je remercie infiniment.....pour m'avoir appris l'italien.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Rsum}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Rsum}

Le cadre gnral dans lequel se place cette thse est l'tude des proprits 
de la matire produite lors de collisions nuclaires  haute nergie,
o l'on s'attend  crer artificiellement les conditions requises pour
la formation d'un plasma de quarks et de gluons. En particulier, nous 
tudions certains aspects relis  l'volution intrinsquement hors 
d'quilibre de ce type de systme. 

La premire partie est consacre  l'tude de la formation possible
de condensats chiraux dsorients (DCC) lors du passage rapide de la transition 
de phase chirale. Nous calculons d'abord la toute premire estimation de 
la probabilit de formation d'un champ de pion classique potentiellement observable, 
lors de l'expansion sphrique rapide d'une ``bulle'' de matire chirale chaude. Ce 
calcul ncessite la construction d'une mthode d'chantillonnage des conditions
initiales pour le champ chiral. Ensuite, en pratiquant une analyse dtaille de 
la structure d'isospin du champ classique, nous montrons que le modle le 
plus simple utilis jusqu' prsent ne permet pas d'expliquer le caractre 
collectif de la configuration DCC, ce qui contredit une ide trs largement
admise.

Dans la seconde partie, nous tudions la thermalisation des gluons produits
dans les tout premiers instants de la collision. Nous modlisons l'effet
des collisions lastiques par une approximation de temps
de relaxation auto-cohrente, et comparons diffrentes conditions initiales 
proposes dans la littrature. Nous arguons que les critres utiliss dans
les travaux antcdents pour caractriser l'quilibration ne sont pas 
satisfaisant et proposons plutt de mesurer le degr d'anisotropie de 
diffrentes observables. Nos conclusions contredisent celles obtenues
prcdemment, nous montrons en particulier que les collisions
lastiques sont insuffisantes pour thermaliser le systme aux 
nergies de RHIC.



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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Abstract}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Abstract}

The general framework of the present thesis is the study of the properties of 
the matter produced in high energy heavy ion collisions, where one expects
to reach the conditions under which nuclear matter turns into a
quark-gluon plasma. In particular, we study some aspects related to the 
intrinsic non-equilibrium evolution of such systems.

The first part is dedicated to the study of disoriented chiral 
condensate (DCC) formation during the out of equilibrium chiral phase transition.
We compute the first estimation of the probability of forming a classical
pion field after the rapid expansion of a spherical droplet of chiral matter.
This requires the construction of a method for sampling the initial configurations
of the chiral field. Then, by performing a detailed analysis of the isospin 
structure of the classical field, we show that the simplest model, used up to now,
cannot explain the collective nature of the DCC. This contradicts a widely admitted
idea.

In the second part, we study the thermalization of initially produced gluons. 
We consider only elastic scatterings and use a self-consistent relaxation time 
approximation. We compare different initial conditions proposed in the literature.
We argue that the criteria used in previous works to characterize equilibration
are not reliable and propose instead to test the isotropy of various observables.
Our conclusions are in contradiction with those previously obtained, we show in
particular that at RHIC energies, elastic collisions are not effective enough for 
the system to thermalize.



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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\contentsname}{Sommaire}
\tableofcontents
\addcontentsline{toc}{chapter}{Sommaire}
\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Introduction gnrale}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction gnrale}
\pagenumbering{arabic}

La matire nuclaire, telle que nous la connaissons  l'chelle
sub-nuclaire, est remarquablement bien dcrite par la chromodynamique 
quantique (QCD), la thorie moderne des interactions fortes. Le bien-fond
de la description du monde hadronique en termes de quarks et de gluons, 
les degrs de libert fondamentaux du lagrangien de QCD, s'appuie sur
des bases exprimentales et des fondements thoriques solides. 
Une des proprits les plus importantes des interactions fortes est la
libert asymptotique : l'intensit effective de l'interaction entre les 
quarks et les gluons dcrot avec l'chelle de distance  laquelle on la 
mesure. Ceci a entre autres pour consquence le fait qu' trs haute
temprature et/ou trs haute densit, les quarks et les gluons forment 
un plasma de matire dconfine faiblement couple. L'tude des
proprits de la matire nuclaire dans ces conditions ``extrmes'',
est un sujet de recherche qui progresse trs rapidement. Le diagramme 
de phase des interactions fortes commence  tre bien connu thoriquement, 
en particulier dans la rgion de potentiel chimique baryonique nulle.
L'existence de nouvelles phases de la matire est une prdiction tout
 fait remarquable de QCD.
\par
Il existe certains systmes physiques o ces conditions extrmes
sont naturellement ralises, comme par exemple dans le c\oe ur des 
toiles  neutrons, ou encore durant les premiers instant de 
l'univers primordial. De plus, on s'attend  pouvoir crer momentanment 
ces conditions ``en laboratoire'' lors de collisions entre noyaux lourds 
 trs haute nergie. De nombreuses expriences ont eu lieu  l'Alternating 
Gradient Synchroton (AGS, BNL) et au Super Proton Synchrotron (SPS, CERN) 
durant ces dix dernires annes, d'autres se droulent actuellement au 
Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC, BNL), et un programme est prvu 
 partir de 2005 au Large Hadron Collider (LHC, CERN), avec des nergies 
de plus en plus leves\footnote{Collisions Au-Au avec $\sqrt s = 200$~GeV 
  par nuclon  RHIC et Pb-Pb avec $\sqrt s = 5.5$~TeV par nuclon  LHC !!}.
De nombreuses signatures de la matire dconfine ont t proposes et
sont activement tudies tant exprimentalement que thoriquement (voir
par exemple~\cite{QM99}). La dynamique d'une collision d'ions lourds est
cependant extrmement complique et il est trs difficile d'interprter les
donnes de manire non-ambige. En particulier les donnes obtenues
au SPS, si elles fournissent de fortes indications en faveur de
la formation de matire dconfine, ne permettent pas d'affirmer quoi que
ce soit de dfinitif.
\par
C'est dans ce cadre gnral que se place le sujet de cette thse. Nous 
tudions certains aspects de la physique des  collisions d'ions lourds, 
relis en particulier au fait que la matire produite n'est {\it a priori} 
pas  l'quilibre thermodynamique. Notre intrt pour cette problmatique 
est double. D'une part, certains phnomnes qui n'ont lieu que dans des 
situations hors d'quilibre pourraient donner lieu  des signatures 
uniques, fournissant ainsi une source d'informations supplmentaire 
(ou complmentaire). C'est le cas de la formation de condensats chiraux 
dsorients (DCC) lors du passage rapide de la transition de phase chirale. 
La dtection de ce phnomne hypothtique pourrait par exemple tre utile 
pour localiser cette transition dans le diagramme des phases.
Dans la premire partie de cette thse, nous tudions la possibilit
qu'un tel phnomne se produise. Un DCC est une rgion de l'espace o 
le paramtre d'ordre de la symtrie chirale oscille dans une direction 
diffrente de celle qu'il a dans le vide. C'est une configuration collective
classique du champ de pion. Nous calculons la toute premire estimation de 
la probabilit pour qu'un champ classique potentiellement observable soit 
cr lors de l'expansion sphrique rapide du systme. Pour ce faire, nous 
proposons une mthode originale d'chantillonnage des conditions initiales,
habituellement choisies de manire arbitraire dans la littrature. Nous 
obtenons une limite suprieure de cette probabilit relativement faible, 
typiquement de l'ordre de $10^{-3}$ (Chap.~\ref{PROBA}).
\par
Nous nous intressons ensuite  l'aspect collectif du DCC : tous les modes 
du champ (classique) oscillent dans la mme direction de l'espace d'isospin. 
Cette proprit est  l'origine de la signature la plus remarquable du phnomne, 
qui est aussi la plus utilise dans les stratgies exprimentales de dtection : 
la distribution anormalement large de la fraction neutre du nombre total de 
pions mis. Nous montrons que le champ produit dans le modle microscopique 
le plus simple, utilis jusqu' prsent, n'exhibe pas ce comportement collectif : 
les diffrents modes sont comme autant de DCC dont les orientations dans 
l'espace d'isospin sont indpendantes les unes des autres. Ce rsultat 
contredit une ide largement admise et remet en question la possibilit de 
former un DCC dans une collision d'ions lourds (Chap.~\ref{QUENCH}).
\par 
La deuxime raison pour laquelle il est important d'tudier les aspects
hors d'quilibre dans ces collisions est le fait que les calculs actuels
concernant les signatures exprimentales reposent sur l'hypothse selon 
laquelle le systme est en quilibre thermique local. Il est important 
de savoir si cette hypothse est justifie dans une collision relle. 
Si ce n'est pas le cas, il est alors ncessaire d'avoir une ide de la 
faon dont le systme volue pour pouvoir interprter les donnes. Dans 
la deuxime partie de la thse, nous nous intressons  l'quilibration 
thermique du systme de gluons initialement produits (Chap.~\ref{QGP}). 
Nous dcrivons la dynamique des gluons  l'aide d'une quation de Boltzmann 
que nous modlisons par une simple approximation de temps de relaxation. 
Nous comparons diffrents scnarios proposs dans la littrature pour 
dcrire l'tat initial : les scnarios des minijets et de saturation. 
En calculant le temps de relaxation de faon auto-cohrente nous reproduisons 
de manire semi-quantitative certains rsultats exacts, rcemment 
obtenus numriquement dans le scnario de saturation. Pour caractriser 
l'cart  l'quilibre nous mesurons le degr d'anisotropie du systme.
Nos conclusions contredisent celles de travaux prcdents o des critres 
diffrents sont utiliss pour mesurer le degr d'quilibration. En particulier 
nous montrons que les collisions lastiques ne sont pas suffisantes pour 
thermaliser le systme aux nergies de RHIC.
\par
Au cours de notre prsentation, nous essayons de mettre en avant les 
ides physiques sous-jacentes aux problmes tudis, releguant les
dtails techniques ou les drivations non essentielles mais instructives
dans les annexes. Les diffrents chapitres sont relativements indpendants.
Pour des raisons pratiques et esthtiques, nous avons choisi des notations lgrement
diffrentes d'un chapitre  l'autre, notamment en ce qui concerne les indices
chiraux. Nous travaillons partout avec le systme d'units $\hbar = c = k_B =1$
(o $k_B$ est la constante de Boltzmann). 

 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part{LES CONDENSATS CHIRAUX DSORIENTS}
%\pagestyle{fancy}

\include{chapitre1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\include{chapitre2}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\include{chapitre3}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\appendix

\include{DCC_EXPANSION}
\include{DCC_THERMAL}
\include{DCC_INTEGRALE}

\include{DCC_NEUMANN}
\include{DCC_GAUSS}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part{VERS LA FORMATION D'UN PLASMA DE MATIRE DCONFINE}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{3}
\include{chapitre4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\appendix

\setcounter{chapter}{5}
\include{QGP_COLLISION}
\include{QGP_MOMENT}
\include{QGP_THETAJET}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{Conclusion}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Conclusion}
\pagestyle{plain}

\vspace{0.5cm}

Dans la premire partie de cette thse, nous avons tudi la
possibilit qu'un condensat chiral dsorient soit form lors
du passage rapide de la transition de phase chirale dans une
collision d'ions lourds. Nous avons propos une mthode
originale d'chantillonnage des conditions initiales pour
le champ de pion en quilibre thermique local dans une petite
bulle forme lors de la collision. Dans les travaux antcdents,
ces conditions initiales sont habituellement choisies arbitrairement. 
Nous avons ainsi pu calculer une toute premire estimation de la 
probabilit de formation d'une configuration classique du champ. 
En fait nous en obtenons une limite suprieure, qui s'avre relativement
faible, typiquement de l'ordre de $10^{-3}$. Ce rsultat a des 
consquences importantes aussi bien exprimentales que thoriques.
En particulier une stratgie de dtection vnement-par-vnement 
est prfrable.
\par
Nous avons ensuite
tudi la structure d'isospin de la configuration 
du champ produite par trempage des fluctuations initiales, 
et avons montr que, contrairement  ce qui a t cru jusqu' 
maintenant, celle-ci n'est pas une configuration DCC : les directions 
d'oscillation des diffrents modes dans l'espace d'isospin sont 
statistiquement indpendantes les unes des autres. Le modle 
le plus simple utilis jusqu' prsent permet d'expliquer 
la nature classique du DCC, pas sa polarisation collective 
hypothtique. Nous avons montr que la dynamique ne gnre
pas les corrlations cherches entre les modes, une description 
plus raliste de l'tat initial pour le champ de pion est 
ncessaire pour trancher la question de la possibilit de 
formation d'un DCC dans le scnario du trempage.

\vspace{0.5cm}

Dans la deuxime partie de la thse, nous avons tudi la
question de la thermalisation des gluons produits dans les 
tout premiers instants de la collision. Nous avons considr
les collisions lastiques de petite dviation et modlis
l'quation de Boltzmann correspondante par une approximation
de temps de relaxation o le temps de relaxation est calcul
de faon auto-cohrente. Nos rsultats sont en accord 
semi-quantitatif avec la solution exacte rcemment obtenue pour une
condition initiale donne.
Nous avons compar diffrents scnarios proposs dans la 
littrature pour dcrire l'tat initial. Nous arguons que les 
critres utiliss dans les travaux prcdents pour caractriser
l'cart  l'quilibre local n'est pas satisfaisant. En mesurant
plutt le degr d'anisotropie de diffrentes observables, nous 
arrivons  des conclusions qui contredisent celles prcdemment 
obtenues. En particulier, nous montrons que les collisions
lastiques ne sont pas suffisantes pour thermaliser le systme
aux nergies de RHIC. A LHC, l'quilibre est atteint dans le
scnario de saturation, les incertitudes de l'approche, en 
particulier celles lies  la fragilit du calcul perturbatif,
ne permettent pas de conclure dans le scnario des minijets.
\par
Il est ncessaire d'aller plus loin et d'inclure les 
contributions des processus inlastiques de branchement.
Cependant, notre tude indique qu'il faut d'ores et dj 
s'attendre  ce que le rgime transitoire ne soit pas compltement 
ngligeable  RHIC. Nous prvoyons d'inclure les quarks dans 
la description afin d'estimer l'influence de ces effets 
hors d'quilibre sur les spectres en nergie transverse 
des dileptons produits, qui seront tudis par les 
collaborations PHENIX  RHIC et ALICE  LHC.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\bibname}{Rfrences}
\bibliographystyle{unsrt}
\bibliography{BIBLI_DCC_0,BIBLI_DCC_1,BIBLI_QGP}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Rfrences}
\pagestyle{fancy}

\end{document}
\chapter{DCC : introduction}
\label{INTRO}

Dans ce chapitre nous passons en revue certaines ides
pertinentes  la physique des condensats chiraux dsorients.
Aprs un bref rappel historique des motivations initiales, 
nous prsentons les principaux dveloppements qu'a connu le 
sujet depuis sa naissance, au dbut des annes 1990. 
Nous prsentons divers concepts et images physiques qui
constituent la toile de fond des travaux prsents dans
la premire partie de cette thse.


\section{La symtrie chirale}

La thorie des interactions fortes, ou chromodynamique quantique
(QCD) est approximativement invariante sous les oprations du 
groupe~$SU_L(2) \times SU_R(2)$ qui consistent en des 
transformations unitaires indpendantes des composantes
chirales droite et gauche du doublet de quarks lgers $q=(u,d)$,
c'est la symtrie chirale. Elle est ralise de faon spontanment 
brise, phnomne dcrit par la valeur non nulle du condensat de 
quarks\footnote{Il existe d'autres paramtres d'ordre associs  
   la brisure spontane de la symtrie chirale. Nous ne les considrerons 
   pas ici.}~$\langle 0 | q_L \, \bar q_R | 0 \rangle$ et 
se manifestant dans le spectre d'excitations des
interactions fortes par la faible masse
des pions~($\approx 140$~MeV) compare  
l'chelle de masse typique des hadrons~($\sim 1$~GeV).
Les proprits de transformation du produit bilinaire~$q_L \, \bar q_R$ 
sont analogues  celles d'un vecteur~$\bfphi \equiv (\sigma,\bfpi)$
sous les rotations quadri-dimensionelles du groupe~$O(4)$. Dans ce 
language, les composantes, dites d'isospin,~$\pi_1,\pi_2,\pi_3$, 
reprsentent les modes collectifs ou bosons de Goldstone accompagnant 
le phnomne de brisure spontane : les excitations lmentaires
(quanta) du champ~$\bfpi$ sont les pions. La valeur moyenne dans le vide
du champ chiral $\bfphi$ pointe dans la direction~$\hat \sigma$ : on
a~$\langle 0 | \bfphi | 0 \rangle = (f_\pi,{\bf 0})$, o $f_\pi=92.5$~MeV 
est la constante de dsintgration du pion. La symtrie rsiduelle~$O(3)$ 
des rotations autour de cet axe est la symtrie d'isospin des interactions 
fortes. De faon gnrale, la valeur moyenne du champ $\bfphi$, qui
mesure l'intensit de la brisure spontane, est appele paramtre d'ordre
de la symtrie chirale.

\section{Un LASER  pions}

Un condensat chiral dsorient~(DCC) est un tat dans lequel le
paramtre d'ordre a une orientation diffrente de celle qu'il a 
dans le vide. Plus prcisment, c'est une configuration classique
o le champ de pion oscille de manire
cohrente dans une direction donne de l'espace d'isospin.
Pour prciser la nature du phnomne et en comprendre
l'intrt, il est utile de faire une petite retrospective historique.
\par
Dans le contexte des collisions hadroniques ou nuclaires
 trs haute nergie, la production multiple de pions dont
les nergies transverses ne dpassent pas quelques 
centaines de~MeV est chose courante. 
Certains auteurs ont propos d'interprter ce phnomne 
comme rsultant de la dsintgration d'un tat 
cohrent~\cite{Glauber,HS,BSS,Andreev}, l'ide (dj prsente
dans d'anciens articles de W.~Heisenberg~\cite{Heis})
tant de voir le processus de production multiple comme
le rayonnement d'un champ classique. On parle aussi
d'tat multipions ou encore de LASER  pions.
Cette ide est longtemps reste marginale jusqu'au dbut des 
annes 1990 o, sur des bases thoriques plus solides, elle
a t largement tudie et dveloppe.
\par
En effet, le dveloppement de thories effectives de basse
nergie dans le milieu des annes 80 a permis d'tudier la
dynamique des excitations de grande longueur d'onde des
interactions fortes dans le cadre de modles bass sur
des fondements thoriques solides\footnote{Les proprits
   de symtrie chirale tant  l'origine de l'existence
   des excitations de grande longueur d'onde (les modes de
   Goldstone), il est clair qu'elles jouent un rle important
   quant  leur dynamique. En exploitant les proprits de 
   symtrie chirale du lagrangien fondamental de QCD, on peut 
   crire un lagrangien effectif de basse nergie qui se prsente
   sous la forme d'un dveloppement en gradients (qui correspond
    un dveloppement en puissances de l'chelle d'nergie typique 
    laquelle on s'intresse) et qu'il est ncessaire de tronquer en
   pratique. Le modle~$\sigma$ non-linaire, dont il est question
   dans la suite, est obtenu en ne retenant que le premier terme, 
   qui contient deux drives.}. 
L'exemple le plus simple est le modle~$\sigma$ non-linaire, qui 
dcrit bien les proprits des pions de trs basse nergie.
En termes du champ~$\bfphi$ introduit plus haut, l'action de ce modle
s'crit
\beq
 \mathcal S = \frac{1}{2} \,
 \int d^4x \, \p_{\mu} \bfphi \cdot \p^{\mu} \bfphi
 \label{nonlin}
\end{equation}\noindent
avec la contrainte
\beq
 \bfphi^2 = \sigma^2 + \bfpi^2 = f_\pi^2
 \label{contrainte}
\end{equation}\noindent
La pertinence de ces modles pour le problme de l'existence
de champs de pions classiques est double : l'approximation
classique est justifie par le fait qu'on s'intresse  des 
excitations de grande longueur d'onde, et l'tude des solutions
classiques permet de savoir quelles configurations sont autorises
par la dynamique sous-jacente. C'est essentiellement ce deuxime
point qui manquait aux tudes prcdentes. C'est dans ce cadre conceptuel, 
que diffrents auteurs tudient les solutions classiques du
modle~$\sigma$ non-linaire au dbut des annes 1990~\cite{Ans,AR,BK1}. 
Ces tudes montrent en particulier qu'il est naturel de considrer 
des configurations classiques du champ de pion de grande longueur
d'onde ayant des gomtries non-triviales dans l'espace d'isospin.
Illustrons ce point par un exemple. En utilisant des conditions
aux limites idalises modlisant la rgion centrale d'une collision trs
nergtique~\cite{Heis,Bjor0}, J.P.~Blaizot et A.~Krzywicki
se ramnent  un problme  une dimension : le systme est invariant 
sous les boost longitudinaux et le champ ne dpend que du temps 
propre~$\tau = \sqrt{t^2 - z^2}$, o~$z$ est l'axe de la collision.
Les quations de conservation des courants vectoriel 
${\bf V}_{\mu} =  \bfpi \times \p_{\mu} \bfpi$ et axial
${\bf A}_{\mu} = \bfpi \p_{\mu} \sigma - \sigma \p_{\mu} \bfpi$
\eq
 \p_{\mu} {\bf V}^{\mu} = {\bf 0} 
 \, \, \, \, ; \, \, \, \,
 \p_{\mu} {\bf A}^{\mu} = {\bf 0}
\eq
sont facilement intgres :
\eq
 {\bf V}_{0} =  \bfpi \times \dot \bfpi = \frac{{\bf a}}{\tau} 
 \, \, \, \,  ; \, \, \, \,
 {\bf A}_{0} = \bfpi \dot \sigma - \sigma \dot \bfpi = \frac{{\bf b}}{\tau}
\eq
o les vecteurs~${\bf a}$ et~${\bf b}$ (${\bf a} \cdot {\bf b} = 0$) 
sont des constantes d'intgration. Le champ de pion dcrit donc
une trajectoire elliptique dans l'espace 
d'isospin~(${\bf c} = {\bf a} \times {\bf b}$,~$\kappa^2 = a^2 + b^2$) :
\bear
 \pi_a & = & 0 \\
 \pi_b & = & - \sin \left( \kappa \ln \frac{\tau}{\tau_0} \right) \\
 \pi_c & = & \frac{a}{\kappa} \cos \left( \kappa \ln \frac{\tau}{\tau_0} \right) 
\eear
o~$\tau_0$ est une constante dlimitant l'hypersurface sur laquelle
sont localises les sources du champ classique de pion~\cite{BK1}.
Cette solution appartient  la classe plus gnrale des solutions 
de type onde planes propose par A.A.~Anselm (voir aussi~\cite{EKV}). 
\par
Paralllement, J.D.~Bjorken suggre la possibilit de former une 
configuration particulire du champ de pions qu'il dnomme 
{\em condensat chiral dsorient}~\cite{Bjor1,Bjor2}. Il donne une
image intuitive de la collision et de la formation du DCC qu'il est bon 
d'avoir en tte car elle est trs parlante, c'est le scnario 
``Baked-Alaska'' : les produits 
primaires de la collision s'loignent de la zone d'impact avec une vitesse 
proche de celle de la lumire, formant une ``boule de feu'' en expansion 
rapide et dont l'intrieur est isol du vide environnant. Si la densit 
d'nergie y est suffisament faible, l'intrieur ressemble de trs prs 
au vide. Cependant, ce vide n'tant pas en contact avec le vide physique,
l'orientation du paramtre d'ordre n'a pas de raisons d'y tre la 
mme, en particulier les composantes d'isospin de ce dernier peuvent 
tre non nulles ; c'est un vide dsorient. Aprs un certain temps (de 
l'ordre de quelques fermi), la surface de la boule de feu se dsagrge
(hadronisation), l'intrieur et l'extrieur 
ne sont plus spars et le vide dsorient relaxe vers le vrai vide en 
rayonnant ses modes collectifs, les pions. Ce scnario 
phnomnologique correspond  l'idalisation adopte par Blaizot
et Krzywicki dans le cas d'une expansion longitudinale. Un cas particulier 
de leur solution correspond  un champ oscillant dans une direction quelconque 
de l'espace d'isospin (c'est le cas o l'intensit initiale du courant axial 
est grande compare  celle du courant vectoriel : $b \gg a$. Le champ de 
pions oscille alors dans la direction~${\bf b}$.).
C'est le DCC. La prdiction la plus frappante de ce phnomne hypothtique 
est la distribution vnement par vnement de la proportion de pions
neutres mis par rayonnement. En effet, le nombre total de pions avec 
une composante d'isospin donne est proportionnel (dans le cas du DCC 
uniquement, voir le Chap.~\ref{QUENCH})  l'intgrale du carr du champ 
sur tout le volume de la bulle
\eq
 N_i \propto \int_V d^3x \, \phi_i^2 (\vec x)
\eq
Les interactions fortes tant invariantes sous les rotations 
d'isospin, toutes les directions sont quiprobables et la
proportion de pions neutres
\eq
 f = \frac{N_{\pi_0}}{N_{\pi_+} + N_{\pi_0} + N_{\pi_-}}
\eq
est alors distribue selon la loi\footnote{Cette distribution
   est donne explicitement dans~\cite{BK1} o les auteurs
   n'ont pourtant pas isol la configuration DCC, ce qui n'est
   pas correct. Ceci est corrig dans~\cite{BK2}. Notons que ce
   rsultat est dja prsent dans~\cite{Andreev} o l'auteur considre
   un tat cohrent d'isospin total nul. Le DCC est un tel tat, en effet
   le champ oscille dans une direction donne et est, par consquent
   parallle  sa vitesse, ce qui signifie que l'isospin total de cette 
   configuration est nul : ${\bf V} = \bfphi \times \dot \bfphi = {\bf 0}$, et 
   ${\bf I}=\int_V {\bf V}$.}
\beq
\label{dccdist}
 \frac{dP(f)}{df} = \frac{1}{2 \sqrt f} \, ,
\end{equation}\noindent
 comparer avec la distribution binomiale trs pique autour de la valeur 
moyenne~$\bar f = 1/3$ prvue dans le cas de la production incohrente 
de pions. 
Ce phnomne pourrait expliquer les vnements Centauro et anti-Centauro
enregistrs dans le domaine des rayons cosmiques de trs haute nergie,
dans lesquels des amas de pions tous chargs (Centauro) ou tous neutres
(anti-Centauro) ont t observs~\cite{centauro}.
\par
Si on comprend mieux les configurations classiques possibles,
compatibles avec la dynamique des interactions fortes, on ne sait cependant
pas comment un tel champ peut tre cr lors de la collision.
En effet, dans les considrations prcdentes, on a suppos
l'existence d'un champ cohrent, classique cr par des sources localises 
sur le cne de lumire (la surface de la boule de feu). La question de la 
formation du champ classique est cache dans l'hypothse de l'existence 
de ces sources.

\section{Un scnario microscopique}

L'ide du DCC reoit une impulsion considrable quand, en 1993, K.~Rajagopal
et F.~Wilczek proposent un scnario prvoyant l'mergence d'un champ fort
de pions aprs une collision de noyaux lourds ultra-relativistes~\cite{RW}. 
Dans ce type de collisions, la densit d'nergie par unit de volume dpose
dans la rgion centrale peut atteindre des valeurs trs leves (plusieurs
GeV/fm$^3$) et on s'attend  ce que la matire soit dans un tat o la
symtrie chirale est restaure\footnote{Supposons pour un instant que le
  systme est dcrit par un gaz de pions de masse nulle  l'quilibre
  thermodynamique. La temprature de ce gaz de pions (relativistes) est 
  relie  la densit d'nergie par la loi : 
  $\epsilon = g (\pi^2/30) \, T^4$, o $g=3$ est la dgnrescence du 
  triplet de pions. A une densit d'nergie $\epsilon \approx 1$ GeV/fm$^3$,
  correspond une temprature $T \approx 400$ MeV. La temprature critique de la
  transition de phase chirale est $T_c \sim 150$ MeV.} du fait des fortes
fluctuations du champ chiral. L'expansion rapide
du systme engendre une chute brutale de la densit d'nergie et par consquent
une suppression soudaine de ces fluctuations. Le paramtre d'ordre ``se fige''
dans une direction alatoire de l'espace d'isospin. Ce phnomne est analogue
 la formation de domaines d'aimantation lors du trempage d'un matriau
feromagntique. C'est l'ide sous-jacente au scnario de Rajagopal et 
Wilczek, aussi appell scnario du trempage, et que nous allons maintenant 
dcrire un peu plus en dtail car il est  la base des travaux dcrits 
dans les chapitres suivant. En fait, ce modle sera tudi dans le
chapitre~\ref{QUENCH} o nous aurons l'occasion d'en donner tous les 
dtails. Pour le moment, il est suffisant d'en prsenter les grandes 
lignes et les rsultats importants.
\par
Considrons la rgion centrale d'une collision d'ions lourds 
ultrarelativistes, c'est  dire la rgion autour de $z=0$ o $z$ est 
l'axe du faisceau dans le rfrentiel du centre de masse de la collison.
A trs haute nergie, les nuclons des noyaux incidents 
ne sont pratiquement pas ralentis et ont compltement vacu la rgion 
centrale aprs un temps trs bref. Cette dernire est alors forme
de matire non-baryonique~\cite{CYWONG} (la densit de baryons est 
gale  celle des anti-baryons). Nous nous intressons  la
dynamique des modes de grande longueur d'onde et nous considrerons
le champ de pions dans cette rgion. Nous ngligeons en particulier
les effets possibles dus  la prsence d'autres msons ou baryons ainsi
qu' celle de matire dconfine. Nous supposerons de plus que le systme
a atteint un tat d'quilibre thermique local aprs un certain temps.
Si la densit d'nergie dans la rgion centrale est suffisante, la symtrie
chirale est restaure. Pour dcrire l'volution ultrieure du champ de pion,
nous devons utiliser un modle capable de prendre en compte la possibilit
d'un tat symtrique~$O(4)$. Il est clair, du fait de la 
contrainte ~(\ref{contrainte}) que ce n'est pas le cas du modle $\sigma$ 
non-linaire. L'extension la plus simple consiste  relcher 
la contrainte : c'est le modle $\sigma$-linaire\footnote{Le 
   modle~$\sigma$-linaire a t propos par M.~Gell-Mann et M.~Lvy 
   en 1960~\cite{Levy} (en fait avant, par Schwinger, voir dans~\cite{Levy}) 
   pour dcrire les interactions fortes entre nuclons. Ces derniers 
   taient reprsents par le doublet d'isospin~$(p,n)$ et l'interaction
   pion-nuclon par un couplage de Yukawa.}
\beq
 \mathcal S = \int d^4x \, 
 \left\{ \frac{1}{2} \, \p_{\mu} \bfphi \cdot \p^{\mu} \bfphi -
	\frac{\lambda}{4} \, \left(\bfphi \cdot \bfphi - v^2 \right)^2 + 
	H \sigma \right\} \, .
 \label{sigma}
\end{equation}\noindent
Le terme~$H \sigma$ brise explicitement la 
symtrie et rend compte de la masse non-nulle des  pions. 
Au niveau classique, on a
\bear
 H & = & f_\pi m_\pi^2 \\
 m_\pi^2 & = & \lambda \left( f_\pi^2 - v^2 \right) \\
 m_\sigma^2 & = & \lambda \left( 3 f_\pi^2 - v^2 \right)
\eear
On retrouve le modle non-linaire en prenant la limite 
chirale~($m_\pi \rightarrow 0$) et en intgrant le degr
de libert lourd~$\sigma$. 
\par
Rajagopal et Wilczek ont tudi numriquement la dynamique du paramtre 
d'ordre dans le cadre du modle $\sigma$ linaire classique en supposant
un tat initial symtrique : les composantes $\phi_j$ 
du champ sont des variables alatoire gaussiennes de mme variance
et distribues indpendemment sur les diffrents n\oe uds d'un rseau cubique. 
Bien qu'ayant en tte un systme en expansion, Rajagopal et Wilczek travaillent
dans une configuration statique. Le trempage des fluctuations initiales est
modlis par la faible valeur de la variance dans l'tat initial.
Durant l'volution ultrieure du champ de pion, les modes de Fourier
de grande longueur d'onde sont fortement amplifis en comparaison des 
modes de plus petite longueur d'onde, et oscillent dans le 
temps de manire cohrente avec une frquence $2 \pi / \sqrt{m_\pi^2 + k^2}
\approx 2 \pi / m_\pi$. L'nergie est ensuite rpartie de manire quivalente 
entre les modes (quipartition) par la dynamique non linaire. Cependant 
dans une situation en expansion, la dilution du systme entraine le
dcouplage des modes (freeze-out). S'il a lieu suffisament tt, celui-ci peut
empcher le systme d'atteindre l'quipartition. Dans ce cas, la configuration
finale du champ consiste en une superposition de modes de grande longueur d'onde
et {\em de grande amplitude}. C'est le champ fort dont nous avions besoin.
Le rsultat de la Rf.~\cite{RW} est reproduit sur la Fig.~\ref{fig_RW1} o 
l'on voit l'volution temporelle du module au carr des composantes de 
Fourier de $\phi_3$, moyenn sur des bins de largeur $\delta k$ centrs 
en $||\vec k||=k$ pour difffrentes valeurs de $k$.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{RajWil1.eps}}
\caption{\small Le module au carr moyen des composantes de Fourier de
   $\phi_3$ en fonction du temps (en units du pas du rseau $a$) dans 
   le scnario du trempage de la Rf.~\cite{RW}. On a calcul la moyenne 
   du module au carr de tous les modes tels que $k=||\vec k||$ est dans 
   le bin de largeur $\delta k =0.057a^{-1}$ centr autour de (de haut en 
   bas sur la figure) $ka=0.20$, $0,26$, $0,31$, $0,37$, $0,48$, $0,60$, 
   $0,71$, $0,94$, $1,16$ et $1,39$.} 
\label{fig_RW1}
\end{figure}
Le phnomne dcrit plus haut peut tre compris qualitativement  l'aide 
d'une simple approximation~\cite{RW,Rajrev,BKrev}. Les quations du mouvement s'crivent
\beq
 \left( \p^2 + \lambda (\phi^2 - v^2) \right) \bfphi = H {\bf n}_\sigma \, ,
 \label{eom}
\end{equation}\noindent
o l'on a utilis la notation $\phi^2 = \bfphi \cdot \bfphi$, et
o ${\bf n}_\sigma$ est un vecteur unitaire dans la direction $\sigma$ 
de l'espace chiral. En remplaant le terme non linaire $\phi^2$ par sa 
valeur moyenne sur le volume (dans ce qui suit, nous dnotons la valeur 
moyenne spatiale par des crochets : 
$\langle \mathcal O \rangle = (1/V) \int_V d^3x \, \mathcal O(\vec x)$) et 
en prenant la transforme de Fourier de l'quation obtenue, on 
obtient\footnote{Cette approximation est 
   quivalente  la limite $N \rightarrow \infty$ o $N$ est le nombre
   de composante du champ ($N=4$), c'est une approximation de type champ 
   moyen. Nous aurons l'occasion d'en parler d'avantage au chapitre~\ref{PROBA}.}
\beq
\label{MFeom}
 \left( \frac{d^2}{dt^2} + k^2 + m_{eff}^2(t) \right) \bfpi(\vec k,t) = {\bf 0} \, ,
\end{equation}\noindent
o 
\beq 
\label{effmass} 
 m_{eff}^2(t) = \lambda \left( \langle \phi^2 \rangle (t) - v^2 \right)
\end{equation}\noindent

est la masse effective (au carr) des excitations du champ  
l'instant $t$. Elle reprsente la courbure instantane du potentiel 
effectif vu par le champ.
\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{RajWil2.eps}}
\caption{\small La masse effective au carr $m_{eff}^2(t)$ en fonction 
   du temps (en unit du pas du rseau $a$) dans le scnario du trempage 
   de la Rf.~\cite{RW}.} 
\label{fig_RW2}
\end{figure}

L'volution temporelle de $m_{eff}^2(t)$ dans le scnario de la Rf.~\cite{RW}
est reprsent sur la Fig.~\ref{fig_RW2}. Quand $\langle \phi^2 \rangle (t) < v^2$
cette masse effective est imaginaire pure, ce qui se traduit par une croissance
exponentielle des amplitudes des modes de Fourier tels que $k^2 < -m_{eff}^2$
(cf.Eq.~(\ref{MFeom}). Ce mcanisme est bien connu dans 
divers domaines de la physique, comme la physique des solides ou encore 
la fragmentation nuclaire, sous le nom d'instabilit spinodale. Mentionnons 
le fait que le mcanisme de l'instabilit spinodale n'explique pas toute
l'amplification observe en rsolvant numriquement les quations~(\ref{eom}). 
En effet, on peut voir sur la Fig.~\ref{fig_RW2} que le carr de la masse 
effective~(\ref{effmass}) n'est ngatif que pour des temps $t \lesssim 10$ 
(en unit de pas du rseau) alors que l'amplification des modes de basse 
frquence se poursuit jusqu' $t \sim 50$. On peut toutefois 
comprendre  qualitativement l'amplification ultrieure  l'aide du mcanisme 
de rsonance parametrique d aux oscillations rgulires de la valeur 
moyenne $\langle \sigma \rangle$ autour de sa valeur asymptotique
$f_\pi$~\cite{param1,param2,param3}.

\section{Expansion et conditions initiales}

Le scnario du trempage fournit donc un scnario microscopique simple
pour la formation possible d'un champ fort de pion lors d'une collision entre 
noyaux trs nergtiques. De ce fait, il permet d'obtenir des informations 
au moins qualitatives sur les proprits du champ classique ainsi 
produit. Le rsultat de Rajagopal et Wilczek a par la suite t 
confirm~\cite{Bialas,GGP} et le modle du trempage a reu un intrt 
croissant. Diverses amliorations y ont t apportes, les plus importantes 
tant l'inclusion de certains effets quantiques et l'abandon de l'hypothse
concernant les conditions initiales (trempage `` la main'' des fluctuations
initiales) en faveur d'un scnario prenant explicitement en compte l'expansion. 
\par
La modlisation de l'expansion consiste simplement  se placer dans le 
rfrentiel en co-mouvement, qui se dplace avec un lment de volume du 
systme. Par exemple dans le cas d'une expansion longitudinale  la vitesse 
de la lumire, le temps mesur dans le repre en co-mouvement est le temps 
propre $\tau=\sqrt{t^2 - z^2}$ : au temps $t$, le systme a une extension
spatiale $-t \le z \le t$. Autrement dit, on spcifie les conditions aux bords,
ncessaires  la rsolution des quations du mouvement, non pas sur un
hyperplan $t=$cte, mais sur une hypersurface $\tau=$cte (voir le modle
de Blaizot et Krzywicki dcrit plus haut). En dfinissant la variable de 
rapidit $\eta=(1/2) \, \ln(t-z)/(t+z)$, on peut rcrire 
dans~(\ref{eom}) $\p_t^2 - \p_z^2 = \p_\tau^2
+ (1/\tau) \, \p_\tau - (1/\tau^2) \, \p_\eta^2$. En plus du terme habituel
d'acclration $\p_\tau^2$, on voit apparatre un terme de friction 
$\propto \p_\tau$ qui traduit le fait que la densit d'nergie dans un 
co-volume dcrot du fait de l'expansion. Diffrents auteurs~\cite{HuWang,Asakawa,Bialas} ont tudi numriquement
les solutions de~(\ref{eom}) dans une gometrie en expansion longitudinale,
avec un tat initial stable (o la masse effective~(\ref{effmass})
est initialement positive). Il ressort de ces tudes que, pour des 
conditions initiales appropries, l'expansion entraine le systme dans la rgion 
d'instabilit et le champ fort est cr. Cependant, le phnomne 
dpend fortement des conditions initiales. 
\par
Dans la Rf.~\cite{RAN0}, J.~Randrup propose une mthode systmatique
d'chantillonnage des configurations initiales du champ chiral $\bfphi(\vec x)$
 partir d'un ensemble thermique. La fonction de partition du systme en 
quilibre thermique  la temprature $T$ dans le volume $V$ est calcule
en traitant les fluctuations thermiques du champ autour de sa valeur
moyenne spatiale $\langle \bfphi \rangle$ dans une approximation
de champ moyen (l'approximation de Hartree). On peut alors 
calculer la distribution de probabilit des valeurs possibles 
de $\langle \bfphi \rangle$ ainsi que celle des fluctuations 
$\bfdelta \bfphi(\vec x) = \bfphi (\vec x) - \langle \bfphi \rangle$.
Dans un article ultrieur~\cite{RAN1}, Randrup tudie les trajectoires 
classiques gnres par les quations~(\ref{eom}) avec des conditions initiales
alatoires, chantillonnes selon cette mthode. La masse effective
(Eq.~(\ref{effmass})) s'crit ($\langle \bfdelta \bfphi \rangle = {\bf 0}$)
\beq 
 m_{eff}^2 = \lambda \left( \langle \phi \rangle^2 + 
 \langle \delta \phi^2 \rangle - v^2 \right) \, ,
 \label{effmass2} 
\end{equation}\noindent
o $\langle \phi \rangle^2 = \langle \bfphi \rangle \cdot \langle \bfphi \rangle$.
La rgion d'instabilit $m_{eff}^2 < 0$ est reprsente sur la 
Fig.~\ref{fig_traj} dans le plan
$(\langle \phi \rangle,\langle \delta \phi^2 \rangle^{1/2})$.
Randrup reprsente ses trajectoires dans ce mme plan et tudie l'incursion
du systme dans la rgion d'instabilit en fonction de la temprature initiale
d'une part et du taux d'expansion d'autre part. En effet, supposons une
expansion $D$-dimensionnelle, le temps mesur dans le repre en co-mouvement
est alors : $\tau = \sqrt{t^2 - x^i x_i}$, o $i=1...D$, et le terme de friction
dans les quations du mouvement devient $(D/\tau) \p_\tau$ : l'expansion 
est d'autant plus efficace que $D$ est grand ($D \le 3$).

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.6in \centerline{ \epsfbox{Traj.eps}}
\caption{\small Reprsentation shmatique de deux trajectoires typiques
   dans le plan $(\langle \phi \rangle,\sqrt{\langle \dphi^2 \rangle})$. 
   L'vnement (1) traverse la rgion spinodale ($m_{eff}^2<0$) et subit 
   une forte amplification. Dans la rgion d'instabilit, aprs le 
   refroidissement brutal des fluctuations (trempage), la valeur des 
   fluctuations du champ est $\sim v/2$, comme dans le modle {\it ad hoc}
   de~\cite{RW}.} 
\label{fig_traj}
\end{figure}

Randrup observe que lorsque le systme
est prpar  une temprature $T=400$~MeV, il n'entre dans la rgion d'instabilit
que pour~$D>1$. Pour $D=3$, l'instabilit apparait pour des tempratures
allant de $200$~MeV  $500$~MeV (au moins). Au dbut de l'volution, l'expansion
rapide supprime fortement les fluctuations thermiques tandis que 
$\langle \phi \rangle$, initialement petit pour des tempratures suprieures
 la temprature critique $T_c \sim 150$~MeV, ne change que trs peu. Le systme
entre dans la rgion d'instabilit. Les modes de grande longueur d'onde,
et en particulier $\langle \phi \rangle$, le mode zro, sont alors fortement
amplifis et le systme est ``pouss'' hors de la rgion d'instabilit.
Si la temprature initiale est trop importante, les fluctuations n'ont pas 
le temps de dcrotre suffisamment avant que $\langle \phi \rangle$ n'augmente
(vers sa valeur dans la phase brise) et le systme n'est jamais instable. 
A l'inverse, si la temprature est trop 
faible, on est trop proche de la temprature critique et $\langle \phi \rangle$ 
est si grand que l'on passe a cot de la rgion intressante. 
Il est intressant de remarquer que, dans le cas o le systme entre dans
la rgion d'instabilit, la valeur typique des fluctuations aprs la brve 
priode de refroidissement (trempage) est $\langle \delta \phi^2 \rangle^{1/2} 
\sim v/2$, ce qui correspond  la configuration initiale {\it ad hoc} de 
Rajagopal et Wilczek~\cite{Raj,RAN1}.  
\par
Nous comprenons donc comment,  partir d'une configuration chaotique du champ,
o les diffrents modes sont initialement indpendants, la dynamique 
hors d'quilibre du systme gnre momentanment une configuration forme par 
la superposition de modes de grande longueur d'onde et de grande 
amplitude. 

\section{Effets quantiques}

Le phnomne d'amplification des modes de grande longueur d'onde dans 
notre systme en expansion est analogue\footnote{Dans le cas du DCC il s'agit
   cependant d'un problme en couplage fort}  celui de la cration 
massive de particules durant la phase d'inflation de l'univers primordial.
Cette analogie a conduit diffrents auteurs  appliquer au premier problme
des mthodes dveloppes pour le second, notamment en ce qui concerne la
prise en compte de certaines corrections quantiques  la dynamique. 
Dans la Rf.~\cite{Boyanovsky}, les auteurs travaillent
avec un systme statique en modlisant le trempage `` la main'' de 
la mme faon que dans~\cite{RW}. Les fluctuations thermiques et quantiques 
sont dcrites par une matrice densit suppose gaussienne, ce qui conduit 
 des quations du mouvement dont la structure est similaire  celle des
Eqs.~(\ref{MFeom}) et~(\ref{effmass2}), o $\langle ... \rangle$ doit tre 
maintenant compris comme la moyenne sur ces fluctuations. 
Les auteurs des Rfs.~\cite{Cooper,Lampert,Lamperthesis} prennent en compte
les effets quantiques dans l'approximation de champ moyen (quivalente
 l'ansatz gaussien de~\cite{Boyanovsky}) dans un modle avec expansion.
Les rsultats de ces tudes sont similiaires  ceux obtenus dans le cas 
classique\footnote{Dans le modle avec expansion, l'inclusion des effets
   quantiques donne des rsultats quantitativement similaires  ceux du
   cas classique~\cite{ABL}} : on observe une augmentation importante du 
nombre de quanta de basse nergie durant la priode d'instabilit. 
Le champ est alors essentiellement une superposition de modes classiques 
de grande longueur d'onde. De mme que dans le cas classique, l'ingrdient 
crucial est la dynamique fortement hors d'quilibre due  l'expansion et 
le phnomne d'amplification dpend fortement des valeurs initiales des 
moyennes du champ et de sa drive temporelle. Ce dernier point fera 
l'objet de l'tude prsente au Chap.~\ref{PROBA}, o nous construirons 
une mthode originale d'chantillonnage des conditions initiales, que
nous utiliserons pour calculer la probabilit de former un champ
classique potentiellement observable.
\par
Dans le language de la mcanique quantique, le champ classique ainsi
form n'est autre que la valeur moyenne du champ quantique dans l'tat 
final du systme, au moment du dcouplage. Autrement dit, l'tat final 
est un tat quasi-classique, c'est  dire un tat cohrent~\cite{Glauber}. 
De faon gnrale, indpendante de toute dynamique sous-jacente, on peut 
construire diffrents types d'tats cohrents multi-pions prenant 
en compte les contraintes imposes par les lois de conservation, par 
exemple de la charge lectrique ou encore de l'isospin~\cite{HS,BSS,Andreev}. 
La structure de l'tat form dans un scnario raliste dpend de
la dynamique microscopique sous-jacente. Par exemple, il est facile
de voir que l'approximation de champ moyen correspond  une description
du systme en termes des tats dits compresss\footnote{Ceci est directement
   reli aux transformations de Bogoliubov connectant les oprateurs de
   cration et d'anihilation de quasi-particule  diffrents instants
   (voir Chap.~\ref{PROBA}).} 
(``squeezed state'') qui sont une gnralisation des tats 
cohrents~\cite{squeeze}. Le DCC est un tat particulier o tous les 
modes du champ sont orients dans la mme direction de l'espace d'isospin 
(voir par exemple~\cite{ABL}) : c'est un tat d'isospin total nul, ce qui 
est  l'origine de la loi~(\ref{dccdist})~\cite{Andreev}. Pour dcrire
la formation d'un tel tat collectif dans un scnario microscopique donn, 
il faut prendre en compte les non-linarits de la dynamique. Au niveau 
quantique, cela recquiert de considrer des corrections au del de 
l'approximation de champ moyen. En fait, nous verrons au Chap.~\ref{QUENCH} 
que le problme se pose dj au niveau classique. En effet, nous 
montrerons que dans le modle de Rajagopal et Wilczek, o l'tat initial est 
suppos incohrent, l'tat final n'est pas un tat collectif, les 
modes amplifis sont indpendants les uns des autres. Contrairement  
une ide largement admise, le caractre collectif suppos du DCC n'a 
pas encore trouv d'explication microscopique.
\par
Jusqu'ici nous avons considr le modle le plus simple possible en faisant
des approximations parfois trs grossire, ce qui nous a permis de dgager
l'essentiel de la physique du phnomne. Nombre de corrections ont t
considres dans la littrature (trs abondante) sur le 
sujet\footnote{Voir la {\it `DCC home page'} http://wa98.web.cern.ch/WA98/DCC}.
Mentionnons par exemple les effets dus aux interactions du champ de pion 
avec son environement dans une collision d'ions lourds~\cite{KRZ,RAN3,quarks},
la modlisation d'effets quantiques au del du champ moyen 
par une source stochastique dans les quations du mouvement du paramtre
d'ordre~\cite{Stock}, ou encore l'tude de modles alternatifs au modle
$\sigma$-linaire, comme les modles de Nambu-Jona-Lasinio~\cite{NJL} ou de
Gross-Neveu~\cite{GrossNeveu}. Ces tudes n'altrent pas l'image de la 
formation d'un champ classique que nous avons dcrite ici, qui s'avre 
donc tre relativement gnrique.
\par
La dtection ventuelle d'un DCC dans des expriences de collisions
hadroniques ou nuclaires  haute nergie pourrait permettre d'obtenir
des informations prcieuses sur la structure du vide des interactions
fortes, ainsi que sur les proprits de la transition de phase chirale.
Jusqu' maintenant deux groupes ont tent de dtecter ce phnomne :
T864 (minimax), une exprience de collisions proton-antiproton  
Fermilab~\cite{minimax} et WA98 au SPS du CERN (collisions d'ions 
lourds)~\cite{WA98}, toutes deux reportent des rsultats ngatifs.
En fait  ce jour les seuls ``signaux positifs'' sont ceux reports dans le 
domaine des rayons cosmiques au dbut des annes 1980.
Une partie du programme exprimental du dtecteur 
STAR\footnote{Voir la {\it `STAR home page'} http://www.star.bnl.gov/STAR} 
 RHIC (BNL) est ddie  la recherche de grandes fluctuations dans la 
distribution vnement-par-vnement de la fraction de pions neutres.
Diverses autres signatures ont t proposes dans la littrature, 
mentionnons par exemple l'augmentation du  nombre de photons de basse
nergie~\cite{RAN4,gamma} par dsintgration des pions neutres provenant
du DCC, ou encore, plus rcemment, l'anomalie dans les abondances de baryons
multi-trange $\Omega$ et $\bar\Omega$~\cite{omega}.
\par
Pour conclure ce chapitre d'introduction, reprenons les premires
questions-rponses de la `DCC trouble list'' de J.~D.~Bjorken, 
qui rsument bien l'ide sous-jacente aux tudes prsentes
dans les deux chapitres suivant,

\vspace{0.2cm}
\begin{center}
 Existence of DCC :
\end{center}
\vspace{0.2cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
Must it exist?      &     NO                          \\
Should it exist?    &     MAYBE                       \\
Might it exist?     &     YES                         \\
Does it exist?      &     IT'S WORTH HAVE A LOOK      \\
\end{tabular}
\end{center}













\chapter{La probabilit de formation \\
         d'un champ de pion classique}
\label{PROBA}


Un scnario plausible pour la formation d'un champ de pion classique 
lors d'une collision nuclaire  haute nergie
a t identifi~\cite{RW} : l'expansion rapide du systme entraine la 
suppression brutale des fluctuations thermiques (trempage), gnrant une 
amplification importante des modes de grande longueur d'onde. 
Ce mcanisme microscopique permet de faire des prdictions 
qualitatives utiles pour l'laboration de stratgies exprimentales,
comme par exemple le fait que le signal soit  rechercher dans les pions
de basse nergie. Un paramtre crucial pour la phnomnologie
est la probabilit pour qu'un tel champ fort soit produit. En effet
on choisira une mthode exprimentale plutt qu'une autre selon
que le nombre typique de collisions donnant lieu au phnomne
cherch est de une sur dix ou de une sur un million.
\par
Dans ce chapitre, nous nous proposons d'estimer l'ordre de 
grandeur de ce nombre. Il est clair que les modles actuels ne permettent 
pas de dire quoi que ce soit de fiable au niveau quantitatif, nanmoins
il est lgitime de chercher  avoir une estimation, mme grossire,
de cette probabilit. En fait, nous en obtiendrons une limite suprieure.
Le travail expos dans ce chapitre a t ralis en collaboration avec 
Andr Krzywicki et a fait l'objet d'une publication dans la revue 
Physics Letters B~\cite{KRZJS}.

\section*{Cadre thorique et image physique}

Le scnario du trempage 
est relativement robuste en ce qui concerne les dtails de la dynamique. 
Ici, nous utiliserons le modle $\sigma$-linaire en tant qu'approximation 
de la dynamique des excitations de basse nergie de QCD que sont les pions. 
Le point essentiel est la forte dpendance du phnomne d'amplification 
vis--vis des conditions initiales. Notre but tant d'estimer l'ordre de 
grandeur de la probabilit d'avoir une amplification donne, il nous faut 
donner un poids statistique  chacune des configurations initiales possibles. 
\par
Pour ce faire, nous aurons recours  des approximations, parfois
trs simplificatrices, mais qui ``capturent'' l'essentiel
de la physique du phnomne. Ainsi nous traiterons les effets
quantiques  l'ordre dominant dans un dveloppement
en $1/N$, o $N$ est le nombre de composantes du champ chiral $\bfphi$ ($N=4$).
C'est une approximation de type champ moyen qui, nous l'avons vu dans
le chapitre prcdent (Eqs.~(\ref{MFeom}) et (\ref{effmass})), dcrit
la physique de l'instabilit spinodale, responsable du phnomne 
d'amplification. De plus, nous considrerons le cas d'une expansion sphrique,
la plus efficace pour le trempage des fluctuations initiales. De manire 
gnrale, nous nous placerons 
toujours dans le cas le plus favorable pour la formation d'un champ fort 
de pion, de faon  avoir une limite suprieure  la probabilit cherche.
En effet on s'attend d'ores et dj  ce que celle-ci soit faible~\cite{BK2} 
et, notre objectif tant d'avoir une estimation qualitative, une limite 
suprieure est un paramtre pertinent pour la phnomnologie.
\par
Nous focalisons notre attention sur une petite bulle de 
matire chirale chaude, forme lors de la collision, qui subit
une expansion trs rapide et qui, selon son tat initial, subit 
ventuellement une priode d'instabilit durant laquelle les modes
de grande longueur d'onde sont fortement amplifis. Nous supposons 
que les fluctuations statistiques du champ de pion  l'intrieur
de la bulle sont dcrites par un ensemble thermique local. Exploitant
cette hypothse, nous proposons une mthode originale d'chantillonnage
des configurations initiales du champ, habituellement choisies de faon 
arbitraire dans la littrature. En combinant cette mthode avec le 
formalisme de la Rf.~\cite{Lampert} (voir aussi~\cite{Lamperthesis}), 
nous calculons la toute premire estimation de la probabilit pour 
qu'un champ fort (classique), potentiellement observable, soit form 
dans une collision d'ions lourds.
\par
En toute rigueur, la probabilit obtenue doit tre interprte comme 
une probabilit conditionnelle,  multiplier par la probabilit pour 
que notre bulle initiale soit forme dans une collision relle. Le 
calcul de cette dernire quantit recquiert cependant un modle pour 
l'ensemble de la collision, ce qui dpasse de loin le cadre de l'tude 
prsente ici. Nanmoins, l'hypothse d'quilibre thermique local
peut tre vue, non pas comme une approximation de l'tat rel du 
systme, mais comme une paramtrisation
de la distribution des configurations initiales possibles. 
Dans ce sens, le modle dcrit ci-dessus est suffisamment 
gnrique pour pouvoir, malgr sa  simplicit, donner une 
estimation raisonnable de la probabilit cherche.

\newpage

Le chapitre est organis comme suit : tout d'abord nous crivons
les quations dynamiques  l'ordre dominant en $1/N$ dans une gomtrie
en  expansion (nous reprenons pour l'essentiel le formalisme des
Refs.~\cite{Lampert,Lamperthesis}). Nous introduisons ensuite
la notion de champ interpolant qui nous permettra de relier les nombres de
particules dans les tats initial et final. La mthode d'chantillonage
des conditions initiales est expose en dtails. Enfin nous prsentons 
les rsultats de notre calcul numrique, suivis d'une discussion et de la 
conclusion.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Le formalisme}

La densit de Lagrangien du modle $\sigma$-linaire dans une 
gomtrie quelconque, caractrise par sa mtrique $g_{\mu \nu}$, s'crit
(cf.~(\ref{sigma}))
\eq
 \mathcal L = \sqrt{-g} \left( \frac{1}{2} g_{\mu \nu} \p^\mu \bfphi \cdot
 \p^\nu \bfphi - \frac{\lambda}{4} \left( \bfphi \cdot \bfphi - v^2 \right)^2
 + H \sigma \right)
\eq
o $g$ est le dterminant de la mtrique. L'action
$\mathcal S = \int d^4x \mathcal L$ est, comme il se doit, un scalaire
sous les transformations du systme de coordones. 
\par
Nous cherchons  tudier l'volution hors d'quilibre d'un systme quantique
avec un nombre infini de degr de libert. Le formalisme adapt est
la thorie quantique des champs hors d'quilibre. La thorie quantique des
champs a t initialement dveloppe pour dcrire des problmes de diffusion :
on prpare le systme  $t=-\infty$ et on fait une mesure  $t=+\infty$, o
$\pm\infty$ signifient ``trs longtemps avant/aprs l'interaction''.
Il s'agit donc de calculer des amplitudes de transition entre tats 
asymptotiques. La problmatique qui nous occupe ici est trs diffrente :
ayant prpar le systme dans un certain tat initial, dcrit 
par la matrice densit $\rho (t_0)$, on cherche  suivre son volution 
au cours du temps.
On veut calculer des objets du type $\langle \mathcal O \rangle (t) =
\mbox{Tr}(\rho (t) \mathcal O )$, l'volution temporelle tant donne
par les quations du mouvement $\dot \rho = \left[ H , \rho \right]$, o $H$ 
est le hamiltonien du systme. Il existe un formalisme trs lgant 
qui permet d'utiliser les mthodes dveloppes pour les problmes 
de diffusion dans le cas des problmes hors d'quilibre, c'est le formalisme
dit de ``chemin ferm'' (Closed Time Path)~\cite{CTP0,CTP1,CTP2}. 
En particulier, cette formulation assure la causalit des quations obtenues.
Les particularits propres  ce formalisme, comme par exemple la 
forme matricielle des propagateurs, ne se manifestant pas dans 
l'approximation de champ moyen, nous n'en parlerons plus dans la suite.


\subsection{Approximation de champ moyen}

L'approximation dite ``de champ moyen'' consiste  remplacer 
les interactions entre quanta (les modes de Fourier du champ, 
en nombre infini) par une interaction moyenne effective. Les modes sont 
{\em effectivement} dcoupls les uns des autres en ce sens que chacun d'eux
ne ``voit'' les autres que par l'intermdiaire du champ moyen qu'ils 
crent : chaque mode volue dans un potentiel effectif cr par tous les 
autres modes. Nous avons dj vu un exemple de ce genre d'approximation
dans le chapitre prcdent (Eqs.~(\ref{MFeom}) et~(\ref{effmass})). 
Rappelons-le, il nous sera utile dans la suite. Les quations du mouvement
pour le champ quantique $\hat\bfphi$ s'crivent (nous travaillerons dans 
le systme de coordonnes de Minkowski tout au long de cette section :
$g_{\mu\nu}=\mbox{diag} (1,-1,-1,-1)$)
\beq
\label{eom1}
 \left( \p^2 + \lambda (\hat\phi^2 - v^2) \right) \hat\bfphi = H {\bf n}_\sigma \, .
\end{equation}\noindent
En remplaant le terme $\phi^2$ de la partie non-linaire par sa valeur
moyenne sur l'tat considr, et en dcomposant le champ en la somme de
sa valeur moyenne $\bfphi=\langle \hat\bfphi \rangle$ et des fluctuations
autour de celle-ci : $\hat\bfphi = \bfphi + \bfdphi$, on obtient 
($\langle \bfdphi \rangle = {\bf 0}$)
\eq
 \left( \p^2 + \lambda ( \phi^2 + \langle \dphi^2 \rangle - v^2 ) \right) 
 (\bfphi + \bfdphi) = H {\bf n}_\sigma \, .
\eq
La valeur moyenne de cette quation nous donne une quation pour la valeur
moyenne du champ. En soustrayant cette dernire  l'quation ci-dessus,
on obtient l'quation pour les fluctuations :
\bearn
\label{condensat}
 ( \p^2 + \chi (x) ) \bfphi (x) & = &  H {\bf n}_\sigma \, ,  \\
\label{fluctuation}
 ( \p^2 + \chi (x) ) \bfdphi (x) & = & {\bf 0} \, ,
\eearn
o
\beq
\label{meanfield}
 \chi (x) = 
 \lambda \left( \phi^2 (x) + \langle \dphi^2 (x) \rangle - v^2 \right) \, .
\end{equation}\noindent
On voit bien ce qui se passe sur ces quations : le condensat (ou paramtre
d'ordre) $\bfphi$ volue dans un 
potentiel effectif qui n'est autre que le potentiel classique, corrig
par l'effet des fluctuations quantiques (le terme $\langle \dphi^2 \rangle$),
la dynamique desquelles est gouverne par une quation de type Klein-Gordon
avec une masse qui dpend du temps. Les fluctuations du champ sont donc 
effectivement dcouples et voluent dans un potentiel effectif quadratique
dont la courbure est dtermine d'une part par la valeur du condensat, et 
d'autre part
par l'effet {\em moyen} des fluctuations elles-mme. La masse effective $\chi(t)$
reprsente la courbure locale du potentiel effectif  l'instant $t$.
\par
Il existe diffrent types d'approximations de champ moyen. Dans ce chapitre,
nous travaillerons avec l'approximation dite ``grand $N$'' qui consiste  
ne retenir que l'ordre dominant dans un dveloppement en $1/N$ o $N$ est
le nombre de composantes du champ ($N=4$). Les quations ainsi obtenues
sont prcisment les Eqs.~(\ref{condensat})-(\ref{meanfield}).
Bien entendu la drivation prsente ci-dessus ne constitue pas une preuve 
de cette affirmation et est seulement un moyen rapide d'crire les quations. 
Il existe plusieurs manires d'obtenir l'ordre dominant en 
$1/N$~(voir par exemple~\cite{CJP,CHKMPA,Jackiw,DJ,CJT,Boyanovsky}). 
Ces diffrentes approches, bien qu'quivalentes, 
sont toutes aussi instructives les unes que les autres car elles clairent 
le problme sous des angles diffrents et mettent ainsi en lumire divers 
aspects de l'approximation grand $N$ en particulier, mais aussi, et plus 
gnralement, de l'approximation de champ moyen. Dans la drivation ci-dessus, 
nous avons sacrifi le problme de la lumire  celui du plus court chemin, 
et cela pour plus de clart. Nous procderons suivant cette ligne tout au long
de ce chapitre, de faon  ne pas alourdir notre discours. Cependant, certains
complments utiles  la comprhension sont dtaills dans les Annexes, 
auxquelles le lecteur est renvoy le cas chant. 
\par
Ici, nous partons des Eqs.~(\ref{condensat})-(\ref{meanfield})
et ne faisons que mentionner les aspects de l'approximation de
champ moyen pertinents pour notre tude. Tout d'abord, et il est facile 
de le voir  partir des quations ci-dessus, il s'agit d'une approximation
non-perturbative, dans ce sens qu'elle correspond  la resommation d'une 
classe infinie de termes de la srie 
perturbative\footnote{Dans le cas prsent, il s'agit des diagrammes dits 
   ``tadpoles'' ou encore ``daisy'' et ``super-daisy''. Un autre exemple 
   est donn par la resommation des boucles thermiques dures (HTL) dans les 
   thories de jauge  haute temprature, o le champ moyen dcrit les
   effets collectifs de grande longueur d'onde 
   (voir par exemple~\cite{LeBellac}).}. 
C'est de plus une approximation semi-classique, ce dont on peut se convaincre
si on rflchit  ce qu'est le champ cr par l'ensemble des particules
du milieu. De faon plus formelle, plaons-nous un instant dans l'image
de Schrdinger : c'est maintenant la matrice densit du systme qui dpend
du temps. L'approximation de champ moyen correspond  imposer que celle-ci
soit une gaussienne  chaque instant (voir par 
exemple~\cite{Boyanovsky})\footnote{Ceci est 
   intimement li au fait que les oprateurs de cration et d'anihilation 
   des excitations (ou quasi-particules) du systme  un instant $t$ sont 
   relis aux oprateurs  l'instant initial par une transformation de 
   Bogoliubov (voir plus loin, voir aussi l'Annexe~\ref{EXPANSION}).}.
Par exemple, si le systme est initialement dans un tat cohrent
(c'est  dire semi-classique), il reste dans un tat cohrent  chaque 
instant : dans l'approximation de champ moyen, la dynamique est 
essentiellement classique. Ces deux aspects des Eqs.~(\ref{condensat})-(\ref{meanfield}) sont tout  fait pertinents
pour le problme qui nous intresse : la formation d'un champ classique
dans une thorie de couplage fort. Remarquons enfin que dans 
l'Eq.~(\ref{fluctuation}), les fluctuations dans les diffrentes directions 
d'isospin sont traites sur un pied d'galit. Cet artefact de 
l'approximation nous simplifie la tche. En effet, dans ce 
chapitre, nous nous intressons  l'intensit {\em totale} du champ de pion, 
c'est  dire somme sur les directions d'isospin\footnote{L'tude
   de l'intensit dans les directions d'isospin individuelles fera l'objet
   du Chap.~\ref{QUENCH}.}. 
Le champ $\bfdphi$ doit tre vu comme dcrivant la fluctuation moyenne 
dans l'espace d'isospin.

\subsection{Expansion sphrique}

Pour tenir compte de l'expansion du systme, nous nous plaons dans
un petit volume en co-mouvement, c'est  dire qui se dplace avec le ``fluide''
en expansion. Dans la suite, nous considrons le cas d'une expansion
tri-dimensionnelle  symtrie sphrique  la vitesse de la lumire.
Le temps mesur par un observateur dans un co-volume est
le temps propre $\tau = \sqrt{t^2 - r^2}$, o $r$ est la distance  l'origine. 
La symtrie du problme est telle que la valeur du condensat ne dpend que de 
$\tau$. Vue dans le rfrentiel o notre bulle en expansion est au repos,
l'hypersurface $\tau=$~cte est une sphre dont le rayon crot trs vite : 
 l'instant $t$, celui-ci vaut $r = \sqrt{t^2 - \tau^2}$. En passant d'une
hypersurface de temps propre constant  une autre, on dcrit les diffrentes 
couches sphriques  l'intrieur de notre bulle, elles-mme en expansion. Imaginez
un oignon dont les diffrentes couches s'tendent les unes derrire les autres,
comme dans le shma de la Fig.~\ref{fig_oignon}.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=7.in \centerline{ \epsfbox{Oignon.eps}}
\caption{\small Schma de la bulle de matire chirale en expansion
   vue dans le rfrentiel o elle est globalement au repos. A l'instant
   initial $t=t_0$, on a une bulle de rayon $R_0$  l'quilibre thermique
   local. Celle-ci ``explose'' : aux instants ultrieurs $t>t_0$, la 
   surface externe de la bulle s'tend  la vitesse de la lumire,
   sa surface interne dcrit l'hyperbolode $\tau=\sqrt{t^2-r^2}=\tau_0=t_0$.
   Les hyperbolodes successives $\tau>\tau_0$ dcrivent l'intrieur de
   la bulle : ce sont des couches successives, en expansion les unes derrire
   les autres.} 
\label{fig_oignon}
\end{figure}
\par
Commenons par introduire quelques notations et dfinitions.

\subsubsection*{Coordonnes}

L'lment de longueur infinitsimal s'crit
\eq
 \dd s^2 = \dd t^2 - \dd r^2 + 
 r^2 ( \dd \theta^2 - \sin^2 \theta \, \dd \varphi^2) \, .
\eq
Les coordonnes adaptes  la description de notre co-volume sont
\eq
 \tau = \sqrt{t^2 - r^2} \, \, , \, \, 
 \eta = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{t+r}{t-r} \right) \, \, , \, \, 
 \theta \, \, , \, \, \varphi \, \, ,
\eq
en termes desquelles l'lment de longueur infinitsimal 
s'crit\footnote{Il s'agit d'une mtrique de
   Robertson-Walker~\cite{Birrell,Weinbook}.}
\beq
\label{metrique}
 \dd s^2 = g_{\mu \nu} \, \dd x^\mu \dd x^\nu = 
 \dd \tau^2 - \tau^2 \left( h_{ij} \, \dd x^i \dd x^j \right) \, , 
\end{equation}\noindent
o $h_{ij}$ est la mtrique tri-dimensionnelle dcrivant l'hypersurface
$\tau=1$ (encore appelle pseudo-sphre de rayon unit)
\eq
 h_{ij} = \mbox{diag} \, (1 \, , \, \sinh^2 \eta \, , \, 
 \sinh^2 \eta \, \sin^2 \theta) \, ,
\eq
et ($g$ et $h$ sont les dterminants de $g_{\mu \nu}$ et $h_{ij}$ respectivement)
\beq
\label{determinant}
 \sqrt{-g} = \tau^3 \, \sqrt{h} \, \, \, , \, \, 
 \sqrt{h} = \sinh^2 \eta \, \sin \theta \, .
\end{equation}\noindent

\subsubsection*{Laplaciens}

Le Laplacien quadri-dimensionnel est dfini par
\bear
 \Delta^{(4)} \equiv \nabla_\mu \nabla^\mu & = & \frac{1}{\sqrt{-g}} \,
 \p_\mu \, \sqrt{-g} \, g^{\mu\nu} \, \p_\nu \\ 
 & = & \frac{1}{\tau^3} \p_\tau \, \tau^3 \, \p_\tau - 
 \frac{1}{\tau^2} \Delta^{(3)}\, ,
\eear
o $\nabla_\mu$ dsigne la drive covariante et $\Delta^{(3)}$ est le 
Laplacien tri-dimensionnel sur la pseudo-sphre unit
\eq
 \Delta^{(3)} = \frac{1}{\sqrt{h}} \, \p_i \, \sqrt{h} \, h^{ij} \, \p_j \, .
\eq
Afin d'exploiter la symtrie sphrique du problme, il est
utile de dcomposer le champ sur l'ensemble complet des fonctions
propres de $\Delta^{(3)}$, dfinies par\footnote{On peut montrer que 
   $\mathcal Y_{\vec s} (\vec x) =
   u_{sl} (\eta) \, Y_l^m (\theta,\varphi)$, o $Y_l^m (\theta,\varphi)$ sont
   les harmoniques sphriques usuelles, et $u_{sl} (\eta)$ forment un ensemble
   complet de fonctions relles, rgulires  l'origine.}~\cite{Fulling}
\beq
\label{eigenfunc}
 \Delta^{(3)} \mathcal Y_{\vec s} (\vec x) = 
 - (s^2 + 1) \mathcal Y_{\vec s} (\vec x) \, ,
\end{equation}
o $\vec x \equiv (\eta , \theta , \varphi)$, $\vec s \equiv (s,l,m)$ ; s est 
une variable continue, sans dimension $0 < s < + \infty$, $l$ et $m$ sont 
des nombres entiers $0 \leq l < + \infty$ et $-l \leq m \leq l$. 
Les ``harmoniques hyperboliques'' $\mathcal Y_{\vec s}$ sont bien connues~\cite{BANDER}, elles forment 
une base orthogonale de l'espace des fonctions sur la pseudo-sphre unit. 
Nous choisirons leur normalisation comme suit
\beq
\label{ortho1}
 \int d^3x \, \sqrt{h} \, \mathcal Y_{\vec s \, '}^* (\vec x) \,
 \mathcal Y_{\vec s} (\vec x) = \delta^{(3)} (\vec s - \vec s \, ') \equiv
 \delta (s - s') \, \delta_{ll'} \, \delta_{mm'} \, .
\end{equation}\noindent
Dans la suite nous utiliserons les proprits 
suivantes~\cite{Lamperthesis,BANDER}
\beq
\label{ortho2}
 \int d^3s \, \mathcal Y_{\vec s}^* (\vec x \, ') \, \mathcal Y_{\vec s} (\vec x) =
 \frac{\delta^{(3)} (\vec x - \vec x \, ')}{\sqrt{h}}  \equiv 
 \frac{\delta (\eta - \eta') \, \delta (\theta - \theta') \, 
 \delta (\varphi - \varphi')}{\sqrt{h}} \, ,
\end{equation}\noindent
\beq
\label{propriete}
 \mathcal Y_{\vec s}^* = (-1)^m \, \mathcal Y_{-\vec s} \, \, \, \, , \, \, \, \,
 \sum_{lm} \, | \mathcal Y_{\vec s} (\vec x) |^2 = \frac{s^2}{2 \pi^2} \, ,
\end{equation}\noindent
avec les notations
\eq
 \int d^3s \equiv \int_0^{+\infty} ds \, \, \sum_{lm} \, \, \, \, , \, \, 
 -\vec s = (s,l,-m) \, .
\eq
\par
Notre observateur en co-mouvement mesure des observables physiques, comme
par exemple le nombre de particules,  des ``instants de temps propre'' $\tau$.
Pour dcrire son systme, il lui faut donc quantifier la thorie sur les
hypersurfaces $\tau=\mbox{cte}$. Le formalisme adapt  ce problme est celui
de la thorie quantique des champs en espace courbe~\cite{Birrell}. Nous allons
suivre ici les Refs.~\cite{Lampert,Fulling} 
(voir aussi~\cite{Lamperthesis}). 

\subsubsection*{Quantification}

Les quations dynamiques  l'ordre dominant en $1/N$ dans la
gomtrie en expansion avec $\bfphi (x) = \bfphi (\tau)$ s'crivent
\bearn
\label{mean}
 \ddot\bfphi (\tau) + \frac{3}{\tau} \dot\bfphi (\tau) + 
 \chi (\tau) \, \bfphi (\tau) & = & H {\bf n}_\sigma \, ,  \\
\label{fluc} 
 \left( \Delta^{(4)} + \chi (\tau) \right) \, \bfdphi (\tau,\vec x) & = & 
 {\bf 0} \, ,
\eearn
o le point dnote la drive temporelle, et o
\beq 
\label{chi}
 \chi (\tau) = \lambda \left( \phi^2 (\tau) + 
 \langle \dphi^2 \rangle (\tau) - v^2 \right) \, . 
\end{equation}\noindent
Les diffrentes composantes chirales $\dphi_a$ de la fluctuation tant
traites sur un pied d'galit dans cette approximation, nous concentrons
notre attention sur une d'entre elles et omettons les indices
chiraux pour simplifier les notations. Nous mentionnerons au fur et  mesure
les modifications (videntes) de nos formules quand ces indices sont rintroduits.
\par
Tout d'abord, il est judicieux d'introduire les variables adimensionnes
\beq
\label{reduite}
 \varphi (\tau,\vec x) = \tau \, \dphi (\tau,\vec x) \, \, \, , \, \, \,
 \pi (\tau,\vec x) = \tau \, \dot\varphi (\tau,\vec x) \, .
\end{equation}\noindent
En effet, dans la suite nous parlerons des reprsentations
de Schrdinger et de Heisenberg, et nous aurons besoin de dfinir
l'oprateur unitaire qui connecte ces deux reprsentations. Or, on
peut montrer (voir Annexe~\ref{EXPANSION}) qu'en termes des variables
(\ref{reduite}) le problme s'exprime comme un ensemble (infini)
d'oscillateurs harmoniques dont les frquences dpendent du temps 
(voir Eq.~(\ref{disp}) plus bas). En dfinissant la reprsentation 
de Schr\"odinger  l'instant de rfrence $\tau_0$, et en dnotant 
par $U (\tau,\tau_0)$ l'oprateur d'volution, on a
\bearn
\label{HSphi}
 \varphi (\tau) & = & U (\tau,\tau_0) \, \varphi (\tau_0) \, 
 U^{-1} (\tau,\tau_0) \, , \\
\label{HSpi}
 \pi (\tau) & = & U (\tau,\tau_0) \, \pi (\tau_0) \, 
 U^{-1} (\tau,\tau_0) \, , 
\eearn
o l'on a omis la dpendance spatiale. 
De l on tire les relations 
\bear
 \dphi (\tau) & = & \frac{\tau_0}{\tau} \, U (\tau,\tau_0) \, \dphi (\tau_0) \, 
 U^{-1} (\tau,\tau_0) \, , \\
 \dot{\dphi} (\tau) & = & \frac{\tau_0^2}{\tau^2} \, U (\tau,\tau_0) \, 
 \dot{\dphi} (\tau_0) \, U^{-1} (\tau,\tau_0) \, . \\
\eear
On peut construire explicitement\footnote{Il s'agit d'une construction
   formelle faisant intervenir les solutions de l'quation du mouvement
   (cf. Eq.~(\ref{OH}). Il est toutefois intressant de noter que l'on
   peut choisir arbitrairement les conditions initiales, pourvu que
   celles-ci satisfassent la contrainte de Wronskien (Eq.~(\ref{wronsk}).} 
l'oprateur d'volution $U$ pour un potentiel quadratique gnral~\cite{Combescure}.
Cependant, pour notre propos, nous n'avons pas besoin de cette construction,
seules les lois de transformation ci-dessus nous seront utiles.
\par
La dcomposition du champ sur les modes $\vec s$ s'crit
\eq
 \varphi (\tau,\vec x) = 
 \int d^3s \, \left( a_{\vec s} \, \psi_s (\tau) \, \mathcal Y_{\vec s} (\vec x) +
 a_{\vec s}^{\dagger} \, \psi_s^* (\tau) \, \mathcal Y_{\vec s}^* (\vec x) \right)
 \, .
\eq
Dfinissons les projections $\varphi_{\vec s}$ et $\pi_{\vec s}$ 
du champ et de son moment conjugu\footnote{Les fonctions modes, ainsi que 
   les oprateurs de cration et d'anihilation portent un indice 
   chiral : $\psi_s^a$, et $a_{a,\vec s}$.
   Les relations de commutation sont : 
   \eq
    \left[ a_{a,\vec s} \, ; \, a_{b,\vec s'}^{\dagger} \right] = 
    \delta_{ab} \, \delta^{(3)} (\vec s - \vec s') \, .
   \eq }
\bearn
\label{modephi}
 \varphi_{\vec s} (\tau) & = & \int d^3 x \, \sqrt{h} \, 
 \mathcal Y_{\vec s}^* (\vec x) \, \varphi (\tau,\vec x) = 
 \psi_s (\tau) \, a_{\vec s} + 
 \psi_s^* (\tau) \, (-1)^m \, a_{-\vec s}^{\dagger} \, \, ,\\
\label{modepi}
 \pi_{\vec s} (\tau) & = & \int d^3 x \, \sqrt{h} \, 
 \mathcal Y_{\vec s}^* (\vec x) \, \varphi' (\tau,\vec x) = 
 \psi_s' (\tau) \, a_{\vec s} + 
 \psi_s^{*'} (\tau) \, (-1)^m \, a_{-\vec s}^{\dagger} \, \, ,
\eearn
o le prime dsigne la drivation par rapport  $u = \ln (m_\pi \tau)$ : 
$\psi' = \tau \dot\psi$. Les oprateurs de cration et d'anihilation,
$a_{\vec s}^{\dagger}$ et $a_{\vec s}$ satisfont aux relations de commutation
\beq
\label{commut}
 \left[ a_{\vec s} \, ; \, a_{\vec s \, '}^{\dagger} \right] = 
 \delta^{(3)} (\vec s - \vec s \, ') \, ,
\end{equation}\noindent
lea autres commutateurs tant nuls.
Les ``fonctions mode'' $\psi_s$ satisfont aux quations 
diffrentielles
\beq
\label{mode}
 \ddot\psi_s (\tau) + \frac{1}{\tau} \, \dot\psi_s (\tau) +
 \omega_s^2 (\tau) \, \psi_s (\tau) = 0 \, ,
\end{equation}\noindent
que l'on peut rcrire
\beq
\label{OH}
 \psi_s'' (\tau) + \tomega_s^2 (\tau) \, \psi_s (\tau) = 0 \, ,
\end{equation}\noindent
o $\tomega_s = \tau \omega_s$ et
\beq
\label{disp}
 \omega_s (\tau) = \sqrt{ \frac{s^2}{\tau^2} + \chi (\tau)} \, .
\end{equation}\noindent
On voit que le systme se rduit  un ensemble d'oscillateurs Eq.(\ref{OH}),
coupls entre eux d'une part, et avec le condensat d'autre part,  travers 
le terme de masse $\sqrt{\chi (\tau)}$. L'effet de ce couplage se traduit
uniquement par la dpendance en temps de cette masse. Les frquences physiques 
sont donnes par (\ref{disp}) (voir Annexe~\ref{EXPANSION}).
Le champ de fluctuation $\dphi$ et son moment conjugu $\Pi = \sqrt{-g} \, 
\dot{\dphi}$ (voir Annexe~\ref{EXPANSION}) satisfont aux relations de 
commutation canoniques  temps propres gaux $\left[ \dphi (\tau,\vec x) \, ; \, 
\Pi (\tau,\vec x') \right] = i \, \delta^{(3)} (\vec x - \vec x')$. Celles-ci
sont quivalentes  (\ref{commut}) si les fonctions mode satisfont la condition
de Wronskien
\beq
\label{wronsk}
 W_s = \psi_s (\tau) \, \psi_s^{*'} (\tau) - 
 \psi_s^* (\tau) \, \psi_s' (\tau) = i \, .
\end{equation}\noindent
\par
Pour complter la procdure de quantification, il faut spcifier les
conditions initiales pour les fonctions modes, ainsi que pour leur drives.
En effet, diffrents choix pour les $\psi_s$ correspondent  diffrentes 
dfinitions des quasi-particules, ou, de faon quivalente,  diffrentes
dfinitions du vide.
Nous suivons ici les auteurs de la Rf.~\cite{Lampert}, en
choisissant le vide adiabatique d'ordre zro~\cite{Fulling,Birrell} (voir
Annexe~\ref{EXPANSION}), c'est  dire
\eq
 \psi_s (\tau_0) = g_s (\tau_0) \, \, \, , \, \, \,
 \psi_s' (\tau_0) = g_s' (\tau_0) \, ,
\eq
avec
\beq
\label{adiab}
 g_s (\tau) = \frac{1}{\sqrt{2 \tomega_s (\tau)}} \, 
 \exp \left( \int_{\tau_0}^\tau d\tau' \, \omega_s (\tau') \right) \, ,
\end{equation}\noindent
Il est commode pour la suite d'introduire la notation
\bearn
\label{adiab0}
 \psi_s^{(0)} (\tau) & = & \frac{1}{\sqrt{2 \tomega_s (\tau)}} \, , \\
\label{adiab1}
 \psi_s^{(1)} (\tau) & = & 
 - \left[ \frac{\tomega_s \, ' (\tau)}{2 \tomega_s (\tau)} +
 i \, \tomega_s (\tau) \right] \, \psi_s^{(0)} (\tau) \, .
\eearn
La condition initiale pour les fonctions mode s'crit alors
\beq
\label{init}
 \psi_s (\tau_0) = \psi_s^{(0)} (\tau_0) \, \, \, , \, \, \,
 \psi_s' (\tau_0) = \psi_s^{(1)} (\tau_0) \, .
\end{equation}\noindent
L'approximation adiabatique peut tre vue comme une dfinition du vide physique.
Le problme de la dfinition d'un ``bon'' vide vient de la dpendance en temps 
de la mtrique, Eq.~(\ref{metrique}). Cette dernire, couple au champ quantique 
par l'intermdiaire du terme $\sqrt{-g}$ dans l'action, agit comme un champ 
classique qui rayonne des particules. Un tat initalement vide, se remplit
de quanta au fur et  mesure que le temps passe. Ce problme est brivement
discut dans l'Annexe~\ref{EXPANSION}. Pour rsumer, l'approximation 
adiabatique consiste  minimiser le taux de production de particules d
 l'expansion. Le choix des conditions initiales (\ref{init}) n'est cependant
pas essentiel pour notre problme, ce que nous avons vrifi en essayant
diffrents choix. Mentionnons toutefois que la condition adiabatique permet
de renormaliser la thorie de manire non-ambig\"ue, indpendante du temps.

\subsubsection*{Renormalisation}

L'quation de gap (\ref{chi}) fait intervenir la valeur moyenne du 
produit de deux oprateurs au mme point $\langle \dphi^2 (\tau,\vec x) \rangle$.
Cette quantit diverge et il est ncessaire de rgulariser la thorie,
par exemple en introduisant une coupure ultraviolette $\Lambda$.
Il est bien connu que ce type de modle devient trivial (la constante
de couplage tend vers zro) quand $\Lambda \rightarrow \infty$,
on doit donc garder $\Lambda$ fini. Comme nous l'avons discut plus haut, 
le modle $\sigma$-linaire est une approximation de la dynamique des 
excitations bosoniques de grande longueur d'onde de QCD. C'est un modle 
effectif de basse nergie qui n'a de sens physique que s'il est dfini avec
une coupure finie $\Lambda \lesssim 1$~GeV, qui doit tre vue comme un paramtre.
Cependant, il est utile d'isoler les divergences et de les rabsorber
dans la dfinition de quantits physiques de faon  minimiser
la dpendance des rsultats avec $\Lambda$. C'est dans ce sens qu'il
faut comprendre la ``renormalisation'' dcrite ci-dessous.
\par
Afin d'isoler et de traiter les divergences de l'quation de gap,
il est ncessaire de spcifier l'tat du systme sur lequel est prise
la valeur moyenne. Anticipant sur la suite, nous crivons
\eq
 \langle a_{a,\vec s}^{\dagger} \, a_{b,\vec s \, '} \rangle =
 n_s \, \delta_{ab} \, \delta^{(3)} (\vec s - \vec s \, ') \, \, \, , \, \, \,
 \langle a_{a,\vec s} \, a_{b,\vec s \, '} \rangle = 0 \, ,
\eq
o l'on a rintroduit les indices chiraux. Nous supposerons un tat 
d'quilibre thermique local  l'instant initial, de sorte que 
$n_s$ dcroit exponentiellement vite pour les grandes valeurs de $s$.
En utilisant les Eqs.~(\ref{reduite}) et (\ref{modephi}), ainsi que
les proprits (\ref{propriete}) et les relations de commutation
(\ref{commut}), on obtient
\eq
 \langle \dphi^2 (\tau,\vec x) \rangle = 
 \sum_{a=1}^N \langle \dphi_a^2 (\tau,\vec x) \rangle = 
 \frac{N}{\tau^2} \int_0^{+\infty} \frac{s^2 ds}{2 \pi^2} \, 
 ( 2 n_s + 1 ) \, |\psi_s (\tau)|^2 \, .
\eq
La partie divergente de cette intgrale vient de la contribution du vide
$\sim \int s^2 ds \, |\psi_s|^2$. Pour $s^2 \gg 1$, on crit, 
en ligne avec l'approximation adiabatique\footnote{L'approximation
   adiabatique est exacte pour $s \rightarrow +\infty$, en effet, dans ce cas 
   on a $\tomega_s \simeq s$, et la solution de l'Eq.~(\ref{OH}) ayant pour 
   condition initiale (\ref{init}) s'crit 
   \eq
    \psi_s \simeq \frac{1}{\sqrt{2s}} \, \exp [ -i \, s \ln (\tau/\tau_0) ] = 
    g_s (\tau) \, .
   \eq
   Remarquons que si le systme, au cours de son volution temporelle,
   traverse une priode d'instabilit ($\chi < 0$), certaines frquences
   ont des valeurs ngatives pour cette priode, et 
   $\int_{\tau_0}^{\tau} \omega_s$ n'est pas un nombre rel. Pour ces modes,
   l'ansatz adiabatique ne peut tre utilis en tant qu'approximation de 
   la fonction mode car alors, la relation (\ref{wronsk}) n'est pas satisfaite. 
   Cette objection ne s'applique cependant pas pour les modes de haute nergie
   qui nous intressent ici, et dont les frquences sont toujours relles.},
\eq
 \psi_s (\tau) = g_s (\tau) + \mbox{reste,}
\eq
o $g_s$ est donne par l'Eq.~(\ref{adiab}), et o le ``reste'' ne donne 
pas de contribution singulire. Ceci nous permet d'isoler
la partie divergente\footnote{La coupure $\Lambda$ s'interprete comme
   l'impulsion maximale permise. Ici l'impulsion est $s/\tau$ 
   (cf. Eq.~(\ref{disp})), l'intgrale sur $s$ est donc coupe  
   $s_{max} = \Lambda \tau$.}
\bear
 \frac{1}{\tau^2} \,\int^{\Lambda \tau} s^2 ds \, | g_s (\tau) |^2 & = & 
 \frac{1}{\tau^2} \,\int^{\Lambda \tau} 
 \frac{s^2 ds}{2 \sqrt{s^2 + \tau^2 \chi (\tau)}} \\
 & = & \int^{\Lambda} \frac{k^2 dk}{2 \sqrt{k^2 + \chi (\tau)}} \, .
\eear
Cette dernire intgrale est calcule dans l'Annexe~\ref{INTEGRALE}, on a
\eq
 \langle \dphi^2 \rangle (\tau) = \frac{N}{8 \pi^2} \, 
 \left( \Lambda^2 - \chi \, \ln \frac{\Lambda}{\sqrt{|\chi|}} \right) + ... \, ,
\eq
o $...$ reprsente des termes dpendant faiblement de $\Lambda$. Ceci est
valable quel que soit le signe de $\chi$.
La dpendance quadratique dans la coupure est indpendante du temps.
Elle est facilement limine en soustrayant  la masse effective au 
carr $\chi$ sa valeur dans le vide, qui n'est autre que le carr de la masse 
physique du pion. En effet, dans le vide on a
$\bfphi (\tau) \equiv (f_\pi,{\bf 0})$ et l'quation de gap s'crit
\eq
 m_\pi^2 = 
 \lambda \left( \, f_\pi^2 + \langle \, 0 \, | \, \dphi^2 \, | \, 0 \, \rangle - 
 v^2 \, \right) \, ,
\eq
avec
\bear
 \langle \, 0 \, | \, \dphi^2 \, | \, 0 \, \rangle & = & 
 N \, \int_0^{\Lambda} \frac{k^2 dk}{2 \pi^2} \, \frac{1}{2 \sqrt{k^2 + m_\pi^2}} \\
 & = & \frac{N}{8 \pi^2} \, 
 \left( \Lambda^2 - m_\pi^2 \, \ln \frac{\Lambda}{m_\pi} \right) + ... \, .
\eear
En exprimant $\chi$ en fonction de $m_\pi^2$, ce qui revient  absorber
la divergence dans le paramtre $v \equiv v (\Lambda)$, on s'affranchit 
du terme quadratique en $\Lambda$ :
\eq
 \frac{1}{\lambda} (\chi (\tau) - m_\pi^2) = \phi^2 (\tau) - f_\pi^2 \, + \,
 \langle \, \dphi^2 \, \rangle (\tau) - 
 \langle \, 0 \, | \, \dphi^2 \, | \, 0 \, \rangle \, .
\eq
La dpendance logarithmique restante est limine en dfinissant la
constante de couplage renormalise $\lambda_R$, telle que 
(voir Annexe~\ref{INTEGRALE})~\cite{CJP,Lamperthesis}
\bear
 \frac{1}{\lambda_R} & = & \frac{1}{\lambda} + \frac{N}{8 \pi^2} \,
 \int_0^{\Lambda} \frac{k^2 dk}{( k^2 + m_\pi^2 )^{3/2}} \\
 & = & \frac{1}{\lambda} + \frac{N}{8 \pi^2} \, \ln \frac{\Lambda}{m_\pi} + ...
\eear
Comme promis, la procdure de renormalisation est indpendante du temps.
L'quation de gap est entirement exprime en terme de quantits physiques
mesurables, et donc indpendantes de la coupure $\Lambda$, qui doivent
tre tires de l'exprience. Nous utiliserons les valeurs proposes dans
les Rfs.~\cite{Lampert,Lamperthesis}\footnote{Dans ces Rfs. 
   (voir aussi~\cite{Cooper}), la constante de couplage renormalise 
   $\lambda_R$ est extraite de l'amplitude de diffusion 
   $\pi \pi \rightarrow \pi \pi$ dans l'onde $s$ (moment angulaire $l=0$), 
   dans la voie isoscalaire (isospin total $I=0$).}
de faon  pouvoir vrifier nos calculs en les comparant aux leurs
\bear
 m_\pi & = & 139.5 \, \mbox{MeV} \, , \\
 f_\pi & = & 92.5 \, \mbox{MeV} \, , \\
 \lambda_R & = & 7.3 \, .
\eear 
\par
Nous concluons cette partie par une remarque concernant les valeurs possibles
de la coupure. La constante de couplage renormalise dpend de l'chelle
d'nergie $\mu$  laquelle on la mesure, ici nous avons choisi $\mu=m_\pi$.
Rcrivons la relation entre la constante de couplage nue 
$\lambda (\Lambda)$ et la constante de couplage renormalise $\lambda_R (\mu)$
sous la forme
\eq
 \lambda (\Lambda) = \frac{\lambda_R (\mu)}{1 - \lambda_R (\mu)\frac{N}{8 \pi^2}
 I_3(\Lambda,\mu)} \, ,
\eq
o $I_3(\Lambda,\mu) \equiv I_3(\Lambda/\mu)$ est l'intgrale dfinie plus 
haut (voir aussi Annexe~\ref{INTEGRALE}). On voit que pour 
$\lambda_R > 0$\footnote{Si $\lambda_R < 0$, $\lambda < 0$ et la thorie
   est instable},
il existe une valeur critique finie $\Lambda_c$ de la coupure pour laquelle la 
constante de couplage nue diverge. En supposant que $\Lambda_c/m_\pi \gg 1$,
on obtient $I_3 \simeq \ln (2\Lambda_c/m_\pi)-1$, c'est  dire ($N=4$,
$\lambda_R(m_\pi)=7.3$)
\eq 
 \frac{\Lambda_c}{m_\pi} \simeq \frac{1}{2} \, \mbox{e}^{1 + 8 \pi^2/N \lambda_R}
 \approx 20 \, .
\eq
C'est le ple de Landau de la thorie $\Phi^4$ : pour $\Lambda > \Lambda_c$, 
la constante de couplage nue $\lambda (\Lambda)$ est ngative, la thorie est 
instable. On doit donc prendre une valeur de la coupure infrieure au 
ple de Landau. La valeur numrique de $\Lambda_c$ est de l'ordre
de $3$~GeV, ce qui est bien au del de l'chelle typique d'nergie que
nous cherchons  dcrire ici ($\lesssim 1$~GeV). Toujours en suivant les Rf.~\cite{Lampert,Lamperthesis}, 
nous prendrons
\eq
 \Lambda = 800 \, \mbox{MeV} \, .
\eq

\subsection{Particules physiques, champ interpolant}

Notre but est de calculer le nombre de pions produits dans l'tat
final. Pour ce faire, il nous faut dfinir prcisment ce qu'est
cette quantit. C'est le sujet de cette partie.
\par
Nous avons choisi, comme instant de rfrence, o les reprsentations de
Schr\"odinger et de Heisenberg concident, l'instant initial $\tau=\tau_0$.
Dans la reprsentation de Schr\"odinger, on a la dcomposition suivante
\bearn
\label{modephischro}
 \varphi_{\vec s} & \equiv & \varphi_{\vec s} (\tau_0) = 
 \psi_s (\tau_0) \, a_{\vec s} + 
 \psi_s^* (\tau_0) \, (-1)^m \, a_{-\vec s}^{\dagger} \, \, ,\\
\label{modepischro}
 \pi_{\vec s} & \equiv & \pi_{\vec s} (\tau_0) = 
 \psi_s' (\tau_0) \, a_{\vec s} + 
 \psi_s^{*'} (\tau_0) \, (-1)^m \, a_{-\vec s}^{\dagger} \, \, .
\eearn
Avec la condition adiabatique (\ref{init}),  $a_{\vec s}^{\dagger}$
($a_{\vec s}$) s'interprte comme la reprsentation de Schr\"odinger de 
l'oprateur qui cre (anihile) un quanta de frquence $\omega_s (\tau_0)$.
Ce sont les quantas appropris  la description de l'tat initial o le
systme est un plasma de pions interagissant fortement les uns avec les 
autres. Dans l'approximation de champ moyen ce systme en interaction
est remplac par un ensemble d'excitations effectives libres de masse 
$\sqrt{\chi_0}$, en d'autres termes on ``diagonalise'' le problme en 
identifiant les excitations ou modes physiques du plasma. L'information
concernant l'interaction entre les pions est entirement contenue dans 
la masse effective de ces quasi-particules. Il est bien clair que, du fait 
de l'expansion la dfinition des quasi-particules change avec le temps : 
les excitations physiques du systme  l'instant $\tau_0$ ne sont plus
les excitations {\em physiques} (c'est  dire qu'elles ne diagonalisent 
plus le hamiltonien)  l'instant $\tau_0 + \delta\tau$. En fait 
les oprateurs de cration et d'anihilation correspondant
aux quasi-particules  l'instant $\tau$ sont relis  ceux correspondant 
aux quasi-particules  l'instant $\tau_0$ par le biais d'une transformation
unitaire dite de Bogoliubov (cf. Eq.~(\ref{App1_bogo}) dans
l'Annexe~\ref{EXPANSION}).
\par
Il existe une infinit de manire de dcomposer le champ sous la forme
(\ref{modephischro})-(\ref{modepischro}), chacune correspondant  un
choix particulier d'oprateurs de cration et d'anihiliation ou, de faon
quivalente,  un choix de la fonction mode et de sa drive (la seule
contrainte sur ces fonctions est qu'elle doivent satisfaire la relation
de Wronskien (\ref{wronsk})). Les quasi-particules physiques du systme  
l'instant final $\tau_f$ sont des quanta de frquence $\omega_s (\tau_f)$. 
En dnotant par $b_{\vec s}^{\dagger}$ et $b_{\vec s}$ les oprateur de 
cration et d'anihilation correspondant, dans la reprsentation de 
Schr\"odinger, on a
\bear
 \varphi_{\vec s} & = & \xi_s (\tau_0) \, b_{\vec s} + 
 \xi_s^* (\tau_0) \, (-1)^m \, b_{-\vec s}^{\dagger} \, \, ,\\
 \pi_{\vec s} & = & \xi_s' (\tau_0) \, b_{\vec s} + 
 \xi_s^{*'} (\tau_0) \, (-1)^m \, b_{-\vec s}^{\dagger} \, \, .
\eear
Les fonctions modes pour des quanta de frquence $\omega_s (\tau_f)$
sont donnes par la condition adiabatique (\ref{adiab0})-(\ref{adiab1})
\bear
 \xi_s (\tau_0) & = & \psi_s^{(0)} (\tau_f) \, , \\
 \xi_s' (\tau_0) & = & \psi_s^{(1)} (\tau_f) \, .
\eear
Dans la reprsentation de Heisenberg, les oprateurs de champ (\ref{modephi}) 
et (\ref{modepi}) peuvent se rcrire (cf. (\ref{HSphi})-(\ref{HSpi}))
\bearn
\label{modephib}
 \varphi_{\vec s} (\tau) & = & \xi_s (\tau_0) \, b_{\vec s} (\tau) + 
 \xi_s^* (\tau_0) \, (-1)^m \, b_{-\vec s}^{\dagger} (\tau) \, \, ,\\
\label{modepib}
 \pi_{\vec s} (\tau) & = & \xi_s' (\tau_0) \, b_{\vec s} (\tau) + 
 \xi_s^{*'} (\tau_0) \, (-1)^m \, b_{-\vec s}^{\dagger} (\tau) \, \, ,
\eearn
o $b_{\vec s} (\tau) = U(\tau,\tau_0) \, b_{\vec s} \, U^{-1}(\tau,\tau_0)$
est la reprsentation de Heisenberg de $b_{\vec s}$. En utilisant les 
Eqs.~(\ref{modephi})-(\ref{modepi}), (\ref{modephib})-(\ref{modepib}), et 
(\ref{wronsk}), on trouve aisment la transformation de Bogoliubov connectant
les oprateurs $a_{\vec s}$, $a_{\vec s}^\dagger$ et $b_{\vec s} (\tau)$, 
$b_{\vec s}^\dagger (\tau)$ :
\eq
 b_{\vec s} (\tau) = \alpha_s (\tau) \, a_{\vec s} + 
 \beta_s (\tau) \, (-1)^m \, a_{-\vec s}^\dagger \, ,
\eq
avec
\bear
 i \, \alpha_s^* (\tau) & = & \xi_s (\tau_0) \, \psi_s^{*'} (\tau) -
 \xi_s' (\tau_0) \, \psi_s^* (\tau) \, , \\
 i \, \beta_s^* (\tau) & = & \xi_s (\tau_0) \, \psi_s' (\tau) -
 \xi_s' (\tau_0) \, \psi_s (\tau) \, .
\eear
On vrifie,  l'aide de (\ref{wronsk}), que cette transformation est
unitaire  chaque instant\footnote{La dfinition des quasi-particules que 
   nous avons adopte ici diffre de celle de la Rf.~\cite{Lampert}, o la
   base dite ``adiabatique'' est utilise de manire abusive. En effet,
   cette base n'a de sens que si les frquences de tous les modes sont
   toujours relles~\cite{Parker}, ce qui n'est pas le cas ici. 
   Quand $\chi<0$, la transformation reliant les oprateurs de la base 
   adiabatique  diffrents instants n'est pas unitaire pour les modes 
   $s^2<\tau^2\chi$, puisque le facteur exponentiel entrant dans la dfinition
   de la base adiabatique n'est pas une phase pure. Nous comprenons que,
   dans leur calcul, le facteur d'amplification a t obtenu  partir de la
   formule drive pour des frquences relles (le facteur de phase n'apparait
   pas dans la formule du facteur d'amplification). Avec la drivation 
   prsente ici, nous obtenons la mme formule pour le facteur 
   d'amplification dans le cas gnral (cf. Eq.~(\ref{amplification}).} :
\eq
 | \alpha_s (\tau) |^2 -| \beta_s (\tau) |^2 = 1 \, .
\eq
Bien sr, bien que les formules ci-dessus soient valables pour tout $\tau$,
elles n'ont de signification physique que pour $\tau=\tau_f$. En effet,
les quanta crs par l'oprateur $b_{\vec s}^\dagger$ ne correspondent
aux excitations physiques du systme qu' cet instant (ce sont des excitations
de frquence $\omega_s (\tau_f)$). Avec les notations
introduites ici, on peut crire une formule valable pour toute valeur
de $\tau_f$ :
\beq
\label{bogolubov}
 b_{\vec s} (\tau_f) = \alpha_s (\tau_f) \, a_{\vec s} + 
 \beta_s (\tau_f) \, (-1)^m \, a_{-\vec s}^\dagger \, ,
\end{equation}\noindent
avec
\bearn
\label{bogoalpha}
 i \, \alpha_s^* (\tau_f) & = & \psi_s^{(0)} (\tau_f) \, \psi_s^{*'} (\tau_f) -
 \psi_s^{(1)} (\tau_f) \, \psi_s^* (\tau_f) \, , \\
\label{bogobeta}
 i \, \beta_s^* (\tau_f) & = & \psi_s^{(0)} (\tau_f) \, \psi_s' (\tau_f) -
 \psi_s^{(1)} (\tau_f) \, \psi_s (\tau_f) \, .
\eearn
\par
Le nombre de quasi-particules physiques  l'instant $\tau_f$ est facilement
obtenu. Nous verrons, dans la prochaine partie, que dans l'tat initial
\eq
 \langle a_{a,\vec s}^{\dagger} \, a_{b,\vec s \, '} \rangle =
 n_s^a \, \delta_{ab} \, \delta^{(3)} (\vec s - \vec s \, ') \, \, \, , \, \, \,
 \langle a_{a,\vec s} \, a_{b,\vec s \, '} \rangle = 0 \, ,
\eq
o l'on a rtabli les indices chiraux. On obtient alors 
\beq
 \langle b_{a,\vec s}^{\dagger} (\tau_f) \, b_{b,\vec s \, '} (\tau_f) \rangle =
 n_s^a (\tau_f) \, \delta_{ab} \, \delta^{(3)} (\vec s - \vec s \, ')
 \, \, \, , \, \, \,
 \langle b_{a,\vec s} (\tau_f) \, b_{b,\vec s \, '} (\tau_f) \rangle = 0 \, ,
\end{equation}\noindent
et le nombre moyen de quasi-particules de composante chirale $a$ dans
l'tat final est donn par
\beq
\label{number_final}
 n_s^a (\tau_f) + \frac{1}{2} = 
 \mathcal A_s (\tau_f) \, \left( n_s^a + \frac{1}{2} \right) \, ,
\end{equation}\noindent
o l'on a dfini le facteur d'amplification
\beq
\label{amplification}
 \mathcal A_s (\tau_f) = 2 \, |\beta_s (\tau_f)|^2 + 1 \, 
\end{equation}\noindent
Nous verrons dans la suite que pour $\tau_f \gtrsim 10$ fm, le systme
a atteint un rgime stationnaire o $\chi (\tau_f) \simeq m_\pi^2$ : les
excitations physiques sont des pions libres, dont nous calculerons 
la multiplicit  l'aide de la formule (\ref{number_final}) ci-dessus.

\section{chantillonnage des conditions initiales}

Cette partie constitue le c\oe ur de notre travail. Nous considrons une
petite bulle sphrique de matire chirale chaude, de rayon initial $R_0$, 
que nous supposons avoir t forme  un instant $t_0$ dans la rgion centrale 
d'une collision nuclaire  haute nergie, et qui subit une expansion sphrique
rapide. Nous supposons de plus que dans ce volume initial $V_0$, le champ
de pion fluctue dans l'ensemble thermique local. Les effets combins des 
fluctuations initiales et de l'expansion rapide du systme peuvent gnrer 
un ``accident'' : une priode d'instabilit rsultant dans l'amplification 
importante des modes de basse frquence. Notre but est d'estimer la frquence 
avec laquelle cet accident arrive, et plus prcisment la probabilit d'avoir 
une amplification donne. Le fait que cet accident ait lieu ou non dpend de 
la configuration initiale du champ de pion  l'intrieur de la bulle. Il nous 
faut donc chantillonner les configurations initiales possibles.
\par
Le modle prsent dans les parties prcdentes dcrit la dynamique du 
champ de pion  l'intrieur de la bulle, c'est  dire dans le quadri-volume 
$\tau \ge \tau_0 = t_0$. Notre modlisation de l'expansion sphrique suppose
qu' chaque instant $t$, le paramtre d'ordre est constant sur toute
la surface de la sphre. Ceci est assur par le fait que la valeur du
paramtre d'ordre sur cette surface est la mme que ce qu'elle tait dans 
le petit volume initial, quand les diffrents points de la surface taient 
en contact causal. Les conditions ``initiales'' sur l'hypersurface $\tau=\tau_0$,
dont nous avons besoin pour rsoudre les quations du mouvement, sont donc
donnes par la configuration du champ de pion dans le volume $V_0$ au temps
$t_0$.
\par
Remarquons que l'idalisation adopte ici revient  supposer que la
surface de la bulle est indfiniment couple  un bain thermique
 la temprature $T$. Nous discuterons plus loin les implications
du fait que cette source d'nergie extrieure ne dure qu'un temps 
fini dans une situation plus raliste. 

\subsection{Les conditions initiales}

Comment est caractrise une configuration initiale du champ de pion ? 
Il est facile de se convaincre (cf. Eq.~(\ref{fluc}), voir aussi la 
Rf.~\cite{Boyanovsky}), que l'approximation de champ moyen correspond 
 une matrice densit $\rho (\tau_0) \equiv \rho_0$ gaussienne 
et qui plus est, diagonale dans l'espace des impulsions. L'tat du systme 
est donc compltement spcifi par la donne des valeurs moyennes 
et ``largeurs'' de cette matrice densit :
\eq
 \phi_a (\tau_0) \, , \, \dot \phi_a (\tau_0) \, ,
\eq
et
\eq 
 \langle a_{a,\vec s}^{\dagger} \, a_{b,\vec s \, '} \rangle =
 N_s^a \, \delta_{ab} \, \delta^{(3)} (\vec s - \vec s \, ') \, \, \, , \, \, \,
 (-1)^m \, \langle a_{a,-\vec s} \, a_{b,\vec s \, '} \rangle = 
 P_s^a \, \delta_{ab} \, \delta^{(3)} (\vec s - \vec s \, ')\, ,
\eq
o $a,b=1,...,N$ ($N=4$). En principe les valeurs de $N_s^a$ et $P_s^a$ 
fluctuent d'un vnement  l'autre et doivent tre tires alatoirement
dans l'ensemble thermique local. Cependant, en ce qui concerne 
l'volution temporelle du systme, ces quantits ne jouent un rle
que dans la formule de la masse effective (\ref{chi}), o elles
apparaissent sous une intgrale sur tous les modes. Les fluctuations
statistiques sont alors moyennes  zro et on peut remplacer ces
quantits par leurs valeurs moyennes
\eq
 \bar{N_s^a} = n_s \, \, \, , \, \, \, \bar{P_s^a} = 0 \, ,
\eq
o $n_s$ est la distribution de Bose-Einstein pour les quanta de 
frquence $\omega_s (\tau_0)$ et est indpendant de la direction 
d'isospin dans l'approximation grand $N$ :
\eq
 n_s = \frac{1}{\mbox{e}^{\omega_s (\tau_0)/T} - 1} \, .
\eq
Les quantits $N_s^a$ et $P_s^a$ interviennent aussi dans le calcul). 
Ici, nous sommes intresss  la multiplicit moyenne et nous remplacerons 
partout $N_s^a$ et $P_s^a$ par leurs valeurs moyennes.
\par
Les quanta de l'tat initial sont dfinis par la donne des fonctions 
modes $\psi_s (\tau_0)$ et de leur drives $\dot\psi_s (\tau_0)$, 
qui sont  leur tour compltement dtermines par les valeurs de 
la masse effective initiale $\chi (\tau_0) \equiv \chi_0$ et de 
sa drive $\dot\chi (\tau_0) \equiv \dot\chi_0$. On obtient ces
deux quantits  partir de l'quation de gap, en utilisant 
l'Eq.~(\ref{adiab}) (ci-dessous, on fait le changement de variable 
$k=s/\tau$) : $\chi_0$ est la solution de
\beq
\label{chi0}
 \chi_0 = \lambda \, \left[ \phi_0^2 - v^2  + N \, A_1 (\chi_0) \right] \, ,
\end{equation}\noindent
et $\dot\chi_0$ satisfait l'quation algbrique
\beq
\label{chi0dot}
 \dot\chi_0 \left[ \frac{1}{\lambda} + \frac{N}{4} A_3 (\chi_0) \right] = 
 2 \, \bfphi_0 \cdot \dot\bfphi_0 - 
 \frac{N}{2 \tau_0} \left[ 2 A_1 (\chi_0) + \chi_0 A_3 (\chi_0) -
 \frac{\Lambda^3}{2 \pi^2} 
 \frac{\coth [ E_\Lambda (\chi_0) / 2T ]}{E_\Lambda (\chi_0)} \right] \, ,
\end{equation}\noindent
avec $\bfphi_0 \equiv \bfphi (\tau_0)$ et 
$\dot\bfphi_0 \equiv \dot\bfphi (\tau_0)$, et o l'on a introduit 
les notations suivantes :
\beq
\label{notation1}
 E_k (\mu^2) = \sqrt{k^2 + \mu^2} \, 
\end{equation}\noindent
\beq
\label{notation2}
 A_p(\mu^2) = \int_0^\Lambda \frac{k^2 dk}{2 \pi^2} \, 
 \frac{1}{[E_k (\mu^2)]^p} \, \coth \left( \frac{E_k (\mu^2)}{2T} \right) \, .
\end{equation}\noindent
Il est facile de vrifier que l'Eq.~(\ref{chi0dot}), exprime en termes
de la constante de couplage renormalise $\lambda_R$, ne contient aucune
dpendance forte dans la coupure $\Lambda$, comme il se doit.
\par
En  conclusion, on voit que la configuration initiale du systme est 
compltement spcifie par la donne des huit nombres rels
$\{ \bfphi_0 \, , \, \dot\bfphi_0 \}$. Un exemple en est donn dans la 
Fig.~\ref{fig_chi}, qui reprsente la variation temporelle de la masse
effective au carr $\chi (\tau)$ pour un des choix des valeurs initiales du 
paramtre d'ordre et de sa drive faits dans~\cite{Lamperthesis}. 
Dans cet exemple $\chi$ prend des valeurs ngatives et on assiste  une 
forte amplification des modes de basse frquence. La Fig.~\ref{fig_amplif} 
montre le facteur d'amplification $\mathcal A_s (\tau_f)$ correspondant
(cf. Eq.~(\ref{amplification})) en fonction de $s$ pour $\tau_f=5$, $10$ et 
$15$~fm.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{Chi.eps}}
\caption{\small Evolution temporelle de $\chi (\tau)$ (en fm$^{-2}$)
pour la consition initiale (cf.~\cite{Lamperthesis,Lampert}) 
$\bfphi (\tau_0) = (0.3,{\bf 0})$ (en fm$^{-1}$), 
$\dot\bfphi (\tau_0) = (-1,{\bf 0})$ (en fm$^{-2}$),  $\tau_0=1$~fm. 
Les paramtres sont $\Lambda=800$ MeV, $m_\pi=139.5$ MeV, $f_\pi=92.5$ MeV, $\lambda_R=7.3$. La ligne en tirets montre la valeur de $m_\pi^2=0.5$~fm$^{-2}$.} 
\label{fig_chi}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{Amplif.eps}}
\caption{\small Le facteur d'amplification $\mathcal A_s (\tau_f)$
correspondant  l'vnement de la Fig.~\ref{fig_chi}, pour diffrentes valeurs
de $\tau_f$.} 
\label{fig_amplif}
\end{figure}

Dans la littrature, les valeurs des conditions initiales sont 
gnralement choisies de manire arbitraire. Dans la partie suivante, 
nous allons montrer que l'hypothse, largement utilise, d'un tat 
initial en quilibre thermique local est suffisante pour dterminer
la probabilit pour que ces nombres prennent des valeurs donnes.

\subsection{quilibre thermique local}

Comme nous l'avons vu plus haut, les conditions sur l'hypersurface 
$\tau=\tau_0$ sont donnes par la configuration du champ  l'intrieur 
de la bulle de rayon $R_0$, en quilibre thermique local  l'instant $t_0$. 
Dans cette partie, nous focalisons notre attention sur cette dernire. 
Nous utiliserons des notations conventionnelles,  ne pas confondre avec 
les notations utilises dans le reste du chapitre : $\vec x$ dsigne la 
position dans le systme de coordonnes cartsiennes, $\vec x = (x,y,z)$, 
$d^3x = dx dy dz$. Nous omettrons d'crire la variable temporelle, partout
gale  $t_0$.
\par
Pour exposer notre argument de faon claire, nous ngligeons dans un 
premier temps les complications dues  la mcanique quantique et 
considrons l'exemple d'un champ scalaire classique, sans structure 
d'isospin, en quilibre thermique local  la temprature $T$ dans une
petite boule de volume $V_0$. Cela signifie que tout se passe 
comme si cette boule tait une sous-partie d'un grand systme de volume 
$V \gg V_0$ en quilibre thermodynamique  la mme temprature $T$. 
Dans ce grand systme fictif, en l'absence de corrlations  longue 
distance (ce qui est le cas pour des interactions  courte porte) 
la variance des fluctuations statistiques de la moyenne spatiale du 
champ sur le volume total $V$ est trs petite, d'ordre $1/V$ (elle 
est nulle dans la limite thermodynamique $V \rightarrow \infty$, cf.
Eq.~(\ref{varphiapprox})). La variance correspondante pour la moyenne 
spatiale du champ {\em sur le volume $V_0$} est plus grande d'un 
facteur $V/V_0$ (pourvu que le rayon de la boule soit au moins de 
l'ordre de la longueur de corrlation thermique\footnote{Considrons 
   le systme de volume $V$, et divisons le en $k=V/V_0$ sous-parties 
   identiques de volume $V_0$.
   La moyenne spatiale du champ dans chacune de ces sous-parties est
   \eq
    \bar\phi_i = \frac{1}{V_0} \int_{V_i} d^3x \, \phi(\vec x) \, \, , \, \,
    i=1,2,...,k \, .
   \eq
   Choisissons le rayon $R_0$ des cellules au moins gal  la 
   longueur de corrlation du champ  l'quilibre thermodynamique  la 
   temprature $T$, $R_0 \gtrsim \lambda_T$. Ainsi, par construction,
   les $\bar\phi_i$ sont des variables alatoires indpendantes, 
   ayant toutes la mme distribution de probabilit. La somme de
   ces variables alatoires, $S = \sum_{i=1}^k \, \bar\phi_i$, est
   une variable alatoire dont la moyenne statistique est gale 
   la somme des moyennes statistiques des $\bar\phi_i$, et dont
   la variance est gale  la somme des variances des $\bar\phi_i$ : 
   $\mbox{E}[S] = k \mbox{E}[\bar\phi]$, et 
   $\mbox{Var}[S] = k \mbox{Var}[\bar\phi]$. La somme $S$ n'tant 
   autre que la moyenne spatiale du champ sur le volume total $V$,
    un facteur $k$ prs : $\bar\phi_V = S/k$, on en dduit
   \eq
    \mbox{E}[\bar\phi] = \mbox{E}[\bar\phi_V] \, \, \, \, , \, \, \, \,
    \mbox{Var}[\bar\phi] = \frac{V}{V_0} \mbox{Var}[\bar\phi_V] \, .
   \eq}) $\lambda_T = 1/\sqrt{\chiT}$. Le mme raisonnement s'applique 
 la drive temporelle du champ moyenne sur le volume $V_0$. Le point 
essentiel est que, dans le systme en  quilibre local, les valeurs du 
champ et de sa drive, moyenns sur le volume $V_0$ de la bulle, fluctuent 
dans l'ensemble canonique et donc de manire parfaitement prdictible, 
pourvu que le rayon initial $R_0$ ne soit pas trop petit.
\par
Appliquons ces ides  notre problme. Dans la thorie quantique, on dfinit
les oprateurs ($a$ dsigne les composantes chirales)
\bear
 \bar\Phi_a  & = & \frac{1}{V_0} \int_{V_0} d^3x \, \Phi_a (\vec x) \, ,\\
 \bar{\dot\Phi}_a & = & \frac{1}{V_0} \int_{V_0} d^3x \, \dot\Phi_a (\vec x) \, .
\eear
Ceux-ci ne reoivent pas de contribution de la part des modes de petite
longueur d'onde, moyenns  zro. Un observateur vivant dans la boule
de volume $V_0$, et mesurant ces observables, identifiera donc le rsultat 
de sa mesure avec les valeurs du paramtre d'ordre et de sa drive 
respectivement. La distribution des valeurs possibles $\bar\phi_a$ et 
$\bar{\dot\phi}_a$ des rsultats de cette mesure est donne par la
distribution de Wigner\footnote{La distribution de probabilit de la valeur
   mesure d'une observable $\mathcal  O$ est dtermine par la fonction
   caractristique $\langle \mbox{e}^{i k \mathcal O} \rangle$.} 
(voir Annexe~\ref{THERMAL}), caractrise par les moyennes
\bearn
\label{moyphi}
 \mbox{E} \left[ \bar\phi_a \right] & = &  
 \langle \, \bar\Phi_a \, \rangleT \, , \\
\label{moyphidot}
 \mbox{E} \left[ \bar{\dot\phi}_a \right] & = &  
 \langle \, \bar{\dot\Phi}_a \, \rangleT \, ,
\eearn
les variances\footnote{Tous les termes non-diagonnaux dans les indices 
    chiraux sont nuls dans l'approximation grand $N$}
\bearn
\label{varphi}
 \mbox{Var} \left[ \bar\phi_a \right] & = &  
 \langle \, \bar\Phi_a^2 \, \rangleT  - 
 \langle \, \bar\Phi_a \, \rangleT^2 \, , \\
\label{varphidot}
 \mbox{Var} \left[ \bar{\dot\phi}_a \right] & = &  
 \langle \, \bar{\dot\Phi}_a^2 \, \rangleT  - 
 \langle \, \bar{\dot\Phi}_a \, \rangleT^2 \, ,
\eearn
et par la covariance
\beq
\label{cov}
 \mbox{Cov} \left[ \bar\phi_a , \bar{\dot\phi}_a \right] = \frac{1}{2} \, 
 \langle \, \bar\Phi_a \bar{\dot\Phi}_a + \bar{\dot\Phi}_a \bar\Phi_a \, \rangleT -
 \langle \, \bar\Phi_a \, \rangleT \, \langle \, \bar{\dot\Phi}_a \, \rangleT
\end{equation}\noindent
o $\langle \mathcal O \rangleT = Tr ( \rho \mathcal O )$ dsigne la
moyenne sur l'ensemble thermique ($\rho \propto \exp (-H/T)$, o $H$ est 
le hamiltonien du systme). Le calcul des quantits ci-dessus est dtaill
dans l'Annexe~\ref{THERMAL}. L'tat d'quilibre thermodynamique est homogne et 
invariant par translation dans le temps. En dnotant par $\bfphiT$ la valeur du 
paramtre d'ordre dans cet tat et $\chiT$ celle de la masse effective au 
carr, on obtient,  l'aide de l'Eq.~(\ref{mean}),
\beq
\label{thermik}
 \bfphiT = \frac{H}{\chiT} \, {\bf n}_\sigma \, \, , \, \, \mbox{et} \, \, \,
 \dot\bfphiT = {\bf 0} \, ,
\end{equation}\noindent
d'o on dduit
\bearn
\label{moyphi1}
 \mbox{E} \left[ \bar\phi_a \right] & = &  \frac{H}{\chiT} \, \delta_{a0} \, , \\
\label{moyphidot1}
 \mbox{E} \left[ \bar{\dot\phi}_a \right] & = &  0 \, .
\eearn
L'quation de gap thermique, dont $\chiT$ est la solution, s'crit 
(cf. Eq.~(\ref{notation2}))
\beq
\label{gapthermik}
 \chiT = \lambda \, \left[ \phiT^2 - v^2  + N \, A_1 (\chiT) \right] \, ,
\end{equation}\noindent
o $\phiT^2$ est donn par l'Eq.~(\ref{thermik}).
Dans l'approximation de champ moyen, le systme en interaction est remplac
par un ensemble d'excitations libres de masse effective $\sqrt{\chiT}$,
c'est  dire que le hamiltonien effectif est quadratique et la matrice 
densit de l'ensemble thermique $\rho \propto \exp (-H/T)$ est gaussienne. 
La distribution de probabilit des valeurs possibles de $\bar\bfphi$ et
$\bar{\dot\bfphi}$ est donc compltement dtermine par les paramtres
(\ref{moyphi})-(\ref{varphidot}), la covariance tant nulle. 
\par
Quand le rayon $R_0$ est grand devant la longueur de corrlation
dans l'ensemble thermique  temprature $T$, $\lambda_T = 1/\sqrt{\chiT}$,
les fluctuations  l'intrieur de la bulle sont indpendante de ce qui 
se passe  l'extrieur, et on peut donner une expression analytique
pour les variances :
\bearn
\label{varphiapprox}
 \mbox{Var} \left[ \bar\phi_a \right] & \simeq & \frac{1}{2 V_0 \sqrt{\chiT}} \, 
 \coth \left( \frac{\sqrt{\chiT}}{2T} \right) \, , \\
\label{varphidotapprox}
 \mbox{Var} \left[ \bar{\dot\phi}_a \right] & \simeq & \frac{\sqrt{\chiT}}{2 V_0} \, 
 \coth \left( \frac{\sqrt{\chiT}}{2T} \right) \, .
\eearn
La dispersion de la variable $\bar\phi_a$, calcule numriquement (voir
Annexe~\ref{THERMAL}), est plus petite d'un facteur $2$ ($1.5$) que ce 
que donne la formule ci-dessus pour $R_0=\lambda_T$ ($R_0=2\lambda_T$), 
pour des tempratures allant de $T=200$  $400$ MeV. Pour la variable
$\bar{\dot\phi}_a$, l'cart entre le rsultat analytique ci-dessus et 
le calcul exact est de $20\%$ ($8\%$). Cet cart augmente rapidement 
pour $R_0 < \lambda_T$. Les fluctuations sont approximativement 
indpendantes de ce qui se passe hors de la bulle, pourvu que 
$R_0 \gtrsim \lambda_T$.
\par
En rsum, la configuration initiale du systme est compltement dtermine
par la donne des quatres composantes chirales du paramtre d'ordre et de 
sa drive  l'instant $\tau_0$ : $\bfphi (\tau_0)$ et $\dot\bfphi (\tau_0)$. 
Ces huit nombres sont des variables gaussiennes indpendantes dont les moyennes
sont donnes par les Eqs.~(\ref{moyphi1}) et (\ref{moyphidot1}), et dont les 
variances sont approximativement donnes par les Eqs.~(\ref{varphiapprox}) 
et (\ref{varphidotapprox}).


\section{Rsultats et discussion}

Dans cette partie nous appliquons la mthode d'chantillonnage des 
conditions initiales dcrite ci-dessus au calcul de la probabilit
d'avoir une amplification donne dans l'tat final. Nous rsumons tout 
d'abord la stratgie du calcul et examinons la question du choix des 
paramtres. Ceux-ci sont contraints par la cohrence physique du modle 
et des approximations utilises. De plus, ils doivent tre choisis en 
correspondance avec la question pose. Enfin, nous prsentons et 
discutons les rsultats du calcul, puis nous dfinissons les valeurs 
de l'amplification correspondant  un phnomne obsevable dont nous 
calculons la probabilit d'occurence.

\subsection{La stratgie : rcapitulatif}

Les paramtres de notre modle, outre ceux dj fixs : $m_\pi$, $f_\pi$, 
$\lambda_R$ et $\Lambda$, sont l'instant $t_0 = \tau_0$, le rayon $R_0$ 
et la temprature $T$ initials. Nous discuterons plus loin le choix
des valeurs de ces paramtres. Commenons par numrer les diffrentes 
tapes du calcul :
 
\begin{enumerate}

\item
Nous calculons d'abord la 
longueur de corrlation $\lambda_T$ du champ dans l'ensemble thermodynamique 
 la temprature $T$. Celle-ci est donne par l'inverse de la masse effective
des excitations (quasi-particules) du systme, dont le carr est solution
de l'quation d'auto-cohrence (Eqs.~(\ref{thermik}) et (\ref{gapthermik})) 
 l'quilibre thermique :
\eq
 \frac{\chiT}{\lambda} = \left( \frac{H}{\chiT} \right)^2 - v^2 + 
 N \int_0^\Lambda \frac{k^2 dk}{2 \pi^2} \,
 \frac{2 N_k(\chiT) + 1}{2 E_k (\chiT)} \, .
\eq
Puis nous calculons les moyennes et dispersions ($\sigma_1$ et $\sigma_2$) 
des distributions de probabilit des valeurs possibles du paramtre d'ordre 
$\bfphi (\tau_0)$ et de sa drive $\dot\bfphi (\tau_0)$  l'aide 
des formules (\ref{TH_moyphi}), (\ref{TH_moyphidot}), (\ref{TH_sigma1}) 
et (\ref{TH_sigma2}) de l'Annexe~\ref{THERMAL} : 
\bear
 V_0^2 \, \sigma_1^2 & = & 4 \, R_0^4 \, \int_0^\Lambda
 \frac{dk}{E_k} \, \coth \left( \frac{E_k}{2T} \right) \, \mathcal F (k R_0) \, , \\
 V_0^2 \, \sigma_2^2 & = & 4 \, R_0^4 \, \int_0^\Lambda
 dk \, E_k \, \coth \left( \frac{E_k}{2T} \right) \, \mathcal F (k R_0) \, ,
\eear
o $F (y) = ( \sin y - y \, \cos y )^2/y^4$ et $E_k = \sqrt{k^2 + \chiT}$.

\item
\label{firststep}
Nous tirons alatoirement les valeurs initiales des composantes chirales
du paramtre d'ordre et de sa drive : 
$\left\{ \bfphi (\tau_0) ; \dot\bfphi (\tau_0) \right\}$, avec lesquelles
nous initialisons compltement le systme. Nous calculons tout d'abord
la masse effective des excitations physiques du milieu  l'aide de l'quation
d'auto-cohrence  l'instant initial (quilibre thermique local) (\ref{chi0}) :
\eq
 \chi_0 = \lambda \, \left[ \phi_0^2 - v^2  + N \, A_1 (\chi_0) \right] \, ,
\eq
et dont la drive temporelle  l'instant initial est donne par 
l'Eq.~(\ref{chi0dot}).
Avec ces deux nombres, nous initialisons l'ensemble des fonctions modes
$\psi_s (\tau_0)$ (Eqs.~(\ref{adiab1})-(\ref{init}))
\bear
 \psi_s (\tau_0) & = & \frac{1}{\sqrt{2 \tomega_s (\tau_0)}} \, , \\
 \psi_s (\tau_0) & = & 
 - \left[ \frac{\tomega_s' (\tau_0)}{2 \tomega_s (\tau_0)} +
 i \, \tomega_s (\tau_0) \right] \, \psi_s (\tau_0) \, ,
\eear
avec $\tomega_s (\tau_0) = \tau_0 \omega_s (\tau_0) = 
\sqrt{s^2 + \tau_0^2 \, \chi_0}$ 
et $\tomega_s' (\tau_0) = (2 \tau_0 \, \chi_0 + \tau_0^2 \, \dot\chi_0)/
2\omega_s (\tau_0)$.

\item
On peut alors rsoudre les quations du mouvement (\ref{mean}), (\ref{mode}) et
(\ref{chi})
\bear
 \ddot\bfphi (\tau) + \frac{3}{\tau} \dot\bfphi (\tau) + 
 \chi (\tau) \, \bfphi (\tau) & = & H {\bf n}_\sigma \, ,  \\
 \ddot\psi_s (\tau) + \frac{1}{\tau} \, \dot\psi_s (\tau) +
 \omega_s^2 (\tau) \, \psi_s (\tau) & = & 0 \, ,
\eear
et
\eq 
 \frac{\chi (\tau)}{\lambda} = \phi^2 (\tau) - v^2 +  
 \frac{N}{\tau^2} \, \int_0^{\Lambda \tau} \frac{s^2 ds}{2 \pi^2} \, 
 (2 n_s + 1) \, | \psi_s (\tau) |^2 \, .
\eq

\item
\label{laststep}
On obtient ainsi les valeurs des fonctions modes et de leur drives  
l'instant final : $\psi_s (\tau_f)$ et $\dot\psi_s (\tau_f)$, 
ainsi que celles de la masse des excitations physiques et sa drive : 
$\chi (\tau_f) \equiv \chi_f$ et $\dot\chi (\tau_f) \equiv \dot\chi_f$,
 l'aide desquelles on calcule la multiplicit finale (\ref{number_final})
\eq
 n_s^a (\tau_f) + \frac{1}{2} = 
 \mathcal A_s (\tau_f) \, \left( n_s^a + \frac{1}{2} \right) \, ,
\eq
o le facteur d'amplification est donn par
\eq
 \mathcal A_s (\tau_f) = 2 \, |\beta_s (\tau_f)|^2 + 1 \, ,
\eq
avec (\ref{bogobeta})
\eq
 |\beta_s^* (\tau_f)|^2 = |\psi_s^{(0)} (\tau_f) \, \psi_s' (\tau_f) -
 \psi_s^{(1)} (\tau_f) \, \psi_s (\tau_f)|^2 \, .
\eq
et (\ref{adiab0})-(\ref{adiab1})
\bear
 \psi_s^{(0)} (\tau_f) & = & \frac{1}{\sqrt{2 \tomega_s (\tau_f)}} \, , \\
 \psi_s^{(1)} (\tau_0) & = & 
 - \left[ \frac{\tomega_s' (\tau_f)}{2 \tomega_s (\tau_f)} +
 i \, \tomega_s (\tau_f) \right] \, \psi_s^{(0)} (\tau_0) \, ,
\eear
o $\tomega_s (\tau_f) = \sqrt{s^2 + \tau_f^2 \, \chi_f}$ 
et $\tomega_s' (\tau_f) = (2 \tau_f \, \chi_f + \tau_f^2 \, \dot\chi_f)/
2\omega_s (\tau_f)$.

\item
On rpte les pas~\ref{firststep} ~\ref{laststep} autant de fois que possible, 
de faon  avoir une bonne statistique.

\item
Enfin, on recommence avec d'autres valeurs des paramtres.
\end{enumerate}

\subsection{Cohrence physique du modle et choix des paramtres}

Il est clair que le modle effectif de basse nergie que nous utilisons
ici n'a de sens que pour des tempratures $T \ll \Lambda$. De faon plus 
fine, le modle $\sigma$-linaire n'a pas de sens pour des tempratures 
trop leves devant la temprature critique de la transition
de phase chirale $T_c \approx 160$ MeV. En effet,  ces tempratures,
on doit tenir compte des degrs de liberts colors que sont les quarks
et les gluons, la temprature critique de la transition de dconfinement 
tant du mme ordre de grandeur. Pour la physique qui nous intresse, 
on doit cependant dmarrer dans la phase symtrique ($T > T_c$), et
on nglige le phnomne du dconfinement, sans toutefois aller
trop haut en temprature.
\par
Voyons d'abord quelles sont les limites imposes par la cohrence physique
du modle sur les paramtres $R_0$ et $\tau_0=t_0$. En ce qui concerne la 
taille de la bulle initiale, nos hypothses ne sont valables que pour 
$R_0 \gtrsim \lambda_T$. En effet, l'hypothse d'quilibre local n'a de 
sens que si les degrs de libert du systme fluctuent plus ou moins 
indpendamment de l'environnement de la bulle. Dit d'une autre faon, 
nous avons vu que l'approximation de champ moyen consiste  voir le 
systme comme un ensemble d'excitations indpendantes de masse effective
$\sqrt{\chi_0} \sim \sqrt{\chiT}$. Cette image n'a de sens que si le 
volume dans lequel vivent ces excitations est au moins suprieur  
leur extension spatiale $\sim 1/\sqrt{\chiT}$. Nous n'excluons bien 
videmment pas la possibilit que l'instabilit que nous cherchons  
dcrire se dveloppe dans une bulle plus petite, mais ce scnario est 
en dehors du domaine d'applicabilit de notre modle. L'instant initial 
$t_0$ est le temps de formation de notre bulle lors de la collision. 
Celui-ci doit tre suprieur au temps de formation d'une 
quasi-particule qui est au moins de l'ordre du temps caractristique 
des interactions fortes $\sim 1$~fm. De mme, il ne fait aucun sens de 
parler d'quilibre pour des temps infrieurs  cette chelle. Enfin, 
on a $t_0 \ge R_0 \gtrsim  \lambda_T \sim 1$~fm pour les tempratures 
considres. 
\par
Revenons maintenant  la question de dpart : nous voulons estimer l'ordre
de grandeur de la limite suprieure\footnote{Notre description repose
   implicitement sur l'hypothse que cette probabilit est rare.
   En effet, dans le cas contraire il faudrait s'inquiter de la 
   possibilit que plusieurs bulles dveloppant des instabilits soient
   formes lors de la collision, et prendre en compte les interactions
   entre des bulles voisines. En particulier, l'hypothse selon laquelle 
   la valeur du paramtre d'ordre est constant sur la surface de la bulle 
   n'aurait alors aucun sens.} de la probabilit d'avoir une amplification 
notable. Nous nous plaons donc dans les conditions les plus favorables 
pour qu'une instabilit se dveloppe. Nous avons dj vu que le trempage 
des fluctuations initiales est d'autant plus efficace que le terme de 
friction dans les quations du mouvement est grand. Celui-ci tant 
inversement proportionnel au temps, nous commencerons l'expansion le 
plus tt possible, c'est  dire que nous prendrons\footnote{Remarquons 
   de plus que pour que l'hypothse d'quilibre local  l'instant initial 
   ait un sens, nous devons choisir $R_0$ aussi grand que possible, c'est 
    dire $R_0=t_0$.} 
$t_0 = R_0 = \lambda_T$. Par souci de comparaison, nous tudierons aussi
le scnario $t_0 = R_0 = 2 \, \lambda_T$.
\par
Il pourrait sembler qu'une temprature initiale leve (qui correspond  
une agitation thermique plus grande, et donc  une longueur de corrlation 
plus faible) soit prfrable. Cependant de trop fortes fluctuations initiales 
sont plus difficiles  supprimer par trempage. On peut le voir sur l'quation 
de gap (\ref{chi}) : il est d'autant plus facile d'entrainer le carr de la 
masse effective dans la rgion des valeurs ngatives que la contribution des 
fluctuations $\langle \, \dphi^2 \, \rangle$ est petite (voir aussi la
Fig.~\ref{fig_traj} dans le Chap.~\ref{INTRO}).
Dans la suite, nous considrerons deux valeurs de la temprature initiale :
$T=200$ MeV et $T=400$ MeV.
\par
Le dernier point concerne le temps $\tau_f$ auquel on mesure la
multiplicit finale. Pour l'ensemble des vnements considrs, le
systme atteint un rgime stationnaire o $\chi(\tau) \approx m_\pi^2$
pour $\tau \gtrsim 10$~fm. On a alors un gaz de pions libres en
expansion. Nous prendrons $\tau_f=10$~fm.

\subsection{Rsultats}

Nous rsolvons numriquement les quations du mouvement en utilisant
un algorithme de Runge-Kutta d'ordre quatre~\cite{NumRec}, les intgrales
sur les modes tant calcules par la mthode de Simpson, corrige par une 
mthode de trapzes lorsque le nombre de points sous l'intgrale est pair 
(rappelons que la borne d'intgration dpend du temps). Les quations de 
gap  l'quilibre thermodynamique et  l'instant initial sont rsolues par 
une simple mthode de bissection. Nous reproduisons les rsultats
des Rfs.~\cite{Lampert,Lamperthesis}\footnote{Nous remercions M. A. Lampert,
   de nous avoir communiqu les rsultats de ses calculs} (voir 
Fig.~\ref{fig_chi}). 
\par
Quand le systme entre dans la rgion d'instabilit spinodale $\chi < 0$,
les modes dont la frquence $\omega_s$ devient imaginaire pure sont trs 
fortement amplifis. Il est clair que l'amplification est d'autant plus 
importante que $s$ est petit : le facteur d'amplification est une 
fonction monotone dcroissante de $s$. Dans la suite nous focalisons 
notre attention sur le  mode $s=0^+$, le plus amplifi. Nous
appelons $P(A)$ la probabilit pour que le facteur d'amplification 
correspondant, calcul  $\tau_f = 10$ fm, ait la valeur $\mathcal A_0 = A$. 
La Fig.~\ref{fig_histo} reprsente les histogrammes des probabilits $P(A)$ 
pour les quatres scnarios correspondant aux valeurs $T=200$ et $400$ MeV et $R_0/\lambda_T=1$ et $2$. 

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=6.in \centerline{ \epsfbox{Histo.eps}}
\caption{\small Le facteur d'amplification du ``mode zro'' dans les quatres 
    scnarios suivant : $T=200$ MeV et $R_0=\lambda_T=1.17$ fm ($3.2 \times 10^4$
    vnements) ; $T=400$ MeV et$R_0=\lambda_T=0.68$ fm ($10^4$ vts) ; 
    $T=200$ MeV et $R_0=2\lambda_T$ ($2.5 \times 10^4$ vts) ; 
    $T=400$ MeV et $R_0=2\lambda_T$ ($10^4$ vts).} 
\label{fig_histo}
\end{figure}

Comme on s'y attend (voir la discussion plus haut), le cas $R_0=2\lambda_T$
est le plus dfavorable en ce qui concerne la possibilit de fortes 
amplifications. Dans tous les cas, on voit clairement que seule une petite 
fraction des vnements correspond  une amplification importante. 
Les histogrammes correspondant au cas $R_0=\lambda_T$ sont assez bien
reprsents par 
\eq
 P(A) = \frac{0.805}{(1 + 0.27 A)^{3.21}} \, ,
\eq
pour $T=200$ MeV, et
\eq
 P(A) = \frac{0.213}{(1 + 0.032 A)^{6.959}} \, ,
\eq
pour $T=400$ MeV. Il est impossible de reproduire la queue des 
distributions par une loi exponentielle du type $P(A) \propto \exp (-aA^b)$. 
\par
Il est intressant de chercher  caractriser les tats initials destins
 tre fortement amplifis. Il semble qu'une condition soit la petitesse
relative de l'intensit du courant iso-vectoriel classique, 
c'est  dire calcul avec le paramtre d'ordre $\bfphi$,  l'instant initial. 
Les courants iso-vectoriel et iso-axial classiques sont dfinis par
\bear
 {\bf V_{\mu}} & =&  \bfpi \times \p_{\mu} \bfpi \, ,\\
 {\bf A_{\mu}} & =&  \bfpi \p_{\mu} \sigma - \sigma \p_{\mu} \bfpi \, ,
\eear
o l'on a crit $\bfphi \equiv (\bfpi,\sigma)$.
Les intensits initiales ${\bf V^{\mu}} \cdot {\bf V_{\mu}}$ et 
${\bf A^{\mu}} \cdot {\bf A_{\mu}}$ de ces courants sont 
reprsentes en fonction de l'amplification finale $A$ sur la 
Fig.~\ref{fig_courant} (dans le cas $T=200$ MeV, $R_0=\lambda_T$).
Il est intressant de remarquer que dans le modle 
classique en 1+1 dimensions (expansion longitudinale) des Rfs.~\cite{BK1,BK2}, 
la petitesse du rapport des valeurs initiales des intensits des courants 
vectoriel et axial est la condition pour qu'aux temps longs le paramtre 
d'ordre oscille dans une direction bien dtermine de l'espace d'isospin
(voir aussi le Chap.~\ref{INTRO}). Autrement dit, c'est la condition
pour avoir une configuration DCC. Dans le cas prsent cependant, le
champ classique form dans l'tat final est une superposition du paramtre
d'ordre (le mode zro) et des modes de grande longueur d'onde. Il n'est pas 
clair que tous oscillent collectivement dans la mme direction de l'espace 
d'isospin. Cette question sera examine dans le Chap.~\ref{QUENCH}. 

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.5in \centerline{ \epsfbox{Courant.eps}}
\caption{\small Les valeurs initiales des intensits des courants iso-vectoriel 
et iso-axial classiques correspondant aux amplifications observes dans l'tat
final. On a calcul la valeur moyenne des intensits sur l'ensemble des
vnements dont l'amplification est comprise entre $0$ et $50$, $50$ et $100$,
et $100$ et $150$. Les barres d'erreurs reprsentent les incertitudes 
statistiques. En moyenne, les vnements ayant subit une forte amplification 
se distinguent des autres par la petitesse relative de l'intensit initiale 
du courant vectoriel.} 
\label{fig_courant}
\end{figure}

Nous voulons maintenant faire le lien avec la phnomnologie et
dterminer quelles sont les valeurs de l'amplification qui donnent
lieu  phnomne (potentiellement) observable. Estimons la densit
$E dn/d^3p$ de pions produits par unit invariante d'espace des phases. 
Ces pions sont produits par les diffrents lments de volume en co-mouvement,
c'est  dire qu'ils sont mis sur l'hypersurface $\tau=\tau_f$. 
Les pions mis par l'lment de volume $\tau_f^3 \, \sinh^2 \eta \, \sin \theta
\, d\eta \, d\theta \, d\varphi = \tau_f^3 \, \sqrt h \, d^3x$, centr sur
le point de coordonnes hyperbolique $(\eta,\theta,\varphi)$ ont, dans
le rfrentiel o celui-ci est au repos, une nergie $\omega_s (\tau_f)$.
Dans un rfrentiel quelconque, cet lment de volume est en mouvement
avec la quadri-vitesse $u^\mu = d x^\mu / d\tau$, et la quadri-impulsion
$p^\mu$ des pions mis est telle que $p^\mu u_\mu = \omega_s (\tau_f)$.
Cette relation nous dit quelles sont les valeurs de l'impulsion $k=s/\tau_f$ 
qui contribuent  la quadri-impulsion $p^\mu = (E,\vec p)$ ($p^2 = \chi_f$), 
compte tenu du mouvement de l'lment de fluide. Par exemple, dans le 
rfrentiel o la bulle est globalement au repos, on a 
$p^\mu u_\mu = E \cosh \eta - p \cos \theta \sinh \eta = \omega_s (\tau_f)$.
La contribution de cet lment de volume  la densit invariante $E dn/d^3p$ 
est proportionnelle  $n_s (\tau_f) \, p^\mu u_\mu \, d^4x \, \sqrt{-g } \, 
\delta (\tau-\tau_f)$, o l'on a crit l'lment de volume sous une forme
manifestement invariante. Au total, on a donc~\cite{CooperFrye}
\beq
\label{density}
 E\frac{d n}{d^3p} (p) = \int d^4x \, \sqrt{-g} \, \delta (\tau-\tau_f) \,
 f(x,p) \, p^\mu u_\mu \, ,
\end{equation}\noindent
o\footnote{La formule de Planck pour le rayonnement du corp noir est obtenue,
    partir de l'Eq.~(\ref{density}), en remplaant la contrainte $\tau = \tau_f$ 
   par $t=$~cte, de sorte que $p^\mu u_\mu = E$, et en prenant 
   $f(x,p)= 2(2 \pi)^{-3}[\exp (E/T) -1]^{-1}$, le facteur $2$ tant le nombre
   d'tats de polarisation possibles du photon. Cet exemple permet de fixer
   les normalisations.}
\eq
 f(x,p) = \frac{N}{(2 \pi)^3} \, n_s (\tau) \, .
\eq
L'intgrand dans (\ref{density}) ne dpendant que de la quadri-impulsion 
$p^\mu$, $E d n / d^3 p$ est une fonction de l'invariant
$p^2=\chi=$~cte et est, par consquent, constante : on a un spectre 
plat\footnote{Le spectre dcroissant obtenu dans les
   Rfs.~\cite{Lampert,Lamperthesis} est incorrect. Ceci a t confirm
   en priv par F.~Cooper.}.
Ceci est d  l'idalisation que nous avons adopt, qui consiste 
considrer que le systme est coupl  un bain thermique pendant une
dure infinie ou, en d'autres termes, que l'expansion dure un temps infini.
Par exemple, dans le rfrentiel o la bulle est globalement au repos,
aussi grand que soit le module $p$ de l'impulsion considre, il existe
toujours un ensemble d'lments de volume qui se dplacent suffisament
vite (avec une grande rapidit radiale) et qui contribuent  la 
densit invariante. On peut modliser grossirement l'effet de la dure
finie du rgime d'expansion en limitant l'intgrale sur la variable de 
rapidit dans l'Eq.~(\ref{density}) aux valeurs $\eta < \eta_{sup}$, o
$\eta_{sup}$ reflte l'influence de l'environnement de la bulle. Dans
ce cas, chaque lment de volume en co-mouvement mettant essentiellement
des pions de basse nergie (dans son rfrentiel propre), le spectre
(\ref{density}) est coup pour des valeur de l'impulsion $p_{sup} \sim \chi_f \,
\sinh \eta_{sup}$. Une discussion de ces aspects ncessite la modlisation
de la collision dans son ensemble, ce qui dpasse le cadre de notre tude.
La multiplicit totale (irralistement infinie dans notre cas)
dpend fortement de cette coupure, et ne peut tre estime de faon 
fiable dans ce modle. Cependant, la formule (\ref{density}) (voir aussi
(\ref{estimate}) plus loin) est probablement une estimation raisonnable 
de la densit invariante de pions de basse nergie. On crit
\eq
 E\frac{d n}{d^3p} \, (\vec p) = E\frac{d n}{d^3p} \, (\vec p = \vec 0) = 
 \frac{N}{\chi_f} \int_0^{\Lambda \tau_f} \frac{s^2 ds}{2 \pi^2} \, n_s (\tau_f) \, .
\eq
Pour les vnements ayant subi une forte amplification, la multiplicit 
est approximativement proportionnelle au facteur d'amplification du mode
le plus amplifi. Sur la Fig.~\ref{fig_specamplif} on a reprsent la 
quantit $c$ dfinie par :
\beq
\label{estimate}
 E\frac{\dd n}{\dd^3p} = c \, A \, .
\end{equation}\noindent
en fonction de $A$, pour un ensemble d'vnements tels que $A > 20$, dans le
cas $T=200$~MeV et $R_0=\lambda_T$. Le nombre $c$ fluctue relativement peu 
d'un vnement  l'autre pour $A \gtrsim 30$. On observe la mme chose pour
$T=400$~MeV. On a $c \simeq 5$~GeV$^{-2}$ dans les deux cas. 

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.2in \centerline{ \epsfbox{Spec_A.eps}}
\caption{\small La constante $c$ (Eq.~(\ref{estimate})) en fm$^2$ pour 
   quelques ($268$) vnements dans le scnario $T=200$~MeV, $R_0=\lambda_T$. 
   A gauche, on a reprsent $c$ en fonction de l'amplification $A$ pour $A>20$,
    droite, l'histogramme correspondant, restreint aux vnements tels que
   $A>30$. Pour ces derniers on observe $< c > = 0.19$~fm$^2$, avec
   $\Delta c = (<c^2> - <c>^2)^{1/2} = 8 \times 10^{-2}$~fm$^2$. On obtient 
   un rsultat similaire dans le cas $T=400$~MeV.} 
\label{fig_specamplif}
\end{figure}

Cette estimation est  comparer avec la densit de pions mous produits par 
unit d'espace des phases lors d'une collision d'ions lourds. Il est 
instructif de considrer l'exemple simple suivant : dans une collision 
typique, le spectre de pions mis est relativement plat dans la rgion 
centrale de rapidit $y\simeq0$, o $y=(1/2) \ln [(E+p_z)/(E-p_z)]$ est
la rapidit longitudinale ($z$ est l'axe de la collision). Dnotons par 
$h$ la hauteur de ce plateau. Dans la rgion centrale, on peut 
parametriser le spectre inclusif par 
\eq
 \left. E\frac{d n}{d^3p} \right|_{incl} = 
 \left. \frac{d n}{dy \, d^2p_t} \right|_{incl} =
 \frac{h}{\pi \langle p_t^2 \rangle} \, 
 \exp \left( - \frac{p_t^2}{\langle p_t^2 \rangle} \right)\, .
\eq
Dans les collisions centrales Pb-Pb au SPS du CERN, on observe~\cite{PbPbSPS} 
un nombre de l'ordre de $200$ $\pi^-$ par unit de rapidit, c'est  dire, 
pour tous les pions, $h = dn/dy \approx 600$. Donc, la densit
de pions de trs faible impulsion transverse $p_t \simeq 0$, vaut
approximativement $1900$~GeV$^{-2}$, o on a pris 
$\langle p_t^2 \rangle = 0.1$~GeV$^2$. Les fluctuations
de cette densit sont $\sim \sqrt{h}/ \pi \langle p_t^2 \rangle 
\approx 75$~GeV$^{-2}$. Pour que notre signal soit observable, il doit
se dtacher de ces fluctuations statistiques. D'aprs l'estimation 
(\ref{estimate}), on voit que le signal est suprieur  trois fois
la fluctuation si $A \gtrsim 45$. Dans le cas $R_0=\lambda_T$,
la probabilit correspondante est approximativement
\beq
\label{probabilit}
 \mbox{Proba} (A>45) \approx 4 \times 10^{-3} \, ,
\end{equation}\noindent
aussi bien pour $T=200$~MeV que pour $T=400$~MeV. Cette estimation
nous donne l'ordre de grandeur de la limite suprieure de la probabilit
d'avoir une amplification observable. Il s'agit, bien sr, d'une probabilit 
conditionnelle, puisque notre calcul repose sur l'hypothse selon laquelle
notre bulle est initialement dans un tat d'quilibre thermique local 
(ou, ce qui a un sens plus faible, que les fluctuations initiales sont 
correctement dcrites par un ensemble thermique local). 

\section{Conclusion et commentaire}

Rsumons-nous : dans le cadre le plus courament utilis dans la littrature
sur les DCC (modle $\sigma$-linaire, approximation de champ moyen, 
quilibre local  l'instant initial), nous avons construit une mthode
originale d'chantillonnage des valeurs initiales du paramtre d'ordre
et de sa drive temporelle, qui spcifient compltement l'tat initial
du systme.
Nous plaant dans le cadre le plus favorable possible pour gnrer une
forte amplification des modes de grande longueur d'onde (expansion sphrique,
taille initiale de la bulle aussi petite que possible), et combinant
le formalisme des Rfs.~\cite{Lampert,Lamperthesis,Fulling} avec notre
mthode, nous avons calcul la distribution des valeurs possibles du
facteur d'amplification (Eq.~(\ref{amplification})) du mode le plus amplifi.
Une analyse phnomnologique simple nous permet alors d'estimer la probabilit
d'avoir une amplification donnant lieu  un signal dtectable 
(Eq.~(\ref{probabilit})). Celle-ci s'avre assez faible, grossirement 
de l'ordre de $10^{-3}$ pour une collision centrale Pb-Pb au SPS du CERN. 
Ce rsultat doit encore tre multipli par la probabilit pour que 
nos hypothses soient vrifies dans une collision relle. Le calcul de 
cette dernire ncessite une description de l'ensemble de la collision, 
ce qui va bien au-del de l'tude prsente ici. 
\par
Il est raisonnable de penser que notre estimation, mme si elle est trs
approximative, donne l'ordre de grandeur auquel il faut s'attendre et doit
donc tre prise en compte aussi bien par les exprimentateurs chasseurs
de DCC que par les thoriciens. En particulier, il ressort de notre tude 
que la probabilit pour que plusieurs bulles subissant une forte 
amplification soient formes lors d'une collision est 
faible\footnote{Si plusieurs DCC sont forms durant une collision, leurs
   orientations respectives tant indpendantes, la distribution en charge
   du nombre total de pions mis (cf.~Eq.~(\ref{dccdist})) devient de plus en 
   plus pique autour de la valeur moyenne $1/3$  
   mesure que le nombre d'metteurs augmente~\cite{Amado}.}.
De plus, du point de vue exprimental, les analyses globales
sont  proscrire, au bnfice d'analyses ``vnement-par-vnement''.
\par
Nous terminerons ce chapitre par un commentaire concernant l'attitude
gnrale que nous avons adopt quant  sa prsentation : nous avons
calcul la probabilit d'avoir une amplification donne, ayant en tte 
le fait que ce phnomne correspond  la formation 
d'un DCC~\cite{RW}. Cependant, une tude ralise ultrieurement 
(cf. Chap.~\ref{QUENCH}) indique que la situation n'est pas aussi claire.
En effet, nous verrons que si le mcanisme du trempage est responsable de
la formation d'un champ classique de pion - ce qui est une caractristique
essentielle de la configuration DCC - il ne suffit pas  gnrer la structure 
d'isospin du DCC. Le calcul prsent dans ce chapitre, initialement 
conu comme un calcul de la probabilit de formation d'un DCC~\cite{KRZJS},
correspond donc plutt au calcul de la probabilit de formation d'un champ  
de pion classique. Ceci n'affecte cependant en rien la pertinence de notre 
rsultat. 

\chapter{Description microscopique de la formation d'un DCC}
\label{QUENCH}

Nous avons vu dans les chapitres prcdents que le scnario du trempage
prvoit la formation d'un champ de pion classique lors du passage rapide
de la transition de phase chirale dans une collision d'ions lourds 
ultra-relativistes. Ce scnario, initialement propos par Rajagopal et 
Wilczek en 1993~\cite{RW}, a t largement admis comme une 
description microscopique de la formation d'un condensat chiral 
dsorient, un tat hypothtique du champ de pion propos au dbut
des annes 1990~\cite{AR,BK1,Bjor2}. La correspondance entre la 
configuration du champ issue du trempage d'un tat thermique et 
celle propose au dbut des annes 1990 n'est cependant pas claire. 
Par exemple, les fortes fluctuations de la fraction de pions neutres 
prvues dans l'hypothse du DCC n'ont jamais t observes 
dans le scnario du trempage~\cite{GGP,Raj,RAN2}.
\par
La configuration DCC est caractrise par trois points 
essentiels~\cite{BK2,ABL,Bjor3} :
\begin{enumerate}
\item c'est une excitation cohrente du champ, une
configuration essentiellement classique,
\item chaque composante de Fourier du champ oscille dans une direction
bien dtermine de l'espace d'isospin,
\item les orientations des diffrents modes sont alignes dans une seule
et mme direction.
\end{enumerate}
L'objet de ce chapitre est l'analyse statistique dtaille de la 
configuration du champ de pion produit par trempage, le but
tant de dterminer si la structure dcrite ci-dessus est 
ralise de faon gnrique dans ce scnario.
\par
Pour ce faire, nous reprenons le modle original de~\cite{RW} dans 
lequel le systme, initialement dans un tat symtrique volue selon
les quations du mouvement du modle $\sigma$-linaire classique.
Les motivations de ce choix sont multiples. D'abord, les effets quantiques
ne sont pas de premire importance, le systme tant essentiellement
classique~\cite{ABL}. De plus, nous ne savons traiter ceux-ci de faon
simple que dans l'approximation de champ moyen o les diffrents modes
sont indpendants les uns des autres. Ce traitement n'est donc pas
adapt  l'tude des corrlations entre les modes. Nous avons vu dans le 
chapitre prcdent que dans un scnario plus raliste, o le trempage est 
d  l'expansion rapide, le systme n'entre que trs rarement dans la 
rgion d'instabilit, ce qui nous oblige  avoir une statistique 
importante pour l'tude des configurations intressantes. Dans le 
modle statique de~\cite{RW} o le trempage est ralis de manire 
artificielle, le systme dmarre dans la rgion spinodale et tous les 
vnements sont amplifis. Enfin, l'tude que nous nous proposons 
de raliser remet en question une ide largement admise. Il est donc 
prfrable de raisonner dans le cadre le plus simple de faon  ne pas 
obscusrcir notre argumentation.
\par
Nous commenons par rappeler en dtails le modle de Rajagopal
et Wilczek, puis nous construisons les outils nous permettant
d'tudier la structure d'isospin du champ. Nous prsentons 
ensuite les rsultats de l'analyse statistique de l'tat final,
que nous comparons  des travaux antcdents. Enfin nous
discutons les implications de notre tude tant du point de
vue phnomnologique qu'en ce qui concerne la comprhension
microscopique de la formation d'un DCC. Ce travail
 t publi dans la revue Phys. Rev. D~\cite{JS}.

\newpage
\section{Le formalisme}
\subsection{Le modle de Rajagopal et Wilczek}

Nous avons dj introduit ce modle dans le Chap.~\ref{INTRO}.
Nous le dcrivons ici en dtail. Le paramtre d'ordre de la symtrie
chirale est reprsent par un champ vectoriel  quatre composantes :
$\bfphi = (\bfpi,\sigma)$, et son volution temporelle est
gouverne par les quations du mouvement du modle $\sigma$-linaire
classique (cf. Eq.~(\ref{sigma}))
\beq
\label{motion}
 \left( \partial^2  - \lambda v^2 + \lambda\phi^2 (\vec x,t) \right) 
 \bfphi (\vec x,t) = H \mbox{\bf n}_\sigma \, \, ,
\end{equation}\noindent
o les paramtres $v$, $\lambda$ et $H$ sont dtermins  partir
des quantits physiques\footnote{Nous suivons ici le choix de~\cite{RW}
   pour les valeurs des quantits physiques, de faon  tester nos rsultats
   en les comparant aux leurs.}
$m_\pi=135$~MeV, $f_\pi=92.5$~MeV et $m_\sigma=600$~MeV  travers les relations
\bear
 H & = & f_\pi m_\pi^2 \, , \\
 m_\pi^2 & = & \lambda \left( f_\pi^2 - v^2 \right) \, , \\
 m_\sigma^2 & = & \lambda \left( 3 f_\pi^2 - v^2 \right) \, .
\eear
Nous rsolvons numriquement ces quations sur un rseau cubique de maille
$a$ et de volume $V=L^3$, o $L=Na$. Pour ce faire, nous devons spcifier 
les conditions aux bords, ainsi que l'ensemble des valeurs du champ $\bfphi$ 
et de sa drive temporelle $\p_t \bfphi \equiv \dot\bfphi$ en chacun 
des n\oe uds du rseau  l'instant initial. 
\par
Suivant~\cite{RW}, la configuration initiale est chantillonne  partir
d'une distribution symtrique refltant un tat thermique  une temprature
$T>T_c$ : les valeurs de $\bfphi$ et $\dot\bfphi$ aux diffrents noeuds
du rseau sont des variables alatoires gaussiennes indpendantes de moyennes
$\bfphi=\dot\bfphi={\bf 0}$ et de variances respectives\footnote{Dans~\cite{RW}, 
   les variances sont donnes pour les longueurs des vecteurs $\bfphi$ et
   $\dot\bfphi$, par exemple $\langle \phi^2 \rangle = \sum_{j=1}^4 \langle 
   \phi_j^2 \rangle = v^2/4$.}
$\langle \phi_j^2 \rangle = v^2/16$ et $\langle \dot\phi_j^2 \rangle = v^2/4$
($j=1,2,3,4$), en units du pas du rseau. L'indpendance statistique des valeurs
du champ et de sa drive en diffrents n\oe uds du rseau signifie que le pas 
$a$ a un sens physique : c'est la longueur de corrlation du champ (dgnre
en $\bfpi$ et $\sigma$)  la temprature $T$. Nous prendrons, avec Rajagopal
et Wilczek, $a=(200 \, \mbox{MeV})^{-1}=1$~fm. Nous avons dj mentionn, dans
le Chap.~\ref{INTRO}, le fait que bien que les valeurs des variances du 
champ et de sa drive soient choisies arbitrairement dans~\cite{RW}, ce choix 
a reu une justification avec les travaux ultrieurs de Randrup~\cite{RAN1} : 
la valeur donne ci-dessus est approximativement gale  la valeur typique 
du carr des fluctuations, aprs que l'expansion ait emmen le systme au c\oe ur
de la rgion d'instabilit spinodale (cf. Fig.~\ref{fig_traj}). Ce trempage
artificiel permet de nous limiter aux configurations qui subissent une forte
amplification, les seules qui nous intressent ici.
\par
Nous dnotons par $\bfvarphi (\vec k,t)$ et $\dot\bfvarphi (\vec k,t)$ les
composantes de Fourier du champ et de sa drive temporelle  l'instant $t$
et choisissons des conditions aux bords de Neumann, de sorte que ces 
composantes soient relles. Ce n'est pas l un point essentiel, mais ce choix
s'avre plus judicieux\footnote{Avec des conditions aux bords priodiques, 
   les composantes de Fourier sont des nombres complexes dont les parties
   relle et imaginaire jouent le rle de deux degrs de libert distincts.
   C'est un artefact des conditions priodiques que ces deux degrs 
   de libert soient runis pour dcrire un seul et mme mode de Fourier
   ( ce propos, voir l'Annexe~\ref{neutral}). Pour discuter les questions 
   des trajectoires des ondes $\vec k$ dans l'espace d'isospin, ainsi que 
   des corrlations entre celles-ci, il est prfrable que les composantes 
   de Fourier soient des nombres rels.}\label{ftnote_bc}
que des conditions priodiques pour ce qui est de discuter le 
problme de la polarisation\footnote{Dans la suite, nous
   appelerons (iso-)polarisation de l'onde $\vec k$, la trajectoire dans 
   l'espace d'isospin dcrite au cours du temps par le vecteur 
   $\bfvarphi (\vec k,t)$.} 
des ondes $\bfvarphi (\vec k,t)$ dans l'espace d'isospin. 
On a (cf. Annexe~\ref{neumann})
\bearn
\label{ampl}
 \bfvarphi (\vec k,t) & = & \left(\frac{2}{L}\right)^{3/2} \, 
 \int_V d^3x \, \cos (k_x x) \, \cos (k_y y) \, \cos (k_z z) \, 
 \bfphi(\vec x,t) \, , \\
\label{ampldot}
 \dot\bfvarphi (\vec k,t) & = & \left(\frac{2}{L}\right)^{3/2} \,
 \int_V d^3x \, \cos (k_x x) \, \cos (k_y y) \, \cos (k_z z) \,  
 \dot\bfphi(\vec x,t) \, .
\eearn
L'espace de Fourier est un rseau discret de pas $\Delta k = \pi/Na$ et, 
les fonctions modes tant priodiques et paires dans chacune des directions, 
on se limite au cube $0 \le k_i \le \pi/a$.
\par
L'volution hors d'quilibre du systme gnre une amplification
importante de l'amplitude des oscillations des ondes
$\bfvarphi (\vec k,t)$ correspondant au modes de grande longueur d'onde
(cf. Fig.~\ref{fig_ellipse}), et ce dans chacune des directions 
d'isospin. Ce phnomne explique la formation possible d'un champ de pion fort
(classique), c'est la premire condition pour avoir une configuration DCC.
Pour que les deux autres conditions numres dans l'introduction soient
satisfaites, les amplifications de diffrentes composantes d'isospin d'un 
mme mode doivent tre telles que les ondes $\bfvarphi (\vec k,t)$
soient linairement polarises dans l'espace d'isospin (c'est  dire que
le vecteur $\bfvarphi$ oscille le long d'un axe dans cet espace), et 
les amplifications de diffrents modes doivent tre corrles
entre elles, de faon  ce que les modes oscillent tous le long du mme
axe. Nous reviendrons sur ces aspects de manire plus prcise dans la suite
de notre expos, le point important ici est le fait que, dans une configuration
DCC, ou plus exactement, dans un ensemble statistique dont une configuration
gnrique est de type DCC, les diffrents modes sont fortement corrls.
\par
Le point de dpart de notre tude est la remarque suivante : les valeurs 
de $\bfphi$ et $\dot\bfphi$ en diffrents n\oe uds du rseau sont supposes 
tre des nombres alatoires gaussiens indpendants. Il est facile de voir 
(cf. Annexe~\ref{neumann}) que cela implique que les valeurs 
des composantes de Fourier $\bfvarphi$ et $\dot\bfvarphi$ sur les n\oe uds 
du rseau rciproque sont aussi des nombres gaussiens {\em indpendants}. 
En d'autres termes, il n'existe pas de corrlations entre les modes 
dans l'tat initial. Pour crer une configuration DCC, le mcanisme du 
trempage doit, non seulement tre efficace en ce qui concerne l'amplification 
des modes (et il l'est), mais il doit aussi tre capable de {\em gnrer 
des corrlations} entre les modes amplifis, ce qui est loin d'tre une 
vidence (cf. Eq.~(\ref{motion})).

\subsection{Observables}

Notre but est de tester si la configuration gnrique issue du scnario du 
trempage est de type DCC. En d'autres termes, nous voulons analyser certains
dtails de l'ensemble statistique dcrivant l'tat final, en particulier les
polarisations des modes et leurs correlations. Pour ce faire, nous allons 
construire certains outils permettant de formaliser et de quantifier les 
notions dont nous avons besoin, en particulier la polarisation des ondes 
$\bfvarphi$. Nous prenons le parti de construire le modle le plus simple 
possible, de faon  ne pas obscurcir notre argument. 
\par
Dans ce modle simple, bien que la taille de la boite soit fixe, nous avons 
en tte un systme en expansion rapide (l'hypothse du trempage est une 
idalisation de l'effet de l'expansion). Dans cette image, aprs
un certain temps, le systme est si dilu que les modes de Fourier dcouplent
les uns des autres et voluent librement. La modlisation la plus 
simple\footnote{Nous ngligeons la dure finie de la priode de dcouplage,
   pour laquelle une modlisation plus prcise du phnomne est ncessaire.
   Nous supposons que tous les modes dcouplent au mme instant $t_f$, qui
   peut tre vu comme la fin d'une priode commune de dcouplage, laquelle
   est implicitement suppose tre trs courte devant l'chelle de temps
   caractristique $\sim 1$~fm.}
de cet effet consiste  arrter `` la main'' l'volution couple (rgie par
les quations du mouvement (\ref{motion}))  un temps de dcouplage $t_f$
(freeze-out). La configuration du champ  l'instant $t_f$ joue le rle 
d'une source classique rayonnant des pions, on peut la voir comme la 
condition initiale de l'volution ultrieure libre, les fonctions 
$\varphi_j (\vec k,t>t_f)$ reprsentant les ondes associes  la 
propagation des pions rayonns par cette source. Les proprits de 
ceux-ci sont donc entirement dtermines par la configuration du champ 
 l'instant de dcouplage $t_f$. 
\par
Donnons un aspect plus formel  cette image. Les quanta mis par une source 
classique sont dans un tat cohrent~\cite{Itzuber} (dans la suite, nous nous
limitons au secteur des pions)
\beq
\label{coherent}
 | \alpha , t_f\rangle = \exp \left(\int d^3k \,\,
 \bfalpha(\vec k,t_f) \cdot \mbox{\bf a}^\dagger(\vec k) \right)|0\rangle \, ,
\end{equation}\noindent
avec 
\eq
 \bfalpha \cdot \mbox{\bf a}^\dagger =
 \sum_{j=1}^3 \alpha_j a_j^\dagger \, ,
\eq
o $a_j^\dagger(\vec k)$ est l'oprateur de cration d'un pion libre, de composante
d'isospin $j$ et d'impulsion $\vec k$, et $\alpha_j(\vec k,t_f)$ est la valeur
propre de l'oprateur d'anihilation correspondant ($t_f$ est un paramtre), 
correspondant  l'tat propre (\ref{coherent}). C'est aussi la composante
de Fourier de la source classique qui rayonne les pions~\cite{ABL}, elle 
est dtermine par la configuration du champ classique  l'instant $t_f$  
travers la relation\footnote{On peut 
    voir la configuration classique du champ  l'instant $t_f$ comme la valeur
    moyenne du champ quantique correspondant dans l'tat cohrent 
    (\ref{coherent}).} 
\beq
\label{alpha}
 \bfalpha(\vec k,t_f) = 
 \frac{i\dot \bfvarphi (\vec k,t_f) + \omega_k \bfvarphi (\vec k,t_f)}
 {\sqrt{2 \omega_k }} \, \, ,
\end{equation}\noindent
o $\omega_k=\sqrt{k^2 + m_\pi^2}$. Nous avons dj mentionn le fait que 
l'tat (\ref{coherent})-(\ref{alpha}) doit tre vu comme la condition initiale
pour l'volution ultrieure ($t>t_f$), suppose libre et, de ce fait, contient 
toute l'information utile. En fait, l'ide de l'volution ultrieure libre
n'est pas ncessaire, l'tat du systme  l'instant $t_f$ tant tout ce qui nous
intresse. Il est cependant instructif d'introduire cette ide qui nous permettra 
de nous faire une image physique claire et simple des quantits pertinentes  
mesurer. Pour allger les notations,
nous omettrons dornavant d'indiquer explicitement la dpendance en $t_f$.
Nous crirons par exemple, $\bfalpha (\vec k)$ pour $\bfalpha (\vec k,t_f)$, et 
$\bfalpha (\vec k,t)$ pour $\bfalpha (\vec k,t>t_f)$. De plus, tant que nous
focaliserons notre attention sur un mode $\vec k$ donn, nous omettrons 
l'indice $\vec k$, lequel sera rintroduit quand ce sera ncessaire.
L'volution ultrieure s'crit donc
\beq
\label{wave}
 \bfalpha(t) = \bfalpha \, e^{- i \omega \, (t-t_f)} \, .
\end{equation}\noindent
Le nombre moyen de quanta d'isospin $j$ associ  cette onde est 
indpendant du temps et vaut 
\beq
\label{number}
 \bar n_j = \langle \alpha | a_j^\dagger a_j  | \alpha \rangle = 
 |\alpha_j (t)|^2 = |\alpha_j|^2 \, .
\end{equation}\noindent
Enfin, la fraction $f$ de pions neutres dans un mode $\vec k$ donn est
($0 \le f \le 1$)
\beq
\label{ratio}
 f = \frac{\bar n_3}{\bar n_1 + \bar n_2 + \bar n_3} \, .
\end{equation}\noindent
\par
Pour caractriser la structure d'isospin de la configuration du champ
 l'instant $t_f$, nous introduisons le concept de polarisation des
ondes sortantes dans l'espace d'isospin : c'est la trajectoire
dcrite par l'extrmit du vecteur $\bfvarphi^{out}(t)\equiv\bfvarphi(t>t_f)$
dans l'espace d'isospin. On a
\bearn
\label{rewave}
 \bfvarphi^{out} (t) & = & 
 \sqrt{\frac{2}{\omega}} \, \mbox{Re} \, \bfalpha (t) \, \\
\label{imwave}
 \dot\bfvarphi^{out} (t) & = & 
 \sqrt{2\omega} \, \mbox{Im} \, \bfalpha (t) \, .
\eearn
Tout d'abord, il est facile de voir que ce 
mouvement est planaire : en effet, le vecteur ${\bf I} = \bfvarphi^{out} \times
\dot\bfvarphi^{out}$, qui est l'analogue du moment angulaire en mcanique 
du point\footnote{${\bf I}_{\vec k}$ est la composante $\vec k$ du gnrateur
   des rotations dans l'espace d'isospin 
   $\int d^3x \, \bfphi(\vec x,t) \times
   \dot\bfphi(\vec x,t) \propto \int d^3k \, \bfvarphi(\vec k,t) \times 
   \dot\bfvarphi(\vec k,t)$, lequel est conserv. Pour $t>t_f$ les modes 
   sont dcoupls et chaque composante ${\bf I}_{\vec k}$ est conserve.}, 
est indpendant du temps. La trajectoire de $\bfvarphi^{out}$ est donc une 
ellipse\footnote{C'est la trajectoire priodique caractrise par une chelle 
   de temps unique (ici $1/\omega$) la plus gnrale} dans le plan 
   perpendiculaire  ${\bf I}$.
Appellons ${\bf u}$ et $L$ (${\bf v}$ et $l$) la direction et la longueur du 
grand (petit) demi-axe de cette ellipse, comme indiqu sur le 
schma de la Fig~\ref{fig_ellipse} (${{\bf u}}^2 = {{\bf v}}^2 = 1$,
${\bf u}.{\bf v} = 0$, ${\bf I} = \omega l L  \, {\bf u} \times {\bf v}$).
On a alors
\beq
\label{ellipse}
 \bfalpha (t) = \sqrt{\frac{\omega}{2}} 
 \left( L \, {\bf u} + i l \, {\bf v} \right) \, 
 e^{-i ( \omega \, (t-t_f) + \eta)} \, ,
\end{equation}\noindent
o $\eta$ est un facteur de phase  dterminer  partir de l'Eq.~(\ref{wave}),
ainsi d'ailleurs que les longueurs $L$ et $l$, et les directions ${\bf u}$ et 
${\bf v}$.
\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{Ellipse.eps}}
\caption{\small Trajectoire elliptique du vecteur $\bfvarphi^{out}$ dans le 
   plan perpendiculaire  ${\bf I} = \bfvarphi^{out} \times \dot\bfvarphi^{out}$.} 
\label{fig_ellipse}
\end{figure}
Avec cette paramtrisation, il vient, pour le nombre d'occupation moyen 
(\ref{number})
\eq
 \bar n_j = \frac{\omega}{2} \, 
 \left( L^2 \, {u_j}^2 + l^2 \, {v_j}^2 \right) \, ,
\eq
et la fraction de pions neutres (\ref{ratio})
\beq
\label{ratio2}
 f = \frac{L^2 \, {u_3}^2 + l^2 \, {v_3}^2}{L^2 + l^2} \, .
\end{equation}\noindent
Une mesure directe de la polarisation de l'onde sortante $\bfvarphi^{out}$
est donne par l'excentricit\footnote{Pour se faire une image du sens
   physique de l'excentricit, il suffit de penser  une exprience de
   polarisation d'ondes lumineuses (dispositif de type polariseur-analyseur). 
   Dans le cas des ``ondes de pions'', on dcompose la polarisation sur 
   la base des tats de polarisation linaire $|\pi_- \rangle$, $|\pi_0 \rangle$ 
   et $|\pi_+ \rangle$, les rles des analyseurs tant jous par des dtecteurs
   sensibles  ces tats de charges respectifs.}
de l'ellipse (\ref{ellipse}), dfinie comme le rapport des longueurs des petit 
et grand demi-axes : $e=l/L$ ($0 \le e \le 1$). Le calcul de cette quantit  
partir de la configuration  l'instant $t_f$ est simple. Le nombre total de 
pions dans le mode $\vec k$, $\bar n = \sum_{j=1}^3 \bar n_j$, est gal  
l'nergie dans le mode $\vec k$ divise par l'nergie d'un pion :
\eq
 \bar n = \frac{\dot\varphi^2 (t_f) + \omega^2 \, \varphi^2 (t_f)}{2 \omega} \, ,
\eq
o l'on a not $\phi^2 = \bfphi \cdot \bfphi$ et de mme pour $\dot\varphi^2$.
En utilisant la paramtrisation (\ref{ellipse})  $t=t_f$, on obtient les
relations
\eq
 l^2 + L^2 = \frac{2}{\omega} \,  \bar n \, \, \, , \, \, \,
 l \, L = \frac{I}{\omega} \, \, ,
\eq
o $I$ est la longueur du vecteur d'isospin ${\bf I}=\bfvarphi (t_f) \times
\dot\bfvarphi (t_f)$ dfini plus haut. On en dduit les longueurs
\eq
 l^2 = \frac{\bar n - \sqrt{{\bar n}^2 - I^2}}{\omega} \, \, \, , \, \, \,
 L^2 = \frac{\bar n + \sqrt{{\bar n}^2 - I^2}}{\omega} \, \, ,
\eq
et l'excentricit
\beq
\label{excent}
 e^2 = \frac{\bar n - \sqrt{{\bar n}^2 - I^2}}{\bar n + \sqrt{{\bar n}^2 - I^2}} \, .
\end{equation}\noindent
\par 
Avec ces dfinitions en main, considrons le cas de la polarisation
rectiligne (ou linaire). L'onde $\vec k$ est  polarise linairement 
si le vecteur $\bfvarphi_{\vec k}^{out}$ oscille le long d'un axe donn : 
$\bfvarphi_{\vec k}^{out}$ et $\dot\bfvarphi_{\vec k}^{out}$ 
sont collinaires. La polarisation rectiligne est donc 
caractrise par le fait que ${\bf I}_{\vec k} = {\bf 0}$, ou encore : 
$l_{\vec k} = 0$, $e_{\vec k} = 0$.
On a donc 
\bearn
 \bfalpha_{linaire} (\vec k,t) & = & \alpha (\vec k) \, 
 e^{- i \omega_k \, (t-t_f)} \, {\bf u}_{\vec k} \, , \nonumber \\
 f_{linaire}(\vec k) & = & \cos^2 \theta_{\vec k} \, ,
 \label{linear}
\eearn
o $\theta_{\vec k}$ est l'angle entre la direction d'oscillation 
${\bf u}_{\vec k}$ et l'axe $\pi_3$ de l'espace d'isospin. Aussi bien
la dynamique (Eq.~\ref{motion}) que l'ensemble statistique dcrivant
l'tat initial sont invariants sous le groupe $O(3)$ des rotations
dans l'espace d'isospin : il n'existe aucune direction privilgie. 
Donc, si une telle onde, polarise linairement, est produite de faon 
gnrique dans l'tat final, la distribution des valeurs de la fraction
neutre $f(\vec k)$ sera donne\footnote{Dans un espace  trois dimensions,
   la direction alatoire ${\bf u}$ est repere par les deux angles 
   $(\theta,\varphi)$. Si toutes les directions sont quiprobables, la 
   probabilit pour que la direction ${\bf u}$ soit dans l'angle solide
   $d^2 \Omega = \sin \theta \, d\theta \, d\varphi$ centr autour de la
   direction $(\theta,\varphi)$ est $d^2 \Omega /4 \pi$. La probabilit 
   pour que $\cos^2 \theta$ soit compris entre $f$ et $f+df$ 
   s'crit $P(f) df$, avec
   \eq
    P(f) = \int_0^\pi \sin \theta \, d\theta \, \delta(f-\cos^2 \theta) = 
    \int_0^1 dx \, \delta(f-x^2) = \frac{1}{2\sqrt{f}} \, .
   \eq} 
par la loi en $1/\sqrt{f}$ 
(cf. Eq.~(\ref{dccdist})). Ceci reste approximativement vrai dans le cas,
plus raliste, o les ondes sortantes ont une polarisation quasi-rectiligne
($l_{\vec k} \ll L_{\vec k}$). Il est important de remarquer
que, s'il est toujours possible d'crire la fraction neutre $f(\vec k)$
(Eq.~(\ref{ratio})) comme le carr du cosinus d'un certain angle $\chi_{\vec k}$,
celui-ci n'a pas, en gnral, la signification d'une orientation
alatoire uniforme dans l'espace d'isospin. La loi en $1/\sqrt{f}$ 
n'est valable que dans le cas de la {\em polarisation linaire} (voir
par exemple l'Annexe~\ref{neutral}). 
\par
Considrons maintenant la configuration DCC ``idale'', telle qu'elle
a t propose au dbut des annes 1990 : tous les $\bfvarphi_{\vec k}^{out}$
sont linairement polariss, et oscillent
{\em dans la mme direction}\footnote{Le DCC est un tat d'isospin total nul : 
   $\int d^3k \, {\bf I}_{\vec k} = {\bf 0}$. Ceci est clairement spcifi 
   dans la rf.~\cite{ABL}, et est une hypothse, plus ou moins explicite, 
   dans tous les articles originaux, o l'ide du DCC a t propose.} $\bf u$ :
\eq
 \bfalpha_{DCC} (\vec k,t) = \alpha (\vec k) \, 
 e^{- i \omega_k \, (t-t_f)} \, {\bf u} \, .
\eq
Dfinissant la fraction du nombre total de pions neutres
\beq
\label{dcc}
 f^{tot} =  \frac{N_3}{N_1 + N_2 + N_3} \, ,
\end{equation}\noindent
avec $N_j = \int d^3k \, \bar n_j (\vec k)$, on a
\eq
 f_{DCC}^{tot} = \cos^2 \theta \, ,
\eq
o $\theta$ est l'angle entre la direction $\bf u$ et l'axe $\pi_3$.
Pour un DCC idal, la fraction neutre {\em totale} est distribue selon
la loi en $1/\sqrt f$. Dans une situation plus raliste, on s'attend  ce 
que seuls les modes amplifis contribuent  la structure du DCC. Il faudrait
donc ne considder que les modes de grande longueur d'onde dans (\ref{dcc}).
De plus, il est peu probable que les ondes $\bfvarphi_{\vec k}^{out}$ aient
une polarisation strictement rectiligne, ni mme qu'elles soient strictement
alignes les unes avec les autres, et on s'attend  des dviations  la loi
idale. Le point clef de la configuration DCC est le fort degr de corrlation 
entre les modes. Introduisons la fonction de corrlation
\beq
\label{recorrel}
 C_{\mathcal O} (\vec k,\vec k') =
 \frac{\langle \, \mathcal O (\vec k) \, \mathcal O (\vec k') \, \rangle_c}
 {\sqrt{\langle \, \mathcal O^2 (\vec k) \, \rangle_c \, 
 \langle \, \mathcal O^2 (\vec k') \, \rangle_c}} \, ,
\end{equation}\noindent
o $\langle A \, B \rangle_c = \langle A \, B \rangle - 
\langle A \rangle \, \langle B \rangle$, $\langle ... \rangle$ dsigne
la moyenne statistique, et $\mathcal O$ reprsente une observable quelconque. 
Les observables pertinentes pour l'tude des corrlations entre polarisations, 
sont la fraction neutre $f$ (Eq.~(\ref{ratio})) et l'excentricit $e$ 
(Eq.~(\ref{excent})). 


\section{Les rsultats}

Nous travaillons avec un rseau cubique de taille $N=64$. Les quations
du mouvement (\ref{motion}) sont rsolues numriquement  l'aide de
l'algorithme dit ``straggered leap-frog''~\cite{NumRec} avec un incrment 
de temps $\Delta t = 0.04 a$. Les composantes de Fourier 
(\ref{ampl})-(\ref{ampldot}) sont calcules numriquement par une mthode
de type ``Fast Fourier Transform'', adapte aux conditions aux bords utilises
ici~\cite{NumRec} (voir Annexe~\ref{neumann}). Avec une configuration initiale
donne, on peut suivre l'volution temporelle des $\bfvarphi (\vec k,t)$.
Nous reproduisons compltement le rsultat de la Rf.~\cite{RW}, que  nous 
rappellons brivement ici (voir aussi le Chap.~\ref{INTRO}). Nous 
calculons  chaque instant la moyenne de $\varphi_j^2 (\vec k,t)$ sur le 
volume de l'espace des phases dlimit par les sphres de rayons
$k \pm \delta k/2$, o $k = ||\vec k||$, avec $\delta k=0.057a^{-1}$. 
L'volution temporelle de cette quantit est trace, pour diffrentes valeurs 
de $k$, sur la Fig.~\ref{fig_RW1} dans le Chap.~\ref{INTRO}\footnote{Les
   Figs.~\ref{fig_RW1} et \ref{fig_RW2} ont t obtenues avec des conditions 
   aux bords priodiques, pour des raisons techniques : le processus de 
   moyennage de la Rf.~\cite{RW}, dcrit dans le texte, est alors plus 
   facile  implmenter. La quantit  moyenner est alors $|\varphi_j|^2$. 
   De plus, la normalisation des coefficients de Fourier a t choisie 
   identique  celle de~\cite{RW} pour faciliter la comparaison.}.
Dans les directions d'isospin ($j=1,2,3$), les modes de basse frquence
sont fortement amplifis et oscillent en phase avec une priode 
$\pi/\omega_k \simeq \pi/m_\pi$. Ni amplification, ni oscillations collectives
ne sont observes dans la direction $\sigma$ ($j=4$). Ce comportement moyen
s'explique, de manire qualitative,  l'aide des arguments de champ 
moyen~\cite{RW} exposs dans le Chap.~\ref{INTRO}. En rsum : pour
les temps courts ($t \lesssim 10 a$), la courbure du potentiel effectif, 
c'est  dire la masse effective au carr, est ngative (cf. Fig.~\ref{fig_RW2}), 
et les modes de grande longueur d'onde, dont la frquence est imaginaire pure, 
sont amplifis. C'est l'instabilit spinodale, que nous avons eu maintes fois
l'occasion de discuter. L'amplification ultrieure ($10a \lesssim  t \lesssim 50a$)
est due aux oscillations rgulires de la valeur moyenne du champ autour de sa 
valeur asymptotique $f_\pi$. C'est la rsonnance paramtrique
\cite{param1,param2,param3}. Le phnomne d'amplification est videmment 
transitoire et, pour des temps suffisament longs ($t \gtrsim 100a$), l'nergie
initiale est qui-rpartie entre tous les modes, le systme est dans un 
tat d'quilibre stationnaire. 
\par
Ici, notre but est l'analyse statistique dtaille de la structure d'isospin 
de l'tat final, o le champ a t fortement amplifi, la question tant de 
savoir si des corrlations entre les polarisations des diffrents modes
ont t gnres avec l'amplification. Au vu de la discussion prcdente, 
il est intressant de discerner entre les diffrents mcanismes responsables
de l'amplification. Dans la suite, nous prsentons donc des rsultats pour
deux valeurs du temps de dcouplage : $t_f=10a$ (avec une statistique de
$21 \times 10^3$ vnements), qui correspond  la fin de la priode 
d'instabilit spinodale, et $t_f=56a$ ($10.9 \times 10^3$ vnements), 
temps auquel l'amplification moyenne (cf. Eq.~(\ref{amplifac}) plus bas) 
est maximale. Par souci de clart, nous ne considrerons que les 
modes\footnote{En pratique
   nous calculons les modes $(n,0,0)$, $(0,n,0)$ et $(0,0,n)$ et prenons
   la moyenne des trois contributions, exploitant l'invariance du problme
   sous les rotations spatiales et augmentant ainsi la statistique. Le 
   raisonnement ne s'appliquant pas pour $n=0$, la statistique pour ce mode
   est trois fois moindre que pour les autres.}
$\vec k = (k = n \Delta k,0,0)$, o $\Delta k = \pi/Na \approx 10$~MeV.
De plus, le modle $\sigma$-linaire tant une thorie effective 
aux chelles $\lesssim 100$~MeV, nous ne considrons que la fentre
$0 \le n \le 15$.
\par
Dfinissons le facteur d'amplification du mode $k$  l'instant $t_f$ :
\beq
\label{amplifac}
 \mathcal A (k,t_f) = \frac{P (k,t_f)}{P (k,0)} \, ,
\end{equation}\noindent
o
\eq
 P (k,t) = \omega_k \, \sum_{j=1}^3 \bar n_j (k,t)
\eq
est la densit moyenne d'nergie dans le mode $k$  l'instant $t$. 
Les nombres d'occupation moyens $\bar n_j (k,t)$ correspondant
sont calculs  partir de la configuration du champ  l'instant $t$,
au moyen des Eqs.~(\ref{alpha}) et (\ref{number}). La dpendance
avec $k$ de la moyenne statistique du facteur d'amplification
$\langle \mathcal A(k,t_f) \rangle$ est prsente Fig.~\ref{fig_Mamplif}.
Le comportement observ est bien celui attendu : les amplitudes des modes
de grande longueur d'onde sont amplifis par rapport aux autres. 
Pour $t_f=10a$ on note un accord semi-quantitatif avec les arguments 
de champ moyen (voir le Chap.~\ref{INTRO}, Eqs.~(\ref{MFeom})-(\ref{effmass}))
qui prvoient une amplification monotone des modes
tels que $k \lesssim f_\pi$, amplification d'autant plus importante que $k$
est petit. La fentre des modes amplifis est considrablement
diminue et l'amplification moyenne augmente dans le cas $t_f=56a$.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Mamplif.eps}}
\caption{\small Le facteur d'amplification moyen 
    $\langle \mathcal A (k,t_f) \rangle$ en fonction de l'impulsion $k$ (en MeV)
    pour $t_f=10a$ ( gauche) et $t_f=56a$ ( droite). Les barres d'erreur 
    reprsentent l'incertitude statistique et les lignes en traits tirs servent
    de guides pour l'\oe il. L'amplification moyenne est une fonction
    monotone dcroissante de l'impulsion, comme le prvoit l'approximation
    de champ moyen.} 
\label{fig_Mamplif}
\end{figure}

Le comportement qualitatif de l'amplification moyenne en tant que fonction
de l'impulsion $k$, en particulier la dcroissance monotone, est donc assez 
bien dcrit par l'approximation de champ moyen. Il est intressant d'aller
plus loin et de caractriser plus prcisment la distribution des valeurs 
du facteur d'amplification. Les histogrammes de cette distribution pour 
le mode zro, le plus amplifi en moyenne, sont reprsents Fig.~\ref{fig_Hamplif},
aux instants $t_f=10a$ et $t_f=56a$. Dans les deux cas on observe de trs 
fortes fluctuations du facteur d'amplification autour de sa valeur moyenne.
Supposons que, pour un vnement donn, l'amplification $\mathcal A(k)$ dans le
mode $k$ soit suprieure  sa valeur moyenne $\langle \mathcal A(k) \rangle$.
L'amplification $\mathcal A(k+\delta k)$ dans un mode voisin est-elle aussi
suprieure  sa valeur moyenne ? Autrement dit, le facteur d'amplification
est-il, vnement par vnement, une fonction dcroissante de l'impulsion ?
La rponse est non, comme le montre la Fig.~\ref{fig_Camplif} qui reprsente 
la fonction de corrlation $\mathcal C_{\mathcal A}$ dfinie par
l'Eq.~(\ref{recorrel}) avec $\mathcal O \equiv \mathcal A$. La dcroissance 
monotone du facteur d'amplification avec l'impulsion n'est qu'une proprit 
moyenne. Cette absence de corrlations entre les amplifications dans diffrents 
modes\footnote{La longueur de corrlation est infrieure  la coupure 
   infrarouge $\Delta k$.} 
n'a pas de consquences trs importantes du point de vue phnomnologique.
En effet, en pratique on mesure le nombre total (chargs et neutres) de pions 
moyenn sur des bin dans l'espace des phases. Les amplitudes totale des modes 
tant indpendantes, ce moyennage sur des bins est quivalent  la moyenne
sur l'ensemble statistique pour des bins suffisament grands. La quantit
pertinente, du point de vue de l'amplitude totale, est donc l'amplification
moyenne. On retrouve le fait (Fig.~\ref{fig_Mamplif}) que le scnario du 
trempage rempli trs efficacement le premier point du cahier des charges,
dcrit dans l'introduction de ce chapitre, concernant la formation d'un 
champ de pion fort (classique).

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Hamplif.eps}}
\caption{\small Histogrammes des valeurs de l'amplification dans le mode $k=0$,
    dont l'amplification moyenne est la plus grande, pour $t_f=10a$ ( gauche) 
    et $t_f=56a$ ( droite). Les fluctuations de l'amplification autour de
    sa valeur moyenne sont trs grandes pour les modes les plus amplifis
    en moyenne. Ces histogrammes sont les analogues de ceux de la
    Fig.~\ref{fig_histo} du Chap.~\ref{PROBA}. Dans le cas prsent 
    cependant, on slectionne les vnements intressant (amplifis) 
    en trempant artificiellement le systme.} 
\label{fig_Hamplif}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Camplif.eps}}
\caption{\small La fonction de corrlation rduite $C_A (0,k)$ 
    (Eq.~(\ref{recorrel})) en fonction de $k$ (en MeV) pour $t_f=10a$ 
    ( gauche) et $t_f=56a$ ( droite). Les fonctions de corrlation
    du type $C_A (k_0,k)$ et $C_A(k_0,p)$, o $k_0$ et $k$ sont des impulsions
    dans la direction $\hat k_x$ tandis que $p$ est une impulsion dans
    une direction diffrente, montrent des profils similaires : les 
    amplifications des diffrents modes sont statistiquement indpendantes.} 
\label{fig_Camplif}
\end{figure}

Venons-en maintenant  notre tude proprement dite, c'est  dire 
l'analyse de la structure d'isospin des configurations dans l'tat final
et commenons par le second point de notre cahier des charges :
l'tat de polarisation des modes individuels. 
Les distributions des valeurs de la fraction neutre $f(k)$ sont 
reprsentes pour diffrentes valeurs de $k$ sur les Figs.~\ref{fig_Hfrac1} 
et \ref{fig_Hfrac2}, correspondant respectivement  $t_f=10a$ et $t_f=56a$. 
Bien que toutes prsentent de fortes fluctuations autour de la valeur 
moyenne $\langle f \rangle=1/3$, on remarque un changement de profil 
lorsqu'on passe des modes amplifis  ceux qui ne le sont pas. En fait
pour tous les modes en dehors de la fentre d'amplification ($n \le 15$
pour $t_f=10a$, $n \le 4$ pour $t_f=56a$), les distribution des valeurs
de $f$ prsentent le mme profil linaire. Il est intressant de remarquer
que cette loi linaire est prcismment celle que l'on obtient dans le
cas d'un ensemble thermique de pions (voir l'Eq.~(\ref{thermalf})) de
l'Annexe~\ref{neutral}). Cette observation conforte l'ide selon laquelle
ces modes sont dj thermaliss~\cite{RW,Rajrev}. En ce qui concerne les modes 
amplifis, qui sont ceux qui nous intressent, la distribution en $f$ est
sensiblement la mme que dans l'tat initial (cf. Eq.~(\ref{indist}) de 
l'Annexe~\ref{neutral}). 

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Hfrac1.eps}}
\caption{\small Histogrammes des valeurs des fractions neutres dans les modes
   $k=n \Delta k$ ($\Delta k \approx 10$~MeV) pour $n=0$ ( droite) et $n=15$ 
   ( gauche),  l'instant $t_f=10a$. Les histogrammes correspondant aux modes
   $n \le 14$ sont tous compatibles avec la distribution correspondante dans
   l'tat initial (indique en traits tirs pour $n=0$), tandis que pour $n\ge15$
   on observe une distribution linaire,  comparer avec la loi $2(1-f)$ 
   (indique en traits tirs) obtenue dans le cas d'un ensemble thermique 
   (cf. Eq.~(\ref{thermalf}) de l'Annexe~\ref{neutral}).} 
\label{fig_Hfrac1}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Hfrac2.eps}}
\caption{\small Mme chose que sur la Fig.~\ref{fig_Hfrac1} pour
   $t_f=56a$. Les histogrammes correspondant aux modes $n \le 3$ sont 
   compatibles avec la distribution initiale. Tous les modes $n \ge 4$ 
   prsentent une distribution linaire.} 
\label{fig_Hfrac2}
\end{figure}

L'analyse des excentricits des polarisations elliptiques permet d'tudier
plus prcisment ce dernier point. La Fig.~\ref{fig_Mex} reprsente l'excentricit 
moyenne $\langle e(k,t_f) \rangle$ en fonction de $k$  diffrents instants. 
Dans les deux cas $t_f=10a$ et $t_f=56a$, les modes pour lesquels l'amplification
moyenne est importante ont une excentricit moyenne trs proche, bien que 
lgrement infrieure, de la valeur correspondante dans l'tat initial. 
Dans le cas $t_f=56a$, on voit que l'excentricit moyenne des modes qui 
ne font pas, ou plus, partie de la fentre des modes amplifis ($k \gtrsim 50$~MeV)
est indpendante de $k$ et trs suprieure  la valeur initiale correspondante. 
Cette observation s'avre vraie, non seulement en moyenne, mais vnement 
par vnement, au niveau des distributions des excentricits des diffrents 
modes, reprsentes aux instants initial et final, $t_f=10a$ et $t_f=56a$, 
sur les Figs.~\ref{fig_Hex0}, \ref{fig_Hex1} et \ref{fig_Hex2} respectivement. 
Pour les modes amplifis, les distributions finales sont lgrement
dcalles vers les petites valeurs de $e$,  l'inverse, les modes thermaliss
ont une polarisation plus circulaire (grandes valeurs de l'excentricit) que
dans l'tat initial. Pour ces derniers, la distribution est indpendante de $k$.
Bien que les modes de grande longueur d'onde aient une polarisation
de plus en plus linaire  mesure qu'ils sont amplifis, il s'agit d'un
effet trs faible. On voit par exemple sur les Figs.~\ref{fig_Hex0}, 
\ref{fig_Hex1} et \ref{fig_Hex2}, que la proportion d'vnements pour
lesquels l'excentricit du mode zro est infrieure  $0.1$ est de :
$13\%$ dans l'tat initial, $16\%$  $t_f=10a$, et $18\%$  $t_f=56a$.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=3.5in \centerline{ \epsfbox{Mex.eps}}
\caption{\small L'excentricit moyenne $\langle e(k,t_f) \rangle$ en fonction
   de $k$ (en MeV) dans l'tat initial (carrs), ainsi que pour $t_f=10a$
   (losanges) et $t_f=56a$ (triangles). Les lignes sont des guides pour l'\oe il.} 
\label{fig_Mex}
\end{figure}

Les modes qui,  un instant donn, sont dans la fentre 
d'amplification ne voient pas leur polarisation notablement modifie,
tandis que ceux qui ne ressentent plus l'amplification et thermalisent,
se retrouvent avec une polarisation ``thermique'', d'autant plus 
diffrente de leur polarisation initiale que leur frquence est grande.
Le mcanisme responsable de l'amplification ne modifie donc pas l'tat de
polarisation des modes amplifis, la distribution de la 
fraction de pions neutres dans ces modes est essentiellement donne 
par la distribution correspondante dans l'tat initial (cf. 
Figs.~\ref{fig_Hfrac1} et~\ref{fig_Hfrac2}).

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Hex0.eps}}
\caption{\small Histogrammes des valeurs de l'excentricit (Eq.~(\ref{excent}))
   dans l'tat initial, pour les modes $n=0$ ( droite) et $n=15$ ( gauche).} 
\label{fig_Hex0}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Hex1.eps}}
\caption{\small Mme chose que sur la Fig.~\ref{fig_Hex0}, cette fois
    dans l'tat final  $t_f=10a$. Les distributions correspondant aux modes 
    tels que $n < 11$ sont dplaces vers les petites valeurs de $e$ par rapport
     l'tat initial. Ce dcalage est le plus accentu pour $n=0$, et
    s'estompe  mesure que $n$ augmente pour s'inverser  partir de $n=11$ :
    au del les distributions sont dcales vers les grandes valeurs de $e$.} 
\label{fig_Hex1}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Hex2.eps}}
\caption{\small Mme chose que sur la Fig.~\ref{fig_Hex1}, pour $t_f=56a$.
   Le mme phnomne de dcalage de la distribution est observ : dcalage
   vers la gauche pour $n \le 2$, et vers la droite au del. Ce dcalage
   vers les grande valeurs de $e$ pour les modes de grande frquence se 
   stabilise cependant : les distributions correspondant aux modes $n \ge 7$
   sont toutes identiques (voir la distribution de $n=15$ ci-dessus).} 
\label{fig_Hex2}
\end{figure}

Il est cependant intressant de noter que, bien que les modes soient
loin d'tre polariss strictement linairement, cela n'entraine que
de petits carts  la loi en $1/\sqrt f$. En effet ici, de mme que dans 
le cas idal, la fraction de pions neutres dans un mode $k$ donn fluctue 
trs fortement d'un vnement  l'autre, si bien que du point de vue
d'un exprimentateur la diffrence n'est pas trs importante.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Cfrac.eps}}
\caption{\small La fonction de corrlation rduite $C_f (0,k)$ 
    (Eq.~(\ref{recorrel})) en fonction de $k$ (en MeV) pour $t_f=10a$ 
    ( gauche) et $t_f=56a$ ( droite). De mme que pour l'amplification
    (Fig.~\ref{fig_Camplif}), on a calcul les fonctions de corrlation entre
    diffrents modes, pour la fraction neutre ainsi que pour l'excentricit.
    Il en ressort que les polarisations des diffrents modes sont
    statistiquement indpendantes.} 
\label{fig_Cfrac}
\end{figure}

Le dernier point de notre tude concerne la question de l'alignement entre
les directions d'oscillations des diffrents modes dans l'espace d'isospin.
La Fig.~\ref{fig_Cfrac} reprsente la fonction de corrlation
$C_f (0,k)$ (Eq.~(\ref{recorrel})) en fonction
de $k$. Pour les deux valeurs de $t_f$ tudies, les fractions neutres
des diffrents modes sont compltement indpendantes les unes des autres
dans l'tat final. Il en va de mme pour les excentricits. Bien qu'en moyenne 
les amplitudes $\varphi_j (\vec k,t)$ des modes amplifis oscillent
en phase dans chacune des directions d'isospin, les vecteurs 
$\bfvarphi (\vec k,t)$ oscillent dans des directions compltement 
indpendantes : dans un certain sens, les diffrents modes sont comme 
autant de DCC indpendants. La consquence phnomnologique immdiate
est l'attnuation, voire la disparition des fluctuations de la 
fraction neutre du nombre total de pions dans un bin d'espace des phases. 
Ceci est illustr sur la Fig.~\ref{fig_Htot} qui reprsente la 
distribution de la fraction neutre lorsque les contribution de 
seulement quelques modes quivalents (c'est  dire ayant la mme 
distribution individuelle) sont pris en compte\footnote{Il s'agit du rapport 
   $\displaystyle \frac{N_3}{N_1 + N_2 + N_3}$, o 
   $\displaystyle N_j =  \sum_{k \in bin} \bar n_j (k)$.}.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Htot.eps}}
\caption{\small Histogrammes des valeurs des fractions neutres provenant de
    la somme des contributions des modes $n=0,...,4$ ( droite) et 
    $n=0,...,9$ ( gauche),  l'instant $t_f=10a$. Dans ce cas tous les modes
    considrs ont des distributions individuelles de $f$ essentiellement
    identiques. On voit que le signal est rapidement dtruit par l'interfrence
    entre les contributions statistiquement indpendantes.} 
\label{fig_Htot}
\end{figure}




\section{Discussion et conclusion}

\subsection{Rsum}

Partant d'un ensemble symtrique pour le champ chiral 
$\bfphi = (\bfpi,\sigma)$, nous rsolvons numriquement les quations 
du mouvement du modle $\sigma$-linaire, qui peut tre vu comme une thorie 
effective dcrivant la dynamique des excitations bosoniques de basse nergie
de QCD. Le trempage des fluctuations de l'tat initial est un mcanisme trs 
efficace pour gnrer des oscillations cohrentes de grande longueur d'onde 
et de grande amplitude~\cite{RW}.
\par
L'analyse statistique dtaille de l'tat final montre que la structure 
d'isospin du champ de pion y est sensiblement la mme que dans l'tat 
initial. Bien que diffrentes de la loi en $1/\sqrt f$, propre  une 
polarisation rectiligne, les distributions de la fraction neutre dans
les modes individuels sont trs larges, ce qui est le point important 
pour la phnomnologie. Cependant, les polarisations des diffrents 
modes sont compltement indpendantes les unes des autres. La consquence
phnomnologique importante est la suppression des grandes
fluctuations de la fraction de pions neutres lorsque les contributions
de plusieurs modes sont prises en compte, par exemple dans un bin de 
l'espace des impulsions.
\par
Le point clef est de raliser que l'hypothse d'un tat initial spatialement
dsordonn implique que les modes de Fourier du champ sont initialement 
indpendants les uns des autres. Notre rsultat peut donc tre nonc comme 
suit : les non-linarits de la dynamique {\em ne gnrent pas} de 
corrlations entre les modes. Le chaos que l'on a postul  l'instant 
initial se retrouve dans l'tat final. Cela contredit l'ide largement
rpandue, selon laquelle la configuration gnre dans le modle le plus 
simple utilis jusqu' prsent, est un DCC, tel qu'il a t propos  
l'origine. Ce modle permet d'expliquer l'aspect classique du DCC,
pas sa polarisation hypothtique.
 
\subsection{Comparaison avec des travaux antcdents}

De nombreuses tudes concernant les implications phnomnologiques
du scnario du trempage ont t ralises depuis~\cite{RW}.
Parmi les auteurs de ces travaux, certains~\cite{GGP,Raj,RAN2}, 
s'intressant  la distribution de la fraction de pions neutres 
dans l'tat final, ont obtenus des rsultats analogues  celui de 
la Fig.~\ref{fig_Htot}. 
\par
Etudiant l'tat final du modle de Rajagopal et Wilczek en termes de
domaines d'orientation donne (par analogie avec les domaines 
d'aimantation forms lors du trempage d'un feromagntique), 
S.~Gavin, A.~Gocksch et R.~D.~Pisarski~\cite{GGP} arrivent  la
conclusion suivante : le systme est form d'un grand nombre de petits
domaines orients alatoirement et dont la taille est de l'ordre
de la longueur de corrlation, ce qui se traduit par une distribution
binomiale de la fraction neutre du nombre {\em total} de pions\footnote{Les
   auteurs en question tudient diffrents rgimes de couplage. La
   conclusion dcrite ici est celle obtenue dans le rgime de couplage fort,
   pertinent  la physique des collisions d'ions lourds qui nous intresse ici.}.
Par la suite, K.~Rajagopal a soulign le fait que le systme en question, 
tant hors d'quilibre, ne peut tre caractris par une chelle de 
longueur unique~\cite{Raj}, de sorte que l'image de la Rf.~\cite{GGP}
n'est pas approprie. Dans ce chapitre, nous avons montr que les diffrents 
{\em modes} du champ se comportent comme des DCC indpendants : ils sont 
amplifis (ce qui justifie l'approximation classique), ont une orientation 
diffrente de celle du vide physique, mais leurs polarisations dans l'espace
d'isospin sont statistiquement indpendantes. Bien sr, en prenant la transforme 
de Fourier inverse, on arrive  la mme conclusion dans l'espace des 
configurations : les orientations du champ $\bfphi$ sont indpendantes 
d'un site  l'autre. Il n'est cependant pas correct de dire
que l'on a produit une plthore de petits DCC (domaines), chacun de la taille 
du pas du rseau. En effet, les modes de grande longueur d'onde, qui ont t
fortement amplifis et qui sont, par consquent les degrs de libert 
intressants, occupent {\em tout} le volume de la collision o le champ a t 
tremp. De plus, la reprsentation dans l'espace des impulsions donne une 
image plus proche de ce que les exprimentateurs voient. Quoi qu'il en 
soit, les ``domaines'' sont phmres, les dtecteurs enregistrent finalement 
les impulsions des particules produites.
\par
Dans la Rf.~\cite{Raj}, Rajagopal tudie les implications phnomnologiques
de son modle, notamment quant  la distribution de la fraction de pions neutres
de basse nergie, en dcoupant l'espace des phases comme dans une exprience
relle. Il calcule, pour un vnement donn, la distribution sur l'ensemble 
des bins, de la fraction neutre des pions dont l'impulsion 
$||\vec k|| \lesssim 300$~MeV. Il obtient une distribution relativement 
pique autour de $f=1/3$, ce qu'il interprte comme : ``an admixture of a 
$1/\sqrt f$ distribution.'' Il a en tte l'image d'un condensat chiral 
dsorient, form par la superposition cohrente des modes de grande 
longueur d'onde, plong dans le bain thermique incohrent form par les 
autres modes. Cette image dans la reprsentation en impulsion, 
est plus satisfaisante. De plus, l'observation du fait que des modes 
de diffrente nature (amplifis ou thermaliss) contribuent de faon 
incohrente, supprimant ainsi le signal, est parfaitement en accord 
avec notre rsultat. Cependant, nous avons mis en vidence le fait que 
les modes de basse frquence n'agissent pas de concert pour former un 
condensat cohrent, c'est le fait d'avoir moyenn les contributions 
d'un grand nombre de modes dans chaque bin qui est responsable de la 
suppression des fluctuations de la fraction neutre.
\par
Finalement, J.~Randrup~\cite{RAN2} calcule la distribution
de la fraction neutre de pions dont les impulsions sont infrieures  
diffrentes coupures. Il n'observe une loi large (en $1/\sqrt f$) que dans 
le cas o le seul mode zro contribue. L'accord entre les rsultat du calcul
classique exact et de l'approximation de champ moyen le conduit  dire : 
``each $\vec k$ contributes pions having an independant orientation in
isospin space.'' C'est prcismment ce que nous avons obtenu ici. 
Cependant Randrup travaille dans un modle avec expansion, c'est  dire 
qu'il modlise l'ensemble de la collision. Par consquent, la plupart 
des vnements qu'il considre n'ont pas t significativement amplifis 
(cf. Chap.~\ref{PROBA}). Dans ce sens, son analyse est incomplte et ne 
permet pas de conclure quant  la question que nous nous sommes pos ici.
\par
Certains indices concernant la structure d'isospin gnre dans le
scnario du trempage ont t relevs dans la littrature, en particulier
l'absence de fluctuations significatives de la fraction de pions neutres.
Cependant, l'analyse dtaille de la configuration du champ issu du 
trempage n'avait encore jamais t ralise, en fait la question 
de la correspondance entre cette configuration et le DCC n'avait jamais 
t souleve. Le travail prsent dans ce chapitre permet de clarifier
la situation.

\subsection{Spculations}

Le scnario du trempage sous sa forme la plus simple ne permet
pas de gnrer une configuration de type DCC. L'inclusion
d'effets quantiques dans l'approximation de champ moyen, ou encore
de l'expansion, n'altrent probablement pas cet tat de faits, 
les premiers par construction, et la dernire n'tant qu'une faon 
sophistique de modliser le trempage lui-mme ainsi que le dcouplage 
entre les modes. Notre tude indique que c'est l'absence de corrlations
dans l'tat initial qui est  l'origine du problme.
\par
En fait, si le phnomne du trempage des fluctuations initiales
semble assez naturel dans le contexte des collisions d'ions
lourds  haute nergie, l'hypothse selon laquelle le systme
est compltement thermalis  l'instant initial est loin d'tre
justifie  l'heure actuelle. En particulier, dans ces systmes de 
petite taille, les modes de grande longueur d'onde peuvent ne pas
avoir eu suffisamment de temps pour thermaliser, avant que le
phnomne d'instabilit spinodale ne se produise. On peut imaginer
que des corrlations, prsentes dans l'tat initial, soient
amplifies lors de l'volution hors d'quilibre ultrieure. En effet,
on s'attend, d'aprs les arguments de champ moyen,  ce que le phnomne
d'amplification par instabilit spinodale se produise pour une grande 
classe de conditions initiales\footnote{La principale restriction tant
   que les fluctuations initiales ne soient pas trop importantes, de faon
    ce que le systme puisse entrer dans la rgion d'instabilit.}.
Dans ce cas, le problme se ramne  celui, hautement non-trivial, de la 
construction d'un tat initial raliste, ce qui ncessite la description
des premiers instants de la collison\footnote{Le modle de la Rf.~\cite{Anomaly}
   est une possibilit intressante.}. 
\par
A l'inverse, si des corrlations taient prsentes dans l'tat initial,
elles pourraient ne pas survivre  la dynamique non-linaire. A nouveau,
l'tat final serait constitu d'une superposition incohrente de modes 
dsorients. Dans cette situation, pour mesurer de grandes 
fluctuations\footnote{Ces fluctuations sont le signal d'un tat semi-classique.}
de la fraction de pions neutres dans un bin donn, il est ncessaire
d'isoler aussi proprement que possible les modes individuels. Le volume 
du systme doit alors tre suffisamment grand pour que l'on ait une 
statistique satisfaisante, et suffisamment petit pour que deux modes 
voisins soient bien spars, la coupure infrarouge tant inversement 
proportionnelle  la taille du systme.

\subsection{Conclusion}

Nous avons montr que l'ide selon laquelle le mcanisme du trempage 
permet d'expliquer la formation d'un condensat chiral dsorient lors 
d'une collision d'ions lourds, ide trs largement rpandue, est incorrecte.
L'hypothtique structure d'isospin du DCC tel qu'il a t propose  l'origine, 
n'est pas gnre par la dynamique. Il n'existe  ce jour aucun modle
microscopique capable de dcrire la formation d'un DCC. C'est l le rsultat 
essentiel de ce chapitre. 
\par
D'un autre ct, il est possible que l'image originale du DCC soit par trop 
idalise. Son extrme oppos est celle d'une superposition incohrente 
des modes du champ de pion classique. Nous avons vu que la manifestation la 
plus frappante de ces ``ondes classiques d'isospin'' reste la largeur 
inhabituelle de la distribution de leurs fractions neutres individuelles.
\par
Pour aller plus loin, des dveloppements sont ncessaires,
notamment en ce qui concerne la description de l'tat initial, 
 moins que des donnes exprimentales ne viennent trancher
la situation.
\chapter{Equilibration thermique des gluons}
\label{QGP}

Un des enjeux principaux de l'tude des collisions nuclaires  haute
nergie est la possibilit de former un plasma de matire 
hadronique dconfine, c'est  dire un systme de quarks et de gluons en 
quilibre thermodynamique (local). Les donnes accumules durant les dix 
dernires annes  l'AGS (BNL) et au SPS (CERN) fournissent diverses
indications~\cite{QM99} en faveur de cette hypothse, mais il est encore 
difficile de parler de preuves. L'avnement des collisions  trs haute 
nergie, actuellement ralises  RHIC (BNL), et,  partir de 2005, au 
LHC (CERN), ouvre une nouvelle re dans ce domaine
de recherche. En particulier les collaborations PHENIX  RHIC et ALICE  LHC,
prvoient d'tudier les photons et les paires de leptons de grande
nergie transverse (jusqu' $p_t \sim 10$~GeV), qui sont des signatures 
directes de la matire dconfine~\cite{PHENIX,ALICE}. 
\par
Dans la rgion centrale d'une collision d'ions lourds  suffisament haute 
nergie, on s'attend  ce que la majeure partie de l'nergie transverse 
soit produite sous forme d'un grand nombre de partons de relativement 
grande impulsion transverse ($p_t \sim 1-2$~GeV). Cependant qu'il est 
rapidement dilu par la forte expansion longitudinale, le systme ainsi
produit tend  s'quilibrer localement du fait des interactions mutuelles 
entre ses constituants. Lorsque l'intervalle de temps moyen entre deux 
collisions successives devient suprieur au temps typique de formation 
d'un hadron, le systme de quarks et de gluons cesse d'exister en tant 
que tel et laisse place  un gaz de hadrons en interaction. C'est une 
question d'importance considrable pour l'interprtation prochaine des 
donnes que de savoir si le systme de partons initialement produits 
a le temps d'atteindre un tat d'quilibre local avant la phase 
hadronique. En effet, jusqu' prsent les calculs thoriques concernant 
les signatures de la matire dconfine reposent sur 
l'hypothse selon laquelle celle-ci est en quilibre thermique local. 

\section*{Vers l'quilibre local}

Une premire tude du processus d'quilibration thermique dans les
premiers instants de la collision a t faite par G.~Baym en 1984~\cite{Baym}.
Dans cet article, l'auteur suppose que l'volution du systme de partons
est gouverne par une quation de Boltzmann qu'il modlise par une 
approximation de temps de relaxation o le temps de relaxation $\theta$
est constant. Baym montre alors de faon analytique que malgr l'effet
de l'expansion, le systme atteint effectivement le rgime hydrodynamique 
de Bjorken~\cite{Bjor0}, sur une chelle de temps donne par $\theta$. 
Plus tard, diffrents travaux consacrs  l'tude des proprits de 
transport d'un plasma de quarks et de gluons (voir par 
exemple~\cite{BMPR,HeisPet}, voir aussi~\cite{LeBellac}), ont permis 
d'estimer l'chelle de temps caractrisant la relaxation cintique 
d'un tel systme. Le rsultat obtenu est typiquement de l'ordre de $1$~fm, 
ce qui donne  penser que l'quilibre thermique est rapidement atteint.
\par
Avec cette ide en tte, diffrents auteurs (voir en particulier~\cite{Biro}, 
et plus rcemment~\cite{Elliott}) tudient alors le processus d'quilibration
chimique dans les collisions d'ions lourds. Le systme, en expansion 
longitudinale rapide est suppos localement isotrope  chaque instant
(quilibre thermique local), et des quations de transport
sont drives, qui dcrivent l'volution temporelle des variables macroscopiques
comme les densits moyennes d'nergie et de particules (gluons, quarks 
et antiquarks) par unit de volume. Ces quations sont rsolues numriquement
avec des conditions initiales directement tires de codes Monte Carlo
simulant la production de partons (minijets, voir plus loin) dans les 
tout premiers instants de la collision. Les conclusions de ces tudes 
sont que le systme n'atteint pas l'quilibre chimique, les densits de 
quarks et de gluons sont infrieures  leurs valeurs  l'quilibre. 
Ceci a des implications importantes pour la phnomnologie, ainsi
que pour la thorie : d'une part il faut tenir compte de l'aspect
``hors d'quilibre chimique'' dans les calculs d'observables~\cite{BDRS,SMM}, 
d'autre part il est ncessaire de bien dcrire l'volution du systme 
pour faire des prdictions viables, ce qui implique une bonne connaissance
des processus d'quilibration (ici chimique), ainsi qu'une bonne description
de l'tat initial.
\par
Au milieu des annes 1990, certains auteurs rexaminent le problme de 
la thermalisation dans le mme cadre que l'tude de Baym, mais en 
faisant l'hypothse plus raliste d'un temps de relaxation dpendant du 
temps~\cite{HeisWang1,HeisWang2,Wong}. En effet, du fait de la forte 
expansion, le systme est rapidement dilu, et les collisions sont de plus 
en plus rares, il est donc naturel que l'chelle caractrisant la 
relaxation vers l'quilibre croisse avec le temps\footnote{Par exemple, 
   au voisinnage de l'quilibre local, la seule quantit dimensionne est 
   la temprature locale $T$, et le temps de relaxation est donc inversement
   proportionnel  $T$. Cependant, pour un systme en expansion longitudinale 
   dans le rgime hydrodynamique, $T \propto t^{-1/3}$~\cite{Bjor0}, et donc 
   $\theta \propto t^{1/3}$.}.
Dans ces conditions, il n'est pas clair que l'quilibre puisse tre atteint,
le point clef rside dans la comptition entre les effets respectifs de 
l'expansion et des collisions. Par exemple, dans un modle o $\theta \propto t^p$,
le systme n'atteint jamais le rgime hydrodynamique si $p>1$~\cite{HeisWang2}.
Dans un modle plus raliste, le temps de relaxation  l'instant $t$ dpend de 
l'tat du systme  l'instant $t$ qui dpend lui-mme de la valeur du temps
de relaxation  l'instant antcdent, et ainsi de suite. Contrairement au 
cas tudi par Baym, o le temps d'quilibration est essentiellement donn 
par le temps de relaxation (constant), lui-mme dtermin par la nature 
intrinsque du systme tudi, dans le cas o le temps de relaxation 
dpend de l'histoire du systme, le temps {\em effectif} d'quilibration
dpend en plus d'un aspect extrinsque : la condition initiale. 
Pour estimer la dure du rgime transitoire il est donc ncessaire de
suivre l'volution du systme  partir d'une condition initiale donne.
Dans le cas des collisions d'ions lourds, qui nous intresse ici, cela
signifie que l'on doit avoir une description raliste de l'tat initial
du systme de partons ainsi que des processus qui gouvernent son volution
ultrieure. 

\section*{Production de gluons dans les premiers instants de 
la collision : le problme de la condition initiale.}

Le problme de la caractrisation de l'tat initial du systme de gluons
produits lors d'une collision d'ions lourds ultra-relativistes est trs
dlicat et constitue un domaine de recherche en soi. Deux scnarios ont 
t proposs dans la littrature : le scnario des minijets et le scnario 
de saturation. Dans ce qui suit nous les dcrivons de manire trs 
schmatique, notre but tant de donner une image intuitive de ces scnarios.

Plaons-nous dans le rfrentiel du centre de masse de la collision. 
Avant l'impact, chacun des noyaux
incidents peut tre vu comme un disque trs aplati dans la direction 
de son mouvement,  l'intrieur duquel sont confins les quarks de 
valence des nuclons, et avec lequel se dplace un ``nuage'' de partons 
virtuels : les quarks de la mer et les gluons, les plus nombreux tant 
ceux dont l'impulsion longitudinale est trs faible compare  celle 
des noyaux incidents (la fraction $x$ d'impulsion longitudinale emporte 
par le parton est~$\ll 1$). Au moment de la collision, les deux noyaux se 
traversent l'un l'autre, et les partons de leurs nuages partoniques 
respectifs interagissent les uns avec les autres. Du fait de ces 
interactions, certains de ces partons virtuels (mais quasi-rels) sont 
``projets'' sur leur couche de masse, on dit qu'ils 
sont ``librs'' lors de la collision : ils ne font plus partie intgrante 
des noyaux qui les ``transportaient'' initialement. Un grand nombre de 
partons rels d'impulsion transverse $p_t$ sont ainsi produits pendant 
un intervalle de temps $\sim 1/p_t$, qui est aussi l'chelle de 
temps typique pour que les partons d'impulsions longitudinales diffrentes 
se sparent physiquement les uns des autres~\cite{MB,AHM1}. 

\subsection*{Le scnario des minijets}

Si l'impulsion typique du parton produit est suffisamment grande devant
l'chelle typique des interactions fortes ($p_t \gg \Lambda_{QCD} \sim 200$~MeV),
le processus de production relve du rgime perturbatif ($\alpha_S (p_t) \ll 1$), 
o le taux de production peut tre calcul de faon contrle
(voir Fig.~\ref{fig_minijet}). La section efficace de production
dcroissant comme $1/p_t^4$ (voir par exemple~\cite{Eskola}), la 
contribution dominante  l'nergie transverse initialement produite 
vient des gluons d'nergie intermdiaire (suffisamment faible pour 
que la probabilit de production soit considrable, et suffisamment 
grande pour que le calcul perturbatif ait un sens), $p_t \sim 1-2$~GeV : 
les minijets~\cite{KLL,MB,Eskola}.


\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{MINIJET.eps}}
\caption{\small Diffusion lastique entre deux partons des noyaux incidents
lors d'une collision nuclaire  haute nergie. Le taux de production 
perturbatif est domin par les partons d'impulsion 
$p_t \sim 1-2$~GeV, les minijets.} 
\label{fig_minijet}
\end{figure}

\subsection*{Le scnario de saturation}

Le scnario de saturation propose une origine diffrente pour la production
initiale d'nergie transverse. Dans les noyaux incidents, la densit de gluons 
de petit $x$ par unit d'espace des phases transverse $\frac{dN}{d^2b d^2 p_t}$, 
o $\vec b$ mesure la position dans le plan transverse, augmente quand
$p_t$ diminue, et atteint un maximum pour des impulsions transverses 
$p_t \lesssim Q_s$, o $Q_s$ est l'impulsion de
saturation~\cite{Musat1,Musat2,McLsat}. 
Les gluons de faible impulsion transverse tant donc en trs grand nombre, 
on s'attend  ce que leur contribution  la production d'nergie transverse 
soit non-ngligeable. Cependant, le calcul perturbatif n'a pas de sens dans 
ce cas, et il n'existe  ce jour aucun calcul solide du taux de production 
de ces gluons. On peut cependant se faire un image du processus de production : 
les gluons considrs ici tant trs nombreux, on peut les voir comme formant 
un champ classique\footnote{Exactement comme nous l'avons
   fait pour le champ de pions dans le chapitre prcdent.} gnr par les 
quarks de valence des nuclons, en mouvement rapide dans le rfrentiel
considr : c'est l'quivalent non-ablien du champ de
Weizscker-Williams~\cite{McLVen}. Dans cette image, la collision nuclaire est 
vue comme une ``collision'' entre les champs associs  chacun des noyaux 
incidents. Sur la Fig.~\ref{fig_saturation}, on a reprsent trs schmatiquement 
cette collision : un gluon virtuel d'un des noyaux est libr (projet 
sur couche de masse) par interaction avec le champ classique de l'autre 
noyau. En pratique, on peut dcrire cette collision en rsolvant 
(numriquement) les quation de champ classique~\cite{KraVent,KraVenc}. 
On peut se convaincre avec A.~H.~Mueller~\cite{AHM1}, que la majorit des 
gluons librs sont ceux dont l'impulsion $p_t \sim Q_s$, et ce durant un 
intervalle de temps $\sim 1/Q_s$. La valeur de l'impulsion de saturation 
$Q_s$ dpend de la fraction $x$ d'impulsion longitudinale des gluons 
considrs, et donc de l'nergie de la collision. Aux nergies de RHIC 
($\sqrt s = 200$~AGeV), $Q_s \approx 1$~GeV, et  LHC ($\sqrt s = 5.5$~ATeV), 
$Q_s \approx 2-3$~GeV.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{SATURATION.eps}}
\caption{\small Dans le scnario de saturation, les gluons virtuels de 
petite impulsion transverse des noyaux incidents peuvent tre vus comme 
un champ classique de couleur associ aux quarks de valence en mouvement 
rapide. Dans la reprsentation schmatique de la collision, ci-dessus, on 
suit un gluon du champ du noyau provenant de la gauche. Celui-ci est 
libr lors de la collision, en interagissant avec l'ensemble des gluons 
de l'autre noyau, c'est  dire avec le champ classique associ.} 
\label{fig_saturation}
\end{figure}

Dans ces deux scnarios la contribution dominante  la production initiale
d'nergie transverse provient des partons dont l'impulsion transverse est
de l'ordre de $1-2$~GeV. Cependant, l'origine de ces partons
est trs diffrente dans les deux cas, ce qui conduit  des prdictions 
trs diffrentes pour l'tat initial du systme. La Fig.~\ref{fig_gluon}, 
o on a reprsent schmatiquement la densit de gluons produits par unit 
d'espace des phases transverse, rsume ces deux scnarios. 

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{GLUON.eps}}
\caption{\small Les densits de gluons produits par unit d'espace des phases 
transverse dans les scnarios de saturation et des minijets. Dans les deux
cas la rgion qui domine la production d'nergie transverse est la mme : 
ce sint les gluons d'impulsion transverse $p_t \sim 1-2$~GeV. L'origine de
ces gluons est cependant trs diffrente dans les deux cas, ce qui conduit
 des prdictions diffrentes pour l'tat initial du systme.} 
\label{fig_gluon}
\end{figure}

Rcemment, les auteurs des Rfs.~\cite{AHM1,AHM2,Raju} d'une part 
et~\cite{Dumitru} d'autre part ont tudi, indpendamment et dans 
des approches diffrentes, la question de la thermalisation du gaz de 
gluons respectivement dans les scnarios de saturation et des minijets.
Dans~\cite{AHM1,AHM2}, A.~H.~Mueller considre l'effet des collisions 
lastiques dans l'approximation des petites dviations. En supposant 
une forme idalise pour la distribution initiale des gluons, il est 
capable de suivre analytiquement l'volution du systme durant les 
premiers instants de la collision. Bien que ses approximations ne lui 
permettent pas de suivre le gaz de gluons jusqu' l'quilibre, il
semble que le processus d'quilibration commence trs tt. Dans la 
Rf.~\cite{Raju}, J.~Bjoraker et R.~Venugopalan reprennent ce modle
et rsolvent numriquement l'quation de Boltzmann propose par Mueller.
Il apparait clairement que le systme tend vers l'quilibre malgr l'expansion.
En comparant la dpendance en temps de diffrentes quantits macroscopiques
(temprature et densit d'entropie par unit de volume) avec celle attendue
dans le rgime hydrodynamique, ces auteurs mesurent des temps d'quilibration 
de l'ordre de $3-4$~fm  RHIC et $2-3$~fm  LHC. Paralllement, G.~C.~Nayak, A.~Dumitru, L.~Mc~Lerran et W.~Greiner~\cite{Dumitru} tudient la thermalisation 
du gaz de minijets dans une approximation de temps de relaxation et concluent 
 l'quilibration avec des temps caractristiques de l'ordre de $4-5$~fm aussi 
bien aux nergies de RHIC que de LHC. 
\par
Les approches utilises dans~\cite{Raju} d'une part et dans~\cite{Dumitru}
d'autre part sont cependant trs diffrentes, et il est difficile de comparer
ces rsultats les uns avec les autres. En particulier les auteurs 
de~\cite{Dumitru} identifient le temps de relaxation avec le libre parcours
moyen, et il n'est pas clair que la dynamique qui rsulte de cette hypothse
arbitraire soit directement relie  l'quation de Boltzmann rsolue 
dans~\cite{Raju}.Dans ce chapitre, nous reprenons l'tude de la thermalisation 
du gaz de gluons et comparons les scnarios de saturation et
des minijets dans une seule et mme approche. Suivant Mueller~\cite{AHM2},
nous considrons l'effet des collisions lastiques dans la limite des petites
dviations (voir l'Annexe~\ref{landaucoll}). Nous traitons le terme de collision
de l'quation de Boltzmann correspondante dans l'approximation du temps de 
relaxation et calculons le temps de relaxation de faon auto-cohrente 
en faisant directement intervenir la dynamique de l'quation de Boltzmann 
sous-jacente (voir aussi~\cite{HeisWang1,HeisWang2,Wong}). Dans le cas de 
l'intgrale de collision de Landau-Mueller, nous sommes capables de calculer
analytiquement toutes les intgrales sur l'espace des impulsions, ce qui
diminue considrablement l'effort numrique  fournir. En comparant nos 
rsultats avec la solution exacte de~\cite{Raju}, on peut tester notre 
approche, qui s'avre tre remarquablement bonne compte tenu de son
degr de simplicit. 
\par
Nous arguons que le critre utilis dans~\cite{Raju} pour caractriser 
l'quilibre n'est pas satisfaisant et proposons plutt de tester le degr
d'isotropie de diffrentes observables, critre plus intuitif d'une part
et plus directement reli  la phnomnologie d'autre part. En consquence,
nos conclusions sont qualitativement diffrentes de celles de~\cite{Raju},
en particulier nous montrons qu'aux nergies de RHIC les collisions 
lastiques ne sont pas suffisantes pour permettre au systme d'atteindre 
l'quilibre thermique avant la phase hadronique. En ce qui concerne le
scnario des minijets, nous arguons que les rsultats de~\cite{Dumitru} 
ne sont pas crdibles, les auteurs n'ayant pas correctement implment les 
lois de conservation. Ici encore, nous montrons que l'quilibre n'est pas
atteint  RHIC.
\par
De mme que dans les chapitres prcdents, nous tenterons de mettre en avant
les ides physiques, les dtails techniques tant relgus en Annexe. Le 
travail prsent dans ce chapitre a t ralis en collaboration avec 
Dominique Schiff~\cite{DSJS}.



\newpage
\section{Le modle}

Considrons une collision entre deux noyaux lourds  trs haute nergie.
Pour fixer les ides, choisissons deux noyaux
identiques, sphriques de rayon $R$. 
Dans le rfrentiel du centre de masse, du fait 
de la contraction de Lorentz, chacun de ces noyaux a l'aspect d'une galette
de rayon $R$ et d'paisseur $l = R \sqrt{1-\beta^2}$ dans la direction
$z$ de l'axe de la collision, o $\beta \leq 1$ est la vitesse du noyau en 
unit de la vitesse de la lumire. Dans une collision  trs haute nergie,
on peut modliser les deux noyaux incidents par deux disques infiniment plats
($\beta \simeq 1$, $l \simeq 0$) et de rayon infini\footnote{A l'instant  
   de l'impact ($t=0$), toute l'nergie de la collision est localise dans 
   une rgion de taille longitudinale nulle. Cette nergie tant finie, la 
   rgion en question doit avoir une extension transverse infinie~\cite{BK1}. 
   Cette idalisation est raisonnable dans la rgion centrale de la collision
   ($z \simeq 0$, $\|\vec x_t \| \ll R$, o $\vec x_t$ repre la position
   dans le plan transverse  l'axe de la collision) et pour des 
   temps au moins infrieurs  la taille transverse du systme : $t \lesssim R$.}
Aprs la collision, la matire baryonique tant  trs peu ralentie~\cite{CYWONG},
les deux disques, qui s'loignent maintenant l'un de l'autre avec des vitesses
proches de celle de la lumire, laissent derrire eux une rgion de matire
non-baryonique hautement excite. Nous adopterons l'idalisation de
Bjorken~\cite{Heis,Bjor0}, o les deux disques s'loignent  la vitesse de 
la lumire. Le problme est alors invariant sous les transformations de 
Lorentz suivant l'axe de la collision.
\par
Nous considrerons ici des collisions  trs haute nergie (RHIC,LHC),
et nous supposerons que la constante de couplage des interactions fortes
$\alpha_S \ll 1$.
Durant les tous premiers instants aprs l'impact, un grand nombre de 
partons, essentiellement des gluons, sont produits.
L'expansion dilue trs rapidement le systme, et les nombres d'occupation
(les densits de partons par unit d'espace des phases : 
$f \propto d^6N/d^3p \, d^3x$)
deviennent rapidement infrieurs  l'unit\footnote{On peut se convaincre 
   que la description en termes d'une quation de Boltzmann est valable 
   ds que $f \lesssim 1/\alpha_S$. Quand $f \lesssim 1$, on peut
   ngliger les effets de statistique quantique.}. 
On peut alors traiter le systme
comme un gaz de particules 
classiques\footnote{Par opposition  l'approximation de {\em champ classique},
   valide quand les nombres d'occupation sont grands devant l'unit.},
et dcrire le taux de variation par unit de temps de la distribution $f$ 
par une quation de Boltzmann : 
\eq
 \frac{\dd f}{\dd t} = \mathcal C [f] \, ,
\eq
o le membre de gauche dsigne la variation due au mouvement libre des
particules du gaz : en l'absence de champ externe, $\frac{\dd f}{\dd t} = 
\p_t f(\vec p,\vec x,t) + \vec v \cdot \vec \nabla_x f(\vec p,\vec x,t)$, avec
$\vec v = \vec p/p$. Le membre de droite dcrit l'effet des collisions entre
les particules du gaz. 
\par
La distribution $f(\vec p,\vec x,t)$ dcrit la 
densit de gluons {\em rels} (sur couche de masse : $P^2=0$) par unit d'espace 
des phases  l'instant $t$, et dpend en gnral de l'tat de couleur des 
gluons considrs. Ici, nous cherchons  dcrire la relaxation
vers l'quilibre cintique (local), c'est  dire de relaxation vers une
distribution (localement) isotrope. L'chelle de temps caractristique 
de ce processus tant grande devant celle du processus de relaxation de 
couleur\footnote{Au voisinage de l'quilibre, les chelles
   de temps caractristiques des processus de relaxation de couleur et de
   relaxation cintique sont bien spares : $\tau_{couleur}^{-1} \sim
   \tau_{cin\acute{e}tique}^{-1}/\alpha_S$, la premire, tant beaucoup plus
   sensible  la physique de grande longueur d'onde (voir par 
   exemple~\cite{BIancu}).}, 
on peut ngliger ce dernier sur les chelles de temps qui nous intressent.
Bien que la drivation du terme de collision que nous allons utiliser repose
sur l'hypothse d'une distribution individuelle {\em indpendante} de la 
couleur, l'quation de Boltzmann obtenue doit tre vue comme une quation 
effective pour les chelles de temps caractristiques de la relaxation
cintique. Dans cette logique la distribution $f$ s'interprte comme
une distribution {\em moyenne} sur les tats de couleur (et de polarisation).
\par
Mentionnons de plus que la description en terme d'une quation de Boltzmann
``standard'' n'a de sens que si le temps moyen entre deux collisions 
(le libre parcours moyen $\bar l$) successives est suffisamment grand 
devant la longueur d'onde des particules considres $\ell \sim 1/p$.
L'chelle typique d'impulsion des gluons dcrits ici\footnote{Les excitations
   de grande longueur d'onde ($\ell \gg 1/\bar\epsilon$, o $\bar\epsilon$
   est l'nergie moyenne par particule) sont des modes collectifs (ils
   ``contiennent'' un grand nombre d'excitations dures 
   ($\ell \sim 1/\bar\epsilon$)) et agissent comme un champ externe classique
   (qui n'est autre que le champ moyen cr par le mouvement des particules
   dures) sur la dynamique des modes durs~(voir par exemple~\cite{BIancu}).
   Dans ce chapitre, nous ngligeons ce champ externe.} 
est donc $p \gtrsim {\bar l}^{-1}$.
\par
Du fait de la gomtrie du problme, la physique est invariante sous les
transformations de Lorentz le long de l'axe $z$ de la 
collision~\cite{Baym}\footnote{L'chelle caractrisant les inhomognits
   spatiales dans la direction transverse est $\sim R$. Dans la rgion 
   centrale on peut donc ngliger la dpendance en $\vec x_t$ de la 
   distribution $f$. De plus, par symtrie, $f$ ne dpend que de 
   $p_t=\| \vec p_t \|$ et est paire en $p_z$.}
\eq
 f(\vec p_t,p_z,z,t) \equiv f(\vec p_t,\tilde p_z,\tau) \, ,
\eq
o $\tau=\sqrt{t^2-z^2}$ et $\tilde p_z = \gamma (p_z - u \, p)$, avec 
$p^2 = p_t^2 + p_z^2$, $u=z/t$ et $\gamma = (1-u^2)^{-1/2}=t/\tau$. 
Il suffit donc de se limiter  la tranche $z=0$. Il est facile de voir que
\eq
 \left. \frac{\dd f}{\dd t} \right|_{z=0} = 
 \p_t f(\vec p,t) - \frac{p_z}{t} \, \p_{p_z} f(\vec p,t) = 
 \left. \p_t f(\vec p,t) \right|_{p_zt=cte} \, .
\eq
En ce qui concerne le terme de collision de l'quation de Boltzmann, nous 
nous limiterons, comme nous l'avons mentionn dans l'introduction, aux 
collisions lastiques entre gluons. La section efficace diffrentielle de 
diffusion $gg \rightarrow gg$ est fortement pique vers l'avant, et
diverge pour les diffusion  trs petit angle de dviation, exactement
comme dans le cas de la diffusion entre particules charges : c'est la 
divergence de Rutherford due  la porte infinie de l'interaction 
(l'change d'un quantum de masse nulle). Les collisions  petite dviation 
tant les plus frquentes, elles dominent la dynamique et nous ne retiendrons 
que leur contribution  l'intgrale de collision. En dveloppant l'intgrand 
autour des petites valeurs de l'angle de dviation~\cite{AHM2,LanLif} (voir 
aussi l'Annexe~\ref{landaucoll}), la premire contribution non nulle est gale 
 la divergence du flux de particules dans l'espace des impulsions : l'effet des 
collisions lastiques  petite dviation est quivalent  un processus 
diffusif dans l'espace des impulsions. En explicitant ce terme, on obtient, 
dans la rgion centrale ($z=0$) et dans l'approximation de particules 
classiques ($f \ll 1$) (cf. Eq.~(\ref{Boltzcl})),
\beq
\label{BE}
 \left. \p_t f \right|_{p_zt} = 
 \mathcal B \, N_0 \nabla_p^2 f + 
 2 \mathcal B N_{-1} \vec\nabla_p (\vec v \, f) \, ,
\end{equation}\noindent
o l'on a dfini les moments\footnote{Nous introduisons ici une notation
   diffrente de celle habituellement utilise dans la littrature :
   $\langle m \rangle = \int d^3p \, m (\vec p) \, f(\vec p,t)$
   dsigne la moyenne par unit de volume et 
   $\overline{\langle m \rangle} = \langle m \rangle / n$
   la moyenne par particule ($n=\langle 1 \rangle$ est la densit moyenne 
   de particules par unit de volume).} 
($\int_{\vec p} \, \equiv \, 2(N_c^2-1) \int d^3p/(2\pi)^3$)
\beq
\label{Ns}
 N_s(t)= \langle p^s \rangle = \int_{\vec p} \, p^s \, f(\vec p,t)
\end{equation}\noindent
 ($N_0 = n$ est la densit moyenne de particules par unit de volume, 
$N_1 = \epsilon$ est la densit moyenne d'nergie par unit de volume).
La divergence de Rutherford de la section efficace de diffusion gluon-gluon
se manifeste\footnote{Les tout premiers termes du dveloppement dans 
   l'angle de dviation $\theta$ donnent, en principe, des contributions 
   plus singulires. Cependant, ces termes sont nuls dans le cas d'une
   distribution indpendante des degrs de libert de couleur. C'est l
   l'origine de la hirarchie des chelles de temps caractrisant les 
   processus de relaxation de couleur et cintique. Cette dernire est 
   en fait sensible  la physique de l'crantage (chromo-)~lectrique, 
   c'est  dire aux chelles de distance de l'ordre de la longueur de 
   Debye (voir Eq.~(\ref{logdiv1})).} 
par la prsence du ``grand logarithme'' $L=2 \int d\theta/\theta$ : 
\eq
 \mathcal B = \pi \alpha_S^2 \frac{N_c^2}{N_c^2-1} \, L \, ,
\eq
Cette divergence logarithmique est rgularise par le phnomne d'crantage
de Debye :
\beq
\label{logdiv1}
 L = \ln \left( \frac{\underline p^2}{m_D^2}\right) \, ,
\end{equation}
o $m_D$ est la masse d'cran de Debye, et o $\underline p$ dsigne 
l'ordre de grandeur de l'impulsion typique des particules du milieu 
($m_D^2 \ll \underline{p}$) (voir les Eqs.(\ref{minangle}) et (\ref{logdiv0}) 
de l'Annexe~\ref{landaucoll}).

\subsection{Lois de conservation}

Dans la rgion centrale, le tenseur nergie-impulsion s'crit
\eq
 T^{\mu\nu} = \langle \, \frac{p^\mu p^\nu}{p} \, \rangle =
 \int_{\vec p} \, \frac{p^\mu p^\nu}{p} \, f(\vec p,t) \equiv
 \mbox{diag} (\epsilon,P_T,P_T,P_L) \, ,
\eq
et est diagonal, du fait de la symtrie du problme ($f(\vec p,z=0,t) = 
f(-\vec p,z=0,t)$). Ses composantes reprsentent respectivement les
densits moyennes d'nergie et de pression (transverse et longitudinale) 
dans la rgion centrale  l'instant $t$ : 
\eq
 \epsilon (t) = \langle \, p \, \rangle  = N_1 (t) \, \, \, , \, \, \,
 P_{T,L} (t) = \langle \, p_{\perp,z}^2/p \, \rangle  \, ,
\eq
o $p_\perp^2 = p_t^2/2 = (p_x^2 + p_y^2)/2$. Les particules du milieu
tant de masse nulle (${T^\mu}_\mu = 0$), on a $\epsilon = P_L + 2P_T$.
\par
Les lois de conservation de l'impulsion et du moment angulaire sont trivialement 
satisfaites par symtrie. L'nergie tant conserve dans les collisions 
individuelles, le taux de variation par unit de temps de la densit d'nergie
induit par les collisions est nul :
\eq
 \int_{\vec p} \, p \, \, \mathcal C [f] (\vec p,t) = 0 \, .
\eq
On en dduit l'quation d'volution de la densit d'nergie 
($\dot\epsilon =\p_t \epsilon$) : 
\beq
\label{consen}
 \dot\epsilon + \frac{\epsilon + P_L}{t} = 0 \, .
\end{equation}
De plus, il est clair que les collisions lastiques conservent le nombre total
de particules, ce qui implique que le taux de variation collisionnel de la
densit moyenne de particules est nul. On a donc l'quation 
($n (t) = \langle 1 \rangle = N_0 (t)$)
\eq
 \dot n + \frac{n}{t} = \int_{\vec p} \mathcal C [f] (\vec p,t) = 0 \, ,
\eq
dont la solution est
\beq
\label{consnb}
 n(t) = n(t_0) \frac{t_0}{t} \, .
\end{equation}
\par 
Remarquons que ces deux quations, ne faisant pas intervenir le terme
de collision, gardent la mme forme quelles que soient les approximation 
faites sur ce dernier.

\subsection{Expansion .{\it vs}. Collisions}
\label{page_disc}

Partant d'une condition initiale donne, c'est  dire d'une distribution
initiale $f_0(\vec p)$, l'volution du systme est gouverne par la 
comptition entre deux phnomnes : d'un cot ( gauche dans l'Eq.~(\ref{BE}))
l'expansion, de l'autre les collisions.
\par
L'expansion longitudinale rapide du systme tend  rendre la distribution 
fortement anisotrope :  impulsion $(\vec p_t,p_z)$ donne, le nombre moyen 
de particules qui quittent la rgion centrale librement (c'est  dire par 
leur mouvement propre, sans l'aide des collisions) est suprieur au nombre 
de particules qui y pnetrent de la mme manire, et ceci d'autant plus que 
l'impulsion longitudinale considre est grande. L'expansion a donc tendance 
 ``vider'' la rgion centrale de son impulsion longitudinale.
\par
L'effet des collisions est, schmatiquement, de crer des particules 
d'impulsions diverses, d'orientations alatoires et tend donc,  l'inverse
de l'expansion,  rendre la distribution isotrope (dans la rgion centrale). 
Dans l'approximation des petites dviations, il s'agit d'un processus diffusif 
dans l'espace des impulsions~\cite{LanLif} (voir la discussion plus haut, 
ainsi que l'Annexe~\ref{landaucoll}) : de la mme manire qu'un gaz tend, 
par diffusion,  remplir l'espace (des configurations) de manire isotrope 
par diffusion, on a ici un gaz qui se diffuse dans l'espace des impulsions, 
et tend  occuper celui-ci de manire isotrope. 
\par
Il est clair que les influences respectives de chacun de ces effets sur 
l'volution du systme dpend de l'tat initial de celui-ci. L'objet
de ce chapitre est prcisment l'tude de cette comptition pour 
diffrentes conditions initiales. A cette fin, il est instructif de 
caractriser les deux rgimes limites correspondant chacun  la 
victoire d'un effet sur l'autre.

\subsubsection{Le cas libre}

Dans le cas o l'influence des collisions est compltement insignifiante
devant celle de l'expansion, on peut ngliger le membre de droite
de l'quation de Boltzmann, ce qui est formellement quivalent au 
cas o les particules du gaz sont libres ($\alpha_S=0$) : 
\eq
 \left. \p_t f_{libre}(\vec p,t) \right|_{p_zt} = 0 \, .
\eq
ou encore
\beq
\label{streaming}
 f_{libre} (\vec p,t) = f_0 (\vec p_t,p_z\frac{t}{t_0}) \, .
\end{equation}\noindent
La distribution devient rapidement $\sim \delta(p_z)$, on voit par exemple 
que $\langle p_z^2 \rangle / \langle p_t^2 \rangle \sim 1/t^2$. 

\subsubsection{Le rgime hydrodynamique}

La situation  l'extrme oppos est celle o l'effet des collisions
est suffisament fort pour maintenir l'isotropie  chaque instant. 
Dans ce cas, c'est le terme de gauche de l'Eq.~(\ref{BE}) qui est
ngligeable et la forme de la distribution est dtermine par l'quation
\beq
\label{hydroeq}
 \mathcal C [f_{eq}] = 0 \, .
\end{equation}\noindent
La solution isotrope la plus gnrale est de la forme
\beq
\label{disteq}
 f_{eq} (\vec p,t) = \lambda (t) \, \mbox{e}^{-p/T(t)} \, ,
\end{equation}\noindent
o les fonctions du temps $\lambda (t)$ et $T (t)$ (fugacit et temprature 
locales) sont dtermines par les quations de conservation qui, ne faisant
pas intervenir le terme de collision, gardent leurs formes respectives 
(\ref{consen}) et (\ref{consnb}) dans la limite (\ref{hydroeq}). 
On a ($P_L = P_T = \epsilon/3$)
\eq
 \epsilon \sim \lambda \, T^4 \sim t^{-4/3} \, \, \, , \, \, \,
 n \sim \lambda \, T^3 \sim t^{-1} \, ,
\eq
d'o on dduit, pour la fugacit et la temprature dans le rgime 
hydrodynamique,
\beq
\label{hydro}
 \lambda_{hydro} \sim \mbox{cte} \, \, \, , \, \, \, T_{hydro} \sim t^{-1/3} \, .
\end{equation} 
 
Sur une chelle de temps $\Delta t \ll \theta_{relax}$, o $\theta_{relax}$ 
est l'chelle de temps caractrisant le processus de relaxation vers l'quilibre 
local, la dynamique est celle du rgime libre. A l'inverse, sur des chelles 
de temps $\Delta t \gg \theta_{relax}$, la dynamique est dcrite par le rgime
hydrodynamique. Enfin, pour des chelles de temps intermdiaires 
$\Delta t \sim \theta_{relax}$, le systme est dans un rgime transitoire,
la dynamique est dcrite par l'Eq.~(\ref{BE}). Dans la suite, l'chelle
de temps  laquelle on s'intresse est donne par la dure de vie du systme
de partons, lequel cesse d'exister en tant que tel quand la densit d'nergie
moyenne par unit de volume devient infrieure  la densit critique
$\epsilon_c \sim 1$GeV/fm$^3$. La question est de savoir si le systme 
atteint le rgime hydrodynamique avant la fin du temps qui lui est imparti.
Autrement dit, nous voulons savoir comment se compare la dure du rgime
transitoire avec la dure de vie. 
\par
Dans une situation statique, l'ordre de grandeur de la dure du rgime 
transitoire est simplement donn par $\theta_{relax}$. Dans le cas prsent
cependant, la question pose est moins triviale qu'elle n'en a l'air. 
En effet, du fait de l'expansion, le nombre de particules par unit de volume
diminue et les collisions sont donc de moins en moins frquentes. Autrement
dit, l'chelle de temps $\theta_{relax}$ augmente avec le temps : le systme
approche de l'quilibre local de plus en plus lentement  mesure que le temps
passe. La dure du rgime transitoire ``effectif'' dpend donc de l'histoire 
du systme (et donc aussi de son tat initial) et ne peut tre obtenue 
qu'en suivant son volution au cours du temps, c'est  dire en rsolvant 
l'quation de Boltzmann~(\ref{BE}).

\section{L'approximation du temps de relaxation}

La rsolution numrique de l'Eq.~(\ref{BE})~\cite{Raju} s'avre relativement 
lourde en regard de la question pose, essentiellement qualitative (le modle 
trs simple, dcrit prcdemment, ne peut tre crdible au niveau quantitatif). 
Pour cette raison, nous allons encore simplifier la dynamique en remplaant 
le terme de collision par un terme linaire dans la diffrence $f-f_{eq}$. 
Autrement dit, nous modlisons l'effet des collisions sur le taux de variation 
de la distribution $f$ par unit de temps par un terme de relaxation 
exponentielle sur une chelle de temps $\theta$ : le temps 
de relaxation (voir par exemple~\cite{Baym}) : 
\beq
\label{RTA}
 \left. \p_t f(\vec p,t) \right|_{p_zt} = 
 - \frac{f(\vec p,t)-f_{eq}(\vec p,t)}{\theta(t)} \, ,
\end{equation}\noindent
o (cf. Eq.~(\ref{disteq}))
\eq
 f_{eq} (\vec p,t) = \lambda (t) \, \mbox{e}^{-p/T(t)} \, ,
\eq
les fonctions du temps $\lambda$ et $T$ devant tre dtermine
 l'aide des lois de conservation\footnote{Comme nous l'avons vu plus haut,
   dans le cas o seules les collisions lastiques sont prises en compte,
   le nombre de particules est conserv. Il est alors ncessaire d'introduire
   le paramtre $\lambda$ pour prendre en compte cette loi de conservation, 
   ce qui a t omis par les auteurs de la Rf.~\cite{Dumitru}.}
 (\ref{consen})-(\ref{consnb}).
\par
L'approximation de temps de relaxation consiste  paramtriser 
la distribution $f$, solution de l'quation de Boltzmann,  l'aide
des trois quantit $\lambda (t)$, $T(t)$ et $\theta (t)$, et ce  chaque 
instant $t$. On ne doit pas s'attendre  ce que la distribution soit
bien dcrite par cette paramtrisation. Par exemple, dans cet ansatz
on voit que toutes les impulsions relaxent vers l'quilibre avec le 
mme taux, ce qui n'a {\it a priori} aucune raison d'tre le cas. 
En ce sens, l'approximation de relaxation est une sorte
d'approximation de champ moyen : les diffrentes impulsions sont effectivement
dcouples les unes des autres et relaxent toutes avec un mme taux moyen
que nous dterminerons dans la suite de faon auto-cohrente.

\subsection{La mthode des moments}

On peut calculer $\theta$ en identifiant le taux de variation collisionnel 
de certains moments de la distribution $f$ avec son analogue dans l'ansatz
(\ref{RTA}) (voir par exemple~\cite{HeisWang2,Wong}). Le temps de 
relaxation ainsi obtenu contient l'information concernant l'effet des 
collisions sur la dynamique. Nous appliquons ici cette mthode de manire
systmatique pour diffrents moments caractrisant diffrentes chelles 
d'impulsion. Le choix du moment le plus adquat dpend de la physique  
laquelle on s'intresse. Dans le cas du terme de collision de l'Eq.~(\ref{BE}), 
nous pourrons calculer analytiquement toutes les intgrales sur l'espace des
impulsions, ce qui simplifie considrablement la rsolution numrique.
\par
Prise au pied de la lettre, l'approximation du temps de relaxation consiste
 identifier le terme de collision de l'quation de Boltzmann avec le membre
de gauche de l'Eq~(\ref{RTA}) : 
\eq
 - \frac{f-f_{eq}}{\theta} \equiv \mathcal C[f] \, .
\eq
Cette quation, prise au sens fort, c'est  dire telle qu'elle est crite 
ci-dessus, pour tout $\vec p$, est trop contraignante et n'a pas de solution. 
On doit en fait la prendre dans un sens plus faible, en en prenant la valeur 
moyenne sur les impulsions avec un certain poids :
\beq
\label{momeq}
 - \frac{\langle m \rangle - \langle m \rangle_{eq}}{\theta_m} =
 \int_{\vec p} m(\vec p) \, \mathcal C[f] (\vec p,t) \, ,
\end{equation}\noindent
o 
\beq
\label{moment}
 \langle m \rangle_{(eq)} (t) = 
 \int_{\vec p} m(\vec p) \, f_{(eq)} (\vec p,t) 
\end{equation}\noindent
la fonction $m(\vec p)$ tant {\it a priori} quelconque, et o $\theta_m$ est 
le temps de relaxation correspondant. Nous voyons  encore une fois que
l'approximation du temps de relaxation (\ref{RTA}) n'est pas,  strictement 
parler, une approximation pour la dynamique microscopique, mais plutt 
une modlisation de la relaxation du systme dans sa globalit.
\par
Les quations de conservation conduisent aux relations\footnote{
   $\displaystyle
    N_s^{eq} (t) = \int_{\vec p} \, p^s \, f_{eq}(\vec p,t) =
    (s+2)! \, \frac{N_c^2-1}{\pi^2} \, \lambda(t) \, T^{s+3}(t) \, .
   $}
\bearn
\label{numb}
 n(t) & = & n_{eq} (t) = 
 2 \frac{N_c^2-1}{\pi^2} \, \lambda(t) \, T^3(t) \, , \\
\label{engy}
 \epsilon (t) & = & \epsilon_{eq} (t) = 
 6 \frac{N_c^2-1}{\pi^2} \, \lambda(t) \, T^4(t) \, .
\eearn
A ce point, il est important de faire la remarque suivante : les paramtres
$\lambda$ et $T$ n'ont pas, en gnral, les significations physiques de
la fugacit\footnote{On peut crire $\lambda = \exp (- \mu/T)$. A l'quilibre 
   (local), $\mu = \mu_{hydro}$ est le potentiel chimique (local).}
et de la temprature du systme, au sens thermodynamique (ou plutt
hydrodynamique dans notre cas) de ces termes. En effet, les notions de 
fugacit et de temprature (locales) ne sont bien dfinies que pour un 
systme  l'quilibre (local), auquel cas elles s'identifient avec les 
paramtres $\lambda$ et $T$ : $\lambda=\lambda_{hydro}$ et $T=T_{hydro}$.
% \par
% De faon gnrale, $T$ mesure l'nergie moyenne par particule 
% $\bar \epsilon = \epsilon/n = 3 \, T$. Ces dernires, essentiellement
% quantiques, ont donc une extension spatiale (longueur d'onde) 
% $\bar \ell \sim 1/\bar\epsilon$. La distance moyenne $\bar d$ qui
% les spare les unes des autres est telle que $n \sim 1/{\bar d}^3$.
% On voit donc que $\lambda$ mesure le rapport entre ces deux chelles
% de longueur caractristiques : $(\bar \ell / \bar d)^3 = 
% n/{\bar\epsilon}^3 \propto \lambda$. Les excitations du systme
% peuvent tre considres comme des particules classiques si
% leur fonctions d'onde ne se recouvrent pas, c'est  dire si
% $\bar \ell / \bar d \ll 1$. ce qui fait de $\lambda$ un estimateur
% de la validit de cette approximation : on doit avoir ($N_c=3$)
% \beq
% \label{classic}
%  \lambda \lesssim \, \frac{27}{2} \, \frac{\pi^2}{N_c^2 - 1} \sim 10 \, .
% \end{equation}\noindent
% Aprs ce petit appart, revenons  la mthode des moments et en particulier
%  la procdure de rsolution des quations iuhrgvoiuahoiu

\subsection{Procdure de rsolution}

Les paramtres inconnus $\theta$, $\lambda$ et $T$ sont obtenus,  chaque instant,
 partir des Eqs. (\ref{momeq}), (\ref{numb}) et (\ref{engy}). Illustrons la
procdure de rsolution sur un exemple simple : 
\eq
 m (\vec p) = p_z^2 - p_\perp^2 \, ,
\eq
o $p_\perp^2 = p_t^2/2$.
On a donc $\langle m \rangle_{eq} = 0$, et, aprs quelques intgrations
par parties, on obtient, pour l'Eq.~(\ref{momeq}),
\beq
\label{Mexple}
 \frac{\langle p_z^2 - p_\perp^2 \rangle}{\theta} = 
 4 \mathcal B \, N_{-1} \, (P_L - P_T) \, .
\end{equation}\noindent
Il nous faut donc calculer les quantits (nous laissons de ct le
calcul de $\mathcal B$ pour le moment) $\langle p_z^2 - p_t^2/2 \rangle$,
$N_{-1}$, $P_L - P_T$, et $\epsilon$  chaque instant $t$. Pour ce faire, 
nous crivons la solution formelle de l'Eq.~(\ref{RTA})~\cite{Baym,HeisWang1}
\beq
\label{RTABaym}
 f(\vec p,t)=f_0(\vec p_t,p_z\frac{t}{t_0}) \, \mbox{e}^{-x(t)} +
 \int_{t_0}^t dt' \, \frac{\mbox{e}^{x(t')-x(t)}}{\theta(t')} \,
 f_{eq} (\vec p_t,p_z\frac{t}{t'},t') \, ,
\end{equation}\noindent
avec
\eq
 x(t) = \int_{t_0}^t \frac{dt'}{\theta (t')} \, .
\eq
Pour une distribution initiale donne, on en dduit, pour chacune des quantits 
pr-cites, une quation du type
\beq
\label{MBaym}
 M (t) =  M(t_0) \, \mathcal F_M^{(0)} (t_0/t) \, \mbox{e}^{-x} + 
 \int_{t_0}^t dt' \, \frac{\mbox{e}^{x'-x}}{\theta'} \,
 \mathcal F_M^{(eq)} (t'/t) \, M_{eq} (t') \, ,
\end{equation}\noindent
o $x \equiv x(t)$, $x' \equiv x(t')$, $\theta' \equiv \theta (t')$ et
$M \equiv \langle p_z^2\rangle$, $\langle p_\perp^2 \rangle$, $N_{-1}$, $P_L$,
$P_T$, ou $\epsilon$, selon le cas. Les fonctions $\mathcal F_M^{(0,eq)}$ 
ne dpendent que de la gometrie des distributions $f_0$ et $f_{eq}$ dans
l'espace des impulsions, elles sont donnes dans l'Annexe~\ref{intm} pour 
les diffrents $M$ dont nous aurons besoin dans ce chapitre. Les moments 
$M_{eq}$, calculs avec la distribution $f_{eq}$, ne dpendent que de 
$\lambda$ et $T$.
\par
On rsoud numriquement le systme d'quations (\ref{numb}), (\ref{engy}), 
(\ref{Mexple}), (\ref{MBaym}) par itrations successives, selon la
mthode propose dans la Rf.~\cite{Dumitru}. Dans le cas prsent,
toutes les intgrales sur les impulsions peuvent tre calcules
analytiquement. Les intgrales temporelles (cf. Eq.~(\ref{MBaym}))
sont calcules par la mthode de Simpson (corrige par un trapze dans les 
cas o le nombre de points sous l'intgrale discrte est pair)~\cite{NumRec}.
A chaque pas de temps, la procdure d'itration (dcrite dans~\cite{Dumitru}) 
est initialise par une premire estimation des quantits $M$, obtenue en 
calculant les intgrales temporelles par la mthode des rectangles, pour 
laquelle il n'est pas ncessaire de connaitre la valeur de l'intgrand 
pour la borne suprieure de l'intgrale. Cette procdure d'initialisation 
n'est pas strictement ncessaire, mais amliore la convergence de la 
procdure d'itration. On vrifie la bonne prcision de la mthode en 
rsolvant, en parallle avec notre systme d'quations, l'Eq.~(\ref{MBaym}) 
dans des cas solubles analytiquement, par exemple en calculant $n(t)$, non 
pas  l'aide de l'Eq.~(\ref{consnb}), mais  partir de 
l'Eq.~(\ref{MBaym}) avec $\mathcal F_n (a) = a$.
   
\subsection{Le choix du moment}

Comme nous l'avons remarqu plus haut, dans l'approximation du temps de 
relaxation la distribution $f$ relaxe vers la distribution $f_{eq}$
d'une manire indpendante de $\vec p$ : toutes les chelles d'impulsions
relaxent avec le mme taux moyen $\theta$ (cf Eq.~(\ref{RTA})). D'un autre 
cot, nous avons vu que le calcul de ce temps de relaxation ncessite de 
choisir un moment particulier de la distribution, c'est  dire une 
fonction $m(\vec p)$ (cf. Eq.~(\ref{momeq})). Il est clair que les 
diffrents moments $\langle m \rangle$ sont sensibles  diffrentes parties
de la distribution $f$, c'est  dire  diffrentes chelles d'impulsion,
et il en est par consquent de mme pour les temps de relaxation $\theta_m$
correspondant. Ceci est illustr sur la Fig.~\ref{fig_scale}, o on a 
reprsent l'volution temporelle du rapport $P_L/P_T$ des pressions 
longitudinale et transverse pour diffrents choix de $m$, pour une 
condition initiale donne.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Scale.eps}}
\caption{\small Le rapport des pressions longitudinale et transverse ( droite),
ainsi que le temps de relaxation en fm ( gauche) en fonction du temps 
(en fm), pour diffrents choix du moment $\langle m \rangle$ : 
$\langle m_1 \rangle = P_L - P_T$ (courbes en trait-plein) et 
$\langle m_2 \rangle = \langle p_z^2 - p_\perp^2 \rangle$ (courbes en trait-tiret).
Le premier, tant sensible  une chelle d'impulsion plus faible que le 
second, correspond  une relaxation plus rapide vers le rgime hydrodynamique. 
Ceci est d au fait que les impulsions les plus grandes sont les plus sensibles 
 l'expansion (voir la discussion page~\pageref{page_disc}). Ces courbes ont
t obtenues dans le scnario de saturation  RHIC (voir la section Rsultats).} 
\label{fig_scale}
\end{figure}

On peut donc prciser la signification de l'approximation
du temps de relaxation : on remplace la dynamique microscopique par une
relaxation globale vers l'quilibre, avec un taux {\em caractristique d'une
certaine chelle d'impulsion}. Pour un problme donn, il est donc judicieux
de choisir le moment $m$ selon l'chelle typique d'impulsion qui caractrise 
la physique  laquelle on s'intresse. En ce qui concerne la question de la 
relaxation vers le rgime hydrodynamique, l'chelle d'impulsion typique qui 
nous intresse est celle qui caractrise les variables macroscopiques telles 
que la pression ou la densit d'nergie. Le choix $\langle m \rangle = \epsilon$
(c'est  dire $m(\vec p)=p$) correspondant dj  l'quation de conservation de 
l'nergie, nous opterons pour\footnote{On obtient des rsultats identiques 
    ceux prsents dans la suite en choisissant 
   $\langle m \rangle = P_L$ ou $\langle m \rangle = P_T$. La diffrence
   des pressions n'est autre que la viscosit de cisaillement 
   $\zeta$~\cite{Landhydro} : $P_L - P_T = 2 \zeta/3t$.} 
$\langle m \rangle = P_L - P_T$, c'est  dire
\eq
 m(\vec p) = \frac{p_z^2 - p_\perp^2}{p} \, .
\eq
Aprs quelques intgrations par parties, on obtient,  partir de 
l'Eq.~(\ref{momeq}),
\beq
\label{momeq1}
  \frac{P_L - P_T}{\theta} = 
  4 \, \mathcal B \, N_0 \, \langle \frac{p_z^2 - p_\perp^2}{p^3} \rangle +
  2 \, \mathcal B \, N_{-1} \, \langle \frac{p_z^2 - p_\perp^2}{p^2} \rangle \, .
\end{equation}\noindent

\section{Conditions initiales et rsultats}

Comme nous l'avons expliqu dans l'introduction, notre but est ici
d'tudier de faon systmatique le processus de relaxation vers
l'quilibre local (le rgime hydrodynamique) pour diffrentes conditions
initiales proposes dans la littrature pour dcrire l'tat du systme
immdiatement aprs l'impact dans les collisions d'ions lourds  RHIC 
et LHC : le scnario de saturation et le scnario des minijets.
Bien que chacun de ces deux cas ait t tudi 
rcemment~\cite{AHM1,AHM2,Raju,Dumitru}, ils n'ont jamais t compars 
l'un  l'autre dans une seule et mme approche. 
En comparant nos rsultats avec ceux de la Rf.~\cite{Raju}, o l'Eq.~(\ref{BE}) 
est rsolue numriquement dans le scnario de saturation, nous pouvons tester 
notre approche, qui s'avre tre remarquablement bonne, compte tenu de son 
caractre trs qualitatif. Nous verrons que le critre utilis dans~\cite{Raju}
pour caractriser l'cart  l'quilibre n'est pas satisfaisant. Dans cette
tude, nous proposons de mesurer le degr d'isotropie de diffrentes 
observables, en consquence de quoi nos conclusions sont qualitativement
diffrentes de celles de~\cite{Raju}. Nous tudions ensuite le scnario
des minijets, rcemment tudi dans la Rf.~\cite{Dumitru}, mais o les 
auteurs n'ont pas implment correctement les lois de conservation. Enfin, 
nous examinons la robustesse des rsultats par rapport aux dtails du 
calcul, en particulier en ce qui concerne les approximations de couplage 
faible et logarithmique.

\subsection{``Temps de vie''} 

Dans ce qui suit, nous examinons la vitesse avec laquelle diffrentes 
configurations initiales relaxent vers le rgime hydrodynamique. 
Du fait de l'expansion, le systme est rapidement
dilu et, aprs un certain temps, la description en termes des 
degr de libert partoniques n'a plus de sens. Le point important
est donc de comparer le temps caractristique d'approche de 
l'quilibre local avec le temps de vie du systme. Autrement
dit, nous voulons estimer le degr d'isotropie de la distribution
$f$  l'instant $t_{max}$ o le systme de partons cesse d'exister 
en tant que tel. Nous donnons ci-dessous des arguments trs
qualitatifs\footnote{En particulier,
   les estimations ci-dessous reposent sur l'hypothse que le plasma
   de gluons peut tre vu en premire approximation comme une collection 
   de particules de masse nulle, ce qui n'est pas le cas (voir par
   exemple~\cite{Entropy}).}
qui n'ont de sens qu'{\it a fortiori}, les ordres de grandeur obtenus
tant en accord avec les rsultats des calculs sur rseaux (voir par
exemple~\cite{Lattice}). 
\par
Une description en termes des degrs de libert
partoniques n'a de sens que si la distance typique entre les 
excitations du systme est infrieure  la taille typique d'un hadron
$\sim 1$~fm, autrement dit, si la densit moyenne $n$ d'excitations par 
unit de volume est suprieure  la densit critique $n_c \sim 1$/fm$^3$. 
Dans le cas o le systme de gluons est  l'quilibre 
thermodynamique\footnote{Pour un ensemble de gluons  l'quilibre 
   thermodynamique  la temprature $T_{eq}$, la distribution est donne
   par la distribution de Bose-Einstein, pour laquelle on a :
   $n_{eq} = 2 (N_c^2-1) \, \zeta (3) \,T_{eq}^3 / \pi^2$, 
   $\epsilon_{eq} = 6 (N_c^2-1) \, \zeta (4) \,T_{eq}^4 / \pi^2$
   o $\zeta(3) \simeq 1.202$ et $\zeta (4) = \pi^4/90 \simeq 1.1$.
   Pour $N_c=3$, on a $(N_c^2-1)/\pi^2 \simeq 1$. Attention, les 
   relations prcdentes sont obtenues avec une distribution de 
   Bose-Einstein et ne doivent pas tre confondues avec les 
   Eqs.~(\ref{numb}) et~(\ref{engy}). Cependant, on note que la 
   confusion n'aurait rien chang  nos estimations.}, 
la densit de particules est relie  la temprature $T_{eq}$ par la 
relation $n_{eq} \simeq 2 \, T_{eq}^3$. On en dduit la temprature 
critique $T_c \sim 1$~fm$^{-1} \sim 200$~MeV, et la densit d'nergie 
correspondante $\epsilon_c \simeq 6 \, T_c^4 \sim 1$~GeV/fm$^3$.
\par
Plus la densit de particules est leve initialement, 
plus il faudra de temps pour la diluer et donc plus la dure de vie
sera longue. Dans le cas prsent, o le nombre total de particules est
conserv, on peut dduire l'ordre de grandeur du temps de vie du systme
 partir des seules conditions initiales : en utilisant l'Eq.~(\ref{consnb}),
il vient
\beq
\label{tfinal}
 \frac{t_{max}}{t_0} = \frac{n (t_0)}{n_c} \, ,
\end{equation}\noindent 
o on a dfini $t_{max}$ par la relation $n(t_{max})=n_c$. 
\par
Dans chacun des deux scnarios considrs dans la suite, l'estimation de 
cette dure de vie  partir du critre $\epsilon \gtrsim \epsilon_c$ donne
grossirement le mme ordre de grandeur que celui obtenu  partir du critre
ci-dessus. En revanche, le critre qui consiste  comparer le paramtre $T$ 
(Eq.~(\ref{disteq})) avec la temprature critique $T_c$ n'a de sens que 
si le systme est  l'quilibre. En effet, en gnral, le paramtre $T$ 
mesure l'nergie moyenne par particule ($T \propto \epsilon/n$) et n'a 
la signification physique d'une temprature, au sens thermodynamique 
(hydrodynamique) du terme, que si le systme est  l'quilibre (local).
\par 
Il est clair que ces considrations trs qualitatives ne servent qu' donner
un ordre d'ide. Cependant les critres $n \gtrsim n_c$ et 
$\epsilon \gtrsim \epsilon_c$ dlimitent le domaine de cohrence physique 
de notre description. 

\subsection{Le scnario de saturation}

Nous suivons ici les auteurs de la Rf.~\cite{Raju} pour caractriser l'tat
initial des gluons produits dans le scnario de saturation. 
La distribution initiale idalise (\ref{insat}) ci-dessous a t propose 
par A.~H.~Mueller~\cite{AHM1,AHM2} : les gluons de la fonction d'onde du
noyau incident dont l'impulsion transverse est $\sim Q_s$ sont 
simplement librs dans la collision. En rsolvant numriquement les
quations de champ classique pour l'interaction entre les champs
de Weizscker-Williams non-ablien des noyau incidents, A.~Krasnitz et
R.~Venugopalan~\cite{KraVent} calculent le temps de production des 
gluons rels. Ils obtiennent $t_i \approx 0.3$~fm  RHIC ($Q_s = 1$~GeV) et
$t_i \approx 0.13$~fm  LHC ($Q_s=2-3$~GeV).
\par
On voit que le temps de formation est typiquement $\sim 1/Q_s$. Cet
ordre de grandeur correspond aussi au temps ncessaire pour 
que les gluons de diffrentes impulsions longitudinales (plus prcisment 
dans diffrentes units de rapidit) se sparent physiquement les uns
des autres~\cite{MB,AHM1}. De mme, au bout d'un temps $\sim 1/Q_s$, les
gluons de grande impulsion longitudinale ont quitt la rgion centrale, les
gluons restant ont une impulsion longitudinale $p_z \ll Q_s$. 
De plus, du fait du phnomne de saturation, la densit de gluons librs 
par unit d'espace des phases est $\sim 1/\alpha_S N_c$. Le nombre d'occupation
dans la rgion centrale  l'instant $t_i$ peut s'crire
\eq 
 f_{sat} (\vec p,t_i) = \frac{c}{\alpha_S N_c} \, \delta (p_z t_i) \,
 \Theta (Q_s^2 - p_t^2) \, ,
\eq
o $c$ est une constante estime $\sim 1$ par Mueller~\cite{AHM1}, et calcule
numriquement pour un groupe de jauge $SU(2)$ dans la Rf.~\cite{KraVenc} :
$c=1.3$. La fonction delta modlise une distribution trs troite dans la
direction longitudinale : $p_z/Q_s \sim p_z t_i \ll 1$. On choisi l'instant
initial $t_0$ comme dans la Rf.~\cite{Raju} : on laisse le systme voluer
librement jusqu' ce que le nombre d'occupation, initialement 
$\sim 1/\alpha_S N_c$, devienne $\sim 1$ :
\eq
 t_0 = \frac{c}{\alpha_S N_c} \, t_i \, .
\eq
L'instant $t_0$ est le temps  partir duquel l'approximation de particules 
classiques commence  tre raisonnable, c'est l'instant initial pour notre tude.
On a alors~\cite{Raju} 
\beq
\label{insat}
 f_0 (\vec p) = f_{sat} (\vec p,t_0) = 
 \delta (p_z t_i) \, \Theta (Q_s^2 - p_t^2) \, ,
\end{equation}\noindent
Ici nous prendrons $\alpha_S=0.3$, $N_c=3$. Les valeurs des diffrents
paramtres correspondant aux nergies de RHIC et LHC sont rsumes dans
le tableau~\ref{tab_sat}. 
\par 
On peut estimer le temps au bout duquel la densit de particules par
unit de volume devient $\sim n_c \sim 1$~fm$^{-3}$ directement  partir
des conditions initiales  l'aide de l'Eq.~(\ref{tfinal}). On
obtient $t_{max} \simeq 7$~fm  RHIC et $t_{max} \simeq 30$~fm  LHC.
Cette dernire valeur dpasse la limite au del de laquelle l'hypothse 
d'expansion longitudinale n'est plus raisonnable\footnote{Cette hypothse
   est certainement valable pour $t \lesssim R$, o $R$ est le rayon
   des noyaux incidents (pour un noyau de Plomb ($A=208$), on estime 
   $R \sim 1.2 \, A^{1/3}$~fm~$\sim 6$~fm). Pour notre propos,  caractre
   essentiellement qualitatif, la limite suprieure $t \lesssim 15 - 20$~fm
   est optimiste mais pas draisonnable.}.
En suivant l'volution du systme au cours du temps (voir ci-dessous),
on voit que le critre $\epsilon \gtrsim \epsilon_c$ donne des estimations
du mme ordre de grandeur ($\simeq 4$~fm  RHIC, et $\simeq 15$~fm  LHC).
Dans la suite, nous prendrons ces valeurs comme limites suprieures 
(voir le tableau~\ref{tab_sat}).

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline
\small{\bf SATURATION} & $Q_s$ (GeV) & $t_0$ (fm) & $n(t_0)$ (fm$^{-3}$) & 
 $\epsilon (t_0)$  (GeV/fm$^{3}$) & $t_{max}$ (fm) \\
\hline
\hline
RHIC &  1. & 0.4  &  18.1 & 12.0 & $\sim 10$ \\
\hline
LHC  &  2. & 0.18 & 163.4 & 217.9 & $\sim 30$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Valeurs des paramtres correspondant aux nergie de RHIC et LHC dans
le scnario de saturation (voir la Rf.~\cite{Raju}). Le temps $t_{max}$, 
est la limite au del de laquelle notre description n'a certainement plus
aucun sens.}
\label{tab_sat}
\end{table}

Pour aller plus loin, nous devons prciser la forme du logarithme $L$
(Eq.~(\ref{logdiv1})). Dans les premiers instant aprs $t_0$, les particules 
de la rgion centrale ont des impulsions essentiellement transverses et 
interagissent entre elles en changeant des gluons d'impulsion transverse. 
Dans ce cas, la masse de Debye (cf. Eq.~(\ref{logdiv1})) se rduit  la masse 
d'cran transverse~\cite{Raju} (voir l'Annexe~\ref{landaucoll}) :
\beq
\label{debye}
 m_T^2 (t) = \frac{\alpha_S N_c}{\pi^2} \, \int \frac{d^3p}{p} \, f(\vec p,t) = 
 \frac{4 \pi \alpha_S N_c}{N_c^2-1} \, N_{-1} (t) \, ,
\end{equation}
et la quantit $\underline p$ dans l'Eq.~(\ref{logdiv1}) est l'chelle
d'impulsion transverse typique. Dans la suite, nous prendrons
\beq
\label{logdiv2}
 L = \ln \left( \frac{\overline{\langle p_t^2 \rangle}}{m_T^2} \right) \, ,
\end{equation}\noindent
o $\overline{\langle ... \rangle} = \langle ... \rangle/n$ dsigne la
moyenne par particule.
Bien  que ce choix soit motiv par la forme de la distribution initiale
(\ref{insat}), hautement anisotrope, on peut voir qu'il reste raisonnable 
dans le cas d'une distribution  isotrope, o il est plus appropri de 
choisir $L_{iso} = \ln (\overline{\langle p^2 \rangle}/m_D^2)$.
En effet, pour une distribution isotrope $m_D^2 = 2 \, m_T^2$ 
(voir Annexe~\ref{landaucoll}), $\langle p_t^2 \rangle = 
2 \, \langle p^2 \rangle/3$, et on a $L - L_{iso} = \ln 4/3 \simeq 0.3$.
\par
Il est important de remarquer que la validit de l'approximation logarithmique
est rendue trs marginale par le fait que la valeur $\alpha_S=0.3$ est
 la limite du rgime de couplage faible. En effet, de faon gnrale,
si $\underline p$ est l'chelle typique d'nergie du problme (ici 
$\underline p \sim Q_s$), on aura $m_T^2 \sim \alpha_S \underline p^2$, 
et $L \sim \ln (c/\alpha_S)$, o $c \sim 1$. Ici, $\alpha_S$ n'est pas 
rellement petite devant l'unit (en particulier $\alpha_S N_c \approx 1$)
et $L\ll 1$\footnote{Certains choix 
   pour $L$ peuvent mme tre tels que $L<0$  l'instant initial. C'est
   le cas par exemple de l'Eq.~(27) de la Rf.~\cite{Raju}, pour les valeurs 
   des paramtres correspondant aux nergies de LHC.}. 
C'est la valeur de la constante $c$ qui contrle la valeur de $L$. Autrement
dit, la valeur de $L$ dpend des dtails du problme, ce qui traduit le
fait qu' strictement parler, l'approximation logarithmique ne s'applique 
pas. Avec notre choix (\ref{logdiv2}), il est facile de voir qu' l'instant 
initial, pour la distribution (\ref{insat})
\eq
 L (t_0) = \ln \left( \frac{\pi}{4 \alpha_S N_c} \, Q_s t_i \right) \, ,
\eq
o $t_i$ est le temps de formation des partons de l'tat initial 
($Q_s t_i \sim 1$), le facteur $\pi/4\alpha_S N_c \approx 0.8 < 1$
est donn par la {\em gometrie} de la distribution initiale dans l'espace
des impulsions. On voit que la valeur prcise de $Q_s t_i$ est cruciale pour 
que $L > 0$. 
\par
Pour la distribution (\ref{insat}), $L \ll 1$  l'instant initial,
quelque soit le choix que l'on fait pour l'chelle $\underline p$
et la masse d'cran. Bien que la situation s'amliore 
par la suite, comme le montre la Fig.~\ref{fig_logsat}, on reste constamment  la limite du domaine de validit de l'approximation logarithmique.

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=3.5in \centerline{ \epsfbox{Log_sat.eps}}
\caption{\small Le ``grand'' logarithme (\ref{logdiv2}) en fonction du 
temps (en fm), pour les valeurs des paramtres correspondant aux nergies 
de RHIC et LHC dans le scnario de saturation.} 
\label{fig_logsat}
\end{figure}

Pour tester notre approche, nous comparons nos rsultats avec la solution
exacte de la Rf.~\cite{Raju}. Le premier graphe de la Fig.~\ref{fig_raju}
reprsente l'volution des quantits $\epsilon$, $3P_L$ et $3P_T$ pour
les valeurs des paramtres correspondant aux nergies de RHIC 
(voir tableau~\ref{tab_sat}), les deux suivant reprsentent les  
moyennes par particule des carrs des impulsions longitudinale et
transverse, $\overline{\langle p_z^2 \rangle} (t)$ et 
$\overline{\langle p_\perp^2 \rangle} (t)$, pour RHIC et LHC respectivement.
Ces courbes sont les analogues de celles des Figs. 7 et 9 de la Rf.\cite{Raju},
on a choisi les chelles et les units de manire  faciliter la comparaison :
non seulement l'approche  l'quilibre est correctement reproduite, mais on
voit que dans l'ensemble, nos rsultats sont en accord semi-quantitatif avec 
la solution exacte, ce qui est remarquable compte tenu du degr de simplicit 
de notre approche. 
   
\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=4.in \centerline{ \epsfbox{Raju.eps}}
\caption{\small Reproduction de diffrentes courbes de la Rf.~\cite{Raju}.
Les diffrentes quantits prsentes ici sont obtenues dans l'approximation 
du temps de relaxation. Les chelles et les units ont t choisies de manire
 faciliter la comparaison. En se reportant ~\cite{Raju} on trouve un accord
semi-quantitatif.}
\label{fig_raju}
\end{figure}

Venons-en maintenant aux rsultats de notre tude du scnario de saturation. 
Pour caractriser l'cart  l'quilibre cintique local, c'est  dire le degr
d'anisotropie de la distribution, nous mesurons les rapports
\beq
\label{Rk}
 R_k = \frac{\langle p_z^2 / p^k \rangle}{\langle p_\perp^2 / p^k \rangle} \, ,
\end{equation}\noindent
en fonction du temps. Pour une distribution compltement
isotrope, $R_k^{iso}=1 \, , \, \forall k$. Les moments du type
$\langle p_{z,\perp}^2 / p^k \rangle$ sont sensibles  des chelles
d'impulsion de plus en plus faible  mesure que $k$ augmente, les 
rapports $R_k$ (plus prcisment l'cart $1-R_k$) mesurent donc le degr 
d'anisotropie des diffrentes parties de la distribution, c'est  dire 
des diffrentes chelles d'impulsions. La Fig.~\ref{fig_relaxsat} 
reprsente l'volution temporelle des rapports $R_k (t)$ pour $k=0,...,3$, 
 RHIC et LHC. On observe le comportement qualitatif attendu : les moments 
sensibles aux chelles d'impulsions les plus grandes sont ceux qui relaxent 
le moins vite vers l'quilibre. Cette hirarchie de vitesses de relaxation, 
dj observe dans~\cite{Raju}, est un simple effet de la gomtrie du systme\footnote{Les 
   particules de grande impulsion longitudinale dsertent rapidement la 
   rgion centrale du fait de la seule expansion. Il s'ensuit que les 
   particules ``dures'' (de grande nergie) de cette rgion ont une 
   impulsion essentiellement transverse. Il faut donc plusieurs collisions 
    petite dviation pour crer une particule de grande impulsion longitudinale,
   cela prend beaucoup de temps, plus qu'il n'en faut  cette dernire pour 
   quitter la rgion centrale.}, 
laquelle est prise en compte exactement dans l'Eq.~(\ref{RTA}).

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Relax_sat.eps}}
\caption{\small Evolution temporelle des rapports $R_k$ dfinis par 
l'Eq.~(\ref{Rk}) pour le scnario de saturation  RHIC ( gauche) et 
LHC ( droite). Les carts $1-R_k$ mesurent le degr d'anisotropie de la
distribution microscopique $f(\vec p,t)$, pour diffrentes chelles 
d'impulsions.}
\label{fig_relaxsat}
\end{figure}

Le processus de relaxation est bien plus rapide  LHC et, la dure de vie 
y tant plus grande, le degr d'isotropie atteint est bien meilleur. 
On voit clairement que pour $t \sim t_{max}$, le systme est encore 
trs anisotrope  RHIC, tandis qu' LHC le degr d'isotropie est trs bon. 
Dans ce dernier cas, le degr d'isotropie est dj satisfaisant 
pour $t \gtrsim 15$~fm o $R_{k=0,...,3} \gtrsim 0.8$. 
\par
Ces rsultats semblent en complte contradiction avec ceux de la 
Rf.~\cite{Raju}, o  les auteurs mesurent les ``temps d'quilibration''
$t_{eq} = 3.24$~fm et $t_{eq} = 2.36$~fm pour les valeurs des paramtres
correspondant  RHIC ($\alpha_S = 0.3$, $Q_s = 1$~GeV) et LHC 
($\alpha_S = 0.3$, $Q_s = 2$~GeV) respectivement. Cette contradiction
apparente est due  ce que les critres utiliss pour caractriser
l'cart  l'quilibre ne sont pas quivalents : dans~\cite{Raju}, 
$t_{eq}$ est dfini comme le temps auquel les quantits $T \, t^{1/3}$, 
et $s/n$, l'entropie moyenne par particule, atteignent $90 \%$ de leurs 
valeurs respectives  l'quilibre (ces deux quantits sont constantes dans 
le rgime hydrodynamique). Par ailleurs, on peut voir sur les Figs.~7 et~9 
de~\cite{Raju} (voir aussi notre Fig.~\ref{fig_raju}), que les valeurs des 
rapports $R_1 = P_L/P_T$ et $R_0 = 
\langle p_z^2 \rangle/\langle p_\perp^2 \rangle = 
\overline{\langle p_z^2 \rangle} \, / \, \overline{\langle p_\perp^2 \rangle}$ 
au cours du temps sont en accord avec celles de notre Fig.~\ref{fig_relaxsat}.
En particulier, pour $t=t_{eq} = 3.24$~fm, on a $P_L/P_T \simeq 1/2$. 
Le critre que nous avons utilis pour dfinir l'quilibre cintique,
c'est  dire l'isotropie\footnote{Il est facile de montrer que l'Eq.~(\ref{BE})
   ne peut avoir de solution isotrope que dans le cas o le membre de gauche 
   est ngligeable, ce qui correspond, par dfinition, au rgime
   hydrodynamique (cf. Eq.~(\ref{hydroeq}))}, est d'une part plus intuitif et 
d'autre part plus prcis. En effet les valeurs asymptotiques des rapports $R_k$
sont bien connues : $R_k^{hydro} = 1$, tandis que celles des quantits 
utilises dans~\cite{Raju} dpendent de l'histoire du systme. 
De plus le degr d'isotropie du systme est l'observable importante du point 
de vue phnomnologique.


\subsection{Le scnario des minijets}
\label{sec_jet}

Nous suivons ici le choix des auteurs de la Rf.~\cite{Dumitru} pour 
caractriser la distribution initiale dans le scnario des minijets. 
Dans la rgion centrale, celle-ci est prise de la forme~(\ref{disteq}) : 
\beq
\label{injet}
 f_0 (\vec p) = f_{jet} (\vec p,t_0=1/p_0) = 
 \lambda_{jet} \, \mbox{e}^{-p/T_{jet}} \, ,
\end{equation}\noindent
o les paramtres $\lambda_{jet} = \lambda (t_0)$ et $T_{jet} = T(t_0)$ 
sont dtermins  partir les densits de particules $n_{jet}=n(t_0)=n_{eq} (t_0)$ 
et d'nergie $\epsilon_{jet} = \epsilon (t_0) = \epsilon_{eq} (t_0)$ du systme 
de partons initialement produit,  l'aide des Eqs.~(\ref{numb}) et (\ref{engy}).
La contribution dominante vient des partons d'nergie $p_0$, dont
le temps de formation est $t_0 = 1/p_0$. Les valeurs des paramtres de 
ce scnario pour des collisions frontales Au-Au  RHIC et Pb-Pb  LHC, 
sont donnes dans le tableau~\ref{tab_jet}. Dans les deux cas, les limites
suprieures $t_{max}$ pour les temps auxquels $n \sim n_c$ et 
$\epsilon \sim \epsilon_c$ sont du mme ordre de grandeur que celles 
obtenues dans le scnario de saturation.

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|}
\hline
\small{\bf MINIJET} & $t_0$ (fm) & $n_{jet}$ (fm$^{-3}$) & $\epsilon_{jet}$
(GeV/fm$^{3}$) &  $\lambda_{jet}$ & $T_{jet}$ (GeV) & $t_{max}$ (fm) \\
\hline
\hline
RHIC & 0.18 & 34.3 & 56.0 & 1.0 & 0.535 & $\sim 10$ \\
\hline
LHC  & 0.09 & 321.6 & 1110.0 & 1.0 & 1.13 & $\sim 30$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Valeurs des paramtres correspondant aux nergie de RHIC et LHC dans
le scnario des minijets (voir la Rf.~\cite{Dumitru}).}
\label{tab_jet}
\end{table}

De mme que dans l'tude du scnario de saturation, nous prendrons 
$\alpha_S=0.3$ et ferons le choix~(\ref{logdiv2}) pour le logarithme 
$L$. En ce qui concerne la validit de l'approximation 
logarithmique, bien que toujours  la limite, la situation est plus 
confortable ici que dans le cas du scnario de saturation : dans 
l'intervalle de temps tudi on a $1.5 \lesssim L \lesssim 5$.
En particulier, il est facile de voir qu' l'instant initial
\eq
 L(t_0) = 
 \ln \left( \frac{7 \pi}{4 \alpha_S N_c} \frac{1}{\lambda_{jet}} \right) \, .
\eq
Encore une fois le profil de la distribution joue un rle important (c'est
lui qui dtermine le facteur $7 \pi/4 \alpha_S N_c$).

\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Relax_jet.eps}}
\caption{\small Evolution temporelle des rapports $R_k$ (Eq.~(\ref{Rk}) 
pour le scnario des minijets  RHIC et LHC.}
\label{fig_relaxjet}
\end{figure}

On voit sur la Fig.~\ref{fig_relaxjet} que l'isotropie initiale est
rapidement dtruite dans les premiers instants de l'volution. C'est
la phase initiale de rgime libre dont nous avons parl plus haut : 
 l'instant initial, le temps de relaxation est non-nul\footnote{Mentionnons 
    ce propos un dtail technique concernant le calcul du temps de
   relaxation  l'instant initial dans le scnario des minijets : pour la 
   distribution (\ref{injet}), l'Eq.~(\ref{momeq}) est triviale ($0=0$) 
   et ne permet donc pas de calculer le temps de relaxation $\theta(t_0)$. 
   On contourne la difficult en exploitant le fait que le systme est 
   initalement dans un rgime libre (voir l'Annexe~\ref{thetajet}).}
et il faut attendre un temps $\Delta t = t-t_0 \lesssim \theta (t_0) \sim 1$~fm) 
avant que l'effet des collisions ne se fasse sentir, l'isotropie est alors 
lentement reconstruite. 
\par
Aprs que l'isotropie initiale ait t dtruite par l'expansion, la distribution
est trs pique autour de $p_z=0$, et l'volution ultrieure est trs semblable 
 celle du scnario de saturation. On voit cependant que le processus de 
relaxation est plus lent dans le cas prsent et les degrs d'isotropie 
atteints sont par consquent nettement infrieurs, aussi bien  RHIC qu' LHC 
(les temps de vie sont du mme ordre de grandeur dans les deux scnarios 
(voir Tabs.~(\ref{tab_sat}) et~(\ref{tab_jet})). Dans ce dernier cas, bien que 
le degr d'isotropie finisse par tre relativement bon, il faut attendre 
$t \sim 30$~fm pour avoir $R_{k=0,...,3} \gtrsim 0.8$, soit deux fois plus 
longtemps que dans le scnario de saturation. Sur la base de ce critre, les 
temps d'quilibration obtenus dans le scnario des minijets sont $\gg t_{max}$ 
 RHIC, $\sim t_{max}$  LHC.
\par
Ces conclusions sont en dsaccord qualitatif avec celles des auteurs de 
la Rf.~\cite{Dumitru}, qui mesurent des temps d'quilibration similaires
$\sim 4-5$~fm  RHIC et LHC. Cependant l'approche utilise dans cet article
n'est pas satisfaisante, en particulier  cause du fait que bien que seuls
les processus lastiques y soient considrs, le nombre total de particules 
n'est pas conserv. En fait il augmente avec le temps (la densit moyenne 
par unit de volume $n$ dcroit moins vite que $1/t$), ce qui diminue les 
temps d'quilibration (les collisions tant plus frquentes). Le fait
que ceux-ci soient du mme ordre de grandeur  RHIC et  LHC vient de ce 
que dans~\cite{Dumitru}, la constante de couplage n'est pas constante, mais
augmente avec le temps, sa valeur tant calcule  chaque instant en fonction 
de l'chelle typique d'impulsion des particules du milieu. Celle-ci tant
plus petite  RHIC qu' LHC, l'intensit de l'interaction, et donc la 
frquence des collisions y est augmente. Dans la partie suivante, o 
nous considrons le cas d'une constante de couplage variable, nous verrons
cependant que cet effet ne modifie pas nos conclusions prsentes.



\subsection{Robustesse des rsultats}

Pour obtenir une information la plus fiable 
possible dans l'approche utilise ici, il est important de tester la 
sensibilit des rsultats prcdent par rapport aux dtails de la 
description, comme par exemple la valeur de $\alpha_S$, ou encore le 
choix de l'chelle d'impulsion $\underline{p}$ sous le logarithme $L$ 
(cf. Eqs.~(\ref{logdiv1})). En effet, tant  la limite du domaine de 
validit de l'approximation logarithmique, on s'attend  ce que de petits 
changement sous le logarithme aient des effets non-ngligeables. 

\subsubsection*{Constante de couplage variable}

Il est intressant de considrer le cas o la valeur de la constante de 
couplage $\alpha_S$ augmente avec le temps,  mesure que dcrot l'nergie 
typique des particules du milieu. Comme nous l'avons mentionn plus haut, 
on s'attend alors  ce que les particules interagissent plus fortement  
RHIC qu' LHC, l'nergie moyenne par particule y tant plus faible.
\par
On calcule la constante de couplage  chaque instant en fonction 
de l'nergie moyenne par particule : $\alpha_S (t) \equiv 
\alpha_S (\mu = \bar\epsilon = 3T)$, avec la parametrisation
\beq
\label{running}
 \alpha_S (\mu) = \alpha_S (M_Z) \, 
 \frac{\ln(M_Z/\Lambda_{QCD})}{\ln(\mu/\Lambda_{QCD})} \, ,
\end{equation}\noindent
o $M_Z \simeq 90$~GeV est la masse du boson $Z$, $\alpha_S (M_Z) = 0.1$, 
et o on a pris $\Lambda_{QCD} \simeq 200$~MeV. 
\par
Dans le scnario des minijets,  LHC, on a $0.2 < \alpha_S (t) < 0.4$ sur
l'intervalle de temps considr et on obtient un rsultat trs similaire  
celui de la partie~\ref{sec_jet}, obtenu avec $\alpha_S = 0.3$. Bien que, par 
rapport au cas o $\alpha_S$ est constante, la situation s'amliore  
RHIC, o $0.3 < \alpha_S (t) < 0.5$, l'quilibre n'est pas atteint.
Les courbes reprsentant l'volution de $R_1$ sont prsentes dans la 
partie suivante. 
\par
Dans le scnario de saturation, l'nergie moyenne par particule est 
plus faible et la constante de couplage devient rapidement $\gtrsim 0.5$. 
Les rsultats obtenus n'ont pas de sens physique. Ceci doit tre pris comme
une manifestation de la fragilit du calcul perturbatif. 

\subsubsection*{Estimation des incertitudes}

Pour nous faire une ide plus gnrale de l'ordre de grandeur des 
incertitudes dues aux dtails de notre approche, nous remplaons simplement 
$L \rightarrow 2 \, L$, puis $L \rightarrow L/2$,
dans le terme de collision\footnote{Le changement $L \rightarrow a \, L$ 
   revient  remplacer le temps de relaxation $\theta$ par $\theta/a$ 
   dans l'Eq.~(\ref{RTABaym}). Quand $a=2$ ($a=1/2$), le systme relaxe 
   plus rapidement (lentement).}
 (on travaille ici avec $\alpha_S = \mbox{cte} = 0.3$). 
Les courbes des parties prcdentes deviennent des ``bandes'' dont la 
largeur reprsente le degr de confiance avec lequel interprter nos 
rsultats. Les bandes correspondant  l'observable 
$R_1 = P_L/P_T$ (cf. Eq.~(\ref{Rk})) pour les scnarios de saturation et 
des minijets sont reprsentes sur les Fig.~\ref{fig_robsat} et~\ref{fig_robjet}
respectivement. Sur la Fig.~\ref{fig_robjet}, on a aussi reprsent les courbes
correspondant au cas o la constante de couplage dpend du temps (voir la 
partie prcdente), on voit que celles-ci sont  l'intrieur du `domaine
d'incertitude'' dcrit ci-dessus. Les observations qualitatives des parties
prcdentes restent valables. Cependant,  cause des incertitudes lies  
notre description, on ne peut pas dire si l'quilibre est atteint  LHC
dans le scnario des minijets. Dans le scnario de saturation, o l'quilibre
est certainement atteint, il est est impossible d'estimer prcismment
la dure du rgime transitoire. 


\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Robsat.eps}}
\caption{\small Dpendance des rsultats par rapport aux dtails de la
description pour le scnario de saturation. Les courbes dlimitent 
la marge de variation de l'volution temporelle du rapport $R_1 = P_L/P_T$ 
quand on change $L\rightarrow 2L$ (pointills) et $L\rightarrow L/2$ 
(tirets).} 
\label{fig_robsat}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
\epsfxsize=5.5in \centerline{ \epsfbox{Robjet.eps}}
\caption{\small Dpendance des rsultats par rapport aux dtails de la
description pour le scnario des minijets. Les courbes reprsentent la marge 
de variation de l'volution temporelle du rapport $R_1 = P_L/P_T$ quand 
on change $L\rightarrow 2L$ (pointills) et $L\rightarrow L/2$ 
(tirets). Les courbes en trait continu sont obtenues avec une 
constante de couplage variable, dpendant de l'nergie moyenne 
$\bar\epsilon = 3T$ des particules du milieu (voir Eq.~(\ref{running})).} 
\label{fig_robjet}
\end{figure}

\subsection{Conclusions et perspectives}

En rsum, nous avons tudi l'volution du systme de gluons, produit 
dans les tout premiers instant d'une collision nuclaire  trs haute nergie,
et en particulier la contribution des collisions lastiques de petite dviation
au processus d'quilibration cintique. Nous avons tudi et compar deux
scnarios diffrents pour l'tat initial du systme, en rsolvant les quations
cintiques dans une approximation de temps de relaxation  ``auto-cohrente'',
laquelle donne des rsultats en bon accord avec la solution exacte obtenue
dans~\cite{Raju} pour le scnario de saturation. Nos conclusions sont rsumes 
dans le tableau~\ref{tab_hydro}. Dans les deux scnarios tudis, les processus
lastiques ne sont pas suffisamment efficaces pour rendre la distribution 
isotrope avant la phase hadronique aux nergies de RHIC ($t_{eq} \gg t_{max}$).
Dans le scnario de saturation, pour LHC, le rgime hydrodynamique est atteint. 
La dtermination exacte du temps d'quilibration n'est cependant pas possible 
tant donnes les incertitudes de la description utilise. Dans le scnario
minijet, il apparait mme difficile de dire si l'quilibre local est atteint.

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|lcr|lcr|lcr||lcr|lcr|}
\cline{4-15}
\multicolumn{3}{l}{} & \multicolumn{6}{|c||}{\small{\bf SATURATION}} &
\multicolumn{6}{|c|}{\small{\bf MINIJET}} \\

\multicolumn{3}{l|}{}  & \multicolumn{3}{c}{RHIC} & \multicolumn{3}{c||}{LHC} &
\multicolumn{3}{c}{RHIC} & \multicolumn{3}{c|}{LHC}\\
\hline
& $t_{max}$ $(fm)$ & & & $\sim 10$ & & & $\sim 30$ & & & $\sim 10$ & & &
$\sim 30$ & \\
\hline
& $R_1$ & & & $\lesssim 0.8$ & & & $\gtrsim 0.8$ & & & $\lesssim 0.8$ & & & 
$\gtrsim 0.6$ & \\
\hline
\multicolumn{3}{|c|}{Rgime hydrodynamique ?} & & non & & & oui & &
& non & & & ? & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Le systme a-t-il atteint le rgime hydrodynamique ?}
\label{tab_hydro}
\end{table}

Les auteurs de la Rf.~\cite{Branching} ont rcemment argu que les processus 
inlastiques de branchement ($g  + \mbox{milieu} \leftrightarrow gg +
\mbox{milieu}$), contribuant au mme mme ordre que les processus lastiques 
dans l'approximation logarithmique, jouent un rle important dans le processus
d'quilibration cintique, et acclrent considrablement celui-ci.
Il est fort probable que ces processus inlastiques permettent de 
rendre le temps d'quilibration ngligeable  LHC (quel que soit
le scnario le plus adapt). La situation est moins claire  RHIC.
Il est trs important, pour l'interprtation des donnes 
exprimentales actuellement accumules  RHIC, de savoir si le
rgime transitoire peut tre nglig, ou si l'aspect hors quilibre
du systme doit tre pris en compte dans les calculs concernant
les signatures directes du plasma.






