INSTANTONEN IN DER QCD

Theorie und Anwendungen des

Instanton-Fl
ussigkeit-Modells





Dissertation der Fakult
at f
ur Physik

der Ludwig-Maximilians-Universit
at M
unchen




arXiv: v2 13 Mar 96

vorgelegt von Marcus Hutter aus M
unchen
am 17.10.1995


1. Gutachter: Prof. H. Fritzsch
2. Gutachter: Prof. S. Theisen
Mundliche Prufung: 9.2.1996


1


Zusammenfassung

Die heutige Theorie der starken Wechselwirkung, die Quantenchromodynamik (QCD) ist
eine nicht-abelsche Eichtheorie, basierend auf der Eichgruppe SU(3). Trotz ihrer forma-
len 
Ahnlichkeit zur QED bestehen erhebliche Unterschiede. Schon 1973 konnte gezeigt
werden, da die Kopplungskonstante g fur groe Abstande wachst [61]. Dies stellte die
Moglichkeit einer permanenten Einschlieung von Quarks und Gluonen in Hadronen in
Aussicht. Kurz darauf, im Jahre 1975, wurden nicht-triviale Losungen der Euklidischen
Yang-Mills Feldgleichungen gefunden, die heute BPST-Instantonen genannt werden [15]
und erheblichen Einflu auf die Struktur der QCD bei niedrigen Energien haben. Viele
exakte Resultate fur das ein-Instanton-Vakuum sind bekannt [11, 18], wobei ein phano-
menologisch interessantes Resultat die explizite Brechung der axialen U(1) Symmetrie ist
[17]. Allerdings ist die 1-Instanton-Approximation, genau wie eine tree-level Berechnung
in der Storungstheorie, nicht in der Lage, Bindungszustande oder spontane Symmetrieb-
rechung zu beschreiben. Der nachte Schritt war die Untersuchung von exakten [16] und
approximativen Multi-Instanton-Losungen [14]. Es gibt zwei nutzliche Bilder fur diese
Losungen. In einem Bild werden Instantonen als Tunnelprozesse zwischen topologisch
verschiedenen Vakua angesehen. Im anderen Bild beschreibt die Losung ein Ensemble
ausgedehnter (Pseudo-)Teilchen im 4-dimensionalen Raum.

In der gewohnlichen Storungstheorie werden Fluktuationen um die triviale Null-Losung
berechnet. Die korrekte Quantisierungs-Vorschrift besteht darin, alle Losungen der klas-
sischen Feldgleichungen und deren Fluktuationen zu berucksichtigen. In der Pfadintegral-
Darstellung der QCD ist die Zustandssumme somit durch Ensemble ausgedehnter Teilchen
(Instantonen) im 4-dimensionalen Raum bei der Temperatur g2 dominiert. Im einfachsten
Fall beschreibt die Zustandssumme ein verdunntes ideales Gas unabhangiger Instantonen.
Leider fuhrt diese Annahme zu einer unendlichen Instanton-Dichte, hervorgerufen durch
groe Instantonen, was im krassen Widerspruch zur Annahme eines verdunnten Gases
steht. Dieses Problem ist unter dem Namen Infrarot-Problem bekannt. Man vermei-
det dieses Problem durch die Annahme einer repulsiven Wechselwirkung [24], die den
Kollaps stabilisiert. Dies ist das Modell einer 4-dimensionalen Flussigkeit. Unter be-
stimmten Voraussetzungen kann die Wechselwirkung durch eine effektive Dichte ersetzt
werden. Das Instanton-Flussigkeits-Modell im engeren Sinn beschreibt das QCD-Vakuum
als Summe unabhangiger Instantonen mit Radius = (600MeV)-1 und effektiver Dichte
n = (200MeV)4. Ob dieses Modell korrekt ist, ist immer noch Gegenstand intensiver
Untersuchungen. Bisher rechtfertigt im wesentlichen der phanomenologische Erfolg die
Beschaftigung mit diesem Modell.
Durch numerische Simulation des Instanton-Flussigkeit-Modells konnten eine Reihe
hadronischer Groen bestimmt werden, insbesondere Meson-Massen, Baryon-Massen,
Hadron-Wellenfunktionen und Kondensate [27, 28].

Zur Berechnung des Quark-Propagators und der Meson-Korrelatoren gibt es auch ana-
lytische Methoden. Die bedeutendsten Vorhersagen sind wohl die Brechung der chiralen
Symmetrie (SBCS) im axialen Triplett-Kanal [25] und das Fehlen eines Goldstone Bosons
im axialen Singulett-Kanal.

Der grote Teil dieser Arbeit ist der Erweiterung der analytischen Methoden und der
(semi-)analytischen Auswertung der Ergebnisse gewidmet.


2


Die Meson-Korrelatoren (auch Polarisations-Funktionen genannt) werden im Instanton-
Flussigkeits-Modell in Nullmoden- und 1/Nc-Approximation berechnet, wobei dynamische
Quark-Schleifen berucksichtigt werden. Durch einen spektralen Fit werden die Massen
der , , , a1 und f1 Mesonen im chiralen Limes bestimmt. Eine gesonderte Betrachtung
ermoglicht auch die Berechnung der Masse. Die Ergebnisse stimmen auf 10% Niveau
mit den experimentellen Werten uberein. Weiterhin wird versucht, die axialen Formfak-
toren des Protons zu bestimmen. Diese stehen in Zusammenhang mit dem Proton-Spin(-
Problem). Eine eichinvariante Gluon-Masse wird fur kleine Impulse berechnet.

Die Arbeit wird abgeschlossen mit einigen Vorhersagen, die sich nicht speziell auf das
Instanton-Flussigkeits-Modell stutzen. Im ein-Instanton-Vakuum wird ein eichinvarian-
ter Quark-Propagator berechnet und mit dem regularen und dem singularen Propagator
verglichen. Kriterien fur die Wahl einer geeignete Eichung, insbesondere fur die Wahl
der singularen oder der regularen Eichung, werden gegeben. Eine endliche Relation zwi-
schen dem Quark-Kondensat und der QCD-Skala wird hergeleitet, wobei weder ein
Infrarot-Cutoff noch ein spezifisches Instanton-Modell verwendet werden.


Inhaltsverzeichnis


1 Einf
uhrung 7
1.1 Ansatze zur Losung der QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Inhaltsbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Theorie der Instanton-Fl
ussigkeit 12
2.1 Trennung Gauscher von nicht-Gauschen Fluktuationen * . . . . . . . . . 12
2.2 Effektive QCD-Lagrangefunktion im Hintergrundfeld * . . . . . . . . . . . 15
2.3 Der semiklassische Limes * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Instantonen in der QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Das Instanton-Flussigkeits-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Der Propagator leichter Quarks 22
3.1 Storungstheorie im Multi-Instanton Vakuum * . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Exakte Streuamplitude im ein-Instanton Vakuum * . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Nullmoden Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Effektiver Vertex im Multi-Instanton-Vakuum * . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Eine willkommene Ausloschung * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Renormierung der Instanton-Dichte * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Selbstkonsistenz-Gleichung fur den Quark-Propagator * . . . . . . . . . . . 27
3.8 Ein wenig Phanomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.9 1/Nc Entwicklung * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.10 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Vier-Punkt-Funktionen 32
4.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 1/Nc Approximation * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Losung der Bethe-Salpeter-Gleichung * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Triplett- und Singulett-Korrelator * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Korrelatoren leichter Mesonen 39
5.1 Analytische Ausdrucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2 Analytische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3 Spektral-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Plot & Fit der Meson-Korrelatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3


4 INHALTSVERZEICHNIS


6 Die axiale Anomalie 47
6.1 Die Masse des Mesons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Messung der axialen Formfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Die axialen Singulett-Strome und die Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Der Proton-Spin und seine Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.5 Reduktion der Proton Formfaktoren zu Vakuum-Korrelatoren . . . . . . . 57
6.6 Axiale Formfaktoren GGI (q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1/2
6.7 Der Anomalie-Formfaktor A(q) * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.8 Die Anomalie-Formfaktoren K1/2(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.9 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Gluon-Masse 64
7.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 Der Gluon-Propagator * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 Der Propagator im statistischen Hintergrund * . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4 Eine naive Schatzung fur die Gluon-Masse * . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.5 Entwicklung in der Instanton-Dichte * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.6 QCD Propagatoren * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.7 Propagatoren fur kleine Impulse * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.8 Nullmoden * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.9 Zusammenfassung & Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8 Eichinvarianter Quarkpropagator 75
8.1 Allgemeines uber die Wahl einer geeigneten Eichung . . . . . . . . . . . . . 75
8.2 Eine naturliche Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3 
Uber die Wahl einer Eichung in der Instanton-Physik . . . . . . . . . . . . 77
8.4 Der Quark-Propagator in axialer Eichung * . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.5 Effektive Quark-Masse * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.6 Das Quark-Kondensat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9 Schlubetrachtung 84
9.1 Neue Erkenntnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.3 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

A Anhang 87
A.1 Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.2 Instantonen in singularer, regularer und axialer Eichung . . . . . . . . . . . 88
A.3 Mittelung uber die Instanton-Parameter I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
A.4 Numerische Auswertung der Fourier- Transformation . . . . . . . . . . . . 90
A.5 Numerische Auswertung der Faltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B Abbildungen 92
B.1 Panorama-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.2 Konstituenten-Quark-Masse in regularer, singularer und axialer Eichung . . 92


INHALTSVERZEICHNIS 5


B.3 Pseudoskalarer Triplett-Korrelator () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.4 Pseudoskalarer Singulett-Korrelator ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.5 Skalarer Triplett-Korrelator () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.6 Skalarer Singulett-Korrelator () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.7 Axialvektor-Korrelator (a1, f1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.8 Vektor-Korrelator (, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

C Literatur 101



Die mit * gekennzeichneten Kapitel sind eher technischer Natur.


Tabellenverzeichnis


3.1 Abhangigkeit verschiedener Groen von den Parametern des Instanton-
Flussigkeit-Modells nR, , Nc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1 Chirale Symmetrie-Brechung und Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Meson-Korrelatoren -- Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Meson-Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1 Proton Formfaktoren bei Impulsubertrag Null . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.1 Asymptotik von (p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89





6


Kapitel 1

Einf
uhrung


Die Theorien zur Beschreibung der vier fundamentalen Krafte in der Physik  Gravitation,
elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung  sind allesamt Eichtheorien. In
quantisierter Form werden die Krafte zwischen den verschiedenen Teilchen (Fermionen)
durch Eich-Bosonen vermittelt. Die QCD ist die Theorie der starken Wechselwirkung
zwischen Quarks und Gluonen. Sie ist eine SU(3) Eichtheorie mit der Lagrangefunktion1

N
1 f
L = Ga G + 

4g2  a l(iD
/ + iml)l . (1.1)
l=1


Berucksichtigt man nur die leichten Quarks u, d und manchmal s und setzt man deren
Masse auf Null, so erhalt man eine Theorie mit nur einem Parameter, der Eichkopplung
g, die jedoch aufgrund dimensionaler Transmutation kein freier Parameter ist. Trotz der
Tatsache, da die Struktur der QCD einfach ist (z.B. verglichen mit der elektroschwachen
Wechselwirkung), ist es wegen nicht-storungstheoretischer Effekte extrem schwierig, diese
Theorie zu losen.



1.1 Ans
atze zur L
osung der QCD

Um die Rolle der Instantonen in der QCD einzuordnen, mochte ich zunachst eine Reihe
wichtiger Methoden zur Losung der QCD erwahnen, beginnend mit Methoden, die allge-
mein in der Quantenfeldtheorie (QFT) Anwendung finden, und endend mit spezifischeren
Ansatzen:


 Axiomatische Feldtheorie: Wightman/Oswalder&Schrader haben eine Reihe von
Minkowskischen/Euklidischen Axiomen fur Vakuum-Korrelatoren angegeben, die

1In dieser Arbeit wird durchgehend die Euklidische Formulierung der QCD verwendet. Dies ist die
Quelle einiger ungewohnter Faktoren i oder Minuszeichen. Ursache des 1/g2 Vorfaktors ist ein Skalieren
der Eichfelder mit g.


7


8 KAPITEL 1. EINF 
UHRUNG


jede QFT respektieren sollte (Analytizitat, Regularitat, Lorentzinvarianz, Loka-
litat, . . . ). Es ist klar, da die aus diesen Axiomen abgeleiteten Theoreme von
sehr allgemeiner Natur sein mussen (z.B. CPT-Invarianz), da von keiner konkreten
Lagrangefunktion ausgegangen wird [2].

 Haag-Ruelle/LSZ Theorie: S-Matrix-Elemente stehen in 1:1 Beziehung zu Vakuum-
Korrelatoren [3]. Die S-Matrix ist das zentrale Objekt der Teilchen-Phanomenolo-
gie und enthalt wichtige Information wie Streuquerschnitte, Form-Faktoren, Struk-
turfunktionen, u.s.w. Theoretischen Studien sind meist die Vakuum-Korrelatoren
zuganglicher. Die Notwendigkeit der expliziten Konstruktion des Hilbert-Raumes
wird hier vermieden, was eine extrem schwierige Aufgabe ist, geht man uber die
Storungstheorie hinaus.

 Quantisierung: Man mag an dieser Stelle einwenden, da 'Quantisierung' nicht in
einer Liste von Methoden zur Losung von QFT auftauchen sollte, da es eine Me-
thode ist, eine QFT zu erhalten bzw. zu definieren. Auf der anderen Seite gibt es
neben der kanonischen Quantisierung andere Moglichkeiten eine Theorie zu quan-
tisieren. Die popularste ist die Pfad-Integral-Quantisierung [8]. 
Ublicherweise wird
diese in Lehrbuchern zur Teilchenphysik nur als Abkurzung benutzt, um bestimmte
Theoreme schneller herleiten zu konnen. Geht man uber die Storungstheorie hinaus,
so fuhren die verschiedenen Quantisierungs-Vorschriften haufig zu unterschiedlichen
physikalischen und mathematischen Einsichten und zu unterschiedlichen Methoden,
die Theorie zu losen. Varianten der Pfadintegral-Quantisierung sind die in Gitter-
Eichtheorien verwendete Random-Walk-Quantisierung und die stochastische Quan-
tisierung.

 (Gebrochene) Symmetrie: Jeder Freiheitsgrad wie Spin, Flavor und Farbe ist mogli-
cher Ursprung einer (approximativen) Symmetrie, wie SU(2Nf ) nebst Untergrup-
pen hiervon und SU(3) Eichinvarianz. Erhaltene Strome und Ward-Identitaten [4]
sind die Konsequenz. Im Falle leichter Quarks gibt es daruberhinaus eine approxi-
mative chirale Symmetrie, die zu PCAC, axialen Ward-Identitaten, Stromalgebra-
Theoremen, Soft-Pion Physik, etc. fuhrt. Weiterhin besitzt die QCD mit mas-
selosen Quarks eine anomal gebrochene Skaleninvarianz, die Ausgangspunkt der
Renormierungs-Gruppen-Techniken ist [5].

 Storungstheorie: Aufgrund der asymptotischen Freiheit der QCD ist die Kopplung
g fur groe Energien klein und die Storungstheorie in g ist anwendbar. Die QCD
kann also fur Prozesse, in denen nur Impulse von, sagen wir, mehr als 1 GeV beteiligt
sind, gelost werden. Das Verhalten von Korrelatoren fur kleine Abstande ist daher
berechenbar (x 0.2 fm).
 Operator-Produkt-Entwicklung (OPE): Eine Erweiterung der Storungstheorie kann
durch Separation der physikalischen Effekte bei kleinen Abstanden von den Ef-
fekten bei groen Abstanden erreicht werden. Erstere sind in den sog. Wilson-
Koeffizienten enthalten, die storungstheoretisch berechnet werden konnen. Letztere
nicht-perturbative Effekte sind in wenigen Vakuum- oder Hadron-Erwartungswerten


1.1. ANS 
ATZE ZUR L 
OSUNG DER QCD 9


lokaler Operatoren enthalten, die phanomenologisch oder Mithilfe von Modellannah-
men bestimmt werden mussen [57]. Vakuum-Korrelatoren kann man auf diese Weise
bis zu Abstanden von x 0.3 ...0.5 fm bestimmen.
 QCD Summen-Regeln: QCD-Summenregeln werden in vielfaltiger Weise
zur Bestimmung von Hadron-Massen und -Kopplungen eingesetzt. Die allge-
meine Methode ist, die Existenz bestimmter Hadronen anzunehmen und einen
Resonanz+Kontinuum-Ansatz im Minkowski-Raum zu machen. Der Euklidische
Korrelator wird theoretisch vorhergesagt (OPE, Gitter-Theorie, Instantonen). Mit-
tels Dispersionsrelationen kann man den Ansatz in einem bestimmten Euklidischen
Fenster durch Anpassen der Hadron-Parameter an den theoretischen Korrelator an-
gleichen, und erhalt so eine Vorhersage fur diese [57].

 Effektive Theorien: Man kann effektive Lagrange-Funktionen konstruieren, die
Mesonen und/oder Baryonen als fundamentale Felder enthalten, und mehr oder we-
niger durch die QCD oder historisch motiviert sind oder aus anderen physikalischen
Gebieten ubertragen wurden. Die Parameter werden experimentell bestimmt oder,
soweit moglich, aus der QCD berechnet.


Eine Reihe von Phanomenen sind mit den oben aufgelisteten Methoden qualitativ erklart
und quantitativ berechnet worden, aber das Verhalten der QCD bei groen Abstanden
ist weiterhin ungelost. Es gibt mindestens zwei Probleme, die in diesen Bereich fallen:
Chirale Symmetrie-Brechung und Confinement. Bis heute wird die Brechung der chiralen
Symmetrie angenommen und die Konsequenzen, wie Goldstone-Bosonen, werden unter
dieser Annahme diskutiert. In der OPE verwendet man die aus dem Experiment be-
stimmten von Null verschiedenen Werte fur das Quark- und fur andere Kondensate, hat
aber keine Moglichkeit jene vorauszusagen. Das Quark-Kondensat ist der Ordnungspa-
rameter der chiralen Symmetrie und ein nicht-verschwindender Wert zeigt die spontane
Brechung der chiralen Symmetrie (SBCS) an. Die Einschlieung von Quarks und Gluonen
zu Farb-Singulett-Zustanden (Confinement) mu auch angenommen werden.

Ansatze zur Losung dieser Probleme sind:


 Gitter-QCD: Im Prinzip ist die Methode sehr einfach. Das Kontinuum wird durch
ein feines Gitter ersetzt, das ein groes aber endliches Volumen uberdeckt. Das
Pfadintegral ist so durch eine groe, aber endliche Anzahl von Integralen ersetzt,
die numerisch ausgewertet werden. Alle Vakuum-Korrelatoren konnen fur beliebige
Euklidische Abstande berechnet werden. Auf diese Weise hat man Confinement und
SBCS gezeigt und einige Hadron-Parameter bestimmt. In der Praxis sind Gitter-
Rechnungen jedoch problematischer als der erste Eindruck, den diese skizzenhafte
Beschreibung vielleicht zurucklat [9].

 Instantonen: Wie in der Gitter-QCD versucht man das Euklidische Pfad-Integral
auszuwerten, aber nun in semiklassischer Approximation. Zusatzlich zum globalen
Minimum Aa = 0 der QCD-Wirkung, um das in der gew
 ohnlichen Storungstheorie


10 KAPITEL 1. EINF 
UHRUNG


entwickelt wird, gibt es viele andere lokale Minima, die Instantonen genannt wer-
den, und berucksichtigt werden mussen [11, 15, 16]. Im Quark-Sektor erzeugt dies
eine effektive Wechselwirkung zwischen den 2Nf leichten Quarks, die fur die SBCS
verantwortlich ist [17]. Obwohl Confinement nicht erklart werden kann, konnen
dennoch viele Hadron-Parameter berechnet werden [26, 27, 28], was die Vermutung
nahelegt, da Confinement keine so groe Rolle fur eine Reihe von Eigenschaften
der Hadronen spielt.


Oft erlaubt erst die Kombination der Resultate der verschiedenen Ansatze Kontakt zur
Phanomenologie.


1.2 Inhaltsbeschreibung

In dieser Arbeit werden die Implikationen der Instantonen auf die Hadron-Eigenschaften
quantitativ und systematisch studiert. Als elementare Einfuhrung in die klassische und se-
miklassische Theorie von Solitonen und Instantonen kann [11] uneingeschrankt empfohlen
werden.

Kapitel 2 gibt eine Einfuhrung in die semiklassische Berechnung nicht-trivialer Inte-
grale. Der allgemeine Formalismus wird fur endlich-dimensionale Integrale entwickelt und
anschlieend auf die QCD-Zustandssumme ubertragen. Weiterhin wird das Instanton-
Flussigkeits-Modell eingefuhrt.

In Kapitel 3 wird der Propagator eines leichten Quarks berechnet. Alle notigen Ap-
proximationen werden explizit erwahnt und diskutiert. Dynamische Quark-Schleifen re-
normieren die Instanton-Dichte, welche mit dem Gluon-Kondensat identifiziert werden
kann. Es wird gezeigt, da fur ein Quark-Flavor die 1/Nc Entwicklung exakt ist. Die
Konstituenten-Quarkmasse und das Quark-Kondensat werden fur das u, d und s Quark
berechnet.

Die gleichen Approximationen werden in Kapitel 4 benutzt, um die 4-Punkt-Funktionen zu
berechnen. Besondere Aufmerksamkeit gilt dem Singulett-Korrelator, zu dem eine Kette
von Quark-Schleifen beitragt, die im Nc Limes nicht unterdruckt ist. Mit ein und
derselben Approximation erhalten wir Goldstone-Bosonen im pseudoskalaren Triplett-
Korrelator, aber kein masseloses Singulett-Boson.

In Kapitel 5 werden die Meson-Korrelatoren diskutiert. Die Verwendung eines Spektral-
Ansatzes ermoglicht die Bestimmung einiger Meson-Massen und -Kopplungen. Diese wer-
den mit den Werten aus numerischen Studien der Instanton-Flussigkeit [28] und den ex-
perimentellen Daten verglichen.

Kapitel 6 beschaftigt sich mit der axialen Anomalie. Die interessantesten Groen im
axialen Singulett-Kanal sind die Masse des Mesons und der Spin des Protons. Durch
Kombination der axialen Anomalie und der Skalen-Anomalie mit Ideen aus der Instanton-
Physik kann m auf 10% genau vorhergesagt werden. Der Schwerpunkt liegt in der
Diskussion des Proton-Spins und dessen Berechnung im Instanton-Flussigkeit-Modells.


1.2. INHALTSBESCHREIBUNG 11


In Kapitel 7 wird der Geist- und der Gluon-Propagator im Instanton-Flussigkeits-Modell
berechnet. Fur kleine Impulse ergibt sich eine Geist-Masse von 340 MeV und eine Gluon-
Masse von 480 MeV. Die Massen sind unabhangig vom Eichparameter .

Kapitel 8 enthalt den Versuch, einige Vorhersagen zu machen, ohne sich auf das Instanton-
Flussigkeits-Modell zu stutzen. In regularer Eichung ist es moglich eine endliche Relation
zwischen dem Quark-Kondensat und der QCD-Skala zu erhalten. Da die Endlichkeit
wesentlich von der Wahl der Eichung abhangt, wird mit einer ausfuhrlichen Diskussion
einer Eichwahl und der Berechnung eines eichinvarianten Propagators begonnen.

Eine Zusammenfassung der in dieser Arbeit neu gewonnenen Erkenntnisse findet sich
in Kapitel 9. Daran anschlieend sind offene Fragen zusammengestellt, die eine weiterge-
hende Untersuchung verdienen. Die Anhange enthalten eine Liste verwendeter Notationen
und die explizite Gestalt eines Instantons und dessen Dirac-Nullmode in singularer, re-
gularer und axialer Eichung. Weiterhin werden Verfahren zur numerischen Berechnung
von Fouriertransformationen und Faltungen Lorentz-kovarianter Funktionen beschrieben.

Alle Abbildungen befinden sich am Ende der Arbeit vor dem nach Sachgebieten geordneten
Literaturverzeichnis.

Die einzelnen Kapitel konnen unabhangig voneinander gelesen werden. Die mit gekenn-
zeichneten Abschnitte sind eher technischer Natur.


Kapitel 2


Theorie der Instanton-Fl
ussigkeit


Dieses Kapitel stellt eine Einfuhrung in die semiklassische Berechnung der QCD Zu-
standssumme dar. Hierzu werden die Fluktuationen um Losungen der klassischen Eukli-
dischen Bewegungsgleichungen in (approximativ) Gausche und kollektive Koordinaten
zerlegt (Abschnitt 2.2). In Abschnitt 2.3 werden die (approximativ) Gauschen Frei-
heitsgrade in semiklassischer Approximation ausintegriert. Die klassischen Losungen der
Yang-Mills-Gleichungen konnen nach ihrer Topologie N ZZ klassifiziert werden und
werden Multi-Instanton-Losungen genannt. Auf eine Einf
uhrung in die mathematisch
sehr schone klassische Theorie von Instantonen [16] wird in dieser Arbeit verzichtet. Eine
elementare Einfuhrung in die klassische und semiklassische Theorie von Solitonen und
Instantonen verschiedenster QFT findet man in [11]. Die klassische ein-Instanton-Losung
und die zugehorige semiklassische Zustandssumme werden in Abschnitt 2.4 angegeben.
Die Multi-Instanton-Losungen konnen im Falle wohlseparierter Instantonen auf den Fall
eines Instantons zuruckgefuhrt werden. In Abschnitt 2.5 wird beschrieben wie Quarks
die Zustandssumme modifizieren. In Abschnitt 2.6 wird das Infrarot-Problem diskutiert
und das Instanton-Flussigkeits-Modell zur "Losung" dieses Problems vorgestellt. Den
Kapiteln 3-7 liegt dieses Modell zugrunde.



2.1 Trennung Gauscher von nicht-Gauschen
Fluktuationen *


Die QCD oder jede andere QFT in der Pfadintegral-Formulierung zu losen, ist aquivalent
zur Berechnung der Zustandssumme Z mit externem Quellterm. Dies ist keine einfa-
che Aufgabe, da man eine unendliche Zahl von Freiheitsgraden zu behandeln hat. Eine
Art, dieses Problem zu meistern, ist, die Anzahl der Freiheitsgrade durch semiklassische
Ausintegration der (approximativ) Gauschen Freiheitsgrade zu reduzieren. 
Ubrig blei-
ben die nicht-Gauschen Freiheitsgrade, kollektive Koordinaten genannt, die mit anderen
Methoden behandelt werden mussen.

12


2.1. TRENNUNG GAUSCHER VON NICHT-GAUSCHEN FLUKTUATIONEN *13


Ich mochte mit einer allgemeinen Beschreibung der Separation Gauscher von kollektiven
Koordinaten beginnen, ohne mich auf eine QFT zu beziehen. Ziel ist es,

Z = dnx e-S[x] (2.1)

zu berechnen, wobei S eine reellwertige Funktion ist, die von einem n dimensionalen
Vektor x IRn abhangt. Das Integral sei dominiert durch Werte von x, die in einer
Umgebung einer k-dimensionalen Unter-Mannigfaltigkeit des IRn liegen, welche durch
x = f (), IRk parametrisiert sei. Vektoren im Tangentialraum von f() werden
Nullmoden genannt, da S[x()] in dieser Richtung (nahezu) konstant ist. 
Ublicherweise
beschreibt f () degenerierte oder approximative Minima von S. Weiterhin stort es nicht,
falls f () Punkte enthalt, die nur wenig zum Integral beitragen  dies verursacht kei-
nerlei Fehler  aber f () darf keine wichtigen Punkte auslassen. In Abbildung B.1 ist
ein zwei-dimensionales Beispiel mit einem Flu (ein-dimensionale Mannigfaltigkeit) mit
steilen Fluufern und hohen Bergen zu seinen Seiten zu sehen. Das Integral wird von der
gestrichelten Flache dominiert. Diese Flache kann wie folgt parametrisiert werden:

x = f () + y , x, y IRn , IRk . (2.2)
Um diese Parametrisierung eindeutig zu machen, mussen wir k lineare Zusatz-Bedingun-
gen an y stellen:
ygi() = ci , 1 i k (2.3)
Beispielsweise bewirkt ci = 0 und gi() = f ()/i, eine Beschrankung von y senkrecht
zum "Flu": Es verbietet Fluktuationen in die nicht-Gauschen Nullmoden-Richtungen.
Jeder Punkt x wird jetzt (zumindest in der Umgebung des Flusses) eindeutig durch ein
y, das der Nebenbedingung (2.3) genugt, und durch ein mittels (2.2) parametrisiert.
Nun mu nur noch Z durch den Fluktuations-Vektor y und die kollektiven Koordinaten
ausgedruckt werden. Eine elegante Moglichkeit besteht darin, eine Faddeev-Popov-Eins
einzufuhren,

1 = dk dny k ygi() - ci n f() + y - x (x) (2.4)
die als Definition von zu verstehen ist. Fugt man diesen Ausdruck in (2.1) ein und
integriert uber x, so erhalt man:

Z = dk dny k(ygi() - ci) (f() + y) e-S[f()+y] . (2.5)

Die Ausfuhrung der y-Integration in (2.4) ist trivial:

-1(x) = dk k (x - f( ))gi( ) - ci . (2.6)

Fur x = f () + y tragt die -Funktion im Integral nur fur = bei. Daher durfen wir
das -Argument in - linearisieren

-1(f () + y) = dk k (ygi() )(
j
j - gi()f()
j - j) (2.7)
j

= |detij (yjgi - gijf)|-1


14 KAPITEL 2. THEORIE DER INSTANTON-FL 
USSIGKEIT


mit ygi() = ci .

Fur eine differenzierbare und bijektive Abbildung ist das Vorzeichen der Determinante
konstant und kann positiv gewahlt werden. Ist die Abbildung nicht bijektiv, so werden
Bereiche des IRn doppelt gezahlt, andere wiederum ausgelassen. In der QFT ist dieses
Phanomen unter dem Begriff 'Gribov-Mehrdeutigkeit' [59] oder 'Double-Counting' be-
kannt. Wir wollen Bijektivitat lokal in einer Umgebung der durch f () beschriebenen
Mannigfaltigkeit voraussetzen. Da es in der semiklassischen Approximation nur auf diese
Umgebung ankommt, spielt eine mogliche Mehrdeutigkeit auerhalb einer kleinen Umge-
bung der Mannigfaltigkeit keine Rolle und die Betragstriche in (2.7) konnen weggelassen
werden.

Durch Einsetzen von in (2.5) erhalten wir


Z = dk dny k(ygi() - ci) detij (yjgi() - gi()jf()) e-S[f()+y] . (2.8)

Z kann noch in eine fur die semiklassische Approximation geeignetere Form gebracht
werden, die auch die Analogie zur QFT mehr hervorhebt. Z ist von ci unabhangig und
daher ist auch die rechte Seite von (2.8) unabhangig von ci, obwohl ci explizit erscheint.
Durch Multiplikation mit

1 = (2)-k/2 dkc e- 1 c2
2 i i (2.9)

kann die -Funktion geglattet werden. Die Determinante kann in der Form


detA = d d
eA (2.10)


geschrieben werden, wobei antikommutierende Grassmann Variablen (Geister) sind.
Durch Einfugen von (2.9) und (2.10) in (2.8) und Ausfuhren der c-Integration erhalt man
folgendes Resultat:


Z = (2)-k/2 dk dny d d
e-S[f()+y]-Sgf [y,]+SFPG[y,,,] ,

1
Sgf = yT g () y , (2.11)
2 i()gT
i
i

SFPG = 
i (yjgi() - gi()jf())j .
ij


Fur eine global bijektive Transformation ist diese Darstellung der Zustandssumme Z
immer noch exakt, fur eine lokal bijektive Transformation ist sie exakt in jeder Ordnung
Storungstheorie, insbesondere in semiklassischer Approximation. An dieser Stelle konnten
nun die (approximativ) Gauschen Freiheitsgrade y, und 
in semiklassischer Approxi-
mation ausintegriert werden. Die Zustandssumme ist dann nur noch ein Integral uber die
kollektiven Koordinaten. In Abschnitt 2.3 wird dies direkt fur die QCD durchgefuhrt.


2.2. EFFEKTIVE QCD-LAGRANGEFUNKTION IM HINTERGRUNDFELD * 15


2.2 Effektive QCD-Lagrangefunktion im Hinter-
grundfeld *

Wir betrachten nun den Fall der QCD:

1
Z = DA e-SY M[A] , SY M [A] = d4x Ga G(x) (2.12)
4g2  a

Die Hintergrund-Konfigurationen, die SY M approximativ minimieren, werden mit 
A()
bezeichnet. Ein allgemeines Eichfeld kann in der Form

A = ( 
A() + B) , IRk (2.13)

geschrieben werden, wobei B Fluktuationen um den Hintergrund beschreiben und A
ein eichtransformiertes Feld ist

A = SA
 S + iSS , S = ei SU(Nc) . (2.14)

Wie im endlich-dimensionalen Fall mussen wir diese Darstellung durch zusatzliche Bedin-
gungen eindeutig machen. Wir fordern

D( 
A)B(x) = C(x) , (2.15)

um die Eichfluktuationen zu fixieren und

d4x i(x; )B(x) = ci , 1 i k (2.16)

um Fluktuationen in Nullmoden-Richtungen zu vermeiden. Die Herleitung einer effekti-
ven Wirkung ahnlich (2.11) erfolgt vollkommen analog zum vorherigen Fall, nur da die
Notation jetzt etwas komplizierter ist. Es gibt die folgende Korrespondenz:

endlich-dimensionales Beispiel : i x y i gi (2.17)
QCD : i, x A B i, (x) i

Die Faddeev-Popov Eins hat die Form


1 = dk D DB D( 
A)B k i B
 d4x ( 
A + B) - A [A] . (2.18)

Die einzelnen Schritte, um einen expliziten Ausdruck fur zu erhalten sind folgende:

Versehe , und B mit Strichen, setze A = 
A + B ein, linearisiere das letzte -Argument
um B = B Integration durch und linearisiere die
 , f
uhre die funktionale B 
ubrigen
-Argumente um = und = 0. Ohne die Details der Rechnung hier zu prasentieren,
erhalt man [25]

-1( 
A() + B) = dk D k(Xi) (Y ) , (2.19)


16 KAPITEL 2. THEORIE DER INSTANTON-FL 
USSIGKEIT



A i ()
X  
i = d4x i() B
-  (j - j) + iD( A + B) , (2.20)
j j j



A
Y = D 
( 
A + B) (
j - j) + D( 
A)D( 
A + B) . (2.21)
j j

Aus (2.15), (2.16), (2.20) und (2.21) kann man die Zustandssumme Z ohne weitere Rech-
nung ablesen:


Z = N() dk DB D D
k iBd4x e-SQCD[ A,B,,] , (2.22)



SQCD = SY M [ 
A + B] - Sgf[ A,B] + SFPG[ A,B,, ] ,
1
SY M = d4x Ga G( 
A + B) ,
4g2  a
1
Sgf = d4x (D
2 ( 
A)B)2 , (2.23)


A i ()
S  
F P G = 
i d4x i () B
 -  j
ij j j


A
+ d4x 

iiD( 
A + B)(x) + d4x 
(x)D( 
A + B)
i j j


+ d4x 
(x)D( 
A)D( 
A + B)(x) .


SQCD ist unabhangig vom Eichparameter . Aus diesem Grund konnte die -Integration
in die Definition des Normierungsfaktors N() absorbiert werden. (x) sind die gewohn-
lichen Geist-Felder, deren Ursprung die Eichfixierung ist. Fur jede weitere Bedingung
(2.16) erhalt man zusatzliche Geist-Variablen i. Fur 
A = 0 und keine zusatzliche Bedin-
gung (k = 0) reduziert sich die obige Wirkung auf die Standard QCD-Wirkung inklusive
Faddeev-Popov-Geistern in R Eichung

1
Sgf = d4x (
2 B)2 , SFPG = d4x 
(x)D(B)(x) . (2.24)


Man beachte, da die Wirkung (2.22) immer noch exakt ist, wobei die nicht-harmonischen
Freiheitsgrade i nun von den hoffentlich mehr Gauschen B und getrennt sind.

Fur kleine Kopplung g ist es nun moglich, Feynman-Regeln aus (2.23) in Analogie zu
dem Fall ohne Hintergrund abzulesen. Dazu ist es notig den "freien" Gluon-, Geist-
und Quark-Propagator zu gegebenen Hintergrund 
A zu berechnen. Falls 
A ein nicht-
konstantes Feld ist, ist selbst das eine sehr komplizierte Aufgabe, im Gegensatz zur
gewohnlichen Storungstheorie um 
A = 0. Fur exakte Multi-Instanton-Konfigurationen
wurden explizite Ausdrucke fur den Gluon- und Geist-Propagator in [18] hergeleitet.


2.3. DER SEMIKLASSISCHE LIMES * 17


2.3 Der semiklassische Limes *


Anstatt eine formale Storungstheorie in beliebiger Ordnung zu entwickeln, die aufgrund
der Komplexitat der Formeln praktisch unbrauchbar ist, ist es ratsam, sich auf den semi-
klassischen Limes zu beschranken, in dem man nur Terme, die hochstens quadratisch in
den Feldern sind, berucksichtigt. In der QCD (und vielen anderen Feldtheorien) ist dies
aquivalent zur Storungstheorie in niedrigster Ordnung, allerdings um einen nicht-trivialen
Hintergrund!

Bis jetzt haben wir i noch nicht n
 aher spezifiziert. Eine naturliche Wahl ware
i = 
A/i, um die Fluktuationen orthogonal zu den Nullmoden zu fixieren. Etwas
praktischer ist es i in die sogenannte Hintergrundeichung zu transformieren:




A
i 
 = mit so, da D
( 
A)i = 0 . (2.25)
j


Weiterhin wollen wir annehmen, da 
A die Eich-Wirkung SY M minimiert, d.h. wir ver-
nachlassigen die linearen Terme in SQCD. Fur wohlseparierte Instantonen ist diese An-
nahme erfullt.

Die quadratischen Terme haben folgende explizite Gestalt:

1
SQCD = SY M [ 
A] + d4x B
2g2 K( 
A)B + d4x 
(x)D2( 
A)(x)


A 
A
+ 
 
ii 
(x)D
j + d4x ( 
A) j + O(Feld3) , (2.26)
ij j j j



1
K = -D2 + 2iG + (1 - )D , (F c)
D , G = F cGc ab = ifacb . (2.27)

Fuhrt man die Gauschen Integrale uber die Eichfelder und die Geister aus, so erhalt man
eine effektive Wirkung, die nur noch von den kollektiven Koordinaten i abhangt:


Z = dk e-Seff [] (2.28)



A Det(
e-S 
ef f [] = det -D2( A))
ij i () e-SY M[ 
A] (2.29)
 j (Det K( 
A))1/2

Die -Funktion in (2.22) beschrankt die Eichfeld-Fluktuationen auf den Raum senkrecht
zu i . K ist definiert als die Projektion von K . Det
   auf den Raum orthogonal zu i
ist das Produkt aller Eigenwerte von K, ohne die k Nullmoden, die bei der Projektion
entstanden sind.


18 KAPITEL 2. THEORIE DER INSTANTON-FL 
USSIGKEIT


2.4 Instantonen in der QCD


Die Losungen der klassischen Euklidischen Yang-Mills Bewegungsgleichungen konnen
nach ihrer Topologie N ZZ klassifiziert werden und heien N Instanton1 Losungen
[16]. Die ein-Instanton Losung hat die wohlbekannte Form [15]:

(x 22
Aa - zI)
I(x) = Oab
I QI in singul
b arer Eichung
(x - zI)2 (x - zI)2 + 2
2(x
Aa (x) = Oab-QI - zI) in regul
I I b arer Eichung
(x - zI)2 + 2
I = (zI, OI, I, QI) = (Ort, Orientierung, Radius, topologische Ladung)

Die Instanton-Parameter I spiegeln die Symmetrien der Lagrangefunktion wider (Trans-
lation, Rotation, Skaleninvarianz, Paritat). Es war eine groe Leistung von 't Hooft, die
Funktional-Determinante im ein-Instanton Hintergrund zu berechnen. Um ein endliches
Resultat zu erhalten, mu ZI auf den 
Aa = 0 Fall normiert, regularisiert und renormiert

werden. Das Ergebnis der sehr aufwendigen Berechnung [17] fur die Zustandssumme in
semiklassischer Approximation ist

Z
I 1
= d d4z d D() = V 
D
Z I D(I ) = I dOI dI D(I ) = V4 4
0 2
reg Q 0
I =1

C
D() = Nc S2Nce-S1() = C -5S2Nc()b
5 0 Nc 0

4.6e-1.679Nc
CN =
c 2(Nc - 1)!(Nc - 2)!
82 82 1
S0 = , S = b ln , =
g2 1() = g2() P V
0 1
82 1 b 1 1
S2() = = b ln + ln ln + O( ) ,
g22() b ln 1



D() ist die Dichte der Instantonen mit Radius , g1/2() ist die laufende Kopplungskon-
stante in 1/2-Schleifen Approximation, b = 11N N2. S
3 c und b = 17
3 c 0 ist die klassische
Wirkung eines Instantons und g0 die nackte (unrenormierte) tree-level Kopplungskon-
stante. Eine Schatzung fur g0 erhalt man, indem man g0 durch die laufende Kopplung
an geeigneter Energieskala ersetzt. Diese ungl
uckliche Situation kann vermieden werden,
indem man den 2-Schleifen Ausdruck fur D() verwendet, d.h. S0 durch S1 und S1 durch
S2 ersetzt. Diese Ersetzung stellt allerdings nur fur kleine Kopplung eine Verbesserung
dar. Wenn die QCD-Skala erreicht, sollte man sich auf eine tree-level oder 1-Schleifen
Approximation beschranken, um brauchbare Resultate zu erhalten, da die Storungsreihe
nur asymptotisch konvergent ist.

1In dieser Arbeit werde ich sowohl Instantonen (N > 0) also auch Anti-Instantonen (N < 0) Instan-
tonen nennen und sie durch ihre topologische Ladung Q = N unterscheiden.


2.5. QUARKS 19


2.5 Quarks

Zusatzliche Felder, die eichinvariant an das Gluon-Feld gekoppelt sind, konnen einfach
berucksichtigt werden, indem man deren Wirkung zu SQCD addiert, das Eichfeld A durch

A+B ersetzt und die funktionale Integration uber die neuen Felder ausfuhrt. Jedes Quark
z.B. gibt einen zusatzlichen Faktor

DD 
e- dx (iD/+im) = Det(iD
/ + im) (2.30)


zur Zustandssumme Z, wobei

iD = i + 
A + B (2.31)

die kovariante Ableitung ist. In semiklassischer Approximation kann B auf Null gesetzt
werden. D() mu mit dem fermionischen Faktor

1.34m(1 + m22 ln(m) + . . .) fur m 1
F (m) := Det(iD
/ + im) = (2.32)
1 - 2 + ... fur m 1
75m22

multipliziert werden und b und b sind jetzt

11 2 17 13 1 N
b = N N N2 N f . (2.33)
3 c - 3 f , b = 3 c - 3 cNf + 2 Nc

2.6 Das Instanton-Fl
ussigkeits-Modell

Die Summe wohlseparierter Instantonen (QI = 1) ist ebenfalls eine approximative
Losung der YM-Gleichungen:

N

A = AI , S[A] NS0
I=1

Die Zustandssumme dieses sog. Instanton-Gases ist

1
Z = Z 
N , ZN (V D)N
N! 4
N =0


Die Summe wird dominiert durch Instanton-Konfigurationen mit der Dichte N/V4 = 
D.
Unglucklicherweise ist 
D unendlich und die Annahme eines stark verdunnten Gases er-
weist sich als falsch. Die Wahrscheinlichkeit kleiner Instantonen ist klein, da D() fur
kleine Abstande rasch gegen Null geht. Auf der anderen Seite divergiert D() fur groe
Abstande. Dies ist letztendlich eine Folge der wachsenden Kopplungskonstante bei groen
Abstanden. Dieses sog. Infrarot-Problem ist der Grund, warum sich viele Physiker von
der Instanton-Physik abgewendet haben. Es besteht jedoch der folgende Ausweg [27].
Fur immer groere Abstande fullt sich das Vakuum mit mehr und mehr Instantonen


20 KAPITEL 2. THEORIE DER INSTANTON-FL 
USSIGKEIT


wachsender Groe. Auf einer bestimmten Skala bricht die Instanton-Gas-Approximation
zusammen und man ist genotigt die Wechselwirkung zwischen den Instantonen zu beruck-
sichtigen, die, wenn man Gluck hat, repulsiv ist und das Instanton-Medium stabilisiert.
Die Stabilisierung konnte bei Abstanden erfolgen bei denen eine semiklassische Behand-
lung noch moglich ist und fur eine Dichte, bei der die Instantonen noch wohlseparierte
Objekte, d.h. durch die Wechselwirkung noch nicht stark deformiert sind. Diesem Bild
zufolge, das Instanton-Flussigkeit genannt wird, gibt es einen schmalen Bereich erlaub-
ter Instanton-Radien. Im Laufe der Jahre wurde dieses Bild immer mehr verfeinert und
bestatigt:


 Infrarot-Cutoff [14]
 Hardkugel-Modell [24]
 Variations-Ansatz [25]
 Numerische Studien [27]
 Phanomenologie [28]

Der allereinfachste Vorschlag ist, einen Cutoff c einzufuhren und groe Instantonen zu
ignorieren [14]:
c

D = d D()
c
0

Der Cutoff mu so klein gewahlt werden, da der Raumzeit-Bruchteil f , der mit Instan-
tonen besetzt ist kleiner als 1 ist um das Modell eines verdunnten Gases zu rechtfertigen

2 c 1
f = d 24D() < 1
Nc 0 2

Dieser einfache Cutoff Ansatz kann durch Einfuhren einer skaleninvarianten Abstoung
(harte Kugeln), durch die groe Instantonen effektiv unterdr
uckt werden, verbessert
werden [24]. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, die Skalen-Ward-Identitaten zu erhal-
ten, die durch den einfachen Cutoff-Ansatz verletzt wurden. In [25] wurde eine derar-
tige Abstoung tatsachlich gefunden und fuhrte zu einer phanomenologisch akzeptablen
Packungsdichte. Leider hat sich herausgestellt, da diese Abstoung ein Artefakt des ein-
fachen Summen-Ansatzes ist [20]. Folglich ist das Infrarot-Problem immer noch ungelost.

Dennoch ist es moglich, erfolgreich Vorhersagen zu machen, indem man einfach eine be-
stimmte Instantondichte und einen Instantonradius annimmt. Das Vakuum scheint durch
effektiv unabhangige Instantonen mit Radius = 600 MeV-1 und mittlerem Abstand
L0 = 200 MeV beschrieben werden zu konnen. Die totale Instanton-Dichte wird durch
das experimentell bekannte Gluon-Kondensat fixiert [13]:

1
n = N/V4 = 1/L40 = < Ga
322  G
a >= (200 MeV)4exp. (2.34)

In Kapitel 3 werden wir zeigen, da diese Relation nicht durch leichte Quarks modifiziert
wird. Das Verhaltnis L0/ ist in verschiedenen Arbeiten abgeschatzt worden [25, 27, 29].

(L0/)theor. = 3.0 . . . 3.2 . (2.35)


2.6. DAS INSTANTON-FL 
USSIGKEITS-MODELL 21


Das Instanton-Flussigkeits-Modell ist somit durch folgende Modellannahme fur D(I)
definiert:

D(I) = n(I - ) , n = (200 MeV)4 , = 600 MeV-1 . (2.36)
Dieses Modell beschreibt sehr erfolgreich die Physik leichter Hadronen. Ausfuhrlich nu-
merische Studien finden sich in [27, 28].

In hochenergetischen Prozessen mit Impulsubertragen p von 1 -10 GeV wird D() meist
mit einer um p-1 scharf lokalisierten Funktion multipliziert. Das Integral uber
ist nun durch kleine Instantonen dominiert und Infrarot-konvergent. Die Ergebnisse sind
somit unabhangig vom Infrarot-Cutoff und es mussen keine Modellannahmen gemacht
werden. Ein ahnliches Phanomen ermoglicht es in Kapitel 8 eine Relation zwischen dem
Quark-Kondensat und der QCD-Skala herzuleiten ohne Modellannahmen machen zu
mussen. Allen anderen Kapiteln liegt das Instanton-Flussigkeits-Modell zugrunde.


Kapitel 3

Der Propagator leichter Quarks


In diesem Kapitel wird der gemittelte Quark-Propagator im Multi-Instanton-Vakuum
berechnet. Die in [25] entwickelten Methoden werden um die Hinzunahme dynamischer
Quark-Schleifen erweitert. Im ersten Abschnitt wird der Instanton-Hintergrund als klassi-
sche externe Storung behandelt. Da der Hintergrund aber nicht klein ist (z.B. in der Kopp-
lungskonstante) mussen wir alle Feynman-Graphen aufsummieren. Im Falle eines Quark-
Flavors ist dies tatsachlich moglich in der sog. Nullmoden Approximation. Ermoglicht
wird dies durch exakte Ausloschung bestimmter Graphen und durch Renormierung der
Instantondichte. Als Nebenprodukt wird dabei die Frage, ob in Anwesenheit dynamischer
Quarks das Gluon-Kondensat mit der Instanton-Dichte identifiziert werden darf, positiv
beantwortet. Das Quark-Kondensat und eine Konstituenten-Quarkmasse werden in Ab-
schnitt 3.8 aus dem Propagator gewonnen. Im letzten Abschnitt wird gezeigt, da der Fall
zweier oder mehrerer Quark-Flavors im Limes Nc auf den Fall eines Quark-Flavors
reduziert werden kann. Die Resultate des ein-Flavor Falles bleiben also im Rahmen dieser
zusatzlichen Approximation weiterhin gultig.


3.1 St
orungstheorie im Multi-Instanton Vakuum *

Es ist allgemein bekannt, wie Korrelatoren in Anwesenheit externer Felder berechnet
werden, zumindest als Storungsreihe in Potenzen des externen Feldes Aa(x). Im Falle der
QCD im Instanton-Flussigkeits-Modell ist das externe Feld eine Summe wohlseparierter
Streuzentren A = A
I I , die Instantonen genannt werden, einen festen Radius besitzen
und statistisch unabhangig und zufallig im Euklidischen Raum verteilt sind.

F
ur den Anfang werden wir uns auf ein Quark-Flavor beschranken und Gluon-Schleifen
vernachlassigen. Die Euklidischen Feynman-Regeln haben die folgende Form:

' 1
= = S
p/ + im 0 ,

x AI
' ' = A
/I . (3.1)

22


3.2. EXAKTE STREUAMPLITUDE IM EIN-INSTANTON VAKUUM * 23


In Operator Notation,

1
p|S0|q = -(p
p/ + im - q) , x|A/I|y = A/I(x)(x - y) , (3.2)

ddp
-d(  ) := (2)d(  ) , d-dp := ,
(2)d
haben die Graphen die Bedeutung von Ketten bestehend aus einer alternierenden Folge
von S0 und AI. Um einen Graphen uber die Instanton-Parameter I zu mitteln, hat man
folgende Integration fur jedes Instanton auszufuhren:

N N 1
. . . I = d d4z
V I . . . = I dOI . . . . (3.3)
4 2 V
Q 4
I =


Zum Beispiel '
E
x



tAI x AJ
' 't ' ' =
I=J


N2
= - d
V 2 I dJ p|S0A/IS0A/IS0A/JS0|q Tr(S0A/JS0A/I) . (3.4)
4

Summation uber alle Paare verschiedener Instantonen (I, J) ergibt den Faktor N(N -1)
N2. Die Quark-Schleife ist die Ursache des Minuszeichens und der Funktional-Spur "Tr".


3.2 Exakte Streuamplitude im ein-Instanton Va-
kuum *

Die Storungstheorie ist geeignet, um Streuprozesse zu studieren. Um chirale Symmetrie-
brechung oder Bindungszustande zu erhalten, ist es notig, eine unendliche Reihe einer
Unterklasse von Graphen aufzusummieren oder Schwinger-Dyson- oder Bethe-Salpeter-
Gleichungen zu losen.

Als erstes konnen wir sukzessive Streuungen an einem Instanton aufsummieren

x AI x AI x AI
' ' v d
V ' ' '
v ' '
'
d
I := ' + ' + ' + . . . ,


VI := A/I + A/IS0A/I + A/IS0A/IS0A/I + . . . = S-1
0 (SI - S0)S-1
0 (3.5)
wobei
SI = (S-1
0 - A/I)-1 (3.6)
der Quark-Propagator im ein-Instanton-Vakuum und VI die zugehorige exakte Streuam-
plitude ist.


24 KAPITEL 3. DER PROPAGATOR LEICHTER QUARKS


3.3 Nullmoden Approximation

Der Quark-Propagator im ein-Instanton-Vakuum hat die Spektraldarstellung

(y)
(i/ - A/ l(x)
l
I )l = ll = x|SI|y = . (3.7)
l + im
l

wobei l und l die Eigenwerte bzw. Eigenfunktionen des Dirac-Operators sind. Es gibt
einen Eigenwert Null iD/I = 0 (Anhang A.2) der den Propagator im chiralen Limes
singular werden lat:

SI = |I I| + SNZM
im I . (3.8)
In der sog. Nullmoden Approximation erstzt man den Nicht-Nullmoden-Anteil durch den
freien Propagator
' V '
I
=SI -S0 |I I| . (3.9)
im

Obwohl diese Approximation gut fur kleine wie auch fur groe Impulse ist, kann sie
schlecht fur mittlere Impulse sein. Wichtiger aber ist die Tatsache, da dies eine wilde
(unsystematische) Approximation ist, die allgemeine Theoreme wie Ward-Identitaten ver-
letzen kann. Im Gegensatz hierzu sind alle anderen Approximationen systematischer Na-
tur, da sie alle bekannten Symmetrien der QCD respektieren.


 Semiklassische Approximation (systematisch)
 Multi-Instanton-Vakuum ("systematisch")
 1/Nc Entwicklung (systematisch) (letzten Abschnitt)
 Nullmoden Approximation (wild)

Man beachte, da jede Wahl eines Hintergrund-Eichfeldes "systematisch" ist, im Sinne alle
Symmetrien der QCD zu respektieren, solange uber alle Symmetrie-Parameter gemittelt
wird.

In den folgenden Abschnitten werden wir sehen, da die Vereinfachungen, die die Nullm-
oden Approximation mit sich bringt, so gro sind, da wir auf diesen Vorteil nicht ver-
zichten konnen.



3.4 Effektiver Vertex im Multi-Instanton-Vakuum
*

In Abschnitt 3.2 wurde die exakte Streuamplitude im ein-Instanton-Vakuum berechnet
(VI). In diesem Abschnitt werde ich einen formalen Ausdruck fur die exakte Streuampli-
tude an einem Instanton, welches sich in einem Multi-Instanton-Bad befindet herleiten
(MI).


3.5. EINE WILLKOMMENE AUSL 
OSCHUNG * 25


Betrachten wir eine Quarklinie mit zweimaliger Streuung an VI, wobei wir zwischen bei-
den Streuungen eine Reihe von Instantonen einschieben, die verschieden sind von I und
allen Instantonen, die anderswo im Graphen vorkommen. Dies ermoglicht eine Mittelung
der eingeschlossenen Instantonen unabhangig vom restlichen Graphen. Aufsummation
aller Einschube dieser Form, die mindestens ein Instanton enthalten, ergibt gerade den
exakten Quark-Propagator S minus dem freien Propagator S0. Man beachte, da direkt
wiederholte Streuung an AI bereits in VI berucksichtigt wurde und somit "verboten" ist.

Wir definieren

' ' ' '

' .
<
' .
< .<
VI
V '
I
VI
VI
V '
I
MI :=
VI + + +...
.
< := < - ' = S - S0 (3.10)


MI = VI + VI(S - S0)VI + VI(S - S0)VI(S - S0)VI + ...
= VI + VI(S - S0)MI .

Diese Gleichung kann nach MI aufgelost werden, indem wir folgenden Ansatz fur MI
machen:
1
MI = S-1
i 0 |I I|S-1
0 (3.11)

Setzen wir MI und VI in (3.10) ein, so erhalten wir:

1 1 1
S-1 = (1 + (S (3.12)
i 0 |I I|S-1
0 im i I |S-1
0 - S0)S-1
0 |I )S-1
0 |I I|S-1
0



=  = m + i I|S-1
0 (S - S0)S-1
0 |I . (3.13)
Das Instanton-Bad bewirkt folglich eine Ersetzung der Strom-Masse m durch eine effektive
Masse .



3.5 Eine willkommene Ausl
oschung *

Im folgenden zeigen wir, da jeder Graph, der ein MI mehr als einmal enthalt, einen
Partner besitzt, der diesen kompensiert. Man betrachte einen Graphen , der zwei Streu-
ungen MI am gleichen Instanton enthalt. Der uns interessierende Teil des Graphen hat
die folgende Gestalt:

'
p M ' q
I p q r s
. (q) (s)
. I (p) I (r)
. = I I (3.14)
i i
M E ip iq ir is
I
s E r


26 KAPITEL 3. DER PROPAGATOR LEICHTER QUARKS


p/ip sind Farb-/Dirac-Indizes am Quark-Bein mit Impuls p. In einem physikalischen
Prozess gibt es zusatzlich zu dem Graphen, der den oben angegebenen Subgraphen enthalt,
einen weiteren Graphen, in dem nur zwei Quark-Linien vertauscht sind:
'
p '
p (s) s r (q) q
   q
M I (p)
I I (r)
I
I
MI = - (3.15)
i i
s E E r ip is ir iq
Wie immer verursacht die Vertauschung zweier Quark-Linien ein Minuszeichen in der
Amplitude. Durch einen kurzen Blick auf beide Ausdrucke uberzeugt man sich, da sie bis
auf das Minuszeichen ubereinstimmen. Wir erhalten somit eine vollstandige Ausloschung:

' M ' ' '
I
...

+ MI
MI = 0
  
E
M E E E
I
(3.16)

Wann immer ein MI zwei- oder mehrfach in einem Graphen auftritt, existiert ein weite-
rer Graph mit umgekehrtem Vorzeichen. Beide Beitrage heben sich gegenseitig auf und
konnen ignoriert werden. D.h. ein Quark kann an jedem Instanton nur einmal via MI
streuen. Dies kann man auch auf andere Weise sehen: Aufgrund der Fermi-Statistik kann
jeder Zustand nur einmal besetzt werden, aber es gibt nur einen Zustand fur jedes Quark
in der Nullmoden Approximation  und zwar die Nullmode.

Es gibt zwei aquivalente Formulierungen der Feynman-Regeln:


1. Zeichne alle topologisch verschiedenen Graphen, wobei die Ecken nicht nummeriert
sind, und ordne jedem Graphen einen Symmetriefaktor zu.

2. Zeichne alle topologisch verschiedenen Graphen, wobei die Ecken nummeriert sind,
und ordne jedem Graphen einen Faktor 1/v! zu, wobei v die Anzahl der Ecken ist.


Wenn alle Graphen, die MI enthalten, erlaubt sind, ist es im Rahmen der zweiten Be-
schreibung nicht schwer zu sehen, da sie tatsachlich zu Paaren geordnet werden konnen.



3.6 Renormierung der Instanton-Dichte *

Bis jetzt ist die Ausloschung noch unvollstandig, da nicht alle Graphen erlaubt sind.
Betrachte z.B. E
MI

..

.
' '
+ M '
I
M '
I
M '
I
= 0
verboten verboten


3.7. SELBSTKONSISTENZ-GLEICHUNG F 
UR DEN QUARK-PROPAGATOR * 27


Wie im Falle von VI sind beide Graphen nicht erlaubt. Ein weiteres Beispiel ist

>

MI
..

.
' '
< +
 M '
I
MI M '
I

allgemei
nste = 0
verboten r Tadpole


Es ist eine allgemeine Tatsache, da verbotene Graphen mit anderen verbotenen Graphen
oder mit Tadpolen gepaart werden konnen und umgekehrt.

Wir mussen also irgendwie alle Tadpole-Graphen verbieten. Jedes MI kann mit Tadpolen
umgeben werden, die als universeller multiplikativer Faktor beitragen, der in eine Umde-
finition der Instantondichte n absorbiert werden kann. Verwendet man diese renormierte
Dichte1 nRNc, so ist die Paarung nun perfekt und der Satz "jedes MI tritt nur einmal
auf" ist jetzt wahr.

Wie man sich graphisch leicht uberzeugen kann, mu in Anwesenheit dynamischer Quarks
diese renormierte und nicht die nackte Instantondichte mit dem Gluon-Kondensat iden-
tifiziert werden, da die gleichen Tadpole auch im Gluon-Kondensat beitragen. Die oft
gestellte Frage, ob in Anwesenheit leichter Quarks das Gluonkondensat mit der Instan-
tondichte identifiziert werden darf, ist in obigem Sinne also mit 'Ja' zu beantworten!



3.7 Selbstkonsistenz-Gleichung f
ur den Quark-
Propagator *

Quark-Schleifen sind nicht langer moglich, da sie nicht durch ein gemeinsames Instanton
mit anderen Teilen des Graphen verbunden werden konnen. Alle Graphen, die noch
Beitragen konnen, sind Ketten verschiedener MI s:

' '
= '
< + n
M ' ' ' ' ' ' '
I + n
MI n
MJ + n
MI n
MJ n
MK
I=J=...


Die MI s konnen unabhangig voneinander gemittelt werden

n
M := i M R
I I , Mp M(p) := p|M|p = p22(p) . (3.17)
2

ist in Anhang A definiert. Das Ergebnis fur den Propagator hat die Form

M M M
S = S0 + S0 S S S
i 0 + S0 i 0 i 0 + . . . = (S-1
0 + M)-1 (3.18)

Noch eine Sache ist zu erledigen: Wir mussen die zyklische Abhangigkeit

1nR ist als renormierte und durch Nc dividierte Dichte definiert!


28 KAPITEL 3. DER PROPAGATOR LEICHTER QUARKS

(3.18) S
n


E
R M c(3.13)
d
d
s 
(3.17)



losen. Dies ist einfach, da  nur eine Zahl ist. Durch Einsetzen von (3.17) und (3.18) in
(3.13) erhalt man folgende Gleichung fur 

22(p)M
 = m + d-4p p (p2 + m(m + M
p2 + (m + M p)) (3.19)
p)2


die z.B. numerisch fur verschiedene Massen gelost werden kann.


3.8 Ein wenig Ph
anomenologie

Im chiralen Limes reduziert sich (3.19) zu

p44(p)
2 = nR d-4p = n ) (3.20)
p2 + M2 R2 + O(n2
R
p


2 ist proportional zu nR und somit ist M proportional zu nR. Dies steht im Gegensatz
zu einer linearen Abhangigkeit, die man durch eine naive Dichte-Entwicklung erhalten
wurde.

Der letzte Ausdruck wurde durch Entwicklung des Nenners in der Dichte gewonnen, wobei


= -2 d-4p p24 (p) = 6.6 (3.21)
sing


ist eine universelle Zahl. In Kapitel 8 wird ausfuhrlich diskutiert, da fur kleine Impulse
die singulare und fur groe Impulse die regulare Eichung zu verwenden ist, wobei der
Grenzbereich bei p 1 liegt. Da das Integral durch Impulse p < 1 dominiert wird,
mu die singulare Eichung verwendet werden. Fur die Standardwerte von nR und erhalt
man [25]

2 = 6.6n
0 R2 = (100MeV)2 ,
M(p = 0) = 7.7nR = 300MeV . (3.22)

Die exakte Losung von (3.20), die durch numerische Iterationen gewonnen werden kann,
vergroert die Masse um 15%:

M(0) = 345 MeV . (3.23)

Die Impulsabhangigkeit der Masse ist in Abbildung B.2 gezeigt. Mit gebotener Vorsicht
kann man m + M(p) als Masse eines Konstituenten-Quarks interpretieren. Fur hohe
Energien geht der Ausdruck gegen die Strom-Masse, bei kleinen Impulsen ist die chirale
Symmetrie gebrochen und das Quark nimmt seine Konstituenten-Masse m + M(0) an.


3.8. EIN WENIG PH 
ANOMENOLOGIE 29


Man beachte, da dies keine Polmasse, sondern eine virtuelle Masse bei p2 = 0 ist. Man
sollte vielleicht in diesem Zusammenhang den etwas irrefuhrenden Begriff 'Masse' durch
'Selbstenergie' ersetzen.

Wir wollen nun eine kleine Strom-Masse, formal von der Ordnung nR, berucksichtigen.
Die Selbstkonsistenz-Gleichung (3.19) lautet nun

m 2
1 = + 0 + O(n
 2 R) . (3.24)

Auflosen nach  ergibt

1 1
0  = m + m2 + 2
2 4 0 m + 0 . (3.25)

Fur das Strange-Quark ist  um den Faktor 2 vergroert:

(ms = 150MeV) = 200MeV (3.26)

Interessanterweise bleibt ms + M(0) unverandert 300MeV. Fur Impulsubertrag Null wird
die Vergoerung der Strom-Masse gerade durch ein gleich groes Schrumpfen der dy-
namischen Masse M(0) kompensiert. Vermutlich ist die Vernachlassigung der nicht-
Nullmoden, die fur Strange-Quarks wichtig werden konnen, fur die phanomenologisch zu
kleine Masse verantwortlich.

Aus dem Propagator kann man das Quark-Kondensat gewinnen


:= lim trCD(S(x) - S0(x)) = Nc d-4p trD(S(p) - S0(p)) . (3.27)
x0


In fuhrender Ordnung in der Dichte erhalt man

n
i 
= RNc = Ga G /322 . (3.28)
  a


Folgende Werte ergeben sich fur die Kondensate der u, d und s Quarks:

i 
uu = i 
dd = (250MeV)3 , 
ss = 0.5 
uu . (3.29)

Fur schwere Quarks gibt es eine ahnliche Relation

i 
= GaG
a /482m + O(m-3) , (3.30)

die innerhalb einer Genauigkeit von 10% zu demselben Wert fur das Strange-Quark-
Kondensat fuhrt. Dies bestatigt die Hypothese, da Strange-Quarks sowohl als leicht,
wie auch als schwer angesehen werden konnen. Diese Hypothese geht in Formeln ein,
die Ausdrucke fur schwere an solche fur leichte Quarks anpassen (heavy-to-light-quark-
matching).


30 KAPITEL 3. DER PROPAGATOR LEICHTER QUARKS


3.9 1/Nc Entwicklung *

Wir wenden uns nun dem Fall von Nf leichten Quark-Flavors u, d, s, . . . zu. Die Diskus-
sion des ein-Flavor Falles in den vorangegangenen Abschnitten kann bis zur paarweisen
Ausloschung von Graphen, die mehr als ein MI enthalten, kopiert werden. (3.16) ist auch
im Falle mehrerer Quark-Flavors wahr, solange beide Quark-Linien in (3.16) zum glei-
chen Flavor gehoren, denn MI kann nur Quarks gleichen Flavors verbinden. Es gilt also
der Statz: "Jedes MI tritt pro Flavor nur einmal auf". Von dieser Stelle an bricht die
Diskussion des ein-Flavor Falles zusammen, da es im Falle mehrerer Flavors Graphen mit
Quark-Schleifen gibt, die zum Propagator beitragen. Der einfachste neue Beitrag hat die
Form
'
E MJ
MI
.

. .
. ..
'
u u u
M '
I
M '
J


Kann dieser Beitrag in irgendeinem Sinne als klein angesehen werden? Dies ist tatsachlich
der Fall, denn Quark-Schleifen sind mit dem Faktor 1/Nc unterdruckt. In storungstheo-
retischem Kontext ist dies ausfuhrlich in [62] diskutiert, in der Instanton-Physik wurde
dies zuerst in [25] ausgenutzt. Obwohl 1/3 keine sehr kleine Zahl ist, scheint die 1/Nc
Entwicklung in vielen Fallen eine gute Approximation zu sein2.

Betrachten wir einen Graphen und fugen eine weitere Quark-Schleife hinzu, bestehend
aus:

N neuen Instantonen S
S Instanton-Streuungen N .

Dies multipliziert den Graphen (Tabelle 3.1) mit einem Faktor O(N1+N-S). Folgende
c
Falle sind moglich:


1 + N - S
= 1 N = S alle Instantonen sind neu
die Schleife ist unverbunden
= 0 ein altes Instanton Die Schleife ist ein Tadpole
< 0 die Schleife ist mindestens mit 1/Nc unterdruckt


Unverbundene Graphen werden durch Zustandsnormierung eliminiert und Tadpole wur-
den in die renormierte Instanton-Dichte absorbiert. Quark-Schleifen sind also tatsachlich
im Limes Nc unterdruckt. Zieht man die Nc-Abhangigkeit aus Tabelle 3.1 erneut
heran, so sieht man, da das gleiche Argument auch fur Gluon-Schleifen gilt.

2Man beachte, da auch in der QED die Ladung e = 0.3 nicht klein ist, der tatsachliche Entwicklungs-
Parameter = e2/4 = 1/137 aber winzig ist.


3.10. ZUSAMMENFASSUNG 31



Parameter nR, , Nc
Instanton-Dichte n = N/V4 = nRNc (200MeV)4
Instanton-Radius (600MeV)-1
Anzahl der Farben Nc = 3
Gluon-Kondensat GG = GaG
a /322 =: nRNc
Quark-Kondensat 
0.39 Nc-1nR (253MeV)3
Konstituenten-Masse M(p) nR
Quark-Masse Mquark(0) 7.7 nR 300MeV
Gluon-Masse Mgluon(0) 12.6 nR 480MeV[40]
Geist-Masse Mghost(0) 8.9 nR 340MeV[40]
Meson-Korrelator 
(x) 
(0) trunc. Nc
Quark-Schleife k' Nc
Instanton-Streuung kI N-1n-1/2
c R
Instanton-Auftreten NcnR
Gluon-Schleife k N2c-1
Instanton-Streuung kI (N2c-1)-1
Tabelle 3.1: Abhangigkeit verschiedener Groen von den Parametern des Instanton-
Flussigkeit-Modells nR, , Nc.

3.10 Zusammenfassung

Der Quark-Propagator wurde im Instanton-Flussigkeits-Modell in Nullmoden Approxi-
mation und in 1/Nc Entwicklung berechnet. Dynamische Quark-Schleifen konnten in
eine renormierte Instanton-Dichte absorbiert werden, welche mit dem Gluon-Kondensat
zu identifizieren ist. Im Falle eines Quark-Flavors ist die 1/Nc-Entwicklung exakt. Die
Werte fur die dynamische Quark-Masse und das Quark-Kondensat wurden fur up, down
und strange Quark berechnet. In jeder Ordnung Storungstheorie sind dynamische Quark-
Schleifen fur alle Prozesse im Limes Nc unterdruckt. Fur den Quark-Propagator
bleibt diese Tatsache uber die Storungstheorie hinaus gultig. Im nachsten Kapitel werden
wir sehen, da es in Meson-Korrelatoren nicht-unterdruckte Quark-Schleifen gibt.


Kapitel 4

Vier-Punkt-Funktionen


In diesem Kapitel werden die Korrelatoren von vier Quark-Feldern im Instanton-
Flussigkeits-Modell in Nullmoden Approximation berechnet. Von besonderer Bedeutung
ist dabei die Beobachtung, da in fuhrender Ordnung in 1/Nc nicht alle Quark-Schleifen
unterdruckt sind. Aufsummation aller Graphen fuhrt in Abschnitt 4.2 auf Bethe-Salpeter-
Gleichungen, die in Abschnitt 4.3 gelost werden. In Abschnitt 4.4 werden die Ergebnisse
fur die verbundenen und freien Flavor-Singulett und -Triplett-Korrelatoren zusammenge-
stellt.



4.1 Einf
uhrung

Im letzten Kapitel haben wir effektive Feynman-Regeln in der Nullmoden Approximation
hergeleitet:
' 1
= = S
p/ + im 0(p)


' 1
p M ' q
I
= p/ (q)q/
i I (p)
I



Ein Quark eines bestimmten Flavors kann nur einmal am Instanton I via MI streuen.
Tadpole-Graphen sind nicht erlaubt, sie sind in der renormierten Instanton-Dichte nR
absorbiert, die zu benutzen ist, wenn uber die Instantonen gemittelt wird. Im Falle des
Quark-Propagators sind dynamische Quark-Schleifen im Limes Nc unterdruckt und
 kann mittels (3.19) bestimmt werden. Im chiralen Limes haben wir

2 = 6.6nR2 + O(n2 ) (4.1)
R


gefunden. In diesem Kapitel werden wir die 4-Punkt-Funktionen im Falle zweier Quark-
Flavors gleicher Masse im Limes Nc in der Nullmoden Approximation berechnen:
p < < q
-(p - s + r - q) (p,s,q,r) = = (4.2)
s > > r


32


4.2. 1/NC APPROXIMATION * 33


= - dxdydzdw ei(py-qz+rw-sx) 0|T (x)(y) (z) (w)|0 .
Das -Feld steht fur u und d Quark-Felder in beliebiger Kombination und =
(11D, , , 5, 5) ist eine der 16 Dirac-Matrizen. Ohne Einschrankung der Allgemein-
heit betrachten wir nur Farb-Singulett-Korrelatoren. Die 4-Punkt-Funktionen konnen
zum Studium von Meson-Korrelatoren (Kapitel 5) und Quark-Formfaktoren (Kapitel
6) verwendet werden.



4.2 1/Nc Approximation *

Der allgemeinste Graph, der zum Quark-Propagator beitragt, ist nach den Regeln aus
Abschnitt 4.1, eine Folge verschiedener Instantonen MI. Analog besteht der allgemeinste
Graph eines Flavor-Triplett-Korrelators (
ud)( 
du) aus zwei Quark-Propagatoren, wobei
jeder Propagator jedes Instanton nur einmal enthalt, z.B.

'
u u
M
M
M
M ' ' ' '
J
p M ' q
I K L M
. ..
d
. ...
..
M
M
M E E Ed
P
M
M E E
I
s E N K M r

Die linke und rechte Seite des Graphen bilden Farb-Singuletts nach Voraussetzung. Nicht-
gemeinsame Instantonen konnen wie im Propagator-Fall gemittelt werden. Dies fuhrt zu
Graphen der Form u u
<
MI < MK < MN <
.
.
.
. . .
d
. . .d
>
MI> MK >
M
N >
(4.3)

wobei die fetten Linien mit groem Pfeil fur den exakten Propagator stehen

' '
= '
< + n
M ' ' ' ' ' ' '+ . . .
I + n
MI n
MJ + n
MI n
MJ n
MK
I=J=...


Es kann gezeigt werden, da nicht-planare Graphen, wie

u u
<
M
N <
MI<
  
d
 d
>
MI>
M
N >



mit 1/Nc unterdruckt sind, wieder unter der Voraussetzung, da die linke und rechte Seite
Farb-Singuletts bilden. Folglich konnen nur die in (4.3) gezeigten Leiter-Diagramme zum
Triplett-Korrelator beitragen.


34 KAPITEL 4. VIER-PUNKT-FUNKTIONEN


Man konnte meinen, da der gemischte Korrelator (
uu)( 
dd) Null ist, da die Graphen
notwendigerweise Quark-Schleifen enthalten, oder da vielleicht nur der zwei-Schleifen
Graph beitragt. Dies ist jedoch nicht der Fall! Lassen Sie mich zuerst das Resultat ange-
ben und es anschlieend diskutieren: Graphen, die zum gemischten Korrelator beitragen
sind Ketten von Quark-Schleifen

u d u d
< < < <


MI
MI
  
MJ
MJ
  
M
K
M
K
  
> > > >
u d u d (4.4)


Abzahlen der Nc-Potenzen zeigt, da diese Kette von der Ordnung 1/Nc ist. Nach
Ausfuhrung der Farb-Spur auf der linken und der rechten Seite von (4.4), sehen wir,
da der gemischte Korrelator von der Ordnung Nc ist. Formel (3.16) zeigt, da der
Triplett-Korrelator von derselben Ordnung ist.

Was ist in diesem Zusammenhang falsch an der im letzten Kapitel gezeigten Un-
terdruckung von Quark-Schleifen? Eine wesentliche Annahme war, da jeder Graph,
der eine Quark-Schleife enthalt, aus einem Graphen konstruiert werden kann, der diese
Schleife nicht enthalt, indem diese Schleife einfach hinzugefugt wird. Elimiert man eine
Schleife aus der Kette in (4.4) erhalt man einen unverbundenen Graphen. Da wir nur
die verbundenen 4-Punkt-Funktionen betrachten, kann die Kette folglich nicht auf eine
Weise konstruiert werden, die notig ware, um die Unterdruckung von Quark-Schleifen zu
beweisen.

Im Spezialfall von Meson-Korrelatoren (Kapitel 5) kann man auch einen anderen Stand-
punkt einnehmen. Der unverbundene zwei-Schleifen-Beitrag ist von der Ordnung N2, der
c
allerdings (auer im skalaren Fall) Null ist. Folglich ist die Schleifen-Kette kein fuhrender
Beitrag in Nc und nichts wurde bisher uber nicht-fuhrende Beitrage gezeigt.

Auf der anderen Seite kann man alle verbundenen Graphen durch Hinzufugen weiterer
Instantonen und Schleifen zu (4.4) konstruieren -- aber nun zeigt ein Abzahlen der Nc-
Potenzen, da jeder Versuch in einer 1/Nc Unterdruckung endet. Folglich ist obige Kette
der allgemeinste Graph in fuhrender Ordnung.

Die gleichen Argumente gelten fur den ( 
dd)( 
dd) Korrelator, nur da die Kette (4.4) mit
d startet.

Um die 4-Punkt-Funktionen zu erhalten, mussen die Ketten gemittelt und aufsummiert
werden. Alternativ kann dies in rekursiver Form, meist Bethe-Salpeter-Gleichung ge-
nannt, geschrieben werden:

u u u u u u u
< < <
MI < < MI < <
.
.
G = . + .

.
. G
> > > M I
I > > MI > >
d d d
d d
d d


4.3. L 
OSUNG DER BETHE-SALPETER-GLEICHUNG * 35


u d u d u d d
< < < < < < <

H =
MI
MI
   +
MI
MI
   K
> > > > > > > I
u d u d u d d (4.5)


d d d u d
< < < < <

K =
MI
MI
   H
> > > > > I
d d d u d



4.3 L
osung der Bethe-Salpeter-Gleichung *

Als erstes mussen wir den Integralkern der BS-Gleichung bestimmen. Die linke Seite des
Integralkerns bildet immer ein Farb-Singulett, da nur Farb-Singulett-Korrelatoren be-
trachtet werden. Im folgenden wird in singularer Eichung, die fur kleine Impulse geeignet
ist, gearbeitet (Kapitel 8).
Kontraktion der Farb- und Dirac-Indizes auf der linken Seite und Verwendung der Formeln
aus Anhang A.2 und A.3 ergibt

p q
1
MI... = r/ (s)s/p/ (q)q/
(i)2 I (r)
I I (p)
I I = (4.6)
s M I
I
r
n 1 1
= - Rp(p)q(q)r(r)s(s)-(p  5  5 .
2 - s + r - q) trD 2 2 


Der Integralkern lautet folglich
p M q p q
I
p q .. MI
  
MI
.
1 := = - s =
s M I I
I
s r r r

1
= - M ir + ip ir p r . (4.7)
n pMqMrMs
-(p - s + r - q) ipis iq 5 i 5
s iq s q
RNc


Das Ergebnis ist proportional zur nicht-lokalen Version des 't Hooft Vertex zwischen Farb-
Singulett-Zustanden.

Die Losung der BS-Gleichung hat eine ahnliche Struktur wie der Integralkern:


36 KAPITEL 4. VIER-PUNKT-FUNKTIONEN




p q
1
A := - M
n pMqMrMs
-(p - s + r - q) (4.8)
s r RNc
A0(t)ip ir + A ir p r .
is iq 5(t)ip
5 i 5
s iq s q


A0 und A5 sind skalare Funktionen, die nur von t = p - s = q - r abhangen. Der Beweis
ist einfach: Der Integralkern ist von der Struktur (4.8) mit A0 = A5 = 1 und das Produkt
zweier Vertices fuhrt auf dieselbe Struktur.


p < q p q
A B = AF B =
s > r s r



1
= - M
n pMq MrMs
-(p - s + r - q) (4.9)
RNc

A0F0B0(t)ip ir + A ir p r ,
is iq 5F5B5(t)ip
5 i 5
s iq s q



1
F0(t) = - (dpds) M
n pMstrD(S(p)S(s)) , (4.10)
R
1
F5(t) = - (dpds) M
n pMstrD(S(p)5S(s)5) , (4.11)
R



(dpds) := d-pd-s -(p - s - t) .

Mit anderen Worten, Vertices der Struktur (4.8) bilden eine geschlossene Algebra. Der
Grund fur dieses einfache Resultat ist, da der Integralkern eine einfache Produktfunktion
ist, abgesehen von der impulserhaltenden -Funktion.

Mittels (4.7), (4.8) und (4.9) reduziert sich die BS-Gleichung (4.5) auf primitive algebrai-
sche Gleichungen fur G0/5(t), H0/5(t) und K0/5(t):

G0/5(t) = 1 + F0/5(t)G0/5(t) ,
H0/5(t) = -1 - F0/5(t)K0/5(t) ,
K0/5(t) = -F0/5(t)H0/5(t) ,
mit der Losung
1 1 F
G = , H = , K = (4.12)
1 - F -1 -F2 1 - F2
wobei der Index 0 bzw. 5 und das Argument t unterdruckt wurden.


4.4. TRIPLETT- UND SINGULETT-KORRELATOR * 37


4.4 Triplett- und Singulett-Korrelator *

Aufgrund der Isospin-Symmetrie bilden Mesonen Tripletts und Singuletts. Ersetzt man

in (4.2) durch entsprechende Triplett- and Singulett-Kombinationen (wobei wir uns
die Notation des pseudoskalaren Korrelators borgen)

1 1
0 = (uu (
uu + 
dd), (4.13)
2 - dd), + = ud, - = du, = 2

so gilt

u u u d d u d d

0 Ct 0 = 1 K + K
2 - H - H
u u u (4.14)
d d u d d


Folglich ist Ct = K - H = 1 . Dies stimmt mit G = 1 fur den geladenen Triplett-
1-F 1-F
Korrelator ()() uberein -- wie es sein mu. Im Singulett Fall erhalten wir Cs =
K + H = - 1 .
1+F

Die Verallgemeinerung auf Nf Flavors bringt keinerlei Schwierigkeiten mit sich. Fugt man
Propagatoren in (4.8) an die externen Beine an, so erhalten wir unser Endergebnis fur die
verbundenen 4-Punkt-Funktionen



N
conn(p, s, q, r) = c M
-n pMqMrMs C0(t)trD(S(s)S(p))trD(S(q)S(r)) +
R
C5(t)trD(S(s)S(p)5)trD(S(q)S(r)5) (4.15)


N
Cs (t) = f - 1 f
0/5 - 
ur den Singulett-Korrelator (4.16)
(Nf - 1)F0/5(t) + 1
1
Ct0/5(t) = - fur nicht-Singulett-Korrelatoren
F0/5(t)  1
F0/5(t) sind in (4.10) definiert. Korrelatoren gemischter Flavor-Struktur, wie z.B. zwischen
einem Singulett- und einem Triplett-Strom, sind wie zu erwarten Null.

Der Vollstandigkeit halber geben wir noch die Formeln fur die unverbundenen Anteile der
4-Punkt-Funktionen an. Folgende Graphen konnen, abhangig von der Flavorstruktur,
beitragen:


p < q

= NctrD(S(p) S(s))-(p - q)-(r - s)
s > r
(4.17)
p q

=
-N2trD(S(p))trD( S(q))-(p - s)-(q - r)


38 KAPITEL 4. VIER-PUNKT-FUNKTIONEN





Man beachte, da der zweite zwei-Schleifen-Term von der Odnung N2c ist. In den meisten
Anwendungen fallt dieser Term heraus oder tragt als uninteressante Konstante bei.

Fur den Nicht-Singulett und Singulett Fall erhalt man:

-(p - s + q - r)free(p,s,q,r) = (4.18)



0 fur Nicht-Singulett
= NctrD(S(p) S(s))-(p - q)-(r - s) + Nf (4.17b) fur Singulett

4.5 Zusammenfassung

Die 4-Punkt-Quark-Korrelatoren wurden im Instanton-Flussigkeits-Modell in Nullmoden
Approximation und in 1/Nc Entwicklung berechnet. Die 1/Nc Entwicklung ist der Ersatz
fur die Dichte-Entwicklung, die in Anwesenheit leichter Quarks versagt. Die Arbeit [25]
wurde um die Hinzunahme dynamischer Quarks erweitert. Im Gegensatz zur ursprung-
lichen "storungstheoretischen" 1/Nc Entwicklung [62] sind nicht alle Quark-Schleifen un-
terdruckt. Im Flavor-Singulett-Meson-Korrelator uberlebt eine Kette von Quark-Schleifen
den Nc Limes. Die hier gewonnenen Ausdrucke fur die 4-Punkt-Funktionen werden
im folgenden Kapitel diskutiert.


Kapitel 5

Korrelatoren leichter Mesonen


Die Meson-Korrelatoren, auch Polarisationsfunktionen genannt, enthalten Information

uber das Meson-Spektrum der QCD. Pole bei p2 = m2 zeigen die Existenz von Meso-
nen der Masse m an. Mit den im Instanton-Flussigkeits-Modell berechneten 4-Punkt-
Funktionen (Kapitel 4) stehen uns auch die Meson-Korrelatoren analytisch, bis auf Inte-
gration, zur Verfugung (Abschnitt 5.1). In Abschnitt 5.2 werden diese kurz diskutiert, wo-
bei der pseudoskalare Kanal von besonderem Interesse ist. Aufgrund der chiralen Symme-
triebrechung gibt es im Triplett-Kanal masselose Goldstone-Bosonen, im Singulett-Kanal
hingegen nicht, da Instantonen die U(1)A-Symmetrie explizit brechen. Beide Phanomene
besitzen ein Analogon in der Supraleitung. Um die Meson-Massen zu berechnen, wird in
Abschnitt 5.3 ein Ansatz fur das Meson-Spektrum gemacht. Vergleich der theoretischen
Kurve mit diesem Ansatz in Abschnitt 5.4 ermoglicht die Bestimmung der Massen der
leichtesten Mesonen in den verschiedenen Kanalen. Die Auswertung der Integrale und
der Angleich erfolgen numerisch.



5.1 Analytische Ausdr
ucke

Im letzten Kapitel haben wir einige Quark-vier-Punkt Funktionen berechnet (4.2). Die
Meson-Korrelatoren sind lokale Versionen dieser Vertices und konnen einfach gewonnen
werden, indem man x = y und z = w setzt. Im Impulsraum haben die Meson-Korrelatoren
im Falle zweier Quark-Flavors (Nf = 2) die Form


< <

(t) = f ree(t) + conn(t) = K

= (5.1)
> >
= (dpds) (dqdr)(p, s, q, r) = - dxeitx 0|T j(x)j (0)|0 ,
1 1
js/t(x) = (
uu(x) (0) = (
u u(0)
2  dd(x)) , js/t
2  d d(0)) ,

(dpds) = d-pd-s -(p - s - t) , (dqdr) = d-qd-r -(q - r - t) ,

39


40 KAPITEL 5. KORRELATOREN LEICHTER MESONEN


t = p - s = q - r .
Durch Einsetzen der im letzten Kapitel berechneten vier-Punkt-Funktionen erhalt man,
bis auf Integration, analytische Ausdrucke fur die Meson-Korrelatoren. Die folgende Liste
ist eine Zusammenfassung aller Formeln, die zur Berechnung der Meson-Korrelatoren
benotigt werden:

free(t) = N
c (dpds) trD(S(p) S(s)) ,

conn(t) = (t)0 (t) + C (t)5 (t)) , (5.2)
-Nc(C0(t)0 5(t)5

1 + fur den Singulett-Korrelator
C0/5(t) = - ,
F0/5(t)  1 - fur den Triplett-Korrelator
1
0 (t) = (dpds) M
n pMstrD(S(p)S(s)) ,
R
1
5(t) = (dpds) M
n pMstrD(S(p)S(s)5) ,
R

F0(t) = -1 (dpds) M
n pMstrD(S(p)S(s)) ,
R

F5(t) = -1 (dpds) M
n pMstrD(S(p)5S(s)5) ,
R
1 n
S(p) = , M R p22
p/ + i(m + M p = sing(p) ,
p) 2

psing(p) = 2z [I
z 0(z)K0(z) - I1(z)K1(z)]z=p/2 ,
22 (p)Mp
 = m + d-4p sing (p2 + m(m + M
p2 + (m + M p)) , (5.3)
p)2

nRNc = (200MeV)4 , = (600MeV)-1 .


5.2 Analytische Ergebnisse

Fuhrt man die Dirac-Spur aus, so gelangt man zu folgenden Ausdrucken:

4 M ~
M
F pMs((ps) - ~
Mp s)
0/5(t) = - (dpds) ,
nR (p2 + ~
M2)(s2 + ~
M2)
p s
4 M ~
pMs( Ms)
0/5(t) = (dpds) (ps) - ~Mp , (5.4)
1/5 nR (p2 + ~
M2)(s2 + ~
M2)
p s

4i MpMs( ~
Mps
5 (t) = (dpds) - ~Msp) ,
5 nR (p2 + ~
M2)(s2 + ~
M2)
p s
~
Mp = m + Mp

Alle anderen Vertizes sind Null. Betrachte den ein-Instanton-Vertex (4.7) (den Inte-
gralkern). Er tragt nur zum skalaren und pseudoskalaren Korrelator bei. Schon aus dieser


5.3. SPEKTRAL-DARSTELLUNG 41


Beobachtung kann man vorhersagen, da der verbundene Teil aller anderen Kanale klein
ist, da ein potentieller Beitrag ein Multi-Instanton-Effekt sein mu. In der Tat sind die ver-
bundenen Vektor- und Tensor-Korrelatoren identisch Null. Aufgrund eines Extra-Faktors
M nR im Zahler von 5 ist der verbundene Teil des axialen Korrelators mit O(n
5 R)
unterdruckt. Folglich ist dieser Beitrag klein und wird im folgenden vernachlassigt.

Weiterhin werden wir uns auf den chiralen Limes beschranken und setzen im folgenden
m = 0. Mithilfe der Selbstkonsistenz-Gleichung (5.3) sieht man, da

F5(t = 0) = 1 (5.5)

Dies verursacht einen Pol bei t = 0 im pseudoskalaren Triplett-Korrelator wegen des
Faktors F5(t) - 1 im Nenner von (5.2) und erzeugt die masselosen Goldstone-Pionen,
welches man im chiralen Limes erwartet. Eine ausfuhrlichere Diskussion kann in [25]
gefunden werden. Im Gegensatz hierzu ist im Singulett-Korrelator das Minuszeichen
durch ein Pluszeichen ersetzt und man erhalt in diesem Kanal kein Goldstone-Boson, d.h.
das (zwei-Flavor) Meson ist massiv! Unglucklicherweise konnen wir auf diese Weise
die Masse nicht zuverlassig vorhersagen, da der Integralkern in diesem Kanal stark
abstoend ist und sich kein Bindungszustand ausbildet (vgl. Abschnitt 6.1). Andere
attraktive Krafte mussen vorhanden sein, z.B. Confinement-Krafte, um ein zu formie-
ren. Etwas ahnliches geschieht im skalaren Triplett-Kanal () (vergleiche Abbildung B.4
und B.5). Tatsachlich sind die experimentellen Massen von und entartet. Das Feh-
len eines masselosen pseudoskalaren Singulett-Mesons ist eine bedeutende Vorhersage der
Instanton-Physik und tragt entscheidend zur Losung des U(1)A-Problems bei.

Beide Phanomene haben ihr Analogon in der BCS-Theorie der Supraleitung als masse-
lose Exzitonen bzw. massive Plasma-Oszillationen. Sowohl die Phanomene als auch die
Struktur der Rechnung lassen sich nahezu 1:1 aufeinander abbilden. Dem 't Hooft Ver-
tex entspricht die Phonon-Elektron-Wechselwirkung. Weitere Parallelen lassen sich der
Tabelle 5.1 entnehmen. Eine Einfuhrung in die BCS-Theorie findet sich in [60].

Eine interessante Feststellung ist, da in fuhrender Ordnung in der Instanton-Dichte
F0(t) = -F5(t) gilt, was zu einem masselosen Pol im skalaren Singulett-Korrelator fuhrt.
Numerisch stellt sich das -Meson in der Tat als sehr leicht heraus. Experimentell scheint
ein leichtes skalares Singulett-Meson nicht ausgeschlossen werden zu konnen.


5.3 Spektral-Darstellung

Um phanomenologische Information aus den Meson-Korrelatoren zu ziehen, machen wir
Gebrauch von der Spektraldarstellung


(p) = d4x eipx 0|T j(x)j (0)|0 = d2 D(, x)(2) (5.6)
0

wobei
(p2) = (2)3 4(p - qn) 0|j(0)|n n|j (0)
|0 (5.7)
n


42 KAPITEL 5. KORRELATOREN LEICHTER MESONEN





Instantonen in der QCD BCS-Theorie

Phanomen Chirale Symm.-Brechung Supraleitung
Bindungszustande . . . 
qq-Paare=-Mesonen e-e--Paare=Cooper-Paare
geb. durch attraktive . . . instanton-induzierte Phonon-Elektron-
't Hooft Wechselwirkung Wechselwirkung
< I < < <
. .
. .
.

...
> .
I
> > >
im . . . pseudo-skalaren Kanal skalaren Kanal
Ordnungsparameter Quark-Kondensat Dichte supraleitender Elek-

tronen (Cooper-Paare)
Spontane Brechung der chiralen Symmetrie Eich-Symmetrie
fuhrt zu . . . Goldstone-Bosonen = Exzitonen =
masselose Pionen masselose Dichte-Flukt.
Vakuum-Polrisations- < #
<
J
I
  
Diagramme machen die
masselosen Anregungen       
>
massiv im flavor Singulett-Fall fur die C "
>
oulomb!
-WW
= massives = massive Plasma-Osz.
Tabelle 5.1: Analogie zwischen chiraler Symmetrie-Brechung in der QCD und der BCS-
Theorie der Supraleitung


5.3. SPEKTRAL-DARSTELLUNG 43


die Spektraldichte und

e-ipx 1
D(m, x) = d-4p = (mx)K
p2 + m2 42x2 1(mx) (5.8)

der freie Propagator zur Masse m in Ortsdarstellung sind. Wir werden im Ortsraum dar-
stellen, um einen Vergleich mit der Gitter-QCD und numerischen Studien zur Instanton-
Flussigkeit [28] zu ermoglichen.

Das Spektrum besteht aus mesonischen Resonanzen und Kontinuum-Beitragen. Ist man
nur an den Eigenschaften der ersten Resonanz interessiert, so kann man den Rest des
Spektrums durch das storungstheoretisch berechnete Kontinuum ersetzen.

Man konnte der Meinung sein, da der unverbundene Teil der Korrelatoren nur zum
Kontinuum beitragt und der verbundene Teil Information uber die Bindungszustande
enthalt, aber dies ist nicht generell der Fall. Auf der einen Seite besitzt die Bethe-Salpeter-
Gleichung gebundene wie auch Kontinuums-Losungen. Betrachten wir auf der anderen
Seite eine Theorie mit einer schwachen attraktiven Wechselwirkung zwischen Teilchen der
Masse m. Es ist klar, da in der freien Schleife nur ein Schnitt oberhalb 2m und kein Pol
eines Bindungszustandes auftritt. In der exakten Polarisations-Funktion wird allerdings
nur ein kleiner Teil des Kontinuums in einen Pol knapp unterhalb von 2m verwandelt.
Der Euklidische Korrelator wird dadurch kaum beeinflut. Nimmt man nun eine schwache
Attraktion, d.h. die Formierung eines Bindungszustandes an, so kann man dessen Masse
bereits aus dem unverbundenen Beitrag extrahieren. Naturlich ist in diesem einfachen
Beispiel jede Rechnung unnotig. Es ist klar, da der Bindungszustand eine Masse von
ungefahr 2m hat mit Fehlern von der Groenordnung der Wechselwirkung.

Nimmt man an, da alle bisher vernachlassigten Krafte in der QCD, insbesondere
storungstheoretische Korrekturen, klein und attraktiv im Vektor- und Axialvektor-Kanal
sind, so konnen wir die Massen der Bindungszustande bestimmen, obwohl im Rahmen
unserer Approximation kein verbundener Teil existiert. Im Gegensatz zu obigem Beispiel
sind die Verhaltnisse hier weniger trivial, da die Quarks keine scharfe Polmasse besitzen.
Wir mussen den Korrelator also inspizieren, um die Meson-Massen zu extrahieren.

Beginnen wir mit dem skalaren und dem pseudoskalaren Korrelator. Das leichteste Meson
der Masse m ist mit der Starke

= 0|j1/5(0)|p . (5.9)
an den Strom gekoppelt. Der Rest des Spektrums wird durch den Kontinuum-Beitrag
oberhalb der Schwelle E angenahert. * bedeutet , , oder (Tabelle 5.2).
E ist typischerweise von der Ordnung 1.5 GeV. Somit kann das Kontinuum mittels
Storungstheorie berechnet werden. Unser Ansatz f
ur das Spektrum hat die Form

3s
1/5(s) = 2(s ) + (s ) . (5.10)
- m2 82 - E2
Einsetzen der Spektraldichte in (5.6) ergibt

fit (x) = 2D(m
1/5 , x) + E(E, x) , (5.11)


44 KAPITEL 5. KORRELATOREN LEICHTER MESONEN



Korrelator = I=1 I=0
Pseudoskalar 5 = j5j5 i5
Skalar 1 = j1j1 11D
Vektor  = jj 
Axialvektor 5 = j5j5 5 a1 f1

Tabelle 5.2: Meson-Korrelatoren

3 (E 3
E(E x)3
, x) = (2K . (5.12)
4x6 16 3(Ex) + (Ex)K2(Ex)) x0
- 4x6
Im nachsten Abschnitt werden m, und E bestimmt, indem der phanomenologische
Ansatz fit(x) an die theoretische Kurve sum(x) in einem Euklidischen Bereich angepat
wird, in dem die theoretische Berechnung zuverlassig ist.

Betrachten wir nun den Vektor- und den Axialvektor-Korrelator. Der Vektor-Strom ist
erhalten, der Korrelator ist somit transversal und nur die Vektormesonen konnen beitra-
gen. Im chiralen Limes gilt gleiches fur den axialen Strom. Im axialen Singulett-Kanal
mu sorgfaltig zwischen zwei Stromen unterschieden werden, einem erhaltenen und einem
eichinvarianten, der die Anomalie enthalt. In fuhrender Ordnung in der Instanton-Dichte
stimmen die Korrelatoren beider Strome uberein und sollten erhalten sein.

Fur erhaltene Vektor- und Axialvektor-Strome ist die Spektralfunktion transversal:

p
(5)(p2) = ( p )(5)(p2) . (5.13)
 - + p2 T

Die Kopplung des Vektor- und des Axialvektor-Mesons an den Strom ist durch

i  = 0|j(5)
 (0)|p (5.14)

gegeben, wobei  die Meson-Polarisation ist. Die Spektral- und Polarisations-Funktionen
haben die Form

3s
-(5)
 (s) = 32(s - m2) + (s
42 - E2) , (5.15)
-fit(5)(x) = 32D(m
 , x) + 2E(E, x) .

* ist hier , , a1 oder f1 (Tabelle 5.2).

5.4 Plot & Fit der Meson-Korrelatoren

Die Meson-Korrelatoren sind in Abbildung B.3 - B.8 dargestellt, normiert auf die Korre-
latoren in niedrigster Ordnung Storungstheorie:

3 6
0 (x) = , 0(5) = (5.16)
1/5 4x6  -4x6


5.4. PLOT & FIT DER MESON-KORRELATOREN 45


Sie zeigen also die Abweichung vom storungstheoretischen Verhalten. Die numerische
Berechnung der Integrale ist in Anhang A.4 und A.5 diskutiert. Die Meson-Parameter,
die durch Anpassen des Parameter-Ansatzes an die theoretische Kurve gewonnen wurden,
sind in Tabelle 5.3 zusammengestellt. Shuryak&Verbaarshot [28] bestimmten dieselben
Parameter mit Hilfe numerischer Studien der Instanton-Flussigkeit. Deren Ergebnisse
sind ebenfalls in Tabelle 5.3 aufgefuhrt. Die Parameter im Vektor- und Axialvektor-Kanal
stimmen sehr gut mit unseren Ergebnissen uberein. Fur das - und das -Meson gibt es
groe Diskrepanzen in der Masse, aber das ist nicht verwunderlich: Wir betrachteten den
chiralen Limes, in dem die Pionen masselos sind. Ein ahnliches Argument gilt fur das
-Meson. Die Kopplungen stimmen gut uberein.

Die Diskrepanz im Axialvektor-Kanal kann verschiedene Ursachen haben, die zur Zeit
untersucht werden. Man kann auch direkt die Graphen vergleichen. Sie stimmen selbst
in den Fallen, in denen ein spektraler Fit nicht funktioniert, wie dem und Kanal,
mit [28] recht gut 
uberein. Aus alledem lat sich schlieen, da die Terme, die in unserer
semi-analytischen Behandlung vernachlassigt wurden, aber in den numerischen Studien
berucksichtigt wurden, klein sind und Korrekturen unterhalb 10% darstellen. Dies sind
Beitrage der nicht-Nullmoden und Korrekturen hoherer Ordnung in 1/Nc. Erneut tritt die
erstaunlich hohe Genauigkeit der 1/Nc Entwicklung zutage. Im Falle von Strange-Quarks
werden die Beitrage der nicht-Nulllmoden wichtiger.

Zum Schlu sollte man die Werte mit dem Experiment vergleichen. Soweit bekannt, sind
diese Zahlen in Tabelle 5.3 aufgenommen. Eine ausf
uhrlichere Diskussion der Meson-
Korrelatoren und der Vergleich mit den experimentellen Daten kann in [28] gefunden
werden.


46 KAPITEL 5. KORRELATOREN LEICHTER MESONEN





Meson IG(JP C) m[MeV] [MeV] E[MeV] Quelle
0 5081 127633 1/Nc
1-(0-+) 14214 51020 1360100 Simulation
138 480 -- Experiment
= 0 ? ? 1/Nc
0+(0-+) = 0 ? ? Simulation
960 ? -- Experiment
= 0 ? ? 1/Nc
1-(0++) = 0 ? ? Simulation
970 ? -- Experiment
4333 5063 144620 1/Nc
0+(0++) 543 500 1160 Simulation
? ? -- Experiment
9305 4084 145533 1/Nc
1+(1--) 950100 39020 1500100 Simulation
780 4095 -- Experiment
9305 4084 145533 1/Nc
0-(1--) ? ? ? Simulation
780 3905 -- Experiment
1350200 37030 105080 1/Nc
a1 1-(1++) 113250 30520 110050 Simulation
1260 400 -- Experiment
1350200 37030 105080 1/Nc
f1 0+(1++) 121050 29320 120050 Simulation
1285 ? -- Experiment

Tabelle 5.3: Meson-Masse m, Kopplungs-Konstante und Kontinuum-Schwelle E.
berechnet im Rahmen des Instanton-Flussigkeit-Modells: a) in dieser Arbeit (1/Nc), b)
aus numerischen Simulationen und c) vom Experiment.


Kapitel 6

Die axiale Anomalie


Mit Hilfe des Instanton-Flussigkeit-Modells konnen, bzgl. der chiralen Symmetrie-
Brechung, eine Reihe von Vorhersagen gemacht werden. Obwohl die 't Hooft Wechsel-
wirkung [17] die axiale U(1) Symmetrie explizit bricht, sind Instanton-Modelle bis jetzt
nicht sehr erfolgreich beim Beschreiben des axialen Flavor-Singulett-Kanals. Die interes-
santesten Groen in diesem Zusammenhang sind die Masse und der Spin des Protons.

In Abschnitt 6.1 wird m durch Verknupfen verschiedener Techniken berechnet. Das
Ergebnis hangt nicht von spezifischen Besonderheiten der Instanton-Physik ab.

Die Abschnitte 6.2, 6.3 und 6.4 f
uhren in das Proton-Spin-Problem ein. In Abschnitt 6.5
werden die Proton Formfaktoren unter Annahme unabhangiger Konstituenten-Quarks
auf Vakuum-Korrelatoren bestehend aus 4 Quark-Feldern zuruckgefuhrt. Die axialen
Singulett-Quark und -Gluon Formfaktoren werden in Abschnitt 6.6, 6.7 und 6.8 berech-
net, wobei auf den Propagator und die 4-Punkt-Funktionen zuruckgegriffen wird, die im
Instanton-Flussigkeits-Modell berechnet wurden. Die Eich(un)abhangigkeit wird eben-
falls untersucht. Eine Disukussion der Resultate und ein Vergleich mit [53] finden sich in
Abschnitt 6.9.

In den Abschnitten 6.2-6.5 wird ausnahmsweise die Minkowski-Notation verwendet.



6.1 Die Masse des Mesons

In vielen Kanalen fuhrte eine direkte Berechnung der Meson-Korrelatoren im Instanton-
Flussigkeits-Modell und ein spektraler Angleich zu brauchbaren Resultaten fur die Massen
der leichtesten Mesonen (Kapitel 5). Sogar im axialen Triplett-Kanal war diese Methode
erfolgreich, da das Modell SBCS korrekt beschreibt. Im axialen Singulett-Kanal verhin-
derte eine starke Abstoung die Ausbildung eines Mesons. Das Ergebnis war ein Fehlen
eines masselosen Golstone-Bosons in diesem Kanal, aber die Masse des konnte nicht
bestimmt werden. In diesem Abschnitt wird die Masse des durch Verknupfen verschie-
dener Methoden berechnet. Mit Hilfe

47


48 KAPITEL 6. DIE AXIALE ANOMALIE


 von Strom-Algebra-Resultaten fur ,
 der 1/Nc Entwicklung,
 einem Instanton-Model,
 der Skalen-Anomalie

ist es moglich, die Masse mit der Pion-Kopplungskonstante f und dem physikalischen
Gluon-Kondensat in Beziehung zu setzen.

In fuhrender Ordnung in 1/Nc kann m mit der -Abhangigkeit der QCD-Vakuum-
Energie ohne Quarks in Verbindung gebracht werden1 [43]:

4N d2E no quarks d2E
m2 = f , = d4x 0
f 2 d2 d2 |T Q(x)Q(0)|0 conn (6.1)
=0


Q(x) = s tr
4 cG ~
G(x) , Q = d4x Q(x) ZZ
Q(x) ist die topologische Ladungsdichte und Q die Gesamt-Ladung. Folgende Argumente
gehen in die Herleitung ein: Fur groe Nc ist die topologische Suszeptibilitat d2E/d2
durch das dominiert. Ausnutzen der axialen Anomalie und der Relation f = f , die
fur Nc exakt ist, fuhrt zur Witten-Formel (6.1).
Der nachste Schritt ist, die topologische Suszeptibilitat auf das Gluon-Kondensat
0|N(0)|0 zuruckzufuhren

N(x) = s tr
4 cGG(x) , N = d4x N(x)

Betrachten wir zunachst die exakten N-Instanton-Losungen (Q = N). Sie sind selbstdual
(G = ~
G) und folglich gilt

0|T Q(x)Q(0)|0 conn = 0|T N(x)N(0)|0 conn . (6.2)

Die exakten Anti-Instanton-Losungen (Q = -N) sind anti-selbstdual (G =- ~G) und
(6.2) gilt ebenfalls, da sich die zwei Minuszeichen gegenseitig aufheben. Unglucklicher-
weise sind die exakten Losungen nicht die wichtigsten Beitrage zur Zustandssumme.

Die dominierenden Konfigurationen sind Instantonen und Anti-Instantonen in gemischter
Form. Das einfachste Modell ist eine verdunnte Summe A = A
I I von Instantonen
gemischter Ladung. In diesem Hintergrund ist G ungefahr selbstdual in der Nahe der
Instanton-Zentren, ungefahr anti-selbstdual in der Nahe der Anti-Instanton-Zentren und
klein weit weg jeden Instantons. In fuhrender Ordnung in der Instanton-Dichte ist

G(x) =  ~G(x) (6.3)

wobei das Vorzeichen jetzt von x abhangig ist! Ohne weitere Annahmen kann (6.2) fur
x = 0 nicht mehr bewiesen werden.

1 AB conn = AB - A B


6.1. DIE MASSE DES MESONS 49


Sei N(x) wie folgt definiert:

N(x) = N+(x) + N-(x) , Q(x) = N+(x) - N-(x)
N+(x) hat die Gestalt einer Summe von Hugeln in der Nahe der Instanton-Zentren und
N-(x) in der Nahe der Anti-Instanton-Zentren. (6.2) mu durch

0|T Q(x)Q(0)|0 conn = 0|T N(x)N(0)|0 conn - 4 0|T N+(x)N-(0)|0 conn (6.4)
ersetzt werden. Nimmt man die Unabhangigkeit der Instantonen von den Anti-
Instantonen an ( N+N- = N+ N- ) reduziert sich diese Gleichung erneut zu (6.2).

Die nachste Zutat ist das Skalenverhalten der QCD. Die klassische Chromodynamik ist
skaleninvariant und das Noether-Theorem fuhrt zu einem erhaltenen Strom. In der Quan-
tentheorie ist die Skaleninvarianz anomal gebrochen (wie die axiale Singulett-Symmetrie).
Ward-Identitaten konnen hergeleitet werden, insbesondere [64]

4 11
d4x 0|T N(x)N(0)|0 conn = 0 N
b |N(0)|0 , b = 3 c (6.5)

In einem (anti)selbstdualen Hintergrund ist die topologische Suszeptibilitat somit propor-
tional zum Gluon-Kondensat [21]:

d2E 4
= 0
d2 b |N(0)|0 (6.6)

Die Gleichung bleibt gultig, wenn das QCD-Vakuum durch statistisch unabhangige selbst-
duale und anti-selbstduale Bereiche dominiert wird, wie oben gezeigt wurde. In der Tat
genugt die Unabhangigkeit der totalen Instanton/Anti-Instanton-Zahl N. (6.6) habe ich
unter Verwendung der 1-Schleifen Instanton-Dichte D() [17] direkt uberpruft. Nur die
Abhangigkeit D() -5()b ist von Bedeutung. Aufgrund der Infrarot-Divergenz
ist es notig, einen Cutoff einzufuhren. Dabei darf das Skalenverhalten nicht zerstort wer-
den. Eine minimale 
Anderung ist, Cutoffs f in der totalen Instanton/Anti-Instanton
Packungsdichte einzufuhren. Die Packungsdichte ist der Bruchteil des durch Instanto-
nen besetzten Raumzeit-Volumens und ist dimensionslos. Skaleninvarianz und die Un-
abhangigkeit von Instantonen und Anti-Instantonen sind gewahrleistet. Die Zustands-
summe lautet
Z = Z+ Z- (6.7)
N+ N-
N+N-

N
V N 1 
Z = 4 d D( ) f 4
N 1 . . . dN 1) . . . D(N 
 N   - i
! 0 V4 i=1
Eine langere Rechnung im thermodynamischen Limes V4 ergibt
c - b N
4 
Z = N
N V44

wobei c = c(f, b) von N unabangige Konstanten sind. Zweimaliges Ableiten von ln Z
nach ln c fuhrt zu (6.6). Das Ergebnis ist unabhangig von f.


50 KAPITEL 6. DIE AXIALE ANOMALIE


Eine attraktive Wechelwirkung wurde die Suszeptibilitat verkleinern (im Vergleich mit
der Dichte). Dies kann man wie folgt sehen: Im extremen Fall einer sehr starken At-
traktion sind alle Instantonen in Instanton-Anti-Instanton Molekulen gebunden, damit
ist N+ = N- und Q 0. Auf der anderen Seite erhoht eine abstoende Wechselwirkung
die Suszeptibilitat:

d2E 4
< 0
d2 b |N(0)|0 fur attraktive II Wechseleirkung (6.8)
d2E 4
> 0
d2 b |N(0)|0 fur repulsive II Wechselwirkung (6.9)

Die Verletzung von (6.6) kann als Ma fur die II Wechselwirkung verwendet werden.

In [25] wurde ein einfacher Summen-Ansatz A = AI gemacht, wobei die daraus re-
sultierende Wechselwirkung nicht vernachlassigt wurde. Eine zu (6.6) ahnliche Relation
wurde hergeleitet, aber ohne den Faktor 4/b. Das Ergebnis selbst und ein Vergleich mit
(6.9) zeigt, da eine abstoende Kraft am Werk ist. Verbaarshot [20] hat gezeigt, da
diese Abstoung ein Artefakt des einfachen Summen-Ansatzes ist. Unter Verwendung des
genaueren und komplizierteren Stromlinien-Ansatzes konnte er zeigen, da die Wechsel-
wirkung stark von der relativen Orientierung der Instantonen abhangt und die gemittelte
Wechselwirkung um den Faktor 14 kleiner ist als in [25]. Das beste was man zur Zeit
tun kann, ist, uberhaupt keine Wechselwirkung anzunehmen und die Packungsdichte bei
einem kleinen Wert abzuschneiden.

Es gibt ein allgemeineres Argument, warum die Relation in [25] falsch sein mu. Die
topologische Suszeptibilitat ist von der Ordnung O(N0c), wahrend das Gluon-Kondensat
O(Nc) ist. (6.6) ist konsistent mit Nc Betrachtungen aufgrund des Faktors 4/b.
Wir fahren nun fort mit der Berechnung von m . Das physikalische Gluon-Kondensat ist

0|N(0)|0 phys = nRNc = (200MeV)4 . (6.10)

Durch die Anwesenheit leichter Quarks ist es um den Faktor < 1 reduziert

0|N(0)|0 phys = 0|N(0)|0 no quarks (6.11)
=0


Wir erhalten folgende Formel f
ur die Masse

4N 12
m2 = f n
f 2 11 R (6.12)



Wie man sieht, ist m2 1/Nc, da f2 Nc und nR und unabhangig von Nc sind. Die
grote Unsicherheit liegt in der Bestimmung von . Verwendet man erneut das Instanton-
Modell, so ist die Determinante des Dirac-Operators, wobei die Strom-Massen durch
effektive Massen ersetzt werden mussen:

= 1.34meff
i 0.4...0.7 (6.13)
i=u,d,s


6.2. MESSUNG DER AXIALEN FORMFAKTOREN 51


Die effektiven Massen wurden dabei gleich den Konstituenten-Massen gesetzt

meff
u = meff = 300 . . . 350 MeV , meff
d s = 400 . . . 500 MeV (6.14)

und auf den Wert des Instanton-Flussigkeit-Modells ( = 600 MeV-1). Diese Schatzung
f
ur ist konsistent mit [21]. Einsetzen von Nf = 3 und f = 132 MeV in (6.12) ergibt

m = 884  116MeV (6.15)
und ist in guter 
Ubereinstimmung mit dem experimentellen Wert von 958 MeV. Verwendet
man m als Input, so kann das Gluon-Kondensat der QCD ohne Quarks bestimmt werden

s tr
4 cGG no quarks = (246 MeV)4 (6.16)

wobei wieder Nf = 3 gesetzt wurde.

Der Faktor 4/b in (6.6) ist wesentlich, um die korrekte Nc Abhangigkeit von m und

Ubereinstimmung mit dem Experiment zu erhalten. Die Diskussion hat gezeigt, da
der -Kanal im Prinzip eine experimentelle 
Uberprufung der Unabhangigkeit selbstdua-
ler und anti-selbstdualer Bereiche des QCD-Vakuums ermoglicht, die eine Annahme in
den einfachsten Instanton-Modellen ist. Es mag sich eines Tages herausstellen, da
die Details aller Instanton-Modelle falsch sind, aber die Annahme der Unabhangigkeit
(anti)selbstdualer Bereiche weiterhin gultig bleibt.


6.2 Messung der axialen Formfaktoren

Die Vorwarts-Matrix-Elemente der axialen Strome

s = ps| 5|ps , = u,d,s
konnen als Quark-Spin-Beitrag zum Proton interpretiert werden. Diese Interpretation
wird in den folgenden Abschnitten prazisiert werden. Drei Linearkombinationen der
sind gemessen worden, was eine Bestimmung ihrer individuellen Werte ermoglicht.

Aus dem -Zerfall des Neutrons erhalt man unter Ausnutzung der Isospin-Invarianz [50,
54]
a3 = gA = u - d = F + D = 1.254  0.06 .
Aus dem -Zerfall der Oktett-Hyperonen erhalt man unter Ausnutzung der SU(3)F -
Symmetrie [51, 54]
3a8 = u + d -2s = 3F -D = 0.6880.0035 .
Aus der spin-abhangigen Struktur-Funktion gp1 des Protons, die von der EMC [48] und
der SMC [49] gemessen wurde, kann man

1 4 1 1
p = gp1(x)dx = u + d + s + O(s) = 0.142  0.014 (6.17)
0 9 9 9


52 KAPITEL 6. DIE AXIALE ANOMALIE


extrahieren. Angegeben ist der Welt-Mittelwert.

Von speziellem Interesse ist die Quark-Spin-Summe

3
GI = a
2 0 = u + d + s = 0.27  0.13 (6.18)

die aus den oben angegebenen Werten bestimmt werden kann. O(s) Korrekturen wur-
den berucksichtigt. GI weicht signifikant vom naiven Quark-Modell-Wert qm = 1
ab. Diese Abweichung ist der Ursprung des sogenannten Spin-Problems. Weiterhin wi-
derspricht die groe Polarisation der Strange-Quarks im Proton

s = -0.1  0.05
der Intuition, da dies einen hohen Strange-Quark-Anteil im Proton impliziert.

Wesentlich mehr konnte zur Proton-Spin-Phanomenologie und zur experimentellen Situa-
tion gesagt werden. Fur eine Einfuhrung und weitere Referenzen siehe [45, 46, 47, 48].
Wir wollen nun eine sorgfaltigere Definition und Interpretation von GI und anderen
Groen geben, die dann im folgenden im Instanton-Modell berechnet werden.



6.3 Die axialen Singulett-Str
ome und die Anomalie

Es ist wohlbekannt, da Produkte von Operatoren am gleichen Raumzeit-Punkt sehr sin-
gulare Objekte sind. Um die Ausdrucke wohldefiniert zu machen, mu man die Operator-
Produkte regularisieren und renormieren. Eine Anomalie tritt auf, falls diese Prozedur
eine Symmetrie der Theorie bricht. Die wichtigsten sind die Brechung der Skaleninvarianz
und der axialen Symmetrie [64]. Im folgenden wird die axiale Anomalie betrachtet [41].
Das zu regularisierende Operator-Produkt ist der axiale Singulett-Strom,

J5(x) = 
q(x)5q(x) (6.19)
q{u,d,s,...}


der lokal, eichinvariant und erhalten zu sein scheint2. Unglucklicherweise geht nach Regu-
larisierung eine der 3 Eigenschaften unvermeidbar verloren. Folglich konnen zwei verschie-
dene lokale Strome definiert werden, ein erhaltener (c) und ein eichinvarianter (GI). Der
dritte eichinvariante, erhaltene und nicht-lokale Strom ist in [42] in Zusammenhang mit
dem U(1)-Problem diskutiert. Im folgenden wird die Summation uber die Quark-Flavors
unterdr
uckt und f
ur den Quark-Feld-Operator geschrieben:

x+
JGI(x) = lim 
(x + ) dz
5 5P exp i A(z) (x)
0 x
Jc 
5(x) = lim (x + )5(x) (6.20)
0

2Die Terminologie 'erhalten' wird auch fur mq = 0 verwendet. Dieser Strom wird in der Literatur
auch Symmetrie-Strom genannt.


6.4. DER PROTON-SPIN UND SEINE INTERPRETATION 53


Die Differenz zwischen den beiden Stromen wird durch den Anomalie-Strom K beschrie-
ben:

N 2
K f s
(x) = AA) , JGI = Jc + K
2  trcA (G - 3 5 5 
N
K f s
(x) = tr
2 cG ~
G(x) = a(x) (6.21)

Jc5(x) = 2mJ5(x) , J5 = i 
5 .

m ist die Strom-Quark-Masse und Nf die Zahl der Flavors. Beachte, da die Aufteilung
von J5 in einen erhaltenen und einen Anomalie-Teil eichabhangig ist. Es gibt Versuche,
beide durch physikalische Argumente eindeutig zu definieren [46]. Die Idee ist, Jc5 als
naiven Parton-Modell-Spin und K als gluonischen Beitrag zu definieren. Die Proton-
Matrix-Elemente der verschiedenen Strome konnen durch reelle Formfaktoren Gi, Ki, A
und J ausgedruckt werden:

p s |JGI(0) (q2) (q2) u
5 |ps = us (p ) 5GGI1 - q5GGI2 s(p)
p s |Jc (0) (q2) (q2) u
5 |ps = us (p ) 5Gc1 - q5Gc2 s(p)
p s |K(0)|ps = us (p ) 5K1(q2) - q5K2(q2) us(p) (6.22)
p s |a(0)|ps = 2MiA(q2)us (p )5us(p)
p s |J5(0)|ps = iJ(q2)us (p )5us(p)
M ist die Proton-Masse und q = p - p. (6.21) impliziert folgende Relationen zwischen
den Formfaktoren:
GGI
1 = Gc1 + K1 , GGI
2 = Gc2 + K2

q2 m q2
Gc Gc = J , K K
1 - 2M 2 M 1 - 2M 2 = A (6.23)

q2 m
GGI
1 - GGI J + A ,
2M 2 = M

wobei alle Formfaktoren bei q auszuwerten sind. Die letzte Gleichung setzt nur eichinva-
riante Groen in Relation. Im nachsten Abschnitt zeigen wir, da der Formfaktor GGI
1
bei Impulsubertrag Null mit dem Proton-Spin in Verbindung gebracht werden kann.



6.4 Der Proton-Spin und seine Interpretation

Der Energie-Impuls-Tensor T ist erhalten (T  = 0), symmetrisch und eichinvariant
und kann mit Hilfe des Noether-Theorems konstruiert werden. Der Drehimpuls-Dichte-
Tensor M ist assoziiert mit Lorentz-Transformationen und kann durch T ausgedruckt
werden:
M = xT  - xT (6.24)


54 KAPITEL 6. DIE AXIALE ANOMALIE


M kann in Spin- und Bahnbeitrag der Quarks und der Gluonen zerlegt werden [54]:

1
M = M + M + M + M G2(xg
q,orb q,spin g,orb g,spin - 4 - xg) + (  )
1 1 1
M = i 
(x =  
JGI
q,orb 2 - x) , M
q,spin 2 5 = 2 5 (6.25)
M = = GA
g,orb -G(x - x)A , M
g,spin - GA
Die letzten beiden Terme in M tragen nicht zum Drehimpuls-Operator

1
Ji = ijk d3x M0jk(x) . (6.26)
2

bei. Das Matrix-Element von Jz im Proton-Zustand, wobei das Proton in Ruhe ist und
der Spin in z-Richtung zeigt, ist

1
J = ps
N |Jz|ps = ps|M012(0)|ps , N = ps|ps = -3(0) (6.27)
Das Raum-Integral und die Zustands-Norm heben sich gegenseitig auf. Der Gesamt-Spin
des Protons ist zweifellos 1/2 und man erhalt die Summenregel

1 1
J = Lq + GI + L (6.28)
2 g + g = 2

wobei (Lq, 1GI, L
2 g, g) der (Quark-Bahn, Quark-Spin, Gluon-Bahn, Gluon-Spin)
Beitrag zum Proton-Spin sind, definiert als Matrix-Elemente der verschiedenen oben ge-
gebenen Terme von M. Der axiale Strom mit also den Quark-Spin-Beitrag zum Proton-
Spin. In kovarianter Notation erhalten wir:

sGI = ps|JGI
5 (0)|ps = GI = GGI
1 (0) (6.29)

Im naiven Quark-Modell besteht das Proton aus drei unabhangigen Quarks in Ruhe. Es
gibt keinen Bahn- und keinen Gluon-Beitrag zum Proton-Spin. Dies fuhrt zur Summen-
Regel J = 1GI = 1/2. In der realen Welt ist die Identifizierung von GI mit
2
dem Proton-Spin nicht korrekt, da JGI
5 den Spin der (nahezu masselosen) Strom-Quarks
mit, wahrend das Proton aus drei massiven ( 300 MeV) Konstituenten-Quarks besteht.
Weiterhin sollte in einem Modell nicht-wechselwirkender Konstituenten-Quarks der axiale
Strom, der den Konstituenten-Quark-Spin mit, anomalie-frei sein, da die Anomalie durch
die Wechselwirkung mit den Gluonen zustande kommt. Folglich kann vielleicht der erhal-
tene Strom Jc5 mit dem Konstituenten-Quark-Spin-Operator identifiziert werden.

sc = ps|Jc (0) (0) ?
= 1 . (6.30)
5 |ps = c = Gc1
Aus (6.23) erhalten wir die Gleichung

GI = c + K1(0) (6.31)

die jetzt wie folgt interpretiert werden kann: Der Spin der Konstituenten-Quarks c
setzt sich aus dem Spin der Strom-Quarks GI und einem Rest -K1(0) zusammen,


6.4. DER PROTON-SPIN UND SEINE INTERPRETATION 55


der Bahn- und Gluon-Beitrage enthalt. Der Ursprung dieser Beitrage ist nicht die Bewe-
gung oder Wechselwirkung der Konstituenten-Quarks im Proton, da die Konstituenten-
Quarks im naiven Quark-Modell wechselwirkungsfrei und in Ruhe sind, sondern sie sind
Ursache der Formierung massiver Quark aus masselosen Quarks. Folglich kann (6.31)
fur individuelle "Konstituenten"-Quarks untersucht werden. Weiterhin sind die Gluon-
Konfigurationen, die fur die Erzeugung der Quark-Masse verantwortlich sind, ebenfalls
fur den Wert von K1(0) verantwortlich.

Z.B. entsteht in Bag-Modellen ein massives Quark durch Einschlu eines masselosen
Quarks in eine Kugel. Der Spin des massiven Quarks ist die Summe des Spin- ( 1GI )
2
und des Bahn- 1 (1
2 - GI) Beitrages der Strom-Quarks. Die Bag, konnte z.B. durch
nicht-perturbative Gluon-Konfigurationen erzeugt sein. Die Gluonen sind somit sowohl
fur die Massenerzeugung als auch indirekt fur den Bahndrehimpuls der Quarks verant-
wortlich. Aus analytischen und numerischen Studien wei man, da im Bag-Modell der
Konstituenten-Spin in 70% Spin und 30% Bahndrehimpuls aufgeteilt ist, falls man von
masselosen Quarks ausgeht.

Wahrend (6.31) rigoros gilt, kann die Interpretation von 1 c als Spin des Konstituenten-
2
Quarks und sein Wert 1 in Frage gestellt werden. Ein Grund dafur ist, da ein axialer
2
Strom, der massive Konstituenten-Quarks beschreibt, keineswegs erhalten ist, im Wider-
spruch zu Jc .
5

Es gibt eine weitere Relation zwischen GI und dem Formfaktor A bei Impulsubertrag
Null. Bevor diese Relation hergeleitet wird, ist es sinnvoll, ein paar Worte uber die Rei-
henfolge von Limites und masselose Pole zu verlieren. Folgende Limites werden gebildet:
Das Raumzeitvolumen strebt gegen unendlich (V4 ), die Strom-Massen gehen gegen
Null (m 0), da die up und down Massen sehr klein sind und q 0, da wir an den
Vorwarts-Matrix-Elementen interessiert sind. Im Prinzip konnen die Ergebnisse von der
Reihenfolge der Limites abhangen. Deshalb ist es wichtig die Reihenfolge konsistent mit
der physikalischen Situation zu wahlen. D.h., wenn z.B. in der realen Welt q m ist, so
mu erst q 0 and dann m 0 erfolgen. Da wir an den Vorwarts-Matrix-Elementen
interessiert sind (q 0) und m = 0 in der realen Welt ist, ist die gerade angegebene
Reihenfolge korrekt. Aufgrund des Cluster-Theorems gehen verbundene Korrelatoren in
Ortsdarstellung gegen Null, falls der Abstand zweier Argumente gegen unendlich geht.
Daraus folgt, da es keine (q)-Peaks im Impulsraum gibt und die Reihenfolge der Limi-
tes q 0 und V4 kann willkurlich erfolgen. Da m4V4 1 ist, mu zuerst V4
und dann m 0 erfolgen. In der statistischen Physik ist es eine wohlbekannte Tatsache,
da eine Symmetrie nur spontan gebrochen werden kann, wenn es einen kleinen Term
gibt, der diese Symmetrie explizit bricht und das Volumen des Systems gegen unendlich
geht. Ganz am Ende kann der symmetrie-brechende Term entfernt werden. In der QCD
ist die chirale Symmetrie spontan gebrochen (SBCS) und die kleinen Strom-Massen stel-
len die explizite Brechung der chiralen Symmetrie dar. Daher mu zuerst V4 und
dann m 0 durchgefuhrt werden [65]. Es kann also folgende Limes-Reihenfolge gewahlt
werden:
lim {lim[ lim (...)]}. (6.32)
m0 q0 V4

Dies rechtfertigt die von Anfang an benutzte Formulierung fur unendliches Volumen.


56 KAPITEL 6. DIE AXIALE ANOMALIE


In der realen QCD gibt es keine masselosen Teilchen (m = 0). Daher besitzen eichinva-
riante Formfaktoren keine masselosen Pole, insbesondere gilt

q 0
q2GGI
2 (q2) - 0 (6.33)

Aus (6.23), (6.29) und (6.33) erhalt man

m
GI = J(0) + A(0) (6.34)
M

Diese Relation gilt mit oder ohne Goldstone-Bosonen im axialen Singulett-Kanal. Expe-
rimentell wei man, da das leichteste Teilchen in diesem Kanal das mit einer Masse
von 958 MeV ist, die viel zu gro fur ein Goldstone-Boson ist [63]. Folglich bleibt J(0)
im chiralen Limes endlich und wir erhalten

GI = A(0) for m 0 (6.35)

Nimmt man die nicht-Existenz des axialen Singulett-Bosons von vornherein an, so ist die
Reihenfolge der Limites in der Herleitung von (6.35) bedeutungslos. Beachten Sie, da
(6.35) nur wahr ist, falls m = mu = md = ms gewahlt wird, obwohl alle drei Massen
gegen Null gehen. Andernfalls w
urden zusatzlich nicht-Singulett Strome auf der rechten
Seite von (6.34) den chiralen Limes uberleben [55].

Verknupfung von (6.23), (6.31) und (6.33) ergibt

2Mc = q2Gc(q2)
2 |q2=0 = -q2K2(q2)|q2=0

c ist durch das Pol-Residuum von Gc2 gegeben. Da GGI
2 keinen masselosen Pol be-
sitzt, ist c ebenfalls durch den Pol von -K2 gegeben. Diese masselosen Pole werden
Geist-Pole genannt und konnen in der Tat auftreten, auch wenn es keine masselosen physi-
kalischen Teilchen gibt, da Gc und K
2 2 eichabh
angige Objekte sind. Man beachte, da alle
anderen in (6.23) definierten Formfaktoren eichinvariant und damit frei von masselosen
Polen sind.

Tabelle 6.1 gibt eine 
Ubersicht 
uber die Werte der Formfaktoren bei Impuls
ubertrag Null
fur folgende Modelle:


 Das naive Quark-Modell nicht-wechselwirkenden Konstituenten-Quarks der Masse
m = M/3,
 chirale QCD und Identifikation von c mit dem naiven Spin-Wert 1,
 das Instanton-Flussigkeits-Modell

Fur das Instanton-Flussigkeits-Modell werden die in Tabelle 6.1 angegebenen Formfakto-
ren in den folgenden Abschnitten berechnet.


6.5. REDUKTION DER PROTON FORMFAKTOREN ZU VAKUUM-KORRELATOREN57



c= q2 Gc+ m J K K GGI=c+ K J+ A
2M 2 M 1 = q2
2M 2+ A GI - q2
2M 2 1 = m
M
3m = M 1 = 0 + 1 0 = 0 + 0 1 - 0 = 1 + 0 = 1 + 0
m = 0 1 = 1 + 0 A-1= -1 + A A - 0 = 1 +A-1= 0 + A
Instanton ? = ? + 0 0 = 1 +(-1) 1 - 0 = ? + 0 = 0 +(-1)

Tabelle 6.1: Proton Formfaktoren bei Impulsubertrag q2 = 0 im naiven Konstituenten-
Quark-Modell (3m = M), in der chiralen QCD (m=0) und im Instanton-Flussigkeits-
Modell (Instanton). Experimentell ist A = 0.27  0.13.
6.5 Reduktion der Proton Formfaktoren zu
Vakuum-Korrelatoren

In den folgenden Abschnitten werden einige der oben definierten Formfaktoren im
Instanton-Flussigkeits-Modell berechnet. Um die Resultate aus Kapitel 4 verwenden zu
konnen, werden die Formfaktoren auf Vakuum-Korrelatoren zuruckgefuhrt.

p s |B(0)|ps = (6.36)
1
= - u
Z s (p ) d4x d4z eip x-ipz(i/x - M)(-i/z - M) 0|T (x)B(0)(z)|0 us(p) .


M ist die Proton-Masse und B(0) ist ein beliebiger lokaler Operator. (x) ist ein lo-
kaler Operator mit den Quanten-Zahlen des Protons, also z.B. ein Produkt von drei
Quark-Feldern in geeigneter Spin- und Flavor-Kombination [44]. Nimmt man an, da
(x) fur unendliche Zeiten gegen einen freien Proton-Feld-Operator geht, so kann der
Proton-Zustand ausreduziert werden und (6.36) ist gerade eine LSZ-Reduktions-Formel
fur zusammengesetzte Felder. Fur unsere Zwecke ist die folgende Form nutzlicher:

p s |B(0)|ps = Zus (p )[ lim S-1(p )TB(p ,p)S-1(p)]us(p)
p2,p 2M 2


TB(p , p) = d4x d4z eip x-ipz 0|T (x)B(0)(z)|0 (6.37)
iZ
S(p) = d4x eipx 0|T (x)(0)|0 = + continuum
p/ - M
Z1/2u
s(p) = 0|(0)|ps
Der Vorteil dieser Darstellung ist, da die Masse M nicht explizit benotigt wird. In
Euklidischen Berechnungen, wie Gitter-, Instanton- und OPE-Berechnungen ist es stets
schwierig, Polmassen zu bestimmen.

Diese Form der Darstellung kann auch als Spektral-Darstellung einer 3-Punkt-Funktion
angesehen werden. Schiebt man zwei vollstandige Systeme von Zustanden in die 3-Punkt-
Funktion ein, und fuhrt man den Limes p2 = p 2 M2 durch, um den Proton-Zustand
zu selektieren, so erhalt man (6.37) direkt.

Falls B(0) ein Quark-Strom ist, so enthalt die 3-Punkt-Funktion ein Produkt von 8 Quark-
Feldern. Dieser Ausdruck ist zu kompliziert, um im Multi-Instanton-Vakuum berechnet


58 KAPITEL 6. DIE AXIALE ANOMALIE


werden zu konnen. Im folgenden werden wir annehmen, da das Proton aus nahezu
unabhangigen Quarks besteht. In diesem Bild ist die wesentliche nicht-perturbative Ei-
genschaft des Protons die Formierung von Konstituenten-Quarks aus Strom-Quarks. Die
Krafte, die die Konstituenten im Proton einschlieen, modifizieren die Eigenschaften des
Protons nur wenig, auer da das Proton dadurch stabil wird. Diese Annahme wird durch
den Erfolg des Konstituenten-Modells gestutzt. Die Formfaktoren des Protons sind da-
mit die Summe der Formfaktoren der Konstituenten-Quarks. mu durch ein einzelnes
Quark-Feld mit Flavor up oder down ersetzt werden und M durch die Konstituenten-
Quark-Masse. In diesem Fall ist es noch wichtiger (6.37) zu verwenden, da eine definite
Polmasse fur den Quark-Propagator nicht zu erwarten ist. Betrachtet man den Quark-
Propagator im Instanton-Flussigkeits-Modell, so sieht man, da der p/ Term unrenormiert
bleibt und damit Z = 1 ist. Fur eine konstante Konstituenten-Masse ware dieses Ar-
gument rigoros. Fur eine laufende Masse ist es zumindest plausibel, da Z weiterhin
ungefahr eins ist. Diese Tatsache trifft auf alle Modelle chiraler Symmetrie-Brechung zu,
die ich kenne. Eine konservative Abschatzung ist

0.7 Z 1 (6.38)
Im folgenden werde ich Z = 1 setzen. Die Ergebnisse aller Formfaktoren mu man sich
mit Z multipliziert denken.


6.6 Axiale Formfaktoren GGI (q)
1/2


Der Formfaktor des Stromes j = 
eines Konstituenten-Quarks kann mit Hilfe von
(6.37) auf eine 4-Punkt-Funktion (4.2) reduziert werden:


trCD[Tj (p , p) ] = d4x d4z eip x-ipztr
CD[ 0|T (x) 
(0)(0) 
(z)|0 ] = (6.39)

= d-4q (q - p,q - p ,p,p )
Die Polarisierungs-Funktionen wurden in Kapitel 4 definiert und im Instanton-
Flussigkeits-Modell berechnet. Fur = 5 ist der verbundene Teil der 4-Punkt-
Funktion mit O(n1/2) unterdr
R 
uckt. In fuhrender Ordnung in der Instanton-Dichte tragt
nur der unverbundene Teil (4.17) bei und wir erhalten

TjGI (p , p) = S(p )5S(p) (6.40)
5


Einsetzen von (6.40) in (6.37) und Vergleich mit (6.22) ergibt

p s |JGI
5 (0)|ps = us (p )5us(p) (6.41)
GGI(q2) = 1 , GGI(q2) = 0
1 2

Man beachte, da in singularer Eichung berechnet wurde, aber der verbundene Teil
ist in jeder Eichung unterdruckt und der unverbundene Teil hangt nur vom Propagator


6.7. DER ANOMALIE-FORMFAKTOR A(Q) * 59


ab, der sich so oder so kurzt. Die Formfaktoren GGI (q) sind also in der Tat eichinvariant.
1/2
Das Ergebnis stimmt mit einem Modell freier massiver Quarks uberein. Weiterhin sieht
man, da der Strom jGI nicht erhalten ist. Stromerhaltung w
5 
urde q2G2 = MG1 verlangen,
was offensichtlich von (6.41) nicht erfullt wird. In der 1-Instanton-Approximation kann
man von Anfang an mit der effektiven 't Hooft-Wechselwirkung [17] arbeiten, die die
U(1)-Symmetrie explizit bricht und damit die Anomalie bereits enthalt.

Das Resultat fur den eichinvarianten Formfaktor (6.41), obwohl nicht konsistent mit den
experimentellen Werten ist bis hierher zumindest theoretisch konsistent.



6.7 Der Anomalie-Formfaktor A(q) *

Widmen wir uns nun dem Anomalie-Formfaktor A. Durch erneutes Anwenden der
Reduktions-Formel (6.37) mit B(0) = a(0) besteht die Aufgabe in der Berechnung der
3-Punkt-Funktion Ta(p, s). Im Instanton-Modell ist der Feldoperator a(0) durch das
klassische Feld aA(0) ersetzt, wobei A = A
I I eine in a eingesetzte Multi-Instanton-
Konfiguration ist. In gegebenem Hintergrund A kann der Korrelator in der Form

0|T (x)a(0) (z)|0 A = aA(0) 0|T (x) (z)|0 A = aA(0)SA(x,z) (6.42)
geschrieben werden, wobei SA(x, z) der Quark-Propagator im Multi-Instanton-Hinter-
grund A ist. Die rechte Seite mu nun uber die kollektiven Koordinaten I aller In-
stantonen gemittelt werden. Ohne den Faktor aA(0) ergabe dies gerade den gemittelten
Propagator. Zum Verstandnis der folgenden Diskussion ist es nutlich, die Berechnung
des Propagators in Kapitel 3 zu rekapitulieren. aA(y) ist das 2Nf -fache der topologischen
Ladungsdichte am Raumzeitpunkt y. In der Umgebung eines Instantons der Ladung
QI = 1 hat die Dichte einen positiven/negativen Hugel und ist klein uberall sonst.
Folglich ist aA(y) nur von Null verschieden, wenn sich mindestens ein Instanton in der
Nahe von y befindet. Sei nun genau ein Instanton in der Nahe von y = 0 fixiert. Die
Orientierung und die Ladung der restlichen Instantonen kann unabhangig gemittelt wer-
den, aber bei der Mittelung uber die Orte zJ mu das Gebiet in der Umgebung von y
vermieden werden. Der nachste Schritt ist, 2 Instantonen nahe y anzunehmen, u.s.w.
Der relative Fehler, den man durch Vernachlassigen dieser weiteren Beitrage und durch
Ignorieren der Restriktion von zJ macht, sind beide von O(nR). In fuhrender Ordnung in
der Instanton-Dichte konnen wir somit ein Intanton nahe y = 0 fixieren und nur diesen
Beitrag zu aA(0) berucksichtigen. Die anderen Instantonen konnen wie im Falle des Pro-
pagators gemittelt werden. Die aufzusummierenden Diagramme sind dabei die gleichen,
nur da ein Instanton I fixiert wird. Der Propagator besteht aus einer Folge von Streu-
ungen an AJ (J = 1 . . . N), wobei mehrfache Streuungen am gleichen Instanton erlaubt
sind. Es gibt 2 Falle: Im ersten Fall sind alle Instantonen, die links aller AI auftreten,
verschieden von allen Instantonen, die rechts aller AI auftreten. In fuhrender Ordnung
in 1/Nc sind alle Instantonen im Mittelabschnitt vom ersten bis zum letzten Auftreten
von AI verschieden von den aueren Instantonen. Die Instantonen auf der rechten und
auf der linken Seite konnen unabhangig voneinander gemittelt werden, was zu gemittel-
ten Multi-Instanton Propagatoren fuhrt. Mittelung des Mittelabschnitts, aber Fixierung


60 KAPITEL 6. DIE AXIALE ANOMALIE


von I, ergibt den effektiven Vertex MI. Der freie Teil des Korrelators im Impulsraum ist
folglich
T free
a (p, s) = 2Nf QI(zI) <
MI<
p s I =

= -2iN ^
f Q(p - s) MpMsS(p)5S(s) (6.43)
1 6 4
QI(zI) = a (0) =
2N AI 
f 2 z2 + 2
I

QI(zI) ist die Ladungsdichte eines Instantons der Ladung QI = 1 und ^Q(q) =
1 (q)2K
2 2(q) ist die Fourier-Transformation3 f
ur QI = +1. Fur p2 = s2 = M2 ist der
Term MpMs gerade die Onshell-Masse M. Einsetzen von (6.43) in (6.37) und Vergleich
mit (6.22) ergibt fur den freien Teil des Anomalie-Formfaktors:

Afree(q) = -N ^
f Q(q) , Afree(0) = -Nf (6.44)

Im 2. Fall gibt es gemeinsame Instantonen zur linken und zur rechten Seite von I. Der
verbundene Teil des Korrelators und des Formfaktors sind


MI

T conn(p, s) = 2N = (6.45)
a f QI (zI ) Cs
p s I
<  <

= -4Nfi ^Q(p - s)Cs(p
5 - s)F5(p - s) MpMsS(p)5S(s)
Aconn(q) = -2N ^
f Q(q)C s
5 (q)F5(q) , Aconn(0) = Nf - 1 (6.46)
Dieses Ergebnis kann leicht mit Hilfe der Formeln aus Kapitel 4 hergeleitet werden. Im
letzten Schritt wurde F5(0) = 1 und Cs5(0) = 1/Nf - 1 verwendet. Fur ein Flavor ist der
verbundene Teil Null, wie er es sein sollte. Der Anomalie-Formfaktor bei Impulsubertrag
Null
A(0) = Afree(0) + Aconn(0) = -1 (6.47)
ist somit unabhangig von der Zahl der Flavors! Dieses Resultat ist willkommen, auf-
grund folgender Argumentation: Die Formfaktoren der axialen Singulett-Strome j5 soll-
ten nicht von einem Quark-Flavor abhangen, der nicht im betrachteten Teilchen-Zustand
vorkommt. Deshalb erwartet man, da sie unabhangig von Nf sind. Wegen (6.21) mussen
dann auch Matrix-Elemente von a(x) unabhangig von Nf sein. Aber dies ist nicht offen-
sichtlich, da a(x) explizit proportional zu Nf ist und das Gluon-Feld nicht Flavor-sensitiv
ist. Obige Rechnung zeigt, wie die Quark-Wechselwirkung den freien Teil, der propor-
tional zu Nf ist, ausloscht, so da der Formfaktor insgesamt unabghangig von Nf ist,
zumindest fur Impulsubertrag Null.

3Fur die 
Uberladung des Symbols K mochte ich mich entschuldigen: K2(q) ist eine modifizierte
Bessel-Funktion, K(x) ist der Anomalie-Strom und K1/2(q) dessen Formfaktoren.


6.8. DIE ANOMALIE-FORMFAKTOREN K1/2(Q) 61


6.8 Die Anomalie-Formfaktoren K1/2(q)

Fur K1/2(0) kann die Berechnung des letzten Abschnittes mit nur kleineren 
Anderungen

ubernommen werden. a(0) mu zunachst durch K(0) ersetzt werden. Dies impliziert die
Ersetzungen
1
2Q(z ^
I ) ; G(zI ) := K (0) , 2 ^
Q(q) G
N A ; (q) (6.48)
I
f

G(zI) ist K(0), wobei das Eichfeld ein bei zI plaziertes Instanton der Ladung QI = +1
und ^
G(q) seine Fourier-Transformation ist. In regularer Eichung erhalten wir

1 z
Greg (z2 + 32)
 (z) = K (0) = (6.49)
N Areg -
f I 2(z2 + 2)3
^ q0
Greg(q) =
 -iq2K2(q) - -2iq/q2
Mit Hilfe dieser Ersetzungen in (6.43) und (6.45) ermoglicht ein Vergleich mit (6.22) die
Bestimmung von K1/2(q):

q2
Kreg
1 (q) = 0 , lim Kreg
2 (q) = 1 (6.50)
q20 2M

In singularer Eichung erhalten wir dagegen

z
Gsing(z) = Greg(z) +  , ^
Gsing(q) = ^
Greg(q) + 2iq
  2z4   /q2 q0
- 0 (6.51)

q2
Ksing
1 (q) = 0 , lim Ksing
2 (q) = 0
q20 2M


Offensichtlich ist der Anomalie-Formfaktor K2(q) eichabhangig und enthalt einen mas-
selosen Pol in der regularen Eichung. Der Grund hierfur ist die Eichabhangigkeit des
Anomalie-Stromes K selbst. Man kann zeigen, da die Vorwarts-Matrix-Elemente
K1/2(0) fur kleine Eichtransformationen eichinvariant sind. Eine Eichtransformation wird
'klein' genannt, wenn sie stetig in die Identitat deformiert werden kann. Auf der anderen
Seite ist die Eichtransformation, die ein Instanton von regularer Eichung in singulare Ei-
chung transformiert 'gro', da die singulare Losung aufgrund der Singularitat nicht stetig
in die regulare Losung deformiert werden kann.

Eine weitere bemerkenswerte Beobachtung ist, da die Relation

q2
K1(q) - K
2M 2(q) = A(q) (6.52)

in singularer Eichung verletzt ist, wie aus (6.51) ersichtlich ist:

q2
Ksing(q) Ksing = A(q) (6.53)
1 - 2M 2


62 KAPITEL 6. DIE AXIALE ANOMALIE


Oberflachen-Terme sind der Grund fur diese Verletzung. Fur die Herleitung von (6.52)
wurde das Verschwinden von Oberflachen-Termen angenommen. Ersetzt man die ebene
Wellenlosung fur den Proton/Quark-Zustand durch ein Wellenpaket, dann fallen der Zu-
stand und damit alle Matrix-Elemente genugend schnell im raumlich Unendlichen ab und
es gibt keine Oberflachen-Terme. Ein experimenteller Zustand ist stets ein mehr oder
weniger lokalisiertes Wellenpaket. Folglich gibt es in regularer Eichung keine Oberflachen-
Terme und
q2
Kreg(q) Kreg = A(q) (6.54)
1 - 2M 2
ist gultig fur alle q. Um in singularer Eichung arbeiten zu konnen, mu als Raumzeit-
Mannigfaltigkeit IR4\{0} gewahlt werden, um die unphysikalische Singularitat auszu-
schlieen. Dieses kleine Loch sollte die Physik bei groen Abstanden nicht beeinflussen.
Alle Ortsraum-Integrale sind folglich Integrale uber IR4\B(0). Eine partielle Integration
kann nun auch zu Oberflachen-Termen bei Null fuhren. Der Oberflachen-Term ist fur
Gsing
 von Null verschieden, wie in (6.51) zu sehen ist. Dies ist die Ursache der Unglei-
chung (6.53). Es ist ein wenig uberraschend, da nicht das langsam abfallende regulare
Eichfeld einen Oberflachen-Term bei unendlich verursacht, sondern die starke Singula-
ritat an den Instanton-Zentren einen Oberflachen-Term und damit die Verletzung (6.52)
bewirkt.

Folgende Standpunkte konnen eingenommen werden:


1. Eichabhangige Objekte, wie K1/2(q), sollten nicht betrachtet werden, da sie unphy-
sikalisch sind, oder

2. die Relation (6.52) wird durch Verwendung der regularen Eichung erhalten (dies
widerspricht allerdings der Philosophie des Kapitels 8) oder

3. die Relation (6.52) wird durch Hinzunahme von Oberflachen-Termen modifiziert,
die bei partieller Integration entstehen.


In folgender Diskussion werde ich Standpunkt 2 einnehmen.



6.9 Diskussion

Vergleicht man die Resultate fur die Formfaktoren GI = GGI(0), GGI(0), A(0),
1 2
K1(0) = Kreg
1 (0) und K2(0) = Kreg
2 (0), die in der letzten Zeile der Tabelle 6.1 zusammen-
gefat sind, so sieht man deutlich, da sie widerspruchlich sind. Es ist nicht moglich, die
restlichen Formfaktoren so zu bestimmen, da sie konsistent mit (6.23) und (6.33) sind
Der offensichtlichste Widerspruch ist GI = A(0). Ein entgegengesetztes Vorzeichen
der Anomalie ware wenigstens theoretisch konsistent und wurde der naiven Erwartung
entsprechen. Der einzige Kandidat fur die Verletzung der axialen Ward-Identitat ist die
Vernachlassigung der nicht-Nullmoden. Alle anderen Approximationen respektieren die
Symmetrien der QCD, wie in Abschnitt 3.3 diskutiert wurde.


6.9. DISKUSSION 63


Forte [53] leitete die Relation + A(0) = 0 in einem Instanton-Modell im Falle eines
Quark-Flavors unter Vernachlassigung dynamischer Quark-Schleifen und in einer Dichte-
Entwicklung her. wurde dort mit c identifiziert und K2(0) = 0 wurde implizit
angenommen. Folglich ist A(0) = K1(0) und mit (6.31) kann man das willkommene
Resultat GI = 0 zeigen.

In Abschnitt 6.8 habe ich gezeigt, da die Anomalie zu K2 und nicht K1 beitragt. Dies
ist die erste Diskrepanz zu [53]. Weiterhin habe ich in Abschnitt 6.6 gezeigt, da mit
GI zu identifizieren ist. Dies ist die zweite Diskrepanz. Es mag sich herausstellen, da
die Berucksichtigung der nicht-Nullmoden diese Diskrepanz in einer Weise behebt, die zu
einem phanomenologisch akzeptablen kleinen GI fuhrt; doch dies bleibt zu zeigen. In
der 1-Instanton-Approximation ist diese Berucksichtigung bewaltigbar und wurde in [22]
fur die Meson-Korrelatoren durchgefuhrt. Die konsistente Erweiterung auf das Instanton-
Flussigkeits-Modell und die Quark-Formfaktoren war mir bisher nicht moglich.

Diese Probleme sollten mit der Berechnung der Masse verglichen werden. Die Standard-
Methode, die Meson-Korrelatoren zu berechnen und die Meson-Massen aus einem spektra-
len Fit zu gewinnen, war im Falle des auch nicht sehr erfolgreich. Verfeinerte Argumente
erlaubten in Abschnitt 6.6 eine erfolgreiche Bestimmung von m . Das Instanton-Modell
ging eher in unspezifischer Weise ein. Es ging in die (Anti)selbstdualitats-Bedingung
(6.21) und in der Abschatzung fur die Unterdruckung des Gluon-Kondensats durch leichte
Quarks ein. Vielleicht ist eine ahnliche, mehr indirekte Zuhilfenahme von Instantonen, in
der Lage auch das Proton-Spin-Problem zu losen.

Genauso gut ist es moglich, da das Proton-Spin-Problem nicht auf der Ebene von in-
dividuellen Konstituenten-Quarks gelost werden kann, sondern mit einer starken Wech-
selwirkung zwischen verschiedenen Konstituenten-Quarks im axialen Singulett-Kanal zu
tun hat. Diese Moglichkeit in Zusammenhang mit Instantonen ist in [69] diskutiert.


Kapitel 7

Gluon-Masse


Bisher wurde das Instanton-Vakuum auf dem klassischen Niveau behandelt. In diesem Ka-
pitel sollen die Quanten-Fluktuationen um das Instanton-Vakuum zum Gluon-Propagator
berechnet werden.

Abschnitt 7.1 ist eine kurze Einfuhrung in die Probleme und die phanomenologischen Kon-
sequenzen massiver Eichtheorien. In den anderen Abschnitten wird der Gluon-Propagator
in verschiedenen Eichungen berechnet. In der Hintergrund = 1-Eichung hat der Gluon-
Propagator die einfache Gestalt Sab = abg
  /(p2 - M(p)2). In Abschnitt 7.2 wird der
inverse Propagator aus den Termen extrahiert, die quadratisch in den Fluktuationen um
den Hintergrund sind. In Abschnitt 7.3 wird dieser Ausdruck uber relevante Hintergrund-
Felder gemittelt und die Gluon-Masse M(p) extrahiert. In Abschnitt 7.4 wird M explizit
im Multi-Instanton-Vakuum berechnet. F
ur groe Impulse wird diese Masse allerdings
von Termen, die vernachlassigt wurden, ausgeloscht. Weiterhin ist die Masse stark eich-
abhangig. Um zuverlassige Resultate im gesamten Impulsbereich zu erhalten, wird in
Abschnitt 7.5 eine Cluster-Entwicklung in der Instanton-Dichte vorgestellt. Zu diesem
Zweck benotigen wir den Gluon-Propagator im ein-Instanton-Vakuum. Benotigte For-
meln zur Konstruktion dieses Propagators sind in Abschnitt 7.6 zusammengestellt. Da
diese Ausdrucke sehr lang sind, werden wir uns in Abschnitt 7.7 auf den Fall kleiner
Impulse beschranken.



7.1 Einf
uhrung

Die Frage, ob die Erzeugung einer Masse fur Eichbosonen ohne Brechung der Eichsymme-
trie moglich ist, ist sehr alt. Die explizite Einfuhrung einer Gluon-Masse in der Lagrange-
Diche verursacht einige Schwierigkeiten. Um die Eichinvarianz zu erhalten, mussen die
Eichfelder an masselose skalare Teilchen gekoppelt werden [30, 31], die von physikalischen
Matrix-Elementen entkoppeln. Die Masse kann keine konstante sein, sondern mu fur
groe Impulse verschwinden, um die Renormierbarkeit der Theorie zu gewahrleisten (wei-
che Masse). Beide Phanomene (masselose Skalare und eine weiche Gluon-Masse) treten
auch in jedem Modell einer dynamischen Erzeugung einer Gluon-Masse auf. Es sollte

64


7.1. EINF 
UHRUNG 65


erwahnt werden, da die Terminologie einer Masse nicht notwendigerweise eine Polmasse
bedeutet, sondern die Selbstenergie. Von einer dynamischen Masse wird gesprochen, falls
die Selbstenergie bei p2 = 0 von Null verschieden ist und somit der masselose Pol im
Propagator verschwunden ist. In [38] wurde eine eichinvariante Gluon-Selbstenergie de-
finiert und berechnet. Losen der Schwinger-Dyson-Gleichungen liefert eine Masse von
500 200MeV . Aufgrund der asymptotischen Freiheit verschwindet die Masse bei groen
Impulsen logarithmisch Mgluon(p) (lnp2)-12/11. Nicht-Perturbative Argumente ergeben
ein Abfallverhalten, wie 1 (ln p2)12/11 [32, 33]. Als letztes sei noch erwahnt, da eine
p2
dynamische Gluon-Masse nicht im Widerspruch zu Confinement steht [34, 35, 36, 37].



Neben der Regularisierung aller Infrarot-Divergenzen, hat eine Gluon-Masse ein Reihe
phanomenologischer Konsequenzen. Eine direkte Konsequenz sind Gluon-Ball-Massen.
Im einfachsten Bild, in dem Gluon-Balle aus N Konstituenten-Gluonen bestehen, ist
die Masse von der Ordnung N Mgluon. Hadronen mit Gluonen konnen auch konstru-
iert werden (
qqg, qqqg, . . . ). Naturlich sind die Gluonen aufgrund der starken Wechsel-
wirkung hochgradig virtuell, und es ist nicht einmal klar ob dieses Bild qualitativ kor-
rekt ist. Man kann nur auf den Quark-Sektor und den Erfolg des Konstituenten-Quark-
Modells verweisen. Weiterhin modifiziert eine Gluon-Masse die transversale Impulsvertei-
lung von Gluon-Jets und mit einer theoretisch vorhergesagten Gluon-Masse besitzt man
einen naturlichen Energie-Cutoff. Fur die Instanton-Physik ist eine Gluon-Masse eben-
falls willkommen: In einer massiven Eichtheorie sind Instantonen der Groe M-1
gluon
exponentiell unterdruckt. Es gibt somit kein Infrarot-Problem mehr. Geht man vom
Instanton-Flussigkeits-Modell unabhangiger Instantonen mit Radius = 600MeV -1 und
einer Dichte von n = (200MeV )4 aus, so erhalt man eine Gluon-Masse von Mgluon = 480
MeV, die nahe der Cutoff-Skala -1 = 600MeV liegt. Man beachte, da diese Moglichkeit
das Infrarot-Problem zu losen verschieden ist, von der Standard-Hoffnung eine abstoende
Wechselwirkung zwischen groen Instantonen zu finden [24, 25, 20].



Fur eine quantitative Theorie mu die Berechnung des unphysikalischen Gluon-Propaga-
tors auf eichinvariante Matrix-Elemente, wie Gluon-Ball-Korrelatoren, erweitert werden.
Dies ist ein Problem in allen bisherigen Arbeiten (inklusive dieser). Die Methoden eine
Gluon-Masse zu erhalten sind zu kompliziert, um auf physikalische Groen angewendet
werden zu konnen. Daher ist es schwierig, die oben erwahnten physikalischen Anwendun-
gen quantitativ zu machen.



In den folgenden Abschnitten wird der gemittelte Quanten-Gluon-Propagator fur verschie-
dene Eichungen im Multi-Instanton-Hintergrund berechnet. Obwohl explizite Ausdrucke
seit langer Zeit bekannt sind [18], wurden sie in phanomenologischen Anwendungen bisher
nicht verwendet, da sie sehr kompliziert sind. Bisher wurde der Instanton-Hintergrund
klassisch bahandelt. Selbst die 1-Schleifen Instanton-Wirkung [17] ist aufgrund des
Infrarot-Problems von geringer praktischer Bedeutung. Auf der anderen Seite konnen
Quanten-Korrekturen zu gluonischen n-Punkt-Funktionen gro sein.


66 KAPITEL 7. GLUON-MASSE


7.2 Der Gluon-Propagator *

Die erste Aufgabe, um einen formalen Ausdruck fur den Gluon-Propagator in einem Hin-
tergrundfeld zu gewinnen, besteht darin, LQCD[ A + B] in den Fluktuationen Ba um das

Hintergrund-Feld 
Aa zu entwickeln. Der in Ba quadratische Term ist dann nach Definition
 
der inverse Gluon-Propagator. Fur 
Aa wird spater die Instanton-Flussigkeit eingesetzt.
Wir gehen von der Euklidischen QCD-Lagrangedichte

1
LQCD = Ga
4g2 G
a , Ga(A) = Aa - Aa + fabcAbAc

aus. Einsetzen von A = 
A + B ergibt

1
g2LQCD( A + B) = Ga
4 ( 
A + B)G
a ( 
A + B) =


O(B0) O(B1) O(B2)
1 1
= 
Ga 
G Ba 
Dab 
G + Ba 
Dcb 
Gc 
Dcb
4  a +  b 2 (- 
Dac
 - 2facb  + 
Dac
 )Bb
+

1
+ f 
abcBb
Bc
Dad
 Bd
+ f +
4 abcBbBcfadeBdBe (. . .) , (7.1)
O(B3) O(B4)

wobei 
Dab 
 = ab + facbAc die kovariante Ableitung mit 
A anstelle von A ist. Analog ist

Ga = Ga ( 
A). Die Oberfl
  achenterme (. . .) beeinflussen den Propagator nicht. Lost 
A
die QCD-Bewegungsgleichungen, so verschwindet der in B lineare Term. In Hintergrund-
Eichung 
Dcb
Bb
= 0 ist der letzte Term des O(B2)-Beitrags Null. Aus dem in B qua-
dratischen Term kann nun der inverse Gluon-Propagator abgelesen werden. Im folgenden
werden die Striche uber A, G und D unterdruckt, da die ungestrichenen Groen nicht
langer benotigt werden:

(S-1)ab
 = -Dac
Dcb
 - 2facbGc . (7.2)
Zur Vereinfachung der Notation fuhren wir folgende Abkurzungen ein:

G = F cGc , A = F cAc ,

(F c)ab = ifacb , [F a, F b] = ifabcF c , trcF aF b = Ncab , Nc = 3 ,

( ^
P)ab = iDab , ^
p
  = i , ^
P = ^
p + A ,

^
pX = [^
p, X] + X ^
p = i(X) + X ^
p . (7.3)

Die letzte Gleichung wurde nur aufgenommen, um zu betonen, da ^
p und ^
P im Operator-
Sinne verwendet werden. F a sind die Generatoren in adjungierter Darstellung und fabc
die Strukturkonstanten der Farb-Eichgruppe SU(Nc). Der Propagator schreibt sich nun:

S-1 = ^
P 2 + V )
  + 2iG = ( ^
p2 + ^
pA + A^p+ A2) + 2iG = (S-1
0  ,

S0 =
  / ^
p2 , V = (A2 + ^
pA + A^p) + 2iG . (7.4)


7.3. DER PROPAGATOR IM STATISTISCHEN HINTERGRUND * 67


S0 ist der freie Propagator ohne Hintergrund und V kann als Wechselwirkungs-Potential
des Hintergrundes aufgefat werden. Die QCD-Lagrange-Dichte (7.1) kann in einer fur
die Storungstheorie geeigneteren Form geschrieben werden:

1 1
g2LQCD = Ga (B)G(B) + BaV abBb + f BcBdA (7.5)
4  a 2   abcfaedBb
 e


Terme, die unabhangig und linear in B sind, wurden weggelassen. Konstante Terme
sind fur die Dynamik irrelevant und in B lineare Terme sind Null, falls A die QCD-
Bewegungsgleichungen lost. Die durch den Hintergrund hinzugekommenen Terme erzeu-
gen zwei zusatzliche Feynman-Graphen
, a
V ,b =Vab
, c
, b
A = gfabcfaedAe




, d

Es sollte betont werden, da fur kleine Kopplung g der
behandelt werden kann, der erste hingegen nicht! Daher
dem ersten Graphen.



7.3 Der Propagator im statistisc

Der nachste Schritt in der Berechnung des Propagators

S = (S-1
0 + V )-1 = S0(11 + T )-1 ,

ist die Ausarbeitung eines Approximations-Schemas.
entwickeln:
S = S0(11 - T + T2 - T3 +
Beachte, da S(x, y) = x|S|y im allgemeinen nicht translations-
ist, da A und damit T es ebenfalls nicht sind. Letztendlic
in einem konkreten Hintergrund interessiert, sondern n
Hintergrund-Felder. An dieser Stelle sind nicht die Quan
Vakuum gemeint, sondern klassische Felder, die sich vom
und die Euklidische Wirkung Ldx minimieren.
S = S0(11 - T + T2 - T3 +
die 
Uberstreichung bedeutet Mittelung uber relevan
Instanton-Flussigkeitsmodell ist diese Mittelung in Anhang
tergrund statistisch translationsinvariant, so ist auch S


68 KAPITEL 7. GLUON-MASSE


S(p, q) = p|S|q = S(p)-(p - q). diagonal im Impulsraum. Da wir S in der Form
S(p) = (p2 + M(p)2)-1 benotigen, ist es sinnvoll (7.8) zu invertieren

-1
S = ^
p2 + M(^
p)2 = (11 - T + T2 - T3 + ...)-1S-1
0 (7.9)

und erneut in T zu entwickeln. Ohne Mittelung ware dies eine geometrische Reihe und
gerade unser ursprunglicher Ausdruck S-1 = S-1
0 + V . Durch die Mittelung stehen die
einzelnen Terme nun in keinerlei Beziehung zueinander. Entwickeln und Sortieren nach
Potenzen von T ergibt:

-1 2 3
S = (11 + T - (T2 - T ) + (T3 - T T2 - T2 T + T ))S-1
0 + O(T 4) (7.10)
= S-1 + V
0 - (V S0V - V S0V ) + ...
= S-1 + M2, M2 = M2 + . . . , M2 = V , M2 = V S
0 1 - M22 1 2 0V - V S0V .
Im nachsten Abschnitten wird M1 im Instanton-Flussigkeits-Modell berechnet.


7.4 Eine naive Sch
atzung f
ur die Gluon-Masse *

Im Instanton-Flussigkeits-Modell, in dem A = A
I I eine Summe von Instantonen in
singularer Eichung mit festem Radius = 600MeV-1 ist, kann die Streuamplitude

V  = (A2 + ^
p  A + A  ^p) + 2iG
auf einfache Weise berechnet werden. Eine kurze Rechnung zeigt [40]

A = AI I = 0 , G = 0 (7.11)

122N
A2 = A2 c
I I = n2
N2 ab
c - 1
Hieraus ergibt sich f
ur M21 = V = A2

122N
M c
1 = n
N2 420MeV , (7.12)
c - 1

wobei die Instanton-Dichte n = (200 MeV)4 verwendet wurde. Dieser Wert stimmt gut
mit den Ergebnissen von [38] und [39] uberein.

Fur groe Impulse gibt es allerdings einen Term in M2, der M1 vollstandig aufhebt.
Aufgrund der asymptotischen Freiheit ist eine fur groe Impulse verschwindende Masse
auch zu erwarten. Um dies im Detail zu sehen, kann man die Potenzen der ^
p s in M22
zahlen. V S0V = M41/p2 verschwindet fur groe p. V enthalt allerdings ein ^p im Zahler
(^
pA) und S0 = 1/^
p2. V S0V kann somit fur groe p von Null verschieden sein. Betrachte

p
V S p
0V = (pA + Ap)S0(pA + Ap) + weitere Terme = 4A A
p2 + . . .


7.5. ENTWICKLUNG IN DER INSTANTON-DICHTE * 69


wobei [p, AI] = iA = 0 ausgenutzt wurde.
I

p
x|V S p
0V |y = 4A(x) x| p2 |y A(y) + . . .

Aus  x|pp/p2|y = x|y = (x - y) folgt x|pp/p2|y = 1
4  (x - y) + spurfreie
Terme.
x|V S0V |y = A(x)A(x)(x - y) + ... = x|A2|y + ...
Folglich enthalt M2 = A2 + . . . = M2 + . . . einen Term, der M2 vollst
2 1 1 andig eliminiert. In
Kapitel 8 wird erklart, warum in singularer Eichung solche Ausloschungen zu erwarten
sind.

Im nachsten Abschnitt prasentieren wir eine systematische Entwicklung des Propagators
in der Instanton-Dichte.



7.5 Entwicklung in der Instanton-Dichte *

In diesem Abschnitt wird der Gluon-Propagator in der Instanton-Dichte n entwickelt.
Diese Entwicklung ergibt zuverlassige Resultate fur alle Euklidischen Impulse p, insbe-
sondere fur kleine Impulse. Weiterhin ist das Ergebnis eichinvariant.

Der Mittelwert einer beliebigen Potenz des ein-Instanton-Feldes ist proportional zum in-
versen Raumzeit-Volumen: An f
I 1 ur n
V 1. Die Entwicklung des Quadrats einer
Multi-Instanton-Konfiguration in der Instanton-Dichte lautet

N

A2 = A2 + NAI (N - 1)AI = NA2 +O(n2) (7.13)
I
I=1 O(n) O(n) O(n)


und allgemeiner

An = NAn + O(n2) , V n = NV n + O(n2) f
I I 
ur n 1, (7.14)

wobei VI = V (AI) definiert in (7.4) mit A ersetzt durch AI ist. Summiert man alle in n
linearen Terme in (7.10) auf, so erhalt man:

-1
S = (11 + T - T2 + T3 - ...)S-1 + O(n2)
0

= (11 + N(TI - T2 + T3 + O(n2)
I I - . . .))S-1
0
= (11 + NTeff )S-1
0 + O(n2) = S-1
0 + NVeff + O(n2) (7.15)


Teff = TI - T2I + T3I - ... = TI - TI(TI - T2I + ...) = TI - TITeff
Veff = VI - VIS0Veff = Veff = S-1(S mit (7.16)
0 0 - SI)S-1
0
S-1 = S-1 + V
I 0 I ist der Propagator im ein-Instanton-Vakuum. (7.17)


70 KAPITEL 7. GLUON-MASSE


Allgemein kann man eine Cluster-Entwicklung fur eine beliebige Funktion von A
durchfuhren:

N
f (A1 + . . . + AN ) = f (A) = (N ) ( )f (A
l -)l-k(lk 1 + . . . + Ak) = (7.18)
l=0 k=0..l

1
= f (0) + Nf (A1) - f(0)+ N(N +O(n3)
2 - 1)f(A1 + A2) - 2f(A2) + f(0)
O(1) O(n) O(n2)

Die erste Zeile ist eine Identitat (sogar ohne Mittelung). Setzt man fur f eine Taylor-
Entwicklung in die zweite Zeile ein und berucksichtigt man die Nicht-Unterscheidbarkeit
verschiedener Instantonen, so sieht man, da alle Monome im k-ten Term k oder mehr
verschiedene Instantonen enthalten. Die Mittelung faktorisiert in k Faktoren, jeder pro-
portional zu n. Somit ist der k-te Term tatsachlich von der Ordnung nk. Es ist einfach
(7.18) auf mehr als eine Feldspezies zu erweitern. Besteht A aus NI Instantonen und NI
Anti-Instantonen, so erhalt man in erster Ordnung in n:

f (A) = f (0) + NIf (AI) - f(0) + NIf(AI) - f(0) + O(n2). (7.19)

Setzt man in (7.19) den Propagator S ein, so erhalt man

S = S(A) = S(0) + NS(AI) - S(0) + O(n2) = S0 + NSI - S0+ O(n2) (7.20)

Invertieren ergibt erneut (7.15) bis auf Terme der Ordnung n2.



7.6 QCD Propagatoren *

In Abschnitt 7.5 sahen wir, da es genugt, den ein-Instanton-Propagator zu kennen, um S
in erster Ordnung n zu berechnen. Glucklicherweise ist dieser Propagator bekannt, doch
ist der Ausdruck recht kompliziert und obendrein divergent.

Der Gluon-Propagator Sab mit Spin S = 1 in adjungierter Farbdarstellung1 (C = 1)
I
kann aus dem Geist-Propagator ab (S = 0, C = 1) berechnet werden, welcher explizit
I
fur den ein-Instanton-Hintergrund bekannt ist. Auf folgende Weise kann ein Propaga-
tor gegebenen Spins S in einem selbstdualen Hintergrund aus dem skalaren Propagator
gleicher Farb-Darstellung C gewonnen werden:

Notation:

A = T aAa , [T a, T b] = i
 abcT c , T a = Generator von SU(2)c
0 in skalarer (C = 0)
T a =
a/2 infundamentaler (C = 1) Farb-Darstellung (7.21)
2
1Aus historische i a in adjungierter (C = 1)
n Grunden manchmal Isospin genannt [18].


7.6. QCD PROPAGATOREN * 71


1
P = p + A , p = i , ~
G = 2 G , {,} = 2

Spin 0 Propagator ~
:
~
-1 = P 2 = ~ = P-2 (7.22)
Spin 1 Propagator S:
2

1 + 1
S-1 = P/ = 5 - 5
P  = S = P/~ + ~
P/ fur G
2 2  = ~
G (7.23)


Spin 1 Propagator S:

1
S-1 = P 2 ~
)P
  + 2iG - (1 - P =
S ~ ~
 = q P2P - (1 - )P2P fur G = ~
G, (7.24)

q =  +  -  +  .
Herleitung und Diskussion dieser Formeln findet man in [18]. Einige Kommentare sind an
dieser Stelle angebracht. Obige Formeln sind gultig fur beliebige Farb-Darstellung. Wir
benotigen sie jedoch nur fur die adjungierte Darstellung C = 1. Fur S = 0 gibt es Nullm-
oden und der Propagator ist nur in einem zu den Nullmoden orthogonalen Unterraum das
Inverse des Kernels. Implikationen und Probleme dieser Beobachtung werden in Abschnitt
7.8 diskutiert. Der Spin 1 Kernel ist der quadratische Term der QCD-Lagrange-Funktion
(7.1) mit Eichfixierungs-Term 1 (Dab
2  Bb
)2 in Verallgemeinerung des = 1 Falles, der in
den ersten Abschnitten untersucht wurde.

Mit
2 ( x) ( y)
(x) = 1 + , F (x, y) = 1 + 2 , (7.25)
x2 x2 y2

 = ( , i) ,  = (, -i) ,  =  + iaa
kann der Geist-Propagator fur ein Instanton in der Form [18]

1 tr
ab(x, y) = 2 aF (x, y)bF (y, x) = (7.26)
I 42(x - y)2(x)(y)
2 22
= ab ab + abc 
cxy
42(x - y)2 - 42(x2 + 2)(y2 + 2) 42(x - y)2(x2 + 2)(y2 + 2)
24(((xy)2
+ - x2y2)ab + abccxy(xy) + abxyxy)
42(x - y)2(x2 + 2)x2(y2 + 2)y2
geschrieben werden [18]. Zur Vereinfachung wurde das Instanton an den Ursprung zI = 0
in Standard-Orientierung gesetzt. Mittels (7.24) ist es moglich den Gluon-Propagator Sab
I
explizit auszuschreiben, dies fuhrt allerdings auf einen sehr langen Ausdruck. Wahrend
ab exakt gemittelt und im Impulsraum mit Hilfe modifizierter Besselfunktionen darge-
I
stellt werden kann, scheint dies unmoglich fur Sab . Es ist also n
I otig, S f
ur groe oder
kleine Impulse zu entwickeln. Letztendlich werden wir den vollen Ausdruck fur S nicht
benotigen.


72 KAPITEL 7. GLUON-MASSE


7.7 Propagatoren f
ur kleine Impulse *

Die Rechnung vereinfacht sich erheblich, wenn wir (p) und S(p) fur kleine Impulse
entwickeln. Da p immer in der dimensionslosen Kombination (p) auftritt, kann der
fuhrende Term fur kleine p gefunden werden, indem nur -Terme niedrigster Ordnung
beibehalten werden. Mit anderen Worten: Kleine p entsprechen groen x und f
ur x
kann vernachlassigt werden. Beginnen wir mit dem Geist-Propagator aus (7.26):

ab = ab
I 0 - 2W ab + O(4) (7.27)

ab(x, y) = ab
0 42(x - y)2
2
W ab(x, y) = ab + abc 
cxy
42x2y2 42(x - y)2x2y2
0(p) = 1/p2 ist der freie (Aa 0) Geist-Propagator. Nach Restaurierung der Instanton-
Position z und -Orientierung U kann begonnen werden 0 - I zu mitteln. Der -Term
in W wird durch Mittelung uber die Instanton-Orientierung eliminiert:

1 d4z
x|ab0-ab , (7.28)
I |y = 42ab2 V4 42(x - z)242(z - y)2
Dieses Integral ist Infrarot-divergent. Nutzt man aus, da 1/42(x - y)2 die Fourier-
Transformation von 1/p2 ist, so kann man das Integral zu

1 1 1
V4 x|0-I|y = 422 d4z x|p2|z z|p2|y = 422 x|p4|y

umschreiben. Die Divergenz ist nun in der Tatsache verborgen, da die Ortsdarstellung
von p-4 nicht existiert. Letztendlich sind wir aber nicht an der Ortdarstellung, sondern
an der Impulsdarstellung interessiert. Daher wirkt sich die Divergenz nicht dramatisch
aus. Einsetzen von in (7.16) ergibt

ghost 422 1 1
V eff = -1
0 0-I -1
0 = p2 p2 = 422 = 2p4W (7.29)
V4 p4 V4

und fuhrt im SU(2)c-Fall zu einer Geist-Masse von

M2ghost(p = 0) = NV eff = 422n

die in den Geist-Propagator ab = ab(p2 + M2 (p))-1 einzusetzen ist. Verallgemeine-
ghost
rung auf den Fall von Nc Farben ergibt

Mghost(p = 0) = 22nR = 8.9nR = 340 MeV (7.30)

wobei nR := n/Nc von der Ordnung O(N0) ist. Die wichtigste Erkenntnis hieraus ist, da
c
M = 0 ist. Ein skalares Teilchen in adjungierter Farbdarstellung nimmt im Instanton-
Hintergrund eine dynamische Masse an.


7.8. NULLMODEN * 73


Widmen wir uns nun der Gluon-Masse bei kleinen Energien. Dazu mu (7.27) in (7.24)
eingesetzt werden. Entwicklet man P bis zur Ordnung 2

2F
P a 
ax
 = p + 2
A + O(4) ,
A = x4
so erhalt man

P
2P A
I = p0p - 2p(0W + W 0)p + 2(p0 +
A0p) + O(4) .

Der freie Gluon-Propagator in R-Eichung ist

1 p
S0 = q p p ( p ) .
  p2
0 - (1 - )p20 = p2  - (1 - ) p2

Nutzt man aus, da p mit gemittelten Groen wie W kommutiert, so erhalt man

S0 = 2[q
 - SI  p(0W + W 0)p - (1 - )p(0W + W 0)p]
S0 = 22W (p2
 - SI  - (1 - )pp) = 22p2WS0
gluon
V eff = S-1
0 S0 - SIS-1
0 = 22p2S-1
0 W

-1
S = S-1
0 + NV gluon = S-1
ef f 0 (1
1 + 2M2ghost(0)/p2)
p2S  - (1 - )pp
S = 0 = p2 mit (7.31)
p2 + M2 (0) p2 + M2 (p2)
ghost gluon

M2 (p2) = 2M2 (0) + O(p2)
gluon ghost

Wir erhalten somit das interessante Resultat, da bei Impulstransfer 0 die Gluon-Masse
um den Faktor 2 groer ist als die Geist-Masse. Vielleicht ist die Relation Mgluon
2Mghost auch fur groere p gultig. Die Gluon-Masse bei Impulstransfer Null ist
Mgluon(p = 0) = 4nR = 12.6nR = 480 MeV (7.32)


7.8 Nullmoden *

Bisher haben wir das Problem der Nullmoden ignoriert. Alle Gluon-Feld-Fluktuationen
mussen orthogonal auf diesen stehen, was durch einen auf den Nullmoden orthogonalen
Gluon-Propagator erreicht wird. Von (7.24) mu folglich die Projektion auf den Null-
modenraum subtrahiert werden. Dies eliminiert auch eine Divergenz, die durch Qua-
drieren des zweiten Terms in (7.26) entsteht. Ein weiteres Problem ist, da das Skalar-
produkt der Nullmoden mit dem Propagator nicht existiert [18]. Alle diese Probleme
betreffen Terme, die Proportional zu 4 sind; sie sind somit gegenstandslos fur p2 = 0.
Ein weiteres Indiz, da die Massenerzeugung nicht von den Nullmoden abhangt, ist der
Geist-Propagator, da es im Spin-0-Fall keine Nullmoden gibt. Dies sollte mit dem Quark-
Propagator verglichen werden, in dem die Nullmoden fur die Massenerzeugung verant-
wortlich sind, und die sogenannte Nullmoden-Approximation die Berechnungen enorm
vereinfacht.


74 KAPITEL 7. GLUON-MASSE


7.9 Zusammenfassung & Ausblick

Der Gluon-Propagator wurde im Instanton-Flussigkeits-Modell fur kleine Impulse p in
f
uhrender Ordnung in der Instanton-Dichte berechnet. Eine von Nc unabhangige Masse
konnte extrahiert werden. Weiterhin ist die Masse eichunabhangig, zumindest fur p2 = 0
innerhalb der Klasse der R Eichungen. Fur 0 ist der Gluon-Propagator, wie zu
erwarten, transversal.

Fur = 1 bleibt ein masseloser Pol aufgrund des (1 - )pp/p2 Terms bestehen. Es
ist zu erwarten, da der mit diesem Pol assoziierte masselose Zustand von physikalischen
Matrix-Elementen entkoppelt, wie in der gewohnlichen Storungstheorie.

Der Wert fur die Gluon-Masse Mgluon = 480 MeV stimmt mit der von Cornwall ermittelten
Gluon-Masse von 500200MeV uberein [38] und ist konsistent mit den aus Proton-Proton-
Streuung extrahierten Werten (370MeV) [39].

Der nachste Schritt sollte die Berechnung eichinvarianter Korrelations-Funktionen sein,
wie den Glue-Ball Korrelatoren oder der topologischen Suszeptibilitat. Hierzu mussen
Produkte bzw. Faltungen von mehreren Propagatoren berechnet werden. Statt des freien
Propagators, der in der Storungstheorie verwendet wird, mu auch hier der Propagator im
ein-Instanton Vakuum (7.24) verwendet werden. Ohne weitere drastische Vereinfachungen
durfte dies ein relativ schwieriges Vorhaben sein.


Kapitel 8

Eichinvarianter Quarkpropagator


Mit Hilfe des Instanton-Fl
ussigkeit-Modells war es moglich quantitative Vorhersagen zu
machen, bzgl. chiraler Symmetriebrechung und bzgl. der leichtesten Mesonen in vielen
Kanalen. Trotz groer Anstrengungen, dieses Modell aus ersten Prinzipien abzuleiten, ist
es immer noch unklar ob Instantonen wohlsepariert sind oder miteinander verschmelzen.
Somit bleibt das Infrarot-Problem ungelost. Dieser Abschnitt ist der Versuch einige Vor-
hersagen zu machen, ohne sich auf das Instanton-Flussigkeits-Modell zu stutzen, sondern
die theoretische ein-Schleifen Instanton-Dichte D() zu verwenden.

In den Abschnitten 8.5 und 8.6, wird das Quark-Kondensat berechnet. Durch Wahl einer
geeigneten Eichung und durch Aufsummieren der Selbstenergien erhalte ich ein endliches
Resultat, ohne einen Infrarot-Cutoff in der Instanton-Dichte einzufuhren.

Da die Endlichkeit wesentlich von der Wahl der Eichung abhangt, mochte ich vorher in
Abschnitt 8.1, 8.2 und 8.3 allgemein diskutieren, welche Eichung fur die Berechnung eich-
abhangiger Groen zu verwenden ist. Der Quark-Propagator in wohlbekannter regularer
und singularer Eichung wird mit einem eichinvarianten Propagator verglichen, der in Ab-
schnitt 8.4 berechnet wird.



8.1 Allgemeines 
uber die Wahl einer geeigneten Ei-
chung

Die Eichsymmetrie ist eine sehr groe Symmetrie, ein unendliches Produkt von SU(Nc) im
Falle der QCD. Jeder Physiker ist erfreut uber Symmetrien, da mit ihrer Hilfe Vorhersa-
gen gemacht werden konnen, auch ohne die Theorie explizit zu losen. Die Eichsymmetrie
ist notwendig, um ein physikalisches Spektrum der Vektor-Bosonen zu bekommen. So-
lange keine Approximation gemacht wird, die die Eichinvarianz manifest bricht, kann man
eine fur die Rechnung angenehme Eichung verwenden, da das Ergebnis eichinvariant ist.
Allerdings ist es schwierig, die Eichinvarianz nicht zu brechen, insbesondere in einer nicht-
abelschen Eichtheorie. Es ist nicht einfach eine eichinvariante Regularisierung zu finden,

75


76 KAPITEL 8. EICHINVARIANTER QUARKPROPAGATOR


auch ist der Gluon-Propagator, eine fundamentale Groe in der Storungstheorie, eich-
abhangig. Naturlich ist es inzwischen wohlbekannt, wie eichinvariante Berechnungen in
jeder Ordnung Storungstheorie durchzufuhren sind, indem man Faddeev-Popov-Geister
einfuhrt und dimensional regularisiert. Jeder neue, uber die Storungstheorie hinausge-
hende Ansatz, ist erneut mit dem Problem der Eichinvarianz konfrontiert. In der Gitter-
Eichtheorie mute die Wilson-Wirkung erfunden werden. In Selbstkonsistenz-Gleichungen
vom Typ Schwinger-Dyson und Bethe-Salpeter ist Eichinvarianz immer noch ein offenes
Problem. In der Instanton-Physik ist die Wahl der Eichung ebenfalls wichtig, sobald man

uber die ein-Instanton-Approximation hinausgeht. Dies wird ausfuhrlicher in Abschnitt
8.3 diskutiert. Ein ahnliches Problem ergibt sich, wenn man bewut nicht-eichinvariant
Objekte, wie den Gluon- und Quark-Propagator, untersucht. Streng genommen sind diese
nur definiert in Bezug auf eine konkrete Eichung. Im Prinzip sollte man ihnen keinerlei
physikalische Bedeutung zukommen lassen. Da man oftmals verfuhrt, ist dies doch zu
tun, ist es notwendig die Wahl dieser oder jener Eichung physikalisch zu motivieren.



8.2 Eine nat
urliche Eichung

Das Eichfeld Aa beschreibt die Konnektion zwischen benachbarten Vektorb
 
undeln uber
der Raumzeit-Mannigfaltigkeit IR4. D.h. die Wahl einer Eichung entspricht der Wahl eines
Koordinatensystems in der allgemeinen Relativitatstheorie mit Konnektion . Wahlt
man ein sehr krummliniges Koordinatensystem, obwohl man ein sehr glattes Universum
beschreiben mochte, entstehen riesige Schein-Beschleunigungen, die die physikalischen
Beschleunigungen weitgehend verdecken:


x = 
x + 
phys f ict
x x .

Fuhrt man allgemein kovariante Berechnungen durch, dann werden diese fiktiven Be-
schleunigungen von den -Beitragen aufgehoben, und man erhalt das korrekte kleine
Resultat. Die kleinste unsystematische Approximation allerdings fuhrt zu groen Feh-
lern. Die naturliche Losung dieses Problems ist, ein Koordinationsystem zu benutzen,
das so glatt wie moglich ist, um virtuelle Beschleunigungen zu vermeiden, d.h.  so

klein wie moglich zu wahlen. Um diese Aussage etwas zu quantifizieren, konnte man z.B.
versuchen (
x )2 simultan f
phys - xfict 
ur alle Kurven zu minimieren. Dies wird durch Wahl
eines Koordinatensystems erreicht, das


||||2 :=  d4x



minimiert1. Diese Norm mit offensichtlich die Krummheit des Koordinatensystems.


Ubertragen wir dies nun auf die QCD: Die analoge Norm f
ur das Eichpotential ist


||A||2 := trcAA d4x
1Im Euklidischen ist diese Norm positiv definit


8.3. 
UBER DIE WAHL EINER EICHUNG IN DER INSTANTON-PHYSIK 77


Ein stationarer Punkt kann durch Variation von ||A|| bzgl. Eichtransformationen gewon-
nen werden

A = i[A, ] +  , ||A||2 = 2i tr(A)d4x = 0 A = 0
Folglich enthalt Aa in Lorentz-Eichung so wenig reine Eichung wie m
 oglich, falls der sta-
tionare Punkt ein Minimum ist. Eine Entwicklung in A ist also in Lorentz-Eichung am
schnellsten konvergent. In Anwendungen, in denen A nicht uberall benotigt wird, sondern
in denen z.B. nur ein bestimmter Impulsbereich dominiert, konnen andere Normen und
andere Eichungen optimal im oben diskutierten Sinne sein. Insbesondere sollten Ablei-
tungen von A in die Norm aufgenommen werden, um ein glattes A zu garantieren, was
bei groen Energien wichtig wird.


8.3 
Uber die Wahl einer Eichung in der Instanton-
Physik

Bei der Berechnung von eichinvarianten Groen im ein-Instanton-Vakuum in einer ei-
chinvarianten Weise ist die Wahl der Eichung Geschmackssache. Allerdings treten groe
Ausloschungen zwischen verschiedenen Termen in regularer Eichung bei groen Abstanden
wegen des langsamen Abfalls und in singularer Eichung bei kleinen Abstanden wegen
der topologischen Singularitat in der Mitte des Instantons auf. Fur nicht-eichinvariante
Groen, wie dem Gluon- oder Quark-Propagator, oder bei Verwendung unsystemati-
scher Approximationen lernen wir hieraus singulare/regulare Eichung bei niedrigen/hohen
Energien zu verwenden, um diese Ausloschungen zu vermeiden. Diese Regel ist konsistent
mit der Diskussion des vorigen Paragraphen. Singulare als auch regulare Eichung erfullen
die Lorentzbedingung. ||Asing|| ist endlich und minimal. Asing ist daher eine gute Eichung
bei kleinen Energien. F
ur hohe Energien ist es wichtig, da A moglichst glatt ist, was
offensichtlich nur fur die regulare Eichung zutrifft.

Um Instantonen linear uberlagern zu konnen, mussen sie genugend schnell abfallen. Des-
halb mu man die singulare Eichung verwenden. Dieses Argument kann im Prinzip um-
gangen werden, indem zwei Felder AN and A linear
N 
uberlagert werden, wobei erste-
res/letzteres eine exakte Multi-Instanton/Multi-Anti-Instanton Konfiguration in regularer
Eichung ist. Abgesehen von dieser mehr theoretischen Moglichkeit ist fur niedrige Ener-
gien die singulare Eichung so oder so eine gute Wahl und fur hohe Energien liefert bereits
eine ein-Instanton-Approximation gute Ergebnisse.


8.4 Der Quark-Propagator in axialer Eichung *

Der Quark-Propagator ist ein Beispiel, die Eichabhangigkeit zu testen. Der Beitrag eines
Instantons mit Radius zu M(p) = ip2 
SI(p), haufig als Konstituenten-Masse interpre-
tiert, ist in regularer, singularer und axialer Eichung in Abbildung B.2 graphisch darge-
stellt. Die regulare Masse ist groer als die singulare bei kleinen Impulsen, die singulare


78 KAPITEL 8. EICHINVARIANTER QUARKPROPAGATOR


Masse zeigt ein langsames Abfallverhalten (polynomiell in 1/p) fur groe Impulse. Die
wohlbekannten analytischen Ausdrucke sind in Anhang A.2 aufgefuhrt, zusammen mit
den Ausdrucken in axialer Eichung, die im folgenden hergeleitet und diskutiert werden.

Ein Korrelator, der Farb-nicht-Singlett Operatoren enthalt, kann eichinvariant gemacht
werden. Dazu werden entfernte Punkte mit einem speziellen pfadgeordneten Exponen-
tial, welches das Eichfeld enthalt, verbunden. Das Exponential (Wilson-Linie) garantiert
Paralleltransport der Farbe von einem Punkt zum anderen. Der eichinvariante Quark-
Propagator kann symbolisch als

y
Sax(x, y) = 0|(x)P exp i dzA(z) (y)|0 (8.1)
x

geschrieben werden, wobei P Pfadordnung bedeutet. Dabei haben wir Sax bereits als
Farb-Singulett definiert, da nur der Singulett-Anteil eichinvariant ist. Sax wird axialer
Propagator genannt, da in axialer Eichung mit n = x-y das Exponential verschwindet.
Im ein-Instanton-Vakuum in Nullmoden-Approximation erhalten wir

11 y
S c
ax(x, y) = tr dz
N c P exp i AI(z) (x) (y) ,
c x

wobei AI das Instanton-Feld und die Nullmode in beliebiger Eichung sind. In einem
Koordinatensystem, in dem das Instanton am Ursprung sitzt und x - y in Zeitrichtung
zeigt2 (x = y = z) reduziert sich das pfadgeordnete Exponential auf eine gewohnliche
Exponentialfunktion, da die zu exponenzierende Farb-Matrix konstant, d.h. unabhangig
z ist. Alternativ hatte man auch versuchen konnen, eine Eichtransformation zu finden,
die die regulare Eichung in die axiale Eichung transformiert. In beiden Fallen erhalten
wir:
1
Sax(x, y) = tr
N c ax(x) 
ax(y) , ax(x) = R(x)reg(x), (8.2)
c
R(x) = ei(x) x
| x
x| = cos (x)  i sin (x) =:
|x| i~x(x) (8.3)
x
(x) = |x| arctan 0 (8.4)
x2 + 2 x2 + 2

Es ist moglich (x) kovariant zu schreiben

2(x -1/2 (x2
(x) =  1 + - y)2 arctan - (xy))2 ,
x2y2 - (xy)2 x2y2 - (xy)2 + 2(x - y)2
aber nun hangt (x) ebenso von y ab und der Ausdruck fur den Propagator faktorisiert
nicht langer. Der Grund hierfur ist, da die axiale Eichung nicht kovariant ist, aber die
Definition des Propagators sehr wohl. Setzt man (8.3) und (8.8) in (8.2) ein, so erhalt
man
1 1 1
S  5
ax(x, y) = (~
x~
y) ~
x
N - ~y reg(x)reg(y) . (8.5)
c 2 2

2Obwohl wir im Euklidischen arbeiten, wird die Minkowski-Sprechweise (x0, x) = (Zeit, Ort)

ubernommen.


8.4. DER QUARK-PROPAGATOR IN AXIALER EICHUNG * 79


Durch Einsetzen von (8.3), (8.4) und (8.8) in (8.5) kann der Raumzeit-gemittelte Propa-
gator als Integral elementarer Funktionen ausgedruckt werden:


 r t + t
S(x - y) = dr dt4r2 cos arctan |x - y|
0 - R R - arctan R 

1 2
 , R2 = r2 + 2
2Nc 2(R2 + (t + |x - y|)2)3/2(R2 + t2)3/2
Der Unterschied zwischen dem Propagator in regularer und singularer Eichung ist der
Einschub des cos[. . .] Faktors. Folglich ist der axiale Propagtor in Ortsdarstellung uberall
kleiner als der regulare Propagator, auer fur x = y wo sie ubereinstimmen, da dort das
pfadgeordnete Exponential identisch 1 ist. Fur groe Abstande ist er um den Faktor /4
kleiner. Anstatt die Integrationen im Ortsraum auszufuhren, wenden wir uns direkt der
interessanteren Darstellung im Impulsraum zu:

 1
SI(p) =  (p)(p) ,  (p) = ~
x(x)
2N ax ax ax reg(x)eipxdx (8.6)
c

Obwohl ax nicht wie ein Vektor transformiert, kann man dennoch fur p eine zweckmaige
Richtung wahlen, da ein Lorentz-Skalar ist. Fur rein raumartiges p verschwinden die
raumlichen -Komponenten, da der Integrand antisymmetrisch bzgl. Zeitreflexion ist.
Nur die Zeitkomponente ist nichttrivial

r t
ax(p) := 0 (p) = d3r dt cos arctan eipr
ax R R (R2 + t2)3/2

Folgende Hinweise

1 + ix /2
cos( arctan x) = Re 1 -ix
( +
(R - it)-(R + it)-dt = 2(2R)1-- - 1)
- ()()
3 3 ( 1
( + x) = 4 - x2)
2 - x)(2 cos x
2
d3r eiprf (r) = f (r) sin(pr)r dr (8.7)
p 0

sollten dem Leser ermoglichen, die t und die Winkelintegration dr durchzufuhren

8 r
ax(p) = cos sin(pr)r dr . (8.8)
p 0 2R

Die letzte Integration kann nicht analytisch ausgefuhrt werden, aber fur kleine Impulse
kann man leicht sehen, da ax(p) wie 2/p wachst. Fur groe p fallt es wie e-p ab,
mit einem nicht-polynomiellen Koeffizienten aufgrund einer wesentlichen Singularitat bei
r = i. Vergleicht man reg, sing und ax, geplottet in Abbildung B.2, so kann man
erkennen, da das axiale zwischen dem regularen und dem singularen liegt. Daraus
kann man schlieen, da die axiale Eichung ein guter Kompromi fur alle Impulse ist.


80 KAPITEL 8. EICHINVARIANTER QUARKPROPAGATOR


Die Berechnung des eichinvarianten Propagators scheint eine Diskussion seiner eich-
abhangigen Partner uberflussig zu machen. Ich werde nun einige Argumente anfuhren,
warum dies nicht der Fall ist. Der Grund hierfur ist, da es eine enorme Menge an eichin-
varianten Definitionen fur einen Quark-Propagator gibt und (8.1) ist nur eine mogliche
Wahl. Eine offensichtliche Verallgemeinerung ist, einen komplizierteren Pfad als eine
gerade Linie von x nach y zu wahlen. Als nachstes konnte man sich nicht auf einen
spezifischen Pfad beschranken, sondern uber alle Pfade, an denen man interessiert ist, be-
liebig gewichtet mitteln. Eine weitere Moglichkeit besteht darin, den Pfad selbst von der
Eichfeld-Konfiguration abhangig zu machen, solange die Abhangigkeit in eichinvarianter
Weise erfolgt. Zu guter letzt lieen sich beide Verallgemeinerungen noch kombinieren.
Vermutlich kann jedes gewunschte Resultat fur den Propagator mit Hilfe einer geeigne-
ten Definition erzeugt werden. Der Vorteil des standard axialen Propagators ist, da
die Definition einfach ist und da der nicht-lokale Operator eine physikalische Interpreta-
tion besitzt: Er erzeugt ein durch einen dunnen Gluon-Fluschlauch verbundenes Quark-
Antiquark-Paar. Moglicherweise ist dies eine gute Wahl f
ur einen nicht-lokalen Meson-
Erzeugungs-Operator. Allerdings ist es ebenso plausibel, da eine der oben erwahnten
Verallgemeinerungen noch besser ist. Mit dieser Diskussion wollte ich hervorheben, da
die Verwendung des hier eingefuhrten eichinvarianten Propagators letztlich nur bedeu-
tet, in axialer Eichung zu arbeiten. Die Wahl einer geeigneten Eichung bleibt weiterhin
ausgefeilten Argumenten vorbehalten.



8.5 Effektive Quark-Masse *

Im folgenden wird im Nc Limes gearbeitet. Der einzige Grund, diesen Limes durch-
zufuhren, ist, die Form der Ergebnisse ubersichtlich zu halten. Fur Nc = 3 stimmen die
Resultate mit den exakten Formeln auf 10% uberein. Dies ist die Standardgenauigkeit,
die haufig in der 1/Nc-Entwicklung erreicht wird. In diesem Fall kann die hohe Genau-
igkeit leicht verstanden werden. Der Expansionsparameter ist namlich nicht 1/Nc = 1/3,
sondern in der Tat 1/b 1/11. Folgende asymptotischen Formeln werden wir benotigen
11
N  
c!1/Nc = Nc/e , b 
= N = 2.22b-6/11
3 c , C1/b
Nc

242
5D() (2.22(S0/b)6/11)b , S0/b = (g2N
11 0 c)-1 . (8.9)

Jede Gleichung, die fur Nc exakt wird, ist mit einem Punkt markiert. Beachten
Sie, da in diesem Limes Instantonen der Groe < 1 (S
2.22 0/b)-6/11-1 vollst
andig un-
terdruckt sind. Oberhalb dieser Schranke wird die Instantondichte unendlich. S0/b ist
unabhangig von Nc, da die Kopplung g0 1/Nc ist. ist die QCD-Skala.
In Anwesenheit leichter Quarks mu die Instanton-Dichte D() mit der Funktional-
Determinante des Dirac-Operators multipliziert werden:

Det(iD
/ + im) 1.34m


8.5. EFFEKTIVE QUARK-MASSE * 81


Die Dichte ist nun proportional zu m aufgrund einer Nullmode von D
/. Der Quark-
Propagator im ein-Instanton Vakuum wird durch diese Nullmode dominiert

(q)
S I (p)
I
I (p, q) = im

Mittelt man diesen Ausdruck uber alle kollektiven Koordinaten I, so erhalt man:
1.34
M(p) := dI ip2SI(p) = d p2D()2(p)
2Nc 0

Man beachte, da im Gegensatz zu M(p) im Instanton-Flussigkeits-Modell hier uber alle
Instanton-Radien integriert wird. Aufsummation der 0, 1, 2, 3, . . . Instanton-Beitrage zum
Propagator in Analogie zur Aufsummation der Selbstenergie in der Storungstheorie

1 1 M(p) 1 1 M(p) 1 M(p) 1 1
S(p) = + + + . . . =
p/ p/ i p/ p/ i p/ i p/ p/ + iM(p)

rechtfertigt es, M(p) 'dynamische Quarkmasse' zu nennen. In Anhang A.2 sind Ausdr
ucke
fur in den verschiedenen Eichungen angegeben. Die Graphen von (p) in singularer
und regularer Eichung schneiden sich bei

sing(p) = reg(p) 2p 2.5
Aus diesem Grund sollte man die regulare Eichung fur groe Instanton-Radien und die
singulare Eichung f
ur kleine wahlen. Diese Eichwahl sorgt auch f
ur die Konvergenz
der -Integration fur groe . An dieser Stelle haben wir somit kein Infrarot-Problem.
Benutzt man die regulare Eichung im ganzen Integrations-Intervall so erhalt man


Mreg(p) = Bp( )b , B = 1.34 b2Nc)(S
2p  162(CNc 0/b)6b/11Ib/Nc


Ib = dz zb-2e-z = (b - 2)! , z = 2p .
0
Das Integral wird stark dominiert fur

z 
= b  b1/2 >> 2.5
Das Ergebnis ist unabhangig von der Wahl der Eichung fur z < 2.5 und rechtfertigt somit
die Verwendung der regularen Eichung fur das ganze Intergrations-Intervall. Verwendung
der axialen Eichung fuhrt auf ein ahnliches Resultat, wie in Abbildung B.2 zu erkennen ist.
Verwendung der singularen Eichung wurde zu einem fur groe divergierenden Integral
fuhren, welches durch beliebig groe Instantonen dominiert wird. Diese Wahl widerspricht
auch der im vorigem Paragraphen gefuhrten Diskussion. Das Infrarot-"Problem" macht
sich im schnell wachsenden M(p) fur kleine p bemerkbar, was effektiv die Propagation
von Quarks kleiner Virtualitat p2 unterdr
uckt. Betrachte einen Prozess, der Quarks bei
Abstanden x = 1/pc sondiert. Die effektive Quarkmasse M(1/x) wird durch viel groere
Instantonen dominiert

b
= c(1  b-1/2) >> x , c = .
2pc


82 KAPITEL 8. EICHINVARIANTER QUARKPROPAGATOR


Mit anderen Worten: Ein gegebenes Instanton mit Radius beeinflut die Physik auf viel
kleineren Langenskalen x = 2 << . Daher wird das Innere eines Instantons sondiert
b
und man sollte die Singularitat an seinem Ursprung durch Verwendung der regularen
Eichung vermeiden.



8.6 Das Quark-Kondensat

Wir wollen nun eine echte physikalische Observable, das Quark-Kondensat, berechnen:

 M(p)
:= lim trCD(S(x)
x0 - S0(x)) = -4iNc d4pp2 + M2(p)

Einsetzen von M(p) und Ausfuhren der Winkelintegration ergibt:

N
|  | = c B3/bJ
162 b3

zb+2
J 
b = dz = = , p = B1/b z
0 1 + z2b 2b sin( b+3) 2b 2
2b

Das Integral ist endlich und scharf dominiert durch z 
= 1  b-1. Ohne Aufsummie-
ren der Selbstenergie hatte sich das Integral Jb und damit das Kondensat als unendlich
herausgestellt. Das Kondensat ist dominiert durch Quark-Wellenfunktionen mit Impuls

1 2.22
p = pc(1  b-1) , pc = b , := B1/b 
= (S
2 b e 0/b)6/11

und hangt parametrisch von und g0 ab:

|  |1/3 = 0.139b .
Druckt man pc und c durch |  | aus, indem man eliminiert, so erhalten wir unser
Hauptresultat

pc = 3.59|  |1/3
1.96
c = N | 
|1/3 (8.10)
c
2.22Nc = (g2N
0 c)6/11| 
|1/3
Ein schwacher Punkt der letzten Gleichung ist die experimentelle Bestimmung von g0. g0
sollte aus einem geeigneten tree-level Proze bei niedrigen Energien, vermutlich von der
Groenordnung -1, gewonnen werden. In QCD-verbesserten Bag-Modellen ist der we-
c
sentlich nicht-perturbative Effekt durch die Bag modelliert und die Hyperfeinaufspaltung
wird durch einen ein-Gluon Austausch verursacht. Aus der - N-Aufspaltung kann g0
zu
gbag
0 2.6


8.7. ZUSAMMENFASSUNG 83


bestimmt werden [10]. An dieser Stelle mochte ich noch eine theoretische Schatzung von
g0 angeben. Der 
Ubergang zu einem zwei-Schleifen Ausdruck fur die Instantondichte
S0/1 ; S1/2 kann auch erreicht werden, indem ausschielich S0 in der folgenden Weise
ersetzt wird: 1 15
(S0/b)6/11 ; (ln ) , =
121
Da sehr klein ist, ist (ln 1 ) in einem groen Bereich von ungefahr gleich eins. Fur


gguess
0 = 2.7 3/Nc

stimmt die zwei-Schleifen Dichte mit der ein-Schleifen Dichte uberein. Da die zwei-
Schleifen Dichte vermutlich aber keine Verbesserung darstellt, sollte man gguess
0 nicht zu
ernst nehmen. Zumindest steht gguess nicht im Widerspruch zu gbag.
0 0

Der Wert des Quark-Kondensats ist wohlbekannt |  |1/3 = 240MeV. Setzt man Nc = 3
und nimmt man g0 = 2.6 hin, so erhalt man

pc  p = (860  80)MeV
c  = (160  50)-1MeV (8.11)
PV 190MeV
Am interessantesten ist, da das Quark-Kondensat scharf durch Quark-Wellenfunktionen
mit relativ groem Impuls pc dominiert ist. Auf der anderen Seite haben die dominie-
renden Instantonen einen relativ groen Radius c, vier mal groer als ublicherweise in
Instanton-Flussigkeits-Modellen angenommen wird. Nichtsdestoweniger ist der vorherge-
sagte Wert fur PV in experimenteller 
Ubereinstimmung, allerdings ist die Unsicherheit
durch die grobe Abschatzung von g0 relativ gro.


8.7 Zusammenfassung

Wann immer man eichabhangige Objekte berechnet oder man eichbrechende Approxi-
mationen verwendet, wird man mit dem Problem konfrontiert, eine "gute" Eichung zu
wahlen. Durch Spezialisieren der allgemeinen Diskussion in Abschnitt 8.2 auf den Fall
von Instantonen, kamen wir zu dem Schlu, da die regulare Eichung fur kleine und
die singulare Eichung fur groe Abstande angemessen ist. Der eichinvariante Propagator
wurde definiert, berechnet und mit dem Propagator in singularer und regularer Eichung
verglichen (Abbildung B.2). Wir zogen die Schlufolgerung, da der eichinvariante Propa-
gator nicht a-priori eine gute Wahl ist, sondern zwischen der regularen und der singularen
Eichung liegt.

Durch Verwendung einer geeigneten Eichung gelang es, ein endliches Quark-Kondensat
herzuleiten, wobei weder ein Infrarot-Cutoff fur den Instantonradius noch ein spezifisches
Instantonmodell eingefuhrt werden mute. Die lineare Relation zwischen |  |1/3 und
der QCD Skala stimmt mit den experimentellen Daten uberein. Das Kondensat wird
durch Quark-Felder hohen Impulses pc = 860MeV formiert, wobei der beitragende Bereich
p = 80MeV sehr schmal ist. Die dominierenden Instantonen sind sehr gro (c =
160MeV).


Kapitel 9

Schlubetrachtung


9.1 Neue Erkenntnisse

In dieser Arbeit wurden einige bereits bekannte und eine Reihe neuer Resultate gewonnen.
Die Berechnungen legten meist das Instanton-Flussigkeits-Modell zugrunde.

Folgende neue Erkenntnisse wurden gewonnen:

 Im Falle des Quark-Propagators konnen dynamische Quark-Schleifen in einer re-
normierten Instanton-Dichte absorbiert werden, welche mit dem Gluon-Kondensat
identifiziert werden darf (Kapitel 3).

 Ubersichtliche Bethe-Salpeter-Gleichungen wurden fur die Quark-4-Punkt-Funk-
tionen aufgestellt und gelost. Im Flavor-Singulett-Kanal tragt eine Kette von Quark-
Schleifen bei, die fur das Fehlen eines U(1) Goldstone-Bosons verantwortlich ist
(Kapitel 4).

 Aus den Meson-Korrelatoren wurden durch spektralen Angleich die Massen und
Kopplungen der , , , a1 und f1 Mesonen bestimmt (Tabelle 5.3, Abbildungen
B.3-B.8).

 Die Masse wurde erfolgreich vorhergesagt (Gleichung 6.15).
 Die axialen Proton-Formfaktoren des Singulett-Stromes j5, des Gluon-Stromes K
und der Anomalie a wurden berechnet und deren Eich(un)abhangigkeit diskutiert
(Tabelle 6.1). Es wurde gezeigt, da A(0) = -1 unabhangig von der Zahl der
Flavors ist.

 Fur kleine Impulse wurden die Geist- und eine eichinvariante Gluon-Masse berechnet
(Gleichungen 7.30 und 7.32).

 Allgemeine Regeln zur Wahl einer Eichung wurden aufgestellt, insbesondere wann
die regulare und wann die singulare Eichung zu verwenden ist (Abschnitte 8.1, 8.2
und 8.3).

84


9.2. AUSBLICK 85


 Ein eichinvarianter Quark-Propagator wurde im ein-Instanton-Hintergrund berech-
net (Gleichungen 8.6 und 8.8).

 Das Quark-Kondensat wurde mit der QCD-Skala in Beziehung gesetzt, wobei
weder ein Infrarot-Cutoff noch ein spezifisches Instanton-Modell eingefuhrt werden
mute (Gleichung 8.10).



9.2 Ausblick

Das Instanton-Flussigkeits-Modell hat sich in verschiedensten Sektoren der QCD bewahrt,
wie die Ergebnisse dieser und anderer Arbeiten zeigen. Obwohl dieses Modell nicht streng
aus ersten Prinzipien abgeleitet werden kann, belegt der Erfolg, da zumindest ein Korn-
chen Wahrheit in ihm stecken mu. Die Grenzen dieses Modells treten auch klar zutage:
Confinement kann nicht erklart werden und der axiale Singulett-Kanal bereitet weiterhin
Probleme, obwohl Instantonen die U(1)A-Symmetrie explizit brechen.

In Zukunft sollten die nicht-Nullmoden berucksichtigt werden, die im Falle von strange
Quarks wichtig werden und fur die Respektierung der axialen Ward-Identitaten vermut-
lich essentiell sind. Baryon Korrelatoren zur Bestimmung der Baryon-Massen konnten
berechnet werden. Numerisch wurden beide Erweiterungen bereits realisiert [28].

Obwohl eine direkte Berechnung des axialen Singulett-Korrelators nicht zum Ziel fuhrte,
konnte mit verfeinerten Argumenten die Masse bestimmt werden. Vielleicht lost eine
ahnliche 
Uberlegung das Proton-Spin-Problem.

Eichinvariante Gluon-Ball Korrelatoren sollten berechnet werden.

Das dringendste theoretische Problem bleibt ein "Beweis" fur die Korrektheit des
Instanton-Flussigkeit-Modells. Dies wurde den Gultigkeitsbereich des Modells klar ab-
grenzen und die allgemeine Akzeptanz steigern.

Die QCD ist eine hartnackige Theorie. Die Experimental-Physiker vollbringen groe
Leistungen beim Messen der Hadron-Parameter, wobei die Prazision der Experimente
immer groer wird. Der Theoretiker ist gefordert, mit diesem Fortschritt mitzuhalten.


9.3 Danksagung

An erster Stelle mochte ich mich herzlich bei Herrn Prof. H. Fritzsch bedanken fur die Be-
reitschaft, einen Quereinsteiger an seinen Lehrstuhl aufzunehmen. Er offnete mir die Tur
zur faszinierenden Teilchenphysik und ermoglichte den Kontakt zu bedeutenden Teilchen-
Physikern, insbesondere Herrn Prof. Karliner in Isreal, Prof. S. Veneziano, S. Forte und
vielen anderen am CERN. Prof. Dyakonov gilt besonderer Dank fur wertvolle Diskus-
sionen und die prompte Bereitschaft Fragen via E-Mail zu beantworten. Meinem Freund
Michael Birkel mochte ich fur den frischen Wind, den er an das Institut gebracht hat, dan-
ken. Lange und anregende Abende am Institut habe ich Dr. A. Blumhofer zu verdanken.


86 KAPITEL 9. SCHLUBETRACHTUNG


Die Grenze zwischen Physik und Philosophie wurde dabei oft uberschritten. Dank gilt
auch allen anderen Mitarbeitern am Lehrstuhl fur gelegentliche Diskussionen. Meinem
Vater, M. Matuschek und D. Holtmannspotter mochte ich fur das Korrekturlesen der Dis-
sertation danken. Der 'Deutschen Forschungs-Gemeinschaft' bin ich fur die Finanzierung
dieser Arbeit sehr zu Dank verpflichtet.


Anhang A



A.1 Notationen

Fast alle auftretenden Faktoren 2 konnen durch folgende Definitionen absorbiert werden:

ddp
-d(  ) := (2)d(  ) , d-dp := ,
(2)d

An vielen Stellen wird die Operator-Notation in Dirac-Schreibweise im IR4 verwendet:

x|p = eipx , x|y = 4(x - y) , p|q = -4(p - q)

x| = (x) , p| = ^(p) , p|S|q = S(p,q)

d-4p |p p| = 11 , d4x |x x| = 11 ,

[^
p, X] = i(X)

Diese Notation darf nicht verwechselt werden mit dem Vakuum-Zustand |0 und dem
Proton-Zustand |ps des QCD Hilbert-Raumes und der Mittelung    I uber Instantonen.
Nc = Anzahl der Farben
Nf = Anzahl der Quark-Flavors
m = Strom-Massen
M = Dynamische Massen
trD = Spur im Dirac-Raum
trC = Spur im Farb-Raum
Tr = Funktional-Spur
Det = Funktional-Determinante
a/2 = Generatoren derSU(Nc), a = 1 . . . N2c - 1
a/2 = a/2 = Generatoren derSU(2)c, a = 1 . . . 3


87


88 ANHANG A. ANHANG


A.2 Instantonen in singul
arer, regul
arer und axialer
Eichung

Instantonen sind Losungen der klassischen Euklidischen Yang-Mills Bewegungsgleichun-
gen. Das Instanton am Ursprung in Standard-Orientierung in singularer, regularer und
axialer Eichung ist gegben durch:

x 2
Asing
 (x) = 
 , 
x2 x2 + 2  =  + i


x
Areg(x) = ,  = (
  x2 + 2  i,)
Aax(x) = R(x)Areg(x)R(x) + iR(x)
  R(x) (A.1)

Das obere/untere Vorzeichen steht fur ein Instanton/Anti-Instanton (Q = 1).
cos (x)
R(x) = i~x(x) , ~x(x) = x sin(x)
|x|

x
(x) = |x| arctan 0
x2 + 2 x2 + 2
Die kovariante Ableitung D
/ besitzt eine Nullmode

iD
/ = (i/ - A/) = 0
wobei die Nullmode die folgende Gestalt hat:
x/
sing(x) = 2(x)
|x|

reg(x) = 2(x) , (x) = (A.2)
(x2 + 2)3/2

ax(x) = 2(x)R(x)

ist ein Farb- & Dirac-Spinor, gegeben durch
1 1
 
 =  5
16  2  
.

Fur leichte Quarks ist der Propagator durch die Nullmode dominiert. Gemittelt uber die
Instanton-Orientierung, -Ort und -Ladung ist der Propagator diagonal im Impulsraum
und durch 1
(p)(p) = 2(p)
2Nc
gegben, wobei
p/ d
sing(p) = 2sing(p) , [I
|p| sing(p) = 2 dz 1(z)K1(z) - I0(z)K0(z)]z=p/2
4
reg(p) = 2(p) , reg(p) = e-p (A.3)
p
8 r
ax(p) = F T {ax}(p) , ax(p) = cos sin(pr)r dr
p 0 2 r2 + 2


A.3. MITTELUNG 
UBER DIE INSTANTON-PARAMETER I 89


I(z) und K(z) sind modifizierte Besselfunktionen. Das asymptotische Verhalten ist in
folgender Tabelle zusammengestellt.


p(p)/ singular regular axial
p 1 2 4 2
p 1 12 4e-p
(p)3 e-p
Tabelle A.1: Asymptotik von p(p)/


Im Instanton-Flussigkeits-Modell ist die Konstituenten-Masse eines Quarks

M(p) p22(p) .
M(p) ist in Abbildung B.2 in allen drei Eichungen geplottet.


A.3 Mittelung 
uber die Instanton-Parameter I

Das Instanton in allgemeiner Lage und Orientierung und die zugehorige Dirac-Nullmode
haben die Form

AI(x) = Oab
I Ab(x - zI) 1
I(x) = UI(x - zI) , I := UI , tr(UaUb) = Oab
2
I = (zI, OI, I, QI) = (Ort, Orientierung, Radius, toplogische Ladung)

Ab ist ein Instanton am Ursprung in Standardorientierung mit Radius = I und Ladung
QI = 1 und die zugehoige Nullmode, gegeben in Anhang A.2. UI SU(Nc) und OI
Ad[SU(Nc)] sind Orientierungsmatrizen in fundamentaler bzw. adjungierter Darstellung.

An verschiedenen Stellen mu uber die kollektiven Koordinaten I gemittelt werden:

1
. . . I = dI D(I) . . . = d4z
2 I dOI dI D(I ) . . . (A.4)
QI =1

Folgende Modellannahme f
ur D definiert das Instanton-Fl
ussigkeits-Modell:

D(I) = n(I - ) , n = (200 MeV)4 , = 600 MeV-1 . (A.5)
Die wichtigsten Formeln fur das Haar-Ma dOI und dUI lauten:

1
dO 1 = 1 , dO OabOcd = acbd (A.6)
N2c - 1
1
dU 1 = 1 , dU UikUj = i
l N l jk
c


90 ANHANG A. ANHANG


Integrale uber eine ungerade Anzahl von Matrizen sind Null. Folgende Formeln sind noch
nutzlich 1 1
N  5
C  
 
 = ( ) (A.7)
I I I = trC 
I I 2 2
wobei die Mittelung uber QI noch nicht ausgefuhrt wurde.


= trCD 
= 1 (A.8)

Aufsammeln der Raum-, Farb- und Dirac-Terme ergibt

(p) (p)
I I (p) = 22(p) , d-4p I I (p) = 1 (A.9)


A.4 Numerische Auswertung der Fourier- Transfor-
mation

Die Integral-Ausdrucke der Meson-Korrelatoren mussen numerisch berechnet werden.
Zwei Arten von Operationen werden durchgefuhrt:

1. Faltung Lorentz-kovarianter Funktionen (F0/5, )
2. Fourier-Transformation (FT) der Korrelatoren in die Ortsdarstellung

Die d-dimensionale FT ist wie folgt definiert:

^
f (x) = F (p) (A.10)
1 ...n d{f1...n}(x) = d-dp e-ipxf1...n

Fur eine skalare spharisch symmetrische Funktion f = f (|p|) reduziert sich die FT auf
ein ein-dimensionales Integral

m d/2
Fd{f(|p|)}(x) = f (m)Jd/2-1(m|x|)|x| dm (A.11)
0 2|x|
wobei J Bessel-Funktionen sind.

Falls x nicht zu gro ist und F genugend rasch abfallt, kann die Integration mit Gauschen
(oder anderen) Integrationsmethoden erfolgen. Falls f zu langsam abfallt, mu man
das asymptotische Verhalten subtrahieren, um die Konvergenz von f zu beschleunigen.
Die FT des asymptotischen Anteils kann analytisch durchgefuhrt werden und mu zur
numerischen FT der reduzierten Funktion wieder hinzugefugt werden.

Die FT einer allgemeinen Lorentz-kovarianten Funktion kann auch auf (A.11) zuruck-
gefuhrt werden mit einer (formal) groeren Dimension d:

Fd{pf(|p|)}(x) = 2ixFd+2{f}(x) (A.12)
1 x
F x
d{ppf(|p|)}(x) = ( )F
d - 1  - x2 d{p2f(|p|)}(x) -
x
( x
 - d )(4F
x2 d+2{f}(x) - 42x2Fd+4{f}(x))
. . .


A.5. NUMERISCHE AUSWERTUNG DER FALTUNGEN 91


A.5 Numerische Auswertung der Faltungen

Das Faltungsintegral ist definiert durch


f g(p) = d-dq f(q)g(p - q) (A.13)

Integrale dieses Typs konnen auf FT (Anhang A.4) reduziert werden:
f g(p) = F-1
d {Fd{f}Fd{g}} (A.14)
Dies ist eine schnelle und einfache Methode, Faltungsintegrale zu berechnen. F
ur die
unverbundenen Teile der Korrelatoren hat sie auerdem den Vorteil, da die Rucktrans-
formation F -1 in Ortsdarstellung nicht ben
d otigt wird. Der Nachteil dieses Verfahrens
liegt darin, da die FT eine Integration uber oszillierende Integranden bedeutet, was nu-
merisch problematisch ist. Wird die Rucktransformation F -1, wie im Falle von F
d 0/5 und
benotigt, ist es besser die Faltung direkt auszufuhren. 
Ahnlich wie im Falle der FT
konnen die Faltungsintegrale auf den skalaren Fall reduziert werden. Die Faltung zweier
skalarer Funktionen kann weiter auf ein zwei-dimensionales Integral reduziert werden:

(d/2
f g(p) = - 1)! dr d f (r)g( p2
2d/2+1(d - 2)! - 2|p|r cos + r2)(r sin )d-2r (A.15)
0 0

Dieses kann wiederum mit Gauschen Integrations-Methoden ausgewertet werden. Der
zweite Vorteil ist, da es keine Probleme mit langsam abfallenden Funktionen gibt.
Manchmal gibt es groe Ausloschungen zwischen verschiedenen Termen. In diesem Fall
ist es wichtig, nicht-adaptive Integrations-Methoden zu verwenden, da diese zu keinem
Genauigkeitsverlust f
uhren.

Die explizite Reduktion der verschiedenen Korrelatoren auf die Standardformen (A.11)
und (A.15) ist mehr oder weniger trivial. Die Selbstkonsistenz-Gleichung wurde iterativ
gelost. Die Ergebnisse sind in Abbildung B.3 - B.8 dargestellt.


Anhang B

Abbildungen





92


93





Abbildung B.1: S ist minimal am Flu, klein im Tal und gro in den Bergen, Folglich ist
Z = dx1dx2 e-S[x1,x2] durch das Tal dominiert.


94 ANHANG B. ABBILDUNGEN





Abbildung B.2: Die Konstituenten-Quarkmasse M(p) p22(p) in singularer, regularer
und axialer Eichung fur festen Instanton-Radius in willkurlicher Normierung. Fur ge-
gebenen Impuls kann man die jeweils niedrigste Kurve als die "physikalischste" ansehen.


95





Abbildung B.3: Pseudoskalarer Triplett-Korrelator, normiert auf den freien Korrelator
masseloser Quarks. Die Pion-Kopplungs-Konstante und die Kontinuum-Schwelle E
sind angepat, so da der spektrale Ansatz mit der theoretischen Summe aus freiem und
verbundenem Korrelator ubereinstimmt.


96 ANHANG B. ABBILDUNGEN





Abbildung B.4: Pseudoskalarer Singulett-Korrelator, normiert auf den freien Korrelator
masseloser Quarks. In diesem Kanal gibt es eine starke Abstoung, die keinen Bindungs-
zustand zulat. Die theoretische Kurve ist mit einer Kurve verglichen, die sich aus einem
reinen Kontinuum-Spektrum oberhalb E ergibt.


97





Abbildung B.5: Skalarer Triplett-Korrelator, normiert auf den freien Korrelator masselo-
ser Quarks. In diesem Kanal gibt es eine starke Abstoung, die keinen Bindungszustand
zulat. Die theoretische Kurve ist mit einer Kurve verglichen, die sich aus einem reinen
Kontinuum-Spektrum oberhalb E ergibt.


98 ANHANG B. ABBILDUNGEN





Abbildung B.6: Skalarer Singulett-Korrelator, normiert auf den freien Korrelator mas-
seloser Quarks. Die Masse m und Kopplung und die Kontinuums-Schwelle E
wurden aus einem spektralen Fit gewonnen.


99





Abbildung B.7: Axialvektor-Korrelator normiert auf den freien Korrelator masseloser
Quarks. Triplett- und Singulett-Korrelator sind gleich, da der verbundene Teil ver-
nachlassigt wurde. Die a1 und f1 Masse, Kopplung und Kontinuum-Schwelle wurden
aus einem spektralen Fit gewonnen.


100 ANHANG B. ABBILDUNGEN





Abbildung B.8: Vektor-Korrelator, normiert auf den freien Korrelator masseloser Quarks.
Triplett- und Singulett-Korrelator sind gleich, da der verbundene Teil Null ist. Die und
Masse, Kopplung und Kontinuum-Schwelle wurden aus einem spektralen Fit gewonnen.


Literaturverzeichnis


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LITERATURVERZEICHNIS 105


Lebenslauf


Personalien

Name: Marcus Hutter

Adresse: Josephsburgstr. 59
D-81673 M
unchen

Geboren: 14.April 1967 in Munchen

Schulausbildung

Sep.1973 - Jul.1977 Grundschule in Munchen und USA

Sep.1977 - Mai.1987 Gymnasium in Munchen und in Markt Schwaben
Leistunskurse: Mathematik & Physik

20.Mai.1987 Abitur

Studium Informatik

Nov.1987 - Mai.1992 Informatik mit Nebenfach Mathematik an der Technischen Univer-
sitat Munchen, Spezialgebiet: Kunstliche Intelligenz, Neuronale
Netze, Genetische Algorithmen

Diplomarbeitsthema: Implementierung eines Klassifizierungssystems

26.Mai.1992 Diplom

Studium und Promotion in Physik

Nov.1989 - Jul.1993 Allgemeine Physik an der Technischen Universitat Munchen

Nov.1992 - Jan.1996 Dissertation in theoretischer Elementarteilchenphysik bei Prof. H.
Fritzsch. Thema: Instantonen in der QCD



