
\def\sfb#1{\hbox{\setbox0\hbox{#1}\ignorespaces
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%           1. Seite ( nur f"ur Ver"offentlichung! )
%
\begin{titlepage}
  \vspace*{-0.5cm}
  \begin{center}
    \font\GIANT=cmr17 scaled\magstep4
    {\GIANT U\kern0.8mm N\kern0.8mm I\kern0.8mm V\kern0.8mm %
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    \makebox[0mm][l]%
    {\raisebox{\dimen0}{.\kern 0.3\wd0 .}}A\kern0.8mm
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    } \\[8mm]
    {\GIANT
        P\kern0.8mm h\kern0.8mm y\kern0.8mm s\kern0.8mm i\kern0.8mm
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    i\kern0.8mm t\kern0.8mm u\kern0.8mm t\kern0.8mm
    } \\[2.5cm]
    {\Large \bf
Bounds on Leptoquark and Supersymmetric, $R$-parity violating
Interactions from Meson Decays
    }
\vfil
    {\Large
    von \\[1mm]
Margarete Herz}\\

\vfil { \bf
%  \begin{tabular}{lp{140mm}}
  \parbox[t]{140mm}{\input{abstract}}
%  \end{tabular}
} \vfil
%
% Der Abstract darf die Worte "thesis etc." nicht enthalten und sollte nicht
% l"anger als 15 Zeilen umfassen.
%
  \end{center}

  \begin{figure}[b]
    \begin{minipage}{\textwidth}
    \begin{raggedright}
    \begin{tabular}{@{}l@{}}
        Post address:  \\
            Nussallee 12   \\
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            Germany      \\
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    \end{raggedright}
    \hfill
    \parbox{5.5cm}
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    \hfill
    \begin{raggedleft}
        \begin{tabular}{@{}l@{}}
        BONN-IB-2003-01                   \\      %<---
        Bonn University                 \\
        Januar 2002                   \\     %<---
        %{\footnotesize ISSN-0172-8741}  \\      %<--- f"ur BONN-IR
    \end{tabular}
    \end{raggedleft}
    \end{minipage}
    \vspace*{5mm}
  \end{figure}
\end{titlepage}
%       5. Seite
%       ( erstes Blatt f"ur DEKANAT-Ausgabe, Diplomarbeiten! )
%
\begin{titlepage}
\begin{center}
{\Large \bf
\input{Titel1.tex}
}
\\\vspace{20mm}
{\Large
    von         \\
Margarete Herz \\
} \vspace{3cm} {\Large
Diplomarbeit in Physik\\
angefertigt im\\
\vspace{0.5cm}
Physikalischen Institut\\
} \vspace{20mm} {\Large
        vorgelegt der\\
\vspace{0.5cm}
    Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult\"at\\
    der\\
    Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universit\"at\\
\vspace{0.5cm}
    Bonn \\

} \vspace{10mm} {\large im November 2002}

\end{center}
\end{titlepage}
%
%           6. Seite
%
%   Diese Seite mu"s im DEKANAT abgegeben werden (nicht bei Frau Wendorf)!
%   ( zweites Blatt f"ur Dekanat-Ausgabe bei Diplomarbeiten! )
%
\begin{titlepage}
\vspace*{10cm}
\parindent 0pt
\hspace*{\fill} \\[10mm]
\large Ich versichere, dass ich diese Arbeit selbst"andig verfasst
und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel
benutzt sowie die Zitate kenntlich gemacht habe.\vspace{50pt}
\begin{tabbing}
xxxxxxxxxxxxxxxxxx \=           \kill
Referent:   \> Prof. Dr. Herbert K. Dreiner \\
Korreferent:    \> Prof. Dr. Hans-Peter Nilles \\
\end{tabbing}
\end{titlepage}
\begin{titlepage}
\hspace{3cm}\\ \vspace{10cm} \\\Huge
\textbf{Dank}\vspace{2cm}\\\normalsize Zunchst mchte ich Prof.
Herbert K. Dreiner fr die vielfltige Untersttzung und Hilfe
whrend meiner Diplomarbeit danken. Prof. Hans-Peter Nilles hat
sich als Korreferent zur Verfgung gestellt. Desweiteren danke ich
den Mitgliedern meiner Gruppe (insbesondere Ulrich Langenfeld,
Christoph Luhn, Marc Thormeier, Akin Wingerter) fr ihre
Untersttzung. Meinen Eltern danke ich, dass sie mir das Studium
ermglicht haben. Nicht zuletzt danke ich Jrg Neuhaus fr
Rcksichtnahme, Untersttzung und Hilfe in meiner
Diplomarbeitszeit.
\end{titlepage}
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\def\beq{\begin{equation}}
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\newcommand{\tenrm}{\mbox{}}
\title{Grenzen der supersymmetrischen $R$-Parittsverletzung aus
Mesonenzerfllen}
\author{Margarete Herz}
\begin {document}
\hyphenation{par-ticu-lar}
\input{instituts_deckblatt.tex}
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\pagenumbering{Roman}
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\tableofcontents
\listoffigures
\listoftables
\newpage
\pagestyle{headings}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%0.Kapitel%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter*{berblick}
\addcontentsline{toc}{chapter}{berblick} \thispagestyle{plain}
\pagenumbering{arabic} Das Ziel dieser Arbeit ist eine bersicht
ber die wichtigsten $R$-parittsverletzenden Prozesse in
Mesonenzerfllen. Dies geschieht in einem allgemeineren Rahmen: Es
werden Mesonenzerflle durch die sog. Leptoquarks\footnote{Da LQs
bisher noch nicht an Hochenergiebeschleunigern ber Kollisionen
nachgewiesen worden sind, wird damit der Mglichkeit nachgegangen,
zumindest aus indirekten Quellen (wie Mesonenzerflle,
Leptonenzerflle u. A.) Bedingungen an ihre Existenz zu stellen.}
(LQ) betrachtet und Schranken an LQ-Kopplungskonstantenprodukte in
der Form
$$\lambda_{LQ}\lambda_{LQ}^*<Zahl\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; ,$$ berechnet.
Aus diesen Schranken knnen dann direkt die entsprechenden
Schranken an SUSY
(\textbf{SU}per\textbf{SY}mmetrie)-Kopplungskonstantenprodukte
extrahiert werden.\\Kapitel 1 fhrt in die Themenstellung ein.
Ausgehend von der in Kapitel 2 berechneten leptonischen
Mesonenzerfallsrate $\Gamma_M$ werden sowohl Zerflle durch LQs,
als auch Zerflle durch SUSY-Teilchen, betrachtet. Soweit mglich
werden auch semileptonische Zerflle miteinbezogen, die dazu
notwendigen Formeln befinden sich in den jeweiligen Kapiteln.\\
\\Ausgangspunkt meiner berlegungen ist die LQ-Lagrangefunktion
(Buchmller-Rckl-Wyler-Modell), Kapitel 2.1 . In Kapitel 2.2 und
2.3 werden die verwendeten Konventionen sowie benutzte Nherungen
und Nebenrechnungen kurz zusammengefasst. Fr Zerflle der Art
$M\rightarrow \ell^{i}\overline{\ell}^{m}$ ($M$ ist ein Meson, die
$\ell^i$ sind Leptonen) wird in Kapitel 2.4 die Zerfallsrate
$\Gamma_M$ fr nicht verschwindende LQ-Kopplungen berechnet. In
den Kapiteln 3, 4, 5 und 6 werden $\pi$-, $K$-, $D$- und $B$-Meson
im Hinblick auf mgliche LQ-Wechselwirkungen untersucht. Ergnzend
dazu wird in Kapitel 7 auf die Systeme der neutralen Mesonen
$K^{0}-\overline{K^0}$, $D^{0}-\overline{D^0}$ und
$B^{0}-\overline{B^0}$ eingegangen. In den jeweiligen Kapiteln
werden neben Schranken an LQ-Kopplungskonstantenprodukte auch die
Schranken an die entsprechenden SUSY-Kopplungskonstantenprodukte
aufgefhrt. Abschlieend werden die berechneten Schranken nochmals
auf ihre Aussagekraft hin berprft (Kapitel 8).  \\ \\
Im Anhang befinden sich Tabellen mit den verwendeten Bezeichnungen
(Tabelle 1), benutzten Werten (Tabelle 2), in die Berechnungen
eingehenden Pauli-,Dirac- und \nopagebreak[4]$\gamma$-Matrizen
\nopagebreak[4](Tabelle 3)\nopagebreak[4],\nopagebreak[4]
smtlichen \nopagebreak[4]LQ-4-Fermionenvertizes
\nopagebreak[4](Tabelle 4 und 5) sowie \nopagebreak[4]eine
\nopagebreak[4]Zusammenfassung \nopagebreak[4]der berechneten
Kopplungskonstantenprodukte (Tabelle 6 und 7).\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%1.Kapitel%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Einleitung}
Im Standardmodell (kurz SM) der Teilchenphysik knnen fast alle
bisherigen experimentellen Resultate \cite {pdg} (Ausnahmen: siehe
Seite 3) mit sehr hoher Genauigkeit theoretisch berechnet werden.
Dies gewhrleisten die Quantenchromodynamik (QCD), die
Quantenelektrodynamik (QED) und die Theorie der schwachen
Wechselwirkung, die Bestandteile des SM sind. Die Schwchste der
vier fundamentalen Wechselwirkungen, die Gravitation, wird durch
die allgemeine Relativittstheorie beschrieben. Trotzdem bleiben
einige theoretische Fragen und Probleme unbeantwortet bzw.
ungelst; z.B.:
\begin{itemize}
\item Warum gibt es drei Generationen von Fermionen? \item Wie
kann man sich die experimentell bestimmten Massen der
Elementarteilchen erklren? Im SM sind dies freie Parameter.\item
Das SM selbst beinhaltet keine Quantenfeldtheorie fr die
Gravitation. Bei heute in Beschleunigern erreichbaren Energien
sind die durch die Gravitation verursachten Effekte aufgrund ihrer
relativen Schwche im Vergleich mit den drei anderen fundamentalen
Wechselwirkungen komplett vernachlssigbar. Trotzdem bleibt die
Frage nach einer Quantentheorie der Gravitation ein interessantes
Problem.\item \textbf{Das Hierarchieproblem}: Die im Experiment
messbare Higgsmasse setzt sich aus der "`reinen"' Higgsmasse und
einem $\delta {M_H^2}$-Term zusammen, der aus Schleifenkorrekturen
resultiert: \beq M_H^2=M_{Hbare}^{2}+\delta {M_H^2}_f \; .\eeq Die
Ein-Schleifen-Korrekturen der (Higgsmasse)$^2$ zeigen eine
quadratische Abhngigkeit vom Cut-off $\Lambda$\footnote {Aus
\cite {rich}, fr eine detailliertere Beschreibung siehe \cite
{martin}. Hier wurde nur die Korrektur fr Fermionenschleifen
(Index f) betrachtet, $m_f$ ist die Fermionenmasse.}:
\begin{equation} \delta {M_H^2}_f = \frac{|g_f|^2}{16\pi^2}\left[
-2\Lambda^2
            +6m_f^2\ln\left(\Lambda/m_f\right) \right]\; .
\end{equation} Dabei wurden beim bergang $\Lambda\rightarrow\infty$ endlich bleibende Terme
vernachlssigt. $g_f$ ist die Kopplung des Fermions an das Higgsfeld.\\
Diese Abhngigkeit stellt noch kein Problem dar, da die Theorie
renormierbar ist. Man nimmt allerdings an, dass das SM nur eine
bei niedrigerer Energie als der GUT\footnote{\textbf{G}rand
\textbf{U}nified \textbf{T}heorie.}- oder Planck-Skala effektive
Theorie ist. Ab dieser Skala werden neue physikalische Effekte
erwartet, der Cut-off sollte also in diesem Bereich liegen.
Dadurch erwartet man (aufgrund des Cut-offs), dass die Higgsmasse
bei $10^{14}-10^{17}GeV$ liegt. Dies ist jedoch weit entfernt von
einer oberen Grenze der Higgsmasse bei 196 GeV, wie sie sich aus
elektroschwachen Strahlungskorrekturen ergibt \cite {LEP}\footnote
{Eine kurze bersicht der Resultate der LEP-Kollaboration befindet
sich auf deren Webseite \cite {LEP}.}. Dadurch muss, um eine dem
SM entsprechende Higgsmasse unter 196 GeV zu erhalten, eine enorme
Feinabstimmung zwischen $M_{Hbare}^{2}$ und $\delta {M_H^2}_f$
existieren, was eine entsprechende Feinabstimmung der Parameter in
der Lagrangefunktion bedeutet. Dies entzieht sich jedoch dem
theoretischen Verstndnis.
\end{itemize}
Eine Ausnahme zur theoretischen Vorhersagekraft des
Standardmodells stellen die Experimente zu solaren und
atmosphrischen Neutrinooszillationen dar\footnote{Fr einen
berblick: siehe \cite {sno1}.}. Insbesondere die Resultate der
SNO-Kollaboration \cite {sno1} knnen innerhalb des
Standardmodells nicht erklrt werden. Es bedarf damit auch aus
experimenteller Sicht der Suche nach einer umfassenderen
theoretischen Beschreibung, die das SM als Spezialfall
beinhaltet.\\ \\Als eine mgliche Erweiterung des SM hat die
Supersymmetrie (SUSY), die bisher noch nicht experimentell
besttigt wurde, einige interessante Vorteile:
\begin{itemize}
\item Nach dem Coleman-Mandula-Theorem \cite {cole} ist eine
Erweiterung der Poincar-Gruppe durch neue bosonische Generatoren
verboten, da diese zu einer trivialen S-Matrix fhren. Die Gruppe
kann allerdings durch Generatoren, die sich wie Fermionen
transformieren, erweitert werden. Wie in \cite {haag} gezeigt
wurde, ist die Supersymmetrie die einzige mgliche derartige
Erweiterung der Poincar-Gruppe, die nicht zu einer trivialen
S-Matrix fhrt. \item Die SUSY kann das Hierarchieproblem lsen:
Man erhlt eine weitere Ein-Schleifen-Korrektur zum Quadrat der
Higgsmasse durch ein neues skalares Feld (S), das mit dem
Higgsboson wechselwirkt \cite {rich} :\begin{equation} \delta
{M_H^2}_S = \frac{\lambda_S}{16\pi^{2}}
           \left(\Lambda^2-2M_S^2\ln\left(\Lambda/M_S\right)
  \right)\!.
\end{equation}Es wurden wieder alle endlichen Terme im
Grenzbergang $\Lambda\rightarrow\infty$ vernachlssigt.
$\lambda_S$ ist die Kopplung des skalaren Feldes an das Higgsfeld
($\mathcal{L}=-\lambda_S|H|^2|S|^2$, siehe \cite{martin}), $M_S$
ist die Masse des skalaren Feldes.\\
Dieser Bosonenschleifen- und der Fermionenschleifenbeitrag lschen
sich gegenseitig aus, falls $\lambda_S=|g_f|^2$ (in der SUSY hat
man fr jedes Dirac-Fermion zwei komplexe skalare Felder, sodass
Gl. (1.3) mit zwei zu multiplizieren ist). Dies gilt, solange die
SUSY ungebrochen ist.
\end{itemize}
Auch wenn bislang keine experimentellen Resultate eindeutig darauf
hindeuten, dass die Supersymmetrie in der Natur realisiert ist,
lohnen sich daher weitere Studien in dieser Richtung.\\Zunchst
sollen die Grundzge der Supersymmetrie kurz erlutert werden.
\section{Die Supersymmetrie}
Die Supersymmetrie (SUSY) ordnet jedem Standardmodellteilchen
einen supersymmetrischen Partner zu, dessen Spin ganzzahlig
(halbzahlig) ist, wenn der Spin des Standardmodellteilchens
halbzahlig (ganzzahlig) ist.\\ Eine SUSY-Transformation $Q$ ($Q$
ist ein fermionischer Operator) macht aus einem fermionischen
Zustand einen bosonischen und umgekehrt: \beq Q |{\rm
Boson}\rangle = |{\rm Fermion }\rangle; \qquad\qquad \bar{Q} |{\rm
Fermion}\rangle = |{\rm Boson }\rangle . \eeq Die SUSY-Algebra ist
\cite {bailin}:
\begin{subequations}
\begin{eqnarray}
[Q_\alpha,P_\mu] &=& [\bar{Q}_{\dot{\alpha}},P_\mu] = 0, \\
%
 \{ Q_{\alpha},Q_{\beta} \} &=& \{ \bar{Q}_{\dot{\alpha}},\bar{Q}_{\dot{\beta}}\}
                = 0, \\
%
\{ Q_{\alpha},\bar{Q}_{\dot{\beta}}\} &
=&2{\sigma^\mu}_{\alpha\dot{\beta}}P_\mu.
\end{eqnarray}
\end{subequations}
Die Generatoren $Q$ und $\overline {Q}$ sind zwei-komponentige
links- bzw. rechtshndige Weyl-Spinoren und $\sigma_\mu =
(\mathbf{1} , \sigma_i)$ ($\sigma_i$ sind die Pauli-Spinmatrizen).
Der Index $\alpha$ bzw. $\beta$ ($\dot{\alpha}$ bzw.
$\dot{\beta}$) gibt die Komponente des linkshndigen
(rechtshndigen) Spinors an.\\Da der $(Masse)^2$-Operator ($P_\mu
P^\mu$-Operator) mit $Q$ und $\overline {Q}$ kommutiert, haben ein
Standardmodellteilchen und sein SUSY-Partner dieselbe Masse. Aus
Experimenten ist klar, dass dies nicht der Fall ist (SUSY-Teilchen
wurden bisher noch nicht entdeckt). Daher muss die SUSY eine
gebrochene Symmetrie sein, falls sie in der Natur realisiert
ist.\\Damit die SUSY trotzdem das Hierarchieproblem lst, muss man
fordern, dass in der supersymmetrischen Lagrangefunktion nur
"`softe"' SUSY-brechende Terme auftreten \cite {martin}. Die
Lagrangefunktion des MSSM ist: \beq \mathcal {L} = \mathcal
{L}_{\rm SUSY} + \mathcal {L}_{\rm soft}\; . \eeq  Der Term
$\mathcal {L}_{\rm SUSY}$ verletzt die SUSY nicht. Der Term
$\mathcal {L}_{\rm soft}$ ist im allgemeinen Fall \cite {martin} :
\beq \mathcal {L}_{\rm soft}\! = \! -\frac{1}{2}(M_\lambda\,
\lambda^a\lambda^a + c.c. ) - (m^2)_j^i \phi^{j*} \phi_i
-(\frac{1}{2} b^{ij} \phi_i\phi_j + \frac{1}{6}a^{ijk}
\phi_i\phi_j\phi_k  + c.c. )+h.c. \; .\qquad\>\>\>\>\>{}
\label{lagrsoft}\eeq Die $\lambda^a$ sind Gauginofelder, die
$\phi_i$ sind skalare Felder. $M_\lambda$ sind Gauginomassen.
Diese Lagrangefunktion verletzt die SUSY, ist jedoch in allen
Ordnungen frei von quadratischen Divergenzen \cite {soft}.
\\ \\In der SUSY hat man ein renormierbares und unter
$ SU(3)_C\times SU(2)_L\times U(1)_Y$ eichinvariantes
Superpotential, aus dem man neue Wechselwirkungen ableiten kann,
die ber die Mglichkeiten im SM hinausgehen. Im Folgenden soll
zunchst das Superpotential dargestellt werden (Kapitel 1.1.1), um
dann die Einfhrung der \textbf{$R$-Paritt}, $R_P$, einer neuen
Symmetrie, im Hinblick auf die dadurch im Superpotential
verbotenen Terme zu rechtfertigen (Kapitel 1.1.3).
\subsection{Das Superpotential}
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|cc|cc|c|c|c|}
\hline \multicolumn{2}{|c|}{Superfelder} &
 Bosonische & Fermionische & $SU(3)_C$ & $SU(2)_L$ & $Y$ \\
Feld & Typ & Felder & Felder & & & \\
\hline \multicolumn{2}{|c|}{Eich-Multiplette} & & & & &
\\\cline{1-2}
 $G^a$ & Vector       & Gluonen & Gluinos & Oktett & Singlett &
                         $\phantom{-}0$ \\
 $W^a$ & Vector       & $W$ & Winos & Singlett & Triplett    &
                         $\phantom{-}0$ \\
 $B^a$ & Vector       & $B$ & Bino & Singlett & Singlett     &
                         $\phantom{-}0$ \\
 \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Materie Multiplette} & & & & & \\ \cline{1-2}
 $L_i$ & linkshndig  & $(\widetilde{\nu}_L,\widetilde{l}^-_L)$ & $(\nu_L,\ell_L)$ &
                 Singlett & Doublett & $-1/2$\\
 $E_i$ & rechtshndig & $\widetilde{l}^-_R$        & $\ell_R$           &
                 Singlett & Singlett & $-1$ \\
 $Q_i$ & linkshndig  & $(\widetilde{u}_L,\widetilde{d}_L)$ & $(u_L,d_L)$    &
                 Triplett & Doublett & $\phantom{-}1/6$\\
 $U_i$ & rechtshndig & $\widetilde{u}_R$ & $u_R$ &
                 Triplett & Singlett & $\phantom{-}2/3$ \\
 $D_i$ & rechtshndig & $\widetilde{d}_R$ & $d_R$ &
                 Triplett & Singlett & $-1/3$  \\
\hline \multicolumn{2}{|c|}{Higgs Multiplette} & & & & &
\\\cline{1-2}
 $H_1$ & linkshndig & $(H^1_1,H^2_1)$ & $(\widetilde{H}^0_1,\widetilde{H}^-_1)_L$ &
                     Singlett & Doublett & $-1/2$\\
 $H_2$ & linkshndig & $(H^1_2,H^2_2)$ & $(\widetilde{H}^+_2,\widetilde{H}^0_2)_L$ &
                     Singlett & Doublett & $\phantom{-}1/2$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption [Superfelder im MSSM]{\textit{Superfelder im MSSM} \cite
{rich}} \label{tab:superfield}
\end{table}
Im MSSM (\textbf{M}inimal \textbf{S}upersymmetric
\textbf{S}tandard \textbf{M}odel) ist die $R$-Paritt $R_P$
(Definition: siehe Kapitel 1.1.3) erhalten. Das allgemeinste,
renormierbare und unter $ SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
eichinvariante Superpotential ist \cite {wein} :
\begin{equation}
  \mathcal {W} = \mathcal{W}_{MSSM} + \mathcal {W}_{\not R_p}\; ,
\end{equation}
wobei\footnote {Die benutzten Superfelder sind in Tabelle
\ref{tab:superfield} aufgefhrt, zu den Konventionen siehe nchste
Seite.} \beq
 \mathcal {W}_{MSSM}=h^E_{ij}\varepsilon_{ab}L^a_iH_1^b\overline{E}_j
            +h^D_{ij}\varepsilon_{ab}\delta^{c_1c_2}Q^a_{ic_1}H_1^b\overline{D}_{jc_2}
            +h^U_{ij}\varepsilon_{ab}\delta^{c_1c_2}Q^a_{ic_1}H_2^b\overline{U}_{jc_2}
            +\mu\varepsilon_{ab} H_1^aH_2^b
\label{eqn:MSSMsuper}\eeq und \beq \mathcal {W}_{\not R_p}=
\frac{1}{2}\lambda_{ijk}\varepsilon^{ab}L_{a}^{i}L_{b}^{j}\overline{E}^{k}
+
\lambda_{ijk}'\varepsilon^{ab}\delta^{c_1c_2}L_{a}^{i}Q_{bc_1}^{j}\overline{D}^{k}_{c_2}
+
\frac{1}{2}\lambda_{ijk}''\varepsilon^{c_1c_2c_3}\overline{U}_{c_1}^{i}
\overline{D}_{c_2}^{j}\overline{D}_{c_3}^{k} +
 \kappa_i\varepsilon^{ab}L_a^{i}H_b^2\; . \label{eqn:Rsuper1}
\eeq Es wurden folgende Konventionen verwendet:\begin{tabbing}- \=
$c_{1},c_{2}$ und $c_{3}$ sind $SU(3)_{c}$ Indizes.\\- \= $i$,
$j$, $k$ sind Generationenindizes.\\- \= $a$, $b$ sind
$SU(2)_L$-Indizes.\\- \= $\mu$ und $\kappa_i$ sind
Massenparameter.\\- \= $\overline{E}$, $\overline{D}$ und
$\overline{U}$ sind die hermitesch konjugierten Felder zu $E$,
$D$, $U$.\\- \= $\delta$ ist das Kronecker-Symbol und
$\epsilon^{xy..}$ ein total antisymmetrischer Tensor, der die
Werte +1,\\ \> 0, -1 annehmen kann.\\- \= $\lambda$, $\lambda'$,
$\lambda''$ und $h^E_{ij}$, $h^D_{ij}$, $h^U_{ij}$, sind
Yukawa-Kopplungen.\end{tabbing}\vspace{5pt}
\subsection{Der Protonenzerfall}
\vspace{10pt}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{fmffile}{tau611}
\begin{fmfgraph*}(200,60) \fmfpen{thin}\fmfstraight \fmfleft{i2,i3} \fmfright{o2,o3}\fmf{fermion}{i2,v1}
\fmf{fermion}{i3,v1}\fmf{scalar, label=$\tilde{s}_R^*$}{v2,v1}
\fmf{fermion}{o3,v2}\fmf{fermion}{o2,v2}\fmflabel{u}{i2}\fmflabel{d}{i3}\fmflabel{$e^+$}{o3}
\fmflabel{$\bar{u}$}{o2}\fmfv{label=$ \; \; \; \;\; \; \; \;
\lambda'$,label.angle=-90}{v1}\fmfv{label=$\lambda '' \; \; \;
\;\; \; \; \;$,label.angle=-90}{v2}\fmfdotn{v}{2}
\end{fmfgraph*}\end{fmffile}\end{center}\caption[Protonenzerfall ber $R$-Parittsverletzung]
{\textit{Protonenzerfall $p\rightarrow \pi_0e^+$ ber
$R$-Parittsverletzung}}\label{proton}\end{figure} ber den
zweiten und dritten Term in $\mathcal{W}_{\not{R_P}}$ (Gl.
\ref{eqn:Rsuper1}) wird der in Abb. (\ref{proton}) dargestellte
Protonenzerfall mglich. Experimentell liegt die untere Grenze fr
die Lebensdauer des Protons bei \cite{pdg}\beq\tau(p\rightarrow
\pi_{0}e^{+})>1,6\cdot 10^{33}y\; .\eeq Daraus kann man eine
Schranke fr das Produkt $\lambda'_{11k}\lambda''_{11k}$
ableiten\footnote{Fr eine ausfhrlichere Behandlung des
Protonenzerfalls verweise ich auf \cite{herbi} und
\cite{goiti}.}:\beq|\lambda'_{11k}\lambda''_{11k}|\newsymbol\lesssim
132E\lesssim
 10^{-28}\left(\frac{M_{\tilde{d}_{kR}}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq Dies ist eine
sehr starke Einschrnkung. Eine natrliche Erklrung ist daher,
dass mindestens eine der Kopplungskonstanten verschwindet. Dies
kann durch die Einfhrung einer neuen Symmetrie, der
\textbf{$R$-Paritt}, gewhrleistet werden.\\ \\ Es gibt
allerdings auch andere Lsungen, die den Protonenzerfall verbieten
\cite{herbi}:
\begin{itemize}\item Die Forderung der Erhaltung der Materie-Paritt: \begin{eqnarray}
 (Q_i,\bar{U}_i,\bar{D}_i,L_i,\bar{E}_i) \rightarrow
   - (Q_i,\bar{U}_i,\bar{D}_i,L_i,\bar{E}_i),\ \ \ \ \ &
 (H_1,H_2) \rightarrow (H_1,H_2).
\end{eqnarray} Die $\mathcal{W}_{\not{R_P}}$-Terme im Superpotential
werden dadurch verboten, die MSSM-Terme bleiben
erlaubt. Die Materie-Paritt ist der $R$-Paritt quivalent. \item
Erhaltung der Baryon-Paritt $B_P=(-1)^{B+2S}$:
$\lambda''_{ijk}=0$ .\item Erhaltung der Lepton-Paritt
$L_P=(-1)^{L+2S}$: $\lambda'_{ijk}=0 $ und $\lambda_{ijk}=0 $
.\end{itemize} Durch die letzten beiden Mglichkeiten wird zwar
der Protonenzerfall verboten, eine Verletzung der $R$-Paritt ist
jedoch erlaubt.
\subsection{Die $R$-Paritt}
Die $R$-Paritt ist eine diskrete, multiplikative Symmetrie und
definiert als
\begin{equation} R_{P}=(-1)^{3B+L+2S}\; ,\end{equation}
wobei $L$ die Leptonenzahl, $B$ die Baryonenzahl und $S$ der
Teilchenspin ist. $R_{P}$ ist +1 fr Standardmodellteilchen und -1
fr ihre supersymmetrischen Partner.\\Durch die Forderung der
$R$-Parittserhaltung wird Folgendes gewhrleistet:
\begin {itemize}
\item Der ber $p\rightarrow \pi_{0}e^{+}$ mgliche
$R$-parittsverletzende Protonenzerfall (siehe Kapitel 1.1.2) wird
verboten.\item Supersymmetrische Teilchen knnen nur paarweise
produziert werden. Dies ist eine Folge davon, dass der
Anfangszustand jedes Beschleunigerexperimentes eine gerade
$R$-Paritt hat.\item Das LSP (\textbf{L}ightest
\textbf{S}upersymmetric \textbf{P}article) ist stabil.  Aus
kosmologischen Grnden \cite {LSP} ist das LSP ein neutrales
Farb-Singlett (das Neutralino $\tilde{\chi}^0$), das nur schwach
wechselwirkt. Bei Teilchenkollisionen oder durch kaskadenartigen
Zerfall instabiler supersymmetrischer Teilchen erzeugte
Neutralinos entkommen daher unbeobachtet aus dem Detektor.
Fehlende Energie und Impuls in Beschleunigerexperimenten ist somit
ein mglicher Hinweis auf das LSP. Zudem ist das LSP damit ein
Kandidat fr die dunkle Materie.
\end {itemize}
Ohne die $R$-parittsverletzenden Terme in der Lagrangefunktion
erhlt man das MSSM. Die Betrachtung $R$-Parittsverletzender
Terme grndet sich in dem Versuch, einige zurzeit ungelste
Probleme zu bearbeiten. Dazu gehren u. A. der Ursprung der
Neutrinomassen und die kosmische Baryonenzahlverletzung. Dabei
wird versucht, die theoretischen Werte der Kopplungskonstanten
mglichst genau vorherzusagen \footnote {Eine ausfhrliche
Behandlung der $R$-Paritt findet sich in \cite {herbi} .} .
\\ \\ Im Weiteren sollen die $R$-parittsverletzenden Beitrge zu
Mesonenzerfllen innerhalb eines allgemeineren Rahmens untersucht
werden. Wir fhren daher eine neue Klasse von Teilchen ein, die in
einigen Erweiterungen des Standardmodells, so auch der SUSY,
auftreten kann: \textbf{Die Leptoquarks} (LQs, siehe Kapitel 1.2
und 2.1). \\ \\Der zu Mesonenzerfllen beitragende LQD-Term (siehe
Gl. \ref{eqn:Rsuper1}) im $R$-parittsverletzenden Superpotential
ist von der gleichen Form, wie der entsprechende LQ-Term (dies
wird in Kapitel 3.3 ausfhrlicher behandelt). Abb. \ref{lepto}
zeigt, wie ein LQ-Vertex aussieht. Der ebenfalls abgebildete
Squark-Vertex verdeutlicht den Zusammenhang zwischen LQ- und
Squark-Wechselwirkungen. LQs zerfallen ausschlielich zu Leptonen
und Quarks, whrend bei Squarks auch $R$-parittserhaltende
Zerflle der Art $\tilde{q}\rightarrow q \chi$ ($\chi$ ist ein
Neutralino oder ein Chargino) mglich sind. \vspace{20pt}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{fmffile}{tau501}
\begin{fmfgraph*}(170,70)
 \fmfpen{thin}\fmfleft{i1}
\fmfright{o1,o2}\fmf{scalar,label=LQ}{i1,v1}\fmf{fermion}{v1,o2}\fmf{fermion}{o1,v1}\fmflabel{q}{o1}\fmflabel{
$\ell$}{o2}\fmfdot{v1}
\end{fmfgraph*}\hspace{40pt}
\begin{fmfgraph*}(170,70)\fmfpen{thin}\fmfleft{i2}\fmfright{o3,o4}\fmf{scalar,label=$\tilde{q}$}{i2,v2}
\fmf{fermion}{v2,o4}\fmf{fermion}{o3,v2}\fmflabel{q}{o3}\fmflabel{ $\ell$}{o4}\fmfdot{v2}
\end{fmfgraph*}
\end{fmffile}\end {center}\caption[Leptoquark- und
Squark-Wechselwirkung]{\textit{Leptoquark- und
Squark-Wechselwirkung}}\label{lepto}\end{figure}
\section{Leptoquarks}
In der LQ-Lagrangefunktion (Kapitel 2.1) treten neben Termen, die
die gleiche Form haben, wie in der supersymmetrischen
Lagrangefunktion (Kapitel 3.3) weitere Wechselwirkungen auf
(pseudoskalare Wechselwirkungen, siehe Kapitel 2.1). Diese werden
in Kapitel 3.2 fr das Pion behandelt. Aus den Schranken an die
Kopplungskonstantenprodukte der LQs knnen die entsprechenden
Schranken an die Kopplungskonstantenprodukte der
$R$-parittsverletzenden Wechselwirkungen leicht durch einige
Einschrnkungen (keine pseudoskalaren Wechselwirkungen) gewonnen
werden, wie im Falle des
Pions in Kapitel \ref{sec: R} explizit gezeigt wird.\\ \\
\textbf{LQs sind Teilchen, die an Lepton-Quark-Paare koppeln}
(siehe Abb. 1.2). Dies ist als eine Definition dieser neuen Klasse
von Teilchen zu verstehen. Sie haben ganzzahligen Spin und tragen
elektrische Ladung und Farbe. Falls LQs existieren, ergeben sich
zahlreiche neue Mglichkeiten, die innerhalb des SM's nicht
auftreten \footnote{Eine hnliche Auflistung befindet sich in
\cite {blum} .}: \begin {itemize}\item $L$ (Leptonzahl) und/oder
$B$ (Baryonzahl) wird verletzt. Da die fr $B$-Verletzung
verantwortlichen LQs einen Beitrag zum Protonenzerfall liefern,
mssen ihre Massen, aufgrund der Lebensdauer des Protons, sehr
hoch sein (bzw. das Kopplungskonstantenprodukt sehr klein), oder
diese Zerfallsart muss aufgrund einer neuen Symmetrie (wie schon
im Fall der $R$-Paritt) verboten sein. \item Auch knnen FCNC
(\textbf{F}lavor \textbf{C}hanging \textbf{N}eutral
\textbf{C}urrents - Verletzung der Familiennummer) auftreten,
wobei die strkste Einschrnkung aus dem Zerfall $K_{L}\rightarrow
\mu e$ abgeleitet wird (Kapitel 4.2).\item Aus leptonischen
Mesonenzerfllen lassen sich relativ starke Schranken an die
Kopplungskonstantenprodukte ableiten. Insbesondere gilt dies fr
LQs, die zu links- \underline{und} rechtshndigen Quarks koppeln,
wie in Kapitel 3.2 fr den Pionenzerfall gezeigt wird.\item In
Kapitel 7 wird auf Meson-Antimeson-Mischungen
($K^0-\overline{K^{0}}$, $D^0-\overline{D^{0}}$ und
$B^0-\overline{B^{0}}$ eingegangen. \item Aus dem Zerfall des
$Z_0$-Bosons (dies wurde u. A. in \cite {z} behandelt) sowie
$\mu$- und $\tau$-Zerfllen \cite {myon1} lassen sich ebenfalls
Einschrnkungen gewinnen.\item Eine Reihe schwcherer Bedingungen
erhlt man aus
\begin {itemize}\item Messungen der atomaren Parittsverletzung \cite {pari}, \item (g-2)-Messungen - Eine
ausfhrliche Behandlung des anomalen magnetischen Momentes des
Myons befindet sich in \cite {myon2}, \item
Neutrinooszillationsexperimenten \cite {neutri}. In \cite {neu}
wurde gezeigt, wie Neutrinomassen ohne Verletzung der $R$-Paritt
durch Erweiterung des MSSM mit chiralen LQ-Multipletts erzeugt
werden.
\end {itemize}
\end {itemize}
Eine detaillierte Betrachtung der LQs kann \cite {comp} entnommen
werden.
\subsection{Leptoquarkmodelle}
LQs wurden zum ersten Mal in einem SU(4)-Modell von Pati und Salam
\cite{pati}, in dem $L$ als vierte Farbe behandelt wurde,
eingefhrt. Der theoretische Rahmen fr LQ-Kopplungen und
-Quantenzahlen wird in \cite{Buch} und \cite{Buch2} dargestellt.
Einen entsprechenden berblick der $R$-parittsverletzenden
Wechselwirkungen liefert \cite{butter} (siehe auch \cite{butter2}
und \cite{butter3}).
\subsection{Suche nach Leptoquarks}
An verschiedenen Beschleunigern wurde nach LQs gesucht. Hier
verweise ich insbesondere auf die Daten von HERA \cite {hera}. In
\cite {sum} werden die Ergebnisse von HERA, TEVATRON und LEP
zusammengefasst. Eine weitere bersicht ber die TEVATRON-Daten
kann \cite {teva} entnommen werden.\\ Die Mglichkeiten der
Entdeckung $R$-parittsverletzender Wechselwirkungen am TEVATRON
(Run II) werden in \cite{herbi1} diskutiert (siehe auch
\cite{herbi2}), fr die Suche an HERA verweise ich auf
\cite{schwan}. \cite{herbi3} geht auf Hadron-Hadron-Kollisionen
und die dabei mgliche Sleptonenproduktion via
$R$-Parittsverletzung ein, die am TEVATRON (Run II) und am LHC
nachgewiesen werden kann.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%2.Kapitel%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Leptonische Mesonenzerflle}
\begin{description}
    \item[Ziel:] In dieser Arbeit sollen Schranken an LQ- und
    SUSY- Kopplungskonstantenprodukte berechnet werden. Diese
    werden in der Form
    $$\lambda_1\lambda_2<Zahl\left(\frac{m}{100GeV}\right)^2$$
    dargestellt. Mit der Division der LQ/SUSY-Masse m durch 100 GeV
    folge ich der Notation in der Literatur. Dabei wird
    angenommen, dass LQ/SUSY-Massen etwa im Bereich von 100
    GeV zu erwarten sind.
\end{description} In den folgenden Kapiteln werden neben
leptonischen Mesonenzerfllen der Art $M\rightarrow
\ell^{i}\overline{\ell}^{m}$ ($M$ ist ein Meson, die $\ell^i$ sind
Leptonen) auch semileptonische Zerflle der Art $M\rightarrow
M'\ell^{i}\overline{\ell}^{m}$ betrachtet. Zunchst beschrnken
wir uns auf leptonische Zweikrperzerflle, da die Zerfallsrate
dann aufgrund der Kinematik einfacher zu kalkulieren ist, als bei
Dreikrperzerfllen (siehe Gln. 2.10-2.14). Ausgehend von der
LQ-Lagrangefunktion (Kap. 2.1) wird die Zerfallsrate
$\Gamma_{M\rightarrow \ell^{i}\overline{\ell}^{m}}$ berechnet
(Kap. 2.4).
\section{Die LQ-Lagrangefunktion}
Es gibt sieben renormierbare, $B$- und $L$-erhaltende
Quark-Lepton-Boson-Kopplungen, die fr skalare und vektorielle LQs
in bereinstimmung mit den $\ SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
Symmetrien des Standardmodells sind. Die Bezeichnung
\textit{skalar} (\textit{vektoriell}) bezieht sich dabei auf den
Spin der Teilchen; Spin 0 (Spin 1). Die Lagrangefunktionen fr
skalare und vektorielle Wechselwirkung ($S$- und $V$-LQs) sind
\cite {Buch} \footnote{In der Notation folge ich \cite{lepto}, der Generationenindex der Fermionen ist unterdrckt.}:\\
\begin {eqnarray} \mathcal{L}_{S}&=&
\{(\lambda_{LS_{0}}\overline{q}_{L}^{c}i\sigma_{2}\ell_{L}+
\lambda_{RS_{0}}\overline{u}_{R}^{c}e_{R})S^{\dagger}_{0}+
\lambda_{R\widetilde{S}_{0}}\overline{d}_{R}^{c}e_{R}\widetilde{S}^{\dagger}_{0}+{}\nonumber\\&&{}+
(\lambda_{LS_{1/2}}\overline{u}_{R}\ell_{L}+\lambda_{RS_{1/2}}\overline{q}_{L}i\sigma_{2}e_{R})S^{\dagger}_{1/2}+
\lambda_{L\widetilde{S}_{1/2}}\overline{d}_{R}\ell_{L}\widetilde{S}^{\dagger}_{1/2}+{}\nonumber\\&&{}+
\lambda_{LS_{1}}\overline{q}_{L}^{c}i\sigma_{2}\overrightarrow{\sigma}\ell_{L}\cdot\overrightarrow{S}_{1}^{\dagger}\}+h.c.
\end {eqnarray}
\begin {eqnarray}
\mathcal{L}_{V}&=&\{(\lambda_{LV_{0}}\overline{q}_{L}\gamma_{\mu}\ell_{L}
+ \lambda_{RV_{0}}\overline{d}_{R}\gamma_\mu
e_{R})V^{\mu\dagger}_{0}+
\lambda_{R\widetilde{V}_{0}}\overline{u}_{R}\gamma_{\mu}e_{R}\widetilde{V}^{\mu\dagger}_{0}+{}\nonumber\\&&{}+
(\lambda_{LV_{1/2}}\overline{d}_{R}^{c}\gamma_{\mu}\ell_{L}+
\lambda_{RV_{1/2}}\overline{q}_{L}^{c}\gamma_{\mu}e_{R})V^{\mu\dagger}_{1/2}+
\lambda_{L\widetilde{V}_{1/2}}\overline{u}_{R}^{c}\gamma_{\mu}\ell_{L}
\widetilde{V}^{\mu\dagger}_{1/2}+{}\nonumber\\&&{}+\lambda_{LV_{1}}\overline{q}_{L}
\gamma_{\mu}\overrightarrow{\sigma}\ell_{L}\cdot\overrightarrow{V}_{1}^{\mu\dagger}\}+h.c.
\end {eqnarray}
Die $\lambda$'s sind Kopplungskonstanten. Zur Fermionenhndigkeit
sowie der Definition von $\sigma_k$ siehe Kapitel 2.2 ; die
$\gamma_\mu$ sind 4$\times$4-Gamma-Matrizen \cite{Buch}. $q_L$ und
$\ell _L$ sind $SU(2)_L$-Dubletts, $u_R$, $d_R$ und $e_R$ sind die
entsprechenden Singletts. Der Index $c$ bedeutet
Ladungskonjugation. Aus den beiden Lagrangefunktionen ergeben sich
die in Tabelle 2.1 zusammengefassten Eigenschaften\footnote{In
einigen Arbeiten wird die Lagrangefunktion auch in der Form
$\mathcal{L}=\mathcal{L}_{F=2}+\mathcal{L}_{F=0}$ dargestellt (zur
Definition
von F siehe Tabelle 2.1).}.\\
\\Die 4-Fermion-Vertizes der vektoriellen LQs haben nach
einer Fierz-Transformation (siehe Kapitel 2.3.1) fr\footnote{s
ist eine lorentzinvariante Mandelstam-Variable: $s=(\sum p_i)^2$,
$p_i$ ist der Viererimpuls der Eingangsteilchen.}
$m_{LQ}\gg\sqrt{s}$ allgemein folgende Form:
\begin{equation} \mathcal{L}_1=\pm\frac{\lambda^{ij}_{L,R}\lambda^{*mn}_{L,R}}{m^{2}_{LQ}}
(\overline{q}^{j}\gamma^{\mu}P_{L,R}q^{n})
(\overline{\ell}^{m}\gamma_{\mu}P_{L,R}\ell^{i})\; ,\label{ver1}
\end{equation}
\\und/oder
\\\begin{equation} \mathcal{L}_2=\pm\frac{\lambda^{ij}_{L,R}\lambda^{*mn}_{R,L}}{m^{2}_{LQ}}
(\overline{q}^{j}P_{R,L}q^{n})
(\overline{\ell}^{m}P_{L,R}\ell^{i})\; .\label{ver2}\end{equation}
$m_{LQ}$ ist die Leptoquarkmasse, ($i,j,m,n$) sind
Generationenindizes, $q$ und $\ell$ sind hier Dirac-Spinoren (und
nicht unbedingt SU(2)-Dubletts), $P_L$ und $P_R$ sind
Projektionsoperatoren. Das Minuszeichen muss bei
$LQ=\widetilde{V}^{\mu}_{1/2}$ oder $V^{\mu}_{1/2}$ eingesetzt
werden (es ergibt sich aus der Anwendung des
Ladungskonjugationsoperators $C$). Die Fermionen haben eine
bestimmte Chiralitt, die auch den Tabellen 4 und 5 des Anhangs
entnommen werden kann. Diese enthalten smtliche
4-Fermionen-Vertizes fr die in der Lagrangefunktion auftretenden
Wechselwirkungsterme. Es wird mit der Notation
$f_{R/L}=P_{R,L}f=\frac{1}{2}(1\pm\gamma_5)f $ ($f$ ist ein
Dirac-Spinor)
gearbeitet.\begin{description}\item\textbf{Anmerkung:} In
\cite{pari} wird der Term
$\frac{\lambda_{LQ}^2}{m_{LQ}^2}(\bar{e}\gamma_\mu\gamma_5
e)(\bar{q}\gamma_\mu q)$ behandelt, der einen Beitrag zur atomaren
Parittsverletzung durch die Wechselwirkung zwischen Quarks und
Elektronen liefert. Dieser Term wird im Weiteren nicht mehr
betrachtet.\end{description} Der Fermi-4-Fermionen-Vertex aus dem
Standardmodell (schwache Wechselwirkung) lsst sich schreiben als:
\begin{equation} \mathcal{L}_{SM}=\frac{4G_{F}}{\sqrt{2}}V_{jn}(\overline{q}^{j}\gamma^{\mu}P_{L}q^{n})
(\overline{\ell}^{m}\gamma_{\mu}P_{L}\ell ^{i})\;
.\label{sm}\end{equation} $G_{F}$ ist die Fermikonstante und
$V_{jn}$ das CKM-Matrixelement.
\newpage\setlength{\arraycolsep}{4mm}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\newcommand{\sd}[2]{\raisebox{-1.5ex}{\shortstack[r]{$\strut#1$\\ $\strut#2$}}}
\newcommand{\st}[3]{\raisebox{-3ex}{\shortstack[r]{$\strut#1$\\ $\strut#2$\\ $\strut#3$}}}
\newcommand{\stl}[3]{\raisebox{-3ex}{\shortstack[l]{$\strut#1$\\ $\strut#2$\\ $\strut#3$}}}
\begin{center}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|l|}
  \hline
  & J & F & T & $T_3$ & Q & SU(5)-Darstellung & \multicolumn{1}{c|}{\mbox{koppelt an}} \\
  \hline\hline
         $S_0$ & 0 & 2 &   0 &              0 &           -1/3 & \textbf{5} &
         \mbox{\normalsize$e_Lu_L~~e_Ru_R~~\nu_Ld_L$} \\
  \hline
  $\tilde S_0$ & 0 & 2 &   0 &              0 &           -4/3 & \textbf{45} &
  \mbox{\normalsize$e_Rd_R$} \\
  \hline
         $S_{1/2}$ & 0 & 0 & 1/2 & \sd{-1/2}{1/2} & \sd{-5/3}{-2/3} & \textbf{45} &
         \sd{\mbox{\normalsize$e_R\bar u_L~~e_L\bar u_R$}}{\mbox{\normalsize$e_R\bar d_L~~\nu_L\bar u_R$}} \\
  \hline
  $\tilde S_{1/2}$ & 0 & 0 & 1/2 & \sd{-1/2}{1/2} & \sd{-2/3}{1/3} & \textbf{10/15} &
  \sd{\mbox{\normalsize$e_L\bar d_R$}}{\mbox{\normalsize$ \nu_L\bar d_R$}} \\
  \hline
         $S_1$ & 0 & 2 &   1 & \st{-1}{0}{1} & \st{-4/3}{-1/3}{2/3} & \textbf{45} &
         \stl{\mbox{\normalsize$e_Ld_L$}}{\mbox{\normalsize$e_Lu_L~~\nu_Ld_L$}}{\mbox{\normalsize$\nu_Lu_L$}} \\
  \hline
         $V_0^\mu$ & 1 & 0 &   0 &              0 &           -2/3 & \textbf{10} &
         \mbox{\normalsize$e_L\bar d_L~~e_R\bar d_R~~\nu_L\bar u_L$} \\
  \hline
  $\tilde V_0^\mu $ & 1 & 0 &   0 &              0 &           -5/3 & \textbf{75} & \mbox{\normalsize$e_R\bar u_R$} \\
  \hline
         $V_{1/2}^\mu$ & 1 & 2 & 1/2 & \sd{-1/2}{1/2} & \sd{-4/3}{-1/3} & \textbf{24} &
         \sd{\mbox{\normalsize$e_Rd_L~~e_Ld_R$}}{\mbox{\normalsize$e_Ru_L~~\nu_Ld_R$}} \\
  \hline
  $\tilde V_{1/2}^\mu $ & 1 & 2 & 1/2 & \sd{-1/2}{1/2} & \sd{-1/3}{2/3} & \textbf{10/15} &
  \sd{\mbox{\normalsize$e_Lu_R$}}{\mbox{\normalsize$\nu_Lu_R$}} \\
  \hline
         $V_1^\mu$ & 1 & 0 &   1 & \st{-1}{0}{1} & \st{-5/3}{-2/3}{1/3} & \textbf{40} &
  \stl{\mbox{\normalsize$e_L\bar u_L$}}{\mbox{\normalsize$e_L\bar d_L~~\nu_L\bar u_L$}}{
  \mbox{\normalsize$\nu_L\bar d_L$}} \\
  \hline
\end{tabular}
\caption[Eigenschaften der Leptoquarks]{\textit{Eigenschaften der
Leptoquarks} \cite{cuy} - \textit{Die Bezeichnungen der einzelnen
LQs wurden gem \cite {lepto} vorgenommen (LQs sind $SU(3)_c
$-Tripletts); F=3B+L; T ist der SU(2)-Isospin; J ist der Spin; Q
bezeichnet die elektrische Ladung: $ Q=T_3-\frac{1}{2}Y $(Y=
Hyperladung); Kopplungen wurden nur fr die erste Generation
aufgelistet, auerdem wurden ergnzend die minimale
SU(5)-Darstellung angegeben, in die die LQs eingebettet werden
knnen} \cite{rizzo}.}\label{tab:lepto}
\end{table}\end{center}
Die Kopplungen in den beiden LQ-Vertizes tragen unterschiedliche
Hndigkeitsindizes: In Gl. (\ref{ver1}) tragen beide $\lambda$s
den Index $L$ ($R$), in Gl. (\ref{ver2}) tragen die $\lambda$s
unterschiedliche Indizes ($L$, $R$ oder $R$, $L$). Desweiteren
sieht man, dass sich die Gln. (\ref{ver1}) und (\ref{sm}) nur in
den konstanten Vorfaktoren unterscheiden. Beide sind $(V\pm A)$
(vektorielle $\pm$ axialvektorielle)-Vertizes. Gl. (\ref{ver2})
ist von der Form $(S\pm P)$ (skalar $\pm$ pseudoskalar) und kann
damit die chirale Unterdrckung des Zerfalls $\pi\rightarrow
e\nu_e$ aufheben, wie in Kapitel 3 (fr das Pion) dargestellt
wird. Welche LQs $(S\pm P)$-Vertizes erzeugen, kann Tabelle 2.1
und den Tabellen 4 und 5 des Anhangs entnommen werden.
\\ \\
Die effektive Lagrangefunktion fr $V^{\mu}_0$ ist\footnote {Die
brigen 4-Fermionen-Vertizes knnen den Tabellen 4 und 5 des
Anhangs entnommen werden.}: \begin{eqnarray}
\lefteqn{\mathcal{L}_{eff}=\frac{\lambda_{RV_{0}}\lambda^{*}_{RV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{R}\gamma^{\mu}d_{R})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}e_{R})+\frac{\lambda_{LV_{0}}\lambda^{*}_{LV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}u_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})+\frac{\lambda_{LV_{0}}\lambda^{*}_{LV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}u_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}e_{L}){}}\nonumber\\&&{}
+\frac{\lambda_{LV_{0}}\lambda^{*}_{LV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}d_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})+\frac{\lambda_{LV_{0}}\lambda^*_{RV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{R}u_{L})
(\overline{\nu}_{L}e_{R})+\frac{\lambda_{LV_{0}}\lambda^*_{RV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{R}d_{L}) (\overline{e}_{L}e_{R})\;
 .{}\nonumber\\&&{}\end{eqnarray} Es treten sowohl $(V\pm A)$- als
auch $(S\pm P)$-Vertizes auf. Dies ist genauso bei den LQs
$S_{0},S_{1/2}$ und $V_{1/2}^{\mu}$. Die brigen LQs haben nur
$(V\pm A)$-Vertizes. Aus den $(S\pm
P)$-Matrixelementen\footnote{Die dabei (nach der
Fierz-Transformation) auftretenden tensoriellen Operatoren liefern
bei semileptonischen Zerfllen nicht verschwindende Beitrge. Fr
den semileptonischen $K$-Zerfall verweise ich auf Kapitel 4.1.2 .}
erhlt man Schranken an das Produkt $\lambda_{L}\lambda_{R}$
(Kopplungen entgegengesetzter Chiralitt an den beiden Enden des
LQ-Propagators).\\ \\Selbst wenn man nur rechts- \underline{oder}
linkshndige Kopplungen zulsst, kann der helizittsunterdrckte
Zerfall $ \pi\longrightarrow e\nu_e $ noch starke Einschrnkungen
an die Kopplungskonstanten liefern. LQ-Kopplungen mit dem
SM-Higgs-Dublett fhren die nicht-chiralen Wechselwirkungsterme
wieder ein \cite {higgs}.
\section{Konventionen und Nherungen}
Im Weiteren werden einige Konventionen verwendet, die zur besseren
bersicht hier zusammengefasst sind:
\begin {description}\item \textbf{Indizes}: In den Kopplungskonstanten
$\lambda$ sind die Generationenindizes (soweit ihre Erwhnung
notwendig ist) hochgestellt, wobei der Leptonenindex vor dem
Quarkindex kommt. Der Generationenindex der LQs ist
unterdrckt.\item \textbf{Generatoren $\sigma_k$ der SU(2)}: Die
in der LQ-Lagrangefunktion in Kapitel 2.1 auftretenden
$\sigma_{k}$ (Pauli-Matrizen), mit $\overrightarrow {\sigma}=
(\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3})$, sind in Tabelle 3 des Anhangs
definiert, sie operieren auf den Fermionenfeldern $q_L$ und
$\ell_L$ in der Lagrangefunktion.\item \textbf{Hndigkeit}: Die
Fermionen in unserer Notation haben eine wie folgt definierte
Hndigkeit: $\overline{f}_{R}=(P_Rf)^{\dag}\gamma_{0}$ und
$f_{L}^{c}=(P_Lf)^{c}$. Die Hndigkeit der LQ-Kopplungen fr einen
bestimmten 4-Fermionen-Vertex kann den Tabellen 4 und 5 des
Anhangs entnommen werden. \item \textbf{Vektorielle und skalare
LQs}: Es kann sowohl skalare, als auch vektorielle LQs geben. Der
Einfachheit halber werden smtliche Berechnungen im Folgenden
zunchst fr vektorielle LQs durchgefhrt. Die Resultate fr
skalare LQs erhlt man so\footnote{In einigen Fllen (siehe
Kapitel 3.2.1 fr das Pion) muss auch das Vorzeichen der
4-Fermionen-Vertizes (2.3) bzw. (2.4) beachtet werden.} :\begin
{equation}\lambda_{V} \longrightarrow
\frac{\lambda_{S}}{\sqrt{2}}\; .\end {equation}
\item\textbf{Berechnete Kopplungen}: Im Text werden die Kopplungen
nur fr $\lambda_L\lambda_L$ bzw. $\lambda_L\lambda_R$ berechnet,
fr $\lambda_R\lambda_R$ und $\lambda_R\lambda_L$ luft die
Rechnung analog. Die Ergebnisse sind im Anhang tabellarisch
zusammengefasst.
\end {description}Es werden zudem noch einige Nherungen bzw. Abschtzungen verwendet:
\begin {description}\item \textbf{QCD-Korrekturen}: QCD-Korrekturen werden in allen Ordnungen auer Acht gelassen.
Durch den dabei entstehenden Fehler ndern sich die Schranken an
$\lambda^{2}$ nicht mehr als um einen Faktor 2 (siehe
\cite{lepto}). Bei den schwereren Mesonen erhlt man aufgrund
anderer Nherungen zur Berechnung der Zerfallsraten nur ein
qualitatives Ergebnis\footnote{Insbesondere durch die teilweise
ntige Verwendung experimenteller Werte fr die Zerfallskonstante
$f_{M}$, die bei den schwereren Mesonen mit einem relativ groen
Fehler behaftet sind, werden die berechneten Schranken
entsprechend ungenau.} (zur Berechnung des $B$-Mesonenzerfalls
wurde die HQE, \textbf{H}eavy \textbf{Q}uark \textbf{E}xpansion,
benutzt). Diese Nherungen werden in den entsprechenden
Abschnitten nher erlutert, siehe insbesondere Kapitel 6. \item
\textbf{Quarkmassen}: In einige Berechnungen gehen die Quarkmassen
ein, deren Werte der Tabelle 2 des Anhangs entnommen werden
knnen. Dabei werden die oberen Grenzwerte fr die Quarkmassen
verwendet, um eine konservative Abschtzung der Schranken an die
betreffenden Kopplungskonstantenprodukte zu erhalten.
\end {description}
\section{Nebenrechnungen} \subsection{Die Fierz-Transformation}
Die Fierz-Transformation (siehe \cite{fierz}) wird verwendet, um
Berechnung mit der invarianten Amplitude $\mathcal{M}$,
insbesondere Interferenzterme mehrerer Matrixelemente, zu
vereinfachen. Die beliebigen Dirac-Spinoren $u_i$ werden dabei
umgeordnet: \beq
(\bar{u}_3\Lambda_iu_2)(\bar{u}_1\Lambda_ju_4)=\sum^5_{k,l=1}c_{ijkl}(\bar{u}_1\Lambda_ku_2)(\bar{u}_3\Lambda_lu_4)\;
,\eeq wobei $\Lambda_i=(\mathbf{1}, \gamma_\mu,
\sigma_{\mu\nu}=\frac{i}{2}[\gamma_\mu,\gamma_\nu],
\gamma_\mu\gamma_5, \gamma_5)$; $c_{ijkl}$ sind konstante
Entwicklungskoeffizienten. Fr $i=j$ vereinfacht sich die
Rechnung: \beq
(\bar{u}_3\Lambda_iu_2)(\bar{u}_1\Lambda_iu_4)=\sum^5_{j=1}\lambda_{ij}(\bar{u}_1\Lambda_ju_2)(\bar{u}_3\Lambda_ju_4)\;
,\eeq wobei \beq (\lambda_{ij})=\frac{1}{4}
\left(\begin{array}{rrrrr}
1&1&1&1&1\\4&-2&0&2&-4\\6&0&-2&0&6\\4&2&0&-2&-4\\1&-1&1&-1&1
\end{array}\right)\; .\eeq
Insbesondere gilt: \beq
(\bar{u}_3\gamma_\mu(1-\gamma_5)u_2)(\bar{u}_1\gamma^\mu(1-\gamma_5)u_4)=-(\bar{u}_1\gamma_\mu(1-\gamma_5)u_2)
(\bar{u}_3\gamma^\mu(1-\gamma_5)u_4)\;
.\eeq Bei Verwendung antikommutierender Felder $\psi_i$ statt der
Spinoren $u_i$ erscheint auf der rechten Seite von Gl. (2.11) ein
zustzliches Minuszeichen.\\Bei $(S\pm P)$-Wechselwirkungen treten
nach der Fierztransformation neben $(S\pm P)$-Termen auch
tensorielle Terme ($\bar{u}\sigma_{\mu\nu}u$) auf. Bei der
Betrachtung semileptonischer $K$-Mesonenzerflle (Kapitel 4.1.2)
werden diese ausfhrlicher behandelt.
\subsection{Berechnung der Quarkstrme}
In der fundamentalen Darstellung der (\textit{flavour-}) $SU(3)$,
\textbf{3}, gibt es drei Typen (\textit{flavours}) von Quarks,
$q=(u,d,s)$. Ausgehend von der PCAC- (\textbf{P}artially
\textbf{C}onserved \textbf{A}xial-vector \textbf{C}urrent)
Bedingung fr das pseudoskalare Mesonenoktett\footnote{Es wird
angenommen, dass die $SU(2)$-Isospin-Symmetrie nicht gebrochen
ist; $a$ und $b$ sind Isospin-Indizes.}\beq\langle
0|j_\mu^{(5)b}(x)|\phi^a(p)\rangle
=i\delta^{ab}\frac{f_{\phi}p^{\mu}}{\sqrt{2}}e^{ip\cdot x}\; ,\eeq
kann man den Quarkstrom bei Mesonenzerfllen berechnen. Dabei ist
$f_\phi$ die Mesonenzerfallskonstante, $p^{\mu}$ der
Viererimpulsvektor des Mesons, $\phi =
\phi^a\frac{\lambda^a}{\sqrt{2}}$ und \beq
j_\mu^{(5)b}=\bar{q}\gamma^\mu\gamma^5\frac{\lambda^b}{2}q \;
.\eeq Die $\lambda^a$ (a=1,...8) sind die Gell-Mann-Matrizen
(siehe Tabelle 3 des Anhangs) mit der Normalisierung $Tr(\lambda^a\lambda^b)=2\delta^{ab}$.\\
\\Die folgende Rechnung, siehe auch \cite{peskin}, wird fr das Pion durchgefhrt, die Ergebnisse gelten aber
analog auch fr das Kaon. Mit $\bar{u}\gamma^\mu\gamma^5
d=\bar{q}\gamma^\mu\gamma^5(\frac{\lambda^1}{2}-i\frac{\lambda^2}{2})
q$ und $\pi^-=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi^1+i\phi^2)$ erhlt man fr
$x=0$ (unter Beachtung von $\langle 0|\overline{u}\gamma_\mu
d|\pi^-\rangle =0$):
\begin{equation}\langle0|\overline{u}\gamma^{\mu}P_{L,R}d|\pi^-\rangle=\pm i\frac{f_{\pi^-}}{2}\cdot p^{\mu}
\equiv\widetilde{A}_{\pi^-}\cdot p^{\mu}\; .\end{equation}
$\widetilde{A}_{\pi^-}$ ist positiv fr $P_L$ und negativ fr
$P_R$. Die Ableitung von Gl. (2.12) liefert: \beq\langle
0|\partial^\mu j_\mu^{(5)b}(x)|\phi^a(p)\rangle
=-\delta^{ab}\frac{f_{\phi}m_{\phi}^2}{\sqrt{2}}e^{ip\cdot x}\;
.\eeq Unter Verwendung der Dirac-Gln. fr die Quarkfelder, \beq
i\gamma^\mu\partial_\mu q=\mathbf{m}q\; ,\qquad
-i\partial_\mu\bar{q}\gamma^\mu=\bar{q}\mathbf{m}\; ,\eeq wobei
$\mathbf{m}$ eine $3\times3$-Diagonalmatrix mit den Eintrgen
$m_u,m_d$ und $m_s$ ist, erhlt man: \beq\partial^\mu
j_\mu^{(5)b}=i\bar{q}\gamma^5\frac{1}{2}\{\mathbf{m},\lambda^b\}q\;
.\eeq Fr $(a;b)=(1;2)$ gilt \beq
tr[\{\mathbf{m},\lambda^b\}\lambda^a]=\frac{1}{2}\delta^{ab}(m_u+m_d)\;
,\eeq und damit erhlt man fr $x=0$:
\begin{equation}\langle 0|(\overline{u}P_{L,R}d)|\pi^-\rangle =\mp i\frac{f_{\pi^-}m_{\pi^-}}{2}
\frac{m_{\pi^-}}{m_{u}+m_{d}}\equiv\widetilde{P}_{\pi^-}\;
.\end{equation} $\widetilde{P}_{\pi^-}$ ist positiv fr $P_R$ und
negativ fr $P_L$.
\subsection {Die Zerfallsrate $\Gamma$}
Bei der Berechnung der Zerfallsrate aus dem Betragsquadrat der
invarianten Amplitude $\overline{|\mathcal{M}|^2}$ (ber
Anfangszustandsspins wird gemittelt, ber Endzustandsspins
summiert) in Kapitel 2.4 wird Fermi's Goldene Regel verwendet. Fr
einen Dreikrperzerfall hat man damit \cite{rich}:
\begin{equation}
 \Gamma(a \rightarrow b+c+d) = \frac1{(2\pi)^3}\frac1{32M^3_a}
  \int^{\left(m^2_{bc}\right)_{max}}_{\left(m^2_{bc}\right)_{min}}
                            dm^2_{bc}
 \int^{\left(m^2_{cd}\right)_{max}}_{\left(m^2_{cd}\right)_{min}}
                            dm^2_{cd}\,
                \overline{|\mathcal{M}|^2}\; ,
\label{eqn:threebodyphase}
\end{equation}
wobei
\begin{itemize}
  \item $\left(m^2_{bc}\right)_{max}=(M_a-m_d)^2$,
  \item $\left(m^2_{bc}\right)_{min}=(m_b+m_c)^2$,
  \item $\left(m^2_{cd}\right)_{max}=(E^*_c+E^*_d)^2
             -\left(\sqrt{{E^*_c}^2-m^2_c}-\sqrt{{E^*_d}^2-m^2_d}\right)^2$,
\textheight 24cm
  \item $\left(m^2_{cd}\right)_{min}=(E^*_c+E^*_d)^2
             -\left(\sqrt{{E^*_c}^2-m^2_c}+\sqrt{{E^*_d}^2-m^2_d}\right)^2$,
  \item $E^*_c=\left(m^2_{bc}-m^2_b+m^2_c\right)/2m_{bc}$ und
            $E^*_d=\left(M^2_a-m^2_{bc}-m^2_d\right)/2m_{bc}$
            sind die Energien der Teilchen $c$ und $d$ im $m_{bc}$ Ruhesystem.
\end{itemize}
Fr Zerflle der Art $a\rightarrow b+c$ vereinfacht sich dies
zu:\begin{equation}\Gamma_{a\rightarrow
b+c}=\frac{|\overline{\mathcal{M}(a\rightarrow b+c)}|^{2}k}{8\pi
M_{a}^{2}}%=\frac{|\overline{\mathcal{M}(a\rightarrow
%b+c)}|^{2}}{16\pi
%M_{a}^{3}}\sqrt{[M_a^2-(m_b+m_c)^2][M_a^2-(m_b-m_c)^2]}
\; .\end{equation} $k$ ist dabei der Betrag des
Leptonen-Dreierimpulsvektors im Schwerpunktsystem des zerfallenden
Mesons, $M_a$ ist die Mesonenmasse und $m_b,m_c$ sind die Massen
der Zerfallsteilchen $b$ und $c$. \beq p_{b}\cdot p_{c}=
\frac{1}{2}(M_a^2-m_b^2-m_c^2)\; \eeq benutzt. Desweiteren gilt
(im Schwerpunktsystem des zerfallenden Mesons): \beq
k^2=\frac{1}{4M_a^2}[M_a^2-(m_b+m_c)^2][M_a^2-(m_b-m_c)^2]\; .\eeq
\section {Berechnung der Zerfallsrate $\Gamma(M\rightarrow \ell^{i}\overline{\ell}^{m})$}
Es soll nun aus der invarianten Amplitude $\mathcal{M}$ die
Zerfallsrate $\Gamma$ fr den Zerfall eines Mesons $M$
(gebundender Zustand zweier Quarks $\overline{q}^{j}q^{n}$) in
zwei Leptonen $ \ell^{i}\overline{\ell}^{m}$ berechnet werden.
Allgemein berechnet man die invariante Amplitude, indem man die
effektiven Hamiltonfunktionen der relevanten Zerfallsprozesse
angibt und ber $\langle Endzustand\mid\mathcal{H}\mid
Anfangszustand\rangle$ integriert\footnote{Dies wurde fr das Pion
in \cite{thor} durchgefhrt.}, wobei zustzlich die
Viererimpulserhaltung gewhrleistet sein muss. Fr das Pion sieht
dies so aus: \beq
\mathcal{M}_{ijmn}\delta^4(p_\pi-p_\ell-p_\nu)=\frac{1}{2\pi
i}\int\langle
\ell^i;\bar{\nu}^m|\mathcal{H}_{total}|\pi^-_{jn}\rangle\; .\eeq
Die Quarks sind im Anfangszustand in einem Meson gebunden. Nach
dem Einsetzen der effektiven Hamiltonfunktion erhlt man daher die
Matrixelemente $\langle
0|(\overline{q}^{j}\gamma^{\mu}P_{L,R}q^{n})|M\rangle $ und
$\langle 0|(\overline{q}^{j}P_{L,R}q^{n})|M\rangle $, die in den
Gln. (2.14) und (2.19) angegeben sind. \\ \\Aus $\mathcal{L}_{SM}$
(Gl. \ref{sm}), $\mathcal{L}_1$ (Gl. \ref{ver1}) und
$\mathcal{L}_2$ (Gl. \ref{ver2}) erhlt man die invariante
Amplitude\footnote{In dieser Notation entsprechen $\bar{\ell}^m$
und $\ell^i$ den Spinoren $\bar{v}_{\ell^m}$ und $u_{\ell^i}$ der,
in der Literatur \cite{halzen} verwendeten Schreibweise.}
$\mathcal{M}_{L,R}=
\mathcal{M}_{1;L,R}+\mathcal{M}_{2;L,R}+\mathcal{M}_{SM;L,R}$ :
\bea
\lefteqn{\mathcal{M}_{L,R}=\frac{(\lambda^{ij}_{L,R}\lambda^{*mn}_{L,R})}{m^{2}_{LQ}}
\langle 0|(\overline{q}^{j}\gamma^{\mu}P_{L,R}q^{n})|M\rangle
(\overline{\ell}^{m}\gamma_{\mu}P_{L,R}\ell^{i}){}}\nonumber\\&&{}+
\frac{(\lambda^{ij}_{L,R}\lambda^{*mn}_{R,L})}{m^{2}_{LQ}} \langle
0|(\overline{q}^{j}P_{R,L}q^{n})|M\rangle
(\overline{\ell}^{m}P_{L,R}\ell^{i}){}\nonumber\\&&{}+\frac{4G_FV_{jn}}{\sqrt{2}}
\langle 0|(\overline{q}^{j}\gamma^{\mu}P_{L}q^{n})|M\rangle
(\overline{\ell}^{m}\gamma_{\mu}P_{L}\ell^{i})\; .\eea Dieses
Matrixelement muss nun quadriert werden; auerdem ist eine
Summation ber die Endzustandsspins durchzufhren. ber die
Eingangszustandsspins wird gemittelt (fr ein Spin 0 -Meson ist
der Vorfaktor 1). Die einzelnen Beitrge werden mit den
Vollstndigkeitsrelationen und unter Verwendung der Rechenregeln
fr Spuren von $\gamma$-Matrizen ausgerechnet. Dabei wird nur
$\overline{|\mathcal{M}_{L}|^2}$ berechnet,
fr $\overline{|\mathcal{M}_{R}|^2}$ ist das Verfahren analog.\\ \\
Im SM-Term kann man das $\gamma_\mu$ aus dem Leptonenstrom mit dem
$p^\mu$ des Matrixelements (Gl. 2.14) kontrahieren und erhlt
damit (unter Verwendung der Dirac-Gln.): \bea
\sum_{Ausgangsspins}|p^\mu(\overline{\ell}^{m}\gamma_{\mu}P_{L}\ell^{i})|^2&=&
\sum_{Ausgangsspins}|m_{\ell^i}(\overline{\ell}^{m}P_{R}\ell^{i})-m_{\ell^m}(\overline{\ell}^{m}P_{L}\ell^{i})|^2
{}\nonumber\\{}&=&
\frac{1}{2}(m_{\ell^m}^2+m_{\ell^i}^2)Tr(\not{p_{\ell^m}}\not{p_{\ell^i}})+4m_{\ell^m}^2m_{\ell^i}^2\;
.\eea Es ergibt sich:
\begin{eqnarray}|\mathcal{M}_{SM}|^{2} &=& 8G_{F}^{2}|V_{jn}|^2|\tilde{A}|^{2}\cdot
\left[\frac{1}{2}(m_{\ell^m}^2+m_{\ell^i}^2)Tr(\not{p_{\ell^m}}\not{p_{\ell^i}})+
4m_{\ell^m}^2m_{\ell^i}^2\right]{}\nonumber\\{}&=&
8G_{F}^{2}|V_{jn}|^2|\widetilde{A}|^{2}\left[(m_{\ell^m}^2+m_{\ell^i}^2)
(m_M^2-m_{\ell^m}^2-m_{\ell^i}^2)+4m_{\ell^m}^2m_{\ell^i}^2\right]\;
.\end{eqnarray} Im letzten Schritt wurde Gl. (2.22) benutzt. Fr
$|\mathcal{M}_1|^{2}$ und $|\mathcal{M}_2|^{2}$ erhlt man:
\begin {equation}|\mathcal{M}_1|^{2}= \frac{|\lambda_{L}^{ij}\lambda_{L}^{*mn}|^{2}}{m_{LQ}^{4}}
|\widetilde{A}|^{2}\left[(m_{\ell^m}^2+m_{\ell^i}^2)(m_M^2-
m_{\ell^m}^2-m_{\ell^i}^2)+4m_{\ell^m}^2m_{\ell^i}^2\right]\;
,\end {equation} und \begin {equation}|\mathcal{M}_2|^{2}=
\frac{|\lambda_{L}^{ij}\lambda_{R}^{*mn}|^{2}}{m_{LQ}^{4}}|\widetilde{P}|^{2}(m_M^2-m_{\ell^m}^2-m_{\ell^i}^2)\;
.\end {equation} Die drei Interferenzterme haben folgende Form:
\beq 2\Re(\mathcal{M}^*_1\mathcal{M}_2)=
-2\frac{\Re[(\lambda_{L}^{ij}\lambda_{L}^{*mn})^*(\lambda_{L}^{ij}\lambda_{R}^{*mn})]}
{m_{LQ}^{4}}\widetilde{P}\widetilde{A}^*
m_{\ell^m}(m_M^2-m_{\ell^m}^2+m_{\ell^i}^2)\; ,\eeq
\begin{equation}2\Re(\mathcal{M}^*_{SM}\mathcal{M}_2)=-2\frac{\Re[(\lambda_{L}^{ij}
\lambda_{R}^{*mn})V_{jn}^*]}{m_{LQ}^{2}}\frac{4G_{F}}{\sqrt{2}}\widetilde{P}
\widetilde{A}^*m_{\ell^m}(m_M^2-m_{\ell^m}^2+m_{\ell^i}^2)\; ,
\end{equation} und
\begin{equation}2\Re(\mathcal{M}^*_{SM}\mathcal{M}_1)=2\frac{\Re[(\lambda_{L}^{ij}
\lambda_{L}^{*mn})V_{jn}^*]}{m_{LQ}^{2}}\frac{4G_{F}}{\sqrt{2}}
|\widetilde{A}|^2\left[(m_{\ell^m}^2+m_{\ell^i}^2)(m_M^2-m_{\ell^m}^2-m_{\ell^i}^2)+4m_{\ell^m}^2m_{\ell^i}^2\right]\;
.\end{equation}
\\Die Zerfallsrate $\Gamma_M=\Gamma_{M\rightarrow\l^{i}\overline{l}^{m}}$ ist damit (Gl. 2.21):
\begin{eqnarray}\lefteqn{\Gamma_M=\frac{k}{8\pi m_{M}^{2}}
\Bigg\{\frac{|\lambda_{L}^{ij}
\lambda_{R}^{*mn}|^{2}}{m_{LQ}^{4}}|\widetilde{P}|^{2}(m_M^2-m_{\ell^m}^2-m_{\ell^i}^2)
{}}\nonumber\\&&{}+
\left[\frac{\Re[(\lambda_{L}^{ij}\lambda_{R}^{*mn})^*(\lambda_{L}^{ij}\lambda_{L}^{*mn})]}{m_{LQ}^{2}}
-\frac{2\sqrt{2}G_{F}\Re[(\lambda_{L}^{ij}\lambda_{L}^{*mn})V_{jn}^*]}{m_{LQ}^{2}}\right]2\widetilde{P}\widetilde{A}^*
m_{\ell^m}(m_M^2-m_{\ell^m}^2+m_{\ell^i}^2) {}\nonumber\\&&{}
+\left|2\sqrt{2}G_{F}V_{jn}+\frac{(\lambda_{L}^{ij}\lambda_{L}^{*mn})^*}{m_{LQ}^2}\right|^2
|\widetilde{A}|^{2}\left[(m_{\ell^m}^2+m_{\ell^i}^2)(m_M^2-m_{\ell^m}^2-m_{\ell^i}^2)+
4m_{\ell^m}^2m_{\ell^i}^2\right]\Bigg\}\;,
{}\nonumber\\&&{}\label{dec}\end{eqnarray}wobei $k$ in Gl. (2.23)
angegeben ist. Man hat nun die Zerfallsrate fr den leptonischen
Zerfall eines Mesons im Standardmodell mit zustzlichen, ber das
SM hinausgehenden, $(V\pm A)$ und $(S\pm P)$ -Wechselwirkungen.
\\ \\Diese Berechnung wurde in hnlicher Form auch in \cite {lepto}
durchgefhrt. Es wurde mit Kopplungskonstantenprodukten
$e_{L,R}\cdot e_{L,R}$ (bzw. $e_{L,R}\cdot e_{R,L}$) gerechnet,
die im Falle gleicher Hndigkeit ($e_L \cdot e_L$ oder $e_R\cdot
e_R$) die SM-Kopplung und die LQ-Kopplung (als $|Summe\; der\;
Kopplungskonstantenprodukte|^2$), und im Fall unterschiedlicher
Hndigkeit reine LQ-Kopplungen beinhalten. Auerdem wurden
$\mathcal{M}_L$ und $\mathcal{M}_R$ in einer einzigen Zerfallsrate
als Summe dargestellt und angenommen, dass die Masse $m_{\ell^i}$
verschwindet.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%3.Kapitel%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Das Pion}
Innerhalb des  SMs zerfallen geladene Pionen hauptschlich ber
schwache Wechselwirkung in ein Myon und ein Myonneutrino: \beq
BR(\pi^{+}\rightarrow\mu^{+}\nu_{\mu})=\frac{\Gamma_{\pi^{+}\rightarrow\mu^{+}
\nu_{\mu}}}{\Gamma_\pi}=(99,98770\pm0,00004)\cdot 10^{-2}\; .\eeq
Der Zerfall $\pi^{+}\rightarrow e^{+}\nu_{e}$ ist etwa um den
Faktor $(\frac{m_{e}}{m_{\mu}})^{2}=2,34\cdot 10^{-5}$
unterdrckt. Das $\pi^{+}$ hat Spin 0, d.h. da das Neutrino
linkshndig ist, muss das Positron bzw. positiv geladene Myon auch
linkshndig sein (Spinerhaltung). Im Grenzbergang $m_e\rightarrow
0$ ($m_\mu\rightarrow 0$) koppelt der Strom der schwachen WW
allerdings nur an rechtshndige Positronen (Antimyonen), d.h. die
linkshndige Kopplung ist stark
unterdrckt. \\
Wie schon erwhnt existiert diese chirale Unterdrckung bei
Mesonenzerfllen ber LQs nicht, da diese links- und rechtshndige
Kopplungen haben. Daraus ergeben sich starke Schranken fr die
entsprechenden Kopplungskonstantenprodukte, die im Folgenden
(Kapitel 3.2) aus der allgemein berechneten Zerfallsrate
$\Gamma_M$ (Gl. 2.33) abgeleitet werden.
\section {Das Verhltnis $R$}
Um die experimentelle Ungenauigkeit in der Zerfallskonstante
$f_{M}$ \cite{pdg}, insbesondere bei schwereren Mesonen, zu
umgehen wird, statt mit der Zerfallsrate, mit dem Verhltnis \beq
R\equiv\frac{\Gamma(\pi^{+}\rightarrow\overline{e}\nu_e)}{\Gamma(\pi^{+}\rightarrow\overline{\mu}\nu_\mu)}\eeq
gearbeitet. Die Zerfallskonstante krzt sich bei dieser
Vorgehensweise aus den Gleichungen heraus. Die
Standardmodellvorhersage fr $R$ mit Strahlungskorrekturen ist
\cite{fink}: \beq
R_{th}=\frac{m^{2}_{e}}{m^{2}_{\mu}}\frac{(m_{\pi}^{2}-m_{e}^{2})^{2}}
{(m_{\pi}^{2}-m_{\mu}^{2})^{2}}(1+\Delta)=(1,2354\pm0,0004)\times10^{-4}\;
.\eeq Die Standardabweichung ist in 2$\sigma$ angegeben. Der
experimentelle Wert fr $R$ (mit 2$\sigma$-Standardabweichung) ist
\cite{pdg}\footnote{$ \frac{\Gamma(\pi^{+}\rightarrow
\overline{e}\nu)}{\Gamma_\pi}=(1,230\pm 0,008)\times 10^{-4}$
(2$\sigma$-Bereich).} \beq R_{exp}=\frac{\Gamma(\pi^{+}\rightarrow
\overline{e}\nu)}{\Gamma(\pi^{+}\rightarrow
\overline{\mu}\nu)}=(1,230\pm0,008)\times10^{-4}\; , \eeq und
steht damit innerhalb der Fehlergrenzen in bereinstimmung mit der
theoretischen Vorhersage.
\section {LQ-Wechselwirkungen}
\subsection {$\pi^{+}\rightarrow\overline{e}\nu_e$ und $\pi^{+}\rightarrow\overline{\mu}\nu_\mu$}
Die pseudoskalare Wechselwirkung durch den Vertex (2.4) liefert
den grten Beitrag zur gesamten LQ-induzierten WW, da die
Helizittsunterdrckung fehlt. Die anderen Beitrge werden daher
zunchst vernachlssigt. Wenn man aus der Zerfallsrate (\ref{dec})
den Beitrag $I_{SM-LQ_2}$ der Interferenz zwischen Standardmodell
und den als vergleichsweise klein angenommenen LQ-induzierten
pseudoskalaren Operatoren (2.31) benutzt und seinen Beitrag zu $R$
berechnet, erhlt man\footnote{Indizierung: Elektron -
$m=j=n=i=1$; Myon - $m=i=2, j=n=1$. Es wird angenommen, dass
$V_{ud}$ reell ist.}: \bea
R_{SM+I_{SM-LQ_2}}&=&\frac{k_e}{k_\mu}\frac{(|\mathcal{M}_{SM}|^2
+ 2\Re(\mathcal{M}^*_{SM}\mathcal{M}_2) )_{\pi^{+}\rightarrow
\overline{e}\nu_e}}{(|\mathcal{M}_{SM}|^2 +
2\Re(\mathcal{M}^*_{SM}\mathcal{M}_2) )_{\pi^{+}\rightarrow
\overline{\mu}\nu_\mu}}{}\\{}&=&
-\frac{\widetilde{P}}{\widetilde{A}}\left(\frac{\Re(\lambda_{L}^{11}\lambda_{R}^{*11})}
{\sqrt{2}G_{F}V_{ud}m_{LQ}^{2}}
\frac{1}{m_{e}}-\frac{\Re(\lambda_{L}^{21}\lambda_{R}^{*21})}{\sqrt{2}
G_{F}V_{ud}m_{LQ}^{2}}\frac{1}{m_{\mu}}\right)R_{th}+R_{th} \;
.{}\nonumber\\{}\eea \\ Die Neutrinomassen wurden vernachlssigt.
Die Taylorentwicklung des Nenners wird nach dem linearen Term
abgebrochen, da die LQ-Kopplungen klein gegenber dem Term aus der
schwachen Wechselwirkung sind.
\begin{description}
    \item[Anmerkung zum Vorzeichen in (3.6):] Gem Gl. (2.14)
    und Gl. (2.19) ist $$\tilde{A}_{\pi^-}=\pm i \frac{f_{\pi^-}}{2}
    \qquad\textrm{und}\qquad \tilde{P}_{\pi^-}=\mp i\frac{f_{\pi^-}}{2}\frac{m_{\pi^-}^2}{m_u+m_d}\; .$$ Es muss
    allerdings hier das unterschiedliche Vorzeichen der
    Projektionsoperatoren $P_L$ bzw. $P_R$ beachtet werden, was zu
    einem relativen Minuszeichen zwischen $\tilde{A}$ und
    $\tilde{P}$ fhrt, d.h. zu dem positiven Vorfaktor
    $-(\widetilde{P}/\widetilde{A})$ .
\end{description}
%Daher
%wird auch der primre Beitrag des reinen pseudoskalaren LQ-terms
%in Gln. (2.27) vernachlssigt.
Der gesamte Beitrag zu $R$ muss kleiner sein als es die
Abweichungen zwischen SM und Experiment innerhalb der
Fehlergrenzen zulassen. Nimmt man an, dass jeweils nur zwei
LQ-Kopplungskonstanten nicht verschwinden, erhlt man folgende
Bedingungen:
\begin{equation}-\frac{\widetilde{P}}{\widetilde{A}}\left(\frac{\Re(\lambda_{L}^{11}\lambda_{R}^{*11})}
{\sqrt{2}G_{F}V_{ud}m_{LQ}^{2}}\frac{1}{m_{e}}\right)
<\frac{R_{exp}}{R_{th}}-1+\Delta\left(\frac{R_{exp}}{R_{th}}\right)\equiv
R_{max}=2,1\times 10^{-3}\; ,\end{equation} und
\begin{equation}-\frac{\widetilde{P}}{\widetilde{A}}\left(\frac{\Re(\lambda_{L}^{21}\lambda_{R}^{*21})}
{\sqrt{2}G_{F}V_{ud}m_{LQ}^{2}}\frac{1}{m_{\mu}}\right)<-\left(\frac{R_{exp}}{R_{th}}-1-\Delta
\left(\frac{R_{exp}}{R_{th}}\right)\right)\equiv R_{min}=1,1\times
10^{-2}\; ,\end{equation}wobei, unter Verwendung von
$\frac{\Delta(R_{th})} {R_{th}}\ll \frac{\Delta(R_{exp})}
{R_{exp}}$ ,
\beq\Delta\left(\frac{R_{exp}}{R_{th}}\right)=\frac{R_{exp}}{R_{th}}\sqrt{\left(\frac{\Delta(R_{exp})}
{R_{exp}}\right)^2+\left(\frac{\Delta(R_{th})}{R_{th}}\right)^2}\simeq
\frac{\Delta(R_{exp})}{R_{th}}=6,5\times 10^{-3}\; .\eeq \\Damit
gelten folgende Einschrnkungen fr die
Kopplungskonstantenprodukte:
\begin{equation}\Re(\lambda_{L}^{11}\lambda_{R}^{*11})<R_{max}\frac{\sqrt{2}G_{F}V_{ud}
m_{LQ}^{2}m_{e}}{m_{\pi}^2}(m_u+m_d)=9,8\times10^{-8}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\;
,\end{equation} und
\begin{equation}\Re(\lambda_{L}^{21}\lambda_{R}^{*21})<R_{min}\frac{\sqrt{2}G_{F}V_{ud}
m_{LQ}^{2}m_{\mu}}{m_{\pi}^2}(m_u+m_d)=1,0\times10^{-4}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\;
.\end{equation}
 %Dabei ist, siehe \cite{pdg}:\begin{itemize}\item $m_\mu
%=(105,658357\pm0,000005) MeV$, $m_e =(0,510998902\pm0,000000021)
%MeV$, \linebreak $m_\pi =(139,57018\pm0,00035) MeV$, $G_F
%=(1,16639\pm0,00001)\cdot 10^{-5} GeV^{-2}$ , \item $m_u =5 MeV$,
%$m_d =9 MeV$ (obere Schranken an die Quarkmassen) und \item
%$|V_{ud}|=0,9740\pm 0,0005$ .
%\end{itemize}
Der relativ groe Unterschied zwischen diesen beiden Werten
resultiert aus dem Unterschied in den Leptonenmassen
($m_e/m_\mu\simeq 0,005$) und dem Verhltnis der $R$-Werte,
$R_{max}/R_{min}\simeq 0,20$. Die verwendeten Konstanten knnen
der Tabelle 3 des Anhangs entnommen werden. \\ \\ Der Wert aus Gl.
(3.11) stimmt mit dem in \cite{lepto}
 berechneten Wert berein, der Wert aus Gl. (3.10) ist um etwas weniger
 als eine Grenordnung niedriger und stimmt mit dem aus Gl.
 (3.13) berein. In \cite{lepto} wurde die Differenz zwischen $R_{min}$ und
 $R_{max}$ vernachlssigt und nur mit $R_{min}$ gearbeitet.
\\
\\Die LQs, die zu diesen Termen beitragen knnen (aus den
Tabellen 4 und 5 des Anhangs ersichtlich), sind $V_{0}$ und
$V_{1/2}$ ( sowie $S_{1/2}$ und $S_{0}$ mit der Ersetzung 2.7),
d.h.:
\begin{equation}\Re(\lambda_{LV_{0}}^{11}\lambda_{RV_{0}}^{*11})<
9,8\times10^{-8}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2} \;
,\label{bound2}\end{equation}
und\begin{equation}\Re(\lambda_{LV_{1/2}}^{11}\lambda_{RV_{1/2}}^{*11})<
5,0\times10^{-7}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\;
.\end{equation} Der Unterschied in den beiden Werten resultiert
aus dem unterschiedlichen Vorzeichen der 4-Fermionen-Vertizes
(siehe Tabelle 4 des Anhangs). Um den Wert (3.13) zu erhalten muss
in Gl. (3.10) $R_{max}$ durch $R_{min}$ ersetzt werden. Fr
$\lambda_{LV_{0}}^{21}\lambda_{RV_{0}}^{*21}$und
$\lambda_{LV_{1/2}}^{21}\lambda_{RV_{1/2}}^{*21}$ ist Gl. (3.11)
zu verwenden (wieder unter Bercksichtigung der Vorzeichen). \\
\\Aus den Termen (2.27) (SM-Term) und (2.32) kann man
ebenfalls Schranken ableiten, wenn man annimmt, dass die
pseudoskalaren Terme verschwinden. Dieses Verbot von Kopplungen
der Art $\lambda_L\lambda_R$ kann durch eine zur $R$-Paritt
analoge Symmetrie erzielt werden. Die Terme (2.27) und (2.32)
werden entsprechend in (3.5) eingesetzt und man erhlt (mit
gleichem $R_{max}$, $R_{min}$) analog zu Gl. (3.7) und Gl. (3.8):
\begin{equation}\frac{1}{\sqrt{2}G_{F}V_{ud}m_{LQ}^{2}}\Re(\lambda_{L}^{11}
\lambda_{L}^{*11})<R_{max}\; ,\end{equation} und
\begin{equation}\frac{1}{\sqrt{2}G_{F}V_{ud}m_{LQ}^{2}}\Re(\lambda_{L}^{21}\lambda_{L}^{*21})
<R_{min}\; , \end{equation}woraus sich ergibt:\begin{equation}
\Re(\lambda_{L}^{11}\lambda_{L}^{*11})<3,4\times10^{-4}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\;
,\label{bound1}
\end{equation}bzw.:
\begin{equation}|\lambda_{L}^{11}|<1,8\times10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)\;
,\label{bound2}
\end{equation}und \beq|\lambda_{L}^{21}|<4,2\times10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)\; .\eeq
Die hier wechselwirkenden LQs sind $V_{0}$ und $V_{1}$ (bzw.
$S_{0}$ und $S_{1}$ unter Verwendung von Gl. 2.7 und Beachtung der
Vorzeichen). Im Vergleich mit \cite{lepto} wirkt sich auch hier
die Verwendung unterschiedlicher $R_{max}$ und $R_{min}$ aus. Die
Schranke (3.16) ist niedriger, stimmt aber bei Verwendung von
$R_{min}$ statt $R_{max}$
mit \cite{lepto} berein.\\ \\
Im Folgenden werden die wechselwirkenden LQs nicht mehr
aufgefhrt; dies kann Tabelle 6 des Anhangs entnommen werden. Es
werden nur noch Schranken wie in Gl. (3.16) angegeben.
\subsection {$\pi^{+}\rightarrow\overline{\mu}\nu_{e}$}Der Zerfall
$\pi^{+}\rightarrow\overline{\mu}\nu_{e}$, bei dem $L$ verletzt
wird, ist im SM verboten. Unter Verwendung von
$BR(\pi^{+}\rightarrow\overline{\mu}\nu_{e})<8\times 10^{-3}$
\cite{pdg} ergibt sich: \beq
\Gamma(\pi^{+}\rightarrow\overline{\mu}\nu_{e})<8\times10^{-3}\tau_\pi^{-1}=2,0\times
10^{-16}\; MeV\; . \eeq \pagebreak \\ Daraus werden Schranken an
mgliche LQ-Wechselwirkungen berechnet, die diesen Zerfall
ermglichen:
\begin{itemize} \item Aus dem ($S\pm P$)-Term (das ist der reine LQ-Term,
 der sich aus Gl. 2.29 ergibt) der Zerfallsrate
$\Gamma_M$ (Gl. 2.33) erhlt man die Bedingung
\begin{equation}\frac{|\lambda_{L}^{11}\lambda_{R}^{*21}|^2}{m_{LQ}^4}\frac{m_\pi
f_\pi^2(m_\pi^2-m_\mu^2)^2}{64\pi(m_u+m_d)^2}<\Gamma(\pi^{+}\rightarrow\overline{\mu}\nu_{e})\;
,\end{equation} \item und aus dem ($V\pm A$)-Term (der reine
LQ-Term, der aus Gl. 2.28 hervorgeht) der Zerfallsrate $\Gamma_M$
(Gl. 2.33) erhlt man
\begin{equation}\frac{|\lambda_{L}^{11}\lambda_{L}^{*21}|^2}{m_{LQ}^4}\frac{f_\pi^2m_\mu^2
(m_\pi^2-m_\mu^2)^2}{64\pi m_\pi^3}
<\Gamma(\pi^{+}\rightarrow\overline{\mu}\nu_{e})\;
.\label{bound5}\end{equation}\end{itemize} Fr die
Kopplungskonstantenprodukte ergibt sich damit: \beq
|\lambda_{L}^{11}\lambda_{R}^{*21}|<1,7\times10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\;
,\quad \textrm{und}\quad|\lambda_{L}^{11}\lambda_{L}^{*21}|<
2,9\times10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\; .\eeq Mit
der Zerfallskonstante $f_\pi = (130,7\pm 0,4) MeV$ zu rechnen,
verursacht keine groen Ungenauigkeiten. Der grte Fehler ist in
den Werten fr die Quarkmassen (siehe Tabelle 2 des Anhangs) zu
finden. Diese Schranken fr die Produkte von Kopplungskonstanten
sind nicht sehr niedrig und aus den in Kapitel 3.2.1 berechneten
Werten, Gln. (3.17) und (3.18), besser ableitbar:
\beq|\lambda_{L}^{11}\lambda_{L}^{*21}|\leq
|\lambda_{L}^{11}||\lambda_{L}^{21}|<7,7\times10^{-4}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\;
.\label{bound10} \eeq In \cite{lepto} wurde statt mit
$\tau_\pi^{-1}$ in Gl. (3.19) mit
$\Gamma(\pi^+\rightarrow\mu\nu_\mu)$ gerechnet. Aufgrund der in
Gl. (3.20) durch $\widetilde{P}$ auftretenden Quarkmassen kommt
der Hauptteil der Differenz zwischen dem hier berechneten Wert zu
\cite{lepto} zustande (dabei wurde die tabellarische Auflistung
aus \cite{lepto} verwendet, der im Text angegebene Wert weicht
davon um mehr als die Hlfte nach unten ab). Sie betrgt etwa
10\%. In \cite{lepto} wurde $\widetilde{P}=7f_\pi m_\pi$
verwendet, was mit dem aktuellen Wert fr $f_\pi$ die erwhnte
Abweichung von etwa 10\% des hier verwendeten Wertes nach oben
erklrt. Die Schranke fr $|\lambda_{L}^{11}\lambda_{L}^{*21}|$
stimmt mit der aus \cite{lepto} berein.\\ \\Die Gln. (3.20) und
(3.21) lassen sich auch auf die Zerflle $\pi^+\rightarrow
e\nu_\tau$, $\pi^+\rightarrow e\nu_\mu$ (mit $m_e$ statt $m_\mu$)
und $\pi^+\rightarrow \mu\nu_\tau$ anwenden.
\begin{center}---------------------------------------------------------------------\end{center}
Das neutrale Pion zerfllt zu $(98,798\pm 0,032)$ \% \cite {pdg}
durch die elektromagnetische Wechselwirkung in zwei Photonen.
Damit hat es eine um acht Grenordnungen geringere Lebensdauer
als die ber schwache Wechselwirkung zerfallenden, geladenen
Pionen. Da die Wurzel der Lebensdauer in die Schranken an die
Kopplungskonstantenprodukte eingeht knnen hieraus keine starken
Bedingungen abgeleitet werden. Dies gilt insbesondere fr den
Zerfall $\pi_0 \rightarrow \mu e$, aus dem man gute Schranken fr
nicht verschwindende LQD- und LLE-Terme erwarten knnte (siehe
\cite{thor}).\newpage
\section {Squark- und Slepton- Wechselwirkungen}\label {sec:
R} \vspace{20pt}
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{fmffile}{tau206}
\begin{fmfgraph*}(150,100)
 \fmfpen{thin}\fmftop{i1,i2}
\fmfbottom{o1,o2}\fmf{fermion}{v1,i1}\fmf{fermion}{v1,i2}\fmf{scalar,label=$\tilde{d}_R^k$}{v2,v1}
\fmf{fermion}{o2,v2}\fmf{fermion}{o1,v2}
\fmflabel{u}{i1}\fmflabel{$\ell$}{i2}\fmflabel{d}{o1}\fmflabel{$\nu$}{o2}\fmfdotn{v}{2}
\end{fmfgraph*}\hspace{20pt}
\begin{fmfgraph*}(200,100)
 \fmfpen{thin}\fmfleft{i1,i2}
\fmfright{o1,o2}\fmf{fermion}{v1,i1}\fmf{fermion}{i2,v1}\fmf{scalar,label=$\tilde{l}_L^k$}{v1,v2}
\fmf{fermion}{o1,v2}\fmf{fermion}{v2,o2}
\fmflabel{u}{i1}\fmflabel{d}{i2}\fmflabel{$\ell$}{o2}\fmflabel{$\nu$}{o1}\fmfdotn{v}{2}
\end{fmfgraph*}
\end{fmffile}\end {center}\caption[Squark- und Slepton-Wechselwirkung im Pionenzerfall]
{\textit{Squark- und Slepton-Wechselwirkung im
Pionenzerfall}}\label{squark}\end{figure} Wie in \cite{han} und
ausfhrlicher in \cite{thor} durchgefhrt, kann man auch die
$R$-parittsverletzenden Beitrge zum Pionenzerfall durch Squarks
und Sleptonen berechnen. Die dafr relevanten Terme aus dem
Superpotential sind $L_{L}Q_{L}\overline{D}_{R}$ und
$L_{L}L_{L}\overline{E}_{R}$. Die daraus folgenden
Kopplungskonstantenprodukte lassen sich einfach aus den
Berechnungen fr LQs extrahieren; es handelt sich gewissermaen um
einen Spezialfall der obigen Berechnungen. In vier-komponentiger
Dirac-Schreibweise erhlt man fr den Lagrangian aus dem LQD- und
dem LLE- Term:
\beq\mathcal{L}_{LQD}=\lambda_{ijk}'[\tilde{\nu}^i_L\bar{d}^k_Rd^j_L+
\tilde{d}^j_L\bar{d}^k_R\nu^i_L+(\tilde{d}^k_R)^*(\bar{\nu}^i_L)^cd^j_L
-\tilde{e}^i_L\bar{d}^k_Ru^j_L-
\tilde{u}^j_L\bar{d}^k_Re^i_L-(\tilde{d}^k_R)^*(\bar{e}^i_L)^cu^j_L]+h.c.\;
.\eeq
\beq\mathcal{L}_{LLE}=\lambda_{ijk}[\tilde{\nu}^i_L\bar{e}^k_Re^j_L+
\tilde{e}^j_L\bar{e}^k_R\nu^i_L+(\tilde{e}^k_R)^*(\bar{\nu}^i_L)^ce^j_L-(i\leftrightarrow
j)]+h.c.\eeq Zum Pionenzerfall knnen zwei Prozesse beitragen,
deren 4-Fermionen-Vertizes so aussehen:
\beq\mathcal{L}_{\not{R}_P1}=\frac{1}{2}\frac{\lambda'{}_{ijk}^*\lambda'{}_{mnk}}
{m^2_{\tilde{d}_R^k}}[\bar{\ell}^i\gamma^\mu
P_L\nu^m][\bar{u}^j\gamma_\mu P_L d^n]\; ,\eeq und \beq
\mathcal{L}_{\not{R}_P2}=-\frac{\lambda'{}_{kjn}^*\lambda_{mki}}{m^2_{\tilde{l}_L^k}}[\bar{l}^i
P_L\nu^m][\bar{u}^j P_R d^n ]\; .\eeq Beide Terme finden sich (bis
auf Konstanten) auch bei den 4-Fermionen-Vertizes der LQs (siehe
Tabelle 5 des Anhangs). Aus Gl. (\ref{bound2}) und Gl. (3.18)
lassen sich daher direkt folgende Schranken ableiten: \beq
 |\lambda'_{11k}|<0,026\left(\frac{m_{\tilde{d}_R^k}}{100GeV}\right)\;
,\eeq\beq
 |\lambda'_{21k}|<0,059\left(\frac{m_{\tilde{d}_R^k}}{100GeV}\right)\;
,\eeq und\beq|\lambda'_{11k}\lambda'_{21k}|<1,5\cdot
10^{-3}\left(\frac{m_{\tilde{d}_R^k}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq
Dabei mussten die berechneten Kopplungen $\lambda$ noch durch
$\sqrt{2}$ geteilt werden um die entsprechenden Squark-Kopplungen
zu erhalten (Faktor 1/2 in Gl. 3.26). Diese Schranken wurden in
\cite {han} und \cite{thor} ebenfalls berechnet; die Ergebnisse
stimmen, abgesehen von
marginalen Abweichungen (die Werte aus \cite {han} wurden leicht verbessert) aufgrund
neuerer experimenteller Werte, berein.\\ \\
Das Pion kann auch durch Slepton-Austausch (LLE- \textbf{und} LQD-
Term des Superpotentials) zerfallen (siehe Abbildung
\ref{squark}). Zur Berechnung von Schranken an
$\Re(\lambda'_{k11}\lambda_{1k1}^*)$ und
$\Re(\lambda'_{k11}\lambda_{2k2}^*)$ werden die Gln. (3.10) und
(3.11) benutzt. Es muss hier folgende Modifikation vorgenommen
werden: $R_{max}$ wird durch $R_{min}$ ersetzt und umgekehrt (dies
folgt aus dem Vorzeichen in Gl. 3.27). Es ergibt sich:
\begin{equation}\Re(\lambda'_{k11}\lambda_{1k1}^*)<5,0\times10^{-7}\left(\frac{m_{\widetilde{l}^{k}_{R}}}{100GeV}
\right)\; ,\end{equation} und mit analoger Rechnung aus (3.11):
\begin{equation}\Re(\lambda'_{k11}\lambda_{2k2}^*)<2,0\times10^{-5}\left(\frac{m_{\widetilde{l}^{k}_{R}}}{100GeV}
\right)\; .\end{equation} Die Berechnung dieser
Kopplungskonstantenprodukte wurde ebenfalls in \cite{thor}
durchgefhrt, die Ergebnisse stimmen in etwa berein. Weiterhin
ergeben sich aus Kapitel 3.2.2 folgende Schranken:
\beq|\lambda'_{k11}\lambda_{1k2}^*|<1,7\times10^{-3}\left(\frac{m_{\widetilde{l}^{k}_{R}}}{100GeV}\right)\;
,\eeq und
\beq|\lambda'_{21k}\lambda'{}_{11k}^*|<5,8\times10^{-2}\left(\frac{m_{\tilde{d}^k_R}}{100GeV}\right)\;.\eeq
Die Schranke an das Kopplungskonstantenprodukt in (3.33) kann
besser aus Leptonenzerfllen gewonnen werden (siehe \cite{alla}).
Die Schranke (3.34) stimmt mit der aus \cite{thor} berein, das
Produkt der einzelnen Kopplungskonstanten (Gl. 3.23) liefert
allerdings eine strkere Einschrnkung:
\beq|\lambda'_{21k}\lambda'{}_{11k}^*|<1,5\times10^{-3}\left(\frac{m_{\tilde{d}^k_R}}{100GeV}\right)\;
.\eeq
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%4.Kapitel%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter {Der $K$-Mesonenzerfall}
\section {Zerflle geladener Kaonen}
Die geladenen Kaonen ($K^{+}=u\overline{s}$ und
$K^{-}=\overline{u}s$) zerfallen zu (63,51$\pm$0,18)\% in
$\overline{\mu}\nu_{\mu}$ (bzw. $\mu\overline{\nu}_{\mu}$).
Daneben existieren zahlreiche Zerfallskanle, hauptschlich solche
mit einem oder mehreren Pionen im Endzustand.
\subsection {Leptonische Zerflle}
Wie im Fall der Pionen ist auch bei den Kaonen der Zerfall in
$e\nu_{e}$ im SM durch die Drehimpulserhaltung stark unterdrckt.
Die Rechnungen sind analog zum Pionenzerfall: Die Gln. (3.7) und
(3.8) bzw. (3.14) und (3.15) mit den entsprechenden Ersetzungen
fr den $K$-Zerfall. Die Quarkstrme knnen Kapitel 2.3.2 mit den
entsprechenden Ersetzungen fr das Kaon entnommen werden. Daraus
ergeben sich obere Schranken an
$\Re(\lambda_{L}^{12}\lambda_{R}^{11*})$ und
$\Re(\lambda_{L}^{22}\lambda_{R}^{21}{}^*)$ (LQs $V_{0}$, und
$V_{1/2}$ unter Bercksichtigung des Vorzeichens) und an
$\Re(\lambda_{L}^{12}\lambda_{L}^{11}{}^*)$ und
$\Re(\lambda_{L}^{22}\lambda_{L}^{21}{}^*)$ (LQs $V_{0}$ und
$V_{1}$), aus denen wiederum die entsprechenden Schranken an
SUSY-Kopplungskonstantenprodukte abgeleitet werden knnen. Aus
\cite{pdg} und \cite{fink} hat man: \beq R_{exp}=(2,44\pm
0,22)\cdot 10^{-5}\; ,\quad \textrm{und} \quad R_{th}=(2,472\pm
0,002)\cdot 10^{-5}\; ,\eeq die brigen Gren knnen Tabelle 2
des Anhangs entnommen werden. Fr die Kopplungskonstantenprodukte
erhlt man damit:
\begin{equation}\Re(\lambda_{L}^{12}\lambda_{R}^{11}{}^*)<9,2\times10^{-7}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\; ,
\qquad\Re(\lambda'_{k12}\lambda_{1k1}^*)<1,2\times10^{-6}\left(\frac{m_{\tilde{l}^k_R}}{100GeV}\right)^{2}\;
,\end{equation}
\begin{equation}\Re(\lambda_{L}^{22}\lambda_{R}^{21}{}^*)<2,6\times10^{-4}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\; ,
\qquad\Re(\lambda'_{k12}\lambda_{2k2}^*)<1,9\times10^{-4}\left(\frac{m_{\tilde{l}^k_R}}{100GeV}\right)^{2}\;
,\end{equation}
\begin{equation}\Re(\lambda_{L}^{12}\lambda_{L}^{11}{}^*)<2,8\times10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\; ,
\qquad\Re(\lambda'_{11k}\lambda'{}_{12k}^*)<5,5\times10^{-3}\left(\frac{m_{\tilde{d}^k_R}}{100GeV}\right)^{2}\;
,\end{equation}
\begin{equation}\Re(\lambda_{L}^{22}\lambda_{L}^{21}{}^*)<3,7\times10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\; ,
\qquad\Re(\lambda'_{21k}\lambda'{}_{22k}^*)<7,4\times10^{-3}\left(\frac{m_{\tilde{d}^k_R}}{100GeV}\right)^{2}\;
.\end{equation}Die LQ-Schranken haben sich im Vergleich zu
\cite{lepto} leicht verndert, die ersten beiden Schranken sind
niedriger. Die Schranke aus Gl. (4.4) hat sich nicht verndert und
die Schranke Gl. (4.5) ist geringfgig schlechter. Dies kann nur
an den verwendeten $R$-Werten liegen, die benutzten Gren gehen
jedoch aus \cite{lepto} nicht hervor. Die SUSY-Schranken, Gl.
(4.2) und Gl. (4.3), stimmen in etwa mit denen aus \cite{thor}
berein, der Unterschied beruht auf den verwendeten Werten fr die
Quarkmassen (die Schranken aus \cite{thor} sind etwas niedriger).
Hier wurden die von der \textit{particle data group} \cite{pdg}
angegebenen oberen Grenzen fr die Quarkmassen eingesetzt (siehe
Tabelle 2 des Anhangs), um eine mglichst
konservative Abschtzung zu erhalten. \\
\\Auch beim $K$-Meson ist der $L$-verletzende Zerfall in ein Myon und
ein Elektronneutrino via LQ-Austausch mglich (siehe Kapitel
3.2.2). Laut \cite {pdg} ist:\beq \frac{\Gamma(K \rightarrow \mu
\nu_e)}{\Gamma(K \rightarrow \mu \nu_{\mu})}< 6,31 \times
10^{-3}\; . \eeq Durch die Verwendung dieses Verhltnis wird das
Erscheinen der Zerfallskonstante $f_K$ vermieden. Nun werden
einmal nur die pseudoskalaren LQ-Beitrge ($|\mathcal{M}_2|^2$,
siehe Gl. 2.29) und dazu separat nur die SM-hnlichen LQ-Beitrge
($|\mathcal{M}_1|^2$, siehe Gl. 2.28) zur Zerfallsrate $\Gamma_M$
fr $K \rightarrow \mu \nu_e$ betrachtet. Wird fr den Zerfall $K
\rightarrow \mu \nu_{\mu}$ nur der SM-Term (fr
$|\mathcal{M}_{SM}|^2$: siehe Gl. 2.27) bercksichtigt, so erhlt
man fr die beiden LQ-Beitrge zu $K \rightarrow \mu \nu_e$
folgende Bedingungen:
  \beq
  \frac{|\lambda_L^{12}\lambda_L^{21}{}^*|^2}{8 m_{LQ}^4 G_F^2|V_{us}|^2} ~, ~ \frac{|\lambda_L^{12}
  \lambda_R^{21}{}^*|^2m_K^4}{8m_{LQ}^4 G_F^2|V_{us}|^2 m_{\mu}^2(m_u+m_s)^2} < 6,31 \times
10^{-3}\; .
  \eeq
Daraus ergibt sich:
\begin{equation}|\lambda_{L}^{12}\lambda_{L}^{21}{}^*|<5,8\times10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\; ,
\qquad
|\lambda'_{11k}\lambda'{}_{22k}^*|<1,2\times10^{-2}\left(\frac{m_{\tilde{d}^k_R}}{100GeV}\right)^{2}\;
,\end{equation}
\begin{equation}|\lambda_{L}^{12}\lambda_{R}^{21}{}^*|<4,0\times10^{-4}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^{2}\; ,
\qquad
|\lambda'_{k12}\lambda_{1k2}^*|<4,0\times10^{-4}\left(\frac{m_{\tilde{d}^k_R}}{100GeV}\right)^{2}\;
.\end{equation} Die LQ-Schranken haben sich im Vergleich zu
\cite{lepto} verbessert (beide haben sich etwa halbiert). Die
SUSY-Schranke (4.9) ist gegenber \cite{thor} um etwas ber die
Hlfte niedriger. Aus leptonischen $K$-Zerfllen berechenbare
Schranken an das Produkt $|\lambda'_{ijk}\lambda'{}_{lmn}^*|$ sind
jedoch deutlich schwcher als die in \cite {alla} aus
Leptonenzerfllen berechneten Schranken.
\subsection {Semileptonische Zerflle} Das Kaon kann semileptonisch in ein
Pion und zwei geladene Leptonen zerfallen ($K\rightarrow
  \pi e\overline{e},\pi\mu\overline{\mu},\pi\mu\overline{e}$ und
  $\pi e\overline{\mu}$, siehe Abb. 4.1). Innerhalb des Standardmodells ist dies in niedrigster Ordnung nicht
  erlaubt (aufgrund der FCNC-Unterdrckung).\\ \\
  \begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{fmffile}{tau98}
\begin{fmfgraph*}(150,100)
\fmfpen{thin}\fmfleft{i1}\fmfright{o1,o2,o3}\fmf{fermion,label=s}{i1,v1}\fmf{fermion}{v1,o3}
\fmf{scalar,label=LQ}{v2,v1}\fmf{fermion}{o2,v2}\fmf{fermion}{v2,o1}\fmflabel{d}{o1}
\fmflabel{$\ell$}{o2}\fmflabel{$\ell$}{o3}
\end{fmfgraph*}\hspace{50pt}\begin{fmfgraph*}(150,100)
\fmfpen{thin}\fmfleft{i1}\fmfright{o1,o2,o3}\fmf{fermion,label=s}{i1,v1}\fmf{fermion}{o3,v1}
\fmf{scalar,label=LQ}{v1,v2}\fmf{fermion}{v2,o2}\fmf{fermion}{v2,o1}\fmflabel{d}{o1}\fmflabel{$\ell$}{o2}
\fmflabel{$\ell$}{o3}
\end{fmfgraph*}\end{fmffile}\end{center}\caption[$s$-Quarkzerfall via LQ-Austausch]{
\textit{$s$-Quarkzerfall via LQ-Austausch}}\label{tau100}\end{figure}
\\Zunchst soll nur eine Abschtzung der $|\lambda_L\lambda_L^*|$
-Schranke gewonnen werden, ehe auf pseudoskalare Beitrge
eingegangen wird, d.h. es wird zunchst angenommen, dass smtliche
$(S\pm P)$-Beitrge verschwinden. Dazu wird von ungebrochener
Isospinsymmetrie ausgegangen: \beq
  \langle K^+ | \tilde{O} | \pi^o\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}  \langle K^+ | \tilde{O} |
\pi^+\rangle\; ,
  \eeq
  wobei $\tilde{O}$ ein Isospin-1/2-Operator ist. Laut \cite{pdg} ist \beq\frac{BR(K
\rightarrow \pi^+ \mu \bar{\mu})}{BR(K \rightarrow \pi^o \bar{\mu}
\nu_\mu)}<2,3\times 10^{-6},\;\;\;\textrm{und}\;\;\;\frac{BR(K
\rightarrow \pi^+ e \bar{e})}{BR(K \rightarrow \pi^o \bar{e}
\nu_e)}<5,9\times 10^{-6} .\eeq Die beiden Zerfallsraten lassen
sich als Produkt der Kopplungen, der Quarkstrme und kinetischer
Terme $\mathcal{T}$ darstellen: \beq \Gamma(K \rightarrow \pi^+
\ell \bar{\ell})=
\frac{|\lambda_L^{i2}\lambda_L^{m1}{}^*|^2}{m_{LQ}^4}\langle
K^+|\bar{s}\gamma^\mu\gamma^5 d|\pi^+\rangle^2 \mathcal{T}_{K
\rightarrow \pi^+ \ell \bar{\ell}}\; ,\eeq und \beq \Gamma(K
\rightarrow \pi^o \bar{\ell} \nu)=8G_F^2|V_{su}|^2\langle
K^+|\bar{s}\gamma^\mu\gamma^5 u|\pi^0\rangle^2 \mathcal{T}_{K
\rightarrow \pi^o \bar{\ell} \nu}\; .\eeq Vernachlssigt man
smtliche Leptonenmassen, was einen Fehler von weniger als einem
Faktor zwei bedeutet, da $BR(K \rightarrow \pi^o \bar{e} \nu)
\simeq 1.5 ~BR(K \rightarrow \pi^o \bar{\mu} \nu)$ \cite{pdg}, so
ist $\mathcal{T}_{K \rightarrow \pi^+ \ell \bar{\ell}}$ gleich
$\mathcal{T}_{K \rightarrow \pi^o \bar{\ell} \nu}$. Damit erhlt
man unter Benutzung von Gl. (4.10) und Gl. (4.11):
  \beq
  \frac{|\lambda_L^{22}\lambda_L^{21}{}^*|^2}{ 4 G_F^2 |V_{su}|^2m_{LQ}^4} <2,3\times 10^{-6},\;\;\textrm{und}\;\;
   \frac{|\lambda_L^{12}\lambda_L^{11}{}^*|^2}{ 4 G_F^2 |V_{su}|^2m_{LQ}^4} < 5,9\times
   10^{-6}\; ,\eeq
  woraus sich ergibt:
\begin{equation}|\lambda_{L}^{22}\lambda_{L}^{21}{}^*|<7,8\times10^{-5}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}
\right)^{2}\; ,\qquad
|\lambda'_{2k2}\lambda'{}_{2k1}^*|<1,6\times10^{-4}\left(\frac{m_{\tilde{u}^k_L}}{100GeV}\right)^{2}
\; ,\end{equation} und
\begin{equation}|\lambda_{L}^{12}\lambda_{L}^{11}{}^*|<1,5\times10^{-4}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}
\right)^{2}\; ,\qquad
|\lambda'_{1k2}\lambda'{}_{1k1}^*|<3,0\times10^{-4}\left(\frac{m_{\tilde{u}^k_L}}{100GeV}\right)^{2}
\; .\end{equation} Die LQ-Schranke (4.15) betrgt etwa 25\% der in
 \cite{lepto} berechneten Schranke, (4.16) hat sich gegenber \cite{lepto} etwa halbiert. \\
\\Abgesehen von diesem Beitrag, haben wir allerdings noch skalare
und tensorielle Beitrge. Diese tauchen nur bei den skalaren
Wechselwirkungen auf, sie werden dort durch die
Fierz-Transformation (Kapitel 2.3.1) generiert. Um sie zu
bercksichtigen, muss zunchst etwas Stromalgebra betrieben
werden.\\
\subsubsection{Stromalgebra beim semileptonischen K-Zerfall}  Mit \cite{weak} \beq\langle
\pi^0(p_\pi)|\bar{s}\gamma_\mu u|K^+(p_K)\rangle
=\frac{1}{\sqrt{2}}(f_+p_\mu +f_-q_\mu)\; ,\eeq wobei $f_+$ und
$f_-$ nur von $q^2$ abhngige Formfaktoren sind und \beq
p=p_K+p_\pi\; , \qquad q=p_K-p_\pi\; ,\eeq ergibt sich: \beq
\langle \pi^0(p_\pi)|\bar{s}u|K^+(p_K)\rangle =\frac{p\cdot
q}{m_u-m_s}\frac{f_0}{\sqrt{2}}\; . \eeq Dabei wurde Gl. (4.17)
mit $q^\mu$ mulitpliziert und die Dirac-Gl. angewendet. Auerdem
wurde der Formfaktor $f_0$ eingefhrt: \beq f_0
=f_++\frac{q^2}{p\cdot q}f_-\; .\eeq Fr das Tensor-Matrixelement
gilt allgemein \cite{form}: \beq \langle
\pi^0(p_\pi)|\bar{s}\sigma_{\mu\nu}u|K^+(p_K)\rangle
=\frac{-i}{\sqrt{2}}\mathcal{B}\cdot(p_\mu q_\nu -p_\nu q_\mu)\;
,\eeq mit
\beq\mathcal{B}=c_-(q^2)\frac{f_0(q^2)}{m_s-m_u}+(m_s+m_u)\frac{f_-(q^2)}{p\cdot
q}\;.\eeq $c_-=c_-(q^2)$ wird durch\beq\langle
\pi^0(p_\pi)|i\big[\bar{s}(\partial_\mu u)-(\partial_\mu\bar{s})
u\big]|K^+(p_K)\rangle = (c_+p_\mu+c_-q_\mu)\langle
\pi^0(p_\pi)|\bar{s}u|K^+(p_K)\rangle\eeq definiert, wobei
gilt:\beq c_+=-\frac{1}{p\cdot q}(m_s^2-m_u^2+c_-q^2)\; .\eeq
\subsubsection {Die invariante Amplitude $\mathcal{M}(K^+\rightarrow
\pi^0\ell^+\nu_\ell)$} Die invariante Amplitude unter
Bercksichtigung nicht verschwindender skalarer, vektorieller und
tensorieller Formfaktoren ist in allgemeiner Form \cite{stein}:
\beq\mathcal{M}(K^+\rightarrow
\pi^0\ell^+\nu_\ell)=G_FV_{su}\left[-(\bar{\nu}_L\gamma_\mu\ell_L)(f_+p^\mu
+f_-q^\mu)+2m_K(\bar{\nu}_L\ell_R)f_S+i\frac{f_T}{m_K}(\bar{\nu}_L\gamma_\mu\gamma_\nu\ell_R)p^\mu
q^\nu\right].\eeq Der skalare und der tensorielle Formfaktor sind
dabei so definiert:\beq
f_S=\frac{1}{\sqrt{2}m_K}\langle\pi^0(p_\pi)|\bar{s}
u|K^+(p_K)\rangle\;\; \textrm{und}\;\; f_T=-m_K\mathcal{B}\; .\eeq
\begin{description}\item[Anmerkung:] Im SM sind $f_S$
und $f_T$ in fhrender Ordnung gleich null, whrend dies bei
LQ-Kopplungen nicht der Fall sein muss. Durch die Kontraktion des
vektoriellen Leptonenstromes (1. Summand in Gln. 4.25) unter
Verwendung der Dirac-Gln. (die Neutrinomasse wird vernachlssigt)
erhlt man $-f_-(\bar{\nu}_L\gamma_\mu\ell_L) q^\mu =
f_-m_\ell(\bar{\nu}_L\ell_R)$, und somit wieder einen skalaren
Term: \beq f_S^{SM}=\frac{m_\ell}{2m_K}f_-\; .\eeq
\end{description}
Um eine Abschtzung der skalaren und tensoriellen Beitrge zu
erhalten wird hier ein einfaches Verfahren gewhlt (siehe nchster
Abschnitt): Es wird das Verhltnis der Formfaktoren
$\frac{f_S}{f_+}$ und $\frac{f_T}{f_+}$ gebildet, ohne die
Zerfallsrate $\Gamma_M$ konkret zu berechnen. Separat werden
jeweils nur die $f_S$ und die $f_T$ -Beitrge (bernchster
Abschnitt) betrachtet. Die Leptonenmassen werden dabei
vernachlssigt.\begin{description}
    \item[Einschub:]
Um die Zerfallsrate $\Gamma_M$ zu berechnen muss das Matrixelement
(4.25) quadriert werden: \bea
|\mathcal{M}|^2&=&G_F^2|V_{su}|^2\{|\mathcal{M}_{f_+\&f_-}|^2+|\mathcal{M}_{f_S}|^2+|\mathcal{M}_{f_T}|^2
{}\nonumber\\&&{}+2\Re(\mathcal{M}_{f_+\&f_-}^*\mathcal{M}_{f_S})+2\Re(\mathcal{M}_{f_+
\&f_-}^*\mathcal{M}_{f_T})+2\Re(\mathcal{M}_{f_S}^*\mathcal{M}_{f_T})\}.\eea
Die einzelnen Terme lassen sich mit der Dirac-Gln. und den
Spurregeln fr Gamma-Matrizen berechnen ($p_\nu$ ist der
Viererimpuls des Neutrinos, fr $p_\ell$ gilt Entsprechendes, die
Leptonenmassen werden vernachlssigt):
\bea|\mathcal{M}_{f_+\&f_-}|^2&=& \frac{1}{4}Tr[\not{p}_\nu
(f_+\not{p}+f_-\not{q})(1-\gamma^5)\not{p}_\ell
(1+\gamma^5)(f_+\not{p}+f_-\not{q})]{}\nonumber\\{}&=&
2f_+^2(2(p_\nu\cdot p)(p_\ell\cdot p)-p^2(p_\nu\cdot p_\ell))\;
,\eea \bea|\mathcal{M}_{f_S}|^2&=& 4m_K^2f_S^2\cdot
\frac{1}{4}Tr[\not{p}_\nu (1+\gamma^5)\not{p}_\ell
(1-\gamma^5)]=4m_K^2f_S^2q^2\; ,\eea $|\mathcal{M}_{f_T}|^2$,
$2\Re(\mathcal{M}_{f_+\&f_-}^*\mathcal{M}_{f_S})$,
$2\Re(\mathcal{M}_{f_+ \&f_-}^*\mathcal{M}_{f_T})$ und
$2\Re(\mathcal{M}_{f_S}^*\mathcal{M}_{f_T})$ sind analog
berechenbar. Diese Terme knnen gem Kapitel 2.3.3 im
dreidimensionalen Phasenraum integriert werden, um die
Zerfallsrate $\Gamma_M$ zu erhalten.\end{description}
\textbf{Zuerst der skalare Term}: Mit den Gln. (4.19), (4.20) und
(4.26) erhlt man (bei gleichen Kopplungen im $f_S$ und im $f_+$
 -Faktor des Matrixelements):\beq\left|\frac{f_S}{f_+(0)}\right|=\frac{m^2_K-m^2_\pi}{2(m_s-m_u)m_K}\;
.\eeq Dabei wurden Terme proportional zu $q^2$ vernachlssigt.
Unter Verwendung von \cite{pdg}
\beq\left[\frac{f_S}{f_+(0)}\right]_{exp}=0,045\pm 0,033\eeq kann
nun eine Abschtzung der LQ-Kopplungen gewonnen werden, der
Standardmodellbeitrag $f_S^{SM}$ wird dabei vernachlssigt. Laut
\cite{pdg} ist $\frac{f_-(0)}{f_+(0)}=-0,096\pm 0,043$ und da
zustzlich das Verhltnis $\frac{m_\ell}{m_K}$ eingeht, ist diese
Nherung gerechtfertigt.\\ \\Um die invariante Amplitude fr
LQ-Wechselwirkungen zu erhalten muss in Gl.(4.25) $G_FV_{su}$
durch $\frac{\lambda_{LQ}\lambda_{LQ}^*}{2\sqrt{2}m_{LQ}^2}$
ersetzt werden. Fr den ersten Term aus (4.25) tragen beide
$\lambda$s den Index L, beim $f_S$ und $f_T$ -Summanden ist die
Hndigkeit unterschiedlich. Folglich kann man (mit Gl. 4.31)
fordern:
\beq\frac{|\lambda_L^{i2}\lambda_R^{m1}{}^*|}{m_{LQ}^2}\left(\frac{4G_FV_{su}}{\sqrt{2}}\right)^{-1}\frac{m^2_K-m^2_\pi}
{2(m_s-m_u)m_K}\leq\left[\frac{f_S}{f_+(0)}\right]_{exp} \; .\eeq
Daraus ergibt sich: \beq |\lambda_L^{i2}\lambda_R^{m1}{}^*|\leq
3,8\times 10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq In
\cite{form} wurde diese Rechnung ebenfalls durchgefhrt. Die
Ergebnisse unterscheiden sich um einen Faktor 2, da in \cite{form}
der 4-Fermionen-Vertex der LQ-Wechselwirkung einen Faktor
$\frac{1}{2}$ im Vergleich zu Gl. (2.4) aufweist (dort wurden
skalare LQs betrachtet).
\\ \\ \\\textbf{Nun der tensorielle Term}: Dieser Term wurde in \cite{form} ausfhrlich
behandelt. Hier werden die Ergebnisse kurz zusammengefasst.
$c_-(q^2)$ (siehe Gl. 4.22) ist im Modell der Mesonendominanz
(siehe Abb. 4.2): \beq
c_-=\frac{f_+}{f_0}\frac{m_s-m_u}{m_{K^*}}-\frac{f_-}{f_0}\frac{m_s^2-m_u^2}{p\cdot
q}\; .\eeq Es wurde dabei der Beitrag angeregter K-Zustnde ($K^*$
und $K_0^*$) zu $K^+\rightarrow \pi^0\ell^+\nu_\ell$ betrachtet.
\begin{figure}[t]
\begin{center}
\begin{fmffile}{tau782}
\begin{fmfgraph*}(250,100)
\fmfpen{thin}\fmfleft{i1}\fmfright{o1,o2}\fmf{vanilla}{i1,v1}\fmf{vanilla}{v1,o1}
\fmf{vanilla,label=$
K^*$}{v1,v2}\fmf{photon}{v2,o2}\fmflabel{$\pi$}{o1}\fmflabel{j}{o2}\fmflabel{K}{i1}\fmfdot{v1}\fmfdot{v2}
\end{fmfgraph*}\hspace{30pt}
\end{fmffile}\end{center}\caption[Semileptonischer K-Zerfall im Modell der Mesonendominanz]
{\textit{Beitrag angeregter K-Zustnde zum hadronischen
Matrixelement des Stromes j (faktorisiert aus dem leptonischen
Teil des Zerfalls $K^+\rightarrow\pi^0\ell^+\nu_\ell$). Das Symbol
$K^*$ steht fr $K^*,\, K_0^*(0^+)$.}}\label{tau}\end{figure} Man
erhlt dabei fr das hadronische Matrixelement: \beq \langle
\pi^0(p_\pi)|\bar{s}\sigma_{\mu\nu}u|K^+(p_K)\rangle
=\frac{-i}{\sqrt{2}}\frac{f_+(q^2)}{m_{K^*}}(p_\mu q_\nu -p_\nu
q_\mu)\approx\frac{-i}{\sqrt{2}}\frac{f_+(0)}{m_{K^*}}(p_\mu q_\nu
-p_\nu q_\mu)\; ,\eeq wobei im letzten Schritt die Abhngigkeit
von $f_+$ von $q^2$ vernachlssigt wurde. Aus den Gln. (4.26) und
(4.36) erhlt man damit analog zur Berechnung der Schranke beim
skalaren Formfaktor (Gl. 4.33):
\beq\frac{|\lambda_L^{i2}\lambda_R^{m1}{}^*|}{m_{LQ}^2}\left(\frac{4G_FV_{su}}{\sqrt{2}}\right)^{-1}
\frac{m_{K}}{4m_K^*}\leq \left[\frac{f_T}{f_+(0)}\right]_{exp}\;
.\eeq Mit \cite{pdg}
\beq\frac{f_T}{f_+(0)}\left(K^+_{e3}\right)=0,31\pm 0,25\;
,\qquad\frac{f_T}{f_+(0)}\left(K^+_{\mu 3}\right)=0,02\pm 0,12\;
,\eeq folgt daraus:\beq |\lambda_L^{12}\lambda_R^{11}{}^*|\leq
0,29\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; ,\qquad
|\lambda_L^{22}\lambda_R^{21}{}^*|\leq
0,074\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq Diese Schranken
sind schwcher als die Schranke aus Gl. (4.34). Sie werden daher
im Weiteren nicht mehr betrachtet. Sie stimmen, bis auf den
erwhnten Faktor zwei, mit den in \cite{form} berechneten
Schranken berein. Die aus den skalaren Beitrgen zu
semileptonischen K-Zerfllen berechenbaren Schranken an
$\not{R_P}$-Beitrge zur supersymmetrischen Lagrangefunktion sind
mit der Schranke aus Gl. (4.34) identisch: \beq|\lambda
'_{k12}\lambda_{ikj}^*|\leq 3,8\times
10^{-3}\left(\frac{m_{\tilde{l}_k}}{100GeV}\right)^2\; \eeq Diese
Schranke ist allerdings vergleichsweise schwach und aus anderen
Prozessen besser berechenbar (siehe \cite{alla} und \cite{thor} ).
\section {Zerflle neutraler Kaonen} Wenn man die CP-Verletzung im neutralen $K$-System vernachlssigt,
dann sind die neutralen $CP$-Eigenzustnde im Kaonensystem $K^0_L$
und $K^0_S$ ($K^0=\bar{s}d$): \beq
|K^0_S\rangle=\sqrt{\frac{1}{2}}\left(|K^0\rangle
+|\bar{K}^0\rangle\right)\; ,\qquad
|K^0_L\rangle=\sqrt{\frac{1}{2}}\left(|K^0\rangle
-|\bar{K}^0\rangle\right)\; .\eeq Im SM sind Zerflle der Art
$K_{L}\rightarrow\mu\overline{\mu}, e\overline{e},
\mu\overline{e}$ ber FCNC (und Verletzung von $L$) in niedrigster
Ordnung verboten (Letzterer ist in allen Ordnungen verboten),
wohingegen LQs diese Art von Zerfllen erlauben. Die
experimentellen Schranken an diese Zerflle sind \cite{pdg}: \bea
&&BR(K_L \rightarrow e^{\pm}\mu^{\mp})<4,7\cdot 10^{-12}\;
,\;\;BR(K_L \rightarrow e\overline{e})<9^{+6}_{-4}\cdot 10^{-12}\;
, {}\nonumber\\&&{} BR(K_L \rightarrow \mu\overline{\mu})<(7,25\pm
0,16)\cdot 10^{-9}\; .\eea  Mit $\tau_K
  =5,17\cdot 10^{-8}s$ \cite{pdg} gilt fr den Zerfall $\Gamma(K_L
\rightarrow e^{\pm} \mu^{\mp})$ (mit Gl. \ref{dec}, unter
ausschlielicher Bercksichtigung der $(V\pm A)$-Beitrge):
  \beq \Gamma(K_L \rightarrow e^{\pm} \mu^{\mp})_A=\frac{(m_K^2 -
m_{\mu}^2)^2}{64 \pi m_K^3}
\frac{|\lambda_L^{i2}\lambda_L^{*m1}|^2}{m_{LQ}^4} f_K^2 m_{\mu}^2
< 5,98 \times 10^{-26} {\rm ~MeV}\; . \label{nkao}
  \eeq
  Dabei ist: $i=(1;2)$ und $m=(2;1)$.
  Die pseudoskalaren Beitrge (unter Annahme einer mglichen, diese Beitrge verbietenden, Symmetrie)
  sowie die Elektronenmasse wurden
  vernachlssigt.
  Genauso lassen sich die Zerflle in zwei Elektronen bzw. zwei
  Myonen mit Gl. (\ref{dec}) berechnen:
  \beq
\Gamma(K_L \rightarrow e\overline{e})_A=\frac{1}{32 \pi}
\frac{|\lambda_L^{12}\lambda_L^{*11}|^2}{m_{LQ}^4} f_K^2
m_{e}^2m_{K}<1,15\times 10^{-25}MeV\; .\eeq
  Aus diesen berlegungen erhlt man folgende Bedingungen an die
  Kopplungskonstantenprodukte:
  \beq
 K_L \rightarrow \mu^{\pm}e^{\mp}:\qquad|\lambda_{L}^{i2}\lambda_{L}^{*m1}|<9,7\times10^{-8}
 \left(  \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2\; ,
  \eeq   \beq
 K_L \rightarrow e\overline{e}:\qquad|\lambda_{L}^{12}\lambda_{L}^{*11}|<1,9\times10^{-5}
 \left(  \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2
  \; ,\eeq und \beq
 K_L \rightarrow \mu\overline{\mu}:\qquad|\lambda_{L}^{22}\lambda_{L}^{*21}|<2,7\times10^{-6}
 \left(  \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2 \; .\eeq Im Vergleich zu \cite{lepto} haben sich die
Schranken leicht verbessert. \\ \\Die entsprechenden Schranken an
Produkte supersymmetrischer Kopplungskonstanten erhlt man durch
Multiplikation der LQ-Schranken (Gln. 4.44-6) mit zwei, das
Austauschteilchen ist ein u-Squark:
  \beq
 K_L \rightarrow \mu^{\pm}e^{\mp}:\qquad|\lambda '_{1k(1/2)}\lambda '{}_{2k(2/1)}^*|<1,9\times10^{-7}
 \left(  \frac{m_{SUSY}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2\; ,
  \eeq   \beq
 K_L \rightarrow e\overline{e}:\qquad|\lambda '_{2k1}\lambda '{}_{1k1}^*|<3,7\times10^{-5}
 \left(  \frac{m_{SUSY}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2
  \; ,\eeq und \beq
 K_L \rightarrow \mu\overline{\mu}:\qquad|\lambda '_{2k2}\lambda '{}_{1k2}^*|<5,4\times10^{-6}
 \left(  \frac{m_{SUSY}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2 \; .\eeq
Die Schranke (4.47) ist mit der in \cite{thor} berechneten Schranke vergleichbar.\\
\\\textbf{Nun wird der pseudoskalare Term P betrachtet}: Die
Berechnungen sind analog zu denen im vorangegangenen Abschnitt und
man erhlt: \beq \Gamma(K_L \rightarrow e^{\pm} \mu^{\mp})_P=
\frac{|\lambda_L^{i2}\lambda_R^{*m1}|^2}{m_{LQ}^4} \frac{(m_K^2 -
m_{\mu}^2)^2f_K^2 m_{K}}{64 \pi(m_s+m_d)^2} < 5,98 \times 10^{-26}
{\rm ~MeV} \; ,\label{nkao1}
  \eeq und \beq \Gamma(K_L \rightarrow e\bar{e})_P= \frac{|\lambda_L^{12}\lambda_R^{*11}|^2}{m_{LQ}^4}\frac{
m_K^5f_K^2}{64 \pi(m_s+m_d)^2} <1,15 \times 10^{-25} {\rm ~MeV}
\label{nkao2}
  \; .\eeq Daraus erhlt man wiederum Schranken an die
  Kopplungskonstantenprodukte:
\beq
 K_L \rightarrow \mu^{\pm}e^{\mp}:\qquad|\lambda_{L}^{i2}\lambda_{R}^{*m1}|\; ,\;
 |\lambda '_{k12}\lambda_{k12/k21}^*|<6,9\times10^{-9} \left(  \frac{m_{LQ/\tilde{\nu}_k}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2\; ,
  \eeq   \beq
 K_L \rightarrow e\overline{e}:\qquad|\lambda_{L}^{12}\lambda_{R}^{*11}|\; ,\;
 |\lambda '_{k12}\lambda_{k11}^*|<9,1\times10^{-9} \left(  \frac{m_{LQ/\tilde{\nu}_k}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2
  \; ,\eeq und \beq
 K_L \rightarrow \mu\overline{\mu}:\qquad|\lambda_{L}^{22}\lambda_{R}^{*21}|\; ,\;
 |\lambda '_{k12}\lambda_{k22}^*|<2,8\times10^{-7} \left(  \frac{m_{LQ/\tilde{\nu}_k}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2 \; .\eeq Die LQ-Schranken haben sich deutlich gegenber
\cite{lepto} verbessert (bei Gl. 4.54. um etwa eine
Grssenordnung). Die SUSY-Schranke (4.52) stimmt mit der Schranke
aus \cite{thor} berein.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%5.Kapitel%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Der $D$-Mesonenzerfall}
$D$-Mesonen haben $C=\pm 1$ (C=\textit{charm}): $D^+=c\bar{d}$
($D^+_s=c\bar{s}$) und $D^0=c\bar{u}$ . Die geladenen $D$-Mesonen
haben sowohl (semi-)leptonische Zerfallskanle, als auch rein
hadronische, wobei mit $(59\pm 7)\%$ \cite{pdg} der inklusive
Zerfall in $\bar{K}^0$ bzw. $K^0$ dominiert. Beim $D^0$ dominiert
der inklusive Zerfall in $K^-$ mit $(53\pm 4)\%$ \cite{pdg}.
\section {Zerflle geladener $D$-Mesonen}
\begin{description}
    \item[Vorab:] Da $(V\pm A)$-LQ-Wechselwirkungen (Gl. 2.3) bis auf die unterschiedlichen Konstanten dem
     Standardmodellterm (Gl. 2.5) entsprechen, knnen unter der Annahme, dass die brigen
LQ-Wechselwirkungen durch eine Symmetrie verboten sind, einfach
Schranken an die zugehrigen Kopplungskonstantenprodukte gewonnen
werden: \\Aus dem Streuprozess $\nu_\mu +d\rightarrow \mu +c$ kann
$V_{cd}$ bestimmt werden, aus $D^0\rightarrow K^-e^+\nu_e$ das
CKM-Matrixelement $V_{cs}$. Unter der einfachen (und
konservativen) Annahme, dass die LQ-Beitrge geringer sind, als
die SM-Beitrge, kann man daher fr c, d, $\mu$ und $\nu_{\mu}$
-Vertizes fordern: \beq |\lambda_L^{21}\lambda_L^{22}{}^*| <
\frac{4 G_F}{\sqrt{2}} |V_{cd}| m_{LQ}^2= 7,4\times 10^{-2}
 \left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\eeq und fr c, s, e, $\nu_e$
 -Vertizes:
 \beq |\lambda_L^{22}\lambda_L^{22}{}^*| < \frac{4 G_F}{\sqrt{2}}
 |V_{cs}|m_{LQ}^2=3,3\times 10^{-1}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2
\; .\eeq Diese Schranken wurden ebenfalls in \cite{lepto}
berechnet, die Ergebnisse stimmen, abgesehen von einer
Verbesserung der Werte der CKM-Matrixelemente (dies fhrt zu
keiner starken Abweichung), berein und knnen fr beliebige
Leptonenindizes verallgemeinert werden.\end{description} Beim
$D$-Meson ist, wie bei $\pi^{+}\rightarrow e^{+}\nu$, der Zerfall
$D^{+}\rightarrow \mu^{+}\nu$ durch die Drehimpulserhaltung
unterdrckt \cite{pdg}: \beq BR(D^{+}\rightarrow
\mu^{+}\nu)=(8^{+17}_{-5})\times 10^{-4}\; .\eeq Mit $\Gamma_M$
(Gl. \ref{dec}) sind die LQ-Beitrge (unter Verwendung der
Interferenzterme I zwischen SM und A($V\pm A$)- bzw. P($S\pm
P$)-LQ-Wechselwirkung und unter der Annahme, dass $V_{cd} $ reell
ist): \beq \Gamma (D^+\rightarrow \mu^+
\nu_\mu)_{A_I}=\Gamma_{SM}+m_\mu^2
(m_D^2-m_\mu^2)^2|\tilde{A}|^2G_FV_{cd}\frac{\sqrt{2}}{4\pi
m_D^3}\frac{\Re(\lambda_L\lambda_L^*)}{m_{LQ}^2}\; ,\eeq und\beq
\Gamma (D^+\rightarrow \mu^+ \nu_\mu)_{P_I}=\Gamma_{SM}+m_\mu
(m_D^2-m_\mu^2)^2\tilde{P}\tilde{A}^*G_FV_{cd}\frac{\sqrt{2}}{4\pi
m_D^3}\frac{\Re(\lambda_L\lambda_R^*)}{m_{LQ}^2}\; .\eeq Der
Interferenzterm (5.4) ist, wie der SM-Term, durch die Forderung der Drehimpulserhaltung unterdrckt.\\
\\
Fr $BR_{SM}$ gilt (ohne Korrekturen hherer Ordnung,
Berechnungsgrundlage ist der reine SM-Term aus Gl. \ref{dec}) in
guter bereinstimmung mit experimentellen Daten \cite{pdg}: \beq
BR_{SM}=8^{+14}_{-10}\times 10^{-4}\qquad
(BR_{exp}=8^{+17}_{-5}\times 10^{-4})\;\; .\eeq Die Lebensdauer
des $D$-Mesons kann Tabelle 2 des Anhangs entnommen werden. Der
Fehler des SM-Term wurde mit dem Gauschen
Fehlerfortpflanzungsgesetz aus der Unsicherheit in $f_{D^+}$
(siehe Tabelle 2 des Anhangs) berechnet:
$\Delta_{SM}=BR_{SM}\frac{2\Delta f_{D^+}}{f_{D^+}}$. Eine obere
Schranke fr die Gre des zweiten (LQ)-Summanden in den Gln.
(5.4) bzw. (5.5) ist daher:
\beq\Delta_{D^+}(max)=\frac{BR_{exp}}{\tau_{D^+}}-\frac{BR_{SM}}{\tau_{D^+}}+\frac{1}
{\tau_{D^+}}\sqrt{(\Delta_{SM}(max))^2+
(\Delta_{exp}(max))^2}=1,4\times 10^{-12}MeV\; .\eeq  Es wurden
jeweils die maximalen Abweichungen $\Delta_{SM}(max)$
($\Delta_{exp}(max)$) aus (5.6) eingesetzt, um eine mglichst
konservative Abschtzung zu erhalten. Fr die LQ-Kopplungen
impliziert dies:
\beq\Re(\lambda_L^{21}\lambda_L^{22}{}^*)<1,0\times
10^{-1}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; ,\eeq und
\beq\Re(\lambda_L^{21}\lambda_R^{22}{}^*)<4,3\times
10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq Die Schranke
(5.9) kann auch aus der reinen LQ-Kopplung (der auf Gl. 2.29
basierende Teil von Gl. \ref{dec}) statt dem zweiten Summanden in
(5.5) abgeleitet werden:
\beq|\lambda_L^{21}\lambda_R^{22}{}^*|<\frac{8\sqrt{\pi}(m_c+m_d)}{f_D\sqrt{m_D}(m_D^2-m_\mu^2)}\sqrt{\Delta_{D^+}(max)
}m_{LQ}^2=5,2\times 10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\;
.\eeq Dieser Wert weicht nur geringfgig von dem aus Gl. (5.9) ab,
da der reine ($P\pm S$)-LQ-Term keine Unterdrckung durch die
Forderung der Drehimpulserhaltung aufweist. Auf eine kombinierte
Bestimmung des Kopplungskonstantenproduktes aus dem reinen LQ-Term
und dem Interferenzterm wird hier verzichtet. Gegenber
\cite{lepto} liegen smtliche Schranken geringfgig niedriger. Es
wurde hier jedoch eine wesentlich konservativere Fehlerabschtzung
vorgenommen (in \cite{lepto} wurde die damalige obere Schranke an
die Zerfallsrate fr $D^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu$ statt des hier verwendeten $\Delta_{D^+}(max)$ eingesetzt).\\
\\Fr die Schranken an $\Re(\lambda '_{22k}\lambda '{}_{21k}^*)$ und
$|\lambda '_{k21}\lambda_{2k2}^*|$ verweise ich auf Tabelle 6 und
7 des Anhangs, die Schranke an Letzteres ist identisch mit der
zugehrigen LQ-Schranke (Gl. 5.10 bzw. 5.9). \\ \\Fr das
$D_s^+$-Meson lassen sich auf verschiedene Weisen Schranken
ableiten: \begin{description}
    \item[Analog zum Pionenzerfall, Kapitel 3.2.1 :] Da beim $D_s^+$-Meson experimentelle
    Werte fr $BR(D_s^+\rightarrow \mu\nu_\mu)$ und $BR(D_s^+\rightarrow
    \tau\nu_\tau)$ existieren ($BR(D_s^+\rightarrow \mu\nu_\mu)=(5,1\pm 1,9)\times 10^{-3}$ und $BR(D_s^+\rightarrow
    \tau\nu_\tau)=(6,4\pm 1,5)\% $, siehe \cite{pdg}), kann man
    auch analog zu Kapitel 3.2.1 vorgehen. Der aus Gl.
    (3.3) ableitbare SM-$R$-Wert ohne Korrekturen hherer Ordnung weicht um
    fast $30\%$ vom experimentellen R-Wert \cite{pdg}
    ab:\beq R_{th}=1,0\times 10^{-1}\quad \textrm{und}\quad R_{exp}=(8,0\pm 3,5)\times 10^{-2}\quad\; .\eeq
Die Standardabweichung von $R_{th}$ ist gegenber der von
$R_{exp}$ vernachlssigbar. Analog
    zu den Gln. (3.10-11) und (3.14-15) erhlt man fr die Schranken an die Kopplungskonstantenprodukte:
    \bea \lefteqn{}\Re(\lambda_{L}^{22}\lambda^*{}_{R}^{22})<8,3\times
    10^{-4}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2 ,
    \quad \Re(\lambda_{L}^{32}\lambda^*{}_{R}^{32})<6,6\times 10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2 ,\eea
 und \beq|\lambda_{L}^{22}|<0,14\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)\; ,\;\;
 |\lambda_{L}^{32}|<0,30\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)\; .\eeq
 Die zweite Schranke aus Gln. (5.12) ist aufgrund der hohen
 $\tau$-Masse, die linear eingeht, schwcher als die erste Schranke.
\item[Analog zu den $D^+$-Berechnungen:] Unter Verwendung der
entsprechenden Werte fr das $D_s^+$-Meson knnen analog zu den
Gl. (5.8) und (5.9) Schranken an die entsprechenden
LQ-Kopplungskonstantenprodukte bestimmt werden. $BR_{SM}$ (ohne
Korrekturen hherer Ordnung) weicht allerdings um mehr als
$1\sigma_{exp}$ von $BR_{exp}$ \cite{pdg} ab: \beq
BR_{SM}=7,1\times 10^{-3}\;\;\textrm{und}\;\; BR_{exp}=(5,1\pm
1,9)\times 10^{-3}\; .\eeq Es wird daher mit der
$2\sigma_{exp}$-Fehlergrenze gearbeitet, d.h.:
\beq\Delta_{D^+_s}(max)=\frac{1}{\tau_{D_s^+}}(BR_{exp}-BR_{th}+2\sigma_{exp})=2,4\times
10^{-12}MeV\; .\eeq Fr die Kopplungskonstantenprodukte erhlt
man: \beq\Re(\lambda_L^{22}\lambda_L^{22}{}^*)<4,2\times
10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; ,\qquad
 \Re(\lambda_L^{22}\lambda_R^{22}{}^*)<1,8\times
10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; , \eeq und fr
$D^+_s\rightarrow \tau\nu_\tau$ erhlt man entsprechend:
\beq\Re(\lambda_L^{32}\lambda_L^{32}{}^*)<2,3\times
10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; ,\qquad
 \Re(\lambda_L^{32}\lambda_R^{32}{}^*)<1,7\times
10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; . \eeq Hier wurde
mit der $1\sigma_{exp}$-Standardabweichung gearbeitet, da
$BR_{SM}=6,9\% $ gut innerhalb der Fehlergrenzen des
experimentellen Wertes $BR_{exp}=(6,4\pm 1,5)\% $ \cite{pdg}
liegt.
\end{description}
Die aus diesen beiden Methoden berechneten Werte weichen leicht
voneinander ab: Die Werte aus (5.17) sind besser als die aus
(5.12-13), da dort die 2$\sigma_{exp}$-Fehlergrenze benutzt wurde.
Die Werte aus (5.16) sind schlechter als die entsprechenden Werte
aus (5.12-13). Dies grndet sich in dem Wert fr $R_{min}$ (siehe
Gln. 3.7-8), der in (5.12-13) eingeht: Dieser ist aufgrund der
relativ starken Abweichung von $R_{th}$ und $R_{exp}$ (Gl. 5.11)
sehr hoch. Die Abweichung des theoretischen vom experimentellen
$BR$-Wert, die in (5.17) eingeht, ist vergleichsweise niedrig.\\ \\
Es soll aber noch besonders darauf hingewiesen werden, dass die
Zerfallskonstante $f_{D_s}$, mit ihrer hohen experimentellen
Ungenauigkeit, bei der Berechnung des Verhltnisses $R$ nicht
eingeht, da sie sich aus den Gleichungen herauskrzt. Diese
Schranken erhalten dadurch ein strkeres Gewicht. Die relative
bereinstimmung in den beiden Werten kommt dadurch zustande, dass
die Zerfallskonstante aus den betrachteten leptonischen Zerfllen
berechnet wird (Fehlerfortpflanzung der experimentellen Fehler in
den $BR$-Werten). Ein Fehler im $f_{D_s}$-Wert wird daher durch
den ebenfalls in die Berechnung von (5.16-17) eingehenden
$BR$-Wert (dieser fliet linear in $\Delta_{D_s^+}(max)$ ein), der
einen entsprechenden Fehler aufweist, in etwa kompensiert.
\section{semileptonische $D^+$-Zerflle}Wie beim
Kaonenzerfall (Kapitel 4.1.2, Gln. 4.11 und 4.14) erhlt man,
unter Verwendung der Isospin-Symmetrie, d.h.
 \beq \langle D^+| \bar{u}
\gamma^{\mu}P_L c|\pi^+\rangle ~= ~\langle D^o| \bar{d}
\gamma^{\mu}P_L c|\pi^-\rangle
  \; ,\eeq
ohne Bercksichtigung skalarer und pseudoskalarer Beitrge und
unter Vernachlssigung der Leptonenmassen Schranken an
LQ-Kopplungskonstantenprodukte. Laut \cite{pdg} ist: \bea
\lefteqn{}BR(D^+ \rightarrow \pi^+ \mu \bar{\mu})<1,5\times
10^{-5}\quad ,\quad  BR(D^+ \rightarrow \pi^+ e \bar{e})<5,2\times
10^{-5}\; ,{}\eea und \beq BR(D^0 \rightarrow \pi^- \nu_e
\bar{e})=(3,6\pm 0,6)\times 10^{-3}\; .\eeq Fr das $D$-Meson
lsst sich analog zu Gl. (4.14) Folgendes ableiten:
  \beq
\frac{|\lambda_L^{\ell 2}\lambda_L^{\ell 1}{}^*|}{m_{LQ}^2}
\frac{\sqrt{2}}{4 G_F |V_{cd}|} =
\sqrt{\frac{\tau_{D^0}}{\tau_{D^+}}\frac{BR(D^+ \rightarrow \pi^+
\ell \bar{\ell})} {BR(D^0 \rightarrow \pi^- \nu \bar{e})}}\; ,
\eeq also:\beq
 |\lambda_L^{22}\lambda_L^{21}{}^*|< 3,0 \times 10^{-3} \left(
\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2\quad \textrm{und}\quad
|\lambda_L^{12}\lambda_L^{11}{}^*|< 5,6 \times 10^{-3} \left(
\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2\; .\eeq Diese Schranken
sind um etwa eine Grenordnung niedriger als die in \cite{lepto}
berechneten Schranken.\\ \\ Beitrge von ber das SM
hinausgehenden Wechselwirkungen zu Zerfllen der Art
$D^\pm\rightarrow K\pi\ell^\pm \nu$ wurden in \cite{Dz}
betrachtet.
\section {Zerflle neutraler $D$-Mesonen}
Wie im Fall der neutralen Kaonen knnen LQs auch beim
$D^{0}$-Meson Zerflle ber FCNC, die in niedrigster Ordnung im SM
verboten sind, verursachen. In den Formeln aus Kapitel 4.2 mssen
nur die notwendigen Vernderung fr das $D$-Meson vorgenommen
werden und fr die Kopplungskonstanten folgt (analog zu den Gln.
4.47-49): \beq
 |\lambda_L^{i2} \lambda_L^{*m1}| < 1,2 \times 10^{-2} \left(
\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2  \qquad(\textrm{fr}\;\;
D^0 \rightarrow \mu \bar{e})\; ,
  \eeq\beq
 |\lambda_L^{22} \lambda_L^{*21}| < 6,3\times 10^{-3} \left(\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2 \qquad(\textrm{fr}\;\; D^0 \rightarrow \mu \bar{\mu})
  \; ,\eeq
  \beq
 |\lambda_L^{12} \lambda_L^{*11}| < 1,6  \qquad\quad\left(\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2 \qquad(\textrm{fr}\;\; D^0 \rightarrow e \bar{e})
  \; .\eeq
Die letzten beiden Schranken sind schwcher als in Gl. (5.22). Aus
den pseudoskalaren Beitrgen ergibt sich (analog zu Gl. 4.52-54):
\beq
 |\lambda_L^{i2}\lambda_R^{*m1}| < 5,3 \times 10^{-4} \left(
\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2  \qquad(\textrm{fr}\;\;
D^0 \rightarrow \mu \bar{e})\; ,
  \eeq\beq
 |\lambda_L^{22} \lambda_R^{*21}| < 3,8\times 10^{-4} \left(\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2 \qquad(\textrm{fr}\;\; D^0 \rightarrow \mu \bar{\mu})
  \; ,\eeq
  \beq
  |\lambda_L^{12} \lambda_R ^{*11}|< 4,6 \times 10^{-4} \left(  \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2  \qquad(\textrm{fr}\;\; D^0 \rightarrow e \bar{e})
  \; .\eeq
Diese Schranken wurden auch in \cite{lepto} berechnet, die dort
berechneten Schranken sind durchschnittlich um etwa eine
Grenordnung schwcher als die hier aus aktuelleren
experimentellen Daten berechneten Werte.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%6.Kapitel%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Der $B$-Mesonenzerfall}
Die $B$-Mesonen ($B^+=u\bar{b}$, $B^0=d\bar{b}$, $B^0_s=s\bar{b}$,
$B^+_c=c\bar{b}$) haben $B=\pm 1$. Die $b$-Physik ist ein
Schwerpunkt theoretischen Interesses, da hier durch
Przisionsmessungen ein Einblick in Niedrigenergie-Prozesse
gewhrt werden kann, der indirekte Effekte (LQ-Wechselwirkung) in
hheren Energieskalen offenbart. Zudem kann hier das SM der
Teilchenphysik auf seine Vorhersagekraft hin berprft werden
\cite{babar}\footnote{In \cite{babar} findet sich eine
ausfhrliche Beschreibung des theoretischen Hintergrundes der
$B$-Physik.}.
\section{Zerflle geladener $B$-Mesonen}
\subsection{Leptonische $B^+$-Zerflle}
Fr die Zerflle $B^+\rightarrow e^+\nu_e$, $B^+\rightarrow
\mu^+\nu_\mu$ und $B^+\rightarrow \tau^+\nu_\tau$ existieren in
der Literatur \cite{pdg} nur obere Schranken: \beq
BR(B^+\rightarrow e^+\nu_e)<1,5\times 10^{-5} ,\;BR(B^+\rightarrow
\mu^+\nu_\mu)<2,1\times 10^{-5} , \; BR(B^+\rightarrow
\tau^+\nu_\tau)<5,7\times 10^{-4}. \eeq Aus dem reinen SM-Term von
Gl. (\ref{dec}) knnen theoretische Werte fr $\Gamma_{SM}$ ohne
Korrekturen hherer Ordnung berechnet werden. Diese weichen -
abgesehen vom Zerfall $B^+\rightarrow e^+\nu_e$ - um mehrere
Grenordnungen von der aus (6.1) und $\tau_{B^+}$ (Tab. 2 des
Anhangs) berechenbaren oberen Grenze $\Gamma_{exp}$ nach oben ab.
Dies zeigt die Unzulnglichkeit dieser Berechnungen bei Verwendung
im $B$-System. Die auf der Grundlage von (\ref{dec}) berechneten
Werte knnen daher nur als grobe Abschtzung dienen. Eine weitere
Schwierigkeit ergibt sich aus den nur schlecht bekannten Gren
$f_B$ und $|V_{ub}|$. Zu $f_B$ verweise ich auf \cite{bernie}, im
Folgenden wird die auf mehreren Experimenten beruhende Abschtzung
$f_B=200(30)MeV$ (siehe
\cite{bernie}) benutzt.\\ \\
Zunchst werden die LQ-Kopplungskonstantenprodukte unter
Verwendung der reinen LQ-Terme Gln. (2.28) und (2.29) abgeschtzt
(dabei knnen Gl. 3.20 und 3.21 mit den entsprechenden nderungen
fr das $B$-Meson verwendet werden). Der SM-Term und smtliche
Interferenzterme werden vernachlssigt. Man erhlt: \beq
 \textrm{Fr}\; B^+\rightarrow e^+\nu_e \; :\; |\lambda_L^{13} \lambda_R^{*11}| < 1,2\times 10^{-4}
 \left(\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}
\right)^2  ,\quad |\lambda_L ^{13}\lambda_L^{*11}| < 1,5
\left(\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}} \right)^2 ,\;\;\;\;\;\;\; \eeq
\beq \textrm{Fr}\; B^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu \; :\;
|\lambda_L^{23} \lambda_R^{*21}| < 1,4\times 10^{-4}
\left(\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}} \right)^2 ,\quad
|\lambda_L^{23} \lambda_L^{*21}| < 8,4\times 10^{-3}
\left(\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}} \right)^2 , \eeq \beq
\textrm{Fr}\; B^+\rightarrow \tau^+\nu_\tau \; :\;
|\lambda_L^{33} \lambda_R^{*31}| < 8,4\times 10^{-4}
\left(\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}} \right)^2 ,\quad
|\lambda_L^{33} \lambda_L^{*31}| < 2,9\times 10^{-3}
\left(\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}} \right)^2. \eeq Es sei hier
noch einmal darauf hingewiesen, dass diese Resultate aufgrund der
erwhnten Unsicherheit in den experimentellen Daten nur grobe
Abschtzungen darstellen. Sie gelten direkt entsprechend auch fr
beliebigen Neutrino-\textit{flavour}. Die
$\lambda_L\lambda_R$-Schranken sind direkt identisch mit den
entsprechenden SUSY-Schranken und die Ergebnisse aus \cite{thor}
stimmen mit denen aus den Gln. (6.2-4) in etwa berein.
\begin{description}
    \item[Anmerkung: ]Um die Unsicherheit in $f_B$ zu umgehen und die theoretische SM-Vorhersage miteinzubeziehen
   kann auch mit der theoretischen
Vorhersage \cite{cleo} \beq BR(B^+\rightarrow
\tau^+\nu_\tau)=(4,08\pm 0,24)\times
10^{-4}\left|\frac{V_{ub}}{V_{td}}\right|^2\; ,\eeq gearbeitet
werden (siehe \cite{thor} fr Schranken an
SUSY-Kopplungskonstantenprodukte). In der
Wolfenstein-Parameterisierung \cite{wolfen} \beq
\frac{V_{ub}}{V_{td}}=\frac{\bar{\rho}-i\bar{\eta}}{1-\frac{\lambda^2}{2}-\bar{\rho}-i\bar{\eta}}\;
,\eeq knnen die miteinander korrelierten Unsicherheiten in
$V_{ub}$ und $V_{td}$ bercksichtigt werden\footnote{Laut
\cite{neuber} ist $\bar{\rho}=0,21\pm 0,12$, $\bar{\eta}=0,38\pm
0,11$ und $\lambda = 0,222\pm 0,004$.}. Die daraus berechenbaren
Werte fr $|\lambda'{}_{313}^*\lambda_{233}|$ und $|\Re [
\lambda'{}_{213}^*\lambda_{323}]|$ sind mit der Schranke aus Gl.
(6.4) vergleichbar.
\end{description}
\subsection{Semileptonische $B^+$-Zerflle}
Den berlegungen aus \cite{lepto} folgend werden hier
\textit{Flavour}-ndernden Zerflle der Art $B^+\rightarrow
\ell_1\bar{\ell}_2X$ (X symbolisiert ein oder mehrere Hadronen)
betrachtet. \begin{description}
    \item[Vorab:]
Analog zu der Abschtzung beim $D^+$, Anfang Kapitel 5.1 , kann
auch hier verfahren werden. Fr $X=D^0$ ist
\beq|\lambda_L^{\ell_13}\lambda_L^{*\ell_22}|<\frac{4G_F}{\sqrt{2}}|V_{cb}|m_{LQ}^2=1,4\times
10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; ,\eeq und fr
$X=\pi^0$ erhlt man:
\beq|\lambda_L^{\ell_13}\lambda_L^{*\ell_21}|<\frac{4G_F}{\sqrt{2}}|V_{ub}|m_{LQ}^2=1,2\times
10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq  Diese
Resultate verbessern die Ergebnisse aus \cite{lepto} leicht. Dass
die LQ-Kopplungen bei $b$-Zerfllen kleiner als die SM-Kopplungen
sind, ist allerdings nicht mehr als eine unbegrndete -wenn auch
plausibel erscheinende- Annahme.
\end{description} Das $B^+$ zerfllt mit \cite {pdg} $(10,2\pm
0,9)\%$ in ein Lepton $\ell^+$, ein Neutrino $\nu_\ell$ und X. Wie
in Kapitel 4.1.2 fr das Kaon soll nun auch hier zunchst aus
relativ einfachen berlegungen zur Struktur der Zerfallsraten eine
Abschtzung an das Produkt $|\lambda_L\lambda_L^*|$ gewonnen
werden. Zunchst lsst sich unter Vernachlssigung der
kinematischen Unterschiede (unter Vernachlssigung der
Leptonenmassen) zwischen den Zerfllen
$B^+\rightarrow\ell\bar{\ell}X$ und $B^+\rightarrow\nu\bar{\ell}X$
($\ell = e,\; \mu$) analog zu den Gln. (4.12-14), fordern
($V_{jn}=\; V_{cb}\; \textrm{oder}\; V_{ub}$): \beq
 \frac{|\lambda_L^{i3}\lambda_L^{*mn}|^2}{m_{LQ}^4} \simeq  8 G_F^2 |V_{jn}|^2 \frac{BR(B^+
\rightarrow \ell \bar{\ell} X)}{BR(B^+ \rightarrow \nu \bar{\ell}
X)} \; ,\label{BB2}
  \eeq und fr $BR(B^+\rightarrow \pi^0e^+\nu_e)=(9,0\pm 2,8)\times 10^{-5}$ und
$BR(B^+\rightarrow \pi^+e^+e^-)<3,9\times 10^{-3}$ erhlt man:
\beq |\lambda_L^{13}\lambda_L^{*11}|<7,8\times
10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq Dieses
Resultat stimmt mit dem in \cite{lepto} berechneten Wert aufgerundet berein. \\
\\Desweiteren kann der Zerfall $B^+\rightarrow \tau^\pm e^\mp X$ betrachtet
werden, wobei das $\tau$ sehr schnell weiter zerfllt,
$\tau\rightarrow \nu +\textrm{Hadronen}$ oder $\tau\rightarrow
e\nu \bar{\nu}$, und zu $B^+\rightarrow \nu \bar{e}X$ oder
$B^+\rightarrow e\bar{e}\nu\bar{\nu}X$ im Endzustand fhrt. Die
Phasenraumunterdrckung $PS(x)$ (Ursache hierfr ist die
$\tau$-Masse) ist gegeben durch \cite{koy}\beq
PS(x)=1-8x+8x^3-x^4-12x^2\ln x=3,2\times 10^{-1}\; , \qquad\quad
x=\frac{m_\tau^2}{m_b^2}\; .\eeq  Daraus erhlt man ($n= u$ oder
$c$ und $(i;m)=(1;3)$ oder $(3;1)$): \beq BR(B^+ \rightarrow
\tau^\pm e^\mp X) \simeq PS(x)
\frac{|\lambda_L^{i3}\lambda_L^{*mn}|^2}{m_{LQ}^4} \frac{BR(B
\rightarrow e \nu X)}{8 G_F^2 |V_{nb}|^2}~~. \eeq Diese Gleichung
stimmt mit den entsprechenden Ersetzungen und unter
Bercksichtigung des PS-Faktors, der die kinematischen
Unterschiede in den beiden Zerfllen darstellt, mit Gl. (6.9)
berein. Daraus folgt mit der Abschtzung (s.o.)\beq BR(B^+
\rightarrow \tau^- e^+ X)<\frac{BR(B^+ \rightarrow e^+ \nu
X)}{BR(\tau^-\rightarrow \nu X')}\; ,\eeq fr $X=\pi$ mit
$BR(\tau\rightarrow\nu_\tau\pi)=(11,06\pm0,11)\%$, siehe
\cite{pdg} folgende Schranke: \beq
\frac{|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*11}|}{m_{LQ}^2} < 2
\sqrt{\frac{2}{PS}} G_F \frac{V_{ub}}{[BR(\tau \rightarrow \nu
X')]^{1/2}}~~.\label{tau} \eeq  Man erhlt:
\beq|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*11}|<6,3\times
10^{-3}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq Dies
verbessert den entsprechenden Wert aus \cite{lepto} um etwa eine
Grenordnung.
\begin{description}
    \item[Anmerkung:]Hier wurde der Grenzbergang
$\rho_q=\frac{m_q^2}{m_b^2}\rightarrow 0$ betrachtet. Auerdem
wurden (wie auch im Folgenden) smtliche nicht-perturbativen
Korrekturen vernachlssigt. Laut \cite{koy} vermindern diese
Korrekturen (bis zur Ordnung $\frac{1}{m_b^2}$) die Zerfallsrate
um 6-10\%, abhngig von der Quarkmasse im Endzustand. Die
Berechnungen basieren auf HQE (\textit{Heavy Quark Expansion}) und
der Operatorproduktentwicklung. In \cite{koy} findet sich eine
ausfhrlichere Behandlung zu inklusiven Zerfllen der Art
$H_b\rightarrow \tau\bar{\nu}X$ .
\end{description}
Nimmt man an, dass das $\tau$ in $ e\nu\bar{\nu}$ zerfllt, so
kann der Zerfall $B^+\rightarrow\tau\bar{e}X$ einen Beitrag bei
der experimentellen Suche nach $B^+\rightarrow e \bar{e}\pi^+$
liefern ($BR(B^+\rightarrow e\bar{e}\pi^+)<3,9\times 10^{-3}$
\cite{pdg}). Mithilfe von \beq PS\cdot BR(B \rightarrow \tau
\bar{e} X)\cdot BR(\tau \rightarrow e
\nu\bar{\nu})<BR(B^+\rightarrow e\bar{e}X)_{exp}\; ,\eeq und Gl.
(6.9) erhlt man: \beq
\frac{|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*11}|}{m_{LQ}^2} < \frac{4
G_FV_{ub}}{\sqrt{2}}
 \sqrt{\frac{BR(B \rightarrow e \bar{e} \pi^+)}
{BR(B \rightarrow e \nu \pi^0)BR(\tau \rightarrow e \nu
\bar{\nu})PS(x)}}\; . \eeq Mit $BR(B \rightarrow e \nu
\pi^0)=(9,0\pm 2,8)10^{-5}$ und $BR(\tau \rightarrow e\nu
\bar{\nu})=(17,84\pm0,06)\%$ (siehe \cite{pdg} ) ergibt sich
daraus:\beq|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*11}|<3,2\times
10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq Dieses
Ergebnis ist nur geringfgig besser als in \cite{lepto}, die
Berechnungsgrundlagen sind jedoch unterschiedlich: In \cite{lepto}
wurde der PS-Faktor nicht bercksichtigt. Das Ergebnis ist
allerdings um etwa eine Grenordnung schlechter als (6.15). Das
Elektron kann auch durch ein Myon ersetzt werden, um weitere Werte
zu erhalten.
\\ \\Abschlieend zu diesen berlegungen wird nun noch der Zerfall
$B^+\rightarrow \tau\bar{\tau} X$ betrachtet. Nimmt man an, dass
beide $\tau$'s in $e$'s zerfallen, so erhlt man analog zu den
vorherigen Berechnungen (siehe Gl. 6.17):\beq
\frac{|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*31}|}{m_{LQ}^2} < \frac{4
G_F}{\sqrt{2}} \frac{V_{ub}}{BR(\tau \rightarrow e \nu \bar{\nu})}
\sqrt{\frac{BR(B \rightarrow e \bar{e} X)} {BR(B \rightarrow e \nu
X)~PS(x)}} \; .\eeq  Der Phasenraumunterdrckungsfaktor PS kann
mithilfe von \cite{koy} berechntet werden. Dabei wird
$\rho_q=\rho_\tau=m_\tau^2/m_b^2$ gesetzt und man erhlt: \beq
PS(\rho_\tau)=\sqrt{1-4\rho_\tau}[1-14\rho_\tau-2\rho_\tau^2-12\rho_\tau^3]+24\rho_\tau^2(1-\rho_\tau^2)
ln\frac{1+\sqrt{1-4\rho_\tau}}{1-\sqrt{1-4\rho_\tau}}=0,030\;
.\eeq In \cite{lepto} wurde mit \beq
PS=\left[1-4\frac{m_\tau^2}{m_b^2}\right]^{2,48}=0,089\eeq
gerechnet. Mit \cite{pdg} $BR(\tau \rightarrow e \nu
\bar{\nu})=(17,84\pm 0,06)\%$, $BR(B \rightarrow e
\bar{e}\pi)<3,9\times 10^{-3}$ und $BR(B \rightarrow e \nu \pi)
=(9,0\pm 2,8)\times 10^{-5}$ erhlt man: \beq
|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*31}|<2,5\times
10^{-1}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq Dieser Wert
ist um mehr als eine Grenordnung schlechter als der in
\cite{lepto} berechnete Wert. Da die in \cite{lepto} eingesetzten
$BR$-Werte nicht angegeben waren, kann hier keine genaue
Begrndung fr diese Abweichung gegeben werden. Das Pion kann auch
durch ein D-Meson ersetzt werden. Dabei sind bessere Schranken zu
erwarten, die experimentellen Daten (BR-Werte) sind allerdings
unvollstndig, sodass zustzliche Nherungen gemacht werden
mssen.
\\ \\Nun werden kurz die exklusiven Zerflle der Art $B^+\rightarrow
\ell_1\bar{\ell}_2X$ ($\ell_1\bar{\ell}_2=e\bar{e},\;
\mu\bar{\mu}\;\textrm{oder}\; \mu^\pm e^\mp$ und X ist ein Kaon
oder ein Pion) betrachtet. Dazu muss das Matrixelement $\langle
X^+|\bar{s}\gamma^\mu b|B^+\rangle$ berechnet werden (Gl. 4.17):
\beq\langle X^+|\bar{s}\gamma^\mu b|B^+\rangle =
\frac{1}{\sqrt{2}}(f_+p^\mu +f_-q^\mu)\; .\eeq Einen
entsprechenden Ausdruck kann man fr das $D^0\rightarrow X^+$
-Matrixelement finden und die Formfaktoren fr $B$ und $D$ knnen
mit der \textit{heavy quark symmetry} \cite{wise} zueinander in
Beziehung gebracht werden. Unter der Annahme einer
$SU(2)$-\textit{flavour}-Symmetrie der schweren $c$ und $b$ Quarks
kann man nhern \cite{koy}:\beq(f_+-f_-)^{B\rightarrow
K}=\left(\frac{m_b}{m_c}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\alpha_s(m_b)}{\alpha_s(m_c)}\right)^{\frac{-6}{25}}
(f_+-f_-)^{D\rightarrow K}\; ,\eeq wobei $f_+-f_-\simeq 2f_+$ und
$\alpha_s$ ist die starke Kopplungskonstante. Nun knnen, unter
Vernachlssigung der kinematischen Unterschiede (Vernachlssigung
der Massen aller Endzustandsteilchen), $B$ und $D$-Zerflle
zueinander in Beziehung gesetzt werden. Zustzlich muss wieder von
ungebrochener Isospinsymmetrie ausgegangen werden. Man erhlt
(analog zu Gl. 6.9, die Zerfallsrate ist proportional zum Quadrat
der Zerfallskonstante und $m_{B/D}^5$): \beq
\frac{|\lambda_L^{i3}\lambda_L^{*m1}|^2}{m_{LQ}^4}\simeq
8G_F^2|V_{13}|^2\frac{m_D^5}{m_B^5}\frac{m_c}{m_b}\left(\frac{\alpha_s(m_b)}{\alpha_s(m_c)}\right)^{\frac{12}{25}}
\frac{\Gamma(B^+\rightarrow K\ell^+\ell^-)}{\Gamma(D^0\rightarrow
K\ell\nu)}\; .\eeq Es muss allerdings betont werden, dass diese
Berechnung auf vielen Nherungen basiert. So wurde auch die
Abhngigkeit der Formfaktoren vom Impulsbertrag vernachlssigt.
Gl. (6.25) gilt eigentlich nur fr maximalen Impulsbertrag, bei
kleinem Impulsbertrag $q^2$ ndert sich die Schranke, siehe
\cite{lepto}, zu \beq
\frac{|\lambda_L^{i3}\lambda_L^{*m1}|^2}{m_{LQ}^4}\simeq
8G_F^2|V_{13}|^2\frac{m_D^3}{m_B^3}\frac{m_c}{m_b}\left(\frac{\alpha_s(m_b)}{\alpha_s(m_c)}\right)^{\frac{12}{25}}
\frac{\Gamma(B^+\rightarrow K\ell^+\ell^-)}{\Gamma(D^0\rightarrow
K\ell\nu)}\; .\eeq Die aus diesen Nherungen berechenbaren
Schranken knnen Tabelle 6 und 7 des Anhangs entnommen werden (es
wurde jeweils die schwchste Schranke angenommen). Als
Zerfallsteilchen kann statt des $K$-Mesons ein Pion eingesetzt
werden. Es muss aber betont werden, das es sich dabei nur um grobe
Abschtzungen handelt. Die Werte verbesserten sich gegenber
\cite{lepto} um etwa eine Grenordnung. Das Verhltnis der
starken Kopplungskonstanten $\alpha_s(m_b)$
 und $\alpha_s(m_c)$ wurde mit eins angenhert.\\
\\Zerflle der Art $B\rightarrow D\pi\ell\nu$ wurden in \cite{Bz}
ausfhrlich betrachtet, sie werden hier daher nicht mehr
behandelt.
\section{Zerflle neutraler $B$-Mesonen}
Den Rechnungen fr den Zerfall neutraler Kaonen aus Kapitel 4.2
folgend lsst sich fordern (die Zahlen wurden \cite{pdg}
entnommen, zur Lebensdauer des $B$-Mesons siehe Tabelle 2 des
Anhangs): \beq \Gamma(B_0 \rightarrow e^{\pm}
\mu^{\mp})_A=\frac{(m_{B_0}^2 - m_{\mu}^2)^2}{64 \pi m_{B_0}^3}
\frac{|\lambda_L^{i3}\lambda_L^{*m1}|^2}{m_{LQ}^4} f_{B_0}^2
m_{\mu}^2 < 5,98 \times 10^{-26} {\rm ~MeV} \label{nkao10}
  \; ,\eeq und \beq
\Gamma(B_0 \rightarrow e\overline{e})_A=\frac{1}{32 \pi}
\frac{|\lambda_L^{i3}\lambda_L^{*i1}|^2}{m_{LQ}^4} f_{B_0}^2
m_{e}^2\sqrt{m_{B_0}^{2}-4m_{e}^{2}}<1,15\times 10^{-25}MeV\;
.\eeq Die pseudoskalaren Beitrge liefern \cite{pdg}: \beq
\Gamma(B_0 \rightarrow e^{\pm} \mu^{\mp})_P=
\frac{|\lambda_L^{i3}\lambda_R^{*m1}|^2}{m_{LQ}^4}
\frac{(m_{B_0}^2 - m_{\mu}^2)^2f_{B_0}^2 m_{B_0}}{64
\pi(m_b+m_d)^2} < 5,98 \times 10^{-26} {\rm ~MeV} \label{nkao1}
  \; ,\eeq und \beq \Gamma(B_0 \rightarrow e\bar{e})_P= \frac{|\lambda_L^{i3}\lambda_R^{*i1}|^2}{m_{LQ}^4}\frac{
(m_{B_0}^2 - 2m_{e}^2)f_{B_0}^2 m_{B_0}^2}{64
\pi(m_b+m_d)^2}\sqrt{m_{B_0}^2-4m_e^2} <1,15 \times 10^{-25} {\rm
~MeV} \label{nkao2}
  \; .\eeq Daraus erhlt man fr die Kopplungskonstantenprodukte (unter Verwendung der Werte $BR(B^0\rightarrow
  \mu\bar{\mu})<6,1\cdot 10^{-7}$, $BR(B^0\rightarrow
  e^\pm\tau^pm)<5,3\cdot 10^{-4}$ und $BR(B^0\rightarrow
  \mu^\pm\tau^pm)<8,3\cdot 10^{-4}$, siehe \cite{pdg}) folgende Werte:
\beq
 B^0
\rightarrow e \bar{e}\; :\quad |\lambda_L^{13} \lambda_L^{*11}| <
2,5 \times 10^{-1} \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2,
\quad |\lambda_L \lambda_R^*| < 3,0 \times 10^{-5} \left(
\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2 ,\;\;\;
  \eeq
  \beq
  B^0
\rightarrow \mu \bar{\mu}\; :\quad |\lambda_L^{23}
\lambda_L^{*21}| < 1,1 \times 10^{-3} \left( \frac{m_{LQ}}{100
{\rm ~GeV}}\right)^2\; , \quad |\lambda_L \lambda_R^*| < 2,5
\times 10^{-5} \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2
,\;\;\;
  \eeq\beq
  B^0
\rightarrow e^\mp \mu^\pm\; :\quad |\lambda_L^{i3}
\lambda_L^{*m1}| < 2,3 \times 10^{-3} \left( \frac{m_{LQ}}{100
{\rm ~GeV}}\right)^2\; , \quad |\lambda_L \lambda_R^*| < 4,0
\times 10^{-5} \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2  ,
  \eeq\beq
  B^0
\rightarrow e^\mp \tau^\pm\; :\quad |\lambda_L^{i3}
\lambda_L^{*m1}| < 2,9 \times 10^{-3} \left( \frac{m_{LQ}}{100
{\rm ~GeV}}\right)^2, \quad |\lambda_L^{i3} \lambda_R^{*m1}| < 8,5
\times 10^{-4} \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2 ,
  \eeq\beq
  B^0
\rightarrow \mu^\mp \tau^\pm\; :\quad |\lambda_L^{i3}
\lambda_L^{*m1}| < 3,7 \times 10^{-3} \left( \frac{m_{LQ}}{100
{\rm ~GeV}}\right)^2 , \quad |\lambda_L^{i3} \lambda_R^{*m1}| <
1,1 \times 10^{-3} \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2
.\eeq Diese Schranken sind durchgehend niedriger (um bis zu eine
Grenordnung) als die in \cite{lepto} auf hnliche Weise
berechneten Werte. Die entsprechenden
SUSY-Schranken knnen Tabelle 7 des Anhangs entnommen werden. Diese besttigen die Resultate aus \cite{jang}.\\ \\
Genauso knnen auch Schranken an den leptonischen LQ-Zerfall des
$B^0_s$-Mesons berechnet werden. Dabei wird
$f_{B^0_s}=(1,16\pm0,04)f_{B^0})$ \cite{bernie} benutzt und
auerdem \cite{pdg}: \beq BR(B^0_s\rightarrow e \bar{e})<5,4\cdot
10^{-5}\; ,\;\;BR(B^0_s\rightarrow \mu \bar{\mu})<2,0\cdot
10^{-6}\;\textrm{und}\;\; BR(B^0_s\rightarrow e^\pm
\mu^\pm)<6,1\cdot 10^{-6}\; .\eeq Man erhlt folgende Schranken:
\beq
 B^0_s
\rightarrow e \bar{e}:\quad |\lambda_L^{13} \lambda_L^{*12}| < 1,8
\times 10^{0} \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2, \;
|\lambda_L^{13} \lambda_R^{*12}| < 2,0 \times 10^{-4} \left(
\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2 ,
  \eeq
  \beq
  B^0_s
\rightarrow \mu \bar{\mu}:\quad |\lambda_L^{23} \lambda_L^{*22}| <
1,7 \times 10^{-3} \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2\;
, \; |\lambda_L^{23} \lambda_R^{*22}| < 3,9 \times 10^{-5} \left(
\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2 ,
  \eeq\beq
  B^0_s
\rightarrow e^\mp \mu^\pm :\quad |\lambda_L^{i3} \lambda_L^{*m2}|
< 4,1 \times 10^{-3} \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2
, \; |\lambda_L^{i3} \lambda_R^{*m2}| < 6,8 \times 10^{-5} \left(
\frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}}\right)^2  .
  \eeq
Die entsprechenden SUSY-Schranken sind fr LL-Kopplungen doppelt
so gross und fr LR-Kopplungen identisch mit den aufgelisteten
Werten. Die SUSY-Schranken fr $B^0_s\rightarrow e^\pm\mu^\mp$
stimmen mit den in \cite{thor} berechneten Werten berein.\\ \\Zu
leptonischen $B$-Zerfllen existieren detailliertere
Betrachtungen. Hier verweise ich auf \cite{dedes}, wo der Zerfall
in ein Myon und ein Antimyon analysiert wurde. Weitere leptonische
$B$-Zerflle wurden in \cite{chanko} behandelt, QCD-Korrekturen
knnen u. A. \cite{urban} entnommen werden.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%7.Kapitel%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter {$K^{0}-\overline{K}^{0}$-, $D^{0}-\overline{D}^{0}$- und $B^{0}-\overline{B}^{0}$- Mischzustnde }
Abbildung 8.1 zeigt den Standardmodellbeitrag zur Mischung der
neutralen Kaonen in niedrigster Ordnung. Entsprechende Diagramme
existieren fr die neutralen $D$ und $B$ -Mesonen. Ohne $c$- und
$t$-Austausch wrde die $CP$-Symmetrie nicht verletzt werden und
$|K^0_S\rangle$ bzw. $|K^0_L\rangle$ (Gl. 4.31) wren exakte
Eigenzustnde des $CP$-Operators. Die Existenz dreier
Quarkgenerationen ist fr die experimentell nachgewiesene schwache
$CP$-Verletzung verantwortlich.\\
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{fmffile}{tau413}
\begin{fmfgraph*}(160,150)
\fmfpen{thin}\fmfstraight\fmfleft{i1,i2}\fmfright{o1,o2}\fmf{fermion,tension=2.5,label=s}{i1,v1}
\fmf{fermion,tension=2.5,label=d}{v2,i2}
\fmf{dashes,label=$W^-$}{v1,v3}\fmf{dashes,label=$W^+$}{v2,v4}\fmf{fermion,label=$u,,c,,t$}{v1,v2}
\fmf{fermion,label=$u,,c,,t$}{v4,v3}\fmf{fermion,tension=2.5,label=d}{v3,o1}\fmf{fermion,tension=2.5,label=s}{o2,v4}
\end{fmfgraph*}\hspace{30pt}
\begin{fmfgraph*}(160,150)
\fmfpen{thin}\fmfstraight\fmfleft{i1,i2}\fmfright{o1,o2}\fmf{fermion,tension=2.5,label=s}{i1,v1}
\fmf{fermion,tension=2.5,label=d}{v2,i2}
\fmf{dashes,label=$W^-$}{v1,v2}\fmf{dashes,label=$W^+$}{v3,v4}\fmf{fermion,label=$u,,c,,t$}{v1,v3}
\fmf{fermion,label=$u,,c,,t$}{v4,v2}\fmf{fermion,tension=2.5,label=d}{v3,o1}\fmf{fermion,tension=2.5,label=s}{o2,v4}
\end{fmfgraph*}
\end{fmffile}\end{center}\caption[$K^0-\bar{K}^0$-Mischung im SM]{\textit{$K^0-\bar{K}^0$-Mischung im SM}}
\label{mix}\end{figure}\\Hier soll der LQ-Beitrag dieses
Diagramms zur Massendifferenz (bei ungebrochener $CPT$-Symmetrie
\cite{pdg}), \beq\Delta m_K=m_{K^0_L}-m_{K^0_S}=(3,490\pm
0,006)\times 10^{-12}\; MeV\; ,\eeq berechnet werden. Der
Standardmodellbeitrag zu dieser Massendifferenz kann unter
Verwendung der Vakuumsttigungsnherung \cite{Cheng} \beq\langle
K|\left[\bar{d} \gamma^{\mu}P_L s\right]\left[\bar{d} \gamma_{\mu}
P_L s\right]|\bar{K}\rangle = \frac{8}{3}\frac{1}{4}\langle
K|\bar{d} \gamma^{\mu}\gamma_5 s|0\rangle\langle 0|\bar{d}
\gamma_{\mu} \gamma_5 s|\bar{K}\rangle = \frac{2}{3} \frac{f_K^2
m_K}{2} \; ,\label{K1} \eeq berechnet werden. Der Faktor
$\frac{8}{3}$ in Gl. (8.2) setzt sich zusammen aus den vier
mglichen Wick-Kontraktionen multipliziert mit einem Farbfaktor
2/3 . Den berlegungen in \cite{Cheng} folgend, erhlt man fr die
Massendifferenz im Standardmodell unter Vernachlssigung der
$u$-Quark Masse:
\begin{eqnarray}\frac{\Delta m_K}{2}&=& -\Re\left[\langle K|-\mathcal
{L}^{\Delta S=2}_{eff}|\overline{K}\rangle\right] \nonumber \\&=&
\frac{G_F}{\sqrt{2}} \frac{\alpha}{4 \pi \sin^2 \theta_W}
(sin^2\theta_ccos^2\theta_c)X\langle K|(\bar{d} \gamma^{\mu} P_L
s)(\bar{d} \gamma_{\mu} P_L s)|\bar{K}\rangle\; , \label{K0}
\end{eqnarray} wobei \beq X=(sin^2\theta_ccos^2\theta_c)^{-1}\sum_{q
= c,t} \Re\left[(V_{qs} V_{qd}^*)^2 \frac{m_q^2}{m_W^2}+ V_{cs}
V_{cd}^* V_{ts} V_{td}^* \frac{2 m_c^2 m_t^2}{m_W^2 ( m_t^2 -
m_c^2)} \ln \left( \frac{m_t^2}{m_c^2} \right)\right]\; .\eeq
Dabei ist $\alpha=7,297352533(27)\times 10^{-3}$ die
Feinstrukturkonstante, $\theta_c$ der Cabibbowinkel und
$sin^2\theta_W=0,23113(15)$ das Sinusquadrat des Weinbergwinkels
der schwachen WW. \\ \\Daraus kann man fr die SM-Massendifferenz
einen Wert von $(\Delta M_K)_{th}^{SM}=3,08\times 10^{-12}MeV$
berechnen\footnote{Die beiden Terme, in denen $V_{td}$ vorkommt,
wurden dabei nicht - wie in \cite{lepto} - vernachlssigt. Sie
liefern beide jeweils einen Beitrag von etwa 10\% des
Hauptbeitrages. Fr $V_{td}$ und $V_{ts}$ wurden die oberen
Grenzwerte aus \cite{pdg} verwendet: $V_{td}=0,014$,
$V_{ts}=0,044$, $V_{cd}=0,224\pm 0,016$ und $V_{cs}=0,996\pm
0,013$. }, der mit dem experimentellen Wert \cite{pdg} $(\Delta
M_K)_{exp}=3,49\times 10^{-12}MeV$ recht gut bereinstimmt.
\section {LQ-($V\pm A$)-Wechselwirkungen}
Der LQ-Beitrag zu $\Delta m_{K}$ ist von der gleichen Form, wie
der SM-Beitrag (Gl. 8.3). Es mssen jedoch einige Vernderungen
vorgenommen werden:\begin{itemize}
    \item Die Quarkmassen mssen durch Leptonenmassen ersetzt werden, \item $\frac{4G_{F}V}{\sqrt{2}}$
ist durch $\frac{\lambda_{LQ}^{ij}\lambda_{LQ}^{mn*}}{m_{LQ}^2}$
zu ersetzen, \item $m_W^2$ wird $m_{LQ}^2$ und $\frac{\alpha}{4\pi
sin^2\theta_W}$ vereinfacht sich zu $\frac{1}{8\pi^2}$.
\end{itemize}      Man kann daher
fordern: \beq\frac{1}{32 \pi^2 m_{LQ}^2} \left[  |\lambda^{\ell d}
\lambda^{\ell s}{}^*|^2 \frac{m_\ell^2}{m_{LQ}^2}  + \lambda^{\ell
d} \lambda^{\ell s}{}^* \lambda^{\ell 'd}{}^* \lambda^{\ell 's}
\frac{2m_\ell^2m_{\ell '}^2}{m_{LQ}^2(m_\ell^2 - m_{\ell '}^2)}
\ln \left( \frac{m_{\ell '}^2}{m_{\ell}^2} \right) \right]< \frac{
(\Delta M_K)_{exp}-(\Delta M_K)_{th}^{SM}}{2}.\label{54} \eeq
Vernachlssigt man den zweiten Term komplett (dies impliziert die
Annahme, dass maximal zwei LQ-Kopplungskonstanten nicht
verschwinden), so erhlt man eine Schranke an alle vektoriellen
Leptoquarks die ein $d$-Typ-Quark an ein massives (geladenes)
Lepton $\ell$ koppeln: \beq |\lambda^{\ell 1}\lambda^{\ell
2}{}^*|<3,9\times
10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\left(\frac{1GeV}{m_\ell}\right)\;
.\eeq Der in \cite{lepto} angegebene Wert dieser Schranke
verbessert sich damit um fast eine Grenordnung. Dies liegt
hauptschlich daran, dass in \cite{lepto} nicht die Differenz
zwischen SM-Wert und experimentellem Wert als Schranke fr
LQ-Kopplungen angesetzt wurde. Stattdessen wurde gefordert, dass
die LQ-Kopplungen kleiner sind als die SM-Kopplung. Diese Methode
hat den Vorteil, dass sich die Zerfallskonstante $f_K$ aus den
Gleichungen herauskrzt. Man erhlt dann:\beq |\lambda^{\ell
1}\lambda^{\ell 2}{}^*|<9,9\times
10^{-2}\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2\left(\frac{1GeV}{m_\ell}\right)\;
,\eeq was mit \cite{lepto} bereinstimmt. Beim $D$-Meson ist fr
die Massendifferenz nur eine obere Schranke bekannt: $\Delta
M_D<4,6\times 10^{-11} MeV$ \cite{pdg}. Mit der Forderung (dabei
bediene ich mich der Vorgehensweise, die auch zu Gl. 7.6 fhrte)
 \beq \frac{1}{32 \pi^2} | \lambda^{\ell u} \lambda^{\ell c}{}^*|^2
\frac{m_\ell ^2} {m_{LQ}^4} < \frac{3 \Delta m_D}{2 f_D^2 m_D}\;
,\eeq erhlt man:  \beq | \lambda^{\ell u} \lambda^{\ell c}{}^*| <
1,1\times 10^{-1} \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}} \right)^2
\left( \frac{1 {\rm ~GeV}}{m_{\ell}} \right)\; . \eeq Dies ist nur
geringfgig niedriger als in \cite{lepto}. Fr die
$B^0$-$\bar{B}^0$ Massendifferenz existiert der Wert \cite{pdg}
$\Delta m_B = 3.2 \times 10^{-10} MeV$ . Man kann daher fordern
(analog zu Gl. 7.8): \beq | \lambda^{\ell d} \lambda^{\ell b}{}^*|
< 2,7\times 10^{-1}
 \left( \frac{m_{LQ}}{100 {\rm ~GeV}} \right)^2
\left( \frac{1 {\rm ~GeV}}{m_{\ell }} \right)\; . \eeq Auch dieser
Wert ist nur geringfgig niedriger als in \cite{lepto}.
\section{LQ-($S\pm P$)-Wechselwirkungen}
Auch hier knnen $\lambda_L\lambda_R$ -Kopplungen auftreten. Diese
wurden in \cite{miri} behandelt, liefern jedoch keine strkeren
Schranken, als die im vorangegangenen Abschnitt berechneten Werte.
Daher werden sie hier nicht weiter verfolgt. \\ \\Strkere
Schranken erhlt man, wenn man annimmt, dass das Leptoquark kein
Eichboson ist (siehe \cite{lepto}), dieser Mglichkeit wird hier
jedoch nicht nachgegangen.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%8.Kapitel%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter {Diskussion}
In diesem Kapitel werden die Resultate aus den Kapiteln 3-7 im
Hinblick auf die Gte der berechneten Schranken an die
Kopplungskonstantenprodukte und an die einzelnen
Kopplungskonstanten analysiert. Dabei werden die vorgenommenen
Abschtzungen und Nherungen nher betrachtet. Weitere, in den
vorangegangenen Kapiteln nicht behandelte, Mesonenzerflle werden
dahingehend berprft, ob aus ihnen gute Schranken an
Kopplungskonstanten(produkte) erhalten werden knnen. Zudem werden
- sofern vorhanden - weitere Mglichkeiten, insbesondere
Leptonenzerflle, diskutiert, um Schranken an SUSY- und LQ-
Kopplungskonstanten(produkte) zu berechnen.\section{Schranken aus
$R$-Werten} Die berechneten Schranken aus $R$-Werten haben den
Vorteil, dass die Zerfallskonstante sich aus den Berechnungen
herauskrzt. Die LR-Kopplungen liefern besonders starke Schranken,
da die Drehimpulsunterdrckung aufgehoben ist. Zudem sind
Schranken unter Bercksichtigung beliebigen
Neutrino-\textit{flavours} berechnbar (siehe \cite{thor}). Die in
diese Rechnungen eingehenden Quarkmassen sind jedoch besonders bei
den leichten Mesonen eine Fehlerquelle. Es muss weiterhin darauf
hingewiesen werden, das beim K-Meson die Schranken aus
FCNC-Prozessen bei neutralen Mesonen deutlich strker sind, als
die Schranken aus dem $R$-Wert.\section{Schranken aus
semileptonischen Zerfllen} Die Schranken an LR-Kopplungen (siehe
Kapitel 4.1.2) sind vergleichsweise schwach. Aus den LL-Kopplungen
knnen zahlreiche Schranken berechnet werden, wobei allerdings
auch einige Nherungen gemacht wurden, so wurden beispielsweise
smtliche Leptonenmassen vernachlssigt. Diese Nherung ist fr
Myonen problematisch, da deren Masse von der Grenordnung der
Pionenmasse ist. Die daraus abgeleitete Schranke ist daher nur als
Abschtzung zu verstehen. Trotzdem bieten semileptonische Zerflle
gerade bei schweren Mesonen ein weites Feld um Kopplungskonstanten
zu berechnen. Hier verweise ich auf inklusive Zerflle des
$B$-Mesons in ein oder zwei $\tau$-Leptonen und die HQE im
Zusammenhang mit den Zerfallskonstanten $f_D$ und $f_B$. Dort
bieten sich interessante Mglichkeiten, um Schranken an
Kopplungskonstantenprodukte abzuschtzen (Kapitel 6.1.2).
\section{Schranken aus Zerfllen schwerer Mesonen}
Bei den Zerfllen schwerer Mesonen ergeben sich einige
Schwierigkeiten:
\begin{itemize}
    \item Die Zerfallskonstanten $f_D$ und $f_B$ sind nur sehr
    ungenau bekannt. Daneben ist die experimentelle Unsicherheit
    in den CKM-Matrixelementen zu beachten.
    \item Die QCD-Korrekturen wurden hier in allen Ordnungen auer
    Acht gelassen (dazu verweise ich auf die Literatur, siehe z.B.
    \cite{urban}).
    \item Die Beziehung zwischen $f_D$ und $f_B$ kann nur bei
    minimalem und maximalem Impulsbertrag auf einfache Weise
    beschrieben werden. Die Zwischenregion muss daher bergangen
    werden.
\end{itemize} Trotzdem bieten Zerflle schwerer Mesonen einzigartige Mglichkeiten in der
Suche nach seltenen Zerfllen, FCNC und CP-Verletzung\footnote{Da
die starke Kopplungskonstante bei hohen Energien klein wird
(asymptotische Freiheit), erffnet sich zudem die Mglichkeit
perturbativer Berechnungen auf diesem Gebiet.}. Durch zuknftige
Experimente knnen die hier berechneten Werte verbessert und neue
Werte hinzugewonnen werden. Fr das $\Upsilon$-Meson knnen die
Berechnungen zu
leptonischen Zerfllen neutraler Mesonen bernommen werden.\\
\\Aus hadronischen
Zerfllen knnen Schranken an SUSY-Kopplungskonstantenprodukte mit
$\lambda''_{ijk}$ berechnet werden.
    \section{Sonstige Mesonenzerflle} Es wurden im Verlauf dieser Arbeit einige Zerflle nicht nher betrachtet.
    Die Zerflle des $\eta$-Meson
    liefern aufgrund der niedrigen
    Lebensdauer dieses Mesons nur sehr schwache Schranken. Diese knnen aus anderen
    Zerfllen besser berechnet werden. Genauso verhlt es sich
    auch mit einigen der berechneten D-Zerflle. Hier kann
    allerdings noch auf eine signifikante Verbesserung der
    experimentellen Daten gehofft werden. Auch die Mischung der
    neutralen Mesonen liefert noch keine starken Schranken an die
    Kopplungskonstantenprodukte.
    \section{Alternative Methoden} Es gibt zahlreiche alternative
    Methoden, um die berechneten und weitere Schranken an
    Kopplungskonstantenprodukte zu erhalten (siehe auch Kapitel
    1.2). Ich mchte hier nur noch auf $\tau$-Zerflle in der SUSY eingehen,
    da ich zu diesen Zerfllen einige Berechnungen durchgefhrt
    habe. Diese werden im Folgenden kurz zusammengefasst.\\ \\Motiviert durch \cite{sher}
    werden Schranken durch Squark- und Slepton- Austausch in $\tau$-Zerfllen ber $R$-Parittsverletzung diskutiert.
Eine detailliertere Studie der $\tau$-Zerflle kann \cite{black}
entnommen werden. M. Sher konzentriert sich in \cite{sher} auf
Higgs-vermittelte $\tau$ Zerflle. Im MSSM+$\not{R_P}$ existieren
aber weitere mgliche Zerfallsmoden, die durch den LLE- und den
LQD-Term des $\not{R_P}$-Superpotentials erzeugt
werden.\\\vspace{5pt}\\\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{fmffile}{tau16}
\begin{fmfgraph*}(100,100)
\fmfpen{thin}\fmfleft{i1}\fmfright{o1,o2,o3}\fmf{fermion,label=$\tau$}{i1,v1}\fmf{fermion}{v1,o3}
\fmf{scalar,label=$\tilde{d_k}$}{v2,v1}\fmf{fermion}{o2,v2}\fmf{fermion}{v2,o1}\fmflabel{$\mu$}{o1}
\fmflabel{s}{o2}\fmflabel{s}{o3}
\end{fmfgraph*}\hspace{30pt}\begin{fmfgraph*}(100,100)\fmfpen{thin}\fmfleft{i2}\fmfright{o4,o5,o6}
\fmf{fermion,label=$\tau$}{i2,v3}
\fmf{fermion}{v3,o6}\fmf{scalar,label=$\tilde{l_k}$}{v3,v4}\fmf{fermion}{v4,o5}
\fmf{fermion}{o4,v4}\fmflabel{s}{o4}\fmflabel{s}{o5}\fmflabel{$\mu$}{o6}
\end{fmfgraph*}\hspace{30pt}\begin{fmfgraph*}(100,100)\fmfpen{thin}\fmfleft{i2}\fmfright{o4,o5,o6}
\fmf{fermion,label=$\tau$}{i2,v3}
\fmf{fermion}{v3,o6}\fmf{scalar,label=$\tilde{l_k}$}{v3,v4}\fmf{fermion}{v4,o5}
\fmf{fermion}{o4,v4}\fmflabel{$\mu_3$}{o4}\fmflabel{$\mu_2$}{o5}\fmflabel{$\mu_1$}{o6}
\end{fmfgraph*}
\end{fmffile}\end{center}\caption[$\tau$-Zerfall ber Squark- oder Slepton-Austausch]{\textit{
$\tau$-Zerfall ber Squark- oder Slepton-Austausch}}\label{tau}\end{figure}
\\Um die Zerfallsrate $\Gamma$ zu erhalten muss die invariante Amplitude
$\mathcal{M}$ berechnet werden, aus der mit Fermi's Goldener Regel
$\Gamma$ gewonnen werden kann. Die bentigten Matrixelemente sind
\cite{black}:
\begin{equation}
    <0|\overline{s}\gamma^{\mu}\gamma^{5}s|\eta_8> =
    i\frac{F_{\eta}^8}{\sqrt{2}}p_{\mu_{\eta_8}}\; ,
\end{equation} und \beq<0|\overline{s}\gamma^{5}s|\eta_8> =
    -i\sqrt{6}\frac{F_{\eta}^8m_{\eta_8}^2}{m_u+m_d+4m_s}\; .\eeq
    Das Quadrat der invarianten Amplitude der einzelnen Beitrge ist damit: \beq
(\mathcal{M}_{\tau\rightarrow\mu\eta})_{1}=\frac{\lambda'_{32k}\lambda'_{22k}}{
m_{\tilde{d_k}}^2}\frac{1}{2}<0|\overline{s}\gamma^{\mu}\gamma^{5}s|\eta>
\frac{1}{2}(\bar{\tau}\gamma_\mu(1-\gamma^5)\mu)\; ,\eeq \beq
(\mathcal{M}_{\tau\rightarrow\mu\eta})_{2}=\frac{\lambda_{3k2}\lambda'_{k22}}{
m_{\tilde{l_k}}^2}\frac{1}{2}<0|\overline{s}\gamma^{5}s|\eta>
\frac{1}{2}(\bar{\tau}(1-\gamma^5)\mu)\; ,\eeq \beq
(\mathcal{M}_{\tau\rightarrow\mu\eta})_{3}=\frac{\lambda_{2k3}\lambda'_{k22}}{
m_{\tilde{l_k}}^2}\frac{1}{2}<0|\overline{s}\gamma^{5}s|\eta>
\frac{1}{2}(\bar{\tau}(1-\gamma^5)\mu)\; ,\eeq und damit hat man
(fr $\eta=\eta_8$):
\beq|\mathcal{M}_{\tau\rightarrow\mu\eta}|^2=\frac{1}{8}\left|\frac{\lambda'_{32k}
\lambda'_{22k}}{m_{\tilde{d_k}}^2}
-2\sqrt{3}\frac{m_{\eta_8}^2}{m_{\tau}(m_u+m_d+4m_s)}\frac{(\lambda_{3k2}
\lambda'_{k22}+\lambda_{2k3}\lambda'_{k22})}{m_{\tilde{l_k}}^2}
\right|^2 F_{\eta_8}^2m_{\tau}^{2}(m_{\tau}^{2}-m_{\eta_8}^{2})\;
. \eeq Die $\mu$ - Masse wurde vernachlssigt. Fr den
Slepton-vermittelten Zerfall $\tau\rightarrow 3\mu$ erhlt man:
\beq|\mathcal{M}_{\tau\rightarrow
3\mu}|^2=\frac{\left|\lambda_{3k2}\lambda_{2k2}+\lambda_{2k3}
\lambda_{2k2}\right|^2}{m_{\tilde{l_k}}^4}16(p_\tau
p_{\mu_3})
(p_{\mu_1}p_{\mu_2})=\frac{\left|\lambda_{3k2}\lambda_{2k2}+
\lambda_{2k3}\lambda_{2k2}\right|^2}{m_{\tilde{l_k}}^4}m_\tau^4
\; .\eeq Die Zerfallsraten sind damit (die $\mu$-Masse wurde
vernachlssigt, eine Summation ber die Anfangszustandspins,
$\frac{1}{2s_\tau+1}=\frac{1}{2}$, wurde durchgefhrt):
\bea\Gamma(\tau\rightarrow\mu\eta)=\frac{1}{2^8\pi}\left|\frac{
\lambda'_{32k}\lambda'_{22k}}{m_{\tilde{d_k}}^2}
-2\sqrt{3}\frac{m_{\eta_8}^2}{m_{\tau}(m_u+m_d+4m_s)}\frac{(
\lambda_{3k2}\lambda'_{k22}+\lambda_{2k3}\lambda'_{k22})}{m_{\tilde{l_k}}^2}
\right|^2
F_{\eta}^{2}\frac{(m_{\tau}^{2}-m_{\eta}^{2})^2}{m_\tau}\nonumber\eea
\bea =1.29\cdot
10^{-12}\left|\frac{\lambda'_{32k}\lambda'_{22k}}{m_{\tilde{d_k}}^2}
-2\sqrt{3}\frac{m_{\eta_8}^2}{m_{\tau}(m_u+m_d+4m_s)}\frac{(
\lambda_{3k2}\lambda'_{k22}+\lambda_{2k3}\lambda'_{k22})}{m_{\tilde{l_k}}^2}
\right|^2100GeV^5,\eea und \bea\Gamma(\tau\rightarrow
3\mu)&=&\frac{1}{(2\pi)^3
2^6}\frac{\left|\lambda_{3k2}\lambda_{2k2}+\lambda_{2k3}\lambda_{2k2}\right|^2}
{m_{\tilde{l_k}}^4}m_\tau^5{}\nonumber\\{}&=&
1.12\cdot
10^{-11}\left|\lambda_{3k2}\lambda_{2k2}+\lambda_{2k3}\lambda_{2k2}\right|^2
\left(\frac{100GeV}{m_{\tilde{l_k}}}\right)^4GeV
\; . \eea Wir beschrnken uns nun auf zwei nicht-verschwindende
Kopplungskonstanten und nehmen an, das alle brigen verschwinden.
Die Schranken an die Kopplungskonstantenprodukte sind damit:
\beq|\lambda'_{32k}\lambda'_{22k}|<4.0\times
10^{-3}\left(\frac{m_{\tilde{d_k}}}{100GeV}\right)^2\; ,
\eeq\beq|\lambda_{3k2}\lambda'_{k22}|<4.8\times
10^{-3}\left(\frac{m_{\tilde{d_k}}}{100GeV}\right)^2\; ,\eeq mit
einem direkt entsprechenden Ausdruck fr
$|\lambda_{2k3}\lambda'_{k22}|$ und mit einem direkt
entsprechenden Ausdruck fr $|\lambda_{2k3}\lambda_{2k2}|$ hat
man: \beq|\lambda_{3k2}\lambda_{2k2}|<6.2\times
10^{-4}\left(\frac{m_{\tilde{l_k}}}{100GeV}\right)^2\; .\eeq
\newpage Bei diesen Rechnungen wurde Folgendes verwendet \cite{pdg}:
\begin {itemize}\item $m_\eta =547.30
MeV $ , \item $F_{\eta_8} = 154 MeV$ ,\item
$\frac{\Gamma(\tau\rightarrow\mu\eta)}{\Gamma}<9.6\times 10^{-6}$
und $\frac{\Gamma(\tau\rightarrow 3\mu)}{\Gamma}<1.9\times
10^{-6}$ . \item Die totale Zerfallsrate $\Gamma$ ist:
$$\Gamma=\frac{\hbar}{\tau}=2.265\cdot 10^{-12}GeV\; ,$$ also:
$$\Gamma(\tau\rightarrow\mu\eta)<2.17\cdot 10^{-17}GeV\; \textrm{und}\;
\Gamma(\tau\rightarrow 3\mu)<4.30\cdot 10^{-18}GeV\; .$$
\end{itemize} Die Schranke fr
$|\lambda'_{32k}\lambda'_{22k}|$ ist nicht sehr gut bestimmt,
da die experimentelle Unsicherheit in $F_\eta$ relativ gro ist.\\
Es gibt auch andere Wege, diese Schranken zu berechnen:
$$ B\rightarrow \mu\bar{\mu}X \;\; \textrm{und} \;\; B\rightarrow l\nu X \; .$$
Um diese Zerfallsraten zu berechnen mssen einige Nherungen fr
die Quarkstrme vorgenommen werden (\textit{heavy quark
expansion}, QCD Korrekturen). Die obigen Schranken sind daher genauer.\\ \\
Es gibt einige leptonische $\tau$ Zerflle, mit e's und $\mu$'s im
Endzustand, die hnlich dem Zerfall $\tau\rightarrow 3\mu$
berechnet werden knnen. Es ergeben sich die folgenden oberen
Schranken (in Einheiten von
$\left(\frac{m_{\tilde{l_k}}}{100GeV}\right)^2$):\\
\begin{description}
\item\underline{ \textbf{$\tau\rightarrow e^{-}e^{+}e^{-}$}:
$|\lambda_{3k1}\lambda_{1k1}|<7.7\cdot 10^{-4}$\hspace{280pt}
}\item\underline{ \textbf{$\tau\rightarrow\mu^{-}e^{+}e^{-}$}:
$|\lambda_{3k1}\lambda_{2k1}|<5.9\cdot 10^{-4}$ und
$|\lambda_{3k2}\lambda_{1k1}|<5.9\cdot 10^{-4}$\hspace{142pt}
}\item\underline{ \textbf{$\tau\rightarrow\mu^{+}e^{-}e^{-}$}:
$|\lambda_{3k1}\lambda_{2k1}|<5.5\cdot 10^{-4}$\hspace{280pt} }
\item\underline{ \textbf{$\tau\rightarrow e^{+}\mu^{-}\mu^{-}$}:
$|\lambda_{3k2}\lambda_{1k2}|<5.5\cdot 10^{-4}$\hspace{280pt}
}\item\underline{ \textbf{$\tau\rightarrow e^{-}\mu^{+}\mu^{-}$}:
$|\lambda_{3k2}\lambda_{1k2}|<6.0\cdot 10^{-4}$ und
$|\lambda_{3k1}\lambda_{2k2}|<6.0\cdot 10^{-4}$\hspace{142pt} }
\end {description} Dieselben Schranken gelten unter Vertauschung des $1.$ und $3.$ Index in $\lambda$. Falls
 $i=j$ ist fr $\lambda_{ijk}$ die Kopplung gleich Null (Asymmetrie in den ersten beiden
 Indizes).\\ \\ Der Zerfall
 $\tau\rightarrow\mu\gamma$ liefert keine starken Schranken. Die
 aus den entsprechenden Ein-Schleifen-Graphen berechenbaren Werte
 liegen im Bereich von
 $10^{-2}\left(\frac{m_{SUSY}}{100GeV}\right)^2$.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Appendix%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\appendix
\include{appendix}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Tabellen}
\section*{\Huge\textbf{Anhang}
\\ \\\huge{Tabellen}}
\pagestyle {plain}
\vspace {1cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%1. Tabelle%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c||}
\hline \textbf{Symbol} & \textbf{Bedeutung}
\\\hline $p$ & Impuls
\\\hline $E$ & Energie
\\\hline $m$ & Masse
\\\hline $\mathcal{L}$ & Lagrangefunktion
\\\hline $\mathcal {M}$ & invariante Amplitude (Matrixelement)
\\\hline $\Gamma$ & Zerfallsrate
\\\hline $\tau$ & Lebensdauer
\\\hline $M$ & Meson
\\\hline $\ell$ & Lepton
\\\hline $C$ & Ladungskonjugationsoperator
\\\hline $P_{L,R}$ & Projektionsoperator
\\\hline $A^\dagger$ & hermitesche Konjugation von $A$
\\\hline $a^*$ & komplexe Konjugation von $a$
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption[Liste der verwendeten Symbole]{\textit{Liste der
verwendeten Symbole}} \label{tab:symbol}
\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%2. Tabelle%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline \multicolumn {4}{||c||}{Konstanten}
\\\hline \multicolumn{2}{||c|}{$\hbar = 6,58211889(26)\times 10^{-22}MeVs$} &
\multicolumn {2}{|c||}{$ G_F= 1,16639(1)\times 10^{-5}GeV^{-2}$}
\\\hline \multicolumn {4}{||c||}{Massen/$MeV$}
\\\hline $m_u=1,5..4,5$ & $m_e=0,510998902(21)$ & $m_{\pi^+}=139,57018(35)$ &
$m_{\pi^0}=134,9766(6)$
\\\hline $m_d=5..8,5$ & $m_\mu =105,658357(5)$ & $m_{K^+}=493,677(16)$ & $m_{K^0}=497,672(31)$
\\\hline $m_s=80..155$ & $m_\tau =1776,99^{+0,29}_{-0,26}$ & $m_{D^+}=1869,3(5)$
& $m_{D^0}=1864,5(5)$
\\\hline $m_c=1000..1400$ & $\Delta m_{K^0}=3,490(6)\cdot 10^{-12}$ & $m_{B^+}=5279,0(5)$ &
$m_{B^0}=5279,4(5)$
\\\hline $m_b=4000..4500$&$\Delta m_{D^0}<5\cdot 10^{-11}$& $m_{D_s^+}=1968,5(6)$ & $m_{B_s^0}=5369,6(24)$
\\\hline $\frac{m_{u}+m_d}{2}=2,5..5,5$&   $\Delta m_{B^0}=3,22(5 )\cdot
10^{-10}$& &
\\\hline \multicolumn {4}{||c||}{Zerfallskonstanten/$MeV$}
\\\hline \multicolumn {2}{||c|}{$f_{\pi^+}=130,7\pm
0,1\pm 0,36$ ($f_{\pi^0}=130\pm 5 $)}& \multicolumn
{2}{|c||}{$f_{K^+}=159,8\pm 1,4\pm 0,44$}
\\\hline \multicolumn
{2}{||c|}{ $f_{D^+}=300^{+180+80}_{-150-40}$}& \multicolumn
{2}{|c||}{ $f_{D_s^+}=285\pm 19\pm 40$}
\\\hline \multicolumn{4}{||c||}{Lebensdauer/$s$}
\\\hline \multicolumn {2}{||c|}{$\tau_{\pi^+}=2,6033(5)\cdot 10^{-8}$}
&\multicolumn {2}{|c||}{ $\tau_{\pi^0}=8,4(6)\cdot
10^{-17}$}
\\\hline \multicolumn{2}{||c|}{$\tau_{K^+}=1,2384(24)\cdot 10^{-8}$} & \multicolumn
{2}{|c||}{$\tau_{K^0_L}=5,17(4)\cdot 10^{-8}$}
\\\hline\multicolumn {2}{||c|}{$\tau_{D^+}=1051(13)\cdot
10^{-15}$}&\multicolumn {2}{|c||}{ $\tau_{D^0}=411,7(27)\cdot
10^{-15}$ }
\\\hline \multicolumn {2}{||c|}{$\tau_{B^+}=1,674(18)\cdot
10^{-12}$}& \multicolumn {2}{|c||}{$\tau_{B^0}=1,542(16)\cdot
10^{-12}$}
\\\hline \multicolumn{2}{||c|}{$\tau_{D_s^+}=490(9)\cdot 10^{-15}$} & \multicolumn
{2}{|c||}{$\tau_{B_s^0}=1,461(57)\cdot 10^{-12}$}
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption[Werte der verwendeten Gren]{\textit{Werte der
verwendeten Gren \cite{pdg}}} \label{tab:symbol}
\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%3. Tabelle%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table} [t]
\begin{center}
\begin{tabular} {||c||}
\hline $\sigma_i$-Matrizen (Pauli-Matrizen)
\\\hline\makebox(375,70)[b]{$\sigma_{1}=
\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix} \: \sigma_{2}= \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\
\end{pmatrix} \: \sigma_{3}= \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}$}
\\\hline $\gamma$-Matrizen in Dirac-Darstellung
\\\hline \makebox(375,70)[b]{$\gamma^0=\begin{pmatrix}
  \mathbf{1} & 0 \\
  0 & -\mathbf{1} \\
\end{pmatrix}$ $\gamma^\mu=\begin{pmatrix}
  0 & \sigma^\mu \\
  \sigma^\mu & 0 \\
\end{pmatrix}$ $\gamma^5=\begin{pmatrix}
  0 & \mathbf{1} \\
  \mathbf{1} & 0 \\
\end{pmatrix}$}
\\\hline Gell-Mann-Matrizen\\\hline \makebox(375,100)[b]{$\lambda_0=\sqrt{\frac{2}{3}}\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$ $\lambda_1=\begin{pmatrix}
  0 & 1 & 0 \\
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$
$\lambda_2=\begin{pmatrix}
  0 & -i & 0 \\
  i & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$}\\\vspace{0pt}\makebox(375,100)[b]{$\lambda_3=\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & -1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$ $\lambda_4=\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1 \\
  0 & 0 & 0 \\
  1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$ $\lambda_5=\begin{pmatrix}
  0 & 0 & -i \\
  0 & 0 & 0 \\
  i & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$}\\\vspace{0pt}\makebox(375,100)[b]{ $\lambda_6=\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 1 \\
  0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}$ $\lambda_7=\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & -i \\
  0 & i & 0 \\
\end{pmatrix}$ $\lambda_8=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & -2 \\
\end{pmatrix}$}
\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption [Zusammenfassung der verwendeten
Matrizen]{\textit{Zusammenfassung der verwendeten Matrizen}}
\label{tab:matrizen}
\end{table}
\pagebreak
\pagestyle {myheadings}
\markboth {headings} {Tabellen}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%4. Tabelle%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline \textbf{Interaction} & \textbf{4-fermion vertex} &
\textbf{Fierz-transformed vertex}\\
\hline $(\lambda_{LV_{0}}\overline{q}_{L}\gamma_{\mu}\ell_{L}$ &
$\frac{\lambda^{2}_{RV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{R}\gamma^{\mu}e_{R})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}d_{R})$ &
$\frac{\lambda^{2}_{RV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{R}\gamma^{\mu}d_{R})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}e_{R})$\\
$+\lambda_{RV_{0}}\overline{d}_{R}\gamma_\mu
e_{R})V^{\mu\dagger}_{0}$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}\nu_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}u_{L})$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}u_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}e_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}u_{L})$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}u_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}e_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}d_{L})$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}d_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ &
$\frac{\lambda_{LV_{0}}\lambda_{RV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{R}\gamma^{\mu}e_{R})
(\overline{\ell}_{L}\gamma_{\mu}q_{L})$ &
$\frac{\lambda_{LV_{0}}\lambda_{RV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{R}u_{L}) (\overline{\nu}_{L}e_{R})$\\ & &
$\frac{\lambda_{LV_{0}}\lambda_{RV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{R}d_{L}) (\overline{e}_{L}e_{R})$\\\hline
 $\lambda_{R\tilde{V_0}} \bar{u}_R \gamma_{\mu} e_R
\tilde{V}^{\mu \dagger}_o $ &
$\frac{\lambda^{2}_{R\tilde{V_{0}}}}{\tilde{m}^{2}_{0}}
(\overline{u}_{R}\gamma^{\mu}e_{R})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}u_{R})$ &
$\frac{\lambda^{2}_{R\tilde{V_{0}}}}{\tilde{m}^{2}_{0}}
(\overline{u}_{R}\gamma^{\mu}u_{R})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}e_{R})$\\\hline $(\lambda_{LV_{1/2}}
\bar{d}_R^c \gamma_{\mu}\ell_L$ & $\frac{\lambda^{2}_{R
V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{u}_{L}^{c}\gamma^{\mu}e_{R})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}u_{L}^{c})$ & $\frac{\lambda^{2}_{R
V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{u}_{L}^{c}\gamma^{\mu}u_{L}^{c})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}e_{R})$\\
$+\lambda_{RV_{1/2}}\bar{q}_L^c \gamma_{\mu} e_R)V_{1/2}^{\mu
\dagger}$ & $\frac{\lambda^{2}_{R V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}}
(\overline{d}_{L}^{c}\gamma^{\mu}e_{R})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}d_{L}^{c})$ & $\frac{\lambda^{2}_{R
V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{d}_{L}^{c}\gamma^{\mu}d_{L}^{c})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}e_{R})$\\ & $\frac{\lambda^{2}_{L
V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{d}_{R}^{c}\gamma^{\mu}e_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}d_{R}^{c})$ & $\frac{\lambda^{2}_{L
V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{d}_{R}^{c}\gamma^{\mu}d_{R}^{c})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ & $\frac{\lambda^{2}_{L
V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{d}_{R}^{c}\gamma^{\mu}\nu_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}d_{R}^{c})$ & $\frac{\lambda^{2}_{L
V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{d}_{R}^{c}\gamma^{\mu}d_{R}^{c})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ & $\frac{\lambda_{L
V_{1/2}}\lambda_{R V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}}
(\overline{d}_{L}^{c}\gamma^{\mu}e_{R})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}d_{R}^{c})$ & $\frac{\lambda_{L
V_{1/2}}\lambda_{R V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}}
(\overline{d}_{L}^{c}d_{R}^{c}) (\overline{e}_{L}e_{R})$\\ &
$\frac{\lambda_{L V_{1/2}}\lambda_{R V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{L}^{c}\gamma^{\mu}e_{R})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}d_{R}^{c})$ & $\frac{\lambda_{L
V_{1/2}}\lambda_{R V_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{L}^{c}d_{R}^{c}) (\overline{\nu}_{L}e_{R})$\\\hline
$ \lambda_{L \tilde{V}_{1/2}}
 \bar{u}_R^c \gamma_{\mu} \ell_L  \tilde{V}^{\mu \dagger}_{1/2}$ &
 $\frac{\lambda^{2}_{L
\tilde{V}_{1/2}}}{\tilde{m}^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}^{c}\gamma^{\mu}\nu_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}u_{R}^{c})$ & $\frac{\lambda^{2}_{L
\tilde{V}_{1/2}}}{\tilde{m}^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}^{c}\gamma^{\mu}u_{R}^{c})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ & $\frac{\lambda^{2}_{L
\tilde{V}_{1/2}}}{\tilde{m}^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}^{c}\gamma^{\mu}e_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}u_{R}^{c})$ & $\frac{\lambda^{2}_{L
\tilde{V}_{1/2}}}{\tilde{m}^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}^{c}\gamma^{\mu}u_{R}^{c})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\\hline $\lambda_{LV_1}
\bar{q}_L \gamma_{\mu} \vec{\sigma} \ell_L \cdot \vec{V}^{\mu
\dagger} _1$ & $\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}\nu_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}u_{L})$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}u_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ &
$-\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}\nu_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}d_{L})$ &
$-\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}d_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}e_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}d_{L})$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}d_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ &
$2\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}e_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}u_{L})$ &
$2\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}u_{L})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ &
$2\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}\nu_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}d_{L})$ &
$2\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{d}_{L}\gamma^{\mu}d_{L})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Table 4: \textit{4-Fermion-vertices for vector leptoquarks} \cite
{lepto}. \label{tab:vertizes}\addcontentsline{lot}{table}{4\qquad
4-Fermionen-Vertizes fr vektorielle Leptoquarks}
\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%5. Tabelle%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline \textbf{Interaction} & \textbf{4-fermion vertex} &
\textbf{Fierz-transformed vertex}\\ \hline $\lambda_{LS_0}
\bar{q}^c_L i\sigma_2 \ell_L$ &
$\frac{\lambda^{2}_{RS_{0}}}{m^{2}_{0}} (\overline{u}_{R}^c e_{R})
(\overline{e}_{R}u_{R}^c)$ &
$\frac{\lambda^{2}_{RS_{0}}}{2m^{2}_{0}}
(\overline{u}_{R}^c\gamma^{\mu}u_{R}^c)
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}e_{R})$\\ $ + \lambda_{RS_o}
\bar{u}^c_R e_R) S_o^{\dagger}$
 & $\frac{\lambda^{2}_{SV_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{u}_{L}^c e_{L}) (\overline{e}_{L}u_{L}^c)$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LS_{0}}}{2m^{2}_{0}}
(\overline{u}_{L}^c\gamma^{\mu}u_{L}^c)
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ &
$\frac{\lambda^{2}_{LS_{0}}}{m^{2}_{0}} (\overline{u}_{L}^c e_{L})
(\overline{\nu}_{L}d_{L}^c)$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LS_{0}}}{2m^{2}_{0}}
(\overline{u}_{L}^c\gamma^{\mu}d_{L}^c)
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ &
$\frac{\lambda^{2}_{LS_{0}}}{m^{2}_{0}} (\overline{d}_{L}^c
\nu_{L}) (\overline{\nu}_{L}d_{L}^c)$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LS_{0}}}{2m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{L}^c\gamma^{\mu}d_{L}^c)
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ &
$\frac{\lambda_{LS_{0}}\lambda_{RS_{0}}}{m^{2}_{0}}
(\overline{q}_{L}^c i\sigma_2 \ell_{L}) (\overline{e}_{R}u_{R}^c)$
& $\frac{\lambda_{LS_{0}}\lambda_{RS_{0}}}{2m^{2}_{0}}
(\overline{u}_{L}^c u_{R}^c) (\overline{e}_{R}e_{L})$\\ & &
$\frac{\lambda_{LS_{0}}\lambda_{RS_{0}}}{2m^{2}_{0}}
(\overline{d}_{L}^c u_{R}^c) (\overline{e}_{R}\nu_{L})$\\\hline
 $\lambda_{R \tilde{S_o}}
\bar{d}_R^c e_R \tilde{S}_0^{\dagger} $ &
$\frac{\lambda^{2}_{R\tilde{S_{0}}}}{\tilde{m^{2}_{0}}}
(\overline{d}_{R}^c e_{R}) (\overline{e}_{R}d_{R}^c)$ &
$\frac{\lambda^{2}_{R\tilde{S_{0}}}}{\tilde{m^{2}_{0}}}
(\overline{d}_{R}^c\gamma^{\mu}d_{R}^c)
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}e_{R})$\\\hline $(\lambda_{LS_{1/2}}
\bar{u}_R \ell_L$ & $\frac{\lambda^{2}_{RS_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}\nu_{L}) (\overline{\nu}_{L}u_{R})$ &
$\frac{\lambda^{2}_{R V_{1/2}}}{2m^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}\gamma^{\mu}u_{R})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ $
+\lambda_{RS_{1/2}}\bar{q}_L  i\sigma_2  e_R) S_{1/2}^{\dagger}$ &
$\frac{\lambda^{2}_{R S_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{u}_{R}
e_{L}) (\overline{e}_{L}u_{R})$ & $\frac{\lambda^{2}_{R
S_{1/2}}}{2m^{2}_{1/2}} (\overline{u}_{R}\gamma^{\mu}u_{R})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ & $\frac{\lambda^{2}_{L
S_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{u}_{L}e_{R})
(\overline{e}_{R}u_{L})$ & $\frac{\lambda^{2}_{L
S_{1/2}}}{2m^{2}_{1/2}} (\overline{u}_{L}\gamma^{\mu}u_{L})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}e_{R})$\\ & $\frac{\lambda^{2}_{L
S_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}} (\overline{d}_{L}e_{R})
(\overline{e}_{R}d_{L})$ & $\frac{\lambda^{2}_{L
S_{1/2}}}{2m^{2}_{1/2}} (\overline{d}_{L}\gamma_{\mu}d_{L})
(\overline{e}_{R}\gamma_{\mu}e_{R})$\\ & $\frac{\lambda_{L
S_{1/2}}\lambda_{R S_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}\nu_{L}) (\overline{e}_{R}d_{L})$ &
$\frac{\lambda_{L S_{1/2}}\lambda_{R S_{1/2}}}{2m^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}d_{L}) (\overline{e}_{R}\nu_{L})$\\ &
$\frac{\lambda_{L S_{1/2}}\lambda_{R S_{1/2}}}{m^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}e_{L}) (\overline{e}_{R}u_{L})$ &
$\frac{\lambda_{L V_{1/2}}\lambda_{R V_{1/2}}}{2m^{2}_{1/2}}
(\overline{u}_{R}u_{L}) (\overline{e}_{R}e_{L})$\\\hline $
\lambda_{L \tilde{S}_{1/2}} \bar{d}_R \ell_L
\tilde{S}_{1/2}^{\dagger}$ &
 $\frac{\lambda^{2}_{L
\tilde{S}_{1/2}}}{\tilde{m}^{2}_{1/2}}
(\overline{d}_{R}^{c}\nu_{L}) (\overline{\nu}_{L}d_{R})$ &
$\frac{\lambda^{2}_{L \tilde{S}_{1/2}}}{2\tilde{m}^{2}_{1/2}}
(\overline{d}_{R}\gamma^{\mu}ud_{R})
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ & $\frac{\lambda^{2}_{L
\tilde{S}_{1/2}}}{\tilde{m}^{2}_{1/2}} (\overline{d}_{R}e_{L})
(\overline{e}_{L}d_{R})$ & $\frac{\lambda^{2}_{L
\tilde{S}_{1/2}}}{2\tilde{m}^{2}_{1/2}}
(\overline{d}_{R}\gamma^{\mu}d_{R})
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\\hline $\lambda_{LS_{1}}
\bar{q}^c_L i\sigma_2 \vec{\sigma} \ell_L \cdot
\vec{S}_1^{\dagger}$ & $\frac{\lambda^{2}_{LS_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{d}_{L}^c\nu_{L}) (\overline{\nu}_{L}d_{L}^c)$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LS_{1}}}{2m^{2}_{1}}
(\overline{d}_{L}^c\gamma^{\mu}d_{L}^c)
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ &
$-\frac{\lambda^{2}_{LS_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{d}_{L}^c\nu_{L}) (\overline{e}_{L}u_{L}^c)$ &
$-\frac{\lambda^{2}_{LS_{1}}}{2m^{2}_{1}}
(\overline{d}_{L}^c\gamma^{\mu}u_{L}^c)
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\ &
$\frac{\lambda^{2}_{LS_{1}}}{m^{2}_{1}} (\overline{u}_{L}^c e_{L})
(\overline{e}_{L}u_{L}^c)$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LS_{1}}}{2m^{2}_{1}}
(\overline{u}_{L}^c\gamma^{\mu}u_{L}^c)
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ &
$2\frac{\lambda^{2}_{LS_{1}}}{m^{2}_{1}} (\overline{d}_{L}^c
e_{L}) (\overline{e}_{L}d_{L}^c)$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LS_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{d}_{L}^c\gamma^{\mu}d_{L}^c)
(\overline{e}_{L}\gamma_{\mu}e_{L})$\\ &
$2\frac{\lambda^{2}_{LS_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{u}_{L}^c\nu_{L}) (\overline{\nu}_{L}u_{L}^c)$ &
$\frac{\lambda^{2}_{LV_{1}}}{m^{2}_{1}}
(\overline{u}_{L}^c\gamma^{\mu}u_{L}^c)
(\overline{\nu}_{L}\gamma_{\mu}\nu_{L})$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Table 5: \textit{4-Fermion-vertices for scalar leptoquarks} \cite
{lepto}.\label{tab:vertizes}\addcontentsline{lot}{table}{5\qquad
4-Fermionen-Vertizes fr skalare Leptoquarks}
\end{table}
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%6. Tabelle%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline Product  & Upper
bound/$\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2$ & Exchanged particle
& Source of bound\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{11}\lambda_L^{*11})$ & $3.4\times 10^{-4}$ & $V_O$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{11}\lambda_L^{*11})$ & $1.7\times 10^{-3}$ & $V_1$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{11}\lambda_R^{*11})$ & $9.8\times 10^{-8}$ & $V_O$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{11}\lambda_R^{*11})$ & $5.0\times 10^{-7}$ & $V_{1/2}$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{21}\lambda_L^{*21})$ & $1.7\times 10^{-3}$ & $V_O$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{21}\lambda_L^{*21})$ & $3.4\times 10^{-4}$ & $V_1$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{21}\lambda_R^{*21})$ & $1.0\times 10^{-4}$ & $V_O$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{21}\lambda_R^{*21})$ & $2.0\times 10^{-5}$ & $V_{1/2}$ & $R_\pi$\\\hline
 $|\lambda_L^{11}\lambda_L^{*21}|$ & $2.9\times 10^{-2}$ & $V_O/V_1$ & $\pi^+\rightarrow\bar{\mu}\nu_e$\\\hline
 $|\lambda_L^{11}\lambda_R^{*21}|$ & $1.7\times 10^{-3}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $\pi^+\rightarrow\bar{\mu}\nu_e$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{12}\lambda_L^{*11})$ & $2.8\times 10^{-3}$ & $V_O$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{12}\lambda_L^{*11})$ & $3.7\times 10^{-3}$ & $V_1$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{12}\lambda_R^{*11})$ & $9.2\times 10^{-7}$ & $V_O$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{12}\lambda_R^{*11})$ & $1.2\times 10^{-6}$ & $V_{1/2}$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{22}\lambda_L^{*21})$ & $3.7\times 10^{-3}$ & $V_O$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{22}\lambda_L^{*21})$ & $2.8\times 10^{-3}$ & $V_1$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{22}\lambda_R^{*21})$ & $2.6\times 10^{-4}$ & $V_O$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda_L^{22}\lambda_R^{*21})$ & $1.9\times 10^{-4}$ & $V_{1/2}$ & $R_K$\\\hline
 $|\lambda_L^{12}\lambda_L^{*21}|$ & $5.8\times 10^{-3}$ &
$V_O/V_1$ & $K^+\rightarrow\mu\nu_e$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Table 6: \textit{Bounds on products of coupling constants for
vector LQs. Bounds with a *) are also valid under the exchange of
the lepton
indices.}\label{tab:vertizes}\addcontentsline{lot}{table}{6\qquad
Schranken an Kopplungskonstantenprodukte fr vektorielle LQs}
\end{table}\newpage\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline Product  & Upper
bound/$\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2$ & Exchanged particle
& Source of bound\\\hline $|\lambda_L^{12}\lambda_R^{*21}|$ &
$4.0\times 10^{-4}$ & $V_O/V_{1/2}$ &
$K^+\rightarrow\mu\nu_e$\\\hline $|\lambda_L^{12}\lambda_L^{*11}|$
& $1.2\times 10^{-4}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+e\bar{e})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{e}\nu_e)}$\\\hline
$|\lambda_L^{12}\lambda_L^{*21}|$ & $1.5\times 10^{-6}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+e\bar{\mu})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{\mu}\nu_\mu)}$\\\hline
$|\lambda_L^{22}\lambda_L^{*11}|$ & $6.5\times 10^{-6}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{e})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{\mu}\nu_\mu)}$\\\hline
$|\lambda_L^{i2}\lambda_L^{*m1}|$ & $2.9\times 10^{-6}$ &
$V_{1/2}$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+\nu\bar{\nu})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{e}\nu_e)}$\\\hline
$|\lambda_L^{i2}\lambda_L^{*m1}|$ & $1.5\times 10^{-6}$ & $V_1$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+\nu\bar{\nu})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{e}\nu_e)}$\\\hline
$|\lambda_L^{22}\lambda_L^{*21}|$ & $7.8\times 10^{-5}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{\mu})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{\mu}\nu_\mu)}$\\\hline
$|\lambda_L^{i2}\lambda_R^{*m1}|$ & $3.8\times 10^{-3}$ &
$V_O/V_{1/2}$ & $\frac{f_S}{f_+(0)}$\\\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 $|\lambda_L^{12}\lambda_L^{*11}|$ & $1.9\times 10^{-5}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $K^0_L\rightarrow e\bar{e}$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{12}\lambda_L^{*21}|$ & $9.7\times 10^{-8}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $K^0_L\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{22}\lambda_L^{*21}|$ & $2.7\times 10^{-6}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $K^0_L\rightarrow\bar{\mu}\mu$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{12}\lambda_R^{*11}|$ & $9.1\times 10^{-9}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $K^0_L\rightarrow e\bar{e}$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{12}\lambda_R^{*21}|$ & $6.9\times 10^{-9}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $K^0_L\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{22}\lambda_R^{*21}|$ & $2.8\times 10^{-7}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $K^0_L\rightarrow\mu\bar{\mu}$
 \\\hline
  $|\lambda_L^{22}\lambda_L^{*21}|$ & $3.7\times 10^{-1}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $K^0-\bar{K}^0$
  \\\hline
  $|\lambda_L^{32}\lambda_L^{*31}|$ & $2.2\times 10^{-2}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $K^0-\bar{K}^0$
  \\\hline
  $|\lambda_L^{i2}\lambda_L^{*m1}|$ & $7.4\times 10^{-2}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $V_{cd}$
\\\hline
$|\lambda_L^{i2}\lambda_L^{*m2}|$ & $3.3\times 10^{-1}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $V_{cs}$
\\\hline
$\Re(\lambda_L^{21}\lambda_L^{*22})$ & $1.0\times 10^{-1}$ &
$V_O/V_1$ & $D^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu$
\\\hline
$\Re(\lambda_L^{21}\lambda_R^{*22})$ & $4.3\times 10^{-3}$ &
$V_O/V_{1/2}$ & $D^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu$
\\\hline
\end{tabular}\end{center}
\label{tab:vertizes1}Table 6: \textit{Continued.}
\end{table}\newpage\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline Product  & Upper
bound/$\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2$ & Exchanged particle
& Source of bound\\\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\Re(\lambda_L^{22}\lambda_L^{*22})$ & $2.0\times 10^{-2}$ & $V_O$
&
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda_L^{22}\lambda_L^{*22})$ & $9.3\times 10^{-2}$ & $V_1$
&
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda_L^{22}\lambda_R^{*22})$ & $8.3\times 10^{-4}$ & $V_O$
&
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda_L^{22}\lambda_R^{*22})$ & $3.9\times 10^{-3}$ &
$V_{1/2}$ &
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda_L^{32}\lambda_L^{*32})$ & $9.3\times 10^{-2}$ & $V_O$
&
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda_L^{32}\lambda_L^{*32})$ & $2.0\times 10^{-2}$ & $V_1$
&
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda_L^{32}\lambda_R^{*32})$ & $6.6\times 10^{-2}$ & $V_O$
&
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda_L^{32}\lambda_R^{*32})$ & $1.4\times 10^{-2}$ &
$V_{1/2}$ &
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$
\\\hline
$|\lambda_R^{12}\lambda_R^{*11}|$ & $5.6\times 10^{-3}$ &
$\tilde{V}_O/V_{1/2}$ &
$\frac{BR(D^+\rightarrow\pi^+e\bar{e})}{BR(D^0\rightarrow\pi^-\nu_e
\bar{e})}$
\\\hline $|\lambda_R^{22}\lambda_R^{*11}|$ & $4.5\times
10^{-3}$ & $\tilde{V}_O/V_{1/2}$ &
$\frac{BR(D^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{e})}{BR(D^0\rightarrow\pi^-\nu_e
\bar{e})}$\quad *)
\\\hline$|\lambda_R^{22}\lambda_R^{*21}|$ &
$3.0\times 10^{-3}$ & $\tilde{V}_O/V_{1/2}$ &
$\frac{BR(D^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{\mu})}{BR(D^0\rightarrow\pi^-\nu_e
\bar{e})}$
\\\hline $|\lambda_L^{12}\lambda_L^{*11}|$ & $5.6\times
10^{-3}$ & $\tilde{V}_{1/2}/V_1$**) &
$\frac{BR(D^+\rightarrow\pi^+e\bar{e})}{BR(D^0\rightarrow\pi^-\nu_e
\bar{e})}$
\\\hline $|\lambda_L^{22}\lambda_L^{*11}|$ & $4.5\times
10^{-3}$ & $\tilde{V}_{1/2}/V_1$**) &
$\frac{BR(D^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{e})}{BR(D^0\rightarrow\pi^-\nu_e
\bar{e})}$\quad *)
\\\hline$|\lambda_L^{22}\lambda_L^{*21}|$ &
$3.0\times 10^{-3}$ & $\tilde{V}_{1/2}/V_1$**) &
$\frac{BR(D^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{\mu})}{BR(D^0\rightarrow\pi^-\nu_e
\bar{e})}$
\\\hline
$|\lambda_R^{12}\lambda_R^{*11}|$ & $1.6$ &
$\tilde{V}_O/V_{1/2}$**) & $D^0\rightarrow e\bar{e}$\\\hline
$|\lambda_R^{12}\lambda_R^{*21}|$ & $1.2\times 10^{-2}$ &
$\tilde{V}_O/V_{1/2}$**) & $D^0\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
\\\hline
$|\lambda_R^{22}\lambda_R^{*21}|$ & $6.3\times 10^{-3}$ &
$\tilde{V}_O/V_{1/2}$**) & $D^0\rightarrow\bar{\mu}\mu$
\\\hline
    $|\lambda_R^{22}\lambda_R^{*21}|$ & $1.1$ & $\tilde{V}_O/V_{1/2}$**) & $D^0-\bar{D}^0$\\\hline
     $|\lambda_R^{32}\lambda_R^{*31}|$ & $6.4\times 10^{-2}$ & $\tilde{V}_O/V_{1/2}$**) &
  $D^0-\bar{D}^0$
\\\hline
  $|\lambda_L^{i3}\lambda_L^{*m1}|$ & $1.2\times 10^{-3}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $V_{ub}$
\\\hline
\end{tabular}\end{center}
\label{tab:vertizes1}Table 6: \textit{Continued; **) for $V_1$ a
factor 1/2 has to be employed, LL-couplings for $D^0$ analogous.}
\end{table}\newpage
\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline Product  & Upper
bound/$\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2$ & Exchanged particle
& Source of bound
\\\hline
  $|\lambda_L^{i3}\lambda_L^{*m2}|$ & $1.4\times 10^{-2}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $V_{cb}$
\\\hline
  $|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*11}|$ & $1.5$ &
$V_O/V_1$ & $B^+\rightarrow e^+\nu_e$
\\\hline
$|\lambda_L^{13}\lambda_R^{*11}|$ & $1.2\times 10^{-4}$ &
$V_O/V_{1/2}$ & $B^+\rightarrow e^+\nu_e$
\\\hline
$|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*21}|$ & $8.4\times 10^{-3}$ &
$V_O/V_1$ & $B^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu$
\\\hline
$|\lambda_L^{23}\lambda_R^{*21}|$ & $1.4\times 10^{-4}$ &
$V_O/V_{1/2}$ & $B^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu$
\\\hline
$|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*31}|$ & $2.9\times 10^{-3}$ &
$V_O/V_1$ & $B^+\rightarrow \tau^+\nu_\tau$
\\\hline
$|\lambda_L^{33}\lambda_R^{*31}|$ & $8.4\times 10^{-4}$ &
$V_O/V_{1/2}$ & $B^+\rightarrow \tau^+\nu_\tau$
\\\hline
$|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*11}|$ & $7.8\times 10^{-3}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $\frac{BR(B^+\rightarrow
e\bar{e}\pi^+)}{BR(B^+\rightarrow \nu_e\bar{e}\pi^0)}$
\\\hline
$|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*21}|$ & $1.0\times 10^{-2}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $\frac{BR(B^+\rightarrow
e\bar{\mu}\pi^+)}{BR(B^+\rightarrow \nu_e\bar{e}\pi^0)}$\quad *)
\\\hline $|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*21}|$ & $1.2\times
10^{-2}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $\frac{BR(B^+\rightarrow
\mu\bar{\mu}\pi^+)}{BR(B^+\rightarrow \nu_e\bar{e}\pi^0)}$
\\\hline
$|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*11}|$ & $6.3\times 10^{-3}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow \tau\bar{e}X)$\quad *)
\\\hline
$|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*12}|$ & $7.2\times 10^{-2}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow \tau\bar{e}X)$\quad *)
\\\hline
$|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*21}|$ & $5.0\times 10^{-2}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow \tau\bar{\mu}X)$\quad *)
\\\hline
$|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*22}|$ & $3.9\times 10^{-4}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow \tau\bar{\mu}X)$\quad
*)\\\hline
 $|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*31}|$ & $2.5\times
10^{-1}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow
\tau\bar{\tau}X)$
\\\hline $|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*32}|$ &
$3.1\times 10^{-3}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow
\tau\bar{\tau}X)$
\\\hline
$|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*12}|$ & $2.2\times 10^{-5}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow e\bar{e}K)$
\\\hline
$|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*12}|$ & $1.5\times 10^{-3}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow \mu\bar{e}K)$\quad *)
\\\hline
$|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*22}|$ & $1.8\times 10^{-5}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow \mu\bar{\mu}K)$
\\\hline
$|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*11}|$ & $3.1\times 10^{-4}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow e\bar{e}\pi)$
\\\hline
\end{tabular}\end{center}
\label{tab:vertizes1}Table 6: \textit{Continued.}
\end{table}\newpage
\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline Product  & Upper bound
/$\left(\frac{m_{LQ}}{100GeV}\right)^2$ & Exchanged particle &
Source of bound\\\hline $|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*11}|$ &
$1.3\times 10^{-5}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow
\mu\bar{e}\pi)$\quad *)
\\\hline $|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*21}|$ & $4.7\times 10^{-4}$
& $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $BR(B^+\rightarrow \mu\bar{\mu}\pi)$\\\hline
$|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*11}|$ & $2.5\times 10^{-1}$ &
$V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0\rightarrow e\bar{e}$\\\hline
 $|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*21}|$ & $2.3\times 10^{-3}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*21}|$ & $1.1\times 10^{-3}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0\rightarrow\bar{\mu}\mu$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*31}|$ & $2.9\times 10^{-3}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0\rightarrow\bar{\tau}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*31}|$ & $3.7\times 10^{-3}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0\rightarrow\bar{\tau}\mu$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{13}\lambda_R^{*11}|$ & $3.0\times 10^{-5}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $B^0\rightarrow e\bar{e}$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{13}\lambda_R^{*21}|$ & $4.0\times 10^{-5}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $B^0\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{23}\lambda_R^{*21}|$ & $2.5\times 10^{-5}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $B^0\rightarrow\mu\bar{\mu}$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{13}\lambda_R^{*31}|$ & $8.5\times 10^{-4}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $B^0\rightarrow\bar{\tau}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{23}\lambda_R^{*31}|$ & $1.1\times 10^{-3}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $B^0\rightarrow\bar{\tau}\mu$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*12}|$ & $1.8$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0_s\rightarrow e\bar{e}$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{13}\lambda_L^{*22}|$ & $4.1\times 10^{-3}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0_s\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*22}|$ & $1.7\times 10^{-3}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0_s\rightarrow\bar{\mu}\mu$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{13}\lambda_R^{*12}|$ & $2.0\times 10^{-4}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $B^0_s\rightarrow e\bar{e}$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{13}\lambda_R^{*22}|$ & $6.8\times 10^{-5}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $B^0_s\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_L^{23}\lambda_R^{*22}|$ & $3.9\times 10^{-5}$ & $V_O/V_{1/2}$ & $B^0_s\rightarrow\mu\bar{\mu}$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{23}\lambda_L^{*21}|$ & $2.5$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0-\bar{B}^0$
 \\\hline
 $|\lambda_L^{33}\lambda_L^{*31}|$ & $1.5\times 10^{-1}$ & $V_O/V_{1/2}/V_1$ & $B^0-\bar{B}^0$
 \\\hline
\end{tabular}\end{center}
\label{tab:vertizes1}Table 6: \textit{Continued.}
\end{table}
\newpage
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%7. Tabelle%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline Product  & Upper
bound/$\left(\frac{m_{SUSY}}{100GeV}\right)^2$ & Exchanged
particle & Source of bound\\\hline
 $\Re(\lambda'_{11k}\lambda'{}_{11k}^*)$ & $6,.8\times 10^{-4}$ & $\tilde{d}^k_R$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda_{1k1}\lambda'{}_{k11}^*)$ & $5.0\times 10^{-7}$ & $\tilde{\ell}^k_L$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda'_{21k}\lambda'{}_{21k}^*)$ & $3.5\times 10^{-3}$ & $\tilde{d}^k_R$ & $R_\pi$\\\hline
 $\Re(\lambda_{2k2}\lambda'{}_{k11}^*)$ & $2.0\times 10^{-5}$ & $\tilde{\ell}^k_L$ & $R_\pi$\\\hline
 $|\lambda'_{11k}\lambda'{}_{21k}^*|$ & $5.8\times 10^{-2}$ & $\tilde{d}^k_R$ & $\pi^+\rightarrow\bar{\mu}\nu_e$\\\hline
 $|\lambda_{1k2}\lambda'{}_{k11}^*|$ & $1.7\times 10^{-3}$ & $\tilde{\ell}^k_L$ & $\pi^+\rightarrow\bar{\mu}\nu_e$\\\hline
 $\Re(\lambda'_{11k}\lambda'{}_{12k}^*)$ & $5.5\times 10^{-3}$ & $\tilde{d}^k_R$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda_{1k1}\lambda'{}_{k12}^*)$ & $1.2\times 10^{-6}$ & $\tilde{\ell}^k_L$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda'_{21k}\lambda'{}_{22k}^*)$ & $7.4\times 10^{-3}$ & $\tilde{d}^k_R$ & $R_K$\\\hline
 $\Re(\lambda_{2k2}\lambda'{}_{k12}^*)$ & $1.9\times 10^{-4}$ & $\tilde{\ell}^k_L$ & $R_K$\\\hline
 $|\lambda'_{11k}\lambda'{}_{22k}^*|$ & $1.2\times 10^{-2}$ & $\tilde{d}^k_R$ & $K^+\rightarrow\bar{\mu}\nu_e$\\\hline
 $|\lambda_{1k2}\lambda'{}_{k12}^*|$ & $4.0\times 10^{-4}$ & $\tilde{\ell}^k_L$ & $K^+\rightarrow\bar{\mu}\nu_e$\\\hline
 $|\lambda'_{11k}\lambda'{}_{12k}^*|$ & $3.0\times 10^{-4}$ &
$\tilde{d}^k_R$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+e\bar{e})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{e}\nu_e)}$\\\hline
$|\lambda'_{11k}\lambda'{}_{22k}^*|$ & $3.0\times 10^{-6}$ &
$\tilde{d}^k_R$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+e\bar{\mu})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{\mu}\nu_\mu)}$\\\hline
$|\lambda'_{21k}\lambda'{}_{12k}^*|$ & $1.3\times 10^{-5}$ &
$\tilde{d}^k_R$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{e})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{\mu}\nu_\mu)}$\\\hline
$|\lambda'_{i1k}\lambda'{}_{m2k}^*|$ & $5.9\times 10^{-6}$ &
$\tilde{d}^k_R$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+\nu\bar{\nu})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{e}\nu_e)}$\\\hline
$|\lambda'_{21k}\lambda'{}_{22k}^*|$ & $1.6\times 10^{-4}$ &
$\tilde{d}^k_R$ &
$\frac{BR(K^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{\mu})}{BR(K^+\rightarrow\pi^0\bar{\mu}\nu_\mu)}$\\\hline
$|\lambda'_{k12}\lambda_{ikj}^*|$ & $3.8\times 10^{-3}$ &
$\tilde{\ell}^k_L$ & $\frac{f_S}{f_+(0)}$\\\hline
 $|\lambda'_{2k1}\lambda'{}_{1k1}^*|$ & $3.7\times 10^{-5}$ & $\tilde{u}^k_L$ & $K^0_L\rightarrow e\bar{e}$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
Table 7: \textit{Bounds on products of SUSY coupling constants.
Bounds with a *) are also valid under the exchange of the lepton
indices.}\addcontentsline{lot}{table}{7\qquad Schranken an
SUSY-Kopplungskonstantenprodukte} \label{tab:vertizes}
\end{table}\newpage\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline Product  & Upper
bound/$\left(\frac{m_{SUSY}}{100GeV}\right)^2$ & Exchanged
particle & Source of bound\\\hline
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 $|\lambda'_{2k1}\lambda'{}_{1k2}^*|$ & $1.9\times 10^{-7}$ & $\tilde{u}^k_L$ & $K^0_L\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda'_{2k2}\lambda'{}_{1k2}^*|$ & $5.4\times 10^{-6}$ & $\tilde{u}^k_L$ & $K^0_L\rightarrow\bar{\mu}\mu$
 \\\hline
 $|\lambda'_{k12}\lambda_{k11}^*|$ & $9.1\times 10^{-9}$ & $\tilde{\nu}^k_L$ & $K^0_L\rightarrow e\bar{e}$
 \\\hline
 $|\lambda'_{k12}\lambda_{k12}^*|$ & $6.9\times 10^{-9}$ & $\tilde{\nu}^k_L$ & $K^0_L\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda'_{k12}\lambda_{k22}^*|$ & $2.8\times 10^{-7}$ & $\tilde{\nu}^k_L$ & $K^0_L\rightarrow\mu\bar{\mu}$
 \\\hline
  $|\lambda'_{1k2}\lambda'{}_{2k2}^*|$ & $7.5\times 10^{-1}$ & $\tilde{u}^k_L$ & $K^0-\bar{K}^0$
  \\\hline
  $|\lambda'_{1k3}\lambda'{}_{2k3}^*|$ & $4.4\times 10^{-2}$ & $\tilde{u}^k_L$ & $K^0-\bar{K}^0$
  \\\hline
  $|\lambda'_{i1k}\lambda'{}_{m2k}^*|$ & $1.5\times 10^{-1}$ &
$\tilde{d}^k_R$ & $V_{cd}$\\\hline
$|\lambda'_{i2k}\lambda'{}_{m2k}^*|$ & $6.6\times 10^{-1}$ &
$\tilde{d}^k_R$ & $V_{cs}$\\\hline
$\Re(\lambda'_{22k}\lambda'{}_{21k}^*)$ & $2.0\times 10^{-1}$ &
$\tilde{d}^k_R$ & $D^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu$\\\hline
$\Re(\lambda_{2k2}\lambda'{}_{k12}^*)$ & $4.3\times 10^{-3}$ &
$\tilde{\ell}^k_L$ & $D^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu$\\\hline
$\Re(\lambda'_{22k}\lambda'{}_{22k}^*)$ & $1.9\times 10^{-1}$ &
$\tilde{d}^k_R$ &
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda_{2k2}\lambda'{}_{k22}^*)$ & $3.9\times 10^{-3}$ &
$\tilde{\ell}^k_L$ &
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda'_{32k}\lambda'{}_{32k}^*)$ & $4.0\times 10^{-2}$ &
$\tilde{d}^k_R$ &
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$\Re(\lambda_{3k3}\lambda'{}_{k22}^*)$ & $6.6\times 10^{-2}$ &
$\tilde{\ell}^k_L$ &
$\frac{BR(D^+_s\rightarrow\mu\nu_\mu)}{BR(D^+_s\rightarrow\tau\nu_\tau)}$\\\hline
$|\lambda'_{12k}\lambda'{}_{11k}^*|$ & $1.1\times 10^{-2}$ &
$\tilde{d}_R^k$ &
$\frac{BR(D^+\rightarrow\pi^+e\bar{e})}{BR(D^0\rightarrow\pi^-\nu_e
\bar{e})}$\\\hline $|\lambda'_{22k}\lambda'{}_{11k}^*|$ &
$9.0\times 10^{-3}$ & $\tilde{d}_R^k$ &
$\frac{BR(D^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{e})}{BR(D^0\rightarrow\pi^-\nu_e
\bar{e})}$\quad *)\\\hline$|\lambda'_{22k}\lambda'{}_{21k}^*|$ &
$6.0\times 10^{-3}$ & $\tilde{d}_R^k$ &
$\frac{BR(D^+\rightarrow\pi^+\mu\bar{\mu})}{BR(D^0\rightarrow\pi^-\nu_e
\bar{e})}$\\\hline $|\lambda'_{11k}\lambda'{}_{12k}^*|$ & $3.2$ &
$\tilde{d}_R^k$ & $D^0\rightarrow e\bar{e}$\\\hline
 $|\lambda'_{11k}\lambda'{}_{22k}^*|$ & $2.4\times 10^{-2}$ & $\tilde{d}_R^k$ & $D^0\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
\end{tabular}\end{center}
\label{tab:vertizes1}Table 7: \textit{Continued.}
\end{table}\newpage
\newpage\begin{table} [h]
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline Product  & Upper
bound/$\left(\frac{m_{SUSY}}{100GeV}\right)^2$ & Exchanged
particle & Source of bound\\\hline
 $|\lambda'_{21k}\lambda'{}_{22k}^*|$ & $1.3\times 10^{-2}$ & $\tilde{d}_R^k$ & $D^0\rightarrow\bar{\mu}\mu$
 \\\hline
  $|\lambda_{1k1}\lambda_{k21}'{}^*|$ & $4.6\times 10^{-4}$ & $\tilde{\ell}_L^k$ & $D^0\rightarrow e\bar{e}$
  \\\hline
 $|\lambda_{1k2}\lambda_{k21}'{}^*|$ & $5.3\times 10^{-4}$ & $\tilde{\ell}_L^k$ & $D^0\rightarrow\bar{\mu}e$\quad *)
 \\\hline
 $|\lambda_{2k2}\lambda_{k21}'{}^*|$ & $3.8\times 10^{-4}$ & $\tilde{\ell}_L^k$ & $D^0\rightarrow\mu\bar{\mu}$
 \\\hline
  $|\lambda'_{22k}\lambda'{}_{21k}^*|$ & $2.2$ & $\tilde{d}_R^k$ &
 $D^0-\bar{D}^0$\\\hline
 $|\lambda'_{32k}\lambda'{}_{31k}^*|$ & $1.3\times 10^{-1}$ & $\tilde{d}_R^k$ &
  $D^0-\bar{D}^0$\\\hline
    $|\lambda'_{i3k}\lambda'{}_{m1k}^*|$ & $2.4\times 10^{-3}$ &
$\tilde{d}_R^k$ & $V_{ub}$\\\hline
  $|\lambda'_{i3k}\lambda'{}_{m2k}^*|$ & $1.4\times 10^{-2}$ &
$\tilde{d}_R^k$ & $V_{cb}$\\\hline
$|\lambda'_{13k}\lambda'{}_{11k}^*|$ & $3.0$ & $\tilde{d}_R^k$ &
$B^+\rightarrow e^+\nu_e$\\\hline
$|\lambda'_{k13}\lambda_{1k1}^*|$ & $1.2\times 10^{-4}$ &
$\tilde{\ell}_L^k$ & $B^+\rightarrow e^+\nu_e$
\\\hline
$|\lambda'_{23k}\lambda'{}_{21k}^*|$ & $1.7\times 10^{-2}$ &
$\tilde{d}_R^k$ & $B^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu$\\\hline

$|\lambda'_{k13}\lambda_{2k2}^*|$ & $1.4\times 10^{-4}$ &
$\tilde{\ell}_L^k$ & $B^+\rightarrow \mu^+\nu_\mu$\\\hline

$|\lambda'_{33k}\lambda'{}_{31k}^*|$ & $5.8\times 10^{-3}$ &
$\tilde{d}_R^k$ & $B^+\rightarrow \tau^+\nu_\tau$\\\hline

$|\lambda'_{k13}\lambda_{3k3}^*|$ & $8.4\times 10^{-4}$ &
$\tilde{\ell}_L^k$ & $B^+\rightarrow \tau^+\nu_\tau$\\\hline
\end{tabular}\end{center}
\label{tab:vertizes1}Table 7: \textit{Continued. Bounds obtained
from semileptonic $B$-decays and decays of the neutral B-meson are
not listed here. They can easily be obtained directly from the
bounds on LQ coupling constants. LL-couplings have to be
multiplied by a factor two, for LR-couplings SUSY and LQ bounds
are the same. Here I refer once more to the Tables 4 and 5: Some
of the possible combinations are forbidden, because the
corresponding 4-fermion vertices do not exist.}
\end{table}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Literaturverzeichnis%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pagestyle {headings}
\include{appendix}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Literaturverzeichnis}
\begin{thebibliography}{222222}
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